Как найти относительную погрешность измерения площади

1. Лабораторная работа №1. Измерение длины ребер, площади поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда. Погрешность прямых и косвенных измерений
2. Лабораторная работа №2. Измерение времени с помощью секундомера. Погрешность серии прямых измерений

п.1. Лабораторная работа №1. Измерение длины ребер, площади поверхности и объема прямоугольного параллелепипеда. Погрешность прямых и косвенных измерений

Цель работы
Научиться измерять длину с помощью линейки, определять площадь поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда, находить абсолютные и относительные погрешности косвенных измерений.

Теоретические сведения

Прямоугольный параллелепипед – это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту.

Пусть
длина (AD=BC=A_1 D_1=B_1 C_1=a)
ширина (AB=CD=A_1 B_1=C_1 D_1=b)
высота (AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=c)
Площади верхней и нижней грани равны (S_1=ab), площади передней и задней граней равны (S_2=ac), площади левой и правой граней равны (S_3=bc).

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей всех шести граней: $$ S_{пов}=2S_1+2S_2+2S_3=2(ab+ac+bc) $$ Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению всех трех измерений: $$ V=abc $$

Пусть измерения проводятся ученической линейкой с ценой деления (triangle=1 мм).
Тогда инструментальная погрешность измерений равна половине цены деления: $$ d=frac{triangle}{2}=0,5 мм $$ Абсолютная погрешность измерений при работе с линейкой равна инструментальной погрешности, поэтому для всех измерений: (triangle a=triangle b=triangle c=d=0,5 мм)
Относительные погрешности измерений (в долях, без процентов): $$ delta_a=frac{triangle a}{a}=frac da, delta_b=frac{triangle b}{b}=frac db, delta_c=frac{triangle c}{c}=frac dc $$ Выведем необходимые формулы.
Рассмотрим нижнюю грань. Её площадь (S_1=ab) является произведением двух длин.
Значит, относительная погрешность измерения площади равна сумме относительных погрешностей длин: $$ delta_{S1}=delta_a+delta_b $$ Аналогично для остальных граней: $$ delta_{S2}=delta_a+delta_c, delta_{S3}=delta_b+delta_c $$ Абсолютная погрешность измерения площади нижней грани: $$ triangle S_1=S_1cdotdelta_{S1}=abcdot(delta_a+delta_b)=abcdotleft(frac da+frac dbright)=abdcdotleft(frac ab+frac1bright)=abdcdotfrac{b+a}{ab}= d(a+b) $$ Аналогично для остальных граней: $$ triangle S_2=S_2cdotdelta_{S2}=d(a+c), triangle S_3=S_3cdotdelta_{S3}=d(b+c) $$ Абсолютная погрешность суммы измерений равна сумме абсолютных погрешностей. Получаем для площади поверхности: begin{gather*} triangle S_{пов}=2(triangle S_1+triangle S_2+triangle S_3)=2(d(a+b)+d(a+c)+d(b+c))=\ =2d(a+b+a+c+b+c)=4d(a+b+c) end{gather*}

Абсолютная погрешность определения площади поверхности прямоугольного параллелепипеда равна: $$ triangle S_{пов}=4d(a+b+c) $$ где (d) – инструментальная погрешность линейки, (a,b,c) – измеренные значения длины, ширины и высоты.

Найдем погрешность определения объема.
Объем равен произведению трех измерений, значит, относительная погрешность для объема равна сумме относительных погрешностей измерений: $$ delta_v=delta_a+delta_b+delta_c=frac da+frac db+frac dc=dleft(frac 1a+frac 1b+frac 1cright)=dcdotfrac{bc+ac+ab}{abc} $$ Абсолютная погрешность для объема: $$ triangle V=vcdotdelta_v=abccdot dcdotfrac{bc+ac+ab}{abc} = d(bc+ac+ab)=dcdotfrac{S_{пов}}{2} $$

Абсолютная погрешность определения объема прямоугольного параллелепипеда равна: $$ triangle V=dcdotfrac{S_{пов}}{2} $$ где (d) – инструментальная погрешность линейки, (S_{пов}) – площадь поверхности.

Приборы и материалы
Ученическая линейка, книга (или деревянный брусок).

Ход работы
1. Ознакомьтесь с теоретической частью работы, выпишите необходимые формулы.
2. Измерьте длину, ширину и высоту книги (бруска), (a,b,c).
3. Найдите площадь поверхности (S_{пов}) и объем (V).
4. Найдите абсолютные погрешности (triangle S_{пов}) и (triangle V).
5. Найдите относительные погрешности в процентах: $$ delta_{S_{пов}}=frac{triangle S_{пов}}{S_{пов}}cdot 100text{%}, delta_V=frac{triangle V}{V}cdot 100text{%} $$ 6. Дополнительное задание. Определите толщину одного листа книги, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
7. Сделайте выводы о проделанной работе.

п.2. Лабораторная работа №2. Измерение времени с помощью секундомера. Погрешность серии прямых измерений

Цель работы
Научиться измерять время с помощью секундомера, определять абсолютную и относительную погрешность величины, полученной в серии прямых измерений.

Теоретические сведения

Математическим маятником называют груз небольших размеров, подвешенный на тонкой невесомой нерастяжимой нити.

Периодом колебаний математического маятника называют время, за которое он возвращается в исходную точку.

При отклонении математического маятника на малые углы (до 20°) период его колебаний (T) остается постоянной величиной. В действительности колебания постепенно затухают, но при достаточно длинной нити и тяжелом грузике, затухания происходят медленно.

Приборы и материалы
Секундомер, штатив, грузик на длинной нитке (не менее 50 см).

Ход работы
1. Закрепите нитку с грузиком в лапке штатива, как показано на рисунке.

2. Определите цену деления секундомера.
3. Отклоните грузик на небольшой угол, отпустите его и с помощью секундомера измерьте время, за которое маятник совершит 10 полных колебаний.
4. Повторите опыт 5 раз.
5. С помощью алгоритма определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений (см. §3 данного справочника) найдите точное значение и абсолютную погрешность времени 10 колебаний.
6. Найдите точное значение и абсолютную погрешность периода колебаний (T), рассчитайте относительную погрешность результата измерений.
7. Сделайте выводы о проделанной работе.

Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале: begin{gather*} a=5 с\ b=10 с end{gather*} Между ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*}

Инструментальная погрешность секундомера равна половине цены деления: (d=frac{triangle}{2}=0,1 c)

Измерения времени 10 колебаний

Найдем среднее время для 10 колебаний: begin{gather*} t_0=frac{15,3+14,9+15,2+15,5+15,1}{5}=frac{76,0}{5}=15,2 (c) end{gather*} Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от (t_0): $$ triangle_1=|15,3-15,2|=0,1; triangle_2=|14,9-15,2|=0,3 text{и т.д.} $$ Среднее абсолютное отклонение: $$ triangle_{cp}=frac{0,1+0,3+0+0,3+0,1}{5}=frac{0,8}{5}=0,16 (c) $$ Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,16right}=0,16 text{c} $$ Результат измерения времени 10 колебаний: begin{gather*} t=t_0pmtriangle t, t=(15,20pm 0,16) c end{gather*} Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T=frac{1}{10}(t_0pmtriangle t), T=(1,520pm 0,016) c $$ Относительная погрешность измерений: $$ delta_T=frac{triangle T}{T_0}cdot 100text{%}=frac{0,016}{1,520}cdot 100text{%}approx 1,1text{%} $$

1. 

   1

   Если вам дано ожидаемое значение, вычтите из него полученное вами значение, чтобы вычислить абсолютную погрешность. Как правило, ожидаемое значение находится в ходе тестовых или лабораторных испытаний. Ожидаемое значение является наиболее точным значением некоторой величины, которое используется при различных вычислениях. Чтобы получить абсолютную погрешность, сравните результаты ваших измерений с ожидаемым значением – так вы узнаете, насколько ваши результаты отличаются от ожидаемого значения. Для этого просто вычтите полученное вами значение из ожидаемого. Если разность отрицательная, превратите ее в положительную, проигнорировав знак «минус». Вы получите абсолютную погрешность.^[2]
   

   • Например, вы хотите узнать точность измерения расстояния при помощи шагов. Вы идете от одного дерева к другому, считаете шаги и выясняете, что деревья расположены на расстоянии 5,4 м друг от друга. Это экспериментальное значение. Потом вы берете рулетку и измеряете точное расстояние между деревьями, которое равно 6 м. Это действительное значение. Абсолютная погрешность равна: 6 – 5,4 = 0,6 м = 60 см.^[3]
     

2. 

   2

   Теперь допустим, что абсолютная погрешность – это наименьшая единица измерения. Например, рулетка имеет миллиметровые деления, то есть ее наименьшей единицей является 1 мм. Таким образом, вы можете измерить расстояние с точностью до ± 1 мм; в этом случае абсолютная погрешность составляет 1 мм.

   • Это верно для любых измерительных инструментов или систем. Например, на корпус многих научных инструментов, таких как прецизионные весы и измерительные приборы, наносят маркировку об абсолютной погрешности в виде «± ____».

3. 

   3

   Не забудьте приписать соответствующие единицы измерения. Предположим, что абсолютная погрешность равна 2 м. Такая информация позволит наглядно представить величину ошибки. Но если вы записываете, что погрешность равна 2, то эта цифра ничего не значит. Используйте те же единицы измерения, которыми вы пользовались в ваших измерениях.^[4]
   

4. 

   4

   Попрактикуйтесь на нескольких примерах. Это наилучший способ научиться вычислять погрешность. Решите следующие задачи (ответы приведены в конце каждой задачи).

   • На уроке химии в результате реакции ученик получил вещество массой 32 г. Известно, что действительное значение выхода этой реакции равно 34 г. Абсолютная погрешность равна ± 2 г.
   • На уроке химии ученику необходимо 10 мл воды, чтобы вызвать реакцию; при этом погрешность капельницы составляет «± 0,5 мл». В этом случае абсолютная погрешность измерений равна ± 0,5 мл.

5. 

   5

   Уясните, что приводит к появлению погрешности и как ее устранить. Всякое научное исследование подразумевает наличие ошибок – даже в научных работах, за которые вручаются Нобелевские премии, сообщается о допущениях или погрешностях. Но если вы определите причину появления погрешности, вы, возможно, сможете устранить ее.^[5]
   

   • Человеческий фактор – наиболее распространенная причина появления ошибок. Сюда относятся неподобающие условия для проведения измерений и плохо продуманные эксперименты.
   • Одной из причин появления ошибок может являться внезапное отключение энергии, недостаточное количество рабочего материала или изменение других условий, например, нехватка воды в результате ее испарения, внезапное изменение температуры окружающей среды и так далее.
   • Еще одной причиной является несовершенство оборудования, используемого для измерений или исследований, например, прецизионных инструментов или горелок, которые обеспечивают неравномерное распределение тепла.^[6]
     

   Реклама

1. 

   1

   Разделите абсолютную погрешность на действительное значение исследуемой величины. Так вы вычислите относительную погрешность. Эта формула позволит вам выяснить, насколько полученное вами значение отличается от действительного значения изучаемой величины. Конечно, прекрасно, если относительная погрешность мала. Продолжим рассматривать пример с измерением расстояния между двумя деревьями.

   • Абсолютная погрешность равна 0,6 м, а действительное значение равно 6 м.
   • 0,6 м / 6 м
   • Относительная погрешность равна 0,1 м.^[7]
     

2. 

   2

   Полученный результат умножьте на 100, чтобы выразить относительную погрешность в процентах. Вы можете представить относительную погрешность в виде обыкновенной дроби, десятичной дроби или в процентах – в этом случае умножьте десятичную дробь на 100. Так вы узнаете, какой процент от полученного вами значения составляет погрешность. Если вы измеряете длину 60 м лодки, а погрешность составляет 0,6 м, то процент ошибки будет значительно меньше, чем при вычислении расстояния между деревьями (6 м) с погрешностью 0,6 м. Погрешность представляет собой небольшой процент от экспериментального значения. ^[8]
   

   • 0,6 м / 6 м = 0,1 м
   • 0,1 * 100 = 10% – относительная погрешность.

3. 

   3

   Вычислите относительную погрешность без нахождения абсолютной погрешности. Для этого выражение для вычисления абсолютной погрешности запишите в числителе выражения для нахождения относительной погрешности. Уяснив разницу между абсолютной и относительной погрешностями, нет необходимости отдельно вычислять абсолютную погрешность. Просто замените значение абсолютной погрешности на выражение для ее вычисления. Обратите внимание, что вертикальные черты обозначают абсолютную величину, то есть любое полученное значение нужно превратить в положительное.

   • Относительная погрешность: , где Е – экспериментальное значение, D – действительное значение.
   • Умножьте это выражение на 100, чтобы выразить относительную погрешность в процентах.^[9]
     

4. 

   4

   Не забудьте приписать соответствующие единицы измерения. Предположим, что абсолютная погрешность равна 2 м. Такая информация позволит наглядно представить величину ошибки. Но если вы записываете, что погрешность равна 2, то эта цифра ничего не значит. Также не имеет смысла указывать погрешность в виде процентов от ошибки (10% от 0,6 м) – следует писать, например, так: относительная погрешность равна 10%.^[10]
   

   Реклама

Советы

• Удостоверьтесь, что экспериментальное значение и действительное значение измеряются в одних единицах измерения. Например, если экспериментальное значение измеряется в сантиметрах, а действительное значение – в миллиметрах, преобразуйте одну из этих единиц измерения в другую.

Реклама

Предупреждения

• Убедитесь, что вы правильно округляете числа.

Реклама