Как найти относительную погрешность округления до десятых

Приближенное значение — число, которое получилось после округления.

Для записи результата округления используют знак «приблизительно равно» — ≈.

Округлить можно любое число — для всех чисел работают одни и те же правила.

Округлить число значит сократить его значение до сотых, десятков или тысячных, остальные значения откидываются. Это нужно в случаях, когда полная точность не нужна или невозможна.

Чтобы округлить натуральное число, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.

Правила округления чисел:

1. Подчеркнуть цифру разряда, до которого надо округлить число.

2.Отделить все цифры справа от этого разряда вертикальной чертой.

3. Если справа от подчеркнутой цифры стоит 0,1, 2, 3 или 4 — все цифры, которые отделены справа, заменяем нулями. Цифру разряда, до которой округляли, оставляем без изменений.

4.Если справа от подчеркнутой цифры стоит 5, 6, 7, 8 или 9 — все цифры, которые отделены справа, заменяем нулями. К цифре разряда, до которой округляли, прибавляем 1.

1 пример :

Итак, мы должны округлить 1456 до разряда десятков. Все действия округления производятся с конца числа . У 10 один ноль. Значит убирать с конца 1456 будем одну последнюю цифру 6 . Цифра 6 больше 5, значит по правилам округления , предыдущую цифру 5 будем увеличивать на 1. Теперь о существовании первых цифр 1 и 4 временно забываем. На месте удалённой цифры ставим ноль. Получаем в результате округления , число 1460

1456 ≈ 1460

2 пример:

Например, округлим число 123 до разряда десятков. Последняя цифра у этого числа 3 , она меньше 5. Значит по правилам округления, предыдущую цифру 2 , мы увеличивать не будем. Она останется без изменений. Итого получаем : 123 ≈ 120

Пример 3

Теперь попробуем округлить то же самое число 123, но уже до разряда сотен. У сотни два ноля. Значит будем убирать две последние цифры в числе . Итого получаем : 123 ≈ 100

Пример 4

Округлить число 1234 до разряда сотен. Ответ – 1234 ≈ 1200

Пример 5

Округлить число 1234 до разряда тысяч. У 1000 три ноля. Будем убирать три последние цифры в числе. В итоге получаем : 1234 ≈ 1000

Пример 6

Округлим число 675 до разряда десятков. Последняя цифра , которую мы будем убирать , равна 5. По правилам округления , будем предыдущую цифру увеличивать на один. Ответ : 675 ≈ 680

Пример 7

Теперь попробуем округлить то же самое число 675, но уже до разряда сотен. Ответ : 675 ≈ 700

Пример 8

Округлим число 9876 до разряда десятков. Ответ: 9876 ≈ 9880

Пример 9

Округлить число 9876 до разряда сотен. Ответ : 9876 ≈ 9900

Пример 10

Округлить число 9876 до разряда тысяч. У тысячи три ноля. Будем убирать три последние цифры в числе . Цифра 8 больше 5. Значит цифру 9 будем увеличивать на 1, а значит будет число 10 . Ответ : 9876 ≈ 10000

Пример 11

Округлить число 2971 до сотен. 29 +1 = 30 Ответ: 2971 ≈ 3000

ПРИМЕР 12

Давайте рассмотрим, как округлить число 57 861 до тысяч.

Округлим число 123 до десятков: 123 ≈ 120.

Округлим число 3581 до сотен: 3581 ≈ 3580.

Округлить число 697 до десятков — 697 ≈ 700;

Округлить число 980 до сотен — 980 ≈ 1000

Иногда уместно записать округленный результат с сокращениями «тыс.» (тысяча), «млн.» (миллион) и «млрд.» (миллиард). Вот так:

7 882 000 = 7 882 тыс.

1 000 000 = 1 млн.

ОКРУГЛЕНИЕ ДЕСЯТИЧНЫХ ДРОБЕЙ

Десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Такую дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Например дробь (одна вторая) 1/2.Делим 1 на 5 получаем ноль ЦЕЛЫХ и пять ДЕСЯТЫХ 0,5

При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, потому что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И у каждой из этих частей есть свои разряды:

Разряды целой части:

разряд единиц;

разряд десятков;

разряд сотен;

разряд тысяч.

Разряды дробной части:

разряд десятых;

разряд сотых;

разряд тысячных.

Чтобы округлить десятичную дробь, нужно в записи числа выбрать разряд, до которого производится округление.

Цифра, которая записана в данном разряде: не меняется, если следующая за ней справа цифра — 0,1, 2, 3 или 4;

увеличивается на единицу, если за ней справа следует цифра — 5, 6, 7, 8 или 9.

Пример 1.

256,43 ≈ 256,4 — округление до десятых;

4,578 ≈ 4,58 — округление до сотых;

17,935 ≈ 18 — округление до целых.

79,7 ≈ 80 — округление до десятков;

0,099 ≈ 0,10 — округление до сотых.

Если в разряде, до которого производится округление, стоит цифра 9 и необходимо ее увеличить на единицу, то в этом разряде записывается цифра 0, а цифра слева в предыдущем разряде увеличивается на 1.

==============================================================

Рассмотрим десятичную дробь 123,456 — сто двадцать три целых четыреста пятьдесят шесть тысячных. Здесь целая часть это 123, а дробная часть 456. При этом у каждой из этих частей есть свои разряды. Очень важно не путать их:

Для целой части применяются те же правила округления, что и для обычных чисел. Отличие в том, что после округления целой части и замены нулями всех цифр после сохраняемой цифры, дробная часть полностью отбрасывается.

Например, округлим дробь 123,456 до разряда ДЕСЯТКОВ . Именно до разряда десятков, А НЕ ДЕСЯТЫХ Очень важно не перепутать эти разряды. РАЗРЯД ДЕСЯТКОВ РАСПОЛАГАЕТСЯ В ЦЕЛОЙ ЧАСТИ , А РАЗРЯД ДЕСЯТЫХ В ДРОБНОЙ

Итак, мы должны округлить 123,456 до разряда десятков. Сохраняемая цифра здесь это 2, а первая из отбрасываемых цифр это 3

Ответ : 123,456 ≈ 120

Теперь попробуем округлить ту же самую дробь 123,456 до разряда единиц. Сохраняемая цифра здесь будет 3, а первая из отбрасываемых цифр это 4, которая находится в дробной части:

123,456 ≈ 123,0 ≈ 123

Попробуем округлить дробь 123,456 до разряда десятых.

Ответ : 123,456 ≈ 123,500

===================================================

На практике мы почти никогда не знаем точных значений величин. Никакие весы, как бы точны они ни были, не показывают вес абсолютно точно; любой термометр показывает температуру с той или иной ошибкой; никакой спидометр не может дать точных показаний скорости и т. д. К тому же наш глаз не в состоянии абсолютно правильно прочитать показания измерительных приборов. Поэтому, вместо того, чтобы иметь дело с истинными значениями величин, мы вынуждены оперировать их приближенными значениями.

На сколько отличается приближенное значение от точного?

Точное значение Приближенное значение

Разница

Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее.

Определение: Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значений.

Пример 1

Найди абсолютную погрешность приближенного значения, полученного в результате округления числа 124 до десятков

Выполни округление. Так как после разряда десятков 124 стоит цифра 4, цифру разряда, до которой идет округление, оставь без изменения и замени нулями все последующие цифры: 124 ≈ 120.

Найди абсолютную погрешность, то есть модуль разности точного и приближенного значений: |124 – 120| = 4.

Пример 2

Представь число (пять шестых) 5/6 в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Округли результат до сотых и найди абсолютную погрешность приближенного значения.

Относительная погрешность приближения показывает, какую часть или сколько процентов составляет абсолютная погрешность от приближенного значения числа. Чем меньше абсолютная погрешность по отношению к приближенному значению, тем лучше качество приближения, то есть относительная погрешность характеризует качество приближения. На производстве при изготовлении деталей пользуются штангенциркулем (для измерения глубины; диаметра: наружного и внутреннего).

Пример 3

Округли число 2,525 до десятых и найди относительную погрешность приближения, полученного при округлении.

Пример 4

Округли число 48,6 до десятков и найди относительную погрешность приближения, полученного при округлении в процентах.

Пример 5

Расстояние от города A до города B равно (125 ± 1) км. Длина карандаша равна (20 ± 1) cм. Найди, на сколько процентов выше качество измерения расстояния между городами, чем качество измерения длины карандаша, оценив разность их относительных погрешностей.

Пример 6

Общая протяженность реки Нура около 978 км. Оцени, с какой точностью нужно произвести измерения, чтобы относительная погрешность составляла 0,1%.

Пример 7

Цилиндрический поршень имеет около 0,035 м в диаметре. Оцени, с какой точностью нужно произвести измерения микрометром, чтобы относительная погрешность составляла 0,05%. Ответ запиши в миллиметрах в стандартном виде.

Материал взят из инета .

Определение относительной погрешности измерений

Например:

Для x = 1, $7 pm 0,2$ относительная погрешность измерений

$δ = frac{0,2}{1,7} cdot 100 text{%} approx 11,8 text{%} approx 12 text{%}$ – погрешность достаточно велика.

Примеры

Пример 1. Согласно данным эксперимента, проведенного в 1975 году, скорость света равна $c = 299 792 458 pm 1,2 м/с$. Найдите относительную погрешность измерений в этом эксперименте в долях и процентах.

$$ δ = frac{1,2}{299 792 458} approx 4,0 cdot 10^{-9} $$

$$δ = 4,0 cdot 10^{-9} cdot 100 text{%} approx (4,0 cdot 10^{-7} ) text{%} $$

Пример 2. В результате школьного эксперимента ускорение свободного падения оказалось равным $g = 10,0 pm 0,1 м/с^2$. Определите относительную погрешность для данного эксперимента, а также относительную погрешность по отношению к табличной величине $g_0 = 9,81 м/с^2$. Что вы можете сказать о систематической ошибке эксперимента?

Для данного эксперимента $δ = frac{0,1}{10,0} cdot 100 text{%} = 1,0 text{%} $

Относительная погрешность по отношению к табличной величине:

$$ δ_{таб} = frac{|g-g_0 |}{g_0} cdot 100 text{%}, δ_{таб} = frac{|10,0-9,81|}{9,81} cdot 100 text{%} approx 1,9 text{%} $$

Согласно полученным результатам $9,9 le g le 10,1$, табличное значение в этот отрезок не входит. В эксперименте присутствует систематическая ошибка: результаты систематически завышены.

Пример 3. При взвешивании масса слона оказалась равной $M = 3,63 pm 0,01$ т, а масса муравья $m = 41,2 pm 0,5$ мг. Какое измерение точнее?

Найдем относительные погрешности измерений:

$$ δ_M = frac{0,01}{3,63} cdot 100 text{%} approx 0,28 text{%} $$

$$ δ_m = frac{0,5}{41,2} cdot 100 text{%} approx 1,21 text{%} approx ↑1,3 text{%} $$

Таким образом, масса слона определена точнее.

Пример 4. Вольтметр измеряет напряжение с относительной погрешностью 0,5%. Найдите границы точного значения величины, если при измерении получено $V_0$ = 5 В.

Абсолютная погрешность измерений данным вольтметром:

$$ Delta V = V_0 cdot δ, Delta V = 5 cdot 0,005 = 0,025 (В) approx 0,03(В) $$

Границы точного значения:

$$ V = 5,00 pm 0,03 (В) или 4,97 le V le 5,03 (В) $$

38

Элементы теории погрешностей Основные определения

Определение
1: Приближенным
числом a
называют число, незначительно отличающееся
от точного числа А
и заменяющее последнее в вычислениях.

Определение
2:
Округление
числа –
это приближенное представление числа
в некоторой системе счисления с помощью
конечного количества разрядов. Возникающую
при этом погрешность называют погрешностью
округления
или ошибкой округления. Округляют как
исходные данные задачи, так и полученные
результаты вычислений.

Правила округления чисел

1. Если первая из
   отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся
   десятичные знаки сохраняются, например:
   25700203 25700200,

2. Если первая из
   отброшенных цифр больше 5, то к последней
   оставшейся цифре добавляется 1, например:
   25700267 
   25700300,

3. Если первая из
   отброшенных цифр равна 5, а среди
   остальных отброшенных цифр есть
   ненулевые, то к последней оставшейся
   цифре добавляется 1; например:
   2575002 
   2580000,

4. Если первая из
   отброшенных цифр равна 5, а все остальные
   отброшенные цифры равны нулю, то
   действует правило
   четной цифры:

1. если последняя
   оставшаяся цифра четная, то она
   сохраняется, например:
   256500 
   256000,

2. если последняя
   оставшаяся цифра нечетная, то она
   увеличи­вается на единицу, например:
   257500 
   258000.

Пример 1:
Пользуясь правилами округления чисел,
округлить:

1) до десятых долей:
73,47373,5;

2) до сотых долей:
73,47373,47.

Важное замечание.
Абсолютная погрешность округления по
правилам 14
не превосходит половины единицы разряда
последней оставленной цифры.

Типы погрешностей:

1. Исходные или
   неустранимые.
   К ним относятся погрешности, возникающие
   в результате приближенного описания
   реальных процессов и неточного задания
   исходных данных, а также погрешности,
   связанные с действиями над приближенными
   числами. Эти погрешности проходят через
   все вычисления и являются неустранимыми.

2. Погрешность
   метода
   (результат
   замены бесконечных процессов конечной
   последовательностью действий).

3. Погрешности округления Абсолютная и относительная погрешности (ап и оп)

Разность между
точным числом А
и его приближенным значением a
составляет ошибку или погрешность.

— приближенное
значение a
по недостатку,

— приближенное
значение a
по избытку.

Как правило, знак
ошибки нас не интересует, поэтому
пользуются абсолютной погрешностью.

Определение
3:
Абсолютная величина разности между
точным числом А
и его приближенными значениями а
называется абсолютной
погрешностью
приближенного числа а
и обозначается

Пример 2:
Пусть

Тогда абсолютная погрешность

Значение точного
числа А
всегда заключено в границах

Значение числа А
можно записать так:

.

По абсолютной
погрешности нельзя судить о том, насколько
точно или грубо произведено измерение
или вычисление, а именно, какую долю
в значении числа составляет погрешность
. В связи с этим вводится понятие
относительной погрешности.

Определение
4:
Относительной погрешностью
(ОП)

приближенного числа a
называется отношение абсолютной
погрешности

к модулю точного значения числа

т.е.

Так как точное
значение числа А,
как правило, неизвестно, то можно
воспользоваться формулой:

П той же причине
(А
неизвестно) вместо значений абсолютной
и относительной погрешности получают
их оценки
сверху,
котрые имеют вид:

   ,

и называются
верхними границами (или просто границами)
абсолютной и относительной погрешностей
соответственно.

В дальнейшем
мы будем пользоваться просто символами

и

,
имея в виду погрешности (если есть
возможность их найти) либо их оценки
сверху.

Пример
3:
Число 75,3
получено округлением. Оценить абсолютную
погрешность округления.

Решение:
Точное
значение числа неизвестно. Пользуясь
правилами округления чисел, можно
сказать, что абсолютная погрешность не
превышает (
)
0,05. Запишем это так: 75,3

или

.
В качестве границы абсолютной погрешности
берут по возможности наименьшее число.

Пример 4:
Пусть при измерении книги и длины стола
получены результаты

см и

см.

Найти относительную
погрешность измерения книги стола:

или 0,35%.

или 0,09%.

Таким образом,
измерение стола было произведено гораздо
точнее.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Абсолютная и относительная погрешности

Абсолютная погрешность приближения

Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях.

Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения. Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление.

Для определения точности измерений (вычислений) вводят такое понятие как погрешность приближения. По-другому его называют абсолютной погрешностью.

Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением числа и его приближенным значением.

где х — это точное значение числа, а — его приближенное значение.

Например, в результате измерений было получено число . Однако в результате вычисления по формуле точное значение этого числа . Тогда абсолютная погрешность приближения

В случае с бесконечными дробями погрешность приближения определяется по той же формуле. На месте точного числа записывается сама бесконечная дробь. Например, . Здесь получается, что абсолютная погрешность приближения выражена иррациональным числом.

Приближение может выполняться как по недостатку, так и по избытку.

То же число π при приближении по недостатку с точностью до 0,01 равно 3,14, а при приближении по избытку с точностью до 0,01 равно 3,15.

Правило округления: если первая отбрасываемая цифра равна пяти или больше пяти, то выполняется приближение по избытку; если же меньше пяти, то по недостатку.

Например, т.к. третьей цифрой после запятой у числа π является 1, то при приближении с точностью до 0,01 оно выполняется по недостатку.

Вычислим абсолютные погрешности приближения до 0,01 числа π по недостатку и по избытку:

Как видим, абсолютная погрешность приближения по недостатку меньше, чем по избытку. Значит, приближение по недостатку в этом случае обладает более высокой точностью.

Относительная погрешность приближения

Абсолютная погрешность обладает одним важным недостатком – оно не позволяет оценить степень важности ошибки.

Например, покупаем мы на рынке 5 кг картофеля, а недобросовестный продавец при измерении веса ошибся на 50 г в свою пользу. Т.е. абсолютная погрешность составила 50 г. Для нас такая оплошность будет сущей мелочью и мы даже не обратим на неё внимания. А если при приготовлении лекарства произойдёт подобная ошибка? Тут уже всё будет намного серьёзней. А при загрузке товарного вагона наверняка возникают отклонения намного больше данного значения.

Поэтому сама по себе абсолютная погрешность малоинформативная. Кроме неё очень часто дополнительно рассчитывают относительное отклонение.

Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к точному значению числа.

Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.

Приведём несколько примеров.

Пример 1.  На предприятии 1284 рабочих и служащих. Округлить количество работающих до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах). Сделать вывод.

Итак, , .

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Значит, точность приближения с недостатком выше, чем точность приближения с избытком.

Пример 2. В школе 197 учащихся. Округлить количество учащихся до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах). Сделать вывод.

Итак, , .

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Значит, точность приближения с избытком выше, чем точность приближения с недостатком.

1. Найдите абсолютную погрешность приближения:

1. числа 2,87 числом 2,9; числом 2,8;

2. числа 0,6595 числом 0,7; числом 0,6;

3. числа числом ;

4. числа числом 0,3;

5. числа 4,63 числом 4,6; числом 4,7;

6. числа 0,8535 числом 0,8; числом 0,9;

7. число числом ;

8. число числом 0,2.

1. Приближённое значение числа х равно а. Найдите абсолютную погрешность приближения, если:

1. Запишите в виде двойного неравенства:

1. Найдите приближённое значение числа х, равное среднему арифметическому приближений с недостатком и избытком, если:

1. Докажите, что среднее арифметическое чисел а и b является приближённым значением каждого из этих чисел с точностью до .

1. Округлите числа:

до десятков	до единиц	до десятых
до тысячных	до тысяч	до стотысячных
до единиц	до десятков	до десятых
до тысячных	до сотен	до десятитысячных

1. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и округлите её до тысячных и найдите абсолютную погрешность:

1. Докажите, что каждое из чисел 0,368 и 0,369 является приближённым значением числа с точностью до 0,001. Какое из них является приближённым значением числа с точностью до 0,0005?

1. Докажите, что каждое из чисел 0,38 и 0,39 является приближённым значением числа с точностью до 0,01. Какое из них является приближённым значением числа с точностью до 0,005?

1. Округлите число до единиц и найдите относительную погрешность округления:

2,1	5,12	9,736	49,54
1,7	9,85	5,314	99,83

1. Представьте каждое из чисел и в виде десятичной дроби. Округлив полученные дроби до десятых, найдите абсолютную и относительную погрешности приближений.

1. Представьте каждое из чисел и в виде десятичной дроби. Округлив полученные дроби до десятых, найдите абсолютную и относительную погрешности приближений.

1. Радиус Земли равен 6380 км с точностью до 10 км. Оцените относительную погрешность приближённого значения.

1. Наименьшее расстояние от Земли до Луны равно 356400 км с точностью до 100 км. Оцените относительную погрешность приближения.

1. Сравните качества измерения массы М электровоза и массы т таблетки лекарства, если т (с точностью до 0,5 т), а г (с точностью до 0,01 г).

1. Сравните качества измерения длины реки Волги и диаметра мячика для настольного тенниса, если км (с точностью до 5 км) и мм (с точностью до 1 мм).

3