Как найти относительную погрешность в математике

Определение относительной погрешности измерений

Например:

Для x = 1, $7 pm 0,2$ относительная погрешность измерений

$δ = frac{0,2}{1,7} cdot 100 text{%} approx 11,8 text{%} approx 12 text{%}$ – погрешность достаточно велика.

Примеры

Пример 1. Согласно данным эксперимента, проведенного в 1975 году, скорость света равна $c = 299 792 458 pm 1,2 м/с$. Найдите относительную погрешность измерений в этом эксперименте в долях и процентах.

$$ δ = frac{1,2}{299 792 458} approx 4,0 cdot 10^{-9} $$

$$δ = 4,0 cdot 10^{-9} cdot 100 text{%} approx (4,0 cdot 10^{-7} ) text{%} $$

Пример 2. В результате школьного эксперимента ускорение свободного падения оказалось равным $g = 10,0 pm 0,1 м/с^2$. Определите относительную погрешность для данного эксперимента, а также относительную погрешность по отношению к табличной величине $g_0 = 9,81 м/с^2$. Что вы можете сказать о систематической ошибке эксперимента?

Для данного эксперимента $δ = frac{0,1}{10,0} cdot 100 text{%} = 1,0 text{%} $

Относительная погрешность по отношению к табличной величине:

$$ δ_{таб} = frac{|g-g_0 |}{g_0} cdot 100 text{%}, δ_{таб} = frac{|10,0-9,81|}{9,81} cdot 100 text{%} approx 1,9 text{%} $$

Согласно полученным результатам $9,9 le g le 10,1$, табличное значение в этот отрезок не входит. В эксперименте присутствует систематическая ошибка: результаты систематически завышены.

Пример 3. При взвешивании масса слона оказалась равной $M = 3,63 pm 0,01$ т, а масса муравья $m = 41,2 pm 0,5$ мг. Какое измерение точнее?

Найдем относительные погрешности измерений:

$$ δ_M = frac{0,01}{3,63} cdot 100 text{%} approx 0,28 text{%} $$

$$ δ_m = frac{0,5}{41,2} cdot 100 text{%} approx 1,21 text{%} approx ↑1,3 text{%} $$

Таким образом, масса слона определена точнее.

Пример 4. Вольтметр измеряет напряжение с относительной погрешностью 0,5%. Найдите границы точного значения величины, если при измерении получено $V_0$ = 5 В.

Абсолютная погрешность измерений данным вольтметром:

$$ Delta V = V_0 cdot δ, Delta V = 5 cdot 0,005 = 0,025 (В) approx 0,03(В) $$

Границы точного значения:

$$ V = 5,00 pm 0,03 (В) или 4,97 le V le 5,03 (В) $$

Абсолютная и относительная погрешность

Абсолютной погрешностью или, короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее)

Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 – 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 – 1280 = 4.

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной по-
грешности приближенного числа к самому этому числу.

Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200 – 197 = 3. Относительная погрешность равна    или округлено 

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Пример 3. Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая — 50 г.
Взвешивание дало 3600 г. Это число — приближенное. Точная масса арбуза неизвестна. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.

В примере 3 за предельную абсолютную погрешность можно взять 50 г, а за предельную относительную погрешность — 1,4%.

Величина предельной погрешности не является вполне определенной. Так, в примере 3 можно принять за предельную абсолютную погрешность 100 г, 150 г и вообще всякое число, большее чем 50 г. На практике берется по возможности меньшее значение предельной погрешности. В тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит одновременно предельной погрешностью.

Для каждого приближенного числа должна быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда она прямо не указана, подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено приближенное число 4,78 без указания предельной погрешности, то
подразумевается, что предельная абсолютная погрешность составляет 0,005. Вследствие этого соглашения всегда можно обойтись без указания предельной порешности числа, округленного по правилам.

Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой  («дельта»); предельная относительная погрешность — греческой буквой 5 («дельта малая»). Если приближенное число обозначить буквой а, то     

Пример 4. Длина карандаша измерена линейкой с миллиметровыми делениями. Измерение показало 17,9 см. Какова предельная относительная погрешность этого измерения?

Здесь а — 17,9 см; можно принять А — 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, а значительно уменьшить предельную погрешность не удастся. Относительная погрешность равна   Округляя находим 

Пример 5. Цилиндрический поршень имеет около 35 мм в диаметре. С какой точностью нужно его
измерить микрометром, чтобы предельная относительная погрешность составляла 0,05%?

Решение. По условию, предельная относительная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм.
Следовательно, предельная абсолютная погрешность равна          или, усиливая, 0,02 (мм).

Можно воспользоваться формулой        Подставляя в нее a=35,  b=0,0005,  имеем   Значит  

ПРИМЕР:

Для измерения длины болта использованы метровая линейка с
делениями  0,5 см  и линейка с
делениями  1 мм. В обоих случаях получен результат  3,5
см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины  3,5
см  от истинной, не
должно по модулю превышать  0,5 см, во втором случае 
0,1 см.

Если этот же результат получится при измерении
штангенциркулем, то

p(l; 3,5) = |l – 3,5 ≤ 0,01|.

Данный пример показывает зависимость абсолютной
погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности
измерительных приборов. В одном случае  ∆l = 0,5  и, следовательно,

3
≤ l ≤ 4,

в другом – ∆l = 0,1  и

3,4
≤ l ≤ 3,6.

ПРИМЕР:

Длина листа бумаги формата  А4  равна  (29,7 ± 0,1)
см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно  (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае
не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо
сравнить точность этих измерений.

РЕШЕНИЕ:

Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому,
что величина абсолютной  погрешности не
превышает  1 мм, то вы ошибаетесь.
Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.

При измерении длины листа абсолютная погрешность не
превышает  0,1 см на  29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет

0,1
: 29,7 ∙ 100% ≈ 0,33%

измеряемой величины.

Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до
Москвы, то абсолютная погрешность не превышает 
1 км 
на  650 км, что в процентном соотношении составляет

1
: 650 ∙ 100% ≈ 0,15%

измеряемой величины.

Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем
длинна листа формата  А4.

Истинное значение
измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и
действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения.
Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной
погрешности измерения.

Относительная погрешность.

Абсолютная
погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения.
Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная
погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.

Относительная погрешность –
это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения
измеряемой величины, выраженная в долях или процентах. 

Относительная
погрешность величина всегда положительная. Это следует из того, что абсолютная погрешность
всегда положительная величина, и мы делим её на модуль приближённого значения
измеряемой величины, а модуль тоже всегда положителен.

ПРИМЕР:

Округлим дробь  14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого
значения:

14,7 ≈ 15,

Для вычисления
относительной погрешности, кроме приближённого значения, нужно знать ещё и
абсолютную погрешность. Обычно абсолютная погрешность неизвестна, поэтому
вычислить относительную погрешность нельзя. В таких случаях ограничиваются
оценкой относительной погрешности.

ПРИМЕР:

При измерении в (сантиметрах) толщины 
b 
стекла и длины  l  книжной полки
получили следующие результаты:

b ≈ 0,4 с
точностью до  0,1,

l ≈ 100 с
точностью до  0,1.

Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не
превосходит  0,1. Однако  0,1  составляет
существенную часть числа  0,4  и
ничтожную часть числа  100. Это показывает, что качество второго
измерения намного выше, чем первого.

В результате измерения нашли,
что  b ≈ 0,4  с точностью до  0,1, то
есть абсолютная погрешность измерения не превосходит  0,1.
Значит, отношение абсолютной погрешности к приближённому значению меньше или равно

то есть относительная погрешность приближения не превосходит  25%.

Аналогично найдём, что
относительная погрешность приближения, полученного при измерении длины полки,
не превосходит

Говорят, что в первом случае измерение выполнено с
относительной точностью до  25%,
а во втором – с относительной точностью до  0,1%.

ПРИМЕР:

Если взять абсолютную погрешность в  1
см,  при измерении длины отрезков  10
см  и  10
м, то относительные погрешности будут соответственно равны  10%  и  0,1%. Для
отрезка длиной в  10 см  погрешность
в  1
см  очень велика, это ошибка в  10%. А для десятиметрового отрезка  1 см  не имеет значения, эта ошибка всего в   0,1%.

Чем меньше относительная погрешность
измерения, тем оно точнее.

Различают
систематические и случайные погрешности.

Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при
повторных измерениях.

Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате
воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё
значение.

В большинстве
случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и
точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что
погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

ПРИМЕР:

Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе
наименьшая гиря – 50
г. Взвешивание показало  3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза
неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает  50
г. Относительная погрешность не превосходит 

⁵⁰/₃₆₀₀ ≈
1,4%.

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной
погрешностью.

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной
погрешностью.

В предыдущем примере
за предельную абсолютную погрешность можно взять  50 г, а за предельную относительную погрешность  1,4%.

Величина предельной
погрешности не является вполне определённой. Так в предыдущем примере можно
принять за предельную абсолютную погрешность 
100 г, 150 г  и вообще всякое
число, большее чем  50 г.
На практике берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. В
тех случаях, когда известна точная величина погрешности, эта величина служит
одновременно предельной погрешностью. Для каждого приближённого числа должна
быть известна его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Когда
она прямо не указана, подразумевается что предельная абсолютная погрешность
составляет половину единицы последнего выписанного разряда. Так, если приведено
приближённое число  4,78  без указания предельной погрешности, то подразумевается,
что предельная абсолютная погрешность составляет  0,005. В следствии этого соглашения всегда можно обойтись без указания
предельной погрешности числа.

Предельная
абсолютная погрешность обозначается греческой буквой  ∆ (<<дельта>>),
предельная относительная погрешность – греческой буквой  δ
(<<дельта малая>>). Если приближённое число обозначить буквой  а, 

1) Абсолютная погрешность.

Абсолютную погрешность принято обозначать прописной греческой буквой дельта (Δ).

Чтобы найти абсолютную погрешность, следует воспользоваться формулой:

Δ = |x – x0|

где

Δ — абсолютная погрешность;

x — приближённое (практическое) значение измеряемой величины;

x0 — точное (истинное/теоретическое) значение измеряемой величины.

Абсолютная погрешность имеет ту же единицу измерения, что и измеряемая величина. Например: если измеряемая величина измеряется в метрах, то и абсолютная погрешность будет измеряться в метрах; если изм. величину мы измеряем в килограммах, то и абсолютную погрешность — тоже в килограммах. И так далее.

2) Относительная погрешность.

Относительная погрешность, как правило, обозначается строчной греческой буквой дельта (δ).

Чтобы найти относительную погрешность, следует воспользоваться формулой:

δ = |x – x0|/x0

где

δ — относительная погрешность;

x — приближённое (практическое) значение измеряемой величины;

x0 — точное (истинное/теоретическое) значение измеряемой величины.

Относительная погрешность является безразмерной величиной. Относительная погрешность либо имеет единицу измерения 1 (доли единицы), либо измеряется в процентах.

Чтобы перевести относительную погрешность из долей единицы в проценты, необходимо умножить её на 100.

δ (%) = δ * 100 = (|x – x0|/x0) * 100

Для примера рассмотрим такую задачу.

Ученик измерял линейкой длину карандаша. В результате измерений ученик получил результат, равный 152 мм. Истинная же длина карандаша, измеренная штангенциркулем, равняется 151,7 мм. Вопрос: чему равна абсолютная и относительная погрешность результата измерений ученика?

Дано:

x = 152 мм;

x0 = 151,7 мм.

Найти:

Δ — ?

δ — ?

Решение.

1) Найдём абсолютную погрешность.

Δ = |x – x0| = |152 мм – 151,7 мм| = |0,3 мм| = 0,3 мм.

2) Найдём относительную погрешность.

δ = |x – x0|/x0 = (|152 мм – 151,7 мм|/151,7 мм) * 100% = (0,3 мм : 151,7 мм) * 100% = 0,198 %.

Ответ: Δ = 0,3 мм; δ = ок. 0,198 % (приближённое значение).