Абсолютная и относительная погрешность
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2181.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2181.
Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.
Опыт работы учителем математики – более 33 лет.
Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.
Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
- при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
- при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
- при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.
Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
Что мы узнали?
Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
-
Светлана Лобанова-Асямолова
10/10
-
Валерий Соломин
10/10
-
Анастасия Юшкова
10/10
-
Ксюша Пономарева
7/10
-
Паша Кривов
10/10
-
Евгений Холопик
9/10
-
Guzel Murtazina
10/10
-
Максим Аполонов
10/10
-
Olga Bimbirene
9/10
-
Света Колодий
10/10
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2181.
А какая ваша оценка?
Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
- Шкала измерительного прибора
- Цена деления
- Виды измерений
- Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
- Абсолютная погрешность серии измерений
- Представление результатов эксперимента
- Задачи
п.1. Шкала измерительного прибора
Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.
Примеры шкал различных приборов:
п.2. Цена деления
Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.
Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.
Пример определения цены деления:
 |
Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*} |
п.3. Виды измерений
Вид измерений
Определение
Пример
Прямое измерение
Физическую величину измеряют с помощью прибора
Измерение длины бруска линейкой
Косвенное измерение
Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений
Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине
п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.
Составляющие погрешности измерений
Причины
Инструментальная погрешность
Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)
Погрешность метода
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Погрешность теории (модели)
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$
Если величина (a_0) – это истинное значение, а (triangle a) – погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).
Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$
Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$
Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.
Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.
Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:
- определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
- определение объема с помощью мензурки.
Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:
 |
Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$ |
 |
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$ |
Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.
п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).
Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.
Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).
Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.
Составим расчетную таблицу:
| № опыта | 1 | 2 | 3 | Сумма |
| Масса, г | 99,8 | 101,2 | 100,3 | 301,3 |
| Абсолютное отклонение, г | 0,6 | 0,8 | 0,1 | 1,5 |
Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}
п.6. Представление результатов эксперимента
Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.
Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.
Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то
- абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$
- абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$
Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:
- относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$
- относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$
Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:
- относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности
$$ delta_{a^2}=2delta_a $$
- относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности
$$ delta_{a^3}=3delta_a $$
- относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна
$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$
Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.
п.7. Задачи
Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно? 
Составим таблицу для расчета цены деления:
| № мензурки | a, мл | b, мл | n | (triangle=frac{b-a}{n+1}), мл |
| 1 | 20 | 40 | 4 | (frac{40-20}{4+1}=4) |
| 2 | 100 | 200 | 4 | (frac{200-100}{4+1}=20) |
| 3 | 15 | 30 | 4 | (frac{30-15}{4+1}=3) |
| 4 | 200 | 400 | 4 | (frac{400-200}{4+1}=40) |
Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):
| № мензурки | Объем (V_0), мл | Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл |
Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%}) |
| 1 | 68 | 2 | 3,0% |
| 2 | 280 | 10 | 3,6% |
| 3 | 27 | 1,5 | 5,6% |
| 4 | 480 | 20 | 4,2% |
Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.
Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?
Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.
Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})
Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})
Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования
«МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРОДОВОЛЬСТВИЯ»
Кафедра физики
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ОШИБОК ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ И КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Методические указания к лабораторной работе № 0 по разделу “Механика и молекулярная физика” курса общей физики
для студентов всех специальностей дневной и заочной формы обучения
Могилев 2011
1
Рассмотрены и рекомендованы к изданию
на заседании кафедры физики Протокол № 9 от 12 мая 2011 г.
Составители: ассистент Пусовская Т.И.
Рецензент:
кандидат физико математических наук, доцент УО МГУП В.Л.Малышев.
УДК 532.516 ©УО «Могилевский государственный
университет продовольствия», 2011
2
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 0
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ ОШИБОК ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ И КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: определение плотности твердого тела правильной геометрической формы; расчет абсолютной и относительной погрешностей измерений.
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: весы, разновесы, штангенциркуль, образец исследуемого вещества (цилиндр).
1ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
При проведении экспериментальных исследований и обработке
результатов измерений получаемые значения величин в большинстве случаев являются приближенными.
Измерением называется нахождение значения определяемой величины опытным путем с помощью специальных технических средств, устройств или приборов. Измерения делятся на прямые и косвенные.
Прямым измерением называется измерение, при котором значение определяемой величины находится непосредственно считыванием по шкале измерительного инструмента или прибора. Например, измерение длины линейкой или времени секундомером.
Косвенное измерение – это измерение, при котором значение величины находится путем расчета по формуле, в которой фигурируют величины, определяемые путем прямых измерений. Например, необходимо определить объем параллелепипеда. Для этого можно воспользоваться формулой V a b c . Вычисление объема тела относится к косвенным измерениям, так как искомая величина объема V задается как функция величин, определяемых путем прямых измерений, в нашем случае длины а, ширины b и высоты c параллелепипеда.
1.1 Погрешности измерений
При выполнении любых измерений получают не абсолютно точные, а приближенные значения искомых величин. Иными словами, результаты измерений имеют погрешность (ошибку) измерений.
Погрешности делятся на приборные, случайные и промахи. Промахи – ошибки, вызванные чаще всего внезапной поломкой прибора или невнимательностью экспериментатора. Результаты, которые не попали в доверительный интервал при очень высокой вероятности, например р=0,99, являются промахами. Этот результат в расчетах обычно не учитывается (отбрасывается).
3
За истинное значение измеряемой величины, как правило, принимают среднее значение. Если x – измеряемая величина, то
|
n |
||||||
|
xi |
||||||
|
xср. x |
i 1 |
, |
(1) |
|||
n
где n– число измерений, i – порядковый номер измерения.
1.2 Абсолютная погрешность
В большинстве случаев xi x , поэтому считают
где x – абсолютная погрешность, которая показывает отклонение измеряемой величины от ее среднего значения.
В соответствии с теорией ошибок причинами появления абсолютной погрешности могут быть приборные и случайные ошибки. Вычисление абсолютной погрешности осуществляется по формуле
|
x |
x |
2 |
x 2 |
, |
(3) |
|
приб. |
сл. |
где xприб.– приборная погрешность, т.е. погрешность прибора, которым выполняют прямое измерение;
xсл. – случайная погрешность.
1.3Определение приборных погрешностей xприб.
1.3.1 В отдельных случаях значение xприб. указано на шкале прибора, в инструкции по его эксплуатации или известно из ГОСТов. Если такой возможности нет, то значение xприб. может осуществляется различными способами.
1.3.2В приборах с дискретным (прерывистым, скачкообразным) измерением (секундомер, пересчетные устройства и т.п.)
за xприб. принимают цену деления прибора.
Цена деления – минимальная разница между соседними делениями шкалы прибора.
1.3.3В приборах непрерывного измерения (линейка, рулетка,
термометр)
за xприб. принимают ½ цены деления прибора.
1.3.4На электроизмерительных приборах обычно указан класс точности (КТ). КТ указывается в процентах и определяется формулой:
|
xприб. |
КТ x |
|||||
|
КТ |
100% |
. Следовательно |
x |
max |
, |
|
|
xmax |
приб. |
100% |
||||
где xmax – предел измерения прибора (максимальная величина, которую можно измерить данным прибором)
4
1.4 Ошибка округления
Если значение используемой при расчетах косвенно измеряемой величины х задано некоторым числом, то при вычислении погрешности следует учитывать ошибку округления. Данная ошибка определяется как единица последнего разряда числа, деленная пополам.
|
Пример 1. При использовании в расчетах числа |
взятого с точностью |
|
до двух знаков 3,14 ошибка округления составляет |
=0,01/2=0,005. Если |
|
ускорение свободного падения g принять равным |
9,8 м/с2, то ошибка |
|
округления составит ∆g= 0,05 м/с2. |
1.5 Случайная погрешность
Случайная погрешность xсл. вычисляется по формуле:
|
n |
( x )2 |
, |
(4) |
|
xсл. n, p |
i |
||
|
i 1 |
n(n 1) |
||
|
где τn,p – коэффициент Стьюдента (находится по таблице), |
|||
|
n – число измерений, |
|||
|
р – доверительная вероятность, которая показывает |
вероятность того, |
что результат отдельного измерения отличается от истинного значения на величину, не большую, чем x.
Коэффициент Стьюдента определяется по таблице в зависимости от доверительной вероятности и числа измерений. При проведении лабораторных исследований в учебном процессе доверительная вероятность р принимается равной 0,95. Если число измерений равно 3, то в таблице находим значение коэффициента Стьюдента равное 4,3.
1.6 При прямых измерениях, если опыт проводится 1 раз, случайная погрешность xсл =0, следовательно, исходя из формулы (3), абсолютная
|
погрешность |
x = |
xприб.. |
|||||||||
|
Если опыт проводится 2 и более раз, тогда необходимо использовать |
|||||||||||
|
формулу (3). |
|||||||||||
|
Пример 2. Высоту h |
измерили 3 раза линейкой. Получили h1 , h2, h3. |
||||||||||
|
Используя формулу (3), находим абсолютную погрешность: |
|||||||||||
|
h |
h |
2 |
h |
2 . |
|||||||
|
приб. |
сл. |
||||||||||
|
Приборная погрешность |
hприб = 0,5∙10-3 (м). |
||||||||||
|
Случайная погрешность определяется, исходя из формулы (4): |
|||||||||||
|
h |
2 |
h |
2 |
h |
2 |
||||||
|
hсл. |
4, 3 |
1 |
2 |
3 |
, |
||||||
|
3(3 |
1) |
||||||||||
где ∆h1= h h1 ,
∆h2= h h2 , ∆h3= h h3 .
5
1.7 Относительная погрешность
Абсолютная погрешность измерения не несет в себе всей полноты информации о точности метода (например, одинаковые ∆x=0.1 м при изготовлении мебели и измерении расстояния между населенными пунктами имеют существенно различный смысл). Поэтому используется
относительная погрешность измерения Е.
Относительная погрешность (Е) прямого измерения определяется по формуле:
|
E |
x |
100% , |
(5) |
|
|
x |
||||
где ∆x – абсолютная погрешность измерения, сравнивается со значением измеряемой величины x ,
x – среднее значение измеряемой величины.
Пусть величина x задана формулой
|
x |
anbm |
. |
|||||||||||||
|
ck |
|||||||||||||||
|
Вычисление величины x – косвенное измерение, |
тогда его относительная |
||||||||||||||
|
погрешность (Е) определяется по формуле: |
|||||||||||||||
|
x |
a 2 |
b 2 |
c |
2 |
|||||||||||
|
E |
n |
m |
k |
(6) |
|||||||||||
|
x |
a |
b |
c |
||||||||||||
|
Пример 3 |
Необходимо |
рассчитать |
относительную погрешность |
||||||||||||
|
измерения площади S |
прямоугольника. |
Так |
как площадь фигуры |
||||||||||||
|
определяется по формуле |
|||||||||||||||
|
S = a b, |
где a – длина прямоугольника, м; b – ширина, м,
то относительная погрешность Е ,исходя из формулы (6), рассчитывается как
|
S |
a 2 |
b |
2 |
|||||||
|
E |
. |
|||||||||
|
S |
a |
b |
||||||||
Пример 4 Площадь S круга находится по формуле
|
S |
d 2 |
, |
|
|
4 |
|||
где d – диаметр круга, м.
Относительная погрешность измерения его площади
|
E |
S |
2 |
2 |
d |
2 . |
|||
|
S |
d |
|||||||
6
Применим эти теоретические знания к лабораторной работе.
Цель работы – определить плотность вещества, из которого изготовлен цилиндр, и рассчитать погрешность. Как известно, плотность тела
|
определяется по формуле: |
|||||
|
m |
, |
(7) |
|||
|
V |
|||||
|
где m – масса тела, кг; |
|||||
|
V – объем тела, м3. |
|||||
|
Объем цилиндра V равен |
|||||
|
V = S h, |
(8) |
||||
|
где h – высота цилиндра, м; |
|||||
|
S – площадь основания цилиндра , м2. |
|||||
|
Площадь основания S цилиндра – круг, следовательно |
|||||
|
S |
D2 |
, |
(9) |
||
|
4 |
|||||
где D – диаметр цилиндра, м.
Подставим формулы (8) и (9) в формулу (7), получаем рабочую формулу:
где m – масса тела, кг;
D – диаметр цилиндра, м; h – высота цилиндра, м.
Используя теоретическое введение, получим формулу для подсчета относительной погрешности измерения Е:
|
E |
, |
(11) |
||||||||||
|
где |
– среднее значение плотности материала, из которого изготовлен |
|||||||||||
|
цилиндр. |
||||||||||||
|
4m |
, |
(12) |
||||||||||
|
D 2 h |
||||||||||||
где m – масса тела, кг;
h – среднее значение высоты цилиндра, м; D – среднее значение диаметра цилиндра, м.
Следовательно,
|
E |
m 2 |
2 |
2 |
D 2 |
h |
2 . |
(13) |
|||||||
|
m |
D |
h |
||||||||||||
|
7 |
2 ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1С помощью аналитических весов 1 раз измеряем массу цилиндра
2Поворачивая цилиндр вокруг своей оси, штангенциркулем измеряем 3 раза высоту цилиндра h . Находим среднее значение h . Данные
|
h1, h2, h3 и |
h заносим в таблицу 1. |
||||||||||||||||||||
|
3 В разных сечениях измеряем штангенциркулем 3 раза диаметр |
|||||||||||||||||||||
|
цилиндра |
D . Находим |
среднее |
значение |
D . Данные |
D1,D2,D3 и D |
||||||||||||||||
|
записываем в таблицу 1. |
|||||||||||||||||||||
|
Таблица 1 – Вычисление средней плотности |
|||||||||||||||||||||
|
m |
D |
D |
h |
h |
(кг/м3) |
||||||||||||||||
|
(кг) |
(м) |
(м) |
(м) |
(м) |
|||||||||||||||||
|
4 |
Все средние значения h и |
D подставляем в формулу (12) и |
||||
|
вычисляем среднее значение плотности |
металла, из которого изготовлен |
|||||
|
данный цилиндр. |
||||||
|
5 |
Определяем абсолютную погрешность измерений. |
5.1 Рассчитываем погрешность единичных измерений высоты и диаметра цилиндра (смотри Пример 2, стр.5)
|
, |
||||||
|
hi |
h |
hi |
||||
|
Di |
D |
Di |
, |
Результаты расчетов записываем в таблицу 2.
Таблица 2 – Результаты расчетов погрешностей измерений
|
№ |
hi |
hсл. |
hпр. |
h |
Di |
Dсл. |
Dпр. |
D |
1
2
3
8
5.2 Вычисляем случайные ошибки измерения высоты и диаметра:
|
h 2 |
||||||||||||||||||
|
hсл. |
tn, p |
i |
, |
|||||||||||||||
|
n(n |
1) |
|||||||||||||||||
|
D 2 |
||||||||||||||||||
|
D |
t |
i |
, |
|||||||||||||||
|
n, p |
||||||||||||||||||
|
сл. |
n(n |
1) |
||||||||||||||||
|
где коэффициент Стьюдента tn,p=4,3, если число измерений n=3. |
||||||||||||||||||
|
Полученные значения |
hсл. и Dсл. подставляем в таблицу 2. |
|||||||||||||||||
|
5.3 |
Определяем полную абсолютную погрешность высоты и диаметра |
|||||||||||||||||
|
цилиндра. |
||||||||||||||||||
|
h |
h |
2 |
h |
2 |
, |
|||||||||||||
|
сл. |
приб. |
|||||||||||||||||
|
D |
D |
2 |
D |
2 , |
||||||||||||||
|
сл. |
приб. |
|||||||||||||||||
|
где |
hпр. |
и |
Dпр. |
– |
приборные погрешности штангенциркуля (0,1 мм |
|||||||||||||
|
либо 0,05 мм). |
||||||||||||||||||
|
5.4 Массу цилиндра измеряли 1 раз, следовательно, абсолютная |
||||||||||||||||||
|
погрешность |
измерения |
массы |
m |
mприб. . Приборная погрешность |
||||||||||||||
|
аналитических весов |
m |
составляет |
m |
=5∙10-5кг. |
||||||||||||||
|
приб. |
приб. |
6 Рассчитываем относительную погрешность определения плотности материала цилиндра Е по формуле (13).
При выполнении расчетов принимаем =3,14, а ошибку округления
=0,005.
7 Вычисляем абсолютную погрешность определения плотности: 
= 
E .
8Окончательный результат представляем в виде:
9Для того, чтобы определить из какого материала изготовлен цилиндр, сравниваем полученное значение плотности вещества 
с данными
из таблицы 3.
Таблица 3 – Плотности некоторых твердых тел
|
Вещество |
Плотность |
|
(кг/м3) |
|
|
Алюминий |
2600 |
|
Медь |
8600 |
|
Свинец |
11300 |
|
Сталь |
7700 |
|
Олово |
7200 |
|
9 |
При выполнении расчетов необходимо пользоваться правилами приближенных вычислений ( смотри приложение 1).
3 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1Какие измерения называются прямыми, а какие косвенными?
2Приборные погрешности и возможности определения приборных погрешностей.
3Определение абсолютной погрешности при прямых измерениях.
4Определение относительной погрешности при прямых измерениях.
5Определение относительной погрешности при косвенных измерениях.
6Как определяется абсолютная погрешность при однократном измерении величины?
7Как определяется случайная ошибка?
4 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1Трофимова Т.И. Курс физики/Т.И. Трофимова. – М.: Высшая школа, 2008. -558c.
2Детлаф А.А. Курс физики: учеб. пособие/. А.А Детлаф, Б.М. Яворский . – 4-е изд., испр.- М.: Академия, 2005 – 720 с.
3Савельев И. В. Курс общей физики: учеб. пособие. В 5 кн. Кн. 1. Механика/ И. В. Савельев. – М.: АСТ, Астрель, 2006 – 336 с.
4Е.М.Гершензон А.Н.Мансуров. Лабораторный практикум по общей и экспериментальной физике. Москва, Академия, 2004 –
10
Татьяна Тен
Знаток
(380),
на голосовании
3 года назад
чтобы его объем можно было вычислить с точностью до 0.1м^3? Число ПИ взять с тремя верными цифрами. Ошибкой числа ПИ пренебречь. Записать ответы в процентах, сохраняя две верные цифры
Голосование за лучший ответ
Рустам Искендеров
Искусственный Интеллект
(133392)
3 года назад
И радиус r, и высота h должны быть измерены с абсолютной точностью
Δх= ΔV/[πr(2h+r)]= 0,1/[3,14*2*(2*3+2)]= 0,0020 м= 2,0 мм.
Относительные погрешности –
радиуса: Δr/r= Δx/r= 0,0020/2= 0,0010= 0,1%;
высоты: Δh/h= Δx/h= 0,0020/3= 0,00067= 0,067%.
Содержание:
При измерении разных физических величин мы получаем их числовые значения с определенной точностью. Например, при определении размеров листа бумаги (длины, ширины) мы можем указать их с точностью до миллиметра; размеры стола – с точностью до сантиметра, размеры дома, стадиона – с точностью до метра.
Нет необходимости указывать размеры стола с точностью до миллиметра, а размеры стадиона с точностью до сантиметра или миллиметра. Мы сами в каждой ситуации, опыте и эксперименте определяем, с какой точностью нам нужны данные физические величины. Однако очень важно оценивать, насколько точно мы определяем физическую величину, какую ошибку (погрешность) в ее измерении допускаем.
При измерении мы не можем определить истинное значение измеряемой величины, а только пределы, в которых она находится.
Пример:
Измерим ширину стола рулеткой с сантиметровыми и миллиметровыми делениями на ней (рис. 5.1). Значение наименьшего деления шкалы называют ценой деления и обозначают буквой С. Видно, что цена деления рулетки С = 1 мм (или 0,1 см).
Совместим нулевое деление рулетки с краем стола и посмотрим, с каким значением
шкалы линейки совпадает второй край стола (рис. 5.1). Видно, что ширина стола составляет чуть больше 70 см и 6 мм, или 706 мм. Но результат наших измерений мы запишем с точностью до 1 мм, то есть L = 706 мм.
Абсолютная погрешность измерения ∆ (ДЕЛЬТА)
Из рис. 5.1 видно, что мы допускаем определенную погрешность и определить ее «на глаз» достаточно трудно. Эта погрешность составляет не более половины цены деления шкалы рулетки. Эту погрешность называют погрешностью измерения и помечают ∆L («дельта эль»). В данном эксперименте ее можно записать
Сам результат измерения принято записывать таким образом: ширина стола L = (706,0 ± 0,5) мм, читают: 706 плюс-минус 0,5 мм. Эти 0,5 мм в нашем примере называют абсолютной погрешностью. Значения измеряемой величины (706,0 мм) и абсолютной погрешности (0,5 мм) должны иметь одинаковое количество цифр после запятой, то есть нельзя записывать 706 мм ± 0,5 мм.
Такая запись результата измерения означает, что истинное значение измеряемой величины находится между 705,5 мм и 706,5 мм, то есть 705,5 мм ≤ L ≤ 706,5 мм.
Относительная погрешность измерения ε (ЭПСИЛОН)
Иногда важно знать, какую часть составляет наша погрешность от значения
измеряемой величины. Для этого разделим 0,5 мм на 706 мм. В результате получим: 
. То есть наша ошибка составляет 0,0007 долю ширины стола, или 0,0007 · 100% = 0,07%. Это свидетельствует о достаточно высокой точности измерения. Эту погрешность называют относительной и обозначают греческой буквой (эпсилон):
(5.1)
Относительная погрешность измерения свидетельствует о качестве измерения. Если длина какогото предмета равна 5 мм, а точность измерения – плюс-минус 0,5 мм, то относительная погрешность будет составлять уже 10%.
Стандартная запись результата измерений и выводы
Таким образом, абсолютная погрешность в примере 5.1. составляет ∆L = 0,5 мм, а результат измерений следует записать в стандартном виде: L = (706,0 
0,5) мм – Опыт выполнен с относительной погрешностью 0,0007 или 0,07%.
На точность измерения влияет много факторов, в частности:
- При совмещении края стола с делением шкалы рулетки мы неминуемо допускаем погрешность, поскольку делаем это «на глаз» – смотреть можно под разными углами.
- Не вполне ровно установили рулетку.
- Наша рулетка является копией эталона и может несколько отличаться от оригинала.
Все это необходимо учитывать при проведении измерений.
Итоги:
- Измерения в физике всегда неточны, и надо знать пределы погрешности измерений, чтобы понимать, насколько можно доверять результатам.
- Абсолютную погрешность измерения можно определить как половину цены деления шкалы измерительного прибора.
- Относительная погрешность есть частное от деления абсолютной погрешности на значение измеряемой величины: и указывает на качество измерения. Ее можно выразить в процентах.
Измерительные приборы
Устройства, с помощью которых измеряют физические величины, называют измерительными приборами.
Простейший и хорошо известный вам измерительный прибор — линейка с делениями. На ее примере вы видите, что у измерительного прибора есть шкала, на которой нанесены деления, причем возле некоторых делений написано соответствующее значение физической величины. Так, значения длины в сантиметрах нанесены на линейке возле каждого десятого деления (рис. 3.11). Значения же, соответствующие «промежуточным» делениям шкалы, можно найти с помощью простого подсчета.
Разность значений физической величины, которые соответствуютближайшим делениям шкалы, называют ценой деления прибора. Ёе находят так: берут ближайшие деления, возле которых написаны значения величины, и делят разность этих значений на количество промежутков между делениями, расположенными между ними.
Например, ближайшие сантиметровые деления на линейке разделены на десять промежутков. Значит, цена деления линейки равна 0,1 см = 1 мм.
Как определяют единицы длины и времени
В старину мерами длины служили большей частью размеры человеческого тела и его частей. Дело в том, что собственное тело очень удобно как «измерительный прибор», так как оно всегда «рядом». И вдобавок «человек есть мера всех вещей»: мы считаем предмет большим или малым, сравнивая его с собой.
Так, длину куска ткани измеряли «локтями», а мелкие предметы — «дюймами» (это слово происходит от голландского слова, которое означает «большой палец»).
Однако человеческое тело в качестве измерительного прибора имеет существенный недостаток: размеры тела и его частей у разных людей заметно отличаются. Поэтому ученые решили определить единицу длины однозначно и точно. Международным соглашением было принято, что один метр равен пути, который проходит свет в вакууме за 1/299792458 с. А секунду определяют с помощью атомных часов, которые сегодня являются самыми точными.
Можно ли расстояние измерять годами
Именно так и измеряют очень большие расстояния — например, расстояния между звездами! Но при этом речь идет не о годах как промежутках времени, а о «световых годах». А один световой год — это расстояние, которое проходит свет за один земной год. По нашим земным меркам это очень большое расстояние — чтобы убедиться в этом, попробуйте выразить его в километрах! А теперь вообразите себе, что расстояние от Солнца до ближайшей к нему звезды составляет больше четырех световых лет! И по астрономическим масштабам это совсем небольшое расстояние: ведь с помощью современных телескопов астрономы тщательно изучают звезды, расстояние до которых составляет много тысяч световых лет!
Что надо знать об измерительных приборах
Приступая к измерениям, необходимо, прежде всего, подобрать приборы. Что надо знать об измерительных приборах?
Минимальное (нижний предел) и максимальное (верхний предел) значения шкалы прибора — это пределы измерения. Чаще всего предел измерения один, но может быть и два. Например, линейка имеет один предел — верхний. У линейки на рисунке 32 он равен 25 см. У термометра на рисунке 33 два предела: верхний предел измерения температуры равен +50 °С; нижний -40 °С.
На рисунке 34 изображены три линейки с одинаковыми верхними пределами (25 см). По эти линейки измеряют длину с различной точностью. Наиболее точные результаты измерений дает линейка 7, наименее точные — линейка 3. Что же такое точность измерений и от чего она зависит? Для ответа на эти вопросы рассмотрим сначала понятие цена деления шкалы прибора.
Цена деления — это значение наименьшего деления шкалы прибора.
Как определить цену деления шкалы? Для этого необходимо:
- выбрать на шкале линейки два соседних значения, например 3 см и 4 см;
- подсчитать число делений (не штрихов!) между этими значениями; например, на линейке 1 (см. рис. 34) число делений между значениями 3 см и 4 см равно 10;
- вычесть из большего значения меньшее (4 см – 3 см = 1 см) и результат разделить на число делений.
Полученное значение и будет ценой деления шкалы прибора. Обозначим ее буквой С.
- Для линейки 1:
- Для линейки 2:
- Для линейки 3:
Точно так же можно определить и цену деления шкалы мензурок 1 и 2 (рис. 35). Цена деления шкалы мензурки 1:
Цена деления шкалы мензурки 2:
А какими линейкой и мензуркой можно измерить точнее?
Измерим один и тот же объем мензуркой 1 и мензуркой 2. Но показаниям шкал в мензурке 1 объем воды V = 35 мл; в мензурке 2 — V = 37 мл.
Понятно, что точнее измерен объем воды мензуркой 2, цена деления которой меньше 
Значит, чем меньше цена деления шкалы, тем точнее можно измерить данным прибором. Говорят: мензуркой 1 мы измерили объем с точностью до 5 мл (сравните с ценой деления шкалы 
), мензуркой 2 – с точностью до 1 мл (сравните с ценой деления 
). Точность измерения температуры термометрами 1 и 2 (рис. 36) определите самостоятельно.
Итак, любым прибором, имеющим шкалу, измерить физическую величину можно с точностью, не превышающей цены деления шкалы.
Линейкой 1 (см. рис. 34) можно измерить длину с точностью до 1 мм. Точность измерения длины линейками 2 и 3 определите самостоятельно.
Главные выводы:
- Верхний и нижний пределы измерения — это максимальное и минимальное значения шкалы прибора.
- Цена деления шкалы равна значению наименьшего деления шкалы.
- Чем меньше цена деления шкалы, тем точнее будут проведены измерения данным прибором.
Для любознательных:
В истории науки есть немало случаев, когда повышение точности измерений давало толчок к новым открытиям. Более точные измерения плотности азота, выделенного из воздуха, позволили в 1894 г. открыть новый инертный газ — аргон. Повышение точности измерений плотности воды привело к открытию в 1932 г. одной из разновидностей тяжелых атомов водорода — дейтерия. Позже дейтерий вошел в состав ядерного горючего. Оценить расстояния до звезд и создать их точные каталоги ученые смогли благодаря повышению точности при измерении положения ярких звезд на небе.
- Заказать решение задач по физике
Пример решения задачи
Для измерения величины угла используют транспортир. Определите: 1) цену деления каждой шкалы транспортира, изображенного на рисунке 38; 2) значение угла BАС, используя каждую шкалу; укажите точность измерения угла ВАС в каждом случае.
Решение:
1) Цена деления нижней шкалы:
Цена деления средней шкалы:
Цена деления верхней шкалы:
2) Определенный но нижней шкале с точностью до 10° 
определенный по средней шкале с точностью до 5° 
определенный по верхней шкале с точностью до 1° 
- Определение площади и объема
- Связь физики с другими науками
- Макромир, мегамир и микромир в физике
- Пространство и время
- Как зарождалась физика
- Единая физическая картина мира
- Физика и научно-технический прогресс
- Физические величины и их единицы измерения
