Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
- Шкала измерительного прибора
- Цена деления
- Виды измерений
- Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
- Абсолютная погрешность серии измерений
- Представление результатов эксперимента
- Задачи
п.1. Шкала измерительного прибора
Шкала – это показывающая часть измерительного прибора, состоящая из упорядоченного ряда отметок со связанной с ними нумерацией. Шкала может располагаться по окружности, дуге или прямой линии.
Примеры шкал различных приборов:
п.2. Цена деления
Цена деления измерительного прибора равна числу единиц измеряемой величины между двумя ближайшими делениями шкалы. Как правило, цена деления указана на маркировке прибора.
Алгоритм определения цены деления
Шаг 1. Найти два ближайшие пронумерованные крупные деления шкалы. Пусть первое значение равно a, второе равно b, b > a.
Шаг 2. Посчитать количество мелких делений шкалы между ними. Пусть это количество равно n.
Шаг 3. Разделить разницу значений крупных делений шкалы на количество отрезков, которые образуются мелкими делениями: $$ triangle=frac{b-a}{n+1} $$ Найденное значение (triangle) и есть цена деления данного прибора.
Пример определения цены деления:
 |
Определим цену деления основной шкалы секундомера. Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале:a = 5 c b = 10 cМежду ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления. Цена деления: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}\ triangle=frac{10-5}{24+1}=frac15=0,2 c end{gather*} |
п.3. Виды измерений
Вид измерений
Определение
Пример
Прямое измерение
Физическую величину измеряют с помощью прибора
Измерение длины бруска линейкой
Косвенное измерение
Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений
Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине
п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
Погрешность измерений – это отклонение измеренного значения величины от её истинного значения.
Составляющие погрешности измерений
Причины
Инструментальная погрешность
Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)
Погрешность метода
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Погрешность теории (модели)
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Инструментальная погрешность измерений принимается равной половине цены деления прибора: $$ d=frac{triangle}{2} $$
Если величина (a_0) – это истинное значение, а (triangle a) – погрешность измерения, результат измерений физической величины записывают в виде (a=a_0pmtriangle a).
Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины: $$ triangle a=|a-a_0| $$
Отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению, выраженное в процентах, называют относительной погрешностью измерения: $$ delta=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%} $$
Относительная погрешность является мерой точности измерения: чем меньше относительная погрешность, тем измерение точнее. По абсолютной погрешности о точности измерения судить нельзя.
На практике абсолютную и относительную погрешности округляют до двух значащих цифр с избытком, т.е. всегда в сторону увеличения.
Значащие цифры – это все верные цифры числа, кроме нулей слева. Результаты измерений записывают только значащими цифрами.
Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:
- определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
- определение объема с помощью мензурки.
Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:
 |
Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{1+1}=0,5 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,5}{2}=0,25 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,00pm 0,25) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,25}{4,00}cdot 100text{%}=6,25text{%}approx 6,3text{%} $$ |
 |
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: begin{gather*} triangle=frac{b-a}{n+1}= frac{1 text{см}}{9+1}=0,1 text{см} end{gather*} Инструментальная погрешность: begin{gather*} d=frac{triangle}{2}=frac{0,1}{2}=0,05 text{см} end{gather*} Истинное значение: (L_0=4,15 text{см}) Результат измерений: $$ L=L_0pm d=(4,15pm 0,05) text{см} $$ Относительная погрешность: $$ delta=frac{0,05}{4,15}cdot 100text{%}approx 1,2text{%} $$ |
Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.
п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).
Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.
Алгоритм определения истинного значения и абсолютной погрешности в серии измерений
Шаг 1. Проводим серию из (N) измерений, в каждом из которых получаем значение величины (x_1,x_2,…,x_N)
Шаг 2. Истинное значение величины принимаем равным среднему арифметическому всех измерений: $$ x_0=x_{cp}=frac{x_1+x_2+…+x_N}{N} $$ Шаг 3. Находим абсолютные отклонения от истинного значения для каждого измерения: $$ triangle_1=|x_0-x_1|, triangle_2=|x_0-x_2|, …, triangle_N=|x_0-x_N| $$ Шаг 4. Находим среднее арифметическое всех абсолютных отклонений: $$ triangle_{cp}=frac{triangle_1+triangle_2+…+triangle_N}{N} $$ Шаг 5. Сравниваем полученную величину (triangle_{cp}) c инструментальной погрешностью прибора d (половина цены деления). Большую из этих двух величин принимаем за абсолютную погрешность: $$ triangle x=maxleft{triangle_{cp}; dright} $$ Шаг 6. Записываем результат серии измерений: (x=x_0pmtriangle x).
Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.
Составим расчетную таблицу:
| № опыта | 1 | 2 | 3 | Сумма |
| Масса, г | 99,8 | 101,2 | 100,3 | 301,3 |
| Абсолютное отклонение, г | 0,6 | 0,8 | 0,1 | 1,5 |
Сначала находим среднее значение всех измерений: begin{gather*} m_0=frac{99,8+101,2+100,3}{3}=frac{301,3}{3}approx 100,4 text{г} end{gather*} Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности (m_0) и измерения. begin{gather*} triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\ triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\ triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 end{gather*} Находим среднее абсолютное отклонение: begin{gather*} triangle_{cp}=frac{0,6+0,8+0,1}{3}=frac{1,5}{3}=0,5 text{(г)} end{gather*} Мы видим, что полученное значение (triangle_{cp}) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: begin{gather*} triangle m=maxleft{triangle_{cp}; dright}=maxleft{0,5; 0,05right} text{(г)} end{gather*} Записываем результат: begin{gather*} m=m_0pmtriangle m\ m=(100,4pm 0,5) text{(г)} end{gather*} Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): begin{gather*} delta_m=frac{0,5}{100,4}cdot 100text{%}approx 0,050text{%} end{gather*}
п.6. Представление результатов эксперимента
Результат измерения представляется в виде $$ a=a_0pmtriangle a $$ где (a_0) – истинное значение, (triangle a) – абсолютная погрешность измерения.
Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.
Погрешность суммы и разности
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, то
- абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a+b)=triangle a+triangle b $$
- абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей
$$ triangle (a-b)=triangle a+triangle b $$
Погрешность произведения и частного
Если (a=a_0+triangle a) и (b=b_0+triangle b) – результаты двух прямых измерений, с относительными погрешностями (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}) и (delta_b=frac{triangle b}{b_0}cdot 100text{%}) соответственно, то:
- относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{acdot b}=delta_a+delta_b $$
- относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей
$$ delta_{a/b}=delta_a+delta_b $$
Погрешность степени
Если (a=a_0+triangle a) результат прямого измерения, с относительной погрешностью (delta_a=frac{triangle a}{a_0}cdot 100text{%}), то:
- относительная погрешность квадрата (a^2) равна удвоенной относительной погрешности
$$ delta_{a^2}=2delta_a $$
- относительная погрешность куба (a^3) равна утроенной относительной погрешности
$$ delta_{a^3}=3delta_a $$
- относительная погрешность произвольной натуральной степени (a^n) равна
$$ delta_{a^n}=ndelta_a $$
Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.
п.7. Задачи
Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно? 
Составим таблицу для расчета цены деления:
| № мензурки | a, мл | b, мл | n | (triangle=frac{b-a}{n+1}), мл |
| 1 | 20 | 40 | 4 | (frac{40-20}{4+1}=4) |
| 2 | 100 | 200 | 4 | (frac{200-100}{4+1}=20) |
| 3 | 15 | 30 | 4 | (frac{30-15}{4+1}=3) |
| 4 | 200 | 400 | 4 | (frac{400-200}{4+1}=40) |
Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):
| № мензурки | Объем (V_0), мл | Абсолютная погрешность (triangle V=frac{triangle}{2}), мл |
Относительная погрешность (delta_V=frac{triangle V}{V_0}cdot 100text{%}) |
| 1 | 68 | 2 | 3,0% |
| 2 | 280 | 10 | 3,6% |
| 3 | 27 | 1,5 | 5,6% |
| 4 | 480 | 20 | 4,2% |
Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.
Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0pm 0,1) text{м}, x_2=(4,0pm 0,03) text{м} $$ Какое из этих измерений точней и почему?
Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: begin{gather*} delta_1=frac{0,1}{4,0}cdot 100text{%}=2,5text{%}\ delta_2=frac{0,03}{4,0}cdot 100text{%}=0,75text{%} end{gather*} Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: (delta_2lt delta_1), второе измерение точней.
Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ triangle v_1=frac{10}{2}=5 (text{км/ч}), triangle v_2=frac{1}{2}=0,5 (text{км/ч}) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54pm 5) text{км/ч}, v_2=(72pm 0,5) text{км/ч} $$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_{10}+v_{20}, v_0=54+72=125 text{км/ч} $$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ triangle v=triangle v_1+triangle v_2, triangle v=5+0,5=5,5 text{км/ч} $$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0pm 5,5) text{км/ч} $$ Относительная погрешность: $$ delta_v=frac{5,5}{126,0}cdot 100text{%}approx 4,4text{%} $$ Ответ: (v=(126,0pm 5,5) text{км/ч}, delta_vapprox 4,4text{%})
Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Инструментальная погрешность линейки (d=frac{0,1}{2}=0,05 text{см})
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20pm 0,05) text{см}, b=(60,10pm 0,05) text{см} $$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): begin{gather*} delta_1=frac{0,05}{90,20}cdot 100text{%}approx 0,0554text{%}approx uparrow 0,056text{%}\ delta_2=frac{0,05}{60,10}cdot 100text{%}approx 0,0832text{%}approx uparrow 0,084text{%} end{gather*} Площадь столешницы: $$ S=ab, S=90,2cdot 60,1 = 5421,01 text{см}^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ delta_S=delta_a+delta_b=0,056text{%}+0,084text{%}=0,140text{%}=0,14text{%} $$ Абсолютная погрешность: begin{gather*} triangle S=Scdot delta_S=5421,01cdot 0,0014=7,59approx 7,6 text{см}^2\ S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2 end{gather*} Ответ: (S=(5421,0pm 7,6) text{см}^2, delta_Sapprox 0,14text{%})
Абсолютная и относительная погрешности
Абсолютная погрешность приближения
Имея дело в вычислениях с бесконечными десятичными дробями, приходится для удобства выполнять приближение этих чисел, т. е. округлять их. Приблизительные числа получаются также при различных измерениях.
Бывает полезно узнать, как сильно приближенное значение числа отличается от его точного значения. Понятно, что чем это различие меньше, тем лучше, тем точнее выполнено измерение или вычисление.
Для определения точности измерений (вычислений) вводят такое понятие как погрешность приближения. По-другому его называют абсолютной погрешностью.
Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением числа и его приближенным значением.
где х — это точное значение числа, а — его приближенное значение.
Например, в результате измерений было получено число 
. Однако в результате вычисления по формуле точное значение этого числа 
. Тогда абсолютная погрешность приближения 
В случае с бесконечными дробями погрешность приближения определяется по той же формуле. На месте точного числа записывается сама бесконечная дробь. Например, 
. Здесь получается, что абсолютная погрешность приближения выражена иррациональным числом.
Приближение может выполняться как по недостатку, так и по избытку.
То же число π при приближении по недостатку с точностью до 0,01 равно 3,14, а при приближении по избытку с точностью до 0,01 равно 3,15.
Правило округления: если первая отбрасываемая цифра равна пяти или больше пяти, то выполняется приближение по избытку; если же меньше пяти, то по недостатку.
Например, т.к. третьей цифрой после запятой у числа π является 1, то при приближении с точностью до 0,01 оно выполняется по недостатку.
Вычислим абсолютные погрешности приближения до 0,01 числа π по недостатку и по избытку:
Как видим, абсолютная погрешность приближения по недостатку меньше, чем по избытку. Значит, приближение по недостатку в этом случае обладает более высокой точностью.
Относительная погрешность приближения
Абсолютная погрешность обладает одним важным недостатком – оно не позволяет оценить степень важности ошибки.
Например, покупаем мы на рынке 5 кг картофеля, а недобросовестный продавец при измерении веса ошибся на 50 г в свою пользу. Т.е. абсолютная погрешность составила 50 г. Для нас такая оплошность будет сущей мелочью и мы даже не обратим на неё внимания. А если при приготовлении лекарства произойдёт подобная ошибка? Тут уже всё будет намного серьёзней. А при загрузке товарного вагона наверняка возникают отклонения намного больше данного значения.
Поэтому сама по себе абсолютная погрешность малоинформативная. Кроме неё очень часто дополнительно рассчитывают относительное отклонение.
Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к точному значению числа.
Относительная погрешность является безразмерной величиной, либо измеряется в процентах.
Приведём несколько примеров.
Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. Округлить количество работающих до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах). Сделать вывод.
Итак, 
, 
.
Абсолютная погрешность: 
Относительная погрешность: 
Значит, точность приближения с недостатком выше, чем точность приближения с избытком.
Пример 2. В школе 197 учащихся. Округлить количество учащихся до целых с избытком и с недостатком. Найти их абсолютные и относительные погрешности (в процентах). Сделать вывод.
Итак, 
, 
.
Абсолютная погрешность: 
Относительная погрешность: 
Значит, точность приближения с избытком выше, чем точность приближения с недостатком.
-
Найдите абсолютную погрешность приближения:
-
числа 2,87 числом 2,9; числом 2,8;
-
числа 0,6595 числом 0,7; числом 0,6;
-
числа
числом ; -
числа
числом 0,3; -
числа 4,63 числом 4,6; числом 4,7;
-
числа 0,8535 числом 0,8; числом 0,9;
-
число
числом ; -
число
числом 0,2.
числом 
;
числом 0,3;
числом 
;-
Приближённое значение числа х равно а. Найдите абсолютную погрешность приближения, если:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-
Запишите в виде двойного неравенства:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-
Найдите приближённое значение числа х, равное среднему арифметическому приближений с недостатком и избытком, если:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-
Докажите, что среднее арифметическое чисел а и b является приближённым значением каждого из этих чисел с точностью до
.
-
Округлите числа:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-
Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной и округлите её до тысячных и найдите абсолютную погрешность:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-
Докажите, что каждое из чисел 0,368 и 0,369 является приближённым значением числа
с точностью до 0,001. Какое из них является приближённым значением числа
с точностью до 0,0005?
-
Докажите, что каждое из чисел 0,38 и 0,39 является приближённым значением числа
с точностью до 0,01. Какое из них является приближённым значением числа
с точностью до 0,005?
-
Округлите число до единиц и найдите относительную погрешность округления:
|
|
|
|
|
|
|
|
-
Представьте каждое из чисел
и
в виде десятичной дроби. Округлив полученные дроби до десятых, найдите абсолютную и относительную погрешности приближений.
-
Представьте каждое из чисел
и
в виде десятичной дроби. Округлив полученные дроби до десятых, найдите абсолютную и относительную погрешности приближений.
-
Радиус Земли равен 6380 км с точностью до 10 км. Оцените относительную погрешность приближённого значения.
-
Наименьшее расстояние от Земли до Луны равно 356400 км с точностью до 100 км. Оцените относительную погрешность приближения.
-
Сравните качества измерения массы М электровоза и массы т таблетки лекарства, если
т (с точностью до 0,5 т), а
г (с точностью до 0,01 г).
-
Сравните качества измерения длины
реки Волги и диаметра
мячика для настольного тенниса, если
км (с точностью до 5 км) и
мм (с точностью до 1 мм).
3
-
Задачи на вычисление погрешностей
1. Определить, какое равенство точнее:
9/11 =
0.818
4.24
Находят значения
данных выражений с большим числом
десятичных знаков:
a1
= 9/11 = 0.81818… a2
=
4.2426…
Вычисляют предельные
абсолютные погрешности, округляя их с
избытком:
Предельные
абсолютные погрешности составляют:
%
%
Так как
,
то 9/11=0.818 является более точным.
2. Определить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки: а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата:
а)
72.353 (0.026)
б) 2.3544 =0.2%.
а) Пусть
72.353 (
0.026) = а. Согласно условию, погрешность
а
= 0.026 <
0.05
. Это означает, что в числе 72.353 верными
в узком смысле являются цифры 7, 2, 3. По
правилам округления находят приближенное
значение числа, сохранив десятые доли:
а1
= 72.4;
Полученная
погрешность больше 0.05; значит, нужно
уменьшить число цифр в приближенном
числе до двух:
а2
= 72;
Так как
<
0.5, то
обе оставшиеся цифры верны в узком
смысле.
б) Пусть
а = 2.3544; а
= 0.2%; тогда а
= а * а
=
0.00471. В данном числе верными в широком
смысле являются три цифры, поэтому
округляем его, сохраняя эти три цифры:
а1
= 2.35;
Значит, и в
округленном числе 2.35 все три цифры верны
в широком смысле.
3. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле.
а) 0.4357 б)
12.384
а) Так
как все четыре числа а = 0.4357 верны в узком
смысле, то абсолютная погрешность а
= 0.00005, а относительная погрешность а
= 1 / (2 * 4 * 103)
= 0.000125 = 0.0125% .
б) Так
как все пять цифр числа а = 12.384 верны в
широком смысле, то а
= 0.001, а относительная погрешность а
= 1 / (1 * 104)
= 0.0001 = 0.01% .
4. Вычислить и определить погрешности результата:
где m
= 28.3 (
0.02), n = 7.45 (
0.01), k = 0.678 (
0.003)
Вычисляют
m2
= 800.9; m
= 0.02 / 28.3 = 0.00071
n3
= 413.5; n
= 0.01 / 7.45 = 0.00135
k
= 0.003 / 0.678 = 0.00443
Тогда
X
= 2 m
+ 3 n
+ 0.5 k
= 0.00142 + 0.00405 + 0.00222 = 0.00769 = 0.77%
X
= 4.02 105
* 0.0077 = 3.1 103
Ответ:
X = 4.02 105
(
3.1 103)
; X
= 0.77%
5. Вычислить и определить погрешности результата:
где n
= 3.0567 (
0.0001) , m = 5.72 (
0.02)
Имеем
n – 1 = 2.0567
(
0.0001) ; m + n = 5.72 (
0.02) + 3.0567 (
0.0001) = 8.7767 (
0.0201) ; m – n = 5.72 (
0.02) – 3.0567 (
0.0001) = 2.6633 (
0.0201) .
%
Ответ:
N
2.54 (
0.044): N
= 1.74% .
6. Вычислить, пользуясь правилами подсчета цифр
,
где h
= 11.8 и
R = 23.67
V = 3.142 * 11.82
* (23.67 – 3.933) = 3.142 * 11.82
* 19.737 = 3.142 * 139.2 * 19.737 = 437.37 * 19.737 = 8630
8.63 103
.
Соседние файлы в папке 2
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Лабораторная работа №1
Методы оценки погрешностей
I. Описание работы
Тема: Методы оценки погрешностей приближенных величин.
Задание 1. Округляя точные числа 
до трех значащих цифр, определить абсолютную 
и относительную 
погрешности полученных приближенных чисел.
Дано: 
Найти: 
Решение:
– приближенное значение числа A
Абсолютная погрешность: 
Относительная погрешность: 
Ответ: 
; 
Задание 2. Определить абсолютную погрешность приближенных чисел 
по их относительной погрешности .
Дано: 
Найти:
Решение:
Абсолютная погрешность: 
Ответ: 
Задание 3. Решить задачу.
При измерении длины с точностью до 5 м получено 
км, а при определении другой длины с точностью до 0.5 см, получено 
метров. Какое измерение по своему качеству лучше?
Дано: 
Км, 
М, 
М, 
См
Сравнить: 
и 
Решение: Итак, по 1-му измерению, результат Км = 
М с точностью до М (
– абсолютная погрешность величины ).
Тогда относительная погрешность: 
%
По 2-му измерению, результат Км с точностью до См =
М (
– абсолютная погрешность величины ).
Тогда относительная погрешность: 
%
Так как 
, то измерение можно считать по качеству лучше, чем .
Ответ: измерение по качеству лучше, чем .
Задание 4. а) Определить количество верных знаков в числе 
, если известна его предельная абсолютная погрешность 
Дано: 
Найти: 
Решение:
По определению, n первые значащие цифры являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда младшей цифры, считая слева направо.
Абсолютная погрешность: 
, поэтому значащие цифры 8 и 4 числа 0,00842 верны в узком смысле.
Ответ: число X имеет две верных цифры в узком смысле (8 и 4), то есть 
Б) Определить количество верных знаков в числе , если известна его предельная относительная погрешность 
.
Дано: 
%
Найти:
Решение:
Предельная абсолютная погрешность:
Только первая значащая цифра 1 числа A верна в узком смысле.
Ответ: число A имеет одну верную цифру в узком смысле (1), то есть 
Задание 5. Найти предельные относительные погрешности, допускаемые при взятии вместо 
чисел 3.1, 3.14, 3.1416:
А) считая, что у них все записанные знаки являются верными;
Б) зная, что 
Провести сравнения погрешностей и сделать необходимые выводы.
Дано: 
, 
, 
Найти: 
Решение:
А) :
Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:
Предельная абсолютная погрешность: 
Тогда предельная относительная погрешность:
%
:
Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:
Предельная абсолютная погрешность: 
Тогда предельная относительная погрешность:
%
:
Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:
Предельная абсолютная погрешность: 
Тогда предельная относительная погрешность:
%
Б) Пусть 
(прервем запись числа на 7-м знаке после запятой и считаем полученное число точным значением числа ).
Тогда абсолютная погрешность первого представления числа : 
.
Относительная погрешность: 
%
Абсолютная погрешность второго представления числа : 
.
Относительная погрешность: 
%
Абсолютная погрешность третьего представления числа : 
%.
Относительная погрешность: 
%
Выводы:
1) Можно заметить, что 
, то есть 
;
, то есть 
;
, то есть 
Иными словами, для трех чисел 
их «истинная» относительная погрешность ограничена предельной относительной погрешностью, определенной из условия верности знаков чисел. Причем, для каждого числа две оценки отличаются меньше, чем на порядок. Значит, предположение о верности всех знаков чисел Обосновано.
2) Сравнение относительных погрешностей чисел :
показывает,
Что числа 
Перечислены
В порядке увеличения точности представления числа ,
То есть 
точнее 
, 
точнее .
Ответ: а) 
б) 
Задание 6. Найти сумму приближенных чисел 
, 
, считая в них все знаки верными, т. е. что абсолютная погрешность каждого слагаемого не превосходит половины единицы младшего разряда этого слагаемого. Определить абсолютную и относительную погрешности суммы.
Дано: 
, 
, 
Найти: 
Решение:
1) Считаем, что в числах , , все знаки верны в узком смысле, то есть
Число с наибольшей абсолютной погрешностью .
2) Остальные числа округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :
, абсолютная погрешность округления 
, абсолютная погрешность округления 
3) Сложим все эти числа, учитывая все сохраненные знаки:
4) Полученный результат округлим на один знак (формально):
, абсолютная погрешность округления 
5) Полную абсолютную погрешность суммы будем складывать из трех компонентов:
A) суммы предельных абсолютных погрешностей исходных чисел;
B) абсолютной величины суммы ошибок округления слагаемых;
C) заключительной погрешности округления результата.
– абсолютная погрешность суммы.
% – относительная погрешность суммы.
Ответ: 
; 
%.
Задание 7. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема прямого кругового цилиндра, если значения его высоты 
и радиуса основания 
имеют все верные знаки.
Дано: 
, 
Найти: 
Решение:
, 
Примем 
1) Так как в числах и все числа верны, то их абсолютные погрешности:
Число с наибольшей абсолютной погрешностью .
Число R округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :
, абсолютная погрешность округления (округления не требуется)
2) перемножим числа, учитывая все сохраненные знаки:
3) Полученный результат округляем, сохраняя столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в числе H, то есть 2 значащих цифры:
;
Абсолютная погрешность округления 
4) Полную абсолютную погрешность произведения будем складывать из двух слагаемых:
A) предельной абсолютной погрешности произведения до его округления;
B) заключительной погрешности округления произведения.
Абсолютную погрешность произведения до округления вычислим на основе предварительно найденной относительной погрешности произведения округленных сомножителей:
%.
Полная абсолютная погрешность 
Теперь перейдем к искомому объему.
(Здесь полученный результат округляем до трех значащих цифр).
– предельная абсолютная погрешность объема.
% – предельная относительная погрешность объема.
Ответ: 
, 
, 
%
Задание 8. Привести пример потери точности при вычитании двух близких чисел.
Решение:
Пусть 
и 
– два близких числа; примем, что у них одинаковое число знаков после запятой.
Считаем, что все знаки в числах и верны в узком смысле. Тогда абсолютные погрешности:
Относительные погрешности:
%
%
Так как 
, то 
Абсолютная погрешность результата: 
Относительная погрешность результата: 
%
При вычитании двух близких чисел и относительная погрешность возросла на 3 порядка!
Лабораторная работа №2
Метод Гаусса
I. Описание работы
Тема: Решение системы линейных неоднородных алгебраических уравнений методом Гаусса (схема единственного деления).
Задание. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными с точностью искомых неизвестных до 
.
Промежуточные вычисления вести с двумя запасными знаками.
, 
Решение:
Исходные данные и все результаты вычислений запишем в таблицу 1.
Прямой ход
1. Записываем коэффициенты данной системы в трех строках и четырех столбцах раздела 1 таблицы 1.
2. Суммируем все коэффициенты по строке и записываем сумму в столбце 
(столбец контроля), например 
.
3. Делим все числа, стоящие в первой строке, на 
и результаты 
записываем в 4-й строке раздела 1.
4. Вычисляем 
и делаем проверку, если вычисления ведутся с 6 и более знаками после запятой, то числа 
и не должны отличаться более, чем на единицу последнего разряда:
5. По формулам 
вычисляем коэффициенты 
:
Результаты записываем в первые две строки раздела:
6. Делаем проверку. Сумма элементов каждой строки 
не должна отличаться от 
более, чем на 1-2 единицы последнего разряда. Заметим, что 
, 
, 
, 
7. Делим все элементы 1 строки раздела 2 на 
и результаты записываем в 3 строке раздела 2.
8. Делаем проверку:
9. По формулам 
вычисляем 
:
Результаты записываем в 1 строку раздела 3.
10. Делаем проверку:
, 
11. Делим все элементы 1 строки раздела 3 на 
и результаты записываем в следующей (второй) строке этого раздела.
12. Делаем проверку:
Обратный ход
1. В разделе 4 записываем единицы
2. Записываем 
.
3. Для вычисления 
и 
используем лишь строки разделов, содержащие 1.
4. Вычислим по формуле: 
.
5. Вычислим по формуле:
.
6. Аналогично проводим обратный ход в контрольной системе. Записываем 
,
вычисляем 
и 
с заменой 
и 
на 
и соответственно:
Делаем обычную проверку по строкам – должно быть 
, с точностью до 1-2 единиц последнего разряда.
Действительно:
Заполним таблицу 1 результатами вычислений:
Таблица 1
|
Раз Дел |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
||
|
4 |
1 1 1 |
1 |
1 |
|
|
Округлим полученное решение до , по требованию задачи:
Окончательную проверку точности полученного решения системы выполним подстановкой этого решения в систему. Должно получиться приближенное тождество с точностью до 
.
Ответ: 
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Абсолютная и относительная погрешность
При измерении длины в см абсолютная погрешность составляла мм; при измерении расстояния в км абсолютная погрешность была равна м. Какое измерение точнее?
Определить, сколько верных знаков содержит число
если относительная погрешность этого числа составляет .
Число
содержит верных знака. Определить, какова относительная погрешность этого числа.
Стороны прямоугольника равны:
В каких границах заключается площадь этого прямоугольника? Каковы абсолютная погрешность и относительная погрешность площади прямоугольника, если за стороны его принять средние значения?
Масса тела , а его объем .
Определить плотность тела и оценить абсолютную и относительную погрешности плотности, если за массу тела и его объем принять средние значения.
Радиус круга
С какой минимальной относительной погрешностью может быть определена площадь круга, если принять ?
Известны измерения прямоугольного параллелепипеда:
В каких границах заключается объем этого параллелепипеда? С какими абсолютной и относительной погрешностями
может быть определен объем этого параллелепипеда, если за его измерения принять средние значения?
С какой абсолютной погрешностью следует измерить сторону квадрата , где ,
чтобы иметь возможность определить площадь этого квадрата с точностью до ?
С какими абсолютными погрешностями достаточно измерить стороны и прямоугольника, чтобы площадь его
можно было вычислить с точностью до , если ориентировочно стороны прямоугольника не превышают каждая?
Пусть и — относительные погрешности чисел и , — относительная погрешность числа . Доказать, что
