Результат любого измерения содержит ошибку. Это непреложная истина. Обратите внимание, что я сказал ошибку, а не погрешность. Проблема заключается в том, что мы не можем определить величину этой ошибки, так как нам неизвестно точное значение измеряемой физической величины. Парадоксальность ситуации заключается в том, что если нам известно точное, истинное, значение, то и измерять уже ничего не нужно. А раз мы измеряем, значит истинное значение величины нам неизвестно.
Исключением из этого правила можно считать проверку метрологических параметров измерительного прибора (средства измерения) во время выполнения процедуры поверки. Во время поверки результат измерения полученный с помощью поверяемого прибора сравнивается с условным эталоном, который и измеряется. Почему эталон условный? Дело в том, что, во первых, в самом лучшем случае используется не эталон, а копия эталона. Во вторых, в качестве эталонного значения чаще используется просто результат измерения намного более точным прибором. Впрочем, о поверке мы поговорим в отдельной статье.
Я долго думал, с чего начать долгий разговор о погрешностях и ошибках. Дело в том, что это очень обширная и многогранная тема. Причем в ней все взаимосвязано. И у меня даже есть несколько начатых, но незаконченных статей, довольно проработанных. В конечном итоге было принято решение “начать издалека”, с общего взгляда. Что бы у читателей сложилось представление о вопросе в целом, а не о наборе разрозненных (на первый взгляд) частностей. Иногда, что бы лучше разглядеть что-то, надо отойти подальше и окинуть взглядом картину в целом.
Это пятая статья цикла “Нескучная метрология”. В первых четырех мы больше разбирались со шкалами, которые являются очень важной частью любого измерения и измерительного прибора. И к информации из этих статей мы будем постоянно обращаться на протяжении всего цикла.
Давайте немного постреляем. В тире
Рассказывать об ошибках и погрешностях можно на разных примерах, как умозрительных, так и практических. И с разной степенью наглядности. Наиболее наглядной, на мой взгляд, является аналогия со стрельбой в тире.
Центр мишени, собственно цель, является аналогом истинного значения измеряемой физической величины. В центр мишени можно попасть. Для обычного стрелка это, скорее всего, будет случайностью. Для снайпера, закономерностью. Но даже снайпер не сможет при каждом выстреле попадать точно в одно и тоже место.
Место попадания в мишень является аналогом “результата измерения”. Почему в кавычках? Скоро узнаете. Видно, что стрелок промазал, не по мишени вообще, а по центру мишени. Расстояние от центра мишени до места попадания дает нам величину ошибки нашего “измерения”. Учитывать будем только расстояние, направление не важно.
По результату одиночного выстрела нельзя судить ни о качестве оружия, ни о подготовке стрелка. Точно так же, по результату одно измерения нельзя судить о точности измерительного прибора. И сейчас мы будем разбираться, что с этим делать. Но поскольку мы занимаемся метрологией, а это точная наука, нам нужно сначала договориться о терминологии.
Наблюдение и измерение
Мы уже договорились считать центр мишени аналогом истинного, эталонного, значения измеряемой физической величины. Соответственно, стрельба будет аналогом “измерения” физической величины.
А теперь, разберемся с кавычками. Дело в том, нашу стрельбу по мишени нельзя назвать ни измерением, ни даже аналогом измерения. С точки зрения метрологии это лишь наблюдение. И место попадания это не результат измерения, а наблюдаемое значение. И это наблюдаемое значение, что важно, определяется для единичного наблюдения.
Измерение отличается от наблюдения тем, что оно должно выполняться в соответствии с регламентированной процедурой. Это кажется лишь казуистической уловкой метрологов, но на самом деле чрезвычайно важно. Давайте рассмотрим это на простом примере измерения температуры.
Температуру можно измерить “на ощупь”. Действительно, прикасаясь к чему либо, будем называть это физическим телом, мы можем примерно оценить его температуру. Причем не на уровне горячее/холодное, даже более менее точно, до пары градусов, в некотором диапазоне температур. И это именно наблюдение, но не измерение.
Температуру можно определить “на глаз”. Например, нагретый до высокой температуры металл начинает светиться. По интенсивности свечения и цвету мы можем сделать заключение о температуре. Более низкие температуры металла можно определить по “цветам побежалости”. И это тоже наблюдение, а не измерение.
Мы можем взять термометр, даже довольно точный, например, лабораторный ртутный, и использовать его. Будем ли мы по прежнему наблюдать или, наконец то, измерять? Представим, что нам надо измерить температуру капли воды массой 1 грамм (объемом 1 мл). Что будет, если мы используем лабораторный ртутный термометр, чувствительная часть которого гораздо больше капли? Правильно, температура капли просто станет равной температуре чувствительной части термометра. Своей попыткой “измерения” мы существенно изменили сам объект измерения.
Измеряя температуру тела человека мы должны не просто использовать медицинский термометр, но соблюсти массу дополнительных условий. Расположить его правильно и в правильном месте. Само измерение занимает определенное время. Вот это и есть та самая регламентированная процедура. Какой то результат мы получим и соблюдая ее, и не соблюдая. Но говорить о достоверности этого результата мы можем только в том случае, если соблюдены определенные правила, та самая регламентированная процедура.
Не соблюдая правила мы наблюдаем. Соблюдая правила мы измеряем. На бытовом, любительском уровне, разница между наблюдением и измерением зачастую не видна. Например, какая разница, как подключить вольтметр для измерения напряжения? На самом деле большая, поскольку сам выбор вольтметра должен учитывать внутренне сопротивление участка цепи, на котором мы измеряем напряжение. Иначе он внесет искажения в процессы на этом участке цепи.
Измеряя сопротивление резистора многие прижимаю его к щупам омметра пальцами. Тем самым получая неверный результат. Да, многое понимают, что тело человека проводит электрический ток. Вряд ли ошибусь, если скажу, что многие даже “измеряли” свое сопротивление. А значит, измеряя сопротивление высокоомного резистора к одному из его выводов прикасаются только щупом.
А если сопротивление резистора не большое? Например, возьмем резистор с номинальными сопротивлением 3.3 кОм ± 5%. Не прикасаясь к выводам резистора и щупов измерим его сопротивление. У меня получилось 3.297 кОм. А теперь измерим сопротивление “как обычно”, прижав щупы к выводам резистора пальцами. Результат будет иным, 3.291 кОм. Разница невелика, но она есть.
Для стрелочных измерительных приборов на показания влияет и расположение стрелочной головки в пространстве. Если прибор должен работать при горизонтальном положении шкалы, то установив его вертикально, или под углом к горизонтали, мы получим неверный результат.
Регламентированная процедура это не обязательно нечто записанное на бумаге и скрепленное множеством подписей и печатей. Если конечно речь не идет о метрологической лаборатории. Это просто набор правил, соблюдение которых позволяет получить достоверный результат.
А насколько хорош этот стрелок?
Возвращаемся в тир! Раз результат одно выстрела ничего не позволяет сказать о стрелке и его оружии, значит нужно провести достаточное количество выстрелов. Может быть промах был случайным…
Вот теперь все гораздо интереснее. Во первых, видно, что стрелок все время попадает примерно в одно и тоже место. Во вторых, это место расположено не в центре мишени. В результатах стрельбы стала видна некоторая система. Давайте присмотримся повнимательнее.
У стрелков есть понятие кучности. Кучность оружия это свойство группировать попадания на некоторой ограниченной площади. Но есть еще и кучность стрелка, которая уже является свойством стрелка, а не оружия. И разброс попаданий определяется совокупной кучностью стрелка и оружия. Это для нас важно.
Почему выстрелы не могут попадать точно в одно и тоже место? Потому что вмешивается случайность. Скорость пули при выходе из ствола оружия немного разная. Она зависит и от количества пороха в патроне. И от сопротивления, которое пуля испытывает проходя по каналу ствола. А это включает, в том числе, колебания наружного диаметра пули. Диаметр канала ствола зависит от температуры, которая повышается при каждом выстреле и снижается между выстрелами. Ствол при каждом выстреле немного колеблется. Тоже самое касается и стрелка, для него тоже можно привести довольно большой список случайностей, которые влияют на результат.
Каждое из этих возмущающих событий случайно и невелико. Но на результат стрельбы влияет их совокупность. И именно случайный характер дает тот самый неизбежный разброс результатов, который мы не можем предсказать.
Еще раз отмечу важный для нас факт. Разброс результатов стрельбы, вызванный случайными событиями, является совокупностью случайностей оружия и стрелка. То есть, разброс попаданий имеет две составляющие, в нашем случае.
Тем не менее, можно заметить, что разброс попаданий тоже имеет некоторую закономерность. Попадания не просто сгруппированы, они сгруппированы вокруг некоего центра. И мы можем выделить этот центр, как место максимальной плотности попаданий. И из этого центра провести окружность, которая охватит большую часть попаданий. Что я и сделал на иллюстрации. Центр окружности, точку максимальной плотности попаданий, можно считать условным местом попадания всей стрельбы. Это место попадания, результат всей серии выстрелов, будет иметь вероятностный характер. Для его определения используются методы математической статистики. Но об этом будет отдельная статья.
Итак, кучность стрельбы определяется случайными факторами. И поскольку у нас теперь не один выстрел, а множество, мы имеем и множество ошибок, свою для каждого единичного выстрела. Давайте выделим в этих ошибках случайную составляющую как расстояние от центра нашей окружности, вероятностного результата всей стрельбы, до каждого отдельного попадания.
Совокупность всех случайных составляющих ошибок можно назвать погрешностью. Причем погрешностью случайной.
Но мы можем видеть, что попадания, в целом, смещены относительно центра мишени. И это уже не влияние случайных факторов. Это смещение носит системный, регулярный характер.
Мы можем для каждого единичного выстрела определить ошибку, величину промаха, расстояние до центра мишени. Для полученной совокупности ошибок мы можем найти среднюю величину промаха. И эта величина промаха будет, условно, соответствовать расстоянию от центра мишени до вероятностного результата стрельбы, центра той самой окружности, что мы провели ранее. Почему условно? Потому что эта величина тоже будет вероятностной.
Среднее значение совокупности ошибок, расстояний от места попадания до центра окружности, смещение вероятностного результата стрельбы от центра мишени, можно назвать систематической погрешностью.
В отличии от погрешности случайной, систематическая погрешность поддается прогнозированию. И не только прогнозированию, но и корректировке. Так для нашего случая мы можем выбрать другую точку прицеливания, расположенную не в центре мишени. Или откорректировать положение прицела.
Причем, как и случайная погрешность, погрешность систематическая имеет несколько составляющих. В частности, у оружия может быть сбит прицел. И это погрешность именно оружия. Но ведь и при точном прицеле стрелок может неправильно целиться? И это уже погрешность стрелка.
Ошибка и погрешность
Давайте опять на время покинем тир и займемся терминологией. И сначала разберемся, чем отличается ошибка от погрешности. Ведь это понятия достаточно близкие, на первый взгляд.
Если мы знаем истинное значение измеряемой величины, то мы можем сравнить его с результатом единичного измерения, с измеренным значением. Разность между истинным и измеренным значением и даст нам величину ошибки единичного измерения. Однако, проблема в том, что мы обычно не знаем истинного значения измеряемой физической величины. А значит, просто не в состоянии определить ошибку каждого измерения.
И тут нам на помощь приходит математическая статистика в лице теории ошибок. Мы можем в метрологической лаборатории провести серию испытаний нашего измерительного прибора, в которых будем измерять точно известные, эталонные, значения. После множества проведенных измерений мы получим результаты, которые будут обработаны методами математической статистики.
И мы получим статистические, вероятностные, величины тех ошибок, которые вносит наш измерительный прибор. Вот эти статистические величины ошибок и называют погрешностями.
Погрешность, как и ошибка измерения, показывает разницу между истинным значением и измеренным. Но, в отличии от ошибки, она показывает не точное значение ошибки, а границы неопределенности значения измеряемой физической величины. И это очень важное отличие.
То есть, проведя измерение неизвестного значения физической величины мы можем, обращаясь к погрешности, определить диапазон значений ошибки. Диапазон, а не конкретное значение. Точное значение ошибки будет находится где то внутри этого диапазона. И будет иметь вероятностный характер. Причем ошибка каждого конкретного измерения может не просто лежать в диапазоне, определяемом погрешностью, но и быть равной нулю. С некоторой долей вероятности.
Погрешность случайная и систематическая
Итак, погрешность это статистическая величина. И мы уже, на примере стрельбы в тире, видели, что ее можно разделить на случайную и систематическую. Каждая из этих двух составляющих обладает свои свойствами, которые мы будет рассматривать в отдельных статьях. Сегодня мы только разберемся с определениями.
Случайная погрешность, как и следует из ее названия, изменяется случайным образом. Причем случайным образом изменяется и величина погрешности, и ее знак. Каждое измерение будет отличаться от предыдущего, и последующего, на некоторую, пусть и очень малую величину. Ту самую случайную погрешность.
Мы можем знать источники случайной погрешности. Можем попытаться снизить их влияние. Но полностью устранить случайную погрешность нельзя. Так в нашей стрельбе в тире случайную погрешность создавали, например, колебания ствола оружия и не совсем точная дозировка пороха в патроне. При электрических измерениях случайную погрешность вносят электромагнитные помехи. В приборах с стрелочными шкалами случайную погрешность вносит направление взгляда оператора на шкалу из-за явления параллакса. В электронных измерительных приборах (не обязательно цифровых) случайную погрешность привносит неизбежный шумовой сигнал.
Систематическая погрешность, в противоположность случайной, остается неизменной при последовательных измерениях одного и того же значения физической величины. А при измерении изменяющейся физической величины систематическая погрешность или остается неизменной, или изменяется по какому-либо известному закону.
Другими словами, систематическая погрешность предсказуема и поддается корректировке. В нашем тире мы видели, что систематическую погрешность мог вносить сбитый прицел. Не смотря на разброс попаданий от каждого выстрела, все они были смещены в одну сторону и на одно расстояние, если убрать случайную составляющую погрешности.
В одной из последующих статей, которая будет посвящения систематической погрешности, мы увидим, что ее тоже можно разделить на две составляющие – относительную систематическую погрешность и абсолютную систематическую погрешность. Не буду забегать вперед, ограничусь лишь кратким упоминанием, что относительная погрешность зависит от измеренного значения физической величины, а абсолютная нет.
Погрешности приборные и метода измерения (методические)
Помните, чуть ранее мы говорили, что результат стрельбы зависит как от собственно оружия, так и от стрелка? Точно так же, погрешность результата измерения зависит как от погрешности измерительно прибора, так и от метода, который используется для измерения. Кроме того, влияют и математические модели процессов, которые используются при измерении, или которые собственно и измеряют.
Поскольку при выполнении измерений можно сменить как измерительный прибор, так и изменить метод (методику) измерения, имеет смысл разделять вносимые ими погрешности.
Приборной погрешностью называют погрешность вносимую собственно измерительными прибором. Именно приборная погрешность указывается в паспорте измерительного прибора. Например, если мы будем измерять ток измеряя падение напряжения на токовом шунте, приборная погрешность будет относиться только к вольтметру. Она не будет учитывать погрешность сопротивления токового шунта, ни в каком виде.
Теперь давайте вспомним, что измерение от наблюдения отличается соблюдением регламентирующей процедуры. Эта процедура учитывает множество нюансов. Но обязательным является указание метода проведения измерения. То есть, как именно мы будем выполнять измерение.
Под методом измерения понимают специальный прием или совокупность приемов сравнения измеряемой физической величины с ее единицей. Например, метод измерения сопротивления с помощью измерения падения напряжения на резисторе при протекании через него тока заданной величины. Или метод измерения силы тока, протекающего через резистор, при приложении к нему заданного напряжения.
Кроме метода измерения регламентирующая процедура может включать в себя и методологию измерения. Например, измерение температуры жидкости метом измерения сопротивления платинового термометра сопротивления, это метод. А необходимость перемешивания жидкости, что бы обеспечивать равенство ее температуры во всем объеме, это методология. И все вместе это включается в регламентирующую процедуру.
Погрешность метода, методическая, это погрешность вносимая в результат измерения несовершенством метода измерения. Например, ток, протекающий через резистор при измерении сопротивления, может быть задан с некоторой ошибкой (погрешностью). Погрешность метода не учитывает погрешность приборную.
А результирующая погрешность измерения будет совокупностью погрешности метода и приборной погрешности. Погрешности математической модели (и расчетов) могут учитываться отдельно или включаться в методическую погрешность.
Отдельно погрешность метода (методическую) не всегда можно выделить. Например, измерение напряжения вольтметром, прямое измерение (это тема отдельного разговора) можно считать имеющим только приборную погрешность. Равно как и измерение сопротивления омметром. Измерение температуры внешним датчиком будет уже учитывать и погрешность датчика (метода) и приборную погрешность.
В случае с нашей стрельбой, приборные погрешности это погрешности оружия. А погрешности метода, пожалуй, погрешности стрелка. Мы можем дать то же самое оружие в руки другого стрелка и результат будет иным. Можем дать в руки нашему стрелку другое оружие и результат тоже изменится.
Определяем лучшего стрелка
Возвращаемся в наш тир. Давайте теперь устроим соревнование в поисках лучшего стрелка. У нас будет 4 кандидата. Вот их результаты
У двух стрелков, 1 и 2, результаты кучные, но второй отстрелялся по центру мишени, а второй со смещением. Однако, есть еще и стрелок 3, который, в среднем, отстрелялся по центу мишени, но вот с кучностью у него проблемы. Последний стрелок и по центу мишени не попал, и кучность никуда не годится.
Какой стрелок лучший? Очевидно, что стрелок 2. Но на чем основано это решение? В обиходе мы говорим, что стрелок 2 более точен. Но что такое точность? И как оценить кучность, с точки зрения метрологии? А значит,Ю нам снова надо покинуть тир и заняться метрологией.
Точность и прецизионность
Мы легко, не задумываясь, говорим о точности измерительных приборов или измерений. Часто можно встретить и термин прецизионный прибор. Но что обозначают эти термины и какая между ними разница? Давайте начнем с прецизионности.
Официальное определение прецизионности оперирует понятиями математической статистики, что неудивительно, как мы теперь понимаем. Прецизионность является некоторым аналогом кучности, о которой мы сегодня уже говорили.
Прецизионность это степень близости друг к другу независимых результатов измерений. А измерения, как мы помним, выполняются в регламентированных условиях и регламентированными методами. Независимые измерения, как мы знаем из статьи
не зависят от результатов предыдущих измерений. И не влияют на последующие.
Очень важным является то, что прецизионность определяется только случайными погрешностями. На нее совершенно не влияют погрешности систематические. Не важно, насколько далек результат измерений от истинного значения физической величины. Важно лишь то, насколько близки результат измерений друг к другу.
Если вернуться к результатам из тира, то теперь понятно, что у стрелков 1 и 2 прецизионность почти одинакова, и выше, чем у других стрелков. Ну а самая низкая прецизионность у стрелка 4.
Количественная оценка прецизионности может быть разной. Здесь опять вмешиваются различные регламенты. Но, в общем случае, прецизионность выражается через стандартные отклонения. Чаще всего, через среднеквадратичное отклонение.
Точность, в отличии от прецизионности, определяет, насколько близок результат измерений к истинному значению физической величины. Понятие точности ближе всего к тому, что мы и понимаем под точностью в бытовом смысле. Но, естественно, определение точности оперирует понятиями математической статистики.
Точность это степень близости результата измерений к истинному значению. И опять, измерения выполняются в соответствии с регламентирующей процедурой. В определении точности можно встретить и ссылки на математическое ожидание. Если не вдаваться в тонкости плотностей распределения вероятностей, то это среднее значение результата измерения для совокупности измерений. Тот самый центр условной окружности, который мы рисовали для результатов стрельбы.
Если вернуться к результатам из тира, то можно сказать, что у стрелков 2 и 3 точность примерно одинакова. Что может показаться странным, с бытовой точки зрения. Но вот у стрелка 2, по сравнению с остальными, выше и точность, и прецизионность. Поэтому он и является победителем. Наконец то мы смогли обосновать наше решение метрологически.
Точность и прецизионность не просто являются метрологическими и математическими понятиями. Они являются понятиями вероятностными, статистическими. Как и погрешности. А значит, вводятся не для единичного измерения, а для совокупности, множества, измерений. И не зря метрологи требуют выполнять много измерений одного и того же, причем по строгой процедуре, которая гарантирует, в том числе, независимость этих измерений. Это не прихоть метролога, это требования математической статистики.
Правильность, повторяемость, воспроизводимость
В предельном случае, когда измерений выполняется очень много, точность становится правильностью. Точное количество измерений определяется регламентами. Например, вполне может быть, что для определения точности достаточно 20 измерений, а для определения правильности нужно 2000 измерений. Или даже 20000.
В отличии от правильности, для повторяемости не требуется очень большого количества измерений. Повторяемость означает, что прецизионность результатов измерений, с точки зрения математической статистики, выполняемых с одним и тем же образцом (значением физической величины), на одном и том же оборудовании, в одних и тех же условиях, одним и тем же человеком, в течении некоторого ограниченного отрезка времени, должна сохраняться.
Другими словами, мы можем выполнить серию измерений, сделать перерыв, например, 5 минут, повторить серию измерений. И прецизионность для этих двух серий измерений должна быть одинаковой.
Кроме того, есть еще понятие воспроизводимости. Воспроизводимость означает, что выполненные в разных метрологических лабораториях измерения, одним и тем же методом, для идентичных объектов (значений, эталонов) измерения, с точки зрения математической статистики, должны иметь одинаковую прецизионность.
Заключение
Пожалуй, на этом сегодня стоит остановиться. Как бы ни была наглядна аналогия с тиром, как бы она не позволяла ощутить, почти осязаемо, сложные метрологические понятия, обилие определений и новых терминов может утомить читателей. Или вовсе отвратить от знакомства с метрологией.
Рассмотренные сегодня типы погрешностей могут показаться нелогичными и запутанными. Но на самом деле, все очень логично, все необходимо. Пожалуй, для большинства, лишними будут только повторяемость, правильность и воспроизводимость.
В последующих статьях мы рассмотрим разные погрешности подробнее. Но без излишнего погружения в детали и зубодробильной математики. В конечном итоге, этот цикл статей не является учебником метрологии. И даже не пытается претендовать на сколь нибудь полное, подробное, или точное, изложение основ метрологии.
Будет интересно!
До новых встреч!
lg77.23 ≈ 2.8878 ≈ 2.888 .
Примечание. При вычислении промежуточных результатов следует брать на одну цифру больше, чем указано в округлении при выполнении математических действий над числами. В окончательном результате эта “запасная” цифра отбрасывается. Приведенный ниже пример поясняет сказанное:
|
(23.2 + 0.442 + 7.247) ×1.8364 |
≈ |
(23.2 + 0.44 + 7.25) ×1.84 |
≈ |
|
|
2.412 |
2.41 |
|||
|
≈ |
30.89 ×1.84 |
≈ |
56.38 |
≈ 23.58 ≈ 23.6 . |
|
|
4.41 |
2.41 |
||||
Значение физической величины округляется до первой сомнительной цифры. Все цифры, стоящие после сомнительной, отбрасываются. Абсолютная ошибка округляется до одной значащей цифры, относительная ошибка – до двух значащих цифр.
Пример. Путем измерений и математических расчетов было получено, что для объема некоторого тела имеют место следующие числа (см. с. 13: Вычисление абсолютной и относительной ошибок измерений):
V = 43.235 м3; ∆V = ± 0.423 м3.
Оказалось, что сомнительной цифрой при вычислении объема является 2. Тогда результат можно записать в следующем виде:
V= (43.2 ± 0.4) м3; EV = 43.20.4 ×100% = 0.92%.
Промахи, систематические и случайные погрешности измерений
Истинное значение физической величины абсолютно точно определить нельзя. Измерение тел, предметов или любой физической величины всегда производится с той или иной степенью точности1, т.е. с той или иной степенью приближения к ис-
1 Точностью называется величина, обратная относительной погрешности. Точность обработки результатов измерений должна согласовываться с точностью самих измерений.
тинному значению искомой величины. Если указываем, что высота дерева 2 м 56 см, а измерена она с точностью до 1 см, то это будет означать, что отклонение найденной высоты от истинной не превышает 1 см.
При измерении физических величин под действием самых разнообразных причин возникают погрешности измерения. Все погрешности принято подразделять на систематические, слу-
чайные и промахи (ошибки).
1. Промахи
Это наиболее распространенная причина ошибок. Она возникает по вине экспериментатора, сделавшего неверный отсчет, неверно записавшего результат измерения, допустившего ошибку при вычислении. К промахам, например, относятся неточно установленный нуль секундомера или нониуса микрометра, неправильная установка самого прибора (вертикальная вместо горизонтальной или наоборот), неразборчивая или небрежная запись в черновиках, а следовательно, и неправильное переписывание данных при составлении отчета дома и т.п.
Эта ошибка бывает значительно больше погрешностей других измерений. Если ошибка допущена в одном измерении из нескольких, сделанных верно, то, сравнивая числовые значения полученных результатов или их абсолютных погрешностей, ее легко обнаружить. Результат, полученный ошибочно, резко отличается от результатов других измерений, а абсолютная погрешность имеет значение, значительно превышающее абсолютные погрешности других измерений. Эта ошибка должна быть исключена из результатов измерений.
2. Систематические погрешности
Систематической называют такую погрешность, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины. Такие погрешности появляются вследствие неисправности приборов, неточности метода исследования, каких-либо упущений экспериментатора, а также при использовании для вычислений неточных зависимостей (формул), констант и т.д.
Эти ошибки очень трудно контролировать, поскольку они связаны с конструкцией либо состоянием самого измерительного прибора или инструмента (например: неправильно отградуированный штангенциркуль, не установленная на нуль стрелка прибора), а также с влиянием на них незаметных, на первый взгляд, факторов (температуры, влажности, электрических и магнитных полей, вибрации, освещенности и т.п.). В этом случае всегда измеряемая величина (линейные размеры, ток, напряжение, сопротивление и т.п.) будет заниженной или завышенной по сравнению с истинной. Таким образом, из сказанного выше ясно, что для избежания таких ошибок необходимо тщательно готовить измерительные приборы, оборудование, установки, обеспечивать правильное хранение, а также исключить внешние факторы, влияющие на результат измерения.
3. Случайные погрешности
Случайной называется погрешность, которая вызывается действием не поддающихся контролю многочисленных, независимых друг от друга факторов, изменяется от одного измерения к другому непредсказуемым образом и в равной степени может быть как положительной, так и отрицательной.
Случайные ошибки присутствуют при любых измерениях и связаны с неточностью отсчета. Например, различное зажатие деталей микрометрическим винтом микрометра или ножками штангенциркуля, различное положение глаза при отсчете по шкале и т.п. Однако в этом случае отличия носят случайный характер и отклонения от истинного значения могут происходить как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения его. Эта ошибка может быть уменьшена увеличением числа повторных измерений и нахождением среднего арифметического из полученного количества результатов. Например, если А1, А2, А3, …
An – результаты, полученные в процессе отдельных измерений, то величина
|
n |
|||||||||
|
ACP = |
A |
+ A |
2 |
+ A |
3 |
+ + A |
n |
= |
∑Ai |
|
1 |
i=1 |
||||||||
|
n |
n |
||||||||
13
будет средним арифметическим из n указанных результатов. Эта величина будет наиболее близкой к истинному значению искомой величины.
В общем случае при измерении любой величины могут присутствовать все три вида ошибок, но последний будет присутствовать всегда.
Вычисление абсолютной и относительной погрешностей измерений при прямых измерениях
1. Абсолютная погрешность
Оценить отклонение каждого из результатов измерения от истинной величины можно лишь при наличии данных большого числа измерений с использованием теории вероятности. Однако на практике, в лабораторных условиях проводят 3-5 измерений. В этом случае абсолютная погрешность отдельного i-го измерения будет следующей:
|∆Аi| = |АСР – Аi|,
где АСР – средняя величина размера А. Средняя арифметическая величина всех ∆Аi значений
|
∆ACP = |
∆A1 |
+ |
∆A2 |
+ |
∆A3 |
+ + |
∆An |
|||||||||
|
n |
||||||||||||||||
называется абсолютной погрешностью опыта. Окончательный результат измерения может быть записан в виде
А = АСР ± ∆АСР,
где А – искомая величина, которая лежит внутри интервала
АСР ± ∆АСР.
Например, если сделаем несколько измерений длины заготовки в столярной мастерской и получим среднее значение lСР = 75.5 см, а среднее арифметическое абсолютной погрешности ∆lСР = 0.3 см, то результат запишется в виде
l = (75.5 ± 0.3) см.
Это означает, что истинное значение длины заготовки лежит в интервале от 75.2 см до 75.8 см. При этом не имеет смысла вычислять среднее значение с большим числом знаков после запятой, так как от этого точность не увеличивается.
14
2. Относительная погрешность
Абсолютная погрешность измерения не характеризует точности проведенных измерений. Поэтому для того, чтобы сравнить точность различных измерений и величин разной размерности, находят среднюю относительную погрешность результата (ЕА). Относительная погрешность определяется отношением абсолютной погрешности к среднему арифметическому значению измеряемой величины, которая определяется в процентах:
ЕА= ∆ACP 100%.
ACP
Относительная погрешность показывает, какая часть абсолютной погрешности приходится на каждую единицу измеренной величины. Это дает возможность оценить точность проведенных измерений, качество работы.
Так, например, пусть при измерении бруска длиной l = 1.51 см была допущена абсолютная погрешность 0.03 мм, а при измерении расстояния от Земли до Луны L = 3.64.105 км абсолютная погрешность составила 100 км. Может показаться, что первое измерение выполнено намного точнее второго. Однако о точности измерения можно судить по относительной погрешности, а она показывает, что второе измерение было выполнено в семь раз точнее первого:
|
El |
= |
0.03 |
мм |
100% = 0.2% |
||
|
15.1 |
мм |
|||||
|
и |
ЕL = |
100 км |
100% = 0.03%. |
|||
|
364000 км |
||||||
Вычисление абсолютных и относительных погрешностей при косвенных2 измерениях
В большинстве случаев при выполнении физических экспериментов исследуемая величина не может быть измерена не-
2 При косвенных измерениях значение физической величины получают расчетным путем на основании ее зависимости от величин, измеряемых прямо.
посредственно, а является функцией одной или нескольких переменных, измеренных непосредственно. При косвенных измерениях абсолютная и относительная погрешности результатов измерений находятся вычислением через абсолютные и относительные погрешности непосредственно измеренных величин.
Использование формул дифференцирования
Для определения абсолютных и относительных погрешностей искомой величины при косвенных измерениях можно воспользоваться формулами дифференцирования, потому что абсолютная ошибка функции равна абсолютной ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции, то есть полному дифференциалу функции.
Рассмотрим это более подробно. Допустим, что физическая величина А является функцией многих переменных:
A = f (x, y, z …).
Правило I. Вначале находят абсолютную погрешность величины А, а затем относительную погрешность. Для этого необходимо:
1) Найти полный дифференциал функции dA = ∂∂Ax dx+ ∂∂Ay dy+ ∂∂Az dz+ .
2) Заменить бесконечно малые dx, dу, dz, … соответствующими абсолютными ошибками аргументов ∆x, ∆y, ∆z, … (при этом знаки “минус” в абсолютных ошибках аргументов заменяют знаками “плюс”, так чтобы величина ошибки была максимальной):
dA = ∂∂Ax ∆x + ∂∂Ay ∆y + ∂∂Az ∆z + .
Применяя это правило к частным случаям, получим:
–абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. Если X = a + b, то ∆X = ∆a + ∆b;
–абсолютная погрешность разности равна сумме абсо-
|
лютных |
погрешностей уменьшаемого и вычитаемого. Если |
|
X = a – b, то ∆X = ∆a + ∆b; |
|
|
– |
абсолютная погрешность произведения двух сомно- |
жителей равна сумме произведений среднего значения первого множителя (aCP) на абсолютную погрешность второго и среднего значения второго множителя (bCP) на абсолютную погрешность
первого. Если X = а b, то ∆X = aCP ∆b + bCP ∆а. Если X = a n , то
∆X = n аCPn-1 ∆а;
– абсолютная погрешность дроби равна сумме произведения знаменателя на абсолютную погрешность числителя и числителя на абсолютную погрешность знаменателя, деленной на
|
квадрат знаменателя. Если X = |
a |
, то ∆X= |
b |
CP |
∆a + a |
CP |
∆b |
. |
|
b |
bCP2 |
3) По определению найдем относительную погрешность
EA = ∆A 100% .
ACP
Использование дифференциала натурального логарифма
Во многих случаях, когда формула удобна для логарифмирования, оказывается более удобной другая последовательность действий: сначала находят относительную погрешность величины А, а затем абсолютную погрешность, поскольку относительная ошибка функции равна дифференциалу натурального логарифма этой функции. Действительно, относительная погрешность величины А есть ЕА = ∆A/Аср , но d(lnA) = ∆A/А и, следовательно, ∆(lnA) = ∆A/А.
Правило II.
1)Логарифмируют функцию A = f (x, y, z, …).
2)Дифференцируют полученный логарифм по всем аргу-
ментам.
3)Заменяют бесконечно малые dx, dy, dz, … абсолютными
ошибками соответствующих аргументов ∆x, ∆y, ∆z, … (знаки “минус” в абсолютных ошибках аргументов заменяют знаками
“плюс”).
После вычислений получают относительную погрешность
ЕА.
4) Абсолютную погрешность находят из формулы
17
∆A = ΑCP ΕΑ..
Указания. 1. Если функция A = f (x, y, z, …) имеет вид, неудобный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом I.
2. Если функция A = f (x, y, z, …) имеет вид, удобный для логарифмирования, то для определения погрешностей пользуются правилом II.
Рассмотрим следующие примеры:
1. В результате изучения равноускоренного движения не-
которого тела получено выражение S = v0 t + a t2/2, в котором v0 = (12 ± 1) м/с; a = (2.5 ± 0.4) м/с2; t = (30 ± 2) с;
|
S = 12 30 + |
2.5 900 |
= 1485 м. |
|
|
2 |
|||
Для оценки абсолютной и относительной погрешностей при определении пути удобно пользоваться правилом I, так как функция неудобна для логарифмирования. Тогда
∆S = t ∆V0 + V0 ∆t + 12 t CP2 ∆a + aCP t CP ∆t .
Так как
∆V0 = 1 м/с; ∆t = 2 с; ∆a = 0.4 м/с2; V0 = I2 м/с; tСР = 30 с; aСР = 2,5 м/с2 , то, подставив эти величины в формулу для ∆S,
получим
∆S = 1 м/с 30 с + 2 с 12 м/с + 1/2 0.4 м/с2 900 с2 + 2.5 м/с2 30 c 2 c = 30 м +24 м +180 м +150 м = 384 м ≈ 400 м.
Полученный результат показывает, что при определении пути (1485) цифра 4 является сомнительной. Значит, S = 1500 м. Тогда
ES = 1500400 100% = 0.266 100% = 27%.
Окончательный результат будет иметь вид:
S = (1500 ± 400) м; ЕS = 27%.
2. При определении центростремительной силы, действующей на тело, вращающееся по окружности, пользуются формулой
18
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Неотъемлемой частью любого измерения является погрешность измерений. С развитием приборостроения и методик измерений человечество стремиться снизить влияние данного явления на конечный результат измерений. Предлагаю более детально разобраться в вопросе, что же это такое погрешность измерений.
Погрешность измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешность измерений представляет собой сумму погрешностей, каждая из которых имеет свою причину.
По форме числового выражения погрешности измерений подразделяются на абсолютные и относительные
Абсолютная погрешность – это погрешность, выраженная в единицах измеряемой величины. Она определяется выражением.
(1.2), где X — результат измерения; Х0 — истинное значение этой величины.
Поскольку истинное значение измеряемой величины остается неизвестным, на практике пользуются лишь приближенной оценкой абсолютной погрешности измерения, определяемой выражением
(1.3), где Хд — действительное значение этой измеряемой величины, которое с погрешностью ее определения принимают за истинное значение.
Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины:
(1.4)
По закономерности появления погрешности измерения подразделяются на систематические, прогрессирующие, и случайные.
Систематическая погрешность – это погрешность измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющейся при повторных измерениях одной и той же величины.
Прогрессирующая погрешность – это непредсказуемая погрешность, медленно меняющаяся во времени.
Систематические и прогрессирующие погрешности средств измерений вызываются:
- первые — погрешностью градуировки шкалы или ее небольшим сдвигом;
- вторые — старением элементов средства измерения.
Систематическая погрешность остается постоянной или закономерно изменяющейся при многократных измерениях одной и той же величины. Особенность систематической погрешности состоит в том, что она может быть полностью устранена введением поправок. Особенностью прогрессирующих погрешностей является то, что они могут быть скорректированы только в данный момент времени. Они требуют непрерывной коррекции.
Случайная погрешность – это погрешность измерения изменяется случайным образом. При повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности можно обнаружить только при многократных измерениях. В отличии от систематических погрешностей случайные нельзя устранить из результатов измерений.
По происхождению различают инструментальные и методические погрешности средств измерений.
Инструментальные погрешности — это погрешности, вызываемые особенностями свойств средств измерений. Они возникают вследствие недостаточно высокого качества элементов средств измерений. К данным погрешностям можно отнести изготовление и сборку элементов средств измерений; погрешности из-за трения в механизме прибора, недостаточной жесткости его элементов и деталей и др. Подчеркнем, что инструментальная погрешность индивидуальна для каждого средства измерений.
Методическая погрешность — это погрешность средства измерения, возникающая из-за несовершенства метода измерения, неточности соотношения, используемого для оценки измеряемой величины.
Погрешности средств измерений.
Абсолютная погрешность меры – это разность между номинальным ее значением и истинным (действительным) значением воспроизводимой ею величины:
(1.5), где Xн – номинальное значение меры; Хд – действительное значение меры
Абсолютная погрешность измерительного прибора – это разность между показанием прибора и истинным (действительным) значением измеряемой величины:
(1.6), где Xп – показания прибора; Хд – действительное значение измеряемой величины.
Относительная погрешность меры или измерительного прибора – это отношение абсолютной погрешности меры или измерительного прибора к истинному
(действительному) значению воспроизводимой или измеряемой величины. Относительная погрешность меры или измерительного прибора может быть выражена в ( % ).
(1.7)
Приведенная погрешность измерительного прибора – отношение погрешности измерительного прибора к нормирующему значению. Нормирующие значение XN – это условно принятое значение, равное или верхнему пределу измерений, или диапазону измерений, или длине шкалы. Приведенная погрешность обычно выражается в ( % ).
(1.8)
Предел допускаемой погрешности средств измерений – наибольшая без учета знака погрешность средства измерений, при которой оно может быть признано и допущено к применению. Данное определение применяют к основной и дополнительной погрешности, а также к вариации показаний. Поскольку свойства средств измерений зависят от внешних условий, их погрешности также зависят от этих условий, поэтому погрешности средств измерений принято делить на основные и дополнительные.
Основная – это погрешность средства измерений, используемого в нормальных условиях, которые обычно определены в нормативно-технических документах на данное средство измерений.
Дополнительная – это изменение погрешности средства измерений вследствии отклонения влияющих величин от нормальных значений.
Погрешности средств измерений подразделяются также на статические и динамические.
Статическая – это погрешность средства измерений, используемого для измерения постоянной величины. Если измеряемая величина является функцией времени, то вследствие инерционности средств измерений возникает составляющая общей погрешности, называется динамической погрешностью средств измерений.
Также существуют систематические и случайные погрешности средств измерений они аналогичны с такими же погрешностями измерений.
Факторы влияющие на погрешность измерений.
Погрешности возникают по разным причинам: это могут быть ошибки экспериментатора или ошибки из-за применения прибора не по назначению и т.д. Существует ряд понятий которые определяют факторы влияющие на погрешность измерений
Вариация показаний прибора – это наибольшая разность показаний полученных при прямом и обратном ходе при одном и том же действительном значении измеряемой величины и неизменных внешних условиях.
Класс точности прибора – это обобщенная характеристика средств измерений (прибора), определяемая пределами допускаемых основной и дополнительных погрешностей, а также другими свойствами средств измерений, влияющих на точность, значение которой устанавливаются на отдельные виды средств измерений.
Классы точности прибора устанавливают при выпуске, градуируя его по образцовому прибору в нормальных условиях.
Прецизионность — показывает, как точно или отчетливо можно произвести отсчет. Она определяется, тем насколько близки друг к другу результаты двух идентичных измерений.
Разрешение прибора — это наименьшее изменение измеряемого значения, на которое прибор будет реагировать.
Диапазон прибора — определяется минимальным и максимальным значением входного сигнала, для которого он предназначен.
Полоса пропускания прибора — это разность между минимальной и максимальной частотой, для которых он предназначен.
Чувствительность прибора — определяется, как отношение выходного сигнала или показания прибора к входному сигналу или измеряемой величине.
Шумы — любой сигнал не несущий полезной информации.
