Как найти отрезок изоляции корня

Как найти отрезок изоляции корня

1.1. Общие сведения

Корнем уравнения


(1.1)

называется такое число

,
что

.
Корень

уравнения (1.1) называется кратным, если

.
Если же

,
то корень называется простым. Простой
корень представляет собой абсциссу
точки пере­сечения графика функции

с осью Ох
(рис. 1.1), а кратный корень – абсциссу
точки касания этого графика и оси Ох
(рис. 1.2 и 1.3).

Для некоторых классов
функций

известны формулы, позволяющие точно
определить корни уравнения (1.1) (например,
все знают, как найти корни уравнений

,

и т.д.). Однако во многих случаях таких
формул не существует (в частности,
известно, что не существует формул
нахождения корней уравнения (1.1) в случае,
когда

– многочлен степени выше 4). Такие за­дачи
решают с использованием приближенных
методов.

Применение любого из
приближенных методов начинается с
определения отрезка

,
на котором имеется единственный корень
уравнения (1.1). Такой отрезок называется
отрезком изоля­ции
корня. Возможная
процедура нахождения отрезков изоляции
описана в п. 1.2.

После того, как найден
отрезок изоляции корня, проверя­ются
условия применения выбранного метода
и, если эти условия выполнены, строятся
приближающие последовательности для
искомого корня. Если же условия применения
метода не выполнены, то следует либо
уменьшить отрезок изоляции корня, либо
воспользовать­ся другими методами.

В пп. 1.3 и 1.4 разбираются два
метода приближенного решения уравнения
(1.1), каждый из которых позволяет строить
две приближа­ющие последовательности

и

,
причем одна из них является монотонно
неубывающей, а другая – монотонно
не-возрастающей. В этом случае, если

– заданная точность для определения
корня, то для нахождения приближенного
значения

точного корня

с точностью до

достаточно определить N
членов приближающих последовательностей,
где N
находится из условия


(1.2)

и положить


,
(1.3)

что гарантирует выполнение
неравенства

.

Действительно, т.к.

,

,
причем одна последовательность монотонно
не возрастает, а другая монотонно не
убывает, то корень

обязательно лежит на отрезке

.
С другой стороны, длина этого отрезка
не превышает

(условие (1.2)), и число

есть середина данного отрезка (условие
(1.3)). Таким образом, обязательно будет
выполнено условие

,
т.е. погрешность в определении корня не
превысит заданной точ­ности вычислений.

1.2. Отрезки изоляции корней

Определить отрезки изоляции
можно графическим методом. Для этого
функцию

(левую часть уравнения (1.1)) представля­ют
в виде разности

,
причем

и

желательно выбирать так, чтобы можно
было достаточно точ­но построить
графики функций

и

.
Очевидно, кор­ни уравнения (1.1) являются
абсциссами точек пересечения (или
ка­сания) этих графиков. Поэтому
отрезки изоляции корней можно оп­ределить
визуально по чертежу. Для аналитического
контроля мож­но использовать следующую
теорему.

Теорема 1.
Если

– дифференцируемая функция на интервале

,
а отрезок

таков, что


(1.4)

и

при любом

,
то

– отрезок изоляции корня уравнения
(1.1).

Пример 1.
Указать отрезки изоляции корней уравнения

.

Р
ешение.
Т.к.

не является корнем уравнения, то оно
экви­валентно уравнению

.
Положим

,

и сделаем чертеж (рис.1.4).

Визуально определяем, что
отрезками изоляции корней яв­ляются
отрезки

и

.
Это легко проверить и с помощью указанной
теоремы.

Замечание.
В приведенном примере
можно было сразу взять

,

,
но в этом случае построить график функции

было бы сложнее.

Упражнение 1.
Проверьте выполнение условий теоремы
1.

Упражнение 2.
Можно ли в теореме 1 условие «

при любом

»
заменить на условие «

(или

)
при любом

,
за исключением, быть может, конечного
числа точек, в которых

»?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Интервал изоляции корня в нелинейном уравнении

Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Приближённое решение нелинейных алгебраических уравнений

1. Приближенное решение нелинейных алгебраических уравнений

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т.е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.

Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f(x*)=0. Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация корней уравнения представлена на рис. 1. Корнями уравнения (1) являются точки x1*, x2*, x3*, в которых функция f(x) пересекает ось x.

Методы решения нелинейного уравнения (1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. д.

В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности <xn>, такой, что . По определению предела, для любого (сколь угодно малого) ε, найдется такое N, что при n>N, |xn – x*| / (x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. f(x) – монотонная функция, в этом случае отрезок [a,b] будет интервалом изоляции.

Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.

Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f(x), исследование ее поведения при и нахождение участков возрастания и убывания функции.

Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким.

Решить уравнение x 3 ‑ 6x 2 +3x+11=0, т.е. f(x)= x 3 ‑ 6x 2 +3x+11.

Найдем производную f / (x)=3x 2 -12x+3.

Найдем нули производной f / (x)=3x 2 -12x+3=0; D=144-4*3*3=108;

X1== 0.268;

X2== 3.732;

Так как f / ()>0, то f / (x)>0 при , f / (x) / (x)>0 при . Кроме того, f()= 0. Следовательно, на интервале возрастает от до f(x1)= 3x1 2 -12x1+3=11.39; на интервале – убывает до f(x2)= 3x2 2 -12x2+3=-9.39 и на интервале возрастает до , т.е. уравнение имеет три корня.

Найдем интервалы изоляции для каждого из корней.

Рассмотрим для первого корня отрезок [-2, -1]:

f(-2)= -27 0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Рассмотрим для второго корня отрезок [1, 3]:

f(1)= 9>0, f(3)= -7 / (x) 0, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной

Учащимся 10-11 классов

доцент кафедры информатики и информационных технологий ГОУ ВПО ДВГГУ

Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной

При решении задач прикладного характера в разнообразных разделах физики, механики, техники и других областях возникает необходимость решения нелинейных уравнений с одной переменной. При этом многие уравнения не имеют аналитических решений. Это относится к большинству трансцендентных уравнений. Также доказано, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраические уравнение выше четвертой степени.

Уравнение будем называть линейным[1], алгебраическим или трансцендентным в зависимости от того, имеет ли оно одно решение, n решений или неопределенное число решений.

Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Например, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.[2]

Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:

Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложное, то его корни сравнительно редко удается найти точно. Поэтому большое значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности. Если точно определить корни уравнения не представляется возможным, для их решения используют численные итерационные (iteration – повторение) методы с заданной степенью точности.

Далее будут рассмотрены несколько численных методов и приведены алгоритмы нахождения корней уравнений.

В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде:

(1)

где функция F(x) – определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале

(2)

где функции f(x) и g(x) также определены и непрерывны на интервале .

Всякое число обращающее уравнения (1) или (2) в верные числовые равенства называется корнем этого уравнения.

Корни уравнения могут быть действительными и комплексными. В дальнейшем будет идти речь только о вычислении действительных корней.

Решить уравнение численно значит:

1) установить имеет ли оно действительные корни;

2) отделить эти корни (то есть на числовой оси найти достаточно тесные промежутки, называемые интервалами изоляции корня[3], содержащие только один корень данного уравнения);

3) уточнить отделенные корни, т. е. найти значения корней с заданной степенью точности .

Последнее означает следующее.

Пусть x* – точный корень уравнения и x* , то есть x* . Если , тогда числа и могут рассматриваться как приближенные значения корня x* соответственно с недостатком и с избытком с точностью до , так как и .

Любое число, содержащееся между и , можно принять за приближенное значение корня x* с точностью до .

Графические методы решения уравнений[4]

Пусть дано уравнение F (х) = 0. Построим график функции F (х). Абсциссы точек пересечения графика с осью Ох и являются корнями уравнения.

Иногда для графического решения уравнения удобнее записать его в виде и построить графики функций: и Абсциссы точек пересечения этих графиков и являются корнями уравнения F (х) = 0 (рис. 1).

Однако этот метод позволяет получить лишь грубо приближенные значения корней уравнения. Для получения значений корней с большей точностью применяются численные методы. Однако, графи­ческий метод очень удобен, так как он позволяет найти корни с точностью, достаточной для решения многих практических задач, а также достаточно нагляден, прост и доступен.

Численные методы решения уравнений

Наиболее распространенными на практике численными методами решения уравнения (1) являются: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных, метод простой итерации и т. д.[5]

Процесс численного решения уравнений разбивается на три этапа:

1. Отделение корней уравнения. Этот процесс можно сделать как графически, так и аналитически. Важно найти такие отрезки, которые бы содержали по одному корню уравнения (1).

2. Выбор метода решения и преобразование уравнения к виду, удобному для применения данного метода.

3. Уточнение корней с заданной точностью при помощи выбранного численного метода.

Говорят, что корень x* уравнения отделен на отрезке , если он содержится в данном отрезке, и если на этом отрезке других корней нет.

Провести полное отделение всех корней уравнения – значит разбить всю область допустимых значений на интервалы (или на отрезки), в каждом из которых содержится ровно по одному корню (или не содержится ни одного корня).

Отделение корней обычно начинают проводить графически. Для этого строят графики функций, получают интервалы, в которых на­ходятся корни уравнения. Это предположение затем проверяют ана­литически, пользуясь следующим свойством непрерывной функции F(x): если функция непрерывна на интервале и на его концах имеет разные знаки (), то между точками a и b имеется хотя бы один корень уравнения .

При этом корней может оказаться и несколько, как показано на рис. 2. Рис.2

Для того, чтобы на интервале существовал только один корень, должно выполняться следующее свойство: если функция непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка содержится корень уравнения и этот корень единственный (рис. 3, а, b).

Пример 1: Отделить графически положительные корни уравнения

Решение: Найдем приближенные значения корней уравнения графически. Для этого удобно представить уравнение в следующем виде: e0,3x = 2 sin(2x).

Решением данного уравнения будет являться абсцисса x точки пересечения графиков следующих функций:

На рисунке видно, что графики функций y1(x) и y2(x) пересекаются в двух точках A и B, абсциссы которых положительны и лежат соответственно в промежутках и. Следовательно, уравнение имеет два положительных корня x1 и x2, которые лежат в промежутках и.

Примечание: Графики функций можно строить с помощью компьютера, например, в электронных таблицах Excel или в свободно распространяемой системе компьютерной математики Scilab.[7]

Пример 2: Отделить аналитически корни уравнения

Решение: Для аналитического отделения корней найдем производную функции

Производная этой функции

ни в одной точке не обращается в нуль, т. к. D = 36 -4*3*11 0, следовательно, функция f везде возрастает, и уравнение (4) может иметь один корень.

[3] Методы определения интервала изоляции корня основаны на следующем свойстве: если непрерывная функция f(x) на интервале [a, b] поменяла знак, т. е. f(a)*f(b)

Отделение корней В Excel

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Лабораторная работа

Отделение корней нелинейного уравнения

Пусть имеется нелинейное уравнение .

Требуется найти корни этого уравнения. Численный процесс приближенного решения поставленной задачи разделяют два этапа: отделение корня и уточнение корня.

Для отделения корня необходимо определить промежуток аргумента , где содержится один и только один корень уравнения. Одна из точек этого промежутка принимается за начальное приближение корня. В зависимости от метода, который предполагается использовать для уточнения корня, требуется определение некоторых свойств отделенного корня и поведения функции на отрезке отделения. Например, при использовании метода деления пополам, необходимо и достаточно установить лишь непрерывность функции на отрезке отделения.

Этап отделения корня уравнения алгоритмизирован только для некоторых классов уравнений (наиболее известным из которых является класс алгебраических уравнений), поэтому отделение корней нелинейных уравнений, обычно, выполняется «вручную» с использованием всей возможной информации о функции . Часто применяется графический метод отделения действительных корней, обладающий большой наглядностью.

Методы отделения корней

Отделение корней во многих случая можно произвести графически. Учитывая, что действительные корни уравнения F ( x )=0 – это есть точки пересечения графика функции y = F ( x ) с осью абсцисс y =0, нужно построить график функции y = F ( x ) и на оси OX отметить отрезки, содержащие по одному корню. Но часто для упрощения построения графика функции y = F ( x ) исходное уравнение заменяют равносильным ему уравнением f 1 ( x )= f 2 ( x ). Далее строятся графики функций y 1 = f 1 ( x ) и y 2 = f 2 ( x ), а затем по оси OX отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения двух графиков.

На практике данный способ реализуется следующим образом: например, требуется отделить корни уравнения cos(2 x )+ x -5=0 графически на отрезке [–10;10], используя Excel .

Построим график функции f (x)=cos(2 x )+x-5 в декартовой системе координат. Для этого нужно:

Ввести в ячейку A1 текст х .

Ввести в ячейку B1 текст y =cos(2 x )+ x -5.

Ввести в ячейку А2 число -10, а в ячейку А3 число -9.

Выделить ячейки А2 и А3.

Навести указатель «мыши» на маркер заполнения в правом нижнем углу рамки, охватывающий выделенный диапазон. Нажать левую кнопку «мыши» и перетащить маркер так, чтобы рамка охватила диапазон ячеек А2:А22.

Ячейки автоматически заполняются цифрами :

Ввести в ячейку В2 формулу =COS(2*A2)+A2-5.

Методом протягивания заполнить диапазон ячеек В3:В22.

Вызвать “Мастер диаграмм” и выбрать диаграмму график (первый вид), нажать «далее».

Указать диапазон данных, для этого щелкнуть кнопку в поле «Диапазон» и выбрать диапазон данных В2:В22.

Выбрать вкладку ряд, указать имя ряда, щелкнув кнопку в поле «ряд» и выбрав В1.

В поле «подписи по оси Х», щелкнуть кнопку и выбрать диапазон А2:А22, нажать «далее».

Подписать названия осей x и y соответственно, нажать «далее».

Вывести диаграмму на том же листе, что и таблица, нажать кнопку «готово».

В итоге получаем следующее (рисунок 1):

Рисунок 1 – Локализация корня

Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение cos(2 x )+ x -5=0 имеет один корень – это видно из пересечения графика функции y=cos(2 x )+ x -5 с осью OX. Можно выбрать отрезок, содержащий данный корень: [5;6] – отрезок локализации .

Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо уравнение cos(2 x )+ x -5=0 преобразовать к виду: cos(2 x )=5- x . Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е. y 1 =cos(2 x ) и y 2 =5- x . Для решения этой задачи в Excel необходимо выполнить следующие действия:

Вести в ячейки А1:C1 соответственно текст: « x », « y 1 =cos(2 x )», « y 2 =5- x ».

A2:A22 заполнить так же как при решении задачи первым способом.

В В2 ввести формулу =COS(2*A2).

Методом протягивания заполнить диапазон ячеек В3:В22.

В С2 ввести =5-A2.

Методом протягивания заполнить диапазон ячеек С3:С22.

С помощью Мастера диаграмм выбрать график (первый вид).

В данном случае диапазон данных следует указывать для построения двух графиков. Для этого нужно нажать кнопку в поле «Диапазон» и выделить ячейки В2:В22, затем нажать Ctrl (на клавиатуре) и выделить следующий диапазон C2:C22.

Перейти на вкладку ряд, где выбрать именем ряда 1 ячейку В1, а именем ряда 2 ячейку С2.

Подписать ось x , выбрав диапазон А2:А22.

Подписать соответственно оси x и y .

Поместить диаграмму на имеющемся листе.

Результат представлен на рисунке 2: Анализируя полученный результат, можно сказать, что точка пересечения двух графиков попадает на тот же самый отрезок локализации [5;6] , что и при решении задачи первым способом.

Рисунок 2 – Локализация корня

Аналитический способ отделения корней

Аналитический способ отделения корней основан на следующей теореме , известной из курса математического анализа.

ТЕОРЕМА: Если непрерывная на функция , определяющая уравнение , на концах отрезка принимает значения разных знаков, т.е. , то на этом отрезке содержится, по крайней мере, один корень уравнения. Если же функция непрерывна и дифференцируема и ее производная сохраняет знак внутри отрезка , то на этом отрезке находится только один корень уравнения.

В случае, когда на концах интервала функция имеет одинаковые знаки, на этом интервале корни либо отсутствуют, либо их четное число.

Для отделения корней аналитическим способом выбирается отрезок , на котором находятся все интересующие вычислителя корни уравнения. Причем на отрезке функция F (x) определена, непрерывна и F ( a )* F ( b ) . Требуется указать все частичные отрезки , содержащие по одному корню.

Б
удем вычислять значение функции F ( x ) , начиная с точки x = a , двигаясь вправо с некоторым шагом h . Если F ( x )* F (x+ h ) , то на отрезке [ x ; x + h ] существует корень (рисунок 3).

Рисунок 3 – Аналитический способ локализации корней

Доказательство существования и единственности корня на отрезке.

В качестве примера рассмотрим функцию f (x)=cos(2 x )+x-5 .

Ввести в ячейки А1, В1 и С1 соответственно « x », « y =cos(2 x )+ x -5» и «ответ».

В А2 и А3 ввести граничные значения отрезка изоляции.

В В2 ввести формулу =COS(2*A2)+A2-5 и методом протягивания заполнить В3.

В С2 ввести формулу =ЕСЛИ(B2*B3

Таким образом, на отрезке изоляции корень существует:

Р
исунок 4 – Проверка существования корня на отрезке

Для доказательства единственности корня на отрезке изоляции необходимо выполнить следующие действия:

Продолжить работу в том же документе MS Excel.

Заполнить D1 и E1 соответственно: « y’ =-sin(2 x )*2+1» и «ответ» (причем выражение y’ =-sin(2 x )*2+1 – это производная первого порядка от функции y =cos(2 x )+ x -5).

Ввести в D2 формулу =-SIN(2*A2)*2+1 и методом протягивания заполнить D3.

Ввести в E2 =ЕСЛИ(D2*D3>0;”корень на данном отрезке единственный”;”Корень не единственный”).

В
результате получаем (рисунок 5):

Рисунок 5 – Доказательство единственности корня на отрезке

Таким образом доказано существование и единственность корня на отрезке изоляции.

Рассмотрим решение задачи отделения корней уравнения
cos(2 x )+ x -5=0 аналитическим способом с шагом 1 на отрезке [-10;10].

Чтобы отделить корни уравнения аналитическим способом с помощью Excel, необходимо выполнить следующее:

Заполнить ячейки A1:D1 соответственно: « x », « y =cos(2 x )+ x -5», « h », «ответ».

В С2 ввести значение 1.

Ввести в А2 значение -10.

Ввести в А3 =A2+$C$2 и методом протягивания заполнить ячейки А4:А22.

В В2 ввести =COS(2*A2)+A2-5 и методом протягивания заполнить диапазон В3:В22.

В
С3 ввести формулу =ЕСЛИ(B2*B3

В результате получаем следующее (рисунок 6):

Рисунок 6 – Отделение корня

Следующий пример (рисунок 7) демонстрирует отделение нескольких корней. Пусть исследуется функция cos ( x )=0,1 x на интервале [–10;10] с шагом 1.

Табулирование функции и построение графика осуществляется как в предыдущих примерах. Видно, что на заданном отрезке имеем 7 корней, находящихся внутри отрезков: [-10;-9]; [-9;-8]; [-5;-4]; [-2;-1]; [1;2]; [5;6]; [7;8].

Рисунок 7 – Отделение корней

Обратим внимание на то, что надежность рассмотренного алгоритма отделения корней уравнения зависит как от характера функции F (x), так и от выбранной величины шага h . Для повышения надежности следует выбирать при отделении корней достаточно малые значения h .

1. Выполнить отделение корней следующих функций:

[spoiler title=”источники:”]

http://pandia.ru/text/77/276/87588.php

http://infourok.ru/otdelenie-korney-v-ecel-1962459.html

[/spoiler]

Источник

Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня

Министерство образования РФ

Рязанская
государственная радиотехническая академия

Контрольная
работа

«Нелинейное
уравнение и интервал изоляции корня»

Выполнил ст. гр. 255

Ампилогов Н. В.

Проверил

Малютин А. Е.

Рязань 2007

Расчетная часть.

I.Заданное нелинейное уравнение и интервал
изоляции корня:

.

II.Схема алгоритма отделения корней

Разбиение исходного
интервала , на котором определена и непрерывна
функция ,на n отрезков равной длины:

Вычисление значения
функции  в точках 

концах отрезка  

Выделение отрезка

Длина отрезка  достаточно мала (можно
предположить единственность корня)

 

Корень отделен на
интервале

Границы исходного отрезка
сдвигаются

Воспользуемся приведенным
выше алгоритмом для отделения корня уравнения на заданном отрезке:

1.  
Разобьем интервал
изоляции корня  на n отрезков равной длины:

2.  
Вычисляем
значения функции в точках :

3.  
На концах отрезка
(1;2) функция имеет разные знаки и он достаточно мал для определения корня.

III. Уточнение корня методом половинного
деления

Отделение корней,
нахождение отрезка изоляции

Вычисление f(a)

=(a+b)/2

Вычисление f()

a=f(a)*f()<0                                                              
 b=

Вывод

 Произведем
вычисления согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить
корень методом половинного деления с погрешностью.

Все условия для
выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.

    

Т.к.f() то выбираем другой отрезок  [1;1,5]
на концах которого функция имеет разные знаки  и продолжаем вычисления.

 

Выбираем отрезок   [1;1,25]
,

  является корнем т.к. нам необходимо
найти корень с заданной погрешностью и выполняется условие прекращения
вычислений:

;

Мы нашли корень за 2 шага.

Проведем вычисления в
системе MathCAD

 В системе MathCAD мы нашли корень так же за 2 шага.

IV. Уточнение корня методом хорд.

Отделение корней,
нахождение отрезка изоляции.

Вывод

Произведем вычисления
согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом
хорд с погрешностью.

Все условия для
выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.

Для того чтобы определить
какой формулой метода хорд необходимо воспользоваться найдем значения первой и
второй производной на концах отрезка изоляции корня:

Нашли корень за 1 шаг.
Проведем вычисления в системе MathCAD.

В системе MathCAD мы нашли корень за 2 шага, это
объясняется более высокой точностью MathCAD по сравнению с расчетами вручную.

Отделение корней, нахождение
отрезка изоляции.

Вывод

Произведем вычисления
согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом
касательных с погрешностью.

Все условия для
выполнения данного метода(указаны в теоретической части) выполняются.

Нашли корень за 2 шага.
Проведем вычисления в системе MathCAD.

В системе MathCAD мы нашли корень так же за 2 шага.

VI. Уточнение корня методом простой
итерации.

Отделение корней,
нахождение отрезка изоляции

[c;d]=[a-h;b+h]

Приведение уравнения

f(x)=0 к виду  x=g(x)

n=0

                                     n=n+1

Вывод

Произведем вычисления
согласно представленному выше алгоритму. Необходимо определить корень методом
простой итерации с погрешностью.

Значит, итерационный
процесс не применим, расходится и не позволяет получить решение.

Вывод: Изучили различные
методы уточнения корней нелинейных уравнений (метод половинного деления, хорд,
касательных, простой итерации). На основе полученных нами результатов можно
сделать вывод о том, что высокую скорость сходимости при решении уравнений дает
метод хорд и метод касательных. Скорость сходимости методов половинного деления
и простой итерации  небольшие, но они наиболее легко реализуются на ЭВМ.

Источник

Добавить комментарий