Как найти отрезок между высотой трапеции

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту трапеции, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Напомним, высотой трапеции называется отрезок, соединяющий оба ее основания и перпендикулярный им.

Нахождение высоты трапеции

Через длины сторон

Если известны длины всех четырех сторон трапеции, ее высота рассчитывается по формуле ниже:

Через боковую сторону и прилежащий угол

Высоту трапеции можно вычислить, если знать длину любой из ее боковых сторон и значение прилежащего к ней и основанию угла.

Через диагонали и угол между ними

Зная длину оснований трапеции, а также диагоналей и угол между ними, вычислить высоту удастся по формуле:

Если сумму оснований заменить длиной средней линии (m), то формула будет выглядеть следующим образом:

Средняя линия трапеции (m) равняется полусумме ее оснований, т.е m = ^(a+b)/₂.

Через площадь

Высоту трапеции можно вычислить, если известны ее площадь и длины оснований (или средней линии).

Примечание: формулы для нахождения высоты равнобедренной и прямоугольной трапеций представлены на нашем сайте в отдельных публикациях.

Примеры задач

Задание 1
Найдите высоту трапеции, если ее основания равны 9 и 6 см, а боковые стороны – 4 и 5 см.

Решение
Т.к. у нас есть длины всех сторон, мы можем воспользоваться первой формулой для вычисления требуемого значения:

Кстати, т.к. высота равна одной из боковой сторон трапеции, значит она является прямоугольной.

Задание 2
Площадь трапеции равна 26 см². Найдите ее высоту, если основания равны 10 и 3 см.

Решение
В данном случае можно применить последнюю из рассмотренных формул:

Трапецией принято называть выпуклую четырёхугольную четырехугольник с парой параллельных и двумя не
параллельными сторонами. Отрезки, которые создают параллельные прямы называются «основанием
трапеции», две других стороны играют роль «боковой стороны трапеции». Средняя линия трапеции будет
соединять два центра боковых сторон.

Как найти высоту при помощи боковой стороны и прилегающего угла при основании

Для вычисления высоты трапеции через боковую сторону и прилегающий угол при основании нужно
воспользоваться нижеприведенной формулой:

h = a · sin α

где h — это искомая высота трапеции, a — известная боковая сторона, sin α — угол
при основании.

Пример. Чтобы разобраться с применением формулы, давайте рассмотрим пример. Дана
некая трапеция. Нам известно, что боковая сторона равна 10 сантиметрам, а прилегающих угол
составляет 30 гр. Нам нужно найти высоту данной трапеции. Для решения у нас есть вся нужная
информация и формула выше. Подставляем значения в формулу: h = a · sin, h = 10 · sin 30, h = 10 · 1/2, h = 5 см

Как найти высоту трапецию при помощи длины основания и площади трапеции

Чтобы найти высоту трапеции через известные длины основания и площадь, нужно воспользоваться
формулой:

h = (2S) / (a + b)

где h — это искомая высота трапеции, S — известная площадь фигуры, a и b — длины
обеих оснований.

Пример. Закрепим на примере: Нам известно, что в трапеции АВСD основания a и b равны
5 и 10 сантиметров. Площадь фигуры равна 30 квадратных сантиметров. Для решения нужно
воспользоваться формулой. h = (2S) / (a + b), h = (2 х 30) / (5 + 10), h = 60 /15, h = 4 см.
Высота трапеции равна 4 см.

Как найти высоту при помощи диагоналей, углу между диагоналями и средней линией трапеции

Чтобы найти высоту трапеции через среднюю линию, известные диагонали и угол между ними, нужно
прибегнуть к применению выведенной формулы:

h = ((D x d) / (2m)) x sin (α)

где h — это искомая высота трапеции, D и d — известные диагонали, m — средняя
линия, sin(α) — угол между диагоналями.

Пример. Закрепим на примере: Дана трапеция с диагоналями 5 и 12 сантиметров.
Известно, что средняя линия фигуры равна 6 см, а угол между диагоналями – 30 градусов. Применив
формулу выше, мы сможем с легкостью найти высоту трапеции. h = ((D x d) / (2m)) x sin (α), h = ((5 x 12) / (2 х 6)) x sin (30), h = (60 /12) x 0.5, h = 2.5 см.
Высота трапеции равна 2.5 см.

Как найти высоту при помощи средней линии и площади трапеции

Чтобы найти высоту трапеции через площадь и среднюю линию воспользуемся выведенной формулой:

h = (2S) / m

где h — это искомая высота трапеции, S — известная площадь фигуры, а m — средняя
линия.

Пример. Закрепим на примере: Площадь произвольной трапеции составляет 30 квадратных
сантиметров. Средняя линия фигуры равна 5 см. Нужно найти высоту по формуле. h = (2S) / m, h = (2 х 30) / 5, h = 60 / 5, h = 12 см. 12
см – высота трапеции.

Как найти высоту при помощи известного основания, диагоналей трапеции и угла между диагоналями

Для нахождения высоты трапеции при помощи известного основания, диагонали и углу между диагоналями
используют нижеприведенную формулу:

h = ((Dd) / (a + b)) x sin (α)

где h — это искомая высота трапеции, D и d — известные диагонали, a и b — длины
обеих оснований, sin(α) — угол между диагоналями.

Пример. Закрепим на примере: В трапеции ABCD диагонали равны 10 см каждая. Известно,
что сумма основ фигура равна 20 см. Угол, созданный между диагоналями – 30 градусов. Нужно найти
высоту. Для этого нужно воспользоваться выше предоставленной формулой. h = ((Dd) / (a+b)) x sin (α), h = ((10 х 10) / (20)) x sin (30), h = 5 x sin (30), h = 2.5 см.
Высота трапеции равна 2.5 см

Можно выделить 2 разновидности трапеции:

1. Трапеция, в которой одна из боковых сторон лежит под перпендикулярным углом с обеими основами
   называется прямоугольной.
2. Трапеции с равными боковыми сторонами называется равнобедренной.

Высотой трапеции принято называть отрезок, которой показывает самое короткое расстояние между верхним
и нижним основанием фигуры. Существует большое количество математических задач разного уровня
сложности, для решения которых активно применяют высоту. Стоит разобраться со всеми возможными
формулами, которые используются для нахождения высоты трапеции.

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ  ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 5

МУНИЦИПАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ                                                                                                           
город – курорт АНАПА

                                                                        
Рассмотрено и

                                                  
рекомендовано к использованию

                                                  
на заседании МО от _______________

                                                                 
Протокол №______

                           Подготовка
к ОГЭ и ЕГЭ.

                             «Формулы
и свойства трапеции»

                              Методическая разработка

                              учителя
математики

              
           Снегуровой Амины Мугиновны

                                            
2018 год.

Оглавление

     Введение 3

1.    
Определения  4

2.    
Частные случаи трапеции  5

3.    
Свойства  произвольной трапеции   6-7

4.    
Свойства равнобедренной трапеции  8-10

5.     Свойства
биссектрисы угла трапеции  10-12

6.    
Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции 12-13

7.    
Формулы нахождения диагоналей трапеции 13-14

8.    
Трапеция и окружность 14-17

9.    
Дополнительные построения в трапеции  17-23

10. Для
тех, кому интересно. Теоремы. 23-27

11.
Задачи с решениями.27-35

12.  Список используемой литературы .

Введение   

  Дорогой ученик!  

В материалах различных контрольных работ и экзаменов очень часто встречаются
задачи на трапецию, решение которых требует от учащихся знаний
«непрограммных» свойств трапеции. (Программными считаются свойство средней
линии трапеции, свойства диагоналей и углов
равнобедренной
трапеции.) Свойства, необходимые для решения задач, отсутствуют в
учебниках или перенесены в задачи и не воспринимаются как теоретические
положения.

Какими же замечательными свойствами обладает трапеция?
Как решать геометрические задачи, требующие глубоких знаний? Трапеция
обладает рядом интересных и полезных для решения задач свойствами. Если
овладеть ими и рассмотреть дополнительные построения в трапеции, то возникает
объективная возможность для решения задач повышенной сложности.

В планиметрии существует целый класс таких задач,
к которым традиционные методы (метод цепочек равных треугольников, метод
геометрических преобразований, векторный метод и др.) либо вовсе не применимы,
либо дают сложные и громоздкие решения. Во многих случаях решать такого рода
задачи помогает введение в чертеж дополнительных линий – так называемое
дополнительное построение. В одних случаях эти построения напрашиваются сами
собой, в других они не так очевидны и требуют от решающего достаточно большого
опыта, изобретательности, геометрической интуиции.

Так, чертеж данной в задаче фигуры можно
достраивать до фигуры другого типа, можно с многоугольной фигурой связывать
окружность, а можно целью дополнительного построения ставить выделение на
чертеже равных, равновеликих или подобных фигур.

Знание метода дополнительных построений в
большинстве случаев позволяет решать, казалось бы, сложные геометрические
задачи просто, понятно и красиво.

В этой
разработке собраны формулы, свойства и подсказки для решения задач связанных с
трапецией. Надеюсь, что ты здесь найдешь для себя много полезной информации.

1.Определения.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны.

Параллельные
стороны
называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми
сторонами.

Высотой трапеции называется расстояние между основаниями.

            

Kаждый
из этих отрезков  EF, BM, DK, PQ является высотой трапеции ABCD.

                                                                

В
формулах используются следующие обозначения:

a,
b – основания трапеции

c,
d – боковые стороны трапеции

d₁
d₂ – диагонали трапеции

α
β – углы при большем основании трапеции

h–
высота.

2.Частные
случаи трапеции.

                                  

Прямоугольной
трапецией называется трапециия, в которой одна из боковых сторон перпендикулярна
основаниям.

У
нее два прямых угла при меньшей боковой стороне.

Эта
сторона одновременно является и высотой трапеции.

                 

                          
произвольная

Трапецией
называется четырехугольник, у которого две стороны
параллельны, а две другие не параллельны.

                        

У
равнобедренной трапеции так же, как и у равнобедренного треугольника, углы при
основании равны.

Трапеция,
у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной

(равнобокой,
равнобочной).

3.Свойства произвольной
трапеции.

1. Во всякой трапеции сумма углов , прилежащих к
одной ее боковой стороне, равна 180⁰.

      

2. Во всякой трапеции средняя линия параллельна ее
основаниям, равна полусумме этих оснований и делит диагонали трапеции пополам.

  

                         MК =          

3.Четыре замечательные
точки трапеции:

 Во всякой трапеции середины
оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых
сторон лежат на одной прямой.

   

4. Во всякой трапеции если
сумма углов при большем основании равна 90⁰, то боковые стороны
лежат на перпендикулярных прямых. Длина отрезка, соединяющего середины
оснований,  равна полуразности оснований.

5.
Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Отрезок,
соединяющий основания всякой трапеции, и проходящий через точку пересечения
диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований
трапеции.

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях
трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то
соотношение составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения
диагоналей ( KO/ON ) будет равно соотношению оснований трапеции:   

6.Свойства отрезка, параллельного основаниям всякой трапеции.

Если
провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку
пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

*Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей
трапеции пополам, то есть КО=ОМ

*Длина отрезка,
проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного
основаниям, равна 

               
  KM = .

 7.Во всякой трапеции с основаниями   a и b отрезок, параллельный
основаниям, концы которого лежат на  боковых сторонах, равен среднему
геометрическому оснований,  если он делит  трапецию на две трапеции, подобные
между собой.

8. Во всякой трапеции с основаниями   a и b отрезок, параллельный
основаниям, концы которого лежат на  боковых сторонах, равен среднему
квадратичному оснований,  если он делит трапецию на две трапеции равной площади
(равновеликие).

                           

9.Сумма
квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс
удвоенное произведение ее оснований.

d₁²
+ d₂²
= c² + d²+
2ab, d– боковая сторона. d₁ и
d₂ –
диагонали.

Свойства
равнобедренной трапеции.

Трапеция является равнобедренной
тогда и только тогда, когда

*углы, прилежащие к одному
основанию, равны

*сумма противолежащих углов 180⁰;

*диагонали равны;

 

AC = BD

*отрезки диагоналей, соединяющих точку пересечения
с концами одного основания, равны;       BO = OC, AO = OD.

*вокруг этой трапеции можно
описать окружность.

       BC // AD,  AB = CD. ABCD – вписанная трапеция.

* высота, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает
большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а
другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

*если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны,
то

    1)квадрат ее диагонали равен половине квадрата суммы
оснований, а также  удвоенному квадрату высоты и удвоенному квадрату
средней линии.

    2)высота трапеции равна полусумме оснований. 

    3)ее высота равна средней линии.

   4)
площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны,
равна квадрату её высоты.

 (или квадрату полусуммы оснований, или квадрату средней линии).
   

             

   

*если в равнобокой трапеции высота равна средней линии, то
диагонали трапеции взаимно перпендикулярны.

  BH = HD = h =.                                     

*высота, проведённая через
точку пересечения  диагоналей, в
равнобедренной трапеции лежит на оси симметрии и разбивает трапецию на две
равные прямоугольные трапеции, то есть основания этой высотой делятся пополам.

*в равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины
оснований,  перпендикулярна им и является осью симметрии трапеции.

    

*отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон
равнобедренной трапеции, образуют ромб.

           
MNKE – ромб,
то есть

             MN=NK=KE=
ME.

*в равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату его
боковой стороны плюс произведение оснований:      d²
= c² + a b

*площадь
равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным   r  и углом при
основании   α:

                   S =

                  Свойства
биссектрисы угла трапеции.

 *биссектриса угла отсекает
от трапеции равнобедренный треугольник.

   

*точка пересечения биссектрис
тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

*если диагональ трапеции является биссектрисой ее острого угла, то
меньшее основание равно боковой стороне трапеции, прилежащей к этому углу.

*биссектриса угла трапеции, пересекающая основание, отсекает от
трапеции равнобедренный треугольник.

*биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под
прямым углом.

* точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к  боковой
стороне, лежит на средней линии трапеции.

*если биссектриса тупого угла трапеции является диагональю, то
боковая сторона равна большему основанию трапеции.

*если меньшее основание трапеции равно ее
боковой стороне, то диагональ трапеции является биссектрисой прилежащего к этой
боковой стороне острого угла.

Если в условии задачи сказано, что основание трапеции равно ее боковой
стороне, то отсюда следует, что диагональ трапеции является биссектрисой ее
угла.

*если меньшее основание трапеции равно ее
боковой стороне, то диагональ трапеции является биссектрисой прилежащего к этой
боковой стороне острого угла.

*если большее основание
трапеции равно ее боковой стороне, то диагональ трапеции является биссектрисой
прилежащего к этой боковой стороне тупого угла.

*если большее основание прямоугольной трапеции
равно ее меньшей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прямого угла,
прилежащего к меньшему основанию.

* если меньшее основание прямоугольной трапеции
равно ее меньшей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прямого угла,
прилежащего к большему основанию.

* если меньшее основание прямоугольной трапеции равно ее
большей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прилежащего к этой
боковой стороне острого угла.

* если большее основание прямоугольной трапеции
равно ее большей боковой стороне, диагональ является биссектрисой прилежащего к
этой боковой стороне тупого угла.

*если меньшее основание равнобедренной трапеции
равно ее боковой стороне, то диагональ является биссектрисой острого угла
трапеции.

* если большее основание равнобедренной трапеции
равно ее боковой стороне, то диагональ является биссектрисой тупого угла
трапеции.

Свойства
треугольников, образованных диагоналями трапеции

 

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой
пересечения диагоналей трапеции – являются подобными. 

Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются
вертикальными – они равны. 
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD
и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC,
следовательно, они равны.  
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим
углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для
решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим
образом.

*Если
нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных
треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда
длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же
значением.

*В подобных треугольниках
длины всех линейных элементов пропорциональны, а именно:

отношения периметров, радиусы
вписанных окружностей, радиусы описанных окружностей, соответствующих высот, биссектрис,
медиан (проведенных из равных углов) подобных треугольников равны отношению
соответствующих сторон (лежащих против равных углов) или равны коэффициенту
подобия.

*Площади подобных
треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон или равно квадрату
коэффициента подобия.

*Площади треугольников,
образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.

S₁²= S₂ S₃

S₃: S₂ = ² 

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции
AB и CD. Это – треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных
сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади
треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей
трапеции равны, то есть треугольники являются равновеликими.

Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего
основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины
оснований

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

Далее приведены формулы, отображающие зависимость между сторонами,
углами трапеции и величиной ее диагоналей. Эти формулы пригодятся для решения
задач по геометрии на тему “диагонали трапеции”

 

Далее, в формулах используются следующие обозначения:

a, b –
основания трапеции

c, d –
боковые стороны трапеции

d₁ d₂ –
диагонали трапеции

α β –
углы при большем основании трапеции

h– высота

Формулы нахождения диагоналей трапеции
через основания, боковые стороны и углы при основании

 

Эта группа формул отражает одно из основных свойств диагоналей
трапеции: 

*Сумма квадратов диагоналей трапеции равна
сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований.
Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

Используем
теорему косинусов.

*Данная
формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй
диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части
выражения извлечен квадратный корень.

*Эта формула
нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что
в левой части выражения оставлена другая диагональ

   4.В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна
разности квадратов оснований          
                   

                       
d₁² 
– d₂² 
= a² –
b²

*Если
диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то длина отрезка, соединяющего
середины оснований трапеции равна полусумме оснований.

MH =

BDCE и FAOD прямоугольники, а диагонали
прямоугольника равны.

 Трапеция и окружность.

1) Если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то средняя
линия трапеции равна боковой стороне.

Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность,
является средним геометрическим её оснований

                                        h²
= a ∙ b

2)
Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то её боковая сторона равна
средней линии. Площадь трапеции определяется произведением средней линии на
высоту трапеции.

3. Высота трапеции равна длине диаметра вписанной
окружности или двум ее радиусам.

MK —
высота трапеции, MK=2r, где r — радиус вписанной в трапецию окружности.

4. Центр вписанной
окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.

. CF =m,
FD =n, OF = r.

∠COD=90º, т.к. ∠ADC+∠BCD=180º – так

как сумма
внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и BC и секущей CD
равна 180⁰.

Отсюда
радиус вписанной в трапецию окружности выражается через длины отрезков, как
которые боковая сторона делится точкой касания, как r = .

А так как
высота трапеции равна ее диаметру, то и высоту трапеции можно выразить через
длины этих отрезков: h = 2 .

5.Если в трапецию можно вписать окружность и около трапеции можно
описать окружность, то проекция диагонали на большее основание, равна боковой
стороне и равна средней линии трапеции.

Если в трапецию вписана окружность, в задаче появляется несколько
путей, по которым можно повести рассуждение.

1.В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда,
когда суммы длин его противолежащих сторон равны. Отсюда следует, что если в трапецию вписана окружность, то сумма
ее оснований равна сумме боковых сторон.

 AB+CD=AD+BC

2. Отрезки касательных,
проведенных из одной точки, равны. Отсюда следует, что

AL=AK      BL=BM

CM=CF       DF=DK

                                      Описанная окружность.

 Когда трапецию можно вписать в
окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда,
когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать
в окружность можно только равнобокую трапецию.

Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как
радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые
трапецию делит ее диагональ.

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это
зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

1)Если диагональ трапеции
перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около
трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около
трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

  

2) Если диагональ трапеции образует с
боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции, лежит
внутри трапеции.

3) Если
диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной
около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

4)Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по
следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD

  

Из треугольника ABC

  

Другой вариант найти радиус описанной окружности —

                  

Синусы
угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и
ACF:

                                 

 При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно
также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему
центрального угла. Например,

  

Использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади
трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

                           

5)Если диагонали вписанной в окружность трапеции
(четырехугольника) взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов его
противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности или
удвоенному квадрату боковой стороны:      

                                a²
+ b²
= 4R²
= 2c².

6) Если в трапецию вписана окружность, то вершина трапеции, центр
вписанной в нее окружности и основание перпендикуляра, опущенного из другой
вершины на основание, лежат на одной прямой.

Дополнительные построения
как прием при решении задач

Дополнительные
построения являются эффективным методом решения геометрических задач. Наиболее
часто используются при решении задач:

 1.
Опускание высот из концов одного основания на другое основание

2.
Проведение через вершины трапеции прямой, параллельной боковой стороне, не
содержащей эту вершину

3.
Проведение через середину меньшего основания прямых, параллельных боковым
сторонам

4.
Проведение через вершину трапеции прямой, параллельной диагонали, не содержащей
эту вершину .

5.
Продолжение боковых сторон до пересечения.

Рассмотрим
каждое их них.

При
решении задач на отыскание площади дополнительным построением считается
построение ее высоты или высот. Если построение высоты не помогает решить
задачу, то нужно построить прямую, параллельную одной из ее диагоналей. Потом
найти площадь полученного треугольника, который будет равновеликим исходной
трапеции.

1.
Проведение через вершину трапеции прямой, параллельной диагонали, не содержащей
эту вершину.

При
дополнительном построении, когда переносится диагональ, образуется треугольник,
площадь которого равна площади трапеции.

                                           
S₁ = S₂

Задача.

Найдите
площадь трапеции, дмагонали которой равны 8 и 15, а средняя линия равна 8,5.

                                     
Решение.

Построим
CF // BD и
получим S_ACF = S_ABCD.
Почему?

 ABC
=   CDF, так как DF = BC и эти треугольники имеют одинаковую высоту.

Значит,
для того, чтобы найти площадь трапеции нам достаточно найти площадь     ACF.

АF
= АD + ВС  – сумма оснований трапеции. По условию задачи средняя линия
трапеции 8,5. Значит сумма оснований АF = 8,52=17.

Рассмотрим     ACF.
Проверим, является ли он прямоугольным? В этом нам поможет теорема Пифагора:

17²
= 8² + 15²

289
= 64 + 225.

289
= 289.

     ACF
– прямоугольный. S_ACF =   AC*CF
=   8*15 = 60.           S_ABCD=
60.

Если     ACF
разносторонний, то его площадь вычислим по формуле Герона.

                                                 
                                  Ответ:60.

2.
Продолжение боковых сторон до пересечения.

             Свойства трапеции,
достроенной до треугольника

 

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то
точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая
проходит через середины оснований. 

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до
треугольника. При этом:

*Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной
в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными

*Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является,
одновременно, медианой построенного треугольника.

*Если ABCD равнобедренная трапеция, то KL
является биссектрисой, медианой и высотой одновременно.

Это
дополнительное построение позволяет перейти от трапеции к треугольнику. Если
сумма углов при большем основании равна 90⁰, топродолжив боковые
стороны мы получим прямоугольный треугольник.

 Задача.

В
трапеции ABCD основания АD и ВС равны соответственно 72 и 18, а сумма углов при основании АD равна
90⁰. Найдите радиус окружности, проходящей через точки А и В и
касающейся прямой CD, если  АВ = 18.

Решение.

Центром
О данной окружности будет точка пересечения серединного
перпендикуляра к АВ и перпендикуляра, возведенного к стороне CD
из точки касания окружности.   АВО равнобедренный: АО = ВО. Продлим боковые
стороны трапеции и получим прямоугольный треугольник АМD.
KMNO – прямоугольник, где KM = MN
= NO =КО = R.

  BMC 
 AMD.

  = , то есть  и x
= 6. Тогда R = КВ + 6 = 9 + 6 = 15.

                                                                                                                     
Ответ:15.

3. Опускание высот из концов одного основания на другое основание.

Дополнительное
построение 1,2  позволяет разбить трапецию на прямоугольник (стороны которого –
одно из оснований и высота трапеции) и два прямоугольных треугольника (в
которых один из катетов – высота трапеции, а гипотенузы – боковые стороны
трапеции)

Построение
1                                          Построение   2

                                              
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                             

Задача. Найдите площадь трапеции с основаниями 8 и 13 и
боковыми сторонами 3 и 4.

                   

Решение.

Проведем ВН и СM – высоты и получим     ABD (египетский
треугольник) со сторонами 3,4,5, так как АD – ВС=13 – 8=5.

S=   АВ* BD= 6.

Найдем высоту
трапеции:  h= 2S:5 = 2*6:5=
2,4.

S_ABCD= 6+2,4*8=25,2.               Ответ:25,2.

4. Проведение
через середину меньшего основания прямых, параллельных боковым сторонам.

Дополнительное построение 4
делит трапецию на параллелограммы и треугольник. Боковые стороны соединяются в
треугольник.    

  

 

5. Проведение через вершины трапеции прямой, параллельной боковой
стороне, не содержащей эту вершину.

Задача. Основания трапеции равны 30см и 15см, а боковые стороны равны 9 см
и 12 см. Найдите высоту трапеции.

Решение.
Пусть АВСД трапеция, заданная в условии.

Проведем
через вершину С прямую, которая параллельна АВ. Пусть эта прямая пересекает АД
в точке М.

Тогда
АВСМ – параллелограмм и СМ=9, АМ=ДМ=15.

Так
как 9²+12²=15², то, применив обратную теорему
Пифагора, приходим к выводу, что СМ перпендикулярна СД.

Заметим,
что высота трапеции и треугольника МСД, проведенная из вершины С, совпадают.
Для определения искомой высоты применим метод площадей. Пусть искомая высота
равна х. Тогда для определения х составим уравнение, дважды вычислив площадь
треугольника МСД:

.

Решив
это уравнение находим: х=7,2.                 Ответ: 7,2.

Задача.
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны 15 и 12
соответственно. Найдите градусную величину угла D, если одно из оснований
трапеции на 9 больше другого.

                                              
Решение.

Из вершины угла проведем
прямую линию, параллельную стороне. Трапеция разделена данной прямой линией на
параллелограмм и треугольник. Противоположные стороны параллелограмма равны,
значит, длина стороны треугольника равна разности длин оснований трапеции. Данный
треугольник определен по трем сторонам. По теореме косинусов определим искомый
угол. Вычисления показывают, что боковая сторона перпендикулярна к основанию,
искомый угол прямой.

Ответ: 

Для
тех, кому интересно.

   

Теорема.

                                          
Задачи с решениями.

Пример
1.Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с
радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

Решение.

Дано: ABCD —
равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10

Найти: S_ABCD

1.    
AB = CD = 10 по условию.

2.    
AB + CD = AD + BC по свойству вписанной
окружности.

3.    
AD + BC = 10 + 10 = 20.

4.    
FE = 2r = 2 · 4 = 8.

5.    
S_ABCD=1/2(BC + AD)·FE, S_ABCD = 1/2 · 20
· 8 = 20/2 · 8 = 10 · 8 = 80.

Пример
2.Основания трапеции
равны 10 м и 31 м, а
боковые стороны —
20 м и 13 м. Найдите
высоту трапеции.

Решение.

Пусть HK
= BC = 10 м, BH
= CK = x, AH
= y, тогда KD
= 21 – y

По
теореме Пифагора:x² +
y² =
132x² +
(21 – y)² =
20²x² +
y² =
169 (1)

x² +
441 – 42y + y² =
400 (2)

Вычтем
из (2) уравнения (1):441 – 42y =
23142y = 210y
= 5AH = 5 м

По
теореме Пифагора:BH² =
AB² –
AH²BH² =
132 – 52BH² =
169 – 25BH² =
144

BH
= 12  

Пример
3.Большее основание трапеции равно 24. Найдите длину меньшего основания, если
расстояние между серединами диагоналей равно 4.

Решение.

 

Пример
4.Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O.

Найдите
площадь трапеции, если BC < AD и площади треугольников BOC и ABO равны
соответственно равны 2 и 8.

Анализ.

Рассмотреть подобие
треугольников.

Квадраты соответствующих
сторон относятся как площади треугольников.

Введем параметры
треугольников: стороны оснований и высоты треугольников.

Площади трапеции и
треугольников определим по известным формулам.

                                             
Решение.

Ответ: 

Пример
5.В трапеции большее основание равно 10. Диагонали трапеции, равные 8, перпендикулярны
боковым сторонам. Найдите площадь трапеции.

Анализ.

Длины диагоналей равны и
перпендикулярны боковым сторонам. Имеем равенство прямоугольных треугольников
по катету и гипотенузе: ABD
= ACD,
поэтому трапеция равнобедренная, т.е. АВ = СD.

Применим теорему Пифагора для
определения боковой стороны трапеции.

Высоту трапеции определим из
равенства площадей.

Проекцию боковой стороны на
большее основание легче определить из подобия треугольников, чем по теореме
Пифагора.

Длину средней линии в равнобокой
трапеции можно определять как разность большего основания и проекции боковой
стороны на основание.

Площадь трапеции находим как
площадь прямоугольника АМСК, который получим, если достроим трапецию.

 

Пример
6.Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, а длина ее средней линии равна 9.
Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

Анализ.

Задача решается построением.

Достроим прямоугольники и
используем свойство прямоугольника: диагонали прямоугольника равны и в точке
пересечения делятся пополам.

Длина средней линии равна
полусумме длин оснований.

Длина отрезка, соединяющая
середины оснований, равна полусумме длин диагоналей двух построенных
треугольников.

 Пример
7.Длины оснований трапеции равны 1 и 7. Найдите длину отрезка, параллельного
основаниям и заключенного между боковыми сторонами, который делит трапецию на
две равновеликие части.

Анализ.

Провести из вершины тупого
угла трапеции прямую линию, параллельную боковой стороне.

Рассмотреть отношение площадей
трапеций.

Определить отношение при
подобии треугольников.

Рациональные алгебраические
преобразования приведут к результату.

Решение.Ответ: 

Пример
11.Равнобедренная трапеция ABCD описана около окружности. Боковая сторона
трапеции равна 10, а основания относятся как 1: 4. Найдите площадь трапеции.

Анализ.

Сумма противоположных сторон
трапеции равна между собой — свойство описанного четырехугольника.

Трапеция равнобедренная.

Боковая сторона равна длине
средней линии.

Применяем теорему Пифагора для
нахождения высоты трапеции.

Площадь трапеции определяем по
доступной формуле.

 

Пример
8.Длины боковых сторон трапеции равны 6 и 10. Известно, что в трапецию можно
вписать окружность, а средняя линия делит ее на части, площади которых
относятся как 5: 11. Найдите длину большего основания трапеции.

Анализ.

Трапеция является описанной.

Сумма длин оснований равна
сумме боковых сторон.

Средняя линия делит трапецию
на две трапеции, высоты которых равны.

Задача сводится к системе
уравнений.

Длина средней линии равна
половине суммы длин боковых сторон.

Пример
9.Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности равна 15. Найдите
среднюю линию трапеции, если косинус острого угла при ее основании равен 4/5.

Анализ.

Трапеция равнобедренная.

Длина средней линии равна
боковой стороне.

Площадь трапеции определяется
произведением средней линии на высоту трапеции.

Опустим высоту трапеции из
тупого угла. Через заданный косинус угла определим синус угла.

По синусу угла выразим высоту
трапеции через боковую сторону.

 

Пример
10.В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, большая боковая
сторона равна 13, а средняя линия равна 12,5. Найдите меньшее основание
трапеции.

                                                    
Анализ.

Необходимо использовать
свойство сторон четырехугольника, описанной около окружности: сумма длин
противоположных сторон равна между собой.

Кроме того, длина средней
линии равна полусумме длин сторон оснований.

Проведем из вершины тупого
угла высоту трапеции.

Воспользуемся теоремой
Пифагора и определим проекцию наклонной боковой стороны на основание.

 Пример
11.В равнобедренную трапецию, один из углов которой равен 60°, а площадь
равна ,
вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

 

                                                 
Анализ.

Важное положение, что трапеция
является равнобедренной и имеет ось симметрии. Тогда длина боковой стороны
равна длине средней линии.

Введем параметр боковой
стороны, из прямоугольного треугольника по заданному углу определим высоту
трапеции, которая является диаметром вписанной окружности. Площадь трапеции
определяется как произведение средней линии на высоту трапеции.

.

Пример
12.Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой большее основание равно
13, средняя линия равна 8, а биссектриса тупого угла является диагональю
трапеции.

Анализ.

При проведении биссектрисы
тупого угла боковая сторона равна большему основанию трапеции. Проекция боковой
стороны равнобедренной трапеции равна полуразности длин оснований.

По теореме Пифагора найдем
высоту трапеции.

Площадь трапеции находим по
формул.

Список используемой литературы

1.    

2.    

3.    
 

Нахождение высоты по площади и основаниям

Чтобы вычислить площадь S трапеции мы используем формулу:

[S=frac{((a+b) times h)}{2}]

Здесь h — высота трапеции, а сегменты a и b являются ее основаниями.

Можем найти h:

[h=frac{2 times S}{(a+b)}]

Нахождение высоты, зная площадь и среднюю линию

Мы используем формулу, с помощью которой можно рассчитать площадь трапеции:

S = m × h,   

Здесь h — это высота трапеции, m — ее средняя линия.

Можем найти h:

[h=frac{S}{m}], будет ответом.

Высота прямоугольной трапеции

Трапецию, одна из боковых сторон которой перпендикулярна основаниям, называют прямоугольной трапецией.

Таким образом, рассмотрим подобную трапецию ABCD, где AD — высота, AC — диагональ, DC-основание. Мы используем теорему Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике ADC квадрат гипотенузы AC равен сумме квадратов его сторон — катетов AB и BC.

Тогда мы сможем написать:

AC² = AD² + DC².

AD — это катет треугольника, сторона трапеции и, одновременно, ее высота. Так как отрезок перпендикулярен основаниям. Длина катета будет находиться как:

[A D=sqrt{left(A C^{2}-D C^{2}right)}]

Таким образом, у нас есть формула, которая поможет при вычислении найти высоту трапеции AD.

Нахождение высоты через стороны

Существует еще один способ найти высоту — через стороны. Помимо высоты в трапеции стоит провести также ее диагональ, которая образует треугольник с прямым углом и даст возможность найти высоты несколькими различными способами через различные треугольники.

Если выразить все длины сторон таких треугольников через стороны трапеции и привести подобные слагаемые, то получится следующая формула:

[mathrm{h}=sqrt{C^{2}-left(frac{(a-b)^{2}+e^{2} d^{2}}{2(a-b)}right)^{2}}]