Как найти ожидание от матрицы

3.3. Математические ожидания и ковариации векторов и матриц

При работе с линейными моделями удобно представлять данные в виде векторов или матриц. Элементы некоторых векторов или матриц статистических линейных моделей являются случайными переменными. Определение случайной переменной было дано. Значение этой переменной зависит от случайного результата опыта.

В этой книге рассматривается такой тип векторов случайных переменных отклика, элементы которого могут быть коррелированы, а влияющие на них переменные являются контролируемыми и неслучайными. В конкретной линейной модели, влияющие на отклик переменные, имеют выбранные или полученные в результате расчёта детерминированные значения. Таким образом, в рассматриваемых линейных моделях имеются два вектора случайных переменных:

у= и e=.

Значения i-й переменной у_i (i=1, 2, …, n) отклика наблюдаются в результате проведения i-го опыта эксперимента, а значения переменной e_i случайной ошибки не наблюдаются, но могут оцениваться по наблюдаемым значениям переменной отклика и значениям влияющих на неё переменных.

При рассмотрении линейных моделей широко используются векторы и матрицы случайных переменных, поэтому в первую очередь для них необходимо обобщить идеи математического ожидания, ковариации и дисперсии.

Математические ожидания

Математическое ожидание вектора у размеров пх1 случайных переменных y₁, y₂, …, у_п определяется как вектор их ожидаемых значений:

Е(у)=Е===y,                                        (3.3.1)

Рекомендуемые материалы

где E(у_i)=y_i получается в виде E(у_i)=, используя функцию f_i(у_i) плотности вероятности безусловного распределения переменной у_i.

Если х и у – векторы случайных переменных размеров пх1, то, в силу (3.3.1) и (3.2.7), математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий:

Е(х+у)=Е(х)+Е(у).                                                    (3.3.2)

Пусть у_ij (i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, п) набор случайных переменных с ожидаемыми значениями E(у_ij). Выражая случайные переменные и их математические ожидания в матричной форме, можно определить общий оператор математического ожидания матрицы Y=(y_ij) размеров mхп следующим образом:

Определение 3.3.1. Математическое ожидание матрицы Y случайных переменных равно матрице математических ожиданий её элементов

E(Y)=[E(y_ij)].

По аналогии с выражением (3.3.1), ожидаемые значения матрицы Y случайных переменных представляются в виде матрицы ожидаемых значений:

E(Y)==.     (3.3.3)

Вектор можно рассматривать как матрицу, следовательно, определение 3.3.1 и следующая теорема справедливы и для векторов.

Теорема 3.3.1. Если матрицы А=(а_ij) размеров lхm, B=(b_ij) размеров nхp, С=(c_ij) размеров lхp – все имеют элементами постоянные числовые значения, а Y – матрица размеров mхn случайных переменных, то

E(AYB+C)=AE(Y)B+C.                                         (3.3.4)

Доказательство дано в книгах [Себер (1980) стр.19; Seber, Lee (2003) стр.5]

□

Там же доказывается, что, если матрицы A и В размеров mхn, элементами которых являются постоянные числовые значения, а х и у – векторы случайных переменных размеров пх1, то

E(Aх+Bу)=AE(х)+BE(у).

Если f(Y) – линейная функция матрицы Y, то её ожидаемое значение находится по формуле Е[f(Y)]=f[Е(Y)] [Boik (2011) cтр.134]. Например, если матрицы А размеров рхm, B размеров пхр и С размеров рхр – все имеют элементами постоянные числовые значения, а матрица Y размеров тхп случайных переменных, то

E[след(AYB+C)]=след[E(AYB+C)], так как след матрицы – линейный оператор

=след[AE(Y)B+C], так как AYB+C – линейная функция матрицы Y

=след[AE(Y)B]+след(C).                                                                 (3.3.5)

Ковариации и дисперсии

Аналогичным образом можно обобщить понятия ковариации и дисперсии для векторов. Если векторы случайных переменных х размеров mх1 и у размеров nх1, то ковариация этих векторов определяется следующим образом.

Определение 3.3.2. Ковариацией векторов х и у случайных переменных является прямоугольная матрица ковариаций их элементов

C(х, у)=[C(х_i, у_j)].

Теорема 3.3.2. Если случайные векторы х и у имеют векторы математических ожиданий E(x)=x и Е(у)=y, то их ковариация

C(х, у)=E[(x–x)(y–y)^T].

Доказательство:

C(х, у)=[C(х_i, у_j)]

={E[(х_i–x_i)(y_j–y_j)]}               [в силу (3.2.9)]

=E[(x–x)(y–y)^T].      [по определению 3.3.1]

□

Применим эту теорему для нахождения матрицы ковариаций векторов х размеров 3х1 и у размеров 2х1

C(х, у)=E[(x–x)(y–y)^T]

=E

=Е

=.

Определение 3.3.3. Если х=у, то матрица ковариаций C(у, у) записывается в виде D(у)=E[(y–y)(y–y)^T] и называется матрицей дисперсий и ковариаций вектора у. Таким образом,

D(у)=E[(y–y)(y–y)^T]=[C(у_i, у_j)]

=.                (3.3.4)

А так как C(у_i, у_j)=C(у_j, у_i), то матрица (3.3.4) симметричная и квадратная.

Матрица дисперсий и ковариаций вектора у представляется в виде ожидаемого значения произведения (y–y)(y–y)^T. В силу (П.2.13), произведение (y_i–y_i)(y_j–y_j) является (ij)-м элементом матрицы (y–y)(y–y)^T. Таким образом, в силу (3.2.9) и (3.3.4), математическое ожидание E[(y_i–y_i)(y_j–y_j)]=s_ij является (ij)-м элементом Е[(y–y)(y–y)^T]. Отсюда

E[(y–y)(y–y)^T]=.                  (3.3.5)

Дисперсии s₁₁, s₂₂, …, s_пп переменных y₁, y₂, …, у_п и их ковариации s_ij, для всех i≠j, могут быть удобно представлены матрицей дисперсий и ковариаций, которая иногда называется ковариационной матрицей и обозначается прописной буквой S строчной s:

S=D(у)=                                (3.3.6)

В матрице S i-я строка содержит дисперсию переменной у_i и её ковариации с каждой из остальных переменных вектора у. Чтобы быть последовательными с обозначением s_ij, используем для дисперсий s_ii=s_i², где i =1, 2, …, n. При этом дисперсии расположены по диагонали матрицы S и ковариации занимают позиции за пределами диагонали. Отметим различие в значении между обозначениями D(у)=S для вектора и С(у_i, у_j)=s_ij для двух переменных.

Матрица S дисперсий и ковариаций симметричная, так как s_ij=s_ji [см. (3.2.9)]. Во многих приложениях полагается, что матрица S положительно определённая. Это обычно верно, если рассматриваются непрерывные случайные переменные, и между ними нет линейных зависимостей. Если между переменными есть линейные зависимости, то матрица S будет неотрицательно определённой.

Для примера найдём матрицу дисперсий и ковариаций вектора у размеров 3х1

D(у)=E[(y–y)(y–y)^T]

=E

=E

=.

=.

Как следует из определения 3.3.3,

D(у)=E[(у–y)(y–y)^T],                                              (3.3.7)

что после подобного сделанному в (3.2.4) преобразованию приводится к выражению

D(y)=E(yy^T)–yy^T.                                                    (3.3.8)

Последние два выражения являются естественным обобщением одномерных результатов данных выражениями (3.2.2) и (3.2.4).

Пример 3.3.1. Если а – какой-либо вектор числовых значений тех же размеров пх1, что и вектор у, то

D(y–а)=D(y).

Это следует из того, что y_i–a_i–E(y_i–a_i)=y_i–a_i–E(y_i)+a_i=y_i–E(y_i), так что

C(y_i–a_i, y_j–a_j)=C(y_i, y_j).

□

Напомним, что симметричная матрица А является положительно определенной, если для всех векторов у≠0 квадратичная форма у^ТАу>0. В дальнейшем будет использоваться часто следующая теорема.

Теорема 3.3.3. Если у – вектор случайных переменных, в котором ни одна из переменных не является линейной комбинации остальных, то есть, нет вектора а≠0 и числа b таких, что а^Ту=b для любого у, то D(у)=S – положительно определенная матрица.

Доказательство этой теоремы дано в [Себер (1980) стр.22].

□

Обобщенная дисперсия и нормированный вектор

Матрица S содержит дисперсии и ковариации всех п случайных переменных вектора у и всесторонне представляет полную их вариацию. Обобщённой мерой, характеризующей вариацию случайных переменных вектора у, может служить определитель матрицы S:

Обобщенная дисперсия =det(S).                                       (3.3.9)

В качестве статистики обобщённой дисперсии используется обобщённая выборочная дисперсия, определяемая детерминантом матрицы S=Y^T(I–Е/n)Y/(n–1) вариаций и ковариаций выборочных значений переменных вектора у, представленных матрицей Y=[y₁, y₂, …, y_k], где её столбцы составлены из векторов значений переменных вектора у [Rencher, Christensen (2012) стр.81]:

Обобщенная выборочная дисперсия =det(S).                  (3.3.10)

Если det(S) малый, то значения переменных вектора у располагаются ближе к их усреднённым значениям вектора , чем, если бы det(S) был большим. Малое значение det(S) может указывать также на то, что переменные y₁, y₂,…, у_п вектора у сильно взаимно коррелированы и стремятся занимать подпространство меньшее, чем п измерений, что соответствует одному или большему числу малых собственных значений [Rencher (1998) раздел 2.1.3; Rencher, Christensen (2012) стр.81].

Для получения полезной меры разности между векторами у и y необходимо учитывать дисперсии и ковариации переменных вектора у. Как для одной нормированной случайной переменной, получаемой по формуле z=(у–y)/s и имеющей среднее равное 0 и дисперсию равную 1, нормированная разность между векторами у и y определяется в виде

Нормированная разность =(у–y)^ТS^–1(у–y).                     (3.3.11)

Использование матрицы S^–1 в этом выражении нормирует (трансформирует) переменные вектора у так, что нормированные переменные имеют средние равные 0 и дисперсии равные 1, а также становятся и некоррелированными. Это получается потому, что матрица S положительно определённая. По теореме П.6.5 её обратная матрица тоже положительно определённая. В силу (П.12.18), матрица S^–1=S^–1/2S^–1/2. Отсюда

(у–y)^ТS^–1(у–y)=(у–y)^ТS^–1/2S^–1/2(у–y)

=[S^–1/2(у–y)]^Т[S^–1/2(у–y)]

=z^Тz,

Вам также может быть полезна лекция “Построение формы в ранне многоголосии”.

где z=S^–1/2(у–y) – вектор нормированных случайных переменных. Математическое ожидание вектора z получается

Е(z)=Е[S^–1/2(у–y)]=S^–1/2[Е(у)–y]=0

и его дисперсия

D(z)=D[S^–1/2(у–y)]=S^–1/2D(у–y)S^–1/2=S^–1/2SS^–1/2=S^–1/2S^1/2S^1/2S^–1/2=I.

Следовательно, по пункту 2 теоремы 4.5.2 следующей главы вектор S^–1/2(у–y) имеет нормальное распределение N(0, I).

Для нормированной разности, как параметра, есть соответствующая статистика, а именно, выборочная нормированная дистанция, определяемая формулой (у–)^ТS^–1(у–) и называемая часто дистанцией Махаланобиса [Mahalanobis (1936); Seber (2008) cтр.463]. Некоторый п-мерный гиперэллипсоид (у–)^ТS^–1(у–)=а², центрированный вектором  и базирующийся на S^–1 для нормирования расстояния до центра, содержит выборочные значения переменных вектора у. Гиперэллипсоид (у–)^ТS^–1(у–) имеет оси пропорциональные квадратным корням собственных значений матрицы S. Можно показать, что объём гиперэллипсоида пропорционален [det(S)]^1/2. Если минимальное собственное значение матрицы S равно нулю, то в этом направлении нет оси и гиперэллипсоид расположен в (п–1)-мерном подпространстве п-мерного пространства. Следовательно, его объём в п-мерном пространстве равен 0. Нулевое собственное значение указывает на избыточность переменных вектора у. Для устранения этого необходимо убрать одну или более переменных, являющихся линейными комбинациями остальных.

Как найти математическое ожидание?

Математическое ожидание случайной величины $X$ (обозначается $M(X)$ или реже $E(X)$) характеризует среднее значение случайной величины (дискретной или непрерывной). Мат. ожидание – это первый начальный момент заданной СВ.

Математическое ожидание относят к так называемым характеристикам положения распределения (к которым также принадлежат мода и медиана). Эта характеристика описывает некое усредненное положение случайной величины на числовой оси. Скажем, если матожидание случайной величины – срока службы лампы, равно 100 часов, то считается, что значения срока службы сосредоточены (с обеих сторон) от этого значения (с тем или иным разбросом, о котором уже говорит дисперсия).

Формула среднего случайной величины

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х вычисляется как сумма произведений значений $x_i$ , которые принимает СВ Х, на соответствующие вероятности $p_i$: $$ M(X)=sum_^. $$ Для непрерывной случайной величины (заданной плотностью вероятностей $f(x)$), формула вычисления математического ожидания Х выглядит следующим образом: $$ M(X)=int_<-infty>^ <+infty>f(x) cdot x dx. $$

Пример нахождения математического ожидания

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти M(X) по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом: $$ x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \ p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1 $$

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины: $$ M(X)=sum_^. $$ Получаем: $$ M(X)=sum_^ =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8. $$ Вот в этом примере 2 описано также нахождение дисперсии Х.

Пример 2. Найти математическое ожидание для величины Х, распределенной непрерывно с плотностью $f(x)=12(x^2-x^3)$ при $x in(0,1)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для нахождения мат. ожидания формулу: $$ M(X)=int_<-infty>^ <+infty>f(x) cdot x dx. $$ Подставляем из условия плотность вероятности и вычисляем значение интеграла: $$ M(X)=int_<-infty>^ <+infty>f(x) cdot x dx = int_<0>^ <1>12(x^2-x^3) cdot x dx = int_<0>^ <1>12(x^3-x^4) dx = \ =left.(3x^4-frac<12><5>x^5) right|_0^1=3-frac<12> <5>= frac<3><5>=0.6. $$

Вычисление математического ожидания онлайн

Как найти математическое ожидание онлайн для произвольной дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку “Вычислить”.
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое среднее (математическое ожидание)

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое мат.ожидание, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей – онлайн учебник по терверу. Для закрепления материала – еще примеры решений по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро:

3.3 Математические ожидания и ковариации векторов и матриц

3.3. Математические ожидания и ковариации векторов и матриц

При работе с линейными моделями удобно представлять данные в виде векторов или матриц. Элементы некоторых векторов или матриц статистических линейных моделей являются случайными переменными. Определение случайной переменной было дано. Значение этой переменной зависит от случайного результата опыта.

В этой книге рассматривается такой тип векторов случайных переменных отклика, элементы которого могут быть коррелированы, а влияющие на них переменные являются контролируемыми и неслучайными. В конкретной линейной модели, влияющие на отклик переменные, имеют выбранные или полученные в результате расчёта детерминированные значения. Таким образом, в рассматриваемых линейных моделях имеются два вектора случайных переменных:

у= и e=.

Значения i-й переменной у_i (i=1, 2, …, n) отклика наблюдаются в результате проведения i-го опыта эксперимента, а значения переменной e_i случайной ошибки не наблюдаются, но могут оцениваться по наблюдаемым значениям переменной отклика и значениям влияющих на неё переменных.

При рассмотрении линейных моделей широко используются векторы и матрицы случайных переменных, поэтому в первую очередь для них необходимо обобщить идеи математического ожидания, ковариации и дисперсии.

Математическое ожидание вектора у размеров пх1 случайных переменных y₁, y₂, . у_п определяется как вектор их ожидаемых значений:

Е(у)=Е===y, (3.3.1)

Рекомендуемые файлы

где E(у_i)=y_i получается в виде E(у_i)=, используя функцию f_i(у_i) плотности вероятности безусловного распределения переменной у_i.

Если х и у – векторы случайных переменных размеров пх1, то, в силу (3.3.1) и (3.2.7), математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий:

Пусть у_ij (i=1, 2, . m; j=1, 2, . п) набор случайных переменных с ожидаемыми значениями E(у_ij). Выражая случайные переменные и их математические ожидания в матричной форме, можно определить общий оператор математического ожидания матрицы Y=(y_ij) размеров mхп следующим образом:

Определение 3.3.1. Математическое ожидание матрицы Y случайных переменных равно матрице математических ожиданий её элементов

По аналогии с выражением (3.3.1), ожидаемые значения матрицы Y случайных переменных представляются в виде матрицы ожидаемых значений:

E(Y)==. (3.3.3)

Вектор можно рассматривать как матрицу, следовательно, определение 3.3.1 и следующая теорема справедливы и для векторов.

Теорема 3.3.1. Если матрицы А=(а_ij) размеров lхm, B=(b_ij) размеров nхp, С=(c_ij) размеров lхp – все имеют элементами постоянные числовые значения, а Y – матрица размеров mхn случайных переменных, то

Доказательство дано в книгах [Себер (1980) стр.19; Seber, Lee (2003) стр.5]

Там же доказывается, что, если матрицы A и В размеров mхn, элементами которых являются постоянные числовые значения, а х и у – векторы случайных переменных размеров пх1, то

Если f(Y) – линейная функция матрицы Y, то её ожидаемое значение находится по формуле Е[f(Y)]=f[Е(Y)] [Boik (2011) cтр.134]. Например, если матрицы А размеров рхm, B размеров пхр и С размеров рхр – все имеют элементами постоянные числовые значения, а матрица Y размеров тхп случайных переменных, то

Ковариации и дисперсии

Аналогичным образом можно обобщить понятия ковариации и дисперсии для векторов. Если векторы случайных переменных х размеров mх1 и у размеров nх1, то ковариация этих векторов определяется следующим образом.

Определение 3.3.2. Ковариацией векторов х и у случайных переменных является прямоугольная матрица ковариаций их элементов

Теорема 3.3.2. Если случайные векторы х и у имеют векторы математических ожиданий E(x)=x и Е(у)=y, то их ковариация

Применим эту теорему для нахождения матрицы ковариаций векторов х размеров 3х1 и у размеров 2х1

=E

=Е

=.

=. (3.3.4)

E[(y–y)(y–y) T ]=. (3.3.5)

Дисперсии s₁₁, s₂₂, . s_пп переменных y₁, y₂, . у_п и их ковариации s_ij, для всех i≠j, могут быть удобно представлены матрицей дисперсий и ковариаций, которая иногда называется ковариационной матрицей и обозначается прописной буквой S строчной s:

S=D(у)= (3.3.6)

В матрице S i-я строка содержит дисперсию переменной у_i и её ковариации с каждой из остальных переменных вектора у. Чтобы быть последовательными с обозначением s_ij, используем для дисперсий s_ii=s_i 2 , где i =1, 2, . n. При этом дисперсии расположены по диагонали матрицы S и ковариации занимают позиции за пределами диагонали. Отметим различие в значении между обозначениями D(у)=S для вектора и С(у_i, у_j)=s_ij для двух переменных.

Матрица S дисперсий и ковариаций симметричная, так как s_ij=s_ji [см. (3.2.9)]. Во многих приложениях полагается, что матрица S положительно определённая. Это обычно верно, если рассматриваются непрерывные случайные переменные, и между ними нет линейных зависимостей. Если между переменными есть линейные зависимости, то матрица S будет неотрицательно определённой.

Для примера найдём матрицу дисперсий и ковариаций вектора у размеров 3х1

=E

=E

=.

=.

Как следует из определения 3.3.3,

что после подобного сделанному в (3.2.4) преобразованию приводится к выражению

Последние два выражения являются естественным обобщением одномерных результатов данных выражениями (3.2.2) и (3.2.4).

Пример 3.3.1. Если а – какой-либо вектор числовых значений тех же размеров пх1, что и вектор у, то

Напомним, что симметричная матрица А является положительно определенной, если для всех векторов у≠0 квадратичная форма у Т Ау>0. В дальнейшем будет использоваться часто следующая теорема.

Теорема 3.3.3. Если у – вектор случайных переменных, в котором ни одна из переменных не является линейной комбинации остальных, то есть, нет вектора а≠0 и числа b таких, что а Т у=b для любого у, то D(у)=S – положительно определенная матрица.

Доказательство этой теоремы дано в [Себер (1980) стр.22].

Обобщенная дисперсия и нормированный вектор

Матрица S содержит дисперсии и ковариации всех п случайных переменных вектора у и всесторонне представляет полную их вариацию. Обобщённой мерой, характеризующей вариацию случайных переменных вектора у, может служить определитель матрицы S:

Обобщенная дисперсия =det(S). (3.3.9)

В качестве статистики обобщённой дисперсии используется обобщённая выборочная дисперсия, определяемая детерминантом матрицы S=Y T (I–Е/n)Y/(n–1) вариаций и ковариаций выборочных значений переменных вектора у, представленных матрицей Y=[y₁, y₂, …, y_k], где её столбцы составлены из векторов значений переменных вектора у [Rencher, Christensen (2012) стр.81]:

Обобщенная выборочная дисперсия =det(S). (3.3.10)

Если det(S) малый, то значения переменных вектора у располагаются ближе к их усреднённым значениям вектора , чем, если бы det(S) был большим. Малое значение det(S) может указывать также на то, что переменные y₁, y₂. у_п вектора у сильно взаимно коррелированы и стремятся занимать подпространство меньшее, чем п измерений, что соответствует одному или большему числу малых собственных значений [Rencher (1998) раздел 2.1.3; Rencher, Christensen (2012) стр.81].

Для получения полезной меры разности между векторами у и y необходимо учитывать дисперсии и ковариации переменных вектора у. Как для одной нормированной случайной переменной, получаемой по формуле z=(у–y)/s и имеющей среднее равное 0 и дисперсию равную 1, нормированная разность между векторами у и y определяется в виде

Использование матрицы S –1 в этом выражении нормирует (трансформирует) переменные вектора у так, что нормированные переменные имеют средние равные 0 и дисперсии равные 1, а также становятся и некоррелированными. Это получается потому, что матрица S положительно определённая. По теореме П.6.5 её обратная матрица тоже положительно определённая. В силу (П.12.18), матрица S –1 =S –1/2 S –1/2 . Отсюда

где z=S –1/2 (у–y) – вектор нормированных случайных переменных. Математическое ожидание вектора z получается

и его дисперсия

Следовательно, по пункту 2 теоремы 4.5.2 следующей главы вектор S –1/2 (у–y) имеет нормальное распределение N(0, I).

Для нормированной разности, как параметра, есть соответствующая статистика, а именно, выборочная нормированная дистанция, определяемая формулой (у–) Т S –1 (у–) и называемая часто дистанцией Махаланобиса [Mahalanobis (1936); Seber (2008) cтр.463]. Некоторый п-мерный гиперэллипсоид (у–) Т S –1 (у–)=а 2 , центрированный вектором и базирующийся на S –1 для нормирования расстояния до центра, содержит выборочные значения переменных вектора у. Гиперэллипсоид (у–) Т S –1 (у–) имеет оси пропорциональные квадратным корням собственных значений матрицы S. Можно показать, что объём гиперэллипсоида пропорционален [det(S)] 1/2 . Если минимальное собственное значение матрицы S равно нулю, то в этом направлении нет оси и гиперэллипсоид расположен в (п–1)-мерном подпространстве п-мерного пространства. Следовательно, его объём в п-мерном пространстве равен 0. Нулевое собственное значение указывает на избыточность переменных вектора у. Для устранения этого необходимо убрать одну или более переменных, являющихся линейными комбинациями остальных.

Математическое ожидание

Математическое ожидание — это ожидаемый результат от какого-то действия.

Например, можно рассчитать ожидаемую стоимость инвестиции в определённый момент в будущем. Рассчитывая математическое ожидание перед тем, как инвестировать, можно выбрать наилучший сценарий который, по мнению инвестора, даст наилучший результат.

Случайная величина может быть двух типов:

1. Дискретной: число возможных значений X — это числимое конечное или бесконечное множество точек; пример: количество дефектных устройств в производстве фабрики.
2. Непрерывной: X может принимать любое значение в заданном диапазоне; пример: концентрация углекислого газа в воде.

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается этой формулой:

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается:
1. Сначала нужно умножить каждое из возможных результатов на свою вероятность (например: вероятность, что выпадет “1” — 1/6, “2” — 1/3, значит умножаем 1 на 1/6, 2 на 1/3, и т.д.),
2. Затем суммируем все эти значения (1 × 1/6 + 2 × 1/3 и т.д.).

Для непрерывной случайной величины используется эта формула:

В этом случае рассчитывается интеграл в заданном интервале.

Примеры вычисления математического ожидания

• если в задаче даётся таблица с данными, то перемножаем каждое событие на его вероятность и потом всё складываем;
• если в задаче дают функцию с заданным интервалом, то вычисляем интеграл с этим интервалом.

Пример 1

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

xi	−1	1	2	3	4
pi	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = −1×0,1+ 1×0,2 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,3 = −0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,3 + 1,2 = 2,2

Пример 2

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = 2x, при x∈(0,1) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Пример 3

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

xi	1	2	3	4	5
pi	0,3	0,3	0,1	0,1	0,2

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = 1×0,3 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,1 + 5×0,2 = 0,3 + 0,6 + 0,3 + 0,4 + 1 = 2,6

Пример 4

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = (1/10).(3x²+1), при x∈(0,2) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

[spoiler title=”источники:”]

http://studizba.com/lectures/47-matematika/680-statisticheskie-metody-eksperimentalnyh-issledovaniy/13066-33-matematicheskie-ozhidaniya-i-kovariacii-vektorov-i-matric.html

http://www.uznaychtotakoe.ru/matematicheskoe-ozhidanie/

[/spoiler]

46

Случайный вектор
– это упорядоченный набор (система)
случайных величин. Ранее уже встречались
наборы независимых случайных величин.
В этой главе рассматриваются системы
случайных величин, зависящих друг от
друга. Примеры случайных векторов:
вектор скорости зенитной ракеты,
наводимой на цель, совершающей
противоракетный маневр; вектор состояния
реальной атмосферы (температура,
давление, плотность, влажность, направление
и скорость ветра); вектор свойств
конструкционного материала (плотность,
временное сопротивление , модуль
упругости и пр.).

4.1. Ковариация

Ковариацией двух
скалярных случайных величин X
и Y
называется математическое ожидание
произведения центрированных X
и Y.

Слово ковариация
происходит от латинского co
– вместе и
variatio
– изменение.

Здесь и далее нулем
отмечены центрированные случайные
величины.

Если X
и Y
– непрерывные случайные величины, то

(4.1)

где
– плотность совместного распределения
случайных величин.

За характеристику
линейной зависимости между X
и Y
применяется отношение ковариации к
произведению средних квадратических
отклонений называемое коэффициентом
корреляции

Ковариация и
коэффициент корреляции независимых
случайных величин равны нулю. Если X
= Y,
то
ЕслиX
= –Y,
то

Величина ковариации
обычно устанавливается опытным путем.
Статистическая оценка ковариации
находится по соотношениям

Обработка опытных
данных должна включать также оценку
точности определения ковариации.

4.2. Математическое ожидание и ковариационная матрица случайного вектора

Как правило, под
вектором будем понимать матрицу-столбец

Учтем, что
математическое ожидание матрицы равно
матрице, составленной из математических
ожиданий ее элементов.

Ковариационной
матрицей случайного вектора называется
матрица, составленная из дисперсий и
ковариаций проекций вектора.

(4.2)

Ковариационная
матрица симметрична относительно
главной диагонали так как
.
Это означает, что.

4.3. Линейное преобразование случайного вектора

Из определения
математического ожидания следует, что

Здесь A,B,C – неслучайные
матрицы, структура которых допускает
приведенные операции сложения и
умножения.

Для линейного
преобразования случайного вектора

справедливо
следующее

Действительно

Последний результат
очень важен и будет часто использоваться.

4.4. Собственные векторы ковариационной матрицы

Как следует из
4.2, случайный вектор X
с m
компонентами имеет квадратную и
симметричную относительно главной
диагонали ковариационную матрицу
K порядка m.
Вектор Z
и переменная
называются собственным вектором и
собственным значением матрицы, если
они удовлетворяют равенству

,

(4.3)

из которого следует,
что умножение собственного вектора
слева на матрицу K
изменяет его модуль, но не изменяет
направления.

Перепишем приведенное
равенство в виде однородной системы
линейных уравнений

(4.4)

Здесь E
– единичная матрица порядка m.
Отличное от нуля решение этой системы
существует только тогда, когда определитель
системы равен нулю.

Это уравнение
степени m
относительно неизвестной
.
Оно называется характеристическим
уравнением матрицы. Доказано, что если
матрица вещественна и симметрична, то
все ееm
корней
– вещественны и различны. Подстановка
собственных значений матрицы в исходную
систему уравнений (4.4) дает возможность
определить собственные векторы

Собственные векторы
ортогональны, то есть

Для доказательства
этого важного свойства составим
произведение
и раскроем его двумя различными способами,
используя равенство (4.3). Во-первых,

Во-вторых,

Поскольку
,
полученные выражения равны только при
условии ортогональности векторов.

Система (4.4)
определяет лишь направление, но не длину
(модуль) собственных векторов. Действительно
вектор W=CZ,
отличающийся от собственного вектора
только длиной, также удовлетворяет
равенству (4.4).

.

Поэтому будем
считать, что модуль каждого собственного
вектора равен единице

Образуем из векторов
Z
квадратную матрицу F
порядка m:

F(4.5)

Как установлено,
столбцы этой матрицы, во-первых,
ортогональны, а во-вторых, нормированы.

Установим еще одно
свойство матрицы F. Умножим матрицу F
слева на матрицу F транспонированную и
раскроем произведение.

Таким
образом, транспонирование матрицы F
одновременно является операцией
обращения:

В заключение, не
смотря на очевидность, подчеркнем, что
также как сама ковариационная матрица
случайного вектора, ее собственные
векторы и собственные значения неслучайны.

Соседние файлы в папке MD_DOC

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

	Найти мат. ожидание 20.04.2022, 05:24
22/05/16 171

Otta	Re: Найти мат. ожидание 20.04.2022, 05:59
Заслуженный участник 09/05/13 18/06/23 8903	dima_1985 Вы бы обозначение для транспонированной матрицы путем написали, а? И начните с чего попроще, посчитайте матожидание для матрицы порядка два. Глядишь, что и прояснится.

zykov	Re: Найти мат. ожидание 20.04.2022, 06:07
18/09/21 1450

Otta	Re: Найти мат. ожидание 20.04.2022, 06:13
Заслуженный участник 09/05/13 18/06/23 8903	zykov Обычно оно зависит от 🙂 которое у Вас, видимо, . Впрочем, это дело ТС.

zykov	Re: Найти мат. ожидание 20.04.2022, 06:21
18/09/21 1450	Otta Да, эксперимент был для . Для порядка 2 матожидание будет .

dima_1985	Re: Найти мат. ожидание 20.04.2022, 19:11
22/05/16 171

Otta	Re: Найти мат. ожидание 21.04.2022, 06:59
Заслуженный участник 09/05/13 18/06/23 8903	Почитайте про пфаффиан, хоть и в википедии. Раскрывать скобки, считая квадрат суммы – не лучший ход. Особенно в общем случае. Проще посчитать распределение .

Евгений Машеров	Re: Найти мат. ожидание 21.04.2022, 08:04
Заслуженный участник 11/03/08 8812 Москва	Элементы матрицы A были независимыми, элементы матрицы C – нет.

Otta	Re: Найти мат. ожидание 21.04.2022, 08:25
Заслуженный участник 09/05/13 18/06/23 8903	Элементы матрицы A были независимыми, элементы матрицы C – нет. А независимость всех и не нужна.

Евгений Машеров	Re: Найти мат. ожидание 21.04.2022, 08:58
Заслуженный участник 11/03/08 8812 Москва	Я о первоначальном рассуждении ТС.

ihq.pl	Re: Найти мат. ожидание 21.04.2022, 11:28
18/05/15 464	dima_1985 , а если воспользоваться определением определителя через перестановки?

dima_1985	Re: Найти мат. ожидание 23.04.2022, 19:37
22/05/16 171

Otta	Re: Найти мат. ожидание 23.04.2022, 20:11
Заслуженный участник 09/05/13 18/06/23 8903

dima_1985	Re: Найти мат. ожидание 24.04.2022, 17:59
22/05/16 171	В общем виде получим

svv	Re: Найти мат. ожидание 24.04.2022, 19:08
Заслуженный участник 23/07/08 10066 Crna Gora

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Макеты страниц