Как найти параллельную прямую в пространстве

2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой (a) обозначаем точки (B) и (C), а на прямой (b) — точку (A).

2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).

Доказательство:

Если в этой плоскости одна из параллельных прямых (b) пересекает прямую (c), то вторая прямая (a) тоже пересекает (c).

Точку пересечения прямых (a) и (c) обозначим за (K).

Доказательство:

выберем точку (M) на прямой (b).

Возможны два случая:

Теперь нужно доказать, что прямые (a) и (b) параллельны.

Пусть у прямых (a) и (b) есть общая точка (L).

Это означает, что через точку (L) проведены две прямые (a) и (b), которые параллельны прямой (c). Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые (a) и (b) не имеют общих точек.

Выводы:

1) любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.

2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность:

еслиa∥bиb∥c,тоa∥c.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой.

Эта статья является развернутым ответом на вопрос: «Как составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой»? Сначала приведена необходимая теория, после чего разобраны решения характерных задач. В заключении разобрано нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку трехмерного пространства параллельно заданной прямой.

Навигация по странице.

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой.

Чтобы составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой, не вызвало затруднений, вспомним важные факты.

Аксиома параллельных прямых гласит: на плоскости через точку, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Таким образом, мы можем определить конкретную прямую a на плоскости, указав прямую линию b , которой параллельна прямая a , и точку М₁ , не лежащую на прямой b , через которую проходит прямая a .

Поставим перед собой следующую задачу.

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy . Пусть в этой системе координат задана точка и прямая b , которой соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. Требуется написать уравнение прямой a , которая проходит через точку М₁ и параллельна прямой b .

Решим поставленную задачу.

Из условия мы знаем координаты точки М₁ , через которую проходит прямая a . Этих данных не достаточно, чтобы написать уравнение прямой a .

Нам еще нужно знать

Как же их найти?

По условию прямая a параллельна прямой b , тогда, на основании необходимого и достаточного условия параллельности двух прямых на плоскости, в качестве направляющего вектора прямой a мы можем принять направляющий вектор прямой b , в качестве нормального вектора прямой a мы можем взять нормальный вектор прямой b , а угловой коэффициент прямой a равен угловому коэффициенту прямой b (или они оба бесконечны).

Таким образом, чтобы в прямоугольной системе координат на плоскости написать уравнение прямой a , проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой b , нужно определить

• или координаты направляющего вектора прямой b (),
• или координаты нормального вектора прямой b (),
• или угловой коэффициент прямой b (),

принять их соответственно в качестве

• координат направляющего вектора прямой a (),
• координат нормального вектора прямой a (),
• углового коэффициента прямой a (),

и записать требуемое уравнение прямой a соответственно в виде

• или ,
• ,
• .

Внесем ясности – приведем примеры с подробными решениями на каждый случай.

Напишите уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку параллельно прямой .

Из параметрических уравнений прямой нам сразу видны координаты ее направляющего вектора . Этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой нам требуется составить. Уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор с координатами , имеет вид .

Это и есть искомые уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой .

.

Иногда требуется составить уравнение прямой определенного вида, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой. В этом случае сначала записываем уравнение прямой, которое проще всего получить, после чего приводим его к нужному виду.

Составьте уравнение прямой в отрезках, если эта прямая в прямоугольной системе координат Oxy проходит через точку плоскости с координатами параллельно прямой .

Очевидно, нормальным вектором прямой, общее уравнение которой имеет вид , является вектор . Этот вектор также является нормальным вектором прямой, уравнение которой мы ищем. Общее уравнение прямой, проходящей через точку с координатами и имеющей нормальный вектор имеет вид . Это общее уравнение прямой, проходящей через точку с координатами параллельно прямой . Осталось перейти от полученного уравнения прямой к требуемому уравнению прямой в отрезках: .

.

Напишите уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку и параллельна прямой .

Мы знаем, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны (или бесконечны), тогда – угловой коэффициент прямой, уравнение которой нам требуется составить. По условию эта прямая проходит через точку , следовательно, ее уравнение имеет вид .

.

Итак, уравнение прямой a , проходящей через заданную точку плоскости M₁ параллельно заданной прямой b , проще всего записывать в таком виде, в котором записано уравнение заданной прямой b .

Уравнения прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой.

В трехмерном пространстве через точку М₁ , не лежащую на прямой b , проходит единственная прямая a , параллельная прямой b . Таким образом, прямую в пространстве можно задать, указав точку, через которую она проходит, и прямую, которой она параллельна.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана прямая b некоторыми уравнениями прямой в пространстве и точка . Требуется написать уравнения прямой a , проходящей через точку M₁ параллельно прямой b .

Направляющим вектором прямой a является направляющий вектор прямой b . Таким образом, по известным уравнениям прямой b мы можем определить координаты ее направляющего вектора, а, следовательно, и координаты направляющего вектора прямой a . После этого мы можем записать канонические уравнения прямой a в пространстве и параметрические уравнения прямой a в пространстве, так как известны координаты точки, лежащей на прямой a , и координаты направляющего вектора прямой a .

Рассмотрим решения примеров.

Напишите уравнения прямой, которая проходит через начало прямоугольной системы координат Oxyz в трехмерном пространстве параллельно прямой .

Очевидно, направляющим вектором прямой является вектор с координатами . Этот же вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы составляем. По условию эта прямая проходит через точку , следовательно, ее канонические уравнения имеют вид .

.

От канонических уравнений прямой a при необходимости можно будет перейти к уравнениям двух плоскостей, пересекающихся по прямой a .

В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы три точки . Напишите уравнения двух плоскостей, которые пересекаются по прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ .

Направляющим вектором прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ , является вектор . По координатам точек В и А мы можем вычислить координаты вектора (при необходимости смотрите статью вычисление координат вектора по координатам точек конца и начала вектора): . Канонические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор , запишутся как .

Осталось получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, задающих эту прямую:

.

Прямая в пространстве – необходимые сведения

Статья рассказывает о взаимном расположении линий в пространстве. Будут рассмотрены основные способы задания прямой с приведением примеров и наглядных рисунков.

Прямая в пространстве – понятие

Раздел о прямой на плоскости дает представление о течки и прямой. Расположение прямой в пространстве аналогично. Если мысленно отметить две точки и провести линию, соединив их, получим прямую, уходящую в бесконечность.

Точки, прямые и отрезки в пространстве обозначаются аналогично расположению в плоскости.

Если прямая располагается на плоскости в пространстве, тогда это можно подкрепить аксиомами:

• через две точки можно провести единственную прямую;
• если две точки прямой лежат в плоскости, то все остальные точки, расположенные на прямой принадлежат плоскости.

Имеет место аксиома, благодаря которой можно рассматривать прямую в пространстве в качестве двух пересеченных плоскостей:

Если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Показано на рисунке, приведенном ниже.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут совпадать, в таком случае они будут иметь большое количество общих точек или хотя бы 2 .

Две прямые, расположенные в пространстве, могут пересекаться в случае наличия одной общей точки.

Данный случай говорит о том, что прямые располагаются на плоскости трехмерного пространства. Когда прямые, расположенные в пространстве, пересекаются, то переходим к определению угла между пересекающимися прямыми.

Две прямые пространства параллельны в том случае, если расположены в одной плоскости без общих точек.

Рассмотрим ниже расположение параллельных прямых.

После рассмотрения определения параллельных прямых, расположенных в пространстве, необходимо добавить о направляющих векторах прямой.

Ненулевой вектор, который располагается на прямой или на параллельной ему прямой, называют направляющим вектором данной прямой.

Если по условию дана линия в пространстве, то он используется для решения задач.

Две прямые пространства могут быть скрещивающимися.

Две прямые называют скрещивающимися, при условии, что они лежат в одной плоскости.

Это тесно связано с определением угла между скрещивающимися прямыми.

Особым случаем считается пересечение или скрещивание прямых под прямым углом в пространстве. Их называют перпендикулярными. Рассмотрим на рисунке.

Способы задания прямой в пространстве

Для того, чтобы расположить прямую в пространстве, существует несколько методов.

Из аксиомы для двух точек плоскости имеем, что через них может быть задана единственная прямая. При расположении двух точек в пространстве также задается только одна прямая, проходящая через них.

При прямоугольной системе координат прямая задается с помощью координат точек, которые располагаются в трехмерном пространстве. Это и позволяет составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Еще один способ задания прямой – это теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, может проходить прямая, параллельная данной, причем только одна.

Отсюда следует, что при задавании прямой и точки, не лежащей на ней, сможем определить прямую, которая параллельна заданной и проходит через указанную точку.

Есть способ, когда можно указать точку, направляющий вектор и прямую, которая проходит через нее. При задании прямой относительно прямоугольной систему координат, можно говорить о канонических и параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Немаловажный способ задания прямой – это способ, основанный на аксиоме: если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, где располагаются общие точки заданных плоскостей. При задании двух пересекающихся плоскостей можно определить прямую пространства.

Если задана плоскость и нележащая в ней точка, тогда существует прямая, проходящая через нее и перпендикулярная заданной плоскости, причем только одна. Этот способ задания базируется на теореме. Получаем, что для определения прямой достаточно задать плоскость, перпендикулярную ей, с точкой, через которую проходит заданная прямая.

В случае, если прямая задается относительно введенной прямоугольной системы координат, то следует укрепить знания из статьиуравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно в заданной плоскости.Рассмотрим задание прямой, используя точку, через которую она пройдет, и плоскости, которая располагается перпендикулярно относительно заданной прямой.

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы дадим основные определения и теоремы на тему параллельных прямых в пространстве.
В начале урока рассмотрим определение параллельных прямых в пространстве и докажем теорему о том, что через любую точку пространства можно провести только одну прямую, параллельную данной. Далее докажем лемму о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость. И с ее помощью докажем теорему о двух прямых, параллельных третьей прямой.

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/prjamaja-v-prostranstve-neobhodimye-svedenija/

http://interneturok.ru/lesson/geometry/10-klass/parallelnost-pryamyh-i-ploskostej/parallelnye-pryamye-v-prostranstve-parallelnost-treh-pryamyh

[/spoiler]

§1 Различные виды уравнения прямой в пространстве

1
Каноническое уравнение прямой

,
проходящей через данную точку

параллельно вектору

(27)

Рисунок
45

Вектор

называют направляющим вектором для
прямой

.
Обращение в нуль одного из знаменателей
уравнения (27) означает обращение в нуль
соответствующего числителя.

2
Параметрическое уравнение прямой

:

,
(28)

где

– переменный параметр,

.

В
векторной форме уравнение (28) имеет вид

,
где

,

.

3
Уравнение прямой, проходящей через две
точки

и

,
где (
,

,

одновременно), имеет вид

(29)

Рисунок
46

4
Общее уравнение прямой, которое задается
пересечением двух плоскостей:

(коэффициенты
при переменных не пропорциональны).
Направляющий вектор прямой (27) находится
по формуле

или
, т.е.

(30)

Рисунок
47

§2 Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. Условие компланарности двух прямых в пространстве

Пусть
прямые

и

заданы уравнениями:

и
.

Под
углом между прямыми понимают угол между
их направляющими векторами

и

.

Рисунок
48

Для
нахождения острого угла между прямыми

и

используют формулу вида:

(31)

Условие
перпендикулярности двух прямых в
пространстве:

Д
ве
прямые в пространстве перпендикулярны
тогда и только тогда, когда их направляющие
вектора перпендикулярны, т.е.

(32)

Рисунок 49

Условие
параллельности двух прямых в пространстве:

Две
прямые в пространстве параллельны тогда
и только тогда, когда их направляющие
векторы коллинеарны, т.е.

(33)

Рисунок
50

Условием,
при котором две прямые

и

лежат в одной плоскости, является
равенство

,
(34)

п
ри
этом, если

||

,
то прямые

и

пересекаются.

Практическое занятие № 3

Уравнения
прямой в пространстве. Способы задания
прямой в пространстве. Взаимное
расположение прямых в пространстве.

Задача
1
Составить каноническое уравнение
прямой, проходящей через

а)
точку

,
параллельной вектору
;

б)
точку

,
параллельной прямой

;

в)
точку

,
параллельной оси

;

г)
точки

и

;

д)
точку

,
параллельной прямой являющейся
пересечением двух плоскостей

Решение.

а

)
Канонические уравнения прямой

,
проходящей через данную точку

параллельно вектору

,
имеют вид

.
По условию задачи точка лежащая на
прямой задана координатами

и направляющий вектор имеет координаты

,
тогда составим уравнения прямой

Рисунок
51

б
)
уравнение прямой, проходящей через
точку

,
параллельной прямой

.
Так как прямые, по условию задачи,

и

параллельны, то направляющие вектора
их коллинеарны. Тогда направляющим
вектором для прямой

может быть вектор

.
Используя предыдущую формулу

,
составим уравнение прямой.

Уравнение
прямой, проходящей через точку

с направляющим вектором

будет
иметь вид
Рисунок 52

.

в)
уравнение прямой, проходящей через
точку

,
параллельной оси

.
Для каждого случая составим канонические
уравнения проходящие через точку

с направляющими векторами

,
,
.

.
Перейдем от канонического уравнения к
параметрическому уравнению.

г)
уравнение прямой, проходящей через две
различные точки

и

задано формулой:

.
Точки лежащие на прямой имеют координаты

и

,
подставляя в формулу получим уравнения
:

,

.

д)
уравнение прямой, проходящей через
точку

,
параллельной прямой являющейся
пересечением двух плоскостей

С
оставим
каноническое уравнения прямой по формуле

и проходящей через точку с координатами
.
По условию задачи прямая задается
пересечением двух плоскостей:

Н
ормальные
вектора двух плоскостей будут
перпендикулярны этой прямой

,
следовательно, перпендикулярны и
направляющему

вектору
этой прямой

.
Тогда уравнение прямой,

Рисунок
53 проходящей через точку

с направляющим вектором

:

.

Задача
2
Найти угол между двумя прямыми

и

:

а)

,
;

б)

,

,

,

,

,

;

в)

Решение.

В
пространстве угол между двумя прямыми
равен углу между их направляющими
векторами.

а)

,
.

Выпишем
направляющие вектора двух прямых

и

:

,

.
Используя данную формулу найдем угол
между двумя прямыми

и

:

.

б)
прямыми

и

заданы в параметрическом виде, выпишем
направляющие вектора двух прямых

и

:

;
.

По
предыдущей формуле

найдем угол:
.

в)

Для
данных прямых, которые заданы пересечением
двух плоскостей найдем направляющие
вектора:

:

.

:

,

.

.

Задача
3
Установить взаимное расположение прямых

и

:

а)

и

б)

и
.

Решение.

а)
Выпишем направляющие векторы первой и
второй прямых:

,

.
Как видно, координаты этих векторов
пропорциональны:

.

Следовательно,
данные прямые параллельные или совпадают.
Возьмем на первой прямой какую-нибудь
точку, например точку

.
Подставим ее координаты в уравнение
второй прямой:

Получаем

– из первого уравнения,

– из второго,

– из третьего. Это означает, что точка

не принадлежит второй прямой; прямые
не совпадают, значит они параллельны.

б)

и

.
Координаты направляющих векторов

и

данных прямых не пропорциональны.
Следовательно, прямые либо пересекающиеся,
либо скрещивающиеся. Проверим выполнение
условия (34) принадлежности двух прямых
одной плоскости, предварительно выписав
координаты точек

и

,
через которые проходят данные прямые:

,

.
Имеем

.

Следовательно,
данные прямые – скрещивающиеся.

Задача
4
Уравнение прямой

преобразовать
к каноническому виду.

Решение.

Для
решения этой задачи надо знать какую-либо
точку прямой и ее направляющий вектор

.
Выберем точку на прямой следующим
образом: положим, например,

;
тогда для определения абсциссы

и ординаты

у этой точки решим следующую систему
уравнений

из
которой находим

,

.
Итак, на прямой известна точка

.
Направляющий вектор прямой находим по
формуле:

,
т.е.

.

Тогда,
согласно формуле
,

или

– искомое уравнение прямой .

Задача
5
Составить параметрические уравнения
прямой перпендикулярной плоскости

и
проходящей через точку

.

Решение.

Вектор

перпендикулярен плоскости

.
Следовательно, в качестве вектора

можно взять вектор
,
т.е.

.
Тогда параметрическое уравнения прямой,
перпендикулярной плоскости

,
примет вид

Ответ.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Если рассматривать две прямые на плоскости, то они либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке. Те прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости, называют параллельными. А те, которые пересекаются, имеют особое название только в одном случае – если пересекаются под прямым углом. Такие прямые называются перпендикулярными.

Существуют ли в пространстве прямые, которые пересекаются и которые не пересекаются? Ответ на этот вопрос дают образы окружающего мира. Имеют ли такие прямые свое название и как их различать – вы узнаете из этого параграфа.
По аксиоме стереометрии, если две прямые пересекаются, то через них можно провести единственную плоскость. Это означает, что любые две пересекающиеся прямые определяют плоскость, а плоскости, в свою очередь, – пространство.

Итак, в пространстве прямые, расположенные в одной плоскости, могут пересекаться или быть параллельными. По аксиоме параллельных прямых, через точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной. По следствию из аксиомы стереометрии, через прямую и точку вне ее можно провести единственную плоскость. Поэтому выходит, что две параллельные прямые задают плоскость.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Если две произвольные прямые

Рассмотрим модель куба, изготовленного из «проволочных отрезков», лежащих на соответствующих прямых (рис. 3.1). Среди прямых, на которых лежат ребра куба, есть такие, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости ( и , и , и и т.д.), т.е. являются параллельными, однако есть и такие, которые не пересекаются и не являются параллельными ( и и и и т.д.). Такие прямые называются скрещивающимися.

Две прямые пространства, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися.

Понятно, что две скрещивающиеся прямые не могут лежать в одной плоскости. Поэтому говорят, что две прямые скрещиваются, если их нельзя поместить в одну плоскость. Для определения скрещивающихся прямых используют символ . Например (читается: «прямые и – скрещивающиеся», или «прямая скрещивается с прямой »). Особым случаем расположения прямых является их наложение – прямые совпадают.

Итак, расположение двух прямых в пространстве может быть следующим:

1. прямые пересекаются, если они имеют только одну общую точку;
2. прямые параллельны, если они не пересекаются и лежат в одной плоскости;
3. прямые скрещиваются, если они не пересекаются и не параллельны;
4. прямые совпадают, если они имеют хотя бы две общие точки.

Рассмотрим свойства, которыми обладают параллельные прямые в пространстве.

Теорема 1

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Доказательство:

Пусть произвольная прямая пространства, – точка, не принадлежащая ей (рис. 3.2). Через прямую и точку можно провести плоскость. Пусть это будет плоскость . На плоскости лежит прямая и точка вне ее. Через эту точку можно провести прямую, параллельную данной. Пусть прямая и . Докажем, что прямая единственная. Допустим, что существует другая прямая , которая не совпадает с прямой , параллельна прямой и проходит через точку . Поскольку , то по определению они лежат в одной плоскости, например .

Итак, и  имеют общую прямую  и точку , а поэтому совпадают. В плоскости через точку проходят две прямые  и , параллельные прямой , что противоречит аксиоме параллельности. Получили противоречие, которое доказывает единственность прямой , что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Теорема 2 (признак параллельности прямых)

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Доказательство:

Пусть прямые и параллельны прямой с (рис. 3.3). Докажем, что прямые и параллельны. Случай, когда прямые , , с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планиметрии. Это свойство еще называют признаком параллельности прямых. Поэтому будем считать, что эти прямые не лежат в одной плоскости, и докажем, что такой признак имеет место и в пространстве.
По условию , и поэтому эти прямые лежат в одной плоскости, пусть это будет плоскость . Аналогично, поэтому эти прямые будут лежать в некоторой другой плоскости – плоскости . Выберем на прямой точку . Через прямую и точку проведем плоскость , которая пересечет плоскость по некоторой прямой ( и имеют общую точку ). Поскольку через точку в плоскости уже проходит прямая , то , т.е. пересекает в некоторой точке , а значит и . Однако поэтому .
Т.е. точка принадлежит трем плоскостям и . Но все точки, общие для плоскостей и , лежат на прямой . Поэтому прямая а проходит через точку , что противоречит условию . Итак, не пересекает прямую , т.е. параллельна . Однако в плоскости через точку проходит только одна прямая, параллельная прямой .

Поэтому прямые и совпадают. Поскольку прямая не пересекает плоскость , то прямая  не пересекает прямую и принадлежит плоскости. Итак, , т.е. , что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Свойство скрещивающихся прямых выражает признак: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (предлагаем доказать это самостоятельно).

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Прямая является подмножеством точек плоскости. Она состоит из множества точек. Такие рассуждения приводят к тому, что прямая и плоскость могут иметь множество общих точек, одну или ни одной общей точки. Случаи, когда прямая принадлежит плоскости и когда прямая пересекает плоскость, нам известны (рис. 3.9). Другие случаи расположения прямой и плоскости рассмотрим в следующих параграфах.

Теорема 3

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая также пересекает эту плоскость. 

Доказательство:

Пусть даны параллельные прямые и , прямая  пересекает плоскость в точке (рис. 3.10). Докажем, что вторая прямая также пересекает плоскость , т.е. имеет с ней общую точку, и притом только одну.

Обозначим плоскость, которой принадлежат параллельные прямые и . Поскольку различные плоскости  и имеют общую точку , то, по аксиоме стереометрии, они имеют некоторую общую прямую . Одна из параллельных прямых плоскости  пересекает прямую . Поэтому ее пересекает вторая, параллельная ей, прямая . Точка является точкой пересечения прямых и – общей точкой прямой и плоскости .

Допустим, что прямая имеет с плоскостью какую-либо другую общую точку. Тогда, по следствию из аксиом стереометрии, принадлежит . Поскольку прямая принадлежит и плоскости , то она совпадает с прямой , которая является линией пересечения плоскостей  и . Из этого вытекает, что прямая одновременно пересекает и прямую и параллельна ей. Получили противоречие, что и требовалось доказать. Теорема доказана.
 

Пример №1

Отрезок пересекает плоскость в точке . Через его концы и точку , которая делит отрезок в отношении , считая от точки , проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость соответственно в точках . Найдите длину отрезка , если известно, .

Решение:

Поскольку прямые параллельны и пересекают прямую , то они лежат в одной плоскости (рис. 3.11). Точки лежат на одной прямой – прямой пересечения плоскости с плоскостью .
Проведем в плоскости через точку прямую , где – точка пересечения этой прямой с прямой , а – с прямой . Поскольку четырехугольники и – параллелограммы, то . Обозначим длину этих отрезков через .

Тогда (взаимное расположение точек ,  может быть различным: рис. 3.11, а и рис. 3.11, б).

Из подобия треугольников  имеем: .

Итак, , отсюда или .
Ответ. 4 см или 32 см.
 

Отметим, что прямая пересекает плоскость, когда у нее с плоскостью одна общая точка.

Параллельность прямой и плоскости

Рассмотренные в параграфах 3.1 и 3.2 случаи не исчерпывают всех возможных вариантов расположения прямой относительно плоскости. Рассмотрим случай, когда у прямой с плоскостью нет ни одной общей точки. В таком случае говорят, что прямая параллельна плоскости.

Прямая называется параллельной плоскости, если не имеет с ней ни одной общей точки.

Параллельность прямой и плоскости обозначают символом . Например  (рис. 3.16). Проверить параллельность прямой и плоскости можно, пользуясь признаком.
 

Теорема 4 (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Доказательство:

Пусть – плоскость, – прямая, которая ей не принадлежит, – прямая, принадлежащая , и . Если (рис. 3.17), то они лежат в одной плоскости . Тогда – прямая, все точки которой общие для плоскостей  и . Пусть прямая пересекает плоскость , тогда эта точка пересечения является общей точкой для плоскостей  и , т.е. принадлежит прямой . Это означает, что прямые и пересекаются. Получили противоречие условию. Итак, прямая  не может иметь с плоскостью а общих точек, поэтому параллельна ей, что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Отрезок называется параллельным плоскости, если он принадлежит прямой, которая параллельна плоскости. Например, и помещении, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда, стыки стен с потолком параллельны полу, и наоборот -стыки стен с полом параллельны потолку и т.д. Аналогично можно рассматривать такое расположение на модели прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.18):

Следствие 1. Если прямая параллельна плоскости, то через каждую точку этой плоскости на ней можно провести пря мую, параллельную данной прямой.
Например, на плоскости  находится множество прямых, которым параллельна прямая (рис. 3.19).

Следствие 2. Существует множество прямых, параллель пых одной и той же плоскости.

Например, вне плоскости находится множество параллельных ей прямых, которые могут принадлежать или не принадлежать одной плоскости (рис. 3.20).

Следствие 3. Если прямая параллельна каждой из пересекаю щихся плоскостей, то она параллельна и прямой их пересечения.

Например, на рисунке 3.21 изображены , и . Вывод: .

Итак, через точку вне плоскости можно провести:

Пример №2

Докажите, что все прямые, пересекающие одну из двух скрещивающихся прямых и параллельные другой, лежат в одной плоскости.

Дано: прямые – скрещивающиеся.

Доказать, что все прямые, пересекающие и параллельные , лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Проведем несколько произвольных прямых , пересекающих одну из двух скрещивающихся, например , и параллельных прямой (рис. 3.22). Поскольку и , то , т.е. принадлежат некоторой плоскости. Назовем ее . Отсюда следует, что прямые . Аналогично рассуждая, получаем, что прямые , также принадлежат плоскости . Итак, все прямые , принадлежат плоскости .

Почему именно так?

Скрещивающиеся прямые и не пересекаются и не параллельны. Нужно выбрать одну из них, с которой будем выполнять пересечение, например . Тогда на прямой выбираем некую точку, через которую проводим прямую, параллельную прямой (по аксиоме). Пусть это прямая . Это определяет единственную плоскость, допустим . На прямой выбираем еще одну точку, через которую проводим прямую , причем . Приходим к выводу: и х, то , а это означает, что . Такие рассуждения можно провести для любой прямой, пересекающей прямую и параллельной прямой .

Пример №3

Плоскость  пересекает стороны и треугольника соответственно в точках и  , (рис. 3.23). Найдите длину стороны треугольника , если и .

Дано:,

Найти: .

Решение:

– прямая пересечения и . , поэтому , (по углам).

, тогда .

Ответ. 15 см.

Почему именно так?

Плоскость треугольника пересекается с плоскостью в двух точках и через которые проходит единственная прямая – прямая пересечения плоскостей. , поэтому . Однако через и  проходит единственная плоскость . Итак, . Далее используем обобщенную теорему Фалеса (о пропорциональных отрезках) или подобие треугольников.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Параллельные плоскости

Если рассматривать две плоскости в пространстве, то их расположение зависит от наличия общих точек.

Возможны случаи:

1. Если у двух плоскостей имеется одна общая точка, то они пересекаются по прямой, которая проходит через эту точку (аксиома расположения) (рис. 4.1, а). При наличии двух общих точек ситуация не изменится: через произвольные две точки можно провести только одну прямую, которая будет общей для этих двух плоскостей, т.е. они пересекаются по этой прямой.
Итак, если две плоскости имеют одну или много общих точек, лежащих на одной прямой, то эти плоскости пересекаются.

2. Как известно, через три произвольные точки пространства, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну (следствие из аксиом стереометрии). Тогда очевидно, что если две плоскости будут иметь три и больше общих точек, не лежащих на одной прямой, то они будут накладываться (рис. 4.1, б). В таком случае говорят, что плоскости совпадают.

Отсюда вытекает, что плоскости совпадают, если они имеют:

• а)    общую прямую и точку, не принадлежащую ей;
• б)    две общие прямые, которые пересекаются;
• в)    хотя бы три общие точки, не лежащие на одной прямой.

3. Если две различные плоскости не имеют ни одной общей точки, то они называются параллельными (рис. 4.1, в). Для обозначения параллельности плоскостей используют символ . Записывают (читают: «плоскость параллельна плоскости », или «плоскости  и  параллельны»).

Итак, плоскости в пространстве могут: пересекаться, совпадать или быть параллельными.

Модели параллельных плоскостей встречаются довольно часто: полки в шкафу, двойные стекла в оконной раме, пол и потолок, перекрытия в многоэтажном доме, ровно сложенные в упаковках диски, учебники и т.д. Выяснить, параллельны ли плоскости, позволяет признак параллельности плоскостей.

Теорема 1

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство:

Пусть и – данные плоскости (рис. 4.2), и – две прямые, лежащие на плоскости и пере секающиеся в точке . Прямые и  лежат на плоскости и соответственно параллельны прямым и . Докажем, что плоскости  и  параллельны, методом от противного.

Допустим, что  и  пересекаются по некоторой прямой . По теореме о параллельности прямой и плоскости, прямые и , параллельные прямым и параллельны плоскости . Итак, и не пересекают плоскость , а значит не пересекают и прямую , принадлежащую . Таким образом, на плоскости через точку проходят две прямые и , параллельные , что невозможно по аксиоме параллельности. Получили противоречие. Итак, предположение неверно, плоскости и пересекаться не могут, поэтому и параллельны, что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Теорема 2

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Доказательство:

Пусть – заданная плоскость, – точка, не принадлежащая ей. Проведем в плоскости две произвольные прямые  и , пересекающиеся в точке  (рис.4.3.), а через точку – две прямые и , параллельные им . Плоскость , которая проходит через прямые и , параллельна плоскости . Итак, плоскость построена. Докажем, что она единственная, т.е. не зависит от выбора прямых и .

Допустим, что существует другая плоскость , которая проходит через точку и параллельна плоскости . Далее выполним еще два дополнительных построения:

1. Построим плоскость , которая содержит параллельные прямые и . Поскольку плоскость имеет с общую точку , то пересекает по некоторой прямой , проходящей через эту точку. Но поскольку , то , это противоречит аксиоме параллельности. Итак, прямые и  совпадают.

2. Построим плоскость , которая содержит параллельные прямые и . Она пересечет плоскость по некоторой прямой . Рассуждая аналогично, докажем, что совпадает с .

Итак, имеем, что через две пересекающиеся прямые и проходят две различные плоскости  и , однако это противоречит аксиоме принадлежности. Предположение о существовании двух различных плоскостей, параллельных данной, которые бы проходили через одну и ту же точку, неверно. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну, что и требовалось доказать. Теорема доказана.
 

Пример №4

Точка не принадлежит плоскости треугольника . На отрезках , и выбраны точки , , соответственно, так что . Докажите, что плоскости  и  параллельны.
Дано: .
Доказать: .

Доказательство:

По условию задачи: , поэтому и (по обобщенной теореме Фалеса).
, поэтому  – единственная плоскость; -единственная плоскость.
Итак, по признаку параллельности плоскостей, имеем, что , ч.т.д.

Почему именно так?

По обобщенной теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Поэтому, учитывая условие задачи, получаем параллельность трех пар соответствующих прямых: и , и , и .

Точками определяется одна плоскость, а -другая, которые, по признаку параллельности плоскостей, параллельны, ч.т.д.

Пример №5

Даны две параллельные плоскости  и . Точка не лежит ни в одной из них. Найдите геометрическое место прямых, которые проходят через точку и параллельны двум плоскостям  и .

Решение:

Пусть плоскости  и параллельны. Точка не лежит ни в плоскости , ни в плоскости . Возьмем в плоскости произвольную точку , через которую проведем две прямые и .
Через точку проведем соответственно две прямые и , параллельные и , а значит, и плоскости .

Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость, пусть это будет плоскость . Тогда , по признаку параллельности плоскостей.
Аналогично доказывается, что .

Через точку , не лежащую ни в одной из двух плоскостей, можно провести много прямых, параллельных плоскостям  и , которые будут лежать в одной плоскости, параллельной данным плоскостям.
Ответ. Плоскость.

Почему именно так?

Точка не принадлежит двум данным плоскостям и . Ее расположение в пространстве произвольно: или между плоскостями, или вне плоскостей. На решение задачи это не влияет. Через точку вне плоскости можно всегда провести много прямых, параллельных данной плоскости. Каждая прямая, параллельная одной из двух параллельных плоскостей, будет параллельной и другой плоскости. Поскольку через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость, то все параллельные данным плоскостям прямые, которые проходят через заданную точку , принадлежат одной и той же плоскости. Геометрическим местом таких прямых является плоскость.

Свойства параллельных плоскостей

Параллельные плоскости имеют определенные свойства. Рассмотрим их.

Свойство 1. Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то прямые их пересечения параллельны.

Доказательство:

Пусть – секущая плоскость для плоскостей  и , (рис. 4.9), имеем две прямые и ; они могут не пересекаться или пересекаться только в одной точке как прямые одной плоскости . , причем . и не пересекаются и лежат в одной плоскости , тогда они параллельны, , ч.т.д.

Свойство 2. Параллельные плоскости, пересекая две параллельные прямые, отсекают на них равные отрезки.

Доказательство:

Пусть и – данные параллельные прямые,  и – параллельные плоскости, пересекающие их соответственно в точках (рис. 4.10).

Поскольку прямые и параллельны, то они лежат в одной плоскости . Плоскость пересекает плоскость по прямой , а плоскость – по прямой , которые по свойству 1 параллельны. Поэтому – параллелограмм. Таким образом, ч.т.д.

Свойство 2 иногда формулируется так: отрезки параллельных прямых, находящиеся между двумя параллельными плоскостями, равны.

Свойство 3. Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны между собой.

Доказательство:

Пусть ,. Допустим, что плоскости и не параллельны. Тогда плоскости  и  имеют общую точку. Через эту точку проходит две плоскости  и , параллельные плоскости . Однако через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну, поэтому мы пришли к противоречию. Итак, , ч.т.д.

Пример №6

Докажите, что плоскость, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую плоскость.

Дано: .
Доказать: плоскость у пересекается с плоскостью .

Доказательство:

Докажем, что плоскость пересекается с плоскостью , методом от противного (рис. 4.9). Пусть и не пересекаются, тогда . По условию задачи,  и , тогда  и . Т.е. существует такая точка на прямой , через которую проведены две разные плоскости, параллельные плоскости . Это противоречит теореме о существовании плоскости, параллельной данной. Итак, , т.е. плоскость пересекается с плоскостью , ч.т.д.

Почему именно так?

Для доказательства требования задачи важно выбрать метод доказательства: прямой или от противного. В общих случаях чаще используют метод от противного. Сделав предположение, противоположное требованию задачи, мы приходим к выводу: . Отсюда, по транзитивности, , что противоречит условию задачи. Полученное противоречие доказывает требование задачи.

Итак, плоскость, пересекающая одну из двух параллель ных плоскостей, пересекает и другую.

Пример №7

Докажите, что прямая, которая пересекает одну из параллельных плоскостей, пересекает и другую.
Дано:  
Доказать: прямая пересекает плоскость .

Доказательство:

Построим произвольную плоскость (рис. 4.11), которая проходит через прямую . – общая точка прямой и плоскости , а значит и плоскости . Поэтому ,  . Тогда, по задаче 1, , где – прямая пересечения и . Получили, что . Прямая , принадлежащая , пересекает прямую в точке , следовательно, и прямую , т.е. плоскость .
Можно было бы доказать требование задачи методом от противного: предположив, что прямая не пересекает плоскость . Тогда, если и  не пересекается с , то , что противоречит условию задачи. Итак, прямая пересекает плоскость , что и требовалось доказать.
Итак, любая прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую.

Пример №8

Две параллельные плоскости  и  пересекают сторону угла в точках и , а сторону – соответственно в точках и . Найдите длину отрезка , если , (рис. 4.12).

Дано: плоскости и
Найти:
 

Решение:

Пусть , плоскость пересекает стороны угла в точках и , а плоскость – в точках и . По условию . Учитывая, что , имеем: подобен . Итак,
Ответ. 36 см.

Почему именно так?

Через точки проведем плоскость , пересекающую две параллельные плоскости  и по параллельным прямым и . Тогда полученные треугольники и подобны и их соответствующие стороны пропорциональны. Находим неизвестный член пропорции и получаем решение задачи.

Параллельное проецирование. Изображение плоских и пространственных фигур на плоскости

Чтобы изобразить пространственные фигуры на плоскости, прибегают к разным методам. Один из них – параллельное проецирование.
Параллельное проецирование – это метод изображения произвольной геометрической фигуры на плоскости, при котором все точки фигуры переносятся на плоскость по прямым, параллельным заданной, называющейся направлением проецирования.

Модели параллельного проецирования можно сравнить с тенью на плоской поверхности стены или земли при солнечном освещении. Итак, чтобы выполнить параллельное проецирование, сначала задают фигуру и плоскость, на которую проецируют, – плоскость проекции. Далее задают прямой направление проецирования – проецирующую прямую. Она должна пересекать плоскость проекции.

Пусть заданы произвольная плоскость , проецирующая прямая и точка , не принадлежащая ни прямой , ни плоскости  (рис. 4.22, а).
Проведем через точку параллельно прямую , которая пересекает плоскость в точке (рис. 4.22, б). Найденная таким образом точка называется параллельной проекцией точки на плоскость . Т.е. мы выполнили параллельное проецирование точки на плоскость .

Каждая геометрическая фигура состоит из точек. Поэтому, проецируя последовательно точки фигуры на плоскость, получаем изображение, которое называют проекцией этой фигуры, и способ выполнения изображения – параллельным проецированием.
 

Отметим, что если точка принадлежит проецирующей прямой, ее проекцией будет точка пересечения прямой с плоскостью (точка на рис. 4.22), а если точка принадлежит плоскости проекции, то ее проекция совпадает с точкой плоскости.

Рассмотрим параллельное проецирование для изображения геометрических фигур на плоскость. Пусть произвольная геометрическая фигура, которую нужно спроецировать на плоскость . Возьмем произвольную прямую , пересекающую плоскость , и проведем через вершины фигуры (точки ) прямые, параллельные . Точки – точки пересечения этих прямых с плоскостью проекции – будут проекцией вершин фигуры. Понятно, что отрезки перейдут в отрезки плоскости проекции , все точки фигуры перейдут в точки плоскости проекции, образовав изображение фигуры  (рис. 4.23).

Для параллельного проецирования важно знать его направление. От него зависит общий вид изображения проекции. Например, проекцией отрезка, параллельного проецирующей прямой, будет точка (рис. 4.24, а), а проекцией отрезка, не параллельного проецирующей прямой, – отрезок (рис. 4.24, б).
Итак, параллельное проецирование имеет свои свойства для прямых и отрезков, не параллельных направлению проецирования:

1. Проекцией прямой является прямая, а проекцией отрезка – отрезок.
2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.
3. Соотношения длин отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняются (рис. 4.24, б), т.е. равны соотношению длин своих проекций, в частности середина отрезка проецируется в середину его проекции.

Отметим, что длины проекций отрезков, параллельных плоскости проекций, сохраняются, т.е. равны длинам самих отрезков. Отсюда вытекает, что плоская фигура, плоскость которой параллельна плоскости проекции, проецируется в равную себе фигуру.

Приведем некоторые свойства изображения фигуры на плоскости, вытекающие из вышеописанного построения.
Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости рисунка отрезками (рис. 4.24, б).

Действительно, все прямые, которые проецируют точки отрезка , лежат в одной плоскости, пересекающей плоскость по прямой . Произвольная точка отрезка изображается точкой отрезка .
 

Отметим, что рассмотренные выше отрезки, которые проецируются, не параллельны направлению проецирования.
 

Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости рисунка параллельными отрезками (рис. 4.25).

Пусть и – параллельные отрезки некоторой фигуры. Их проекции – отрезки и  параллельны, поскольку их получили в результате пересечения параллельных плоскостей с плоскостью (первая из этих плоскостей проходит через прямые и , а вторая – через прямые и . Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой, то плоскости параллельны).

Соотношения длин отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняются при параллельном проецировании.

Покажем, например, что  (рис. 4.26).

Прямые и лежат в одной плоскости . Проведем в ней через точку прямую , параллельную . Треугольники и подобны. Из подобия треугольников и равенств вытекает пропорция:.

Пример №9

Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника?

Решение:

При параллельном проецировании сохраняются соотношения отрезков прямой. Поэтому середина стороны треугольника проецируется в середину проекции этой стороны. Отсюда вытекает, что проекции медиан треугольника будут медианами его проекции.

План урока:

Параллельные прямые в пространстве

Параллельность трех прямых в пространстве

Параллельность прямой и плоскости

Параллельность плоскостей

Параллельные прямые в пространстве

В 7 классе мы уже изучали параллельные прямые. При этом мы рассматривали только прямые, находящиеся на одной плоскости. Сформулируем определение параллельных прямых, которое используется в стереометрии.

Для обозначения параллельности прямых используется специальный символ «||». В частности, запись а||b означает, что а и b– это параллельные прямые.

Рассмотрим для наглядности пример.

На этом рисунке m||n. В свою очередь пары прямых р и m, р и n непараллельны, ведь у них есть общая точка. Прямые h и nтакже непараллельны, но по другой причине – они находятся в разных плос-тях (такие прямые называют скрещивающимися).

Напомним, что в геометрии параллельными могут быть не только прямые, но также отрезки и лучи. Для параллельности отрезков требуется, чтобы они находились на параллельных прямых. Аналогичное правило действует и в отношении лучей.

Докажем одну довольно простую теорему (для удобства мы будем их нумеровать, чтобы потом ссылаться на их номера).

Действительно, пусть в пространстве есть прямая m и точка А. Мы уже знаем, что через них можно провести плос-ть. Обозначим ее буквой α.

По аксиоме параллельности мы можем через А провести единственную прямую n, параллельную m, причем n будет находиться в α. Любая другая прямая в плос-ти α, проходящая через А, не может быть параллельной m, это будет противоречить аксиоме параллельности. Любая прямая, проходящая через А и не находящаяся в α, также не будет параллельна m, ведь в противном случае она по определению параллельности находилась бы с m в одной плос-ти, и тем самым получилось бы, что через m и А проведены две различные плос-ти, а это невозможно.

Заметим ещё один очевидный факт.

Существование такой плос-ти прямо вытекает из определения параллельности. Но нам надо показать, что эта плос-ть – единственная. Пусть есть прямые m и n, причем m||n. Отметим на m точку Р, а на n точки Н и К:

Если бы через m и n можно было провести более одной плос-ти, то каждая из них проходила бы через точки Р, Н и К. Однако через них можно провести лишь единственную плос-ть. Значит, и через m и n проходит лишь одна плос-ть, ч. т. д.

Доказанная теорема показывает, что параллельные прямые однозначно определяют (или задают) плос-ть, проведенную через них.

Докажем ещё одну теорему.

Доказательство. Пусть есть прямые m и n, и m||n. Прямая m пересекает плос-ть α некоторой точке М. Нам надо показать, что и n пересекает α. Проведем через m и nплос-ть β (это можно сделать по теор. 2). Точка M как часть прямой m будет ей принадлежать. Но она же принадлежит и α. Значит, у α и β есть общая точка, то есть они пересекаются. Тогда у них должна быть и общая прямая, которую мы обозначим буквой h: 

Точка М должна находиться на прямой h, то есть m и h пересекаются в ней.Значит, h пересекает и прямую n. В противном случае получилось бы, чтобы через M проведено две прямые, h и m, каждая из которых была бы параллельна n. А это невозможно по теор. 1. Обозначим точку пересечения n и h буквой N. Оно будет общей для n и α.

Осталось лишь показать, что других общих точек у n и α нет. Действительно, если бы такая точка была, то вся прямая n должна бы принадлежать β. Тогда n стала бы общей прямой α и β, то есть совпала бы с р.Но р пересекается с m, а n – нет, то есть на самом деле это различные прямые. Получается, что α и n имеют единственную общую точку N, ч. т. д.

Параллельность трех прямых в пространстве

Напомним, что в планиметрии параллельные прямые обладали так называемым свойством транзитивности: если m||nи m||р, то и n||р. Оказывается, что это правило верно и в более общем случае, когда прямые находятся в пространстве, а не на единой плос-ти.

Это утверждение иногда именуют признаком параллельности прямых.

Доказательство. Пусть в пространстве располагаются прямые m,n и р, и р||n, а р||m. Надо доказать, что также m||n. То есть надо продемонстрировать, что m и n находятся в одной плос-ти, но не пересекаются. Отметим на n некоторую точку K и проведем через  K и m плос-ть α.

Раз n и α имеют общую точку К, то либо n пересекает α, либо n полностью лежит в α. Предположим, что n и α пересекаются. Тогда с α также пересекается и р, ведь р||n(по теор. 3). Из этого вытекает (по всё той же теор. 3), что и m пересекает α, а это не так. Значит, n полностью находиться в α. Получается, что n и m в одной плос-ти.

Осталось показать, что n и m НЕ пересекаются. Действительно, если бы они пересеклись, то через точку их пересечения проходило бы сразу две прямых, параллельных р, что невозможно (по теор. 1). Значит, n и m НЕ пересекаются, а потому представляют собой пару параллельных прямых, ч. т. д.

Теперь мы можем рассмотреть одну интересную задачу.

 

Задание. В пространстве выбраны произвольные точки М, К, Н и Р, находящиеся в разных плос-тях. Далее отметили середины отрезков:

А – середина МК

В – середина КН

С – середина НР

D – середина РМ

Докажите, что эти середины находятся в одной плос-ти, и четырехугольник АВСD – это параллелограмм.

Решение. Напомним, что мы уже сталкивались с похожей задачей, когда рассматривали так называемый параллелограмм Вариньона. Здесь разница в том, что точки М, К, Н, Р находятся в разных плос-тях.

Сначала рассмотрим ∆НКР. В нем ВС – это средняя линия, ведь она соединяет середины НК и НР. Значит, ВС||РК. В ∆КМР средней линией будет являться AD, и поэтому AD|| КР. По свойству транзитивности (теор. 4) мы можем заключить, что ВС||АD. Это уже показывает, что эти два отрезка, а значит и их точки А, В, С и D, находятся в одной плос-ти, и потому АВСD– плоский четырехугольник.

Далее рассмотрим ∆РМН. Его средняя линия – это СD, поэтому CD||НМ. Аналогично из ∆КНМ можно получить, что АВ||НМ. Отсюда вытекает (по теор. 4), что CD||АВ. В итоге мы получили, что у четырехугольника АВСD противоположные стороны параллельны, и поэтому он по определению представляют собой параллелограмм.

Параллельность прямой и плоскости

Ранее мы изучили два случая взаимного расположения прямой и плос-ти. Первый случай возникает, если прямая с плос-тью имеют две общие точки. Тогда, по одной из аксиом стереометрии, вся прямая находиться в плос-ти.

Второй случай возникает, если прямая и плос-ть имеют строго одну общую точку. Тогда говорят, что они пересекаются.

Но возможен и третий случай – прямая и плос-ть вовсе не имеют общих точек. Тогда говорят, что прямая параллельна плоскости.

Для иллюстрации этого примера рассмотрим обычный куб:

Здесь плос-ть, проходящая через нижнюю грань АЕНD, параллельна отрезкам ВС, СG, GF и BF.

Существует теорема, которая представляет собой признак параллельности прямой и плоскости.

Действительно, пусть есть плос-ть α и прямая m, не лежащая в ней. Также в αесть такая прямая n, что m||n. Тогда через mbn можно провести некоторую плос-ть β (по теор. 2):

Так как n принадлежит обеим плос-тям, и α, и β, то она является их границей.Предположим, что у α и m есть хотя бы одна общая точка К. Тогда эта точка будет общей для α и β, то есть она будет находиться на их границе – прямой n. Но тогда получится, что в К пересекаются n и m. Это противоречие, из которого вытекает, что ни одной общей точки у α и m быть не может. Это как раз и значит, что они параллельны, ч. т. д.

Интересно, верно ли обратное утверждение? Вытекает ли из параллельности прямой m и плос-ти α тот факт, что в плос-ти обязательно найдется прямая, параллельная m? Оказывается, что да, и это легко продемонстрировать.

Возьмем такую прямую m и плос-ть α, что m||α. Далее выберем на α любую точку K и проведем через нее такую прямую n, что n||m (по теор. 1):

Раз n проходит через К, то она уже имеет общую точку с α. Тогда возможны лишь два варианта: либо n пересекает α, либо лежит в ней. Но вариант с пересечением на самом деле невозможен, ведь в этом случае и m также должна пересекать α (по теор. 3), а это не так. Значит, n полностью находиться на α.

В результате мы показали, что в α обязательно есть прямая, параллельная m. Более того, немного усложнив наши рассуждения, мы покажем, что таких прямых существует бесконечно много! Продолжим наше построение и проведем через К ещё одну прямую р, находящуюся в α. Она состоит из бесконечного количества различных точек. Через каждую из них мы можем провести прямую, параллельную n и лежащую в α (по аксиоме параллельности):

В силу свойства транзитивности (теор. 3) каждая такая прямая окажется параллельной не только n, но и m.

Вернемся к примеру с кубиком:

Мы уже говорили, что ребра ВС, СG, GF и FB параллельны грани АЕНD. Теперь мы можем строго доказать этот факт. Сначала напомним, что у куба каждая грань – это квадрат, а у него, в свою очередь, параллельны противоположные стороны. Например, АЕFB – квадрат, поэтому BF||АЕ. Но прямая АЕ находится в плос-ти АЕН. Так как плос-ть АЕН содержит прямую АЕ, параллельную BF, то BF||АЕН (по теор. 5). Аналогичное доказательство можно привести и для трех других ребер верхней грани ВСGF.

Докажем ещё пару важных теорем.

Проиллюстрируем теорему картинкой:

Доказать теорему очень просто. Прямые р и m находятся в одной плос-ти α. Если бы они пересекались в некоторой точке N, то она была бы общей для прямой m и плос-ти β, ведь р полностью находится в β. Но этой невозможно, ведь m||β. Значит, и р||m.

Действительно, если прямые m, n и плос-ть α соответствуют условиям теоремы, то n не может пересекать α, иначе и m также ее пересекало бы (по теор. 3). Значит, остаются только те два варианта, которые упомянуты в теореме. 

Теперь мы можем ознакомиться с некоторыми задачами. Перед просмотром решения попытайтесь самостоятельно их решить.

Задание. Верно ли, что все прямые, пересекающие две параллельные прямые m и n, находятся в одной и той же плос-ти?

Решение.m и n как параллельные прямые лежат в единственной плос-ти α (теор. 2). Любая прямая, пересекающая m и n в каких-то точках M и N, уже имеет с α две общие точки – как раз M и N. Значит, она целиком принадлежит α. Таким образом, любые прямые, пересекающие m и n, будут располагаться в одной и той же плос-ти α.

Задание. Две смежные стороны параллелограмма пересекают плос-ть α. Каково взаимное положение этой плос-ти и двух других сторон этого параллелограмма?

Решение. Пусть в параллелограмме МНРК c α пересекаются стороны МН и НР. По определению параллелограмма МН||РК, а НР||КМ. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плос-ть, то и другая делает то же самое (по теор. 3). Поэтому РК и КМ ведут себя также, как МН и НР, то есть также пересекают α.

Задание. Через среднюю линию трапеции проведена плос-ть α. Могут ли основания трапеции пересечь эту же плос-ть?

Решение. Основания трапеции параллельны ее средней линии. Если бы они пересекли α, то и средняя линия обязательно пересекала бы α (по теор. 3), а это не так. Значит, основания никак не могут пересечься с α.

Задание. В пространстве через концы отрезка АВ и его середину (оно обозначается буквой М) построены параллельные прямые. Они пересекают плос-тьα в точках А₁, В₁ и М₁ соответственно. Известно, что А₁А = 5, В₁В = 7. Отрезок АВ с плос-тью не пересекается. Вычислите длину ММ₁.

Решение.

Через параллельные прямые АА₁ и ММ₁ можно провести единственную плос-ть β (теор. 2). Прямая АВ имеет с β две минимум две общие точки – А и М. Значит, она полностью лежит в β, и тогда точка В также принадлежит β. Аналогично можно показать, что в β находятся прямая А₁В₁ и точка ВВ₁. Наконец, и прямая ВВ₁ располагается в β (по двум точкам – В и В₁). Тем самым мы можем утверждать, что АВВ₁А₁ – плоский четырехугольник, а именно трапеция, ведь ее основания АА₁ и ВВ₁ параллельны. ММ₁ будет средней линией в этой трапеции (так как она проходит через одну середину и боковой стороны и параллельна основаниям, в 8 классе мы выясняли, что этого достаточно для того, чтобы считать ММ₁ средней линией.).

Длина средней линии находится так:

Ответ: 6.

Задание. Решите предыдущую задачу в случае, если отрезок АВ и плос-ть α пересекаются.

Решение. Аналогично предыдущей задаче мы можем показать, что все точки, фигурирующие в задаче, находятся в одной плос-ти β. Пусть АВ пересекается с α в некоторой точке С. Она будет общей для плос-тей α и β и потому будет находиться на их границе, то есть на прямой А₁В₁. Изобразим отдельно плос-ть β не в пространстве, а в плоском виде, без искажения:

Теперь нам надо просто решить планиметрическую задачу и найти ММ₁. ∆АА₁С,∆ВВ₁С и ∆ММ₁С подобны, ведь ∠ВСВ₁ и ∠А₁СА одинаковы как вертикальные углы, а

Для дальнейших рассуждений нам потребуется ещё один факт: М₁ – это середина А₁В₁. Он вытекает из теоремы Фалеса. Действительно, на прямой АВ отмечены одинаковые отрезки АМ и МВ (ведь М – середина АВ). Через их концы проведены параллельные прямые, которые, по теореме Фалеса, на любой другой прямой также отсекут равные отрезки. То есть можно записать:

У подобных треугольников ∆∆АА₁С и ∆ММ₁С стороны пропорциональны, поэтому мы можем записать:

Ответ: 1.

Задание. m и n – прямые, не находящиеся в одной плос-ти. Существует ли прямая такая прямая р, что р||m и р||m?

Решение. Предположим, что р существует. Тогда она будет одновременно параллельна и m,и n. По свойству транзитивности (теор. 4) получается, что прямые m и n должны быть также параллельны друг другу. Но это невозможно, ведь они находятся в различных плос-тях. Из этого противоречия вытекает, что прямая р на самом деле не может существовать.

Задание. Докажите, что прямая, параллельная каждой из двух пересекающихся плос-тей, обязательно будет параллельна и линии их пересечения.

Решение.

Пусть есть прямая m, плос-ти α и β, и m||α, m||β. Также пусть α и β пересекаются по прямой n. Отметим на n произвольную точку K. Далее проведем через К прямую, параллельную m (используя теор. 1), и обозначим ее как р. Каково будет положение р относительно плос-тей α и β? Ни одну из этих плос-тей она пересекать не может, ведь тогда бы такую плос-ть пересекала бы и m (по теор. 3). Также р не может быть параллельна плос-тям, ведь она уже имеет с ними общую точку. Остается один вариант – она полностью находится и в α, и в β. Но это значит, что р – общая прямая для α и β, то есть она совпадает с n. В итоге получилось, что n||m, ч. т. д.

Параллельность плоскостей

В стереометрии параллельными могут быть не только две прямые, но и две плоскости.

В реальной жизни параллельны друг другу пол и потолок в квартире, противоположные грани кубика, задняя и передняя стенка шкафа.

Существует признак параллельности плоскостей.

Докажем этот признак. Пусть есть плос-ти α и β, и в α находятся прямые m и n, пересекающиеся в точке К. В свою очередь в β находятся прямые α₁ и β₁, их общая точка – это К₁. При этом m||m₁ и n||n₁:

Возможны два варианта: либо α и β пересекаются по некоторой прямой р, либо они параллельны. Рассмотрим вариант с пересечением. Заметим, что m и n параллельны плос-ти β (по теор. 5), ведь в β находятся параллельные им прямые. В таком случае и m, и n должны быть параллельны линии пересечения α и β, то есть прямой р (по теор. 7). Но тогда получится, что через точку К проведены сразу две прямые, параллельные р. Это невозможно (по теор. 1). Противоречие показывает, что на самом деле α и β не могут пересекаться, то есть они параллельны, ч. т. д.

Оказывается, что свойство транзитивности распространяется и на параллельные плос-ти:

Действительно, пусть есть три плос-ти α, β и γ, причем α||γ и β||γ. Надо продемонстрировать, что α||β. Для этого отметим на γ произвольную точку K и проведем через нее пересекающиеся прямые m и n. Далее отметим в α точку К₁, через которую построим прямые m₁ и n₁, причем так, чтобы m||m₁ и n||n₁ (это возможно по теор. 1). Аналогично через точку К₂, находящуюся на β, построим прямые m₂ и n₂ так, чтобы m||m₂ и n||n₂:

Легко заметить, что в силу свойства транзитивности (теор. 4) m₁||m₂, а n₁||n₂. Тогда получится, что в α и β есть пересекающиеся прямые, параллельные друг другу. Этого достаточно для того, чтобы считать α и β параллельными плос-тями (по теор. 9), ч. т. д.

Довольно очевиден следующий факт:

Докажем это. Возьмем плос-ть α и некоторую точку К, не находящуюся на α. Далее в α проведем какие-нибудь две пересекающиеся прямые m и n. Ясно, что мы можем через К провести такие прямые m₁ и n₁, что m₁||m и n₁||n (по теор. 1). Но любые две пересекающиеся прямые уже задают плос-ть. То есть мы можем провести плос-ть β через m₁и n₁. По признаку параллельности плос-тей (теор. 9) получаем, что α||β:

Осталось доказать, что через К нельзя провести ещё одну плос-ть γ, параллельную α. Действительно, если бы такая плос-ть γ существовала бы, то в силу свойства транзитивности (теор. 10) она была бы параллельна и β. Но у β и γ есть общая точка K, то есть они не параллельны. Значит, плос-ть γ не существует, ч. т. д.

Существует два свойства параллельных плос-тей. Сформулируем их и докажем:

В самом деле, если плос-ть γ пересекает плос-ти α и β, и α||β, то линии их пересечения не могут пересечься, ведь в противном случае у α и β будет общая точка. При этом линии пересечения находятся в одной плос-ти γ. Значит, они параллельны, ч. т. д.

Действительно, пусть параллельные плос-ти α и β пересекаются параллельными прямыми АD и ВС, причем А и В находятся на β, а С и D– на α. Тогда через AD и ВС можно провести плос-ть γ (по теор. 2), и прямые АВ и CD окажутся линиями пересечения:

Рассмотрим четырехугольник АВСD. АВ||CD(по теор. 11), а АD||ВС. Получается, что АВСD – это параллелограмм. Но у параллелограмма одинаковы противоположные стороны, поэтому AD = ВС, ч. т. д.

Рассмотрим несколько задач про параллельные плос-ти.

Задание. Докажите, что противоположные грани куба параллельны.

Решение. Построим куб и обозначим его вершины.

Покажем, что нижняя и верхняя грань (то есть плос-ти АЕН и ВFG) параллельны. Заметим, что в нижней грани располагаются пересекающиеся прямые АЕ и АD, а в верхней грани – также пересекающиеся прямые BF и ВС. При этом АЕ||BF (это противоположные стороны квадрата АЕFB) и AD||ВС (это уже стороны в квадрате АВСD). Из этого вытекает (по теор. 9), что АЕН||BFG, ч. т. д.

Задание. Даныплос-ти α и β, α||β. Верно ли, что любая прямая, находящаяся в α, будет параллельна β?

Решение. Плос-ти α и β не имеют ни одной общей точки. Значит, и любая прямая, располагающаяся в α, также не может иметь общих точек с β. А это как раз и значит, что прямая и плос-ть параллельны. То есть утверждение в условии задачи верно.

Задание. MNPQ и MNGF – параллелограммы, находящиеся в разных плос-тях. Докажите, что PQFG – это также параллелограмм.

Решение.

Так как MNPQ и MNGF – параллелограммы, то MN||FG и MN||QP. По свойству транзитивности (теор. 4) получаем, что и QP||FG.

Также из свойств параллелограмма вытекает, что стороны MN и FG одинаковы, как и стороны MN и QP. Тогда должны быть одинаковы отрезки QP и FG: 

Итак, в четырехугольнике PQFG стороны FG и PQ одновременно и параллельны, и равны. Тогда по одному из признаков параллелограмма PQFG оказывается именно этой фигурой, ч. т. д.

Задание. Отрезки А₁А₂, В₁В₂, С₁С₂ пересекаются в точке М, являющейся серединой каждого из этих отрезков. При этом отрезки не находятся в одной плос-ти. Верно ли, что плос-ти А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны?

Решение.

Сравним ∆А₁В₁М и ∆А₂В₂М. ∠В₁МА₁ и ∠А₂М одинаковы, ведь они вертикальные. По условию также одинаковы стороны, прилегающие кэти углам: В₁М и В₂М; А₁М и А₂М. Отсюда вытекает, что ∆А₁В₁М и ∆А₂В₂М равны.

Равенство ∆А₁В₁М и ∆А₂В₂М означает, что одинаковы углы ∠А₁В₁М и А₂В₂М. Но эти углы являются накрест лежащими для прямых А₁В₁ и А₂В₂, если В₁В₂ рассматривать как секущую. Из равенства накрест лежащих углов делаем вывод о том, что отрезки А₁В₁ и А₂В₂ параллельны.

Аналогичным образом, сравнивая ∆А₁С₁М и ∆А₂С₂М, приходим к выводу и о параллельности отрезков А₁С₁ и А₂С₂. В итоге получается, что в плос-тях А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ есть пары пересекающихся отрезков, которые соответственно параллельны: А₁В₁||А₂В₂ и А₁С₁||А₂С₂. Отсюда делаем вывод, что плос-ти А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны (по теор. 9).

Задание. На плос-ти α построен ∆MPK. Через его вершины проведены параллельные друг другу прямые, которые пересекли другую плос-ть β в точках М₁, Р₁ и К₁ соответственно. Известно, что α||β. Докажите, что ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ равны.

Решение.

Ясно, что точки М, К, М₁, К₁ находятся в единой плос-ти, ведь они располагаются на параллельных прямых. То есть МКК₁М₁ – это плоский четырехугольник. Попытаемся определить его тип.

Отрезки ММ₁ и М₁К₁ параллельны по условию, но они также и одинаковы, согласно одному из свойств параллельных плос-тей (теор. 12). Тогда МКК₁М₁ – это параллелограмм по его признаку. Но в параллелограмме одинаковы противоположные стороны, поэтому отрезки МК и М₁К₁ равны.

Аналогично рассматривая параллелограммы МРР₁М₁ и РКК₁Р₁, мы приходим к выводу о равенстве отрезков МР и М₁Р₁, РК и Р₁К₁. Тогда ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ оказываются равными по 3 одинаковым сторонам, ч. т. д.

Задание. Из точки H в пространстве проведены три прямые, пересекающие плос-ть α в точках M, Р, К, а другую плос-ть β в точках М₁, Р₁, К₁. Известно, что α||β и точки М, Р, К образуют треугольник. Докажите, что ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ подобны.

Решение.

Ясно, что отрезки МК м М₁К₁ находятся в единой плос-ти, задаваемой пересекающимися отрезками НК и НМ. При этом прямые МК и М₁К₁ не могут пересечься (ведь они располагаются в параллельных плос-тях). Значит, МК||М₁К₁. Аналогично можно показать, что МР||М₁Р₁ и РК||Р₁К₁.

Теперь рассмотрим ∆НМК и ∆НМ₁К₁. У них есть общий ∠МНК, а ∠НМК и ∠НМ₁К₁ одинаковы как соответственные углы при параллельных МК и М₁К₁ и их секущей НМ₁. Значит, ∆НМК и ∆НМ₁К₁ подобны. Выразим их коэффициент подобия:

Аналогично можно убедиться, что подобны ∆НМ₁Р₁ и ∆НМР; ∆НР₁К₁ и ∆НРК. Причем их коэффициенты подобия будут такие же, как у пары ∆∆НМК и ∆НМ₁К₁. Так, для ∆НМ₁Р₁ и ∆НМР можно написать

Получили, что все стороны ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ пропорциональны друг другу. Согласно третьему признаку подобия мы можем заключить, что ∆МРК и ∆М₁Р₁К₁ подобны, ч. т. д.

В ходе сегодняшнего урока мы расширили понятие параллельности, распространив ее на прямые в пространстве и плос-ти. Параллельность тех или иных геометрических объектов постоянно встречается как в реальной жизни, так и в задачах. Особенно важно запомнить изученные нами признаки параллельности (теор. 5 и 9).