Как найти параллельные прямые 7 класс геометрия

Геометрия

7 класс

Урок № 18

Параллельные прямые

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Формулировка определения параллельных прямых.
• Изображение параллельных прямых различными методами.
• Как распознать на чертежах параллельные прямые?
• Нахождение на рисунке пары накрест лежащих односторонних углов.

Тезаурус:

Параллельные прямые – две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельные отрезки – два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Параллельные лучи – два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Основная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже знаете, что на плоскости бывают пересекающиеся и непересекающиеся прямые, вы знаете, как их строить на чертеже. Теперь давайте рассмотрим прямые, которые называются параллельными, и научимся их строить различными способами.

Для начала дадим определение параллельным прямым.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельные прямые имеют своё обозначение: a ║ b.

Рассмотрим прямые а и b, перпендикулярные прямой c. Ранее мы выяснили, что такие прямые не пересекаются, следовательно, прямые а и b параллельны.

c﬩a c﬩b →a║b

Очень часто рассматриваются не только параллельные прямые, но и параллельные отрезки.

Дадим им определение.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Обозначение:

AB║CD

MN не параллельна AB

MN не параллельна CD

Два луча называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

h║k

Рассмотрим прямую с, пересекающую прямые а и b.

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них.

Как видно из рисунка, при пересечении прямых а и b секущей c образуются 8 углов. Пронумеруем полученные углы.

Оказывается, некоторые пары образованных углов имеют свои названия.

Так, например, углы 3 и 5, 4 и 6 ‑ называются накрест лежащие углы.

Углы 4 и 5 или 3 и 6 ‑ называются односторонними углами.

А пары углов 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6 или 3 и 7 ‑ называются соответственными углами.

Как же можно построить параллельные прямые?

Для построения параллельных прямых существует несколько способов построения с помощью различных чертёжных инструментов. Рассмотрим построение параллельных прямых с помощью чертёжного угольника и линейки.

Построим прямую b, проходящую через точку M и параллельную данной прямой а.

Приложим чертёжный угольник к прямой а, к нему приложим линейку. Теперь передвинем угольник вдоль линейки так, чтобы точка M оказалась на стороне угольника, остается провести прямую b. Прямые а и b будут параллельны, на основе признаков параллельности двух прямых, которые будут изучены позднее.

Материал для углублённого изучения темы

Другие способы построения параллельных прямых.

Рассмотрим ещё два способа построения параллельных прямых с помощью чертёжных инструментов.

В чертёжной практике очень часто используется способ построения параллельных прямых с помощью рейсшины.

При выполнении столярных работ, для разметки параллельных прямых используется ещё один инструмент – малка, который представляет собой две планки, скреплённые шарниром.

При нанесении параллельных рисок можно использовать рейсмус, который представляет собой деревянную заготовку с двумя регулируемыми брусками, на концах который прикреплены для нанесения рисок иглы или гвозди.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Один из односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей на 40º меньше другого. Найдите меньший угол, если известно, что сумма односторонних углов равна 180°.

Решение:

Пусть х – меньший из односторонних углов, тогда больший равен х + 40. Т. к. сумма односторонних углов по условию равна 180°, составим уравнение.

х + х + 40 = 180

2х + 40 = 180

2х = 180 – 40

х = 140:2

х = 70° – градусная мера меньшего угла.

Ответ: 70°.

№ 2. Через параллельные прямые а и m проведены секущие АК и КР так, как показано на рисунке. КО = ВК = АК, при этом АК = КР = 9 см, отрезок ВО =АР, АР = 6 см. На сколько сантиметров периметр ∆ВОК меньше периметра ∆АКР?

Решение: найдём периметр ∆АКР.

Р_∆АКР = АК + КР + АР = 9 + 9 + 6 = 24 см

Найдём периметр ∆КВО. Для этого вычислим длины сторон треугольника КВО, исходя из условия задачи.

КО = ВК =АК = 9 = 6 см.

ВО =АР =· 6 = 4 см

Р_∆КВО = ВК + КО + ВО = 6 + 6 + 4 = 16 см

Вычислим, на сколько периметр ∆ВОК меньше периметра ∆АКР.

Р_∆АКР – Р_∆КВО = 24 – 16 = 8 см

Ответ: на 8 см.

Решение задач Параллельные прямые. Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Уроки 36-38. Решение задач по теме «Параллельные прямые». Самостоятельные работы с ответами и подсказками к решению.

Геометрия 7. Контрольные работы
   Геометрия 7. Самостоятельные работы

Геометрия 7 класс. Уроки 36-38.
Решение задач Параллельные прямые

Основная дидактическая цель урока: совершенствовать навыки решения задач

Задачи с решениями к уроку 36

№ 1. □ На рисунке 118 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Какие из прямых а, b и с параллельны?
Решение:
1) ∠1, ∠2 – односторонние углы при прямых а и b и секущей d, ∠1 + ∠2 = 42° + 140° = 182° ≠ 180°, следовательно, прямые а и b не параллельны (рис. 3.80).
2) ∠2 и ∠3 – соответственные углы при прямых с и b и секущей d и ∠2 ≠ ∠3 (∠2 = 140°, ∠3 = 138°), т. е. прямые с и b не параллельны.
3) ∠1 и ∠3 – односторонние углы при прямых a и c и секущей d и ∠1 + ∠3 = 42° + 138° = 180°, следовательно, прямые а и с параллельны.
ОТВЕТ: а || с.

№ 2. □ Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с, если: а) один из углов равен 150°; б) один из углов на 70° больше другого.
Решение:
а) Пусть ∠1 = 150°, тогда ∠3 = 150°, ∠2 = 30°, ∠4 = 30°, ∠8 = 30°, ∠6 = 30°, ∠5 = 150°, ∠7 = 150° (рис. 3.81).
б) Пусть ∠1 на 70° больше, чем ∠2. Так как ∠1 + ∠2 = 180°, то ∠2 = 55°, ∠1 = 125°, тогда ∠3 = 125°, ∠4 = 55°. Так как а || b, то ∠8 = 55°, ∠5 = 125°, ∠6 = 55°, ∠7 = 125°.

№ 3. □ По данным рисунка 119 найдите ∠1.
Решение:
∠MPS = ∠APO как вертикальные, значит, ∠APO = 73°. ∠APO + ∠COP = 73° + 107° = 180°, a ∠APO и ∠COP – односторонние углы при прямых АВ и CD и секущей ME, значит, АВ || CD. Так как АВ || CD, то ∠NSB = ∠STD, следовательно, ∠NSB = 92° (т. е. ∠1 = 92°) (рис. 3.82).

№ 4. □ ∠ABC = 70°, a ∠BCD = 110°. Могут ли прямые АВ и CD быть: а) параллельными; б) пересекающимися?
Решение:
а) АВ может быть параллельна CD (рис. 3.83, а);
б) АВ и CD могут пересекаться (рис. 3.83, б).

№ 5. Доказать: АВ – биссектриса угла XAZ (рис. 3.85).
Доказательство:
1) ∠A + ∠B = 180°, следовательно ВС || AD. Так как ВС || AD, то ∠BCD + ∠CDA = 180°, тогда ∠C = 130°.
2) ∠BRZ + ∠RZA = 180°, следовательно, XR || AZ. ΔАХВ – равнобедренный, значит, ∠XAB = ∠XBA = 30°. XR || AZ, следовательно, ∠XBA = ∠BAZ= 30°.
Так как ∠XAB = 30° и ∠BAZ = 30°, то АВ – биссектриса ∠XAZ.

№ 6. Дано: АВ = CD, АК = DF, А = D = 60°, ∠AKB = ∠KBC = 90° (рис. 3.79).
Доказать: ВК || CF, ВС || AD.
Решение:
1) ∠KBC = ∠AKB = 90°, а так как это накрест лежащие углы при прямых ВС и AD и секущей КВ, то ВС || AD.
2) ΔАВК = ΔDCF по двум сторонам и углу между ними (АВ = CD, АК = DF, ∠A = ∠D), следовательно, ∠AKB = ∠CFD = 90°.
3) Так как ВС || AD, ∠CFD = 90°, то ∠KFC = 90°.
4) ∠AKB = ∠KFC = 90°, а так как эти углы соответственные при прямых ВК и CF и секущей AD, то ВК || CF.

Задачи по готовым чертежам с самопроверкой к уроку 37

Вариант 1

№ 1. Дано: а || b, ∠1 больше ∠2 в 2 раза (рис. 3.89).
Найти: ∠1, ∠2.
ОТВЕТ: ∠2 = 60°, ∠1 = 120°.

№ 2. Дано: а || b, ∠1 + ∠2 = 122° (рис. 3.90).
Найти: ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8.
ОТВЕТ: ∠4 = ∠7 = 61°, ∠3 = ∠5 = ∠6 = ∠8 = 119°.

№ 3. Дано: AD || ВС, ∠1 = 50°, ∠2 = 65° (рис. 3.91).
Найти: ∠ABC.
ОТВЕТ: ∠ABC= 115°.

Вариант 2

№ 1. Дано: m || n, ∠2 больше ∠1 на 30° (рис. 3.92).
Найти: ∠1, ∠2.
ОТВЕТ: ∠1 = 75°, ∠2 = 105°.

№ 2. Дано: а || b, ∠2 + ∠5 = 240° (рис. 3.93).
Найти: ∠1, ∠3, ∠4, ∠6, ∠7, ∠8.
ОТВЕТ: ∠4 = ∠7 = 120°, ∠1 = ∠3 = ∠6 = ∠8 = 60°.

№ 3. Дано: CD || АВ, ∠1 = 40°, ∠2 = 75° (рис. 3.94).
Найти: ∠ABC.
ОТВЕТ: ∠ABC = 115°.

Задачи с самопроверкой к уроку 37

I уровень сложности (легкий)

№ 1. Дано: ∠1 = 60°, ∠2 = 20°, а || b (рис. 3.96).
Найти: ∠3.
Указание: Через точку С провести прямую, параллельную прямой а, и доказать, что ∠3 = ∠1 + ∠2.
ОТВЕТ: ∠3 = 80°.

№ 2. Дано: ∠АОР = 80°, ∠OPS = 80°, ∠FSP = 40° (рис. 3.97).
Найти: ∠OFK, ∠KFB.
Решение: ∠AOP = ∠OPS, тогда АВ || CD, тогда ∠OFK = 40°, ∠KFB= 140°.
ОТВЕТ: ∠OFK = 40°, ∠KFB= 140°.

№ 3. Найти: х, у (рис. 3.98).
Решение: ∠E + ∠F = 180°, тогда ЕК || FP, поэтому х = 50°, у= 130°.
ОТВЕТ: х = 50°, у= 130°.

№ 4. Дано: АЕ – биссектриса ∠BAD (рис. 3.99).
Найти: ∠ABE, ∠BEA.
Решение: ∠C + ∠D = 180°, значит, ВС || AD, тогда ∠BEA = ∠EAD = 30°. АЕ – биссектриса ∠BAD, поэтому ∠BAE = ∠EAD = 30°, a ∠BAD = 60°. ВС || AD, значит, ∠ABE + ∠BAD = 180°, тогда ∠ABE = 120°.
ОТВЕТ: ∠ABE = 120°, ∠BAE = 30°.

II уровень сложности (средний)

№ 1. Найти: х, у (рис. 3.100).
Указание: Докажите, что РЕ || KF из равенства углов, градусные меры которых 70°.
ОТВЕТ: у = 52°, х = 128°.

№ 2. Найти: х, если ∠ABE = ∠CBE (рис. 3.101).
Решение: ∠C + ∠D = 180°, значит, ВС || AD, тогда ∠AEB = ∠EBC = 52°.
∠ABE = ∠CBE, поэтому ∠ABC = 104°. Так как BC || AD, a ∠ABC = 104°, то ∠BAE =76°, т. е. х = 76°.
ОТВЕТ: х = 76°.

№ 3. Дано: РТ – биссектриса ∠KPM (рис. 3.102).
Найти: х.
Решение: ∠M+ ∠N = 180°, значит, NK || МР, тогда ∠K = ∠KPM = 68°.
РТ – биссектриса ∠KPM, значит, ∠TPM = 34°.
NK || МР, тогда ∠TPM = ∠PTK = 34°, т. е. х = 34°.
ОТВЕТ: х = 34°.

№ 4. Дано: а || b (рис. 3.103).
Найти: ∠MOE.
Указание: Через точку О провести прямую, параллельную прямой МА, и доказать ∠MOE = ∠AMO + ∠OEB.
Так как а || b, то ∠AME + ∠MEB = 180°, но ∠AMO = 1/2 • ∠AME,
∠OEB = 1/2 • ∠MEB, тогда ∠AMO + ∠OEB = 1/2 • (∠AME + ∠MEB) = 90°, т. e. ∠MOE = 90°.
ОТВЕТ: ∠MOE = 90°.

Задачи с самопроверкой к уроку 38

№ 1. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что биссектрисы накрест лежащих углов параллельны
Дано: а || b, с – секущая, ∠ABC и ∠BCD – накрест лежащие, BE – биссектриса ∠ABC, СК – биссектриса ∠BCD (рис. 3.104).
Доказать: BE || СК.
Доказательство: Так как ∠ABC и ∠BCD – накрест лежащие при параллельных а и b и секущей с, то ∠ABC = ∠BCD. Учитывая, что BE и КС – биссектрисы углов ∠ABC и ∠BCD, получаем ∠EBC = ∠BCK, т. е. накрест лежащие углы ЕВС и ВСК при прямых BE и КС и секущей ВС равны, значит, BE || КС. Итак, биссектрисы накрест лежащих углов параллельны.

№ 2. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
Дано: АВ || CD, АС – секущая, АЕ – биссектриса ∠BAC, СЕ –биссектриса ∠ACD, ∠BAC и ∠ACD – односторонние (рис. 3.105).
Доказать: АЕ ⊥ СЕ.
Доказательство: Так как АВ || CD, то ∠BAC + ∠ACD = 180°. АЕ – биссектриса ∠BAC, СЕ – биссектриса ∠ACD, поэтому ∠CAE = 1/2 • ∠BAC, ∠ACE = 1/2 • ∠ACD, получаем ∠CAE + ∠ACE = 1/2 • (∠BAC + ∠ACD) = 90°, следовательно, ∠AEC = 90°. Итак, биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

№ 3. Дано: ∠1 = ∠2 = 35°, ∠3 меньше ∠4 на 50° (рис. 3.109).
Найти: ∠3, ∠4.
Решение: ∠1 = ∠2 = 35°, значит, АВ || CD, тогда ∠3 = ∠BDC, но ∠BDC и ∠4 – смежные и ∠BDC + ∠4 = 180°.
∠BDC на 50° меньше ∠4, поэтому ∠BDC + 50° + ∠BDC = 180°, откуда ∠BDC = 65°, значит, ∠3 = 65°, ∠4 =115°.
ОТВЕТ: ∠3 = 65°, ∠4 = 115°.

№ 4. Дано: АВ || СЕ, ∠BAC = 20°; ∠BCE : ∠ECD = 4 : 1 (рис. 3.110).
Найти: ∠BCD.
Решение: АВ || СЕ, значит, ∠BAC = ∠ECD = 20°.
∠BCE : ∠ECD = 4 : 1, значит, ∠BCE = 80°.
∠BCD = ∠BCE + ∠ECD = 100°.
ОТВЕТ: ∠BCD = 100°.

№ 5. Дано: ∠A = ∠B, ∠ACD = ∠ECD (рис. 3.111).
Доказать: АВ || CD.
Доказательство: Пусть ∠A = ∠B = x, тогда ∠ACB = 180° – 2x, a ∠ACE = 180° – ∠ACB = 2x.
Так как ∠ACD = ∠ECD, a ∠ACE = 2x, тo ∠ACD = x.
Получили, что ∠A = ∠ACD = x, значит, AB || CD.

№ 6. Дано: ∠1 : ∠2 = 5 : 4 (рис. 3.130).
Найти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4.
Решение: 52° + 128° = 180°, следовательно, а||b.
Так как а||b, то ∠2 = ∠3 = ∠6, a ∠1 + ∠6 = 180°, тогда ∠1 + ∠2 = 180° (рис. 3.131).
Так как ∠1 : ∠2 = 5 : 4, то ∠1 = 5х, ∠2 = 4х, тогда 5х + 4х = 180°, х = 20°.
Значит, ∠1 = 100°, ∠4 = 100°, ∠2 = 80°, ∠3 = 80°.
Ответ: ∠1 = ∠4 = 100°, ∠2 = ∠3 = 80°.

№ 7. Дано: АС||BD, АВ = АС, ∠ACB = 25° (рис. 3.132).
Найти: ∠DBC.
Решение: АС||BD, поэтому ∠ACB = ∠CBD = 25°.
АВ = АС, тогда ΔАВС – равнобедренный, ∠ABC = ∠ACB = 25°, значит, ∠ABD = 50°, a ∠DBC = 130°.
Ответ: ∠DBC = 130°.

№ 8. Дано: АВ||DE, ∠BCD = 70°, ∠ABC : ∠EDC= 3 : 4 (рис. 3.133).
Найти: ∠ABC, ∠EDC.
Решение: СК||АВ, по условию АВ||DE, тогда СК||DE, значит, ∠ABC = ∠BCK, ∠KCD = ∠CDE, a ∠BCD = ∠BCK + ∠KCD = ∠ABC +∠CDE = 70° (рис. 3.134).
Так как ∠ABC : ∠EDC = 3 : 4, то ∠ABC = 3x, ∠EDC = 4x, тогда 3x + 4x = 70°, x = 10°.
∠ABC = 30°, ∠EDC = 40°.
Ответ: ∠ABC = 30°, ∠EDC = 40°.

№ 9. Дано: DC||BE, ∠CDB = 40°, ∠CBD на 20° больше ∠CBE (рис. 3.135).
Найти: ∠ABC.
Решение: DC||BE, ∠CDB = 40°, значит, ∠ABE = ∠CDB = 40°.
∠ABE = 40°, тогда ∠EBD = 140°, а так как ∠EBD = ∠EBC + ∠CBD и ∠CBD на 20° больше ∠EBC, то 2∠EBC + 20° = 140°, ∠EBC = 60°.
Так как ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC, ∠ABE = 40°, ∠EBC = 60°, то ∠ABC = 100°.
Ответ: ∠ABC = 100°.

---

Вы смотрели: Решение задач Параллельные прямые. Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Уроки 36-38. Решение задач по теме «Параллельные прямые». Самостоятельные работы с ответами и решениями. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».

Геометрия 7. Поурочные планы
  Геометрия 7. Самостоятельные работы

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Параллельные прямые
5. Признаки параллельности двух прямых

Советуем посмотреть:

Параллельные прямые

Практические способы построения параллельных прямых

Аксиомы геометрии

Аксиома параллельных прямых

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о соответственных углах

Теорема об односторонних углах

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Параллельные прямые

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 188,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 189,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 190,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 191,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 205,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 429,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 430,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 12,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 605,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 630,
Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ ). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF 

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые имеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой , но не принадлежит прямой . Говорят, что прямые пересекаются в точке М.

Это можно записать так: — знак принадлежности точки прямой, «» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые параллельны (рис. 11, с. 11), то пишут

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые перпендикулярны (рис. 12), то пишут

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые  параллельны.

Доказательство.

1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аb.
2. Если 1 = 2 = 90°, то а АВ и b АВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аb.
3. Если 1 = 2  90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF a.
4. На прямой b отложим отрезок ВF₁ = АF и проведем отрезок ОF₁.
5. Заметим, что ОFА = ОF₁В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF₁ и 1 = 2). Из равенства этих треугольников следует, что З = 4 и 5 = 6.
6. Так как 3 = 4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F₁, F и О также лежат на одной прямой.
7. Из равенства 5 = 6 следует, что 6 = 90°. Получаем, что а FF₁ и b FF₁, а  аb.

Теорема доказана.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что 1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например 1 = 2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

2) Заметим, что 2 = 3 как вертикальные углы.

3) Из равенств 1 = 2  и 2 = 3 следует, что 1 = 3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аb.

Теорема доказана.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и AOF = ABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство.

1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например 1 + 2 = 180° (рис. 87, в).
2. Заметим, что 3 + 2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
3. Из равенств l + 2 = 180° и 3 + 2 = 180°  следует, что 1 = 3.
4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Теорема доказана.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a,  затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O  a проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Теорема доказана.

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону FС треугольника FDС так, что 1 = F  и 2 = F (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Доказательство.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Теорема доказана.

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Доказательство.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей AВ (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и 2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и 2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ b. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, 1 = 2.

Теорема доказана.

Например, пусть прямая l  параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда 3 = B  как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Доказательство.

1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. 1 = 3.  Кроме того, 2 = 3,  так как они вертикальные.
3. Из равенств 1 = 3 и 2 = 3   следует, что 1 = 2.

Теорема доказана.

Например, пусть прямая l  параллельна биссектрисе AF  треугольника ABC (рис. 96, б), тогда 4 = BAF. Действительно, 4 и FAC  равны как соответственные углы, a FAC = BAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

Доказательство.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что 1 + 2 = 180° (рис. 97, а).

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство 1 = 3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, 2 + 3= 180°.

4) Из равенств = 3 и 2 + 3 = 180° следует, что 1 + 2 = 180°.

Теорема доказана.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда BAF + TFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

Доказательство.

1) Пусть прямые а и b параллельны и са (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Так как 1 = 90°, то и 2 = 1 = 90°, а, значит, сb.

Что и требовалось доказать.

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые и параллельны, то есть (рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая , лучи АВ и КМ.

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если , , то  (рис. 161).

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая (рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую , перпендикулярную прямой . Затем сдвигают треугольник вдоль прямой и строят другую перпендикулярную прямую , затем — третью прямую и т. д. Поскольку прямые , , перпендикулярны одной прямой , то из указанной теоремы следует, что || , || , || .

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой , параллельной прямой и проходящей через точку К.

Из построения следует: так как и , то || . Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых и третьей прямой , которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD. 

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: и — данные прямые, АВ — секущая, 1 =2 (рис. 166).

Доказать: || .

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую и продлим его до пересечения с прямой в точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, 1 = 2 по условию, BMK =AMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что ANM =BKM = 90°. Тогда прямые и перпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то || .

Теорема доказана.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: 1 =2 (рис. 167).

Доказать: || .

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых и и секущей . А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, || . Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: l +2 = 180° (рис. 168).

Доказать: || .

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых и и секущей . А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, || . Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (AOB = DOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что BAO=CDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D,           BAK = 26°, ADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

BAC = 2 •BAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку ADK +BAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то 1=2. Так как BAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то 1 =3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда 2 =3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых и и секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, ||.

Реальная геометрия

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая  проходит через точку М и параллельна прямой (рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой в некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: ||, || (рис. 187).

Доказать: ||.

Доказательство:

Предположим, что прямые и не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые и , параллельные третьей прямой . А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и ||. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 1 =2,3 =4. Доказать, что || .

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то ||  по признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых || . Так как ||  и || , то ||  по теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть и — данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим  прямую , которая параллельна прямой по признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые и не пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые и , которые параллельны прямой . Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые и пересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: || , АВ — секущая,1 и2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Доказать: 1 =2.

Доказательство:

Предположим, что1 2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то || по признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые и , параллельные прямой . А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и1 =2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: || , — секущая,1 и2 — соответственные (рис. 196).

Доказать:1 =2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых и . Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,1 =2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: || , — секущая,1 и2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Доказать:l +2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов 2 +3 = 180°. По свойству параллельных прямыхl =3 как накрест лежащие. Следовательно,l +2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 || и , т. е.1 = 90°. Согласно следствию , т. е.2 = 90°.

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

• а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
• б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда АОВ =DOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,ABD =CDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,ADB =CBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости и параллельны, то пишут: || (рис. 211).

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней. 

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1)    Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

2)    Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теореме2 =3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, то1 =3. Значит,1 =2.

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если  ||  и АВ, то расстояние между прямыми и равно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой . Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: || , А  , С  , АВ, CD.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (CAD =BDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой равны (см. рис. 285). Прямая , проходящая через точку А параллельно прямой , будет пересекать луч DC в некоторой точке С₁. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C₁D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С₁ и лежит на прямой , которая параллельна прямой . Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой будет перпендикуляром и к прямой (см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, ADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

BAD +ADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Тогда BAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =АВ = 16 см.

Ответ: 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть и — данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую , параллельную прямой .

Тогда || . По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой равноудалены от прямых и на расстояние АВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых и , то есть расстояние от точки М до прямой равно АВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой . Но через точку К проходит единственная прямая , параллельная . Значит, точка М принадлежит прямой .

Таким образом, все точки прямой равноудалены от прямых и . И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой . Прямая , проходящая через середину общего перпендикуляра прямых и , — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК₁ — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА₁ = КК₁ (рис. 291).

Запомнить:

1. Сумма углов треугольника равна 180°.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

• ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
• ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
• ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
• ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
• ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

• ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.  
• Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.    
• Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.    
• Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

• ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
• ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
• ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

• ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
• • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
• • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
• • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
• ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые и – перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые и – параллельны.

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых и  если она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5 – внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8 – соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

План урока:

Определение параллельных прямых

Аксиома параллельности

Секущая

Теорема о прямых, перпендикулярных секущей

Признаки параллельности прямых

Расстояние между параллельными прямыми

Способы построения параллельных прямых

Определение параллельных прямых

Из аксиом геометрии известно, что две прямые могут иметь единственную общую точку. В этом случае их называют пересекающимися. Как пример приведем рисунок:

Здесь a и c пересекаются в А. Однако прямые на плоскости можно расположить так, что они не будут пересекаться:

Как бы далеко мы не продолжали а и с, они никогда не пересекутся. В подобном случае говорят, что a и c параллельны.

Дадим определение параллельных прямых:

Для подобного отношения существует специальный значок, который выглядит как две вертикальные черточки: a||c.

Параллельными бывают и другие геометрические фигуры: отрезки, лучи. Для этого они должны лежать на параллельных прямых:

Здесь АВ||CD. У многих геометрических фигур параллельны противоположные стороны. Достаточно вспомнить квадрат или прямоугольник.

Представим себе кубик с шестью гранями. Обозначим буквами его вершины:

Несложно заметить, что отрезки TE и UJ и их продолжения не пересекаются. Но это не значит, что TE||UJ. Дело в том, что ребра TE и UJ не лежат в одной плоскости. Для подобных случаев используется термин «скрещивающиеся» отрезки.

Аксиома параллельности

Ясно, что через точку, лежащую на прямой, не получится провести другую прямую, которая будет ей параллельна. Но в противном случае это возможно. В древности Евклид, великий древнегреческий ученый, создавший классическую геометрию, сформулировал знаменитую аксиому параллельности, известную как пятый постулат:

На рисунке через А проходит с, которая параллельна а. Любая другая прямая, которой принадлежит А (в данном случае d), обязательно будет пересекать а.

Это утверждение кажется очевидным, но в реальности пятый постулат веками будоражил умы величайших математиков мира. Дело в том, что аксиомой считается утверждение, которое считается очевидным и не может быть доказано. Они являются основанием всех логических умозаключений, которые используются при доказательстве теорем. Однако многие ученые полагали, что пятый постулат можно вывести из других аксиом.Но за две тысячи лет никому так и не удалось сделать это.

В XIX веке россиянин Лобачевский попробовал построить доказательство пятого постулата методом «от противного». Он предположил, что пятый постулат неверен, и на основе этого утверждения стал доказывать теоремы, ожидая, что когда-нибудь получится прийти к противоречию. В результате ученый создал отдельную геометрию, которую сегодня называют геометрией Лобачевского, однако к противоречию он так и не пришел. Тем самым он доказал, что всем известная евклидовая геометрия является не единственно возможной. Существуют альтернативные ей геометрические системы, которые сегодня называют неевклидовыми. Это одно из величайших открытий в истории математики, которое позже легло в основу теории относительности, созданной Альбертом Эйнштейном.

Но вернемся к евклидовой геометрии. Из аксиомы параллельности следует следующее утверждение:

Такое свойство называют транзитивностью. Докажем его методом «от противного». Пусть а||c и a||b. Предположим, что b и с пересекаются в D:

В результате через D проходят сразу две различные прямые, которые параллельны a. Но по пятому постулату это невозможно. Получается противоречие. Значит, исходное утверждение (о том, что b и с пересекаются) ошибочно, а поэтому b||c.

Секущая

При этом она образует 8 углов:

Здесь с – это секущая, а||b. Образованные углы можно разбить на пары, которые имеют особое название. Накрест секущими называют пары ∠1 и ∠5, ∠3 и ∠7, ∠4 и ∠6, ∠2 и ∠8:

Еще 4 пары называют соответственными углами. Это ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠8:

Третья группа углов носит название односторонних. К ним относят пары∠1 и ∠6, ∠2 и ∠7, ∠4 и ∠5, ∠3 и ∠8:

Те углы, которые расположены между параллельными прямыми, носят название внутренних. На рисунке таковыми являются ∠1, ∠4, ∠5 и ∠6. Остальные углы считаются внешними. Можно заметить, что пары накрест лежащих и односторонних углов образуются либо двумя внешними (на рисунке расположены справа), либо двумя внутренними углами. А вот пара соответственных углов всегда состоит из одного внешнего и одного внутреннего угла.

Теорема о прямых, перпендикулярных секущей

Докажем следующее утверждение:

На рисунке это будет выглядеть так:

Кажется очевидным, что aи b никогда не пересекутся, однако доказать это на основе аксиом геометрии не так-то просто! Попробуйте сначала сделать это самостоятельно, а если не получилось, то смотрите сюда:

Доказательство построено на методе «от противного». Допустим, что a и b пересекутся в точке, которую мы обозначим как А. Теперь отобразим (как будто в зеркале) полученный треугольник DKA симметрично относительно c. При этом отражение А обозначим как А’. ∠ADK равен 90°, поэтому и угол ∠A’DK также равен 90°. Тогда ∠А’DА=∠ADK+∠A’DK=90°+90°=180°. Это означает, что линия АDА’) является прямой. Тоже самое можно доказать и для линии АKА’.

Получаем, что через А и A’ проходит две разных прямых. Однако одна из аксиом геометрии гласит, что через две точки можно провести единственную прямую. Полученное противоречие говорит о том, что изначальное утверждение ошибочно, и a и b не пересекаются.

Признаки параллельности прямых

По характерным углам, которые образуются секущей, можно определить параллельность прямых. Первый из признаков параллельности двух прямых звучит так:

Попробуем доказать это. Пусть c – секущая для aи b, и ∠1 равен∠5.

Сначала рассмотрим простейший случай, когда эти углы прямые. Тогда a и b перпендикулярны c,а потому a||b. В более сложном случае ∠1 и ∠5 не равны 90°. Тогда с середины отрезка АВ (обозначим ее как О), опустим перпендикуляр на a, а точку их пересечения обозначим как H. Далее построим отрезок АК, который лежит на b и равен по длине BH:

Теперь рассмотрим треугольники АОК и ВОН. ∠ОАК и ∠НВО равны друг другу, также равны и две прилегающие к нему стороны: ОА=ОВ (так как О – середина отрезка АВ) и HB=АК. Получаем, что эти треугольники равны друг другу по 1-ому признаку равенства треугольников (смотри урок 3).

Из этого можно сделать два вывода. Во-первых, равны ∠АОК и ∠НОВ, поэтому они являются вертикальными.Это означает, что Н, О и К располагаются на одной прямой. Во-вторых, угол ∠ОКА=∠ВНО=90°. Следовательно, отрезок HK перпендикулярен и к a, и к b. Поэтому a||b.

Второй признак формулируется так:

Действительно, пусть ∠3 и ∠5 равны друг другу. Тогда∠1 равен∠3, так как они вертикальные. Получаем, что ∠5=∠3=∠1. Но ∠5 и ∠1 накрест лежащие. Их равенство ранее доказанному1-ому признаку параллельности означает, a||b.

Третий признак звучит так:

Пусть ∠5+∠4=180° (1). Так как ∠4 и ∠1 являются смежными, то для них можно записать равенство: ∠4+∠1=180°. Отсюда можно получить значение угла 4: ∠4=180°-∠1. Подставляя это уравнение в выражение (1), получаем:

∠5+(180°-∠1)=180. Раскрывая скобки и перенося слагаемые в правую часть, можно получить равенство ∠5=∠1. Но эти углы являются накрест лежащими, а потому их равенство означает, что a||b.

Расстояние между параллельными прямыми

Дадим определение расстояния между параллельными прямыми:

На этом рисунке a||b, из D опущен перпендикуляр на b. Длина полученного отрезка DK и является расстоянием между aи b. Несложно убедиться, что его величина не зависит от выбора точки D. Докажем это утверждение:

Опустим из двух произвольных точек D и D’, принадлежащих a, перпендикуляры на b. Обозначим точки, в которых они пересекут b, как K и K’. Kи D’ соединим отрезком, который окажется секущим. А теперь внимательно изучим треугольники DKD’и KK’D’. У них есть общая сторона KD’. ∠D’KK’ и ∠KD’D равны друг другу как накрест лежащие. По той же причине можно записать равенство ∠DKD’=∠KD’K’. Получается, что эти треугольники равны друг другу по стороне и двум прилегающим углам. Из это следует, что DK=D’K’.

Заметим, что если прямые не параллельны, то длина перпендикуляра будет меняться в зависимости от выбора исходной точки. Поэтому понятие расстояния для пересекающихся прямых теряет смысл.

Способы построения параллельных прямых

На уроках геометрии обязательно придется строить параллельные отрезки. Как это делать быстро с помощью подручных инструментов? Самый простой практический способ построения параллельных прямых требует наличия только линейки и угольника.

Сначала надо приложить угольник к исходному отрезку. Далее к боковой грани угольника прикладывают линейку. После этого треугольник можно двигать по линейке, которую надо удерживать неподвижно. Когда угольник займет новое положение, можно будет построить отрезок, параллельный исходному:

В геометрии ещё с античных времен существуют так называемые задачи на построение. В них требуется построить требуемый рисунок, используя только два предмета: циркуль и линейку. При этом на линейке нет никаких делений. Как же построить параллельные отрезки с помощью этих двух инструментов?

Рассмотрим такую задачу: дана прямая a и точка D, не лежащая на ней. Требуется построить через D такую b, что a||b:

Решение состоит из нескольких шагов. Сначала надо провести из D окружность произвольного радиуса, но достаточно большую, чтобы, она пересекла a в двух точках. Обозначим их как K и K’.

Далее из этих точек мы проводим две окружности равных радиусов, при этом также таких, чтобы они пересекались в двух точках. Для определенности в качестве радиуса можно взять длину отрезка KK’. Точки пересечения этих окружностей обозначим как Fи F’:

Соединяя эти две точки, мы получим перпендикуляр к a, который проходит через D. В принципе, для построения достаточно использовать одну точку(либо F, либо F’):

На следующем шаге проводится окружность любого радиуса с центром в D. Обозначим буквами M и M’ точки, где она пересекается с FF’:

Последний шаг. Проводим из M и M’ окружности, чьи радиусы равны MM’. Они пересекутся в двух точках, V и V’. Прямая VV’ будет параллельна исходной прямой a:

Из этого урока вы узнали, какие прямые именуются параллельными, и по каким признакам их можно определить. Эти знания очень пригодятся не только при изучении геометрии, но и в других областях. При построении инженерами чертежей и 3D моделей именно параллельные отрезки играют ключевую роль.

Посмотрите на окружающий мир и оцените, сколько в нем параллельных линий. Можно вспомнить:

• рельсы, по которым ездят локомотивы и поезда;
• шпалы, лежащие под этими рельсами;
• полосы движения на автомагистралях
• колонны, поддерживающие фасады зданий.

Это доказывает, что геометрия – не сухая бумажная наука, рассуждающая об абстрактных понятиях, а практически важная дисциплина. Её изучение обязательно пригодится в будущем. Ждем вас на следующем уроке!