- »
- »
Уравнения с параметром. Задача 18 (С6)
Графический метод в задачах с параметром
Данный метод используется не только в задачах с параметром, но и для решения обыкновенных уравнений, систем уравнений или неравенств. Он входит в стандартный курс школьной программы и наверняка вы с ним сталкивались, но в несколько упрощенном варианте. Сначала я кратко напомню, в чем заключается этот метод. Затем разберем, как его применять для решения задач с параметром, и рассмотрим несколько типовых примеров.
Для начала рассмотрим уравнение с одной переменной (f(x)=0). Для того, чтобы решить его графическим методом, нужно построить график функции (y=f(x)). Точки пересечения графика с осью абсцисс (ось (х)) и будут решениями нашего уравнения.
Или рассмотрим уравнение (f(x)=g(x)). Точно так же строим на одной координатной плоскости графики функций (y=f(x)) и (y=g(x)), абсциссы точек их пересечения будут решениями уравнения.
Стоит отдельно отметить, что для решения графическим методом необходимо выполнять очень качественный и точный рисунок.
Пример 1
Решить графическим методом уравнение (x^2+3x=5x+3).
Решение: Построим на одной координатной плоскости графики функций (y=x^2+3x) и (y=5x+3). См. рис.1.
(y=5x+3) – красный график; (y=x^2+3x) – синий график.
Из Рис.1 видно, что графики пересекаются в точках ((-1;2)) и ((3;18)). Таким образом, решением нашего уравнения будут: ({x}_{1}=-1; {x}_{2}=3).
Ответ: ({x}_{1}=-1; {x}_{2}=3).
Теперь рассмотрим уравнение с двумя переменными (f(x,y)=0). Решением этого уравнения будет множество пар точек ((x,y)), которые можно изобразить в виде графика на координатной плоскости ((xOy)). Если решать это уравнение аналитически, то, как правило, мы выражаем одну переменную через другую ((x,y=f(x))) или ((x=f(y),y)).
В качестве примера рассмотрим обыкновенное линейное уравнение (2x-5y=10). (1) Выражаем (x=frac{10+5y}{2}) – это называется общим решением уравнения. Изобразим его на координатной плоскости, построив график (Рис. 2):
Все точки, принадлежащие этому графику, будут решениями нашего уравнения. Например, при (x=0) ⇔ (y=-2). Аналогично можно выразить (y=frac{2x-10}{5}). График будет выглядеть так (Рис. 3):
И, разумеется, будет задавать точно такие же пары решений (x) и (y).
Теперь перейдем к уравнениям с параметром. Заметим, что параметр – это обычная переменная, которая ничем не отличается от рассмотренных выше переменных (x) и (y). Поэтому, если мы вместо (y) в уравнении (1) запишем параметр (a), то суть уравнения от этого не поменяется. То есть уравнение (1) можно рассматривать относительно (x) с параметром (y) или наоборот. В дальнейшем параметр будем обозначать за (a).
Разберем уравнение с параметром (6x-5a=15). Будем работать в системе координат ((aOx)). Выразим (x=frac{15+5a}{6}) – это будет общий вид решения. Для того чтобы проиллюстрировать ответ, построим график (x(a)) (Рис. 4).
Пример 2
Найти все значения параметра (a), при которых корни уравнения (6x-5a=15) лежат на отрезке ([-5;5]).
График (x(a)) для этого же примера на рисунке 4.
Иногда для решения удобно построить график зависимости (a(x): a=frac{6x-15}{5}). Давайте так и поступим. Построим график (Рис. 5). И красной областью покажем интервал, который нас интересует по условию задачи. Из рисунка видно, что (a∈[-9;3]) (при (x=5) ⇔(a=3); и при (x=-5) ⇔(a=-9))
На мой взгляд, будет более наглядно, если показывать графический метод на примерах. Поэтому, давайте разберем примеры от простых к сложным, которые могут встретиться на ЕГЭ.
Пример 3
Определить, при каких значениях параметра (a) уравнение (x^2-3x-2a=0) имеет: а) 2 корня; б) 1 корень; в) не имеет корней;
Решение:
1 способ решения:
Приведем уравнение к виду (x^2-3x=2a). И построим графики (y=1/2*(x^2-3x)) (показан красной линией) и (y=a) (синяя линия). Обратите внимание, график (y=a) – это просто семейство прямых параллельных оси (x) в плоскости ((xOy)) (Рис. 6). Точки пересечения красной линии с семейством синих линий – это корни нашего уравнения. Если, например, (a=5), то графики (y=5) и (y=1/2*(x^2-3x)) имеют две общие точки, а значит, и два решения. При (a=-1.125) оба графика имеют только одну общую точку ((1.5;-1.125)) – это единственное решение.
Ответ:
При (a>-1.115) уравнение имеет два корня;
При (a=-1.125) уравнение имеет один корень;
При (a<-1.125) уравнение не имеет корней.
2 способ решения:
Таким же образом можно решить данное уравнение, построив графики в плоскости ((xOa)). Для этого выразим (a=1/2*(x^2-3x).)
Различным значениям параметра (a) можно поставить значения искомого (x), для это проведем горизонтальные линии.
Ответ:
При (a>-1.115) уравнение имеет два корня;
При (a=-1.125) уравнение имеет один корень;
При (a<-1.125) уравнение не имеет корней.
Пример 4
Решить уравнение: (cos^2x-2 cosx+a=0)
Сделаем замену (t=cosx,) тогда ( t^2-2t+a=0,) при (t∈[-1;1].)
Построим в плоскости ((tOa)) график нашей функции (a=2t-t^2:)
Точки пересечения горизонтальных (фиолетовых) прямых с графиком нашей функции соответствуют решениям. Но (t∈[-1;1]), покажем это при помощи зеленой области (Рис.8). Таким образом, нас устраивают решения, которые принадлежат кусочку параболы, попавшей в зеленую область. Как видно из рисунка, (a) может принимать значения (a∈[-3;1]), и каждому значению (a) из этой области соответствует единственное решение. Найдем его, решив уравнение (t^2-2t+a=0;)
$$ {t}_{1}=frac{4-sqrt{4-4a}}{2};$$
$$ {t}_{2}=frac{4+sqrt{4-4a}}{2}.$$
({t}_{2}) не подходит, так как он не удовлетворяет условию (t∈[-1;1]).
Сделаем обратную замену:
$$ cosx=frac{4-/sqrt{4-4a}}{2};$$
$$ x=±arccos(frac{4-sqrt{4-4a}}{2}+2πn,n∈Z$$
Ответ: При (a∈[-3;1]); $$ x=±arccos(frac{4-sqrt{4-4a}}{2}+2πn,n∈Z$$
Пример 5
Решить уравнение (sin^4x-(a-1) sin^2x-(2a+2)=0.)
Решение:
Сделаем замену: (t=sin^2x ) ⇔ (t^2-(a-1)t-2a-2=0;)
Обратите внимание: (t∈[0;1];)
Выразим (a=frac{t^2+t-2}{t+2}=frac{(t+2)(t-1)}{t+2}=t-1),при (t≠-2).
Таким образом, необходимо решить систему:
$$ begin{cases} a=t-1, \t∈[0;1]. end{cases} $$
Построим решения данной системы на координатной плоскости ((tOa)).
Красной линией показан график (a=t-1), а зеленая область показывает интервал, в котором могут лежать корни. Выделенная часть графика соответствует всем возможным корням при (a∈[-1;0].) Если (a) не принадлежит этому интервалу, то корней нет. Найдем эти решения:
$$ t=a+1,$$ $$sin^2x=a+1,$$ $$ 1-cos2x=a+1,$$ $$ cos2x=-a,$$
$$x=±1/2$$ $$ arccos(-a)+πn,n∈Z.$$
Ответ:При (a∈[-1;0];) $$ x=±1/2 arccos(-a)+πn,n∈Z.$$
Пример 6
Решить уравнение (9^{-|x+1|}-3^{1-|x+1|}-a=0.)
Сделаем замену (t=3^{-|x+1|}), получим (t^2-3t-a=0), где (t∈(0;1].)
Построим график функции (a(t)=t^2-3t), при (t∈(0;1]) в системе координат ((tOa)).
Зеленой областью покажем допустимый интервал, в котором могут находиться корни. Выделенная часть параболы соответствует корням нашего уравнения при (a∈[-2;0)). Таким образом, при (a<-2) и (a≥0) корней нет.
Решим уравнение (t^2-3t-a=0).
При (a∈[-2;0)) $$ {t}_{1}=frac{3-sqrt{9+4a}}{2};$$ $$ {t}_{2}=frac{3+sqrt{9+4a}}{2},$$ так как (t∈(0;1]), то ({t}_{2}) не подходит.
Сделаем обратную замену:
$$ 3^{-|x+1|}=frac{3-sqrt{9+4a}}{2};$$
$$-|x+1|=log_3 (frac{3-sqrt{9+4a}}{2});$$
$$|x+1|=-log_3 (frac{3-sqrt{9+4a}}{2});$$
$$x=-1±log_3 (frac{3-sqrt{9+4a}}{2}).$$
Ответ: (x=-1±log_3 (frac{3-sqrt{9+4a}}{2})) при (a∈[-2;0).)
Пример 7
Решить уравнение (sqrt{a(3^x+1)+9}=2-3^x.)
Сделаем замену (t=3^x, t>0) ⇔ (sqrt{a(t+1)+9}=2-t.)
Данному уравнению равносильна система:
$$ begin{cases} a(t+1)+9=(2-t)^2, \ 2-t ≥ 0, \ t > 0. end{cases} $$
$$ begin{cases} a=frac{(t-5)(t+1)}{t+1}, \ 0 < t ≤ 2. end{cases} $$
$$ begin{cases} a = t-5, \ 0 < t <= 2. end{cases}$$
Построим множество точек, которые удовлетворяют полученной системе:
При (a∈(-5;-3]) ⇔ (t=a+5,) сделаем обратную замену 3(^x=a+5), ⇔ (x=log_3 (a+5).)
При (a∈(-∞;-5]∪(-3;+∞)) корней нет.
Ответ: При (a∈(-5;-3]) ⇔ ( x=log_3 (a+5).)
Пример 8
Решить неравенство (9^x-(a-1) 3^x-a≥0)
Сделаем замену: (t=3^x,) ⇔ (t>0;)
Получаем
$$ begin{cases} t^2-(a-1)t-a≥0, \t>0. end{cases} $$
$$ t(t+1)≥a(t+1); $$
Заметим, что решение (t=-1) не подходит, так как (t>0). Поделим наше неравенство на
(t+1). Так как (t+1>0), то знак неравенства не меняется. Будьте внимательны! В случае, когда нам неизвестен знак выражения, на которое мы делим неравенство, необходимо рассмотреть два случая, когда выражение отрицательно (меняем знак неравенства) и когда положительно (не меняем).
$$ begin{cases} t≥a, \t>0. end{cases} $$
Построим график, получившейся системы неравенств на плоскости ((tOa)).
Оранжевой областью выделено решение первого неравенства системы, синей областью – второго неравенства. Их пересечение – это решение все системы.
Получаем, что при (a≤0) $$ t∈(0;+∞) ⇔ 3^x>0 ⇔ x∈(-∞;+∞)$$
При ( a>0) $$ t∈[a;+∞) ⇔ 3^x≥a ⇔ x≥log_3 a.$$
Ответ: при( a≤0) $$ x∈(-∞;+∞)$$
при (a>0) $$ x≥log_3 a.$$
Пример 9
Найти все значения параметра, при которых функция
$$ f(x)=ln{(p-1)*3^x-4*3^{x/2}+(p+2)} $$
определена при всех (x∈R.)
Решение:
Наша функция будет определена при условии, что выражение под логарифмом будет больше нуля:
$$ (p-1)*3^x-4*3^{x/2}+(p+2) > 0.$$
Сделаем замену: (t=3^{x/2},t > 0).
Получим
$$ begin{cases} (p-1)*t^2-4*t+p+2>0, \ t>0. end{cases} $$
Если (p=1),
$$ begin{cases} -4t+3>0, \ t>0; end{cases} $$
$$ begin{cases} t<0.75, \ t>0; end{cases} $$
Сделаем обратную замену: (0 < 3^{x/2} < 0.75.) Очевидно, что это неравенство не будет выполняться при всех (x), как того требует условие задачи.
Если (p≠-1,)
$$ begin{cases} pt^2-t^2-4t+p+2>0, \t>0; end{cases} $$
$$ begin{cases} p(t^2+1)>t^2+4t-2, \t>0; end{cases} $$
$$ begin{cases} p > frac{t^2+4t-2}{1+t^2}, \t>0. end{cases} $$
Теперь нужно построить график функции (p=frac{t^2+4t-2}{1+t^2}). Для этого исследуем функцию на монотонность и найдем экстремумы.
Найдем производную:
$$ p^{‘}=frac{-4(t-2)(t+1/2)}{1+t^2}^2 ;$$
Как видно из рисунка 13, точка ((-1/2;-3)) – точка минимума; а ((2;2)) – точка максимума.
Найдем асимптоты. Напомню, что вертикальные асимптоты бывают только в точках разрыва, поэтому наличие вертикальной асимптоты можно проверить, взяв предел от функции в точке разрыва. В нашем случае нет точек разрыва, поэтому вертикальных асимптот не будет.
График функции будет иметь горизонтальные асимптоты, если (lim_{t→+∞} p(t)=const) или (lim_{t→-∞} p(t)=const.) Проверим нашу функцию:
$$lim_{t→∞} frac{t^2+4t-2}{1+t^2}=1.$$
Значит, есть горизонтальная асимптота (p=1).
И асимптоты могут быть наклонными: Прямая (p=kt+b) будет наклонной асимптотой к нашему графику ( p=frac{t^2+4t-2}{1+t^2}), если существуют пределы (lim_{t→∞} {frac{p(t)}{t}}=k) и (lim_{t→∞} {(p(t)-kt)}=b.)
В нашей случае наклонной асимптоты не будет.
Подробнее можно посмотреть здесь.
Из полученных данных построим примерный график функции (p=frac{t^2+4t-2}{1+t^2}) :
На рисунке 14 при помощи штриховки показаны точки, которые будут корнями системы
$$ begin{cases} p < frac{t^2+4t-2}{1+t^2}, \ t > 0. end{cases}$$
Если (p>2),то (t>0) или (3^(x/2)>0), а значит и функция (f(x)) определена при любых (x∈R).
Ответ: (p∈(2;+∞).)
Пример 10
Найти при каких значениях параметра (a) система
$$ begin{cases} (2+log_{3} {(frac{1}{9} a+frac{1}{3}-frac{2}{9} y)}=log_{3}{(2a+x-y-6)}, \ sqrt{x}=2+y. end{cases}$$
имеет решение?
Решение:
Преобразуем исходную систему:
$$ begin{cases} a+3-2y=2a+x-y-6, \ frac{1}{9} a+frac{1}{3}-frac{2}{9} y>0, \ x=(2+y)^2. end{cases}$$
$$ begin{cases} a=3-2y-(2+y)^2+y+6, \ a+3-2y>0, \ x=(2+y)^2. end{cases}$$
$$ begin{cases} a=-y^2-5y+5, \ a>2y-3, \ x=(2+y)^2. end{cases}$$
Построим график полученной системы:
Из рисунка 15 видно, что (a∈(-19;11.25].)
Ответ: (a∈(-19;11.25].)
Пример 11
Найти значения параметра a, при которых система
$$ begin{cases} x+y-1=0, \ 2y=sqrt{ax-1} end{cases} $$
имеет единственное решение.
Решение:
Из второго уравнения следует, что (x=frac{y^2+1}{a}).
Тогда
$$ begin{cases} frac{y^2+1}{a}+y-1=0, \ y≥0, \ x=frac{y^2+1}{a}. end{cases} $$
$$ begin{cases} a=frac{y^2+1}{1-y}, \ y≥0, \ x=frac{y^2+1}{a}. end{cases} $$
Обратите внимание, что (y=1), (x=0) не может быть решением системы при любых значениях параметра (a).
Исследуем, полученную зависимость (a=frac{y^2+1}{1-y}) на монотонность и найдем экстремумы.
$$ {a}^{‘}=frac{2y(1-y)+(y^2+1)}{1-y}^2 ;$$
$$ {a}^{‘}=frac{-y^2+2y+1}{(1-y)^2} =-frac{(y-1-sqrt{2})(y-1+sqrt{2})}{(1-y)^2} ;$$
Из рисунка 16 видно, что ({y}_{1}=1-sqrt{2}) – точка минимума функции (a=frac{y^2+1}{1-y};) Ей соответствует значение (a=2sqrt{2}-2).
({y}_{2}=1+sqrt{2}) – точка максимума. (a=-2sqrt{2}-2).
Найдем асимптоты (см. пример 9):
$$lim_{y→1} {frac{y^2+1}{1-y}}=∞;$$
Значит (y=1) – вертикальная асимптота.
$$lim_{y→∞} {frac{y^2+1}{1-y}}=∞;$$
Значит горизонтальные асимптоты отсутствуют.
И проверим на наличие наклонных асимптот:
$$ lim_{y→∞} {frac{a(y)}{y}}=lim_{y→∞} {frac{(frac{y^2+1}{1-y})}{y}}=lim_{y→∞} {frac{y^2+1}{y-y^2 }}=$$
$$=lim_{y→∞} {frac{1+frac{1}{y^2}}{-1+frac{1}{y}}}=-1=k;$$
$$lim_{y→∞} {(a(y)-ky)}=lim_{y→∞} {frac{y^2+1}{1-y}+y}=lim_{y→∞} {frac{1+y}{1-y}}=-1;$$
Получим уравнение наклонной асимптоты (a=-y-1).
Красным показа график функции (a=frac{y^2+1}{1-y};) Зеленым – показаны найденные асимптоты; Синяя область удовлетворяет условию (y≥0);
Выделенная бардовым часть графика указывает на возможные корни исходной системы. По условию задачи необходимо найти такие значения параметра (a), чтобы система имела единственное решение. Таким образом, из рисунка следует, что при (a=-2sqrt{2}-2) и (a ≥ 1) система будет иметь единственное решение.
Ответ: (a=-2sqrt{2}-2) и (a≥1)
Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.
Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.
Теория для решения заданий 15 по финансовой математике. Аннуитетные и дифференцированные платежи, понятие сложного процента. Основные методы решения задач на проценты.
Использование свойств функции при решении заданий с параметром из ЕГЭ по математике профильного уровня. Симметрия функций и приемы решения.
Квадратные уравнения с параметром. Умение исследовать квадратный многочлен поможет решать задачи с параметром аналитическим методом. Квадратное уравнение решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.
Разбор линейных уравнений с параметром. Для того, чтобы решить такое уравнение, нужно найти все x при всех значениях параметра a
Решение показательных и логарифмических уравнений с параметром
Знакомимся с понятием параметра в уравнениях. Краткие рекомендации к выполнению.
Сегодня разберем одно из сложных заданий ОГЭ на знание функций и их свойств. Для решения задания нужно будет знать, как график параболы зависит от ее коэффициентов, а также уметь решать уравнения графическим методом.
Мы уже разбирали другие задания из 22-го номера ОГЭ, вы можете ознакомиться с ними по следующим ссылкам:
Задание №22 из ОГЭ. Как найти точку пересечения двух прямых, если нет уравнения?
Разбор №22 из пробного ОГЭ по математике
Текст сегодняшнего задания представлен на картинке:
Теперь, удобнее всего, превратить это уравнение во что-то более простое. Для этого, сделаем так, чтобы и слева и справа от знака равно, располагались функции, графики которых строить довольно легко. Чтобы это осуществить, перенесем модуль в правую сторону:
Теперь, наше задание свелось к тому, чтобы найти количество точек пересечения графиков двух функций:
График модуля строить довольно легко. Он выглядит так:
А вот с квадратичной функцией немного сложнее, т.к. она зависит от параметра а. Исследуем ее коэффициенты и опишем, как они влияют на график:
- Коэффициент при старшей степени равен единице, т.е. он больше нуля. Следовательно, ветви направлены вверх.
- Коэффициент при переменной х. Такого слагаемого в нашем случае вообще нет. Т.е. коэффициент при нем равняется нулю. Это значит, что парабола не смещена ни влево ни вправо. Ее центр лежит точно посередине, на оси ординат.
- Свободный член. В данном случае, это и есть наш параметр. Он отвечает за то, насколько выше или ниже оси абсцисс лежит вершина параболы.
Таким образом, в зависимости от параметра а, мы будем получать семейство парабол такого вида:
Посмотрим на общий чертеж обеих функций: семейства парабол и модуля:
Этот чертеж можно описать следующим так: при достаточно больших значениях параметра а, парабола лежит выше графика модуля и не имеет с ним общих точек. При уменьшении параметра, парабола смещается ниже и у графиков появляются точки пересечения.
Тогда, по мере того, как вершина параболы будет снижаться, возникнут такие случаи взаимного расположения графиков:
Значение параметра а в двух последних случаях легко найти. Т.к. вершина параболы, в четвертом случае, должна находиться в начале координат, то а=0. Следовательно, для 5-го графика – a<0.
С первыми тремя случаями все не так очевидно. Нам нужно понять, в каком случае ветви параболы касаются графика модуля? Так как и модуль и парабола, симметричны, относительно оси ординат, то будем рассматривать только правую половину графиков:
Для этого случая, значения иксов – неотрицательные, тогда после раскрытия модуля, знак подмодульного выражения не меняется. Т.к. на графике – одна общая точки, то, получившееся квадратное уравнение будет иметь один корень:
Квадратное уравнение имеет один корень только в том случае, когда его дискриминант равен нулю. Вычислим дискриминант, приравняем его к нулю и найдем значение параметра а:
Таким образом, при а=1/4 уравнение имеет два корня. Если а>1/4, то уравнение не имеет корней. Если a принадлежит интервалу от 0 до 1/4 – то уравнение имеет 4 корня. Если а<0 – уравнение имеет 2 корня.
Если Вам понравилась статья – ставьте лайки и подписывайтесь на канал.
Помните – ОГЭ близко. Чтобы лучше к нему подготовиться – читайте разборы других заданий на моем канале.
Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.
1 способ – ищем коэффициенты на графике
Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.
-
Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:
– Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.
– Если (a>1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.
– Аналогично с (a<-1), только график вытянут вниз.
– Если (a∈(0;1)), то график сжат в (a) раз (по сравнению с «базовым» графиком с (a=1)). Вершина при этом остается на месте.
– Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.
-
Парабола пересекает ось y в точке (c).
-
(b) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью (x_в) – абсциссы (икса) вершины параболы:
(x_в=-frac{b}{2a})
(b=-x_вcdot 2a)
Пример (ЕГЭ):
Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).
Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).
Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).
(x_в=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(b=-4)
Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:
(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4)
(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0)
(x^2-2x-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1); (x_2=frac{2+4}{2}=3).
Ответ: (3).
2 способ – находим формулу по точкам
Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:
-
Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:
-
Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.
Пример: (A(-4;5)), (B(-5;5)), (C(-6;3)).
(begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\5=a(-5)^2+b(-5)+c\3=a(-6)^2+b(-6)+c end{cases})
-
Решаем систему.
Пример:(begin{cases}5=16a-4b+c\5=25a-5b+c\3=36a-6b+c end{cases})
Вычтем из второго уравнения первое:
(0=9a-b)
(b=9a)Подставим (9a) вместо (b):
(begin{cases}5=16a-36a+c\5=25a-45a+c\3=36a-54a+c end{cases})
(begin{cases}5=-20a+c\5=-20a+c\3=-18a+c end{cases})Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:
(2=-2a)
(a=-1)Найдем (b):
(b=-9)
Подставим в первое уравнение (a):
(5=20+c)
(c=-15).Получается квадратичная функция: (y=-x^2-9x-15).
Пример (ЕГЭ):
Решение:
Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).
Таким образом имеем систему:
(begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\2=a+b+4 end{cases})
(begin{cases}8=a-b+4\2=a+b+4 end{cases})
(begin{cases}4=a-b\-2=a+b end{cases})
Сложим 2 уравнения:
(2=2a)
(a=1)
Подставим во второе уравнение:
(-2=1+b)
(b=-3)
Получается:
(g(x)=x^2-3x+4)
Теперь найдем точки пересечения двух функций:
(-3x+13=x^2-3x+4)
(x^2-9=0)
(x=±3)
Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:
(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)
Ответ: (22).
3 способ – используем преобразование графиков функций
Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.
Главный недостаток этого способа – вершина должна иметь целые координаты.
Сам способ базируется на следующих идеях:
-
График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).
-
– Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
-
– График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
– График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц.
-
График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.
У вас наверно остался вопрос – как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:
Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).
А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).
То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:
(y=x^2-10x+25-4)
(y=x^2-10x+21)
Готово.
Пример (ЕГЭ):
Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:
-
Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).
-
Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).
-
Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).
-
Получается (y=-2(x^2-4x+4)+4=)(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4).
-
(f(6)=-2cdot 6^2+8cdot 6-4=-72+48-4=-28)
Смотрите также:
Как найти k и b по графику линейной функции?
Графический метод
в задачах с параметром
Введение.
Я выбрала эту тему, так как она является неотъемлемой частью изучения школьного курса алгебры. Готовя данную работу, я ставила цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. Мой реферат поможет понять применение графического метода решения уравнений с параметрами, узнать о происхождении, развитии этого метода.
В современной жизни изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами.
Для решения таких уравнений графический метод является весьма эффективным, когда нужно установить, сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра а.
Задачи с параметрами представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков. Они обладают диагностической ценностью, так как с помощью них можно проверить знание основных разделов математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности и перспективные возможности успешного овладения курса математики в высших учебных заведениях.
В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы заданий и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов, ведь уравнения с параметрами по праву считаются одними из самых сложных задач в курсе школьной математики. Именно такие задачи и попадают в список заданий на едином государственном экзамене ЕГЭ.
§1 Что такое параметр.
Толковый словарь определяет «параметр» как величину, характеризующую какое – нибудь основное свойство машины, устройства, системы или явления, процесса. (Ожегов С.И. , Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка. Москва. 1999). Рассмотрение параметров – это всегда выбор. Покупая какую-то вещь, мы внимательно изучаем ее основные характеристики. Так, приобретая компьютер, мы обращаем внимание на следующие его параметры: производительность, габариты, состав комплектующих, цену и др. Перед выбором мы стоим и в различных жизненных ситуациях.
Что такое параметр в математике? Если вы вспомните некоторые основные уравнения (например, kx+l=0, ax²+bx+c=0), то обратите внимание, что при поиске их корней значения остальных переменных, входящих в уравнения, считаются фиксированными и заданными. Все разночтения в существующей литературе связаны с толкованием того, какими фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных переменных.
Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, возьмем за основу следующий его простейший вариант.
Определение: параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.
Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|=a–1 не следует неотрицательность значений выражения a–1, и если a–1
§2 Что означает «решить задачу с параметром»
и основные типы задач с параметрами.
Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.
Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.
На ЕГЭ встречаются два типа задач с параметрами. Первый «для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй «найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения или неравенства удовлетворяют заданным условиям».
И ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В задачах первого типа ответ выглядит так: перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответах второго типа задач с параметром перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи.
§3 Основные способы решения задач с параметром.
Аналитический – способ прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в уравнении без параметров.
Графический – в зависимости от условия задачи рассматривается положение графика функции в системе координат.
Графический способ. В зависимости от того, какая роль параметру отведена в задаче, можно соответственно выделить два основных графических приёма:
первый – построение графика на координатной плоскости (х;у),
второй – построение графика на координатной плоскости на (х;а).
На плоскости (х;у) или (х;а) функция y=f(x;a) задаёт семейство кривых, зависящих от параметра а. Понятно, что каждое семейство f обладает определёнными свойствами. Нас же в первую очередь будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости (параллельный перенос, поворот и т.д.) можно перейти от одной прямой к какой-нибудь другой.
Если уравнение одной из фигур не зависит от изменяющегося параметра, то график этой фигуры неподвижен относительно системы координат. Если в уравнение другой фигуры входит параметр, то от его изменения зависит расположение и даже форма графика. Тогда суть решения уравнения состоит в определении числа точек пересечения графиков построенных уравнений, а значит в определении количества возможных решений в зависимости от конкретных числовых значений параметра.
Графический способ определения числа корней уравнения в зависимости от входящего в него параметра является более удобным, чем аналитический.
§4. «Базовые элементы» для решения задач с параметрами
Понятие функции — одно из ключевых в математике.
И конечно, в задачах части 2 Профильного ЕГЭ по математике без них не обойтись.
Математические функции, изучением которых мы занимаемся, — это не что-то такое выдуманное или существующее только в замкнутом пространстве учебника. Они являются отражением реальных взаимосвязей и процессов, происходящих в природе и обществе.
Существует всего пять типов элементарных функций:
1. Степенные
К этому типу относятся линейные, квадратичные, кубические,
, 
, 
Все они содержат выражения вида xα.
2. Показательные
Это функции вида y = ax
3. Логарифмические
y = logax.
4. Тригонометрические
В их формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.
5. Обратные тригонометрические
Содержат arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx.
Элементарными они называются потому, что из них, как из элементов, получаются все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например, y = x2 · ex — произведение квадратичной и показательной функций; y = sin(ax) — сложная функция, то есть комбинация двух функций — показательной и тригонометрической.
В задачах с параметрами Профильного ЕГЭ по математике встречаются не только графики функций (в школьном смысле этого слова), но и множества точек на плоскости.
Вот несколько уравнений и неравенств, задающих окружность, круг, ромбик, отрезок. Заметим, что окружность или ромбик, хотя и задаются уравнениями, не являются графиками функций в школьном смысле этого слова.
Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике считаются одними из самых сложных. Однако на самом деле они похожи на конструктор, где вы собираете решение из готовых элементов. Чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отлично знать типы элементарных функций и их графики. Преобразования графиков функций. И вот эти базовые элементы:
1. Уравнение 
задает окружность с центром в начале координат и радиусом 
2. Уравнение 
задает окружность с центром в точке (a;b) и радиусом
3. Неравенство 
задает круг вместе с границей
4. Уравнение 
задает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом
5. Уравнение 
задает нижнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом
6. Уравнение 
задает верхнюю полуокружность центром в точке 
и радиусом
7. Уравнение 
при положительных 
и 
задает ромбик, симметричный относительно начала координат.
8. Уравнение 
(сумма модулей) задает график следующего вида:
§5 Преобразование графиков функций
В своей работе я рассмотрела основные преобразованиях графиков функций. Что нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали. Как задать растяжение графика по горизонтали или вертикали. Как отразить график относительно оси Х или Y.
Эта тема – полезная и очень интересная — выпадает из школьной программы. Для того, чтобы решать задачи с параметрами, стоит научиться строить графики функций.
Начнем со сдвигов графиков по Х и по Y.
Сдвиг по горизонтали.
Пусть функция задана формулой 
и 
Тогда график функции 
сдвинут относительно исходной на а вправо. График функции 
сдвинут относительно исходной на а влево.
Сдвиг по вертикали.
Пусть функция задана формулой и С — некоторое положительное число. Тогда график функции 
сдвинут относительно исходного на С вверх. График функции 
сдвинут относительно исходного на С вниз.
Теперь растяжение графика или сжатие.
Растяжение (сжатие) по горизонтали.
Пусть функция задана формулой и 
Тогда график функции 
растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если 
, и сжат относительно исходного в k раз по горизонтали, если 
Растяжение (сжатие) по вертикали
Пусть функция задана формулой и 
Тогда график функции 
растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если 
, и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если 
Отражение по горизонтали.
График функции 
симметричен графику функции 
относительно оси Y.
Отражение по вертикали.
График функции 
симметричен графику функции относительно оси Х.
И еще два интересных преобразования.
Здесь в формулах присутствует знак модуля
Графики функций 
и 
На рисунке изображен график функции 
Она специально взята такая — несимметричная относительно нуля.
Построим график функции
Конечно же, мы пользуемся определением модуля.
Это мы и видим на графике. Для неотрицательных значений х график остался таким же, как был. А вместо каждого отрицательного х мы взяли противоположное ему положительное число. И поэтому вся та часть графика функции, что лежала слева от оси Х, заменилась на зеркально отраженную правую часть графика.
Теперь график функции 
Вся часть графика, лежащая ниже оси Х, зеркально отражается в верхнюю полуплоскость. А верхняя часть графика, лежащая выше оси Х, остается на месте.
Как определить по формуле функции, будет график преобразован по горизонтали (по Х) или по вертикали (по Y)? Разница очевидна. Если сначала мы что-либо делаем с аргументом х (прибавляем к нему какое-либо число, умножаем на какое-либо число или берем модуль) — преобразование по Х. Если сначала мы нашли функцию, а затем уже к значению функции что-то прибавили, или на какое-нибудь число умножили, или взяли модуль, – преобразование по Y.
§6. Решение задач.
Задача 1. Сколько корней имеет уравнение | | x | – 2 | = a в зависимости от параметра a?
Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций y = | | x | – 2 | и y = a. График функции y = | | x | – 2 | изображен на рисунке.
Графиком функции y = а является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).
Из графика видно, что:
Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | две общие точки; значит, исходное уравнение имеет два корня (в данном случае корни можно найти: x1,2 = + 2).
Если 0 a Если a = 2, то прямая y = 2 имеет с графиком функции три общие точки. Тогда исходное уравнение имеет три корня.
Если a 2, то прямая y = a будет иметь с графиком исходной функции две точки, то есть данное уравнение будет иметь два корня.
Ответ: если a если a = 0, a 2, то два корня;
если a = 2, то три корня;
если 0 a
Задача 2. Сколько корней имеет уравнение | x2 – 2| x | – 3 | = a в зависимости от параметра a?
Решение. В системе координат (x; y) построим графики функций
y = | x2 – 2| x | – 3 | и y = a.
График функции y = | x2 – 2| x | – 3 | изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая, параллельная Ox или с ней совпадающая (когда a = 0).
Из графика видно:
Если a = 0, то прямая y = a совпадает с осью Ox и имеет с графиком функции
y = | x2 – 2| x | – 3 | две общие точки, а также прямая y = a будет иметь с графиком функции y = | x2 – 2| x | – 3 | две общие точки при a 4. Значит, при a = 0 и a 4 исходное уравнение имеет два корня.
Если 0 a a имеет с графиком функции y = | x2 – 2| x | – 3 | четыре общие точки, а также прямая y=a будет иметь с графиком построенной функции четыре общие точки при a = 4. Значит, при 0 a a = 4 исходное уравнение имеет четыре корня.
Если a = 3, то прямая y = a пересекает график функции в пяти точках; следовательно, уравнение имеет пять корней.
Если 3 a Если a 2 – 2| x | – 3 |.
Ответ: если a если a = 0, a 4, то два корня;
если 0 a a = 4, то четыре корня;
если a = 3, то пять корней;
если 3 a
Задача 3. Найдите все значения а, при каждом из которых решения неравенства 
образуют отрезок длины 1.
Решение. Перенесем единицу: 
Построим графики функций 
и 
На рисунке видно, что неравенство имеет решения только при 
или 
1)
Решения образуют отрезок длины 1, если 
откуда 
2) 
Решения образуют отрезок длины 1, если 
откуда 
Ответ: 
Задача 4. Сколько корней имеет уравнение
x + 2 = a | x – 1 |
в зависимости от параметра a?
Решение. Заметим, что x = 1 не является корнем данного уравнения, так как равенство 3 = a0 не может быть верным ни при каком значении параметра a. Разделим обе части уравнения на | x – 1 |(| x – 1 | 0), тогда уравнение примет вид 
В системе координат xOy построим график функции 
График этой функции изображен на рисунке. Графиком функции y = a является прямая, параллельная оси Ox или с ней совпадающая (при a = 0).
Далее рассуждая так же, как и в предыдущей задаче, получаем ответ.
Ответ: если a – 1, то корней нет;
если – 1 a 1, то один корень;
если a 1, то два корня.
Задача 5. При каких значениях параметра a уравнение
ax2 + | x – 1 | = 0 имеет три решения?
Решение. 1. Контрольным значением параметра для данного уравнения будет число a = 0, при котором уравнение примет вид 0 + | x – 1 | = 0, откуда x = 1. Следовательно, при a = 0 уравнение имеет один корень, что не удовлетворяет условию задачи.
2.Рассмотрим случай, когда a ax2 = – | x – 1 |. Заметим, что уравнение будет иметь решения только при a
В системе координат xOy построим графики функций y = | x – 1 | и y = ax2. График функции y = | x – 1 | изображен на рисунке. Графиком функции y = ax2 является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a
Уравнение будет иметь три решения только тогда, когда прямая y = – x + 1 будет касательной к графику функции y=ax2.
Пусть x0 — абсцисса точки касания прямой y = – x + 1 с параболой y = ax2. Уравнение касательной имеет вид
y = y(x0) + y ‘(x0)(x – x0).
Запишем условия касания:
Данное уравнение можно решить без использования понятия производной.
Рассмотрим другой способ. Воспользуемся тем, что если прямая y = kx + b имеет единственную общую точку с параболой y = ax2 + px + q, то уравнение ax2 + px + q = kx + b должно иметь единственное решение, то есть его дискриминант равен нулю. В нашем случае имеем уравнение ax2 = – x + 1 (a
0). Дискриминант уравнения 
Ответ: 
Задача 6. Найдите все значения 
, при каждом из которых система неравенств 
имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5].
Преобразуем систему: 
Построим прямоугольную систему координат xOa. Изобразим множество точек, координаты которых удовлетворяют системе неравенств.
Гипербола 
и график корня 
пересекаются в точке N(3; 2). Гипербола и прямая 
пересекаются в точке M(5; 1). График корня и прямая пересекаются в точке K(6; 4). Множество точек, координаты которых удовлетворяют заданной системе состоит из точек криволинейного треугольника NMK, не включая границу, лежащую на прямой КМ.
Поскольку система должна иметь хотя бы одно решение на отрезке [4; 5], определим наименьшую и наибольшую ординаты проекции выделенного на рисунке четырехугольника на ось ординат.
Найдём координаты точки P:
=
Проекции точек P и M дают искомое множество: заданная система неравенств имеет хотя бы одно решение на отрезке [4; 5] при 
(выделено штриховкой на рисунке).
Ответ: (1; 
Задача 7. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 
имеет единственный корень.
Запишем уравнение в виде 
и рассмотрим две функции 
и 
.
Рассмотрим функцию , преобразовывая подкоренное выражение, получим:
.
Таким образом, получаем
.функцию, графиком которой является полуокружность с радиусом 2 в центре с точкой (-1;0), лежащей в верхней полуплоскости.
Г
рафиком функции является прямая с угловым коэффициентом -а, проходящая через точку М (4;2)
Уравнение имеет единственный корень, если графики функций имеют одну общую точку (т.е. прямая касается или пересекает полуокружность в единственной точке).
Рассмотрим рисунок: 1. Прямая МС является касательной к полуокружности, следовательно, МС и полуокружность пересекаются в единственной точке. Так как МС параллельна оси ОХ ( У точки М (4,2) и С(-1,2)), то угловой коэффициент равен нулю. Таким образом, найдено первое значение а=0, при котором уравнение имеет один единственный корень.
2. Проведем прямую через точки М(4;2) и А(-3;0) ( так как координаты известны). Прямая МА пересекает график полуокружности в двух точках, но такая ситуация не удовлетворяет условию задачи. Поэтому надо найти значения углового коэффициента, при которых вышеназванное условие не выполняется. Чтобы найти значения –а подставим координаты точек М и А в функцию .
-4а+16а+2=2 3а+4а+2=0
12а=0 7а=-2
а=0. а=
Получаем, -а=0 и –а=
.
При условии 
прямые имеют с графиком две общие точки, а это не удовлетворяет условию задачи.
3. Проведем прямую МВ через точки М(4;2) и В(1;0). Чтобы найти значения –а подставим координаты точек М и А в функцию .
3а+4а+2=0 -а+4а+2=0
7а=-2 3а=-2
а= а =
Получаем –а= и –а= . При условии 
прямые имеют с графиком одну общие точки и это удовлетворяет условию задачи.
Ответ: а=0, 
Задача 8. Найдите все значения , для каждого из которых уравнение
имеет единственное решение.
Аналитический способ:
;
Пусть 
= t 0, тогда:
(*)
Исходное уравнение будет иметь единственное решение:
1 случай: еcли уравнение (*) имеет единственное решение (D=0);
2 случай: если уравнение (*) имеет два корня (D0), один из которых меньше нуля или равен нулю.
Пусть n=a+6, m=5+3|a|;
1 случай:
= 
= 
= 
= 
;
если a 
= 
; если a0, то 
= 
.
2 случай:
; 
;
если nm, то:
;
если n
; 
;
система не имеет решений, т.к. выражение 3|a|+5 всегда положительно.
= 
=
или 
= 
= 
или 
= 
= система не имеет решений.
Ответ: ; ; .
Графический способ:
Преобразуем исходное уравнение:
=
= 
или 
.
Построим графики функций 
на координатной плоскости xOa:
На чертеже заметим, что система имеет единственное решение при 
, 
и . Найдём 
и 
:
Если a0, то: 
= 
= 
.
Если а 
= 
= 
.
Ответ: ; ; .
Задача 9. Найдите все значения , при каждом из которых имеет ровно три различных решения система уравнений 
Первое уравнение системы является уравнением окружности с центром в точке 
и радиусом 3. График функции 
получается параллельным переносом на вектор 
графика функции 
Поскольку график функции 
представляет собой прямой угол с вершиной в точке 
и сторонами лежащими на прямых 
и 
выше оси абсцисс, график функции также представляет собой прямой угол, но с вершиной в точке 
и сторонами, параллельными прямым 
Заметим, что прямая 
на которой лежит вершина угла, является касательной к окружности.
Ровно три общие точки фигуры имеют в следующих случаях:
1. Вершина прямого угла лежит в точке 
касания окружности и прямой 
, а его стороны пересекают окружность в двух точках (первый случай). Это возможно, только если 
.
2. Одна из сторон прямого угла пересекает окружность в двух точках, а другая касается окружности в точке 
(второй случай) или в точке 
(третий случай). Найдём значения параметра для этих двух случаев. Поскольку радиус окружности, проведённый в точку касания окружности и прямой, перпендикулярен прямой, четырёхугольник 
является квадратом со стороной 
и диагональю 
. Тогда 
. Следовательно, для случая касания в точке получаем 
Для касания стороны угла и окружности в точке аналогично получаем ещё одно значение параметра: 
При 
или 
прямой угол имеет не более двух общих точек с окружностью.
При 
или 
прямой угол имеет четыре общие точки с окружностью.
Ответ: 
Задача 10. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно 4 решения.
П
реобразуем данную систему:
Пусть t = y – 3, тогда система примет вид:
Количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы.
Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат Oxt. График первого уравнения – ромб, диагонали которого, равные 8 и 6, лежат на осях Ох и Оt, а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом r = |a|.
С
истема имеет 4 решения, так как графики уравнений системы пересекаются в четырех общих точках. Значит, окружность либо вписана в ромб, либо ее радиус удовлетворяет условию 3
Во втором случае получаем 3 |a |
Ответ: а = ± 2,4; −4
Заключение
Работая над это темой, я провела большую работу: изучила литературу по выбранной теме; разобралась, что такое параметр и задачи с параметрами; познакомилась с методами их решения.
Выполняя практическую часть, было решено много уравнений, неравенств и их систем, я приобрела опыт и научилась решать определённый круг задач и пришла к некоторым выводам.
Решение каждого задания требует к себе индивидуального подхода, но при этом задачи с параметрами чем-то похожи на детский конструктор. Разобрав много таких примеров, можно заметить, как решение «собирается» из мелких деталей – хорошо знакомых нам фактов.
Для себя я выделила два основных способа решения №17 из ЕГЭ:
аналитический и графический.
Графический способ является наиболее наглядным, простым и доступным способом решения задач с параметрами. Если задачу с параметром можно нарисовать – рисуем. То есть применяем графический метод. Размытость в решение уравнения, неравенства или их системы с помощью графика, можно подкрепить аналитическим выводом, что поможет подтвердить правоту выбранного решения и ответа.
Сочетание аналитического способа решения с графической интерпретацией полученных результатов позволяет сделать процесс решения уравнений с параметрами более осознанным, способствуя при этом формированию элементов исследовательской деятельности.
Мне эта работа интересна.
Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность.
Список литературы
1.Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Уравнения и неравенства с параметрами. Количество решений.
2.Шарыгин И.Ф., В.И.Голубев. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учебное пособие для 11 класса. Москва «Просвещение». 1991 г.
3.Моденов В.П. Задачи с параметрами Москва «Экзамен» 2017
Интернет – ресурсы:
http://reshuege.ru “Решу ЕГЭ” – образовательный портал
https://egemaximum.ru/category/17/
34
При решении широкого класса задач с параметром
довольно часто оказывается полезным графический
метод.
Напомним суть этого метода. Рассмотрим сначала
уравнение с одной переменной 
. В системе координат (хОу)
строят график функции 
и находят абсциссы точек пересечения
графика с осью (Ох). Эти абсциссы и являются
корнями данного уравнения. Часто для решения
уравнения 
его заменяют равносильным 
, затем строят графики функций 
и 
, находят абсциссы точек
пересечения построенных графиков.
Решение задач с параметром графическим методом
имеет ряд особенностей. Оно основано на
нахождении всех точек данной плоскости,
координаты которых удовлетворяют заданному в
условии задачи соотношению. При этом
используются различные системы координат: (хОу),
(хОа), (аОх) (для уравнений, неравенств с
переменной х и параметром а, а также их
систем и совокупностей). Их выбор обусловлен
особенностями задачи, простотой построения
графиков и т.д.
Например, уравнение 
при его решении графическим методом
удобно рассматривать как уравнение с двумя
переменными х и а.
Определение. Пусть дано уравнение с двумя
переменными 
.
Если все его решения изобразить точками на
координатной плоскости, то получится некоторое
множество точек плоскости, которое называется
графиком уравнения 
.
При аналитическом решении такого уравнения с
двумя переменными, пользуясь свойствами
уравнений, одну переменную выражают через
другую. Общее решение этого уравнения имеет вид 
или 
.
Рассмотрим линейное уравнение 
. Выразим y через х:
, 
. 
– общее решение уравнения.
В системе координат (хОу) графиком
уравнения является прямая. (Рис. 1).
Координаты всех точек этой прямой являются
решениями уравнения 
.
Например, при 
;
при 
.
(3; 0), (0; – 4) – решения данного уравнения.
А теперь в уравнении 
выразим х через у. 
, 
.
– общее
решение уравнения.
В системе координат (уОх) графиком
уравнения также является прямая. (Рис. 2).
При 
; при 
.
Используя формулы 
(1) и 
(2), мы получим одни и те же пары
значений х и у, т.е. одни и те же решения
уравнения 
:
Рассмотрим теперь уравнение 
с переменной х и
параметром а. Это уравнение также является
уравнением с двумя переменными.
Выразим х через а: 
. В системе координат (аОх)
графиком уравнения является прямая (рис. 3). Здесь
переменная х является линейной функцией
параметра а.
График функции 
является графической иллюстрацией
ответа: для любого значения параметра а 
.
При решении целого ряда задач с параметром
бывает полезным выразить параметр через
переменную. Из уравнения 
получим: 
. Построим график этого
уравнения в системе координат (хОа) (рис. 4). В
данном случае параметр а является линейной
функцией переменной х.
Ответим на вопрос: “При каких значениях
параметра а корни уравнения 
принадлежат отрезку [1; 3]”?
Используем графики функций 
или 
. (Рис. 3, 4).
(если 
, то 
; если 
, то 
).
А теперь построим семейство графиков функции 
в системе
координат (хОу) (они параллельны прямой 
, где 
). (Рис. 5).
Решениями уравнения 
являются абсциссы точек пересечения с
осью Ох графиков функции 
при заданных значениях
параметра а. Если 
, то 
;
если 
, то 
. Общее решение
уравнения 
: 
.
Рассмотрим примеры решения задач с параметром
графическим методом.
№ 1. Сколько корней в зависимости от а
имеет уравнение 
?
1 способ решения.
Перепишем уравнение в виде 
. Решим его в системе координат (хОу).
Для этого построим графики функций 
и 
(семейство прямых, параллельных
оси х). (Рис. 6).
Ответ: Если 
,
то уравнение имеет два корня; если 
, то уравнение имеет один
корень; если 
,
то корней нет.
2 способ. Аналогично данное
уравнение решается в системе координат (хОа).
Для этого выразим параметр а через
переменную х: 
. (Рис. 7).
Записывая ответ, поставим в соответствие
каждому фиксированному значению параметра а
значение искомой величины х. Для этого график
функции 
“рассекается” горизонтальными прямыми.
Ответ тот же.
3 способ. Вновь обратимся к
координатной плоскости (хОу). Построим
семейство парабол, заданных уравнением 
, и, в
зависимости от параметра а, определим
количество точек пересечения парабол с осью Ох
(её уравнение 
).
(Рис. 8).
Определим координаты вершин этих парабол: 
, 
.
Уравнение 
имеет один корень, если 
, т.е. 
. Если 
, т.е. 
, то корней нет; если 
, т.е. 
, то уравнение имеет два корня.
Замечание. Решив данное
уравнение аналитически, можно получить
графическую интерпретацию ответа в системе
координат (аОх):
если 
, то 
;
если 
, то 
;
если 
, то
решений нет. (Рис. 9).
№ 2. При каких значениях параметра а
множество решений неравенства 
не содержит ни одного
решения неравенства 
?
Решение
Решим эту задачу графически в системе
координат (аОх). (Рис. 10).
Неравенству 
удовлетворяют координаты точек,
принадлежащих выделенным частям плоскости (аОх).
Если 
, то ни
одна точка полосы между прямыми 
и 
, включая точки этих прямых, не
попадает в выделенные области.
Ответ: 
.
А теперь рассмотрим более сложный пример.
№3. Найдите сумму целых значений параметра,
при которых уравнения 
и 
имеют корни, причем число их корней одинаково.
Решение
Выразим параметр а из каждого уравнения.
1. 
.
ООУ: 
Пусть 
.
Тогда 
–
неверное равенство. Значит, 
не является корнем данного
уравнения. Разделим обе части на 
: 
.
Рассмотрим функцию 
. (1)
Исследуем функцию 
с помощью производной и построим её
график в системе координат (хОа).
.
Критические точки: 
, 
.
Знаки производной и экстремумы:
; 
.
; 
; 
;
; 
.
График функции 
симметричен графику функции 
относительно
оси х. (Рис. 14).
2. 
(2).
ООУ: 
2.1. Пусть 
.
Тогда 
.
2.2. Пусть 
.
Тогда 
.
2.3. Пусть 
.
.
Критическая точка: 
.
; 
; 
; 
.
; 
.
2.4. Пусть 
.
.
Критическая точка: 
.
; 
; 
; 
;
; 
; 
.
; 
; 
; 
.
График функции 
также изображён на рисунке. (Рис. 14).
Используя построенные в системе координат (хОа)
графики функций (1) и (2), найдём такие значения
параметра а, при которых уравнения имеют
корни, причём их число одинаково. Это означает,
что горизонтальные прямые должны пересекать
графики функций в одинаковом количестве точек.
Так как при 
первое уравнение не имеет корней, то рассмотрим 
. Второе
уравнение имеет корни при любом значении
параметра а. Условию задачи удовлетворяют 
и 
. Найдём сумму целых
значений а, принадлежащих этим интервалам:
(- 17) + (- 16) + (- 15) + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = – 23.
Ответ: – 23.
Таким образом, графический метод обладает
целым рядом преимуществ перед аналитическим: он
более нагляден и понятен в случаях, когда
необходимо ответить на качественный вопрос или
провести анализ множества решений. Однако
следует помнить, что универсальных методов и
приёмов, пригодных для любой математической
задачи, не существует. Поэтому, приступая к
анализу той или иной задачи, необходимо выбрать
наиболее эффективный из возможных способов её
решения.
