Как найти параметр интегральной функции

Аналитически закон
распределения случайной величины можно
задать с помощью ее функции распределения.
Отметим, что с помощью функции распределения
или интегральной функции распределения
можно задать как дискретную, так и
непрерывную случайную величину.

Определение.
Функцией распределения
или интегральной
функцией
распределения
вероятностей
называется вероятность того, что
случайная величина

,
т.е.

.

.

Свойства интегральной функции распределения

Свойство
1.
Областью определения функции

является все множество действительных
чисел

.

Доказательство.
Свойство
следует из определения интегральной
функции распределения.

Свойство
2.
Областью
изменения функции

является промежуток от нуля до единицы

Доказательство.
Так как по определению интегральная
функция – это вероятность события

,
то по свойствам вероятности

.

Свойство
3.
Предел
интегральной функции при

равен 0

Доказательство.
Из определения интегральной функции
распределения следует, что равенство

равносильно

.
Поэтому

.

Так
как событие

,
состоит в том, что случайная величина

в результате исхода испытания примет
какое-то действительное число, является
событием достоверным.

Найдем

.

Так
как

– это символ, меньше которого не может
быть никакое действительное число, то
событие

,
состоящее в том, что случайная величина
примет в результате исхода испытаний
значение меньшее

,
является событием невозможным.

Свойство
4.
Интегральная
функция распределения является
неубывающей функцией.

Доказательство.
Выберем два
действительных произвольных числа

и

так, чтобы

.

Применив теорему
сложения для несовместных событий,
находим

или с учетом
определения интегральной функции
распределения имеем

. (1)

Так
как

,
то из равенства (1) получаем равенство

.

Таким
образом, доказано, что для любых значений

и

для которых выполняется неравенство

,
выполняется неравенство

,

следовательно,
функция

неубывающая на всей числовой прямой.

Свойство
5. Вероятность
того, что случайная величина примет
значение из промежутка

определяется по формуле

, (2)

т.е.
вероятность того, что случайная величина
примет значение из промежутка

,
равна приращению интегральной функции
распределения на этом промежутке.

Доказательство.
Формула (2) следует из формулы (1).

Прежде,
чем сформулировать остальные свойства
интегральной функции распределения,
уточним определение случайной величины.

Определение.
Случайная
величина
называется непрерывной,
если ее интегральная функция распределения
непрерывно дифференцируема.

Рассмотрим
теперь свойства интегральной функции
распределения, которые справедливы
лишь для непрерывных случайных величин.

Свойство
6. Если
случайная величина

равна нулю

.

Доказательство.
По свойству 5 вероятность того, что
случайная величина

принимает значение из некоторого
промежутка

,
определяется по формуле

(3)

Так
как при

,
с одной стороны, получаем

, (4)

а,
с другой стороны, из непрерывности
случайной величины

следует непрерывность интегральной
функции распределения

,
а поэтому бесконечно малому приращению
аргумента

соответствует бесконечно малое приращение
функции

(6)

Подставляя найденные
значения пределов (5) и (6) в равенство
(4), получаем

.

Свойство
7. Если
случайная величина

непрерывна, то имеют место равенства

.

Доказательство.
Докажем,
например, первое равенство

.

Так
как событие


можно представить в виде суммы двух
несовместимых событий

,

то, применив теорему
сложения для двух несовместных событий,
находим

.

Остальные
равенства доказываются аналогично.

Р
ассмотрим
графики интегральной функции распределения.

Пример
1.
Дискретная случайная величина

задана таблицей

	-1	1	3
	0,3	3	0,5

Найти интегральную
функцию распределения вероятностей и
построить ее график.

Решение.
Отметим
на числовой прямой возможность значения
случайной величины .

При построении
интегральной функции распределения
рассмотрим случаи:

Таким образом,
интегральную функцию распределения
можно записать в виде

П
остроим
график функции

График
функции имеет ступенчатый вид. В точках
возможных значений

функция имеет разрывы первого рода,
причем в каждой из этих точек функция
непрерывна слева и имеет разрыв справа.
Величина скачка в каждой точке разрыва
равна вероятности соответствующего
значения случайной величины.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Интегральная функция распределения случайной величины и её свойства. Функция распределения дискретной случайно величины

Задание случайной величины её законом распределения не обладает общностью, так как его нельзя использовать, например, для непрерывных случайных величин. Кроме того, даже для дискретных случайных величин закон распределения не удовлетворяет практическим требованиям. Например, с точки зрения практики событие, состоящие в том, что некоторый прибор проработает, например, 1000 часов, не представляет интереса. Более важным является событие Х < 1000 или событие Х > 1000. Такое событие имеет вероятность, отличную от нуля, и при изменении Х вероятность события будет изменяться.

Следовательно, вероятность является функцией от х, которая и принимается в качестве интегральной функции распределения и которая является универсальной, пригодной для описания как непрерывных, так и дискретных случайных величин.

Определение 4. Интегральной функцией распределения вероятностей случайной величины Х называется функция F(х), соответствующая вероятности того, что в результате опыта случайная величина Х примет значение меньшее х – некоторого значения случайной величины.

Таким образом, по определению

F(x) = Р(X < х), т.е. (3.1)

На числовой оси Ох случайная величина х сщдержится в интервале (– ∞, х) (рисунок 3.4):

Пример 9. Пусть для случайной величины X задан ряд распределения:

Записать интегральную функцию распределения и построить ее график.

Решение. F(x) = P(X < x) = 0, х ≤ х=1; F (x) = P(X < x) = P(X = x)= = p = 0,4; 1 < х ≤ 2; F₂ (x) = P(X < x) = P (X = x) + P (X = x) = 0,4 + 0,24 = = 0,64; 2 < х ≤ 3.

Событие Х < х может быть осуществлено, когда Х принимает значения х₁ с вероятностью p= 0,4 или значение х с вероятностью p. В силу несовместности этих событии получается, что Р(Х < х) = p + p. Далее имеем

F(x) = P(X < x) = Р(X = x) + P(X = x) + P(X = x) = 0,4 + 0,24 + 0,19 = 0,83, 3< х ≤4;

F(x) = P(X < x) = 0,4 + 0,24+0,19 + 0,1 = 0,93, х< х ≤ х, 4 < х ≤ 5;

F(x) = P(X < x) = 0,4+0,24+0,19+0,1+0,04 = 0,97, х< х ≤ х, 5 < х ≤ 6;

F(x) = P(X>x) = 0,4 + 0,24 + 0,19 + 0,1 + 0,04 + 0,03 = 1, х > 6.

Таким образом, функция F(х) здесь составная (ступенчатая) и она претерпевает разрыв 1-го рода в точках х_k и скачки этой функций равны p_k = = Р(Х = х_k) (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6) (рисунок 3.5). Заметим, что функция распределе-ния для непрерывной случайной величины имеет форму плавной кривой (рисунок 3.6).

Равномерно распределенная случайная величина

На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ – распределенных по равномерному закону.

В сущности, равномерное распределение – самое простое из семейства непрерывных, и определяется тем, что плотность распределения постоянна (равна константе) на всем интервале: $f(x)=c=frac{1}{b-a}, xin (a;b)$ (а вне его равна нулю):

$$
f(x)=
left{
begin{array}{l}
0, x le a\
frac {1}{b-a}, a lt x le b, \
0, x gt b, \
end{array}
right.
$$

Функция распределения для нее вычисляется практически в уме:

$$
F(x)=
left{
begin{array}{l}
0, x le a\
frac {x-a}{b-a}, a lt x le b, \
1, x gt b, \
end{array}
right.
$$

Для равномерного на интервале $(a;b)$ распределения известны формулы для числовых характеристик. Математическое ожидание $M(X)=frac{a+b}{2}$, дисперсия $D(X)=frac{(b-a)^2}{12}$, среднее квадратическое отклонение $sigma(X)=frac{b-a}{2sqrt{3}}$.

В жизни равномерным распределением часто моделируют время ожидания транспорта, ошибки округления в пределах цены деления.

В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются равномерно распределенные случайные величины.

Примеры решений

Задача 1. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Полагая, что случайная величина $xi$ – время ожидания автобуса на остановке – распределена равномерно на указанном интервале, найти среднее время ожидания и среднеквадратическое уклонение времени ожидания.

Задача 2. Телефонный звонок должен последовать от 10 ч до 10 ч 20 мин. Какова вероятность того, что звонок произойдет в последние 10 мин указанного промежутка, если момент звонка случаен?

Задача 3. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

Задача 4. В здании областной администрации случайное время ожидания лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 3 минут. Найти а) плотность распределения времени ожидания, б) вероятность ожидания лифта более чем 2 минуты, в) вероятность того, что лифт прибудет в течение первых 15 секунд, г) среднее время ожидания лифта и дисперсию времени ожидания.

Задача 5. Случайная величина $X$ задана интегральной $F(x)$ или дифференциальной $f(x)$ функцией. Требуется:
а) найти параметр $C$;
б) при заданной интегральной функции найти дифференциальную функцию; а при заданной дифференциальной функции найти интегральную функцию;
в) построить графики функций $F(x)$ и $f(x)$;
г) найти математическое ожидание $M[X]$ дисперсию $D[X]$ среднее квадратическое отклонение $sigma[X]$;
д) вычислить вероятность попадания в интервал $P(alt X lt b)$;
е) определить, квантилем какого порядка является точка $x_p$;
ж) вычислить квантиль порядка $p$.

$$
f(x)=
left{
begin{array}{l}
{0,x lt -1,} \
{C, -1 le x le 1} \
{0, xgt 1.}
end{array}
right.
$$

Задача 6. Дана плотность распределения $p(x)$ случайной величины $xi$. Найти параметр $gamma$, математическое ожидание $Mxi$, дисперсию $Dxi$, функцию распределения случайной величины $xi$, вероятность выполнения неравенства $x_1 lt xi lt x_2$.
$$a=1, b=1,8, x_1=1,3, x_2=1,6.$$
$$
p(x)=
left{
begin{array}{l}
{1,x in [gamma; 1,8],} \
{0,x notin [gamma; 1,8].} \
end{array}
right.
$$

Задача 7. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (1;8). Найти:
а) дифференциальную функцию,
б) интегральную функцию,
в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение,
г) вероятность попадания в интервал (3;5).

Задача 8. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:
$$
F(x)=
left{
begin{array}{l}
{0,x lt a,} \
{frac{x-1}{2}, x in [a,b]} \
{1, xgt b.}
end{array}
right.
$$
Определить параметры $а$ и $b$, найти плотность вероятности, числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в интервал $[-1, 2]$. Построить графики $р(x)$ и $F(x)$.

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности: