Как найти параметр канонического уравнения

Каноническое уравнение прямой на плоскости

В данной статье мы рассмотрим каноническое уравнение прямой на плоскости. Определим понятие направляющего вектора прямой. Рассмотрим примеры построения канонического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим метод преобразования уравнения в каноническом виде в параметрический и общий виды.

Определение 1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой.

На рисунке Рис.1 представлена прямая L и векторы q₁, q₂, q₃, q₄. Из определения следует, что векторы q₁, q₂, q₄ являются направляющими векторами прямой L, а q₃ − нет.

Каноническое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

(1)

где x₁, y₁ координаты некоторой точки M₁ на прямой L. Вектор q=<m, p> является направляющим вектором прямой L.

Надо отметить, что при записи уравнения прямой в каноническом виде, допускается, чтобы один из чисел m и p была равна нулю (одновременно m и p не могут быть равным нулю, т.к. направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором). Равенство нулю одного из знаменателей означает равенство нулю соответствующего числителя. В этом можно убедится, записав уравнение (1) в следующем виде:

Выше мы отметили, что прямая L проходит через точку M₁(x₁, y₁). В этом можно убедится, подставив x=x₁, y=y₁ в уравнение (1).

Чтобы убедится, что точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂) находятся на прямой L, поочередно подставим в уравнение (3) координаты точек M₁ и M₂. Получим тождества, следовательно эти точки принадлежат прямой L.

Сравним уравнения (1) и (3). Тогда можно записать q=<m, p>=<x₂−x₁, y₂−y₁>. На рисунке Рис.2 представлен вектор q, которая является разностью векторов, соответствующих точкам M₂ и M₁. Этот вектор является направляющим вектором прямой L. Следовательно, для определения направляющего вектора прямой, достаточно взять две точки на данной прямой и найти разность между соответсвующими координатами этих точек.

Таким образом, прямая на плоскости определяется точкой и направляющим вектором или двумя точками.

Онлайн калькулятор, для построения прямой через две точки находится тут.

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(3,−1) и имеет направляющий вектор q=<−3, 5>. Построить каноническое уравнение прямой.

Решение. Для построения канонического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Пример 2. Прямая проходит через точку M=(2, 2) и имеет направляющий вектор q=<0, 3>. Построить каноническое уравнение прямой.

Решение. Для построения канонического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

На рисунке Рис.3 изображена прямая L, точка M=(2, 2) и направляющий вектор q=<0, 3>. Прямая проходит через точку M и параллельна направляющему вектору q.

Пример 3. Прямая проходит через точки M₁=(−7, 2) и M₂=(−4, 4). Построить каноническое уравнение прямой. Воспользуемся формулой (3). Подставим координаты точек в уравнение (3):

Упростим полученное уравнение:

Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду

Для приведения канонического уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду, обозначим каждую часть уравнения (1) переменным t:

Выразим переменные x и y через t:

где t называется параметром, а уравнение (4) называется параметрическим уравнением прямой.

Для построения уравнения прямой, представленной параметрическом виде (4), достаточно задать параметру t любые значения и вычислить из уравнений (4) соответствующие координаты x и y некоторых точек. Затем провести через эти точки прямую.

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Каноническое уравнение прямой задана следующим уравнением:

Найти параметрическое уравнение прямой.

Решение. Обозначим через t левую и правую части уравнения (5):

Выразим переменные x и y через t:

Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к общему виду

Пусть прямая на плоскости задана каноническим уравнением прямой (1). Преобразовав (1) получим:

Сделаем следующие обозначения:

Тогда уравнение (6) можно записать в следующем виде:

где n=<A,B> − называется нормальным вектором прямой.

Нетрудно заметить, что нормальный и направляющий векторы прямой перепендикулярны, т.е. скалярное произведение этих векторов равно нулю:

(n,q)=(<A,B>,<m,p>) =(<p,−m>,<m,p>)=pm−mp=0.

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 5. Каноническое уравнение прямой задана следующим уравнением:

Записать общее уравнение прямой.

Решение. Сделаем преобразования уравнения (7):

Канонические уравнения прямой в пространстве: теория, примеры, решение задач

Одним из видов уравнений прямой в пространстве является каноническое уравнение. Мы рассмотрим это понятие во всех подробностях, поскольку знать его необходимо для решения многих практических задач.

В первом пункте мы сформулируем основные уравнения прямой, расположенной в трехмерном пространстве, и приведем несколько примеров. Далее покажем способы вычисления координат направляющего вектора при заданных канонических уравнениях и решение обратной задачи. В третьей части мы расскажем, как составляется уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки в трехмерном пространстве, а в последнем пункте укажем на связи канонических уравнений с другими. Все рассуждения будут проиллюстрированы примерами решения задач.

Что такое каноническое уравнение прямой в пространстве

О том, что вообще из себя представляют канонические уравнения прямой, мы уже говорили в статье, посвященной уравнениям прямой на плоскости. Случай с трехмерным пространством мы разберем по аналогии.

Допустим, у нас есть прямоугольная система координат O x y z , в которой задана прямая. Как мы помним, задать прямую можно разными способами. Используем самый простой из них – зададим точку, через которую будет проходить прямая, и укажем направляющий вектор. Если обозначить прямую буквой a , а точку M , то можно записать, что M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) лежит на прямой a и направляющим вектором этой прямой будет a → = ( a x , a y , a z ) . Чтобы множество точек M ( x , y , z ) определяло прямую a , векторы M 1 M → и a → должны быть коллинеарными,

Если мы знаем координаты векторов M 1 M → и a → , то можем записать в координатной форме необходимое и достаточное условие их коллинеарности. Из первоначальных условий нам уже известны координаты a → . Для того чтобы получить координаты M 1 M → , нам необходимо вычислить разность между M ( x , y , z ) и M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) . Запишем:

M 1 M → = x – x 1 , y – y 1 , z – z 1

После этого нужное нам условие мы можем сформулировать так: M 1 M → = x – x 1 , y – y 1 , z – z 1 и a → = ( a x , a y , a z ) : M 1 M → = λ · a → ⇔ x – x 1 = λ · a x y – y 1 = λ · a y z – z 1 = λ · a z

Здесь значением переменной λ может быть любое действительное число или ноль. Если λ = 0 , то M ( x , y , z ) и M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) совпадут, что не противоречит нашим рассуждениям.

При значениях a x ≠ 0 , a y ≠ 0 , a z ≠ 0 мы можем разрешить относительно параметра λ все уравнения системы x – x 1 = λ · a x y – y 1 = λ · a y z – z 1 = λ · a z

Между правыми частями после этого можно будет поставить знак равенства:

x – x 1 = λ · a x y – y 1 = λ · a y z – z 1 = λ · a z ⇔ λ = x – x 1 a x λ = y – y 1 a y λ = z – z 1 a z ⇔ x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z

В итоге у нас получились уравнения x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z , с помощью которых можно определить искомую прямую в трехмерном пространстве. Это и есть нужные нам канонические уравнения.

Такая запись используется даже при нулевых значениях одного или двух параметров a x , a y , a z , поскольку она в этих случаях она также будет верна. Все три параметра не могут быть равны 0 , поскольку направляющий вектор a → = ( a x , a y , a z ) нулевым не бывает.

Если один-два параметра a равны 0 , то уравнение x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z носит условный характер. Его следует считать равным следующей записи:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R .

Частные случаи канонических уравнений мы разберем в третьем пункте статьи.

Из определения канонического уравнения прямой в пространстве можно сделать несколько важных выводов. Рассмотрим их.

1) если исходная прямая будет проходить через две точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , то канонические уравнения примут следующий вид:

x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z или x – x 2 a x = y – y 2 a y = z – z 2 a z .

2) поскольку a → = ( a x , a y , a z ) является направляющим вектором исходной прямой, то таковыми будут являться и все векторы μ · a → = μ · a x , μ · a y , μ · a z , μ ∈ R , μ ≠ 0 . Тогда прямая может быть определена с помощью уравнения x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z или x – x 1 μ · a x = y – y 1 μ · a y = z – z 1 μ · a z .

Вот несколько примеров таких уравнений с заданными значениями:

x – 3 2 = y + 1 – 1 2 = z ln 7

Тут x 1 = 3 , y 1 = – 1 , z 1 = 0 , a x = 2 , a y = – 1 2 , a z = ln 7 .

x – 4 0 = y + 2 1 = z + 1 0

Тут M 1 ( 4 , – 2 , – 1 ) , a → = ( 0 , 1 , 0 ) .

Как составить каноническое уравнение прямой в пространстве

Мы выяснили, что канонические уравнения вида x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z будут соответствовать прямой, проходящей через точку M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , а вектор a → = ( a x , a y , a z ) будет для нее направляющим. Значит, если мы знаем уравнение прямой, то можем вычислить координаты ее направляющего вектора, а при условии заданных координат вектора и некоторой точки, расположенной на прямой, мы можем записать ее канонические уравнения.

Разберем пару конкретных задач.

У нас есть прямая, заданная в трехмерном пространстве с помощью уравнения x + 1 4 = y 2 = z – 3 – 5 . Запишите координаты всех направляющих векторов для нее.

Решение

Чтобы получить координаты направляющего вектора, нам надо просто взять значения знаменателей из уравнения. Мы получим, что одним из направляющих векторов будет a → = ( 4 , 2 , – 5 ) , а множество всех подобных векторов можно сформулировать как μ · a → = 4 · μ , 2 · μ , – 5 · μ . Здесь параметр μ – любое действительное число (за исключением нуля).

Ответ: 4 · μ , 2 · μ , – 5 · μ , μ ∈ R , μ ≠ 0

Запишите канонические уравнения, если прямая в пространстве проходит через M 1 ( 0 , – 3 , 2 ) и имеет направляющий вектор с координатами – 1 , 0 , 5 .

Решение

У нас есть данные, что x 1 = 0 , y 1 = – 3 , z 1 = 2 , a x = – 1 , a y = 0 , a z = 5 . Этого вполне достаточно, чтобы сразу перейти к записи канонических уравнений.

x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z ⇔ x – 0 – 1 = y – ( – 3 ) 0 = z – 2 5 ⇔ ⇔ x – 1 = y + 3 0 = z – 2 5

Ответ: x – 1 = y + 3 0 = z – 2 5

Эти задачи – самые простые, потому что в них есть все или почти все исходные данные для записи уравнения или координат вектора. На практике чаще можно встретить те, в которых сначала нужно находить нужные координаты, а потом записывать канонические уравнения. Примеры таких задач мы разбирали в статьях, посвященных нахождению уравнений прямой, проходящей через точку пространства параллельно заданной, а также прямой, проходящей через некоторую точку пространства перпендикулярно плоскости.

Канонические уравнения с одним или двумя a, равными нулю

Ранее мы уже говорили, что одно-два значения параметров a x , a y , a z в уравнениях могут иметь нулевые значения. При этом запись x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z = λ приобретает формальный характер, поскольку мы получаем одну или две дроби с нулевыми знаменателями. Ее можно переписать в следующем виде (при λ ∈ R ):

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

Рассмотрим эти случаи подробнее. Допустим, что a x = 0 , a y ≠ 0 , a z ≠ 0 , a x ≠ 0 , a y = 0 , a z ≠ 0 , либо a x ≠ 0 , a y ≠ 0 , a z = 0 . В таком случае нужные уравнения мы можем записать так:

В первом случае:
x – x 1 0 = y – y 1 a y = z – z 1 a z = λ ⇔ x – x 1 = 0 y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ ⇔ x – x 1 = 0 y – y 1 a y = z – z 1 a z = λ

Во втором случае:
x – x 1 a x = y – y 1 0 = z – z 1 a z = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y – y 1 = 0 z = z 1 + a z · λ ⇔ y – y 1 = 0 x – x 1 a x = z – z 1 a z = λ

В третьем случае:
x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z – z 1 = 0 ⇔ z – z 1 = 0 x – x 1 a x = y – y 1 a y = λ

Получается, что при таком значении параметров нужные прямые находятся в плоскостях x – x 1 = 0 , y – y 1 = 0 или z – z 1 = 0 , которые располагаются параллельно координатным плоскостям (если x 1 = 0 , y 1 = 0 либо z 1 = 0 ). Примеры таких прямых показаны на иллюстрации.

Следовательно, мы сможем записать канонические уравнения немного иначе.

1. В первом случае: x – x 1 0 = y – y 1 0 = z – z 1 a z = λ ⇔ x – x 1 = 0 y – y 1 = 0 z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R
2. Во втором: x – x 1 0 = y – y 1 a y = z – z 1 0 = λ ⇔ x – x 1 = 0 y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R z – z 1 = 0
3. В третьем: x – x 1 a x = y – y 1 0 = z – z 1 0 = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ , λ ∈ R y = y 1 = 0 z – z 1 = 0

Во всех трех случаях исходные прямые будут совпадать с координатными осями или окажутся параллельными им: x 1 = 0 y 1 = 0 , x 1 = 0 z 1 = 0 , y 1 = 0 z 1 = 0 . Их направляющие векторы имеют координаты 0 , 0 , a z , 0 , a y , 0 , a x , 0 , 0 . Если обозначить направляющие векторы координатных прямых как i → , j → , k → , то направляющие векторы заданных прямых будут коллинеарными по отношению к ним. На рисунке показаны эти случаи:

Покажем на примерах, как применяются эти правила.

Найдите канонические уравнения, с помощью которых можно определить в пространстве координатные прямые O z , O x , O y .

Решение

Координатные векторы i → = ( 1 , 0 , 0 ) , j → = 0 , 1 , 0 , k → = ( 0 , 0 , 1 ) будут для исходных прямых направляющими. Также мы знаем, что наши прямые будут обязательно проходить через точку O ( 0 , 0 , 0 ) , поскольку она является началом координат. Теперь у нас есть все данные, чтобы записать нужные канонические уравнения.

Для прямой O x : x 1 = y 0 = z 0

Для прямой O y : x 0 = y 1 = z 0

Для прямой O z : x 0 = y 0 = z 1

Ответ: x 1 = y 0 = z 0 , x 0 = y 1 = z 0 , x 0 = y 0 = z 1 .

В пространстве задана прямая, которая проходит через точку M 1 ( 3 , – 1 , 12 ) . Также известно, что она расположена параллельно оси ординат. Запишите канонические уравнения этой прямой.

Решение

Учитывая условие параллельности, мы можем сказать, что вектор j → = 0 , 1 , 0 будет для нужной прямой направляющим. Следовательно, искомые уравнения будут иметь вид:

x – 3 0 = y – ( – 1 ) 1 = z – 12 0 ⇔ x – 3 0 = y + 1 1 = z – 12 0

Ответ: x – 3 0 = y + 1 1 = z – 12 0

Как записать каноническое уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки

Допустим, что у нас есть две несовпадающие точки M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) и M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) , через которые проходит прямая. Как в таком случае мы можем сформулировать для нее каноническое уравнение?

Для начала примем вектор M 1 M 2 → (или M 2 M 1 → ) за направляющий вектор данной прямой. Поскольку у нас есть координаты нужных точек, сразу вычисляем координаты вектора:

M 1 M 2 → = x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1

Далее переходим непосредственно к записи канонического уравнения, ведь все нужные данные у нас уже есть. Исходная прямая будет определяться записями следующего вида:

x – x 1 x 2 – x 1 = y – y 1 y 2 – y 1 = z – z 1 z 2 – z 1 x – x 2 x 2 – x 1 = y – y 2 y 2 – y 1 = z – z 2 z 2 – z 1

Получившиеся равенства – это и есть канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Взгляните на иллюстрацию:

Приведем пример решения задачи.

в пространстве есть две точки с координатами M 1 ( – 2 , 4 , 1 ) и M 2 ( – 3 , 2 , – 5 ) , через которые проходит прямая. Запишите канонические уравнения для нее.

Решение

Согласно условиям, x 1 = – 2 , y 1 = – 4 , z 1 = 1 , x 2 = – 3 , y 2 = 2 , z 2 = – 5 . Нам требуется подставить эти значения в каноническое уравнение:

x – ( – 2 ) – 3 – ( – 2 ) = y – ( – 4 ) 2 – ( – 4 ) = z – 1 – 5 – 1 ⇔ x + 2 – 1 = y + 4 6 = z – 1 – 6

Если мы возьмем уравнения вида x – x 2 x 2 – x 1 = y – y 2 y 2 – y 1 = z – z 2 z 2 – z 1 , то у нас получится: x – ( – 3 ) – 3 – ( – 2 ) = y – 2 2 – ( – 4 ) = z – ( – 5 ) – 5 – 1 ⇔ x + 3 – 1 = y – 2 6 = z + 5 – 6

Ответ: x + 3 – 1 = y – 2 6 = z + 5 – 6 либо x + 3 – 1 = y – 2 6 = z + 5 – 6 .

Преобразование канонических уравнений прямой в пространстве в другие виды уравнений

Иногда пользоваться каноническими уравнениями вида x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z не очень удобно. Для решения некоторых задач лучше использовать запись x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ . В некоторых случаях более предпочтительно определить нужную прямую с помощью уравнений двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Поэтому в данном пункте мы разберем, как можно перейти от канонических уравнений к другим видам, если это требуется нам по условиям задачи.

Понять правила перехода к параметрическим уравнениям несложно. Сначала приравняем каждую часть уравнения к параметру λ и разрешим эти уравнения относительно других переменных. В итоге получим:

x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z ⇔ x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z ⇔ ⇔ x – x 1 a x = λ y – y 1 a y = λ z – z 1 a z = λ ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ

Значение параметра λ может быть любым действительным числом, ведь и x , y , z могут принимать любые действительные значения.

В прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве задана прямая, которая определена уравнением x – 2 3 = y – 2 = z + 7 0 . Запишите каноническое уравнение в параметрическом виде.

Решение

Сначала приравниваем каждую часть дроби к λ .

x – 2 3 = y – 2 = z + 7 0 ⇔ x – 2 3 = λ y – 2 = λ z + 7 0 = λ

Теперь разрешаем первую часть относительно x , вторую – относительно y , третью – относительно z . У нас получится:

x – 2 3 = λ y – 2 = λ z + 7 0 = λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = – 2 · λ z = – 7 + 0 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = – 2 · λ z = – 7

Ответ: x = 2 + 3 · λ y = – 2 · λ z = – 7

Следующим нашим шагом будет преобразование канонических уравнений в уравнение двух пересекающихся плоскостей (для одной и той же прямой).

Равенство x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z нужно для начала представить в виде системы уравнений:

x – x 1 a x = y – y 1 a y x – x 1 a x = z – z 1 a x y – y 1 a y = z – z 1 a z

Поскольку p q = r s мы понимаем как p · s = q · r , то можно записать:

x – x 1 a x = y – y 1 a y x – x 1 a x = z – z 1 a z y – y 1 a y = z – z 1 a z ⇔ a y · ( x – x 1 ) = a x · ( y – y 1 ) a z · ( x – x 1 ) = a x · ( z – z 1 ) a z · ( y – y 1 ) = a y · ( z – z 1 ) ⇔ ⇔ a y · x – a x · y + a x · y 1 – a y · x 1 = 0 a z · x – a x · z + a x · z 1 – a z · x 1 = 0 a z · y – a y · z + a y · z 1 – a z · y 1 = 0

В итоге у нас вышло, что:

x – x 1 a x = y – y 1 a y = z – z 1 a z ⇔ a y · x – a x · y + a x · y 1 – a y · x 1 = 0 a z · x – a x · z + a x · z 1 – a z · x 1 = 0 a z · y – a y · z + a y · z 1 – a z · y 1 = 0

Выше мы отмечали, что все три параметра a не могут одновременно быть нулевыми. Значит, ранг основной матрицы системы будет равен 2 , поскольку a y – a x 0 a z 0 – a x 0 a z – a y = 0 и один из определителей второго порядка не равен 0 :

a y – a x a z 0 = a x · a z , a y 0 a z – a x = a x · a y , – a x 0 0 – a x = a x 2 a y – a x 0 a z = a y · a z , a y 0 0 – a y = – a y 2 , – a x 0 a z – a y = a x · a y a z 0 0 a z = a z 2 , a z – a x 0 – a y = – a y · a z , 0 – a x a z – a y = a x · a z

Это дает нам возможность исключить одно уравнение из наших расчетов. Таким образом, канонические уравнения прямой можно преобразовать в систему из двух линейных уравнений, которые будут содержать 3 неизвестных. Они и будут нужными нам уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Рассуждение выглядит довольно сложным, однако на практике все делается довольно быстро. Продемонстрируем это на примере.

Прямая задана каноническим уравнением x – 1 2 = y 0 = z + 2 0 . Напишите для нее уравнение пересекающихся плоскостей.

Решение

Начнем с попарного приравнивания дробей.

x – 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ x – 1 2 = y 0 x – 1 2 = z + 2 0 y 0 = z + 2 0 ⇔ ⇔ 0 · ( x – 1 ) = 2 y 0 · ( x – 1 ) = 2 · ( z + 2 ) 0 · y = 0 · ( z + 2 ) ⇔ y = 0 z + 2 = 0 0 = 0

Теперь исключаем из расчетов последнее уравнение, потому что оно будет верным при любых x , y и z . В таком случае x – 1 2 = y 0 = z + 2 0 ⇔ y = 0 z + 2 = 0 .

Это и есть уравнения двух пересекающихся плоскостей, которые при пересечении образуют прямую, заданную с помощью уравнения x – 1 2 = y 0 = z + 2 0

Ответ: y = 0 z + 2 = 0

Прямая задана уравнениями x + 1 2 = y – 2 1 = z – 5 – 3 , найдите уравнение двух плоскостей, пересекающихся по данной прямой.

Решение

Приравниваем дроби попарно.

x + 1 2 = y – 2 1 = z – 5 – 3 ⇔ x + 1 2 = y – 2 1 x + 1 2 = z – 5 – 3 y – 2 1 = z – 5 – 3 ⇔ ⇔ 1 · ( x + 1 ) = 2 · ( y – 2 ) – 3 · ( x + 1 ) = 2 · ( z – 5 ) – 3 · ( y – 2 ) = 1 · ( z – 5 ) ⇔ x – 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z – 7 = 0 3 y + 7 – 11 = 0

Получаем, что определитель основной матрицы полученной системы будет равен 0 :

1 – 2 0 3 0 2 0 3 1 = 1 · 0 · 1 + ( – 2 ) · 2 · 0 + 0 · 3 · 3 – 0 · 0 · 0 – 1 · 2 · 3 – ( – 2 ) · 3 · 1 = 0

Минор второго порядка нулевым при этом не будет: 1 – 2 3 0 = 1 · 0 – ( – 2 ) · 3 = 6 . Тогда мы можем принять его в качестве базисного минора.

В итоге мы можем вычислить ранг основной матрицы системы x – 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z – 7 = 0 3 y + z – 11 = 0 . Это будет 2. Третье уравнение исключаем из расчета и получаем:

x – 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z – 7 = 0 3 y + z – 11 = 0 ⇔ x – 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z – 7 = 0

Ответ: x – 2 y + 5 = 0 3 x + 2 z – 7 = 0

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Вы будете перенаправлены на Автор24

Существует несколько различных типов уравнений, описывающих кривую первого порядка, называемую прямой. Каждый из них оптимален для какой-то своей цели. Давайте познакомимся с ними поближе.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Канонический вид уравнения прямой в пространстве выглядит как следующее равенство:

где буквы $(x_0, y_0, z_0)$ используются для обозначения координат любой точки, возлежащей на данной прямой, а $(α, β, γ)$ — координаты направляющего эту прямую вектора, как несложно догадаться, они не могут быть нулевыми.

Не во всех случаях удобно и практично пользоваться каноническим уравнением, поэтому частенько возникает надобность использовать какое-то другое, например, можно прибегнуть к параметрическому.

Для каких прямых не представляется возможным или нельзя написать каноническое уравнение?

Глядя на это уравнение, видно, что его возможно использовать только в том случае, если координаты направляющих векторов исследуемых прямых не равны нулю, для таких прямых стоит воспользоваться параметрическими уравнениями.

Параметрический вид уравнений прямой в пространстве такой:

$begin x = x_1 + α cdot λ \ y = y_1 + β cdot λ \ z = z_1 + γ cdot λ \ end$,

где $x_1, y_1, z_1$ — координаты некоторой точки, находящейся на описываемой прямой, $α, β, γ$ — координаты параллельного или лежащего на данной прямой вектора, $λ$ — произвольное число-коэффициент, иногда для его обозначения используют слово “параметр”.

Параметрическое уравнение как раз удобно применять если одна из координат направляющего вектора равна нулю.

Чтобы произвести переход от параметрического вида уравнения к каноническому виду уравнения прямой в пространстве, осуществите вывод канонического уравнения прямой из параметрического.

Готовые работы на аналогичную тему

Для этого следует в к каждом уравнении перенести $λ$ в левую часть, а затем приравнять уравнения. Никакой магии, а только самая что ни на есть пресловутая арифметика:

Уравнение прямой, образуемой пересечением двух плоскостей

Рисунок 1. Связь канонического и общего уравнения прямой

Для того чтобы составить каноническое уравнение прямой в пространстве, заданной пересечением плоскостей, необходимо познакомиться поближе с 2 исследуемыми плоскостями.

Любую плоскость, находящуюся в пространстве, можно описать с помощью равенства:

$Ax + By + Cz + D = 0$,

где $A, B, C$ и $D$ – постоянные, причём $A, B, C$ не могут быть одновременно все нулевыми.

Соответственно, не нужно быть гением, чтобы понять, что если две плоскости пересечены между собой, то на их общей части будет возлежать некая прямая. Чтобы её найти, нужно получить общее решение следующей системы уравнений:

$begin A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \ end$

С помощью же частного решения этой системы уравнений можно узнать, принадлежит ли какая-либо точка трёхмерной системы координат описанным уравнениями плоскостям и, конечно же, нашей прямой. Для этого нужно просто подставить её икс, игрек и зет в систему.

Приведённая система уравнений является своеобразной “формулой”, служащей для нахождения общего уравнения прямой в пространстве.

Иногда в каких-либо практических задачах требуется получить из уравнения прямой в пространстве в общем виде параметрические или канонические уравнения, тогда в первую очередь вам стоит узнать координаты её направляющего вектора и какую-либо точку, находящуюся на изучаемой прямой.

Ну что ж, давайте решать нашу задачу. На первом этапе вычислим $x, y, z$ для направляющего вектора.

Найдём нормальные вектора для плоскостей. Если кто забыл, нормальный вектор — это такой вектор, который является перпендикулярным (ортогональным) к данной плоскости или прямой.

Для этого из нашего очаровательного примера системы уравнений необходимо взять коэффициенты из уравнений. В итоге для 1-ой плоскости вектор-нормаль будет выглядеть как $(A_1; B_1; C_1)$, а для второй как $(A_2; B_2; C_2)$.

Теперь необходимо перемножить оба вектора и получить их произведение, здесь $(i, j, k)$ – координаты единичного вектора.

$|overline cdot overline| = overline cdot (B_1 cdot C_2 – C_1 cdot B_2) – overline cdot (A_1 cdot C_2 – A_2 cdot C_1) + overline cdot (A_1 cdot B_2 – A_2 cdot B_1)$

Следующим этапом выполняем поиск координат точки, возлежащей на искомой прямой.

Для выполнения этого наиболее “сложного” пункта необходимо выбрать одну наиболее нравящуюся вам координату $x, y$ или $z$ и вместо неё подставить в систему уравнений, описывающую плоскости, нулевое значение.

Составьте каноническое уравнение прямой, получаемой из системы уравнений, описывающей пару пересечённых плоскостей:

$begin 2x – y + 3z + 4 = 0 \ x + 5y – 3z – 7 = 0 \ end$

Найдём направляющий вектор, для этого сначала запишем вектора нормалей плоскостей:

Ну а сейчас пора вычислить сам направляющий вектор:

Найдём точку, находящуюся на нашей прямой, тут всё просто, приравняем $y$ к нулю и внедрим в нашу систему уравнений:

$begin 2x + 3z + 4 = 0 \ x – 3z – 7 = 0 \ end$

Решение вышеприведённой системы уравнений будет: $x = 1, z = -2$, то есть координаты точки, возлежащей на нашей прямой, будут $(1; 0; -2)$.

Подставим все полученные нами цифры и получим следующее уравнение:

Составление канонического уравнения прямой по координатам двух точек

На практике это очень распространённая и любимая во многих вузах и других учебных заведениях задача — нужно найти уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 точки. Примем заранее, что эти две точки не обладают одинаковыми $x, y, z$.

Для того чтобы написать уравнение прямой в пространстве, проходящей через 2 точки, воспользуйтесь координатами ваших точек и внедрите их в следующее уравнение:

Это уравнение можно вывести из параметрического уравнения прямой.

Допустим, у нас есть две точки с координатами $(x_1; y_1; z_1)$, и для второй $(x_2; y_2; z_2)$.

Найти направляющий вектор для изучаемой прямой при наличии пары точек несложно, вектор с координатами $(x_2 – y_1; y_2 – y_2;z_2 – z_2)$ и будет желаемой частью результата.

Придумаем точку, находящуюся на нашей прямой, пусть она будет обладать координатами $(x_1;y_1;z_1)$.

Помещаем обнаруженные нами координаты вектора и точки в каноничное уравнение прямой в пространстве и получим уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

Если же необходимо выразить именно параметрические уравнения из координат двух точек, через которые проведена некая одна прямая, то тут тоже всё довольно просто и без неожиданностей:

$begin x = x_1 + (x_2 – x_1) cdot λ \ y = y_1 + (y_2 – y_1)cdot λ \ z = z_1 + (z_2 – z_1) cdot λ \ end$

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/kanonicheskie-uravnenija-prjamoj-v-prostranstve/

http://spravochnick.ru/matematika/parallelnost_pryamyh_i_ploskostey/kanonicheskoe_uravnenie_pryamoy_v_prostranstve/

[/spoiler]

Одним из видов уравнений прямой в пространстве является каноническое уравнение. Мы рассмотрим это понятие во всех подробностях, поскольку знать его необходимо для решения многих практических задач.

В первом пункте мы сформулируем основные уравнения прямой, расположенной в трехмерном пространстве, и приведем несколько примеров. Далее покажем способы вычисления координат направляющего вектора при заданных канонических уравнениях и решение обратной задачи. В третьей части мы расскажем, как составляется уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки в трехмерном пространстве, а в последнем пункте укажем на связи канонических уравнений с другими. Все рассуждения будут проиллюстрированы примерами решения задач.

Что такое каноническое уравнение прямой в пространстве

О том, что вообще из себя представляют канонические уравнения прямой, мы уже говорили в статье, посвященной уравнениям прямой на плоскости. Случай с трехмерным пространством мы разберем по аналогии.

Допустим, у нас есть прямоугольная система координат Oxyz, в которой задана прямая. Как мы помним, задать прямую можно разными способами. Используем самый простой из них – зададим точку, через которую будет проходить прямая, и укажем направляющий вектор. Если обозначить прямую буквой a, а точку M, то можно записать, что M1(x1, y1, z1) лежит на прямой a и направляющим вектором этой прямой будет a→=(ax, ay, az). Чтобы множество точек M(x, y, z) определяло прямую a, векторы M1M→ и a→ должны быть коллинеарными,

Если мы знаем координаты векторов M1M→ и a→, то можем записать в координатной форме необходимое и достаточное условие их коллинеарности. Из первоначальных условий нам уже известны координаты a→. Для того чтобы получить координаты M1M→, нам необходимо вычислить разность между M(x, y, z) и M1(x1, y1, z1). Запишем:

M1M→=x-x1, y-y1, z-z1

После этого нужное нам условие мы можем сформулировать так: M1M→=x-x1, y-y1, z-z1 и a→=(ax, ay, az): M1M→=λ·a→⇔x-x1=λ·axy-y1=λ·ayz-z1=λ·az

Здесь значением переменной λ может быть любое действительное число или ноль. Если λ=0, то M(x, y, z) и M1(x1, y1, z1)совпадут, что не противоречит нашим рассуждениям.

При значениях ax≠0, ay≠0, az≠0 мы можем разрешить относительно параметра λ все уравнения системы x-x1=λ·axy-y1=λ·ayz-z1=λ·az

Между правыми частями после этого можно будет поставить знак равенства:

x-x1=λ·axy-y1=λ·ayz-z1=λ·az⇔λ=x-x1axλ=y-y1ayλ=z-z1az⇔x-x1ax=y-y1ay=z-z1az

В итоге у нас получились уравнения x-x1ax=y-y1ay=z-z1az, с помощью которых можно определить искомую прямую в трехмерном пространстве. Это и есть нужные нам канонические уравнения.

Такая запись используется даже при нулевых значениях одного или двух параметров ax, ay, az, поскольку она в этих случаях она также будет верна. Все три параметра не могут быть равны 0, поскольку направляющий вектор a→=(ax, ay, az) нулевым не бывает.

Если один-два параметра a равны 0, то уравнение x-x1ax=y-y1ay=z-z1az носит условный характер. Его следует считать равным следующей записи:

x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, λ∈R.

Частные случаи канонических уравнений мы разберем в третьем пункте статьи.

Из определения канонического уравнения прямой в пространстве можно сделать несколько важных выводов. Рассмотрим их.

1) если исходная прямая будет проходить через две точки  M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то канонические уравнения примут следующий вид:

x-x1ax=y-y1ay=z-z1az или x-x2ax=y-y2ay=z-z2az.

2) поскольку a→=(ax, ay, az) является направляющим вектором исходной прямой, то таковыми будут являться и все векторы μ·a→=μ·ax, μ·ay, μ·az, μ∈R, μ≠0. Тогда прямая может быть определена с помощью уравнения x-x1ax=y-y1ay=z-z1az или x-x1μ·ax=y-y1μ·ay=z-z1μ·az.

Вот несколько примеров таких уравнений с заданными значениями:

Как составить каноническое уравнение прямой в пространстве

Мы выяснили, что канонические уравнения вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az будут соответствовать прямой, проходящей через точку M1(x1, y1, z1), а вектор a→=(ax, ay, az) будет для нее направляющим. Значит, если мы знаем уравнение прямой, то можем вычислить координаты ее направляющего вектора, а при условии заданных координат вектора и некоторой точки, расположенной на прямой, мы можем записать ее канонические уравнения.

Разберем пару конкретных задач.

Эти задачи – самые простые, потому что в них есть все или почти все исходные данные для записи уравнения или координат вектора. На практике чаще можно встретить те, в которых сначала нужно находить нужные координаты, а потом записывать канонические уравнения. Примеры таких задач мы разбирали в статьях, посвященных нахождению уравнений прямой, проходящей через точку пространства параллельно заданной, а также прямой, проходящей через некоторую точку пространства перпендикулярно плоскости.

Канонические уравнения с одним или двумя a, равными нулю

Ранее мы уже говорили, что одно-два значения параметров ax, ay, az в уравнениях могут иметь нулевые значения. При этом запись x-x1ax=y-y1ay=z-z1az=λ приобретает формальный характер, поскольку мы получаем одну или две дроби с нулевыми знаменателями. Ее можно переписать в следующем виде (при λ∈R):

x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ

Рассмотрим эти случаи подробнее. Допустим, что ax=0, ay≠0, az≠0, ax≠0, ay=0, az≠0, либо ax≠0, ay≠0, az=0. В таком случае нужные уравнения мы можем записать так:

1.  В первом случае: 
   x-x10=y-y1ay=z-z1az=λ⇔x-x1=0y=y1+ay·λz=z1+az·λ⇔x-x1=0y-y1ay=z-z1az=λ

2.  Во втором случае:
   x-x1ax=y-y10=z-z1az=λ⇔x=x1+ax·λy-y1=0z=z1+az·λ⇔y-y1=0x-x1ax=z-z1az=λ

3.  В третьем случае:
   x-x1ax=y-y1ay=z-z10=λ⇔x=x1+ax·λy=y1+ay·λz-z1=0⇔z-z1=0x-x1ax=y-y1ay=λ

Получается, что при таком значении параметров нужные прямые находятся в плоскостях x-x1=0, y-y1=0 или z-z1=0, которые располагаются параллельно координатным плоскостям (если x1=0, y1=0 либо z1=0). Примеры таких прямых показаны на иллюстрации.

Следовательно, мы сможем записать канонические уравнения немного иначе.

1. В первом случае: x-x10=y-y10=z-z1az=λ⇔x-x1=0y-y1=0z=z1+az·λ, λ∈R
2. Во втором: x-x10=y-y1ay=z-z10=λ⇔x-x1=0y=y1+ay·λ, λ∈Rz-z1=0
3. В третьем: x-x1ax=y-y10=z-z10=λ⇔x=x1+ax·λ, λ∈Ry=y1=0z-z1=0

Во всех трех случаях исходные прямые будут совпадать с координатными осями или окажутся параллельными им: x1=0y1=0, x1=0z1=0, y1=0z1=0. Их направляющие векторы имеют координаты  0, 0, az, 0, ay, 0, ax, 0, 0. Если обозначить направляющие векторы координатных прямых как i→, j→, k→, то направляющие векторы заданных прямых будут коллинеарными по отношению к ним. На рисунке показаны эти случаи:

Покажем на примерах, как применяются эти правила.

Как записать каноническое уравнение прямой, которая проходит через две заданные точки

Допустим, что у нас есть две несовпадающие точки M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), через которые проходит прямая. Как в таком случае мы можем сформулировать для нее каноническое уравнение?

Для начала примем вектор M1M2→ (или M2M1→) за направляющий вектор данной прямой. Поскольку у нас есть координаты нужных точек, сразу вычисляем координаты вектора:

M1M2→=x2-x1, y2-y1, z2-z1

Далее переходим непосредственно к записи канонического уравнения, ведь все нужные данные у нас уже есть. Исходная прямая будет определяться записями следующего вида:

x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1x-x2x2-x1=y-y2y2-y1=z-z2z2-z1

Получившиеся равенства – это и есть канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Взгляните на иллюстрацию:

Приведем пример решения задачи.

Преобразование канонических уравнений прямой в пространстве в другие виды уравнений

Иногда пользоваться каноническими уравнениями вида x-x1ax=y-y1ay=z-z1az не очень удобно. Для решения некоторых задач лучше использовать запись x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ. В некоторых случаях более предпочтительно определить нужную прямую с помощью уравнений двух пересекающихся плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0. Поэтому в данном пункте мы разберем, как можно перейти от канонических уравнений к другим видам, если это требуется нам по условиям задачи.

Понять правила перехода к параметрическим уравнениям несложно. Сначала приравняем каждую часть уравнения к параметру λ и разрешим эти уравнения относительно других переменных. В итоге получим:

x-x1ax=y-y1ay=z-z1az⇔x-x1ax=y-y1ay=z-z1az⇔⇔x-x1ax=λy-y1ay=λz-z1az=λ⇔x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ

Значение параметра λ может быть любым действительным числом, ведь и x, y, z могут принимать любые действительные значения.

Следующим нашим шагом будет преобразование канонических уравнений в уравнение двух пересекающихся плоскостей (для одной и той же прямой).

Равенство x-x1ax=y-y1ay=z-z1az нужно для начала представить в виде системы уравнений:

x-x1ax=y-y1ayx-x1ax=z-z1axy-y1ay=z-z1az

Поскольку pq=rs мы понимаем как p·s=q·r, то можно записать:

x-x1ax=y-y1ayx-x1ax=z-z1azy-y1ay=z-z1az⇔ay·(x-x1)=ax·(y-y1)az·(x-x1)=ax·(z-z1)az·(y-y1)=ay·(z-z1)⇔⇔ay·x-ax·y+ax·y1-ay·x1=0az·x-ax·z+ax·z1-az·x1=0az·y-ay·z+ay·z1-az·y1=0

В итоге у нас вышло, что:

x-x1ax=y-y1ay=z-z1az⇔ay·x-ax·y+ax·y1-ay·x1=0az·x-ax·z+ax·z1-az·x1=0az·y-ay·z+ay·z1-az·y1=0

Выше мы отмечали, что все три параметра a не могут одновременно быть нулевыми. Значит, ранг основной матрицы системы будет равен 2, поскольку ay-ax0az0-ax0az-ay=0 и один из определителей второго порядка не равен 0:

ay-axaz0=ax·az, ay0az-ax=ax·ay,  -ax00-ax=ax2ay-ax0az=ay·az, ay00-ay=-ay2, -ax0az-ay=ax·ayaz00az=az2, az-ax0-ay=-ay·az, 0-axaz-ay=ax·az

Это дает нам возможность исключить одно уравнение из наших расчетов. Таким образом, канонические уравнения прямой можно преобразовать в систему из двух линейных уравнений, которые будут содержать 3 неизвестных. Они и будут нужными нам уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

Рассуждение выглядит довольно сложным, однако на практике все делается довольно быстро. Продемонстрируем это на примере.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

В данной статье мы рассмотрим каноническое уравнение прямой на плоскости. Определим понятие направляющего вектора прямой. Рассмотрим примеры построения канонического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим метод преобразования уравнения в каноническом виде в параметрический и общий виды.

Определение 1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой.

На рисунке Рис.1 представлена прямая L и векторы q₁, q₂, q₃, q₄. Из определения следует, что векторы q₁, q₂, q₄ являются направляющими векторами прямой L, а q₃ − нет.

Каноническое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

где x₁, y₁ координаты некоторой точки M₁ на прямой L. Вектор q={m, p} является направляющим вектором прямой L.

Надо отметить, что при записи уравнения прямой в каноническом виде, допускается, чтобы один из чисел m и p была равна нулю (одновременно m и p не могут быть равным нулю, т.к. направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором). Равенство нулю одного из знаменателей означает равенство нулю соответствующего числителя. В этом можно убедится, записав уравнение (1) в следующем виде:

Пусть в (2) m=0, p≠0. Тогда мы заключаем, что x−x₁=0.

Выше мы отметили, что прямая L проходит через точку M₁(x₁, y₁). В этом можно убедится, подставив x=x₁, y=y₁ в уравнение (1).

Запишем каноническое уравнение прямой проходящей через две различные точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂):

Чтобы убедится, что точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂) находятся на прямой L, поочередно подставим в уравнение (3) координаты точек M₁ и M₂. Получим тождества, следовательно эти точки принадлежат прямой L.

Сравним уравнения (1) и (3). Тогда можно записать q={m, p}={x₂−x₁, y₂−y₁}. На рисунке Рис.2 представлен вектор q, которая является разностью векторов, соответствующих точкам M₂ и M₁. Этот вектор является направляющим вектором прямой L. Следовательно, для определения направляющего вектора прямой, достаточно взять две точки на данной прямой и найти разность между соответсвующими координатами этих точек.

Таким образом, прямая на плоскости определяется точкой и направляющим вектором или двумя точками.

Онлайн калькулятор, для построения прямой через две точки находится тут.

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(3,−1) и имеет направляющий вектор q={−3, 5}. Построить каноническое уравнение прямой.

Решение. Для построения канонического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Ответ:

Пример 2. Прямая проходит через точку M=(2, 2) и имеет направляющий вектор q={0, 3}. Построить каноническое уравнение прямой.

Решение. Для построения канонического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Ответ:

На рисунке Рис.3 изображена прямая L, точка M=(2, 2) и направляющий вектор q={0, 3}. Прямая проходит через точку M и параллельна направляющему вектору q.

Пример 3. Прямая проходит через точки M₁=(−7, 2) и M₂=(−4, 4). Построить каноническое уравнение прямой. Воспользуемся формулой (3). Подставим координаты точек в уравнение (3):

Упростим полученное уравнение:

Ответ:

Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду

Для приведения канонического уравнения прямой на плоскости к параметрическому виду, обозначим каждую часть уравнения (1) переменным t:

Выразим переменные x и y через t:

где t называется параметром, а уравнение (4) называется параметрическим уравнением прямой.

Для построения уравнения прямой, представленной параметрическом виде (4), достаточно задать параметру t любые значения и вычислить из уравнений (4) соответствующие координаты x и y некоторых точек. Затем провести через эти точки прямую.

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Каноническое уравнение прямой задана следующим уравнением:

Найти параметрическое уравнение прямой.

Решение. Обозначим через t левую и правую части уравнения (5):

Выразим переменные x и y через t:

Ответ:

Приведение канонического уравнения прямой на плоскости к общему виду

Пусть прямая на плоскости задана каноническим уравнением прямой (1). Преобразовав (1) получим:

Сделаем следующие обозначения:

Тогда уравнение (6) можно записать в следующем виде:

где n={A,B} − называется нормальным вектором прямой.

Нетрудно заметить, что нормальный и направляющий векторы прямой перепендикулярны, т.е. скалярное произведение этих векторов равно нулю:

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 5. Каноническое уравнение прямой задана следующим уравнением:

Записать общее уравнение прямой.

Решение. Сделаем преобразования уравнения (7):

Ответ:

Уравнения прямых в пространстве

Уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей

Пусть в координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) две плоскости заданы общими уравнениями

в которых коэффициенты при неизвестных непропорциональны, т.е. . Это условие означает, что плоскости и пересекаются (см. условие (4.25)), поскольку их нормали и неколлинеарны (рис.4.25). Тогда линия пересечения плоскостей описывается системой уравнений

Система (4.31) называется общим уравнением прямой в пространстве.

---

Пример 4.13. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольника (рис.4.26). Требуется составить уравнение прямой, содержащей высоту треугольника.

Решение. Прямая является линией пересечения двух плоскостей: плоскости , треугольника и плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору (рис.4.26). По формуле (4.21) составим уравнение плоскости проходящей через три точки

По формуле (4.14) составим уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору

Следовательно, общее уравнение (4.31) прямой имеет вид

---

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Напомним, что направляющий вектором прямой называется ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, т.е. принадлежащий или параллельный ей.

Пусть в координатном пространстве заданы точка и ненулевой вектор (рис.4.27). Требуется составить уравнение прямой, коллинеарной вектору и проходящей через точку .

Выберем на прямой произвольную точку . Обозначим — радиус-векторы точек и (рис.4.28).

Точка принадлежит заданной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Запишем условие коллинеарности: , где — некоторое действительное число (параметр). Учитывая, что , получим векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где — направляющий вектор прямой, а — радиус-вектор заданной точки принадлежащей прямой.

Координатная форма записи уравнения (4.32) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве

где — координаты направляющего вектора прямой. Параметр в уравнениях (4.32),(4.33) имеет следующий геометрический смысл: величина пропорциональна расстоянию от заданной точки до точки . Физический смысл параметра в параметрических уравнениях (4.32),(4.33) — это время при равномерном и Прямолинейном движении точки по прямой. При точка совпадает с заданной точкой . При возрастании параметра движение происходит в направлении направляющего вектора.

---

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Выразим параметр из каждого уравнения системы (4.33): , а затем исключим этот параметр:

Уравнение (4.34) называется каноническим уравнением прямой в пространстве. В этом уравнении коэффициенты не равны нулю одновременно, так как это координаты направляющего вектора прямой.

---

Замечания 4.6.

1. Если один или два из трех знаменателей дробей в (4.34) равны нулю, то считается, что соответствующий числитель дроби равен нулю. Например:

а) каноническое уравнение — это уравнение прямой, параллельной оси аппликат (рис.4.29,а);

б) каноническое уравнение — это уравнение прямой, параллельной координатной плоскости (рис.4.29,б).

2. Направляющий вектор прямой определяется неоднозначно. Например, любой ненулевой вектор , где , также является направляющим вектором для той же прямой.

Переход от общего уравнение к каноническому

3. Для перехода от общего уравнения прямой (4.31) к каноническому (4.34) нужно выполнить следующие действия:

1) найти любое решение системы определяя тем самым координаты точки , принадлежащей прямой;

2) найти направляющий вектор прямой как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:

3) записать каноническое уравнение (4.34) с учетом пунктов 1 и 2.

4. Чтобы перейти от канонического уравнения к общему, достаточно двойное равенство (4.34) записать в виде системы

и привести подобные члены.

5. Чтобы перейти от канонического уравнения к параметрическому, следует приравнять каждую дробь в уравнении (4.34) параметру t и записать полученные равенства в виде системы (4.33):

6. Если в каноническом уравнении (4.34) прямой фиксировать координаты точки , а коэффициентам придавать произвольные значения (не равные нулю одновременно), то получим уравнение связки прямых с центром в точке , т.е. совокупность всех прямых, проходящих через точку .

7. Параметрическое (4.33) и каноническое (4.34) уравнения прямой, полученные в прямоугольной системе координат, имеют тот же вид в любой другой аффинной системе координат. Геометрический смысл коэффициентов в уравнениях остается прежним.

---

Пример 4.14. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольника (рис. 4.30). Требуется:

а) составить каноническое уравнение прямой, содержащей высоту треугольника;

б) составить общее уравнение прямой, содержащей биссектрису треугольника.

Решение. а) Общее уравнение прямой получено в примере 4.13: Перейдем от общего уравнения к каноническому.

1) Найдем любое решение системы, например, (это координаты точки ).

2) Найдем направляющий вектор прямой как векторное произведение нормалей заданных плоскостей

3) Запишем каноническое уравнение (4.34): .

б) Сначала составим каноническое уравнение прямой . Для этого нужно найти направляющий вектор этой прямой. Учитывая, что диагональ ромба является биссектрисой, , где и — единичные векторы, одинаково направленные с векторами и соответственно. Находим

Составляем каноническое уравнение прямой .

Записывая двойное равенство в виде системы, получаем общее уравнение прямой

---

Расстояние от точки до прямой в пространстве

Найдем расстояние от точки до прямой , заданной каноническим уравнением (рис.4.31)):

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах

и , то есть.

---

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть в координатном пространстве заданы две точки и . Требуется составить уравнение прямой, проходящей через заданные точки.

Как показано в разд., точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда ее радиус-вектор удовлетворяет условию (рис.4.32): , где — некоторое действительное число (параметр). Это уравнение, а также его координатную форму

будем называть аффинным уравнением прямой, проходящей через две точки и .

Выражая параметр из каждого уравнения системы (4.36), получаем: . Исключая параметр , приходим к уравнению прямой, проходящей через две точки и :

Уравнение (4.37) можно получить из канонического уравнения (4.34), выбирая в качестве направляющего вектора вектор т.е. подставляя

---

Пример 4.15. В координатном пространстве (в прямоугольной системе координат) заданы вершины треугольника (рис.4.33). Требуется:

а) составить уравнение прямой ;

б) составить уравнение прямой, содержащей медиану треугольника;

в) найти высоту треугольника, опущенную на сторону .

Решение. а) Записываем уравнение (4.37) прямой, проходящей через точки

б) Находим координаты середины стороны . Составляем уравнение (4.37) прямой

в) Искомую высоту находим по формуле (4.35), полагая и

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Содержание:

Аналитическая геометрия

В этой главе все геометрические объекты мы будем определять и изучать с помощью соответствующих уравнений этих объектов и, следовательно, в принципе геометрия может быть изложена без единого чертежа. И, действительно, все чертежи, которые мы будем использовать, будут служить лишь для визуальной иллюстрации наших рассуждений.

Уравнение поверхности в выбранной декартовой системе координат

т. е. в виде связи или зависимости между координатами х, у, z произвольной точки поверхно-аналогично, уравнение

определяет некоторую линию (кривую) в системе координат на плоскости.

Кривая в пространстве может быть задана как пересечение двух поверхностей и, следовательно, она определяется системой из уравнений этих поверхностей:

Кроме того, кривую на плоскости или в пространстве можно также задать с помощью зависимостей координат произвольной то’жи этой кривой от некоторого параметра, т. е. с помощью параметрических уравнений:

где t – действительный параметр.

Плоскость в пространстве. Различные виды уравнения плоскости

Найдем уравнение плоскости в пространстве с выбранной в нем декартовой системой координат . Будем исходить из того, что положение этой плоскости полностью определяется точкой . через которую проходит плоскость и ненулевым вектором . ей перпендикулярным. Вектор называется нормальным вектором плоскости.

Пусть — произвольная точка плоскости П. Тогда вектор ортогонален вектору и, следовательно,

или, учитывая, что запишем в координатах уравнение плоскости П :

Преобразовав полученное уравнение к виду

мы получим тем самым общее уравнение плоскости.

Рассмотрим теперь некоторые частные случаи общего уравнения плоскости. Если в общем уравнении плоскости отсутствует, одна из координат, то нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен соответствующей координатной оси и, следовательно, плоскость расположена параллельно этой координатной оси.

Аналогично, если в общем уравнении плоскости отсутствуют две координаты, то нормальный вектор данной плоскости перпендикулярен соответствующей координатной плоскости и, значит, плоскость расположена параллельно этой координатной плоскости.

Научимся теперь находить уравнение плоскости по трем элементам.

1) Плоскость, проходящая через точку, параллельно двум векторам.

Пусть плоскость проходит через точку  параллельно неколлинеарным векторам .

Обозначим через произвольную точку плоскости Для точек данной плоскости и только для них три вектора компланарны и, следовательно (глава II, §5, теорема), их смешанное произведение равно нулю, т. е.

Раскрыв определитель (проще всего, разлагая его по первой строке), получим общее уравнение плоскости 

2)Плоскость, проходящая через две точки, параллельно вектору.

Найдем уравнение плоскости , проходящей через две точки , параллельно ненулевому вектору . Задача сводится к предыдущей, если положить, например,  Тогда

– искомое уравнение плоскости

3)Плоскость, проходящая через три точки.

Если плоскость проходит через три точки , не лежащие на одной прямой, то ее уравнение можно найти, как и в случае 1). положив например,  Следовательно, уравнение плоскости  записать в виде:

Замечание. Во всех трех случаях уравнение плоскости можно найти, вычислив предварительно ее нормальный вектор. Например, в первом случае в качестве нормального вектора можно взять векторное произведение Тогда — уравнение плоскости.

Пример №1

Найти уравнение плоскости 11 ^ – перпендикулярной плоскости

параллельной вектору и проходящей через точку пересечения плоскости с координатного осью

Решение. Из уравнения плоскости находим у = — 2. Следовательно, плоскость проходит через точку Кроме того, , поэтому нормальный вектор плоскости параллелен плоскости . Осталось записать искомое уравнение по трем элементам: точке и векторам . Имеем:

Таким образом, общее уравнение плоскости имеет вид:

Пусть плоскость  не проходит через начало координат и не параллельна ни одной из координатных осей. Тогда, очевидно, все числа A, В, С, D отличны от нуля.

Разделив обе части уравнения плоскости на число D. мы можем записать его в виде:

Числа а, b, с представляют собой величины отрезков, которые плоскость П отсекает на координатных осях. Полученное уравнение называется уравнением плоскости в отрезках.

Найдем теперь формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости

Обозначим искомое расстояние через. Очевидно., где точка — основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость П. Вычислим скалярное произведение коллинеарных векторов . С одной стороны,

С другой,

так как  и поэтому  Следовательно, расстояние от точки  до плоскости П вычисляется по формуле:

В заключение этого параграфа выясним характер взаимного расположения двух плоскостей. Пусть плоскости заданы своими общими уравнениями:

Очевидно, что угол между этими плоскостями равен углу между их нормальными векторами  и, следовательно,

В частности,

Пример №2

Убедиться в том, что плоскость отсекающая на координатных осях отрезки величиной 2, —1, 2 соответственно и плоскость

параллельны и найти расстояние между ними.

Решение. Запишем уравнение плоскости II| в отрезках:

Преобразовав его к общему виду, получим:

Так как нормальные векторы плоскостей коллинеарны. то эти плоскости параллельны. Возьмем какую-нибудь точку в плоскости  например, . Тогда

Уравнения прямой в пространстве

Пусть прямая L в пространстве с декартовой системой координат проходит через точку и параллельна ненулевому вектору, который называется направляющим вектором прямой.

Обозначим через произвольную точку прямой L. Вектор коллинеарен вектору и, следовательно, их координаты пропорциональны, т. е.

Эта двойная пропорция представляет собой канонические уравнения прямой в пространстве.

Заметим, что в канонических уравнениях прямой формально допускается запись нулей в знаменателях, это означает лишь то, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси или координатной плоскости.

Если прямая проходит через две точки , то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор и, следовательно, канонические уравнения этой прямой имеют вид:

Коллинеарные векторы линейно связаны (глава II. §1), т.е. существует действительный параметр t такой, что

Если точка М перемещается вдоль прямой, параметр t изменяется в пределах от до . Так как – радиусы-векторы точек и М соответственно, то последнее уравнение мы можем переписать в виде

Это уравнение называется векторным уравнением прямой.

Переходя в полученном векторном уравнении к координатам, запишем параметрические уравнения прямой:

Прямую в пространстве можно задать также как пересечение двух плоскостей.

Система

составленная из уравнений этих плоскостей, дает нам общие уравнения прямой в пространстве. Для перехода от общих к каноническим уравнениям прямой, достаточно найти какую-нибудь точку на ней, решив при фиксированном значении одной из координат систему уравнений плоскостей, а также определить направляющий вектор прямой, которым может служить векторное произведение нормальных векторов плоскостей. т. е. вектор

Пример №3

Найти канонические уравнения прямой

Решение. Полагая в данной системе z = 0, получим

Решив эту систему, найдем х = 1, у = —2. Таким образом, мы получили точку на прямой. Найдем ее направляющий вектор:

Осталось записать канонические уравнения данной прямой:

Научимся теперь вычислять расстояние от точки до прямой в пространстве. Пусть задана точка и прямая L своими каноническими уравнениями

Искомое расстояние равно, очевидно, высоте треугольника, построенного, на векторах Воспользовавшись геометрическим смыслом длины векторного произведения (глава II. §4), найдем:

Пусть нам известны канонические уравнения двух прямых в пространстве:

Очевидно,

Один из углов между этими прямыми равен углу между их направляющими векторами и и, следовательно.

Изучим взаимное расположение прямых . Если направляющие векторы  коллинеарны, то данные прямые параллельны или совпадают. Совпадать они будут в том случае, когда

В случае, когда , прямые пересекаются или являются скрещивающимися.

Прямые пересекаются, очевидно, тогда и только тогда, когда векторы компланарны. В противном случае данные прямые являются скрещивающимися. Таким образом, для того, чтобы выяснить, являются ли две данные непараллельные прямые пересекающимися или скрещивающимися, достаточно вычислить смешанное произведение и, если оно окажется равным нулю, то прямые пересекаются, иначе – скрещиваются.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно, очевидно, расстоянию между параллельными плоскостями, в которых расположены эти прямые и, следовательно, равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах Отсюда, использовав геометрический смысл смешанного произведения (глава II. §5), мы и найдем искомое расстояние:

Пример №4

Убедиться в том, что прямые

являются скрещивающимися. Найти расстояние между ними и уравнение общего перпендикуляра к ним.

Решение. Первая прямая проходит через точку параллельно вектору . а вторая – через точку параллельно вектору  Вычислим смешанное произведение векторов

следовательно, прямые являются скрещивающимися. Для вычисления расстояния между ними иенолтьзуем приведенную выше формулу. Так как

Осталось найти уравнение общего перпендикуляра к данным прямым. Заметим, прежде всего, что его направляющим вектором является уже вычисленный нами вектор . Очевидно, указанный перпендикуляр расположен в пересечении двух плоскостей , проходящих через данные прямые параллельно вектору Найдем уравнения этих плоскостей по трем элементам. Первая из них проходит через точку параллельно векторам следовательно (§1),

Таким образом, плоскость имеет уравнение Аналогично, плоскость содержит точку и расположена параллельно векторам поэтому

и, стало быть, – уравнение плоскости . Система из уравнений плоскостей и даст нам общие уравнения перпендикуляра к прямым :

В заключение этого параграфа вычислим угол между прямой L, заданной каноническими уравнениями

и плоскостью П, для которой известно ее общее уравнение 

Очевидно, искомый угол связан с углом между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости соотношением следовательно,  откуда,

В частности, если  

Прямая на плоскости

Для прямой на плоскости наблюдается большее разнообразие ее уравнений, так как на плоскости прямая фиксируется точкой, через которую она проходит и, либо вектором ей перпендикулярным (нормальным вектором), либо вектором ей параллельным (направляющим вектором) и, следовательно, для прямой на плоскости можно записывать как уравнения, характерные для плоскости в пространстве (§1), так и аналоги уравнений прямой в пространстве (§2). Перечислим, не повторяя деталей, изложенных в предыдущих двух параграфах, основные уравнения прямой на плоскости и связанные с ними формулы.

Пусть прямая L на плоскости с выбранной в ней системой координат проходит через точку перпендикулярно ненулевому вектору .

Уравнение такой прямой имеет вид:

откуда после очевидных преобразований получим уравнение

которое представляет собой общее уравнение прямой на плоскости.

Пусть прямая L отсекает на координатных осях отрезки величиной а и Ь соответственно.

Тогда, как и для плоскости, мы можем записать уравнение прямой в отрезках:

Если прямая L содержит точку и расположена параллельно ненулевому вектору

то ее каноническое уравнение имеет вид:

По аналогии с прямой в пространстве, прямая на плоскости может быть задана также векторным уравнением

и параметрическими уравнениями

Расстояние от точки  прямой L на плоскости, заданной общим уравнением , может быть вычислено по формуле:

Найдем еще одно уравнение прямой на плоскости, характерное для этого геометрического объекта. Пусть прямая L, заданная своим каноническим уравнением  , непараллельна оси

Тогдаи мы можем записать уравнение прямой L с угловым коэффициентом:

где – угловой коэффициент прямой, b – величина отрезка, который отсекает эта прямая на оси . В частности,

представляет собой уравнение прямой с угловым коэффициентом, которая проходит через точку

Если две прямые на плоскости заданы общими или каноническими уравнениями, то их взаимное расположение исследуется по аналогии с плоскостями или прямыми, заданными такими же уравнениями (§1 или §2). Изучим поэтому взаимное расположение двух прямых, которые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Итак, рассмотрим две прямые

Предположим сначала, что прямые не являются перпендикулярными, обозначим черезострый угол между ними. Тогда, очевидно, и, следовательно,

Если же, то нормальные векторы этих прямых ортогональны, следовательно,

Таким образом, для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы

Очевидно. прямые параллельны в том и только в том случае, когда равны углы, которые они образуют с осью Ох. Следовательно, для параллельности прямых необходимо и достаточно, чтобы совпадали их угловые коэффициенты, т. е.

Пример №5

Даны прямая и точка А(—2, 1). Найти уравнения прямыхпроходящих через точку А и таких, что

Решение. Прямые имеют общий нормальный вектор , поэтому,

– общее уравнение прямой 

Так как то направляющим вектором прямой является нормальный вектор прямой L, следовательно,

 каноническое уравнение прямой

Из уравнения прямой L находим следовательно, Тогда угловые коэффициенты прямых  удовлетворяют уравнению

откуда, Осталось записать уравнения прямых

Кривые второго порядка на плоскости

В предыдущих трех параграфах нами были изучены линейные геометрические объекты -плоскость и прямая в пространстве и на плоскости. Мы показали, что в декартовой системе координат они определяются алгебраическими уравнениями первой степени, т. е. линейными уравнениями. Предметом нашего исследования в этом параграфе будут являться кривые второго порядка, т. е. линии на плоскости, уравнения которых в декартовой системе координат Оху имеют вид:

где А, В, С, D, Е, F – действительные числа. Мы убедимся в том, что, за исключением случаев вырождения данное уравнение определяет одну из трех замечательных линий — эллипс, гиперболу или параболу. Приведем сначала геометрическое определение каждой из этих линий и найдем их канонические уравнения.

Эллипс

Определение: Эллипсом называется множество точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов эллипса) есть величина постоянная.

Найдем каноническое уравнение эллипса. Обозначим через 2с фокусное расстояние, т. е. расстояние между фокусами, а через 2а — постоянную сумму расстояний от точек эллипса до фокусов. Из неравенства треугольника следует, что . Выберем декартову систему координат на плоскости следующим образом: ось Ох направим через фокусы, а начало координат выберем посередине между ними.

Пусть М(х, у) — произвольная точка эллипса. По определению этой линии,

Упростим последнее уравнение:

откуда, использовав обозначение    , мы и получим каноническое уравнение эллипса :

Построим эту линию. Для этого прежде всего заметим, что она симметрична относительно координатных осей и начала координат, так как переменные x и у входят в каноническое уравнение в квадратах. Отсюда следует, что эллипс достаточно построить в первой координатной четверти и затем отразить его относительно координатных осей. Из канонического уравнения эллипса находим:

Очевидно, эта функция определена и убывает при Кроме того, ее график располагается выше прямой  Из приведенных рассуждений следует, что эллипс представляет собой следующую замкнутую линию на плоскости:

Числа а и b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Точка O(0,0) -центр эллипса, точки – вершины эллипса, отрезок — большая, — малая оси эллипса.

Форму эллипса характеризует величина . равная отношению фокусного расстояния к длине большой оси. Это число называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, Так как

то при мы имеем , и, следовательно, эллипс по форме мало отличается от окружности. В предельном случае, когда . полуоси совпадают и эллипс превращается в окружность. Если же и эллипс является вытянутым вдоль оси Ох.

Замечание. В уравнении эллипса может оказаться, что Тогда фокусы эллипса находятся на оси — большая, — малая полуоси эллипса.
 
 

Гипербола

Определение: Гипербола представляет собой линию на плоскости, для каждой точки которой абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек (фокусов гиперболы) есть величина постоянная.

Обозначим и здесь фокусное расстояние через 2с. а через 2а — постоянную абсолютную величину разности расстояний от точек гиперболы до фокусов. Для гиперболы а < с, что следует из неравенства треугольника. Выберем декартову систему координат на плоскости точно также, как и при выводе канонического уравнения эллипса.

По определению гиперболы для произвольной точки М(х, у) этой линии

Избавляясь от корней в этом уравнении, получим:

Обозначая здесь , получим каноническое уравнение гиперболы:

Как видно из ее уравнения, гипербола симметрична относительно координатных осей и начала координат. Из канонического уравнения гиперболы следует, что в первой четверти

Эта функция возрастает, при всех при больших х.

а    а    а    а

Это означает, что в первой четверти гипербола, выходя из точки (а, 0) на оси Ох, приближается

затем при больших значениях х к прямой  Следовательно, гипербола выглядит следующим образом:

Прямые называются асимптотами гиперболы. Точка O(0,0) – центр гиперболы. Точки называются вершинами гиперболы. Ось симметрии гиперболы, пересекающая ее в вершинах, называется действительной осью. Вторая ось симметрии, не имеющая с гиперболой общих точек, называется мнимой осью гиперболы. Числа а и Ь называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Если полуоси равны, то гипербола называется равносторонней (равнобочной).

Как и для эллипса, определим эксцентриситет гиперболы как отношение половины фокусного расстояния к действительной полуоси:

Так как

то эксцентриситет гиперболы характеризует величину угла, в котором она располагается. При угол мал и, наоборот, если эксцентриситет велик, то и угол. в котором находится гипербола, близок к развернутому.

Замечание. В каноническом уравнении гиперболы знаки перед квадратами могут располагаться и в обратном порядке:

В этом случае фокусы и вершины находятся на оси

 

Парабола

Определение: Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от. фиксированной точки (фокуса параболы) и фиксированной прямой (директрисы параболы).

Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через р. Число р > 0 называется параметром параболы. Выберем удобную систему координат на плоскости: ось Ох направим через фокус F перпендикулярно директрисе D, а начало координат возьмем посередине между директрисой и фокусом.

Если М(х,у) – произвольная точка параболы, то по определению этой кривой

После возведения в квадрат и очевидных преобразований, получим каноническое уравнение параболы:

Очевидно, парабола проходит через начало координат и симметрична относительно оси Ох. Точка O(0,0) называется вершиной параболы, ось Ох – осью параболы.

Замечание. Если бы при выборе системы координат мы направили ее оси в противоположные стороны, то каноническое уравнение параболы приняло бы вид:

Аналогично, уравнения

также определяют параболы, фокусы которых расположены на оси Оу. а директрисы параллельны оси Ох.

Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Покажем, что общее уравнение кривой второго порядка на плоскости, кроме случаев вырождения, определяет одну из линий — эллипс, гиперболу или параболу.

Выясним сначала, как преобразуются координаты точки на плоскости при параллельном переносе системы координат. Предположим, что осуществлен параллельный перенос системы координат Оху в точку . Пусть — координаты точки М в старой Оху, а — координаты той же точки в новой системе координат.

Так как то новые и старые точки координаты на плоскости связаны линейными соотношениями:

Рассмотрим теперь уравнение второго порядка на плоскости в частном случае, когда оно не содержит произведения координат ху :

причем коэффициенты А и С не равны одновременно нулю. Здесь возможны три случая.

а) АС > 0. Очевидно, всегда можно считать, тгго А > 0, С > 0. Выделяя в уравнении второго порядка полные квадраты по переменным х и у, получим:

где — некоторые действительные числа. Ясно, что при > 0 ни одна из точек плоскости не удовлетворяет этому уравнению. Если = 0, то единственным решением полученного уравнения является точка . Наконец, при < 0 уравнение приводится к виду

и, следовательно, в смещенной с помощью параллельного переноса в точку системе координат оно является каноническим уравнением эллипса:

b)    АС < 0. Будем считать для определенности, что А > 0. С < 0.

В этом случае исходное уравнение второго порядка также приводится к виду (1). При F = 0 оно определяет пару прямых, проходящих, через точку  :

Если же , то полученное уравнение мы можем преобразовать к виду

и, стало быть, после параллельного переноса системы координат в точку последнее уравнение является каноническим уравнением гиперболы:

c)    АС = 0. Предположим, например, что

Выделяя в данном уравнении второго порядка полный квадрат по переменной у, получим:

С {у ~ Уо)2 + Dx + F1=0.

Если в этом уравнении D = 0, то при > 0 множество решений этого уравнения пусто, а при  < 0 полученное уравнение определяет пару прямых, параллельных оси Ох :

Если же , то мы можем привести уравнение к виду:

т.е. после параллельного переноса системы координат в точку , мы получим тем самым каноническое уравнение параболы:

Аналогично. если в исходном уравнении второго порядка  то, не принимая во внимание вырожденные случаи, это уравнение мы также можем привести к каноническому уравнению параболы:

Пример №6

Привести уравнение второго порядка к каноническому виду, назвать и построить кривую:

Решение. Выделяя полные квадраты по обеим переменным, получим:

что представляет собой каноническое уравнение эллипса в смещенной в точку системе координат. Для этого эллипса и, следовательно, фокусы находятся в точках . Эксцентриситет эллипса равен

Пример №7

Найти каноническое уравнение параболы с вершиной в точке , осью симметрии, параллельной координатной оси Ох и фокусом на оси Оу. Построить параболу.

Решение. Фокус параболы находится в точке F(0 , 2), следовательно, уравнение параболы с учетом смещения имеет вид:

Здесь и, стало быть.

каноническое уравнение параболы.

 

Замечание. Для приведения к каноническому виду уравнения второго порядка, содержащего произведение координат ху, необходимо кроме параллельного переноса выполнить еще и поворот системы координат на определенный угол. Например, для равносторонней гиперболы ху = 1 следует повернуть систему координат Оху вокруг ее начала на угол 45° против часовой стрелки. Поскольку вершины гиперболы находятся на расстоянии от начала координат. то в новой системе координат каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

Поверхности второго порядка в пространстве

В заключение этой главы мы изучим поверхности в пространстве, которые в декартовой системе координат задаются алгебраическими уравнениями второй степени. Существуют пять видов таких поверхностей: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, цилиндры второго порядка и конус второго порядка.

Поверхность вращения

Найдем уравнение поверхности, которая получается вращением некоторой линии вокруг одной из координатных осей. Пусть линия L, которая в координатной плоскости Oyz задается уравнением F(y, z) = 0. вращается вокруг оси Oz.

Пусть M(x,y,z) – произвольная точка на поверхности вращения. Перегоним ее по окружности, расположенной в сечении поверхности плоскостью, проходящей через данную точку перпендикулярно оси Oz, в точку N на линии L. Поскольку расстояние от точки М до оси Oz равно то точка N имеет координаты . Подставив координаты точки N в уравнение линии L. мы и получим тем самым уравнение поверхности вращения:

Найдем теперь уравнения поверхностей, которые получаются вращением кривых второго порядка с последующей линейной деформацией этих поверхностей.

Эллипсоид

Возьмем в плоскости Oyz эллипс

и будем вращать его вокруг оси Oz. В результате, как следует из предыдущего пункта, мы получим поверхность с уравнением

которая называется эллипсоидом вращения. Заменив в найденном уравнении координату х на —, т. е. линейно деформируя поверхность вдоль оси Ох с коэффициентом —, мы получим тем самым уравнение эллипсоида общего вида:

Положительные числа а, b, с называются полуосями эллипсоида.

Очевидно, сечениями эллипсоида плоскостями параллельными координатным, являются эллипсы.

Замечание. В частном случае, когда а = b = с = R эллипсоид превращается в сферу

радиуса R с центром в начале координат.

Гиперболоиды

а) Однополостный гиперболоид.

Вращая гиперболу

вокруг оси Oz, получим однополостный гиперболоид вращения с уравнением

После линейной деформации вдоль оси Ох эта поверхность превращается в однополостный гиперболоид общего вида с осью Oz :

Аналогично, уравнения однополостных гиперболоидов с осями Ох и Оу имеют, соответственно, вид:

Сечениями однополостного гиперболоида плоскостями, перпендикулярными его оси, являются эллипсы, а в сечениях плоскостями, перпендикулярными другим координатным осям, располагаются гиперболы.

Двухполостный гиперболоид

Поверхность, полученная вращением вокруг оси Оz гиперболы

вершины которой расположены на оси вращения, называется двухполостным гиперболоидом вращения. Запишем уравнение двухполостного гиперболоида:

Линейная деформация двухполостного гиперболоида вращения вдоль оси Ох прообразует его в двухполостный гиперболоид общего вида с осью Oz. Уравнение этой поверхности имеет вид:

Двухполостные гиперболоиды с осями Ох и Оу имеют, соответственно, уравнения:

Как и в случае однополостного гиперболоида, сечениями двухполостного гиперболоида плоскостями, параллельными координатным, являются эллипсы и гиперболы.

Параболоиды

а) Эллиптический параболоид

Вращение параболы вокруг ее оси приводит к поверхности, которая называется параболоидом вращения. В частности, если параболу с каноническим уравнением вращать вокруг оси Oz, то, как следует из пункта 0, уравнение полученного параболоида вращения имеет вид:

Линейная деформация параболоида вращения вдоль оси Оу превращает его в эллиптический параболоид с уравнением:

Положительные числа p, q называются параметрами параболоида, точка O(0,0) – вершина, ось Oz – ось эллиптического параболоида.

Уравнения эллиптических параболоидов с осями Ох и Оу имеют, соответственно, вид:

Как следует из уравнения эллиптического параболоида, плоскости, перпендикулярные его оси, пересекают эту поверхность по эллипсам, а в сечениях плоскостями, параллельными другим координатным, находятся параболы.

Замечание. Изменение знака в правой части уравнения эллиптического параболоида приводит к отражению этой поверхности относительно координатной плоскости, перпендикулярной оси параболоида.

b) Гиперболический параболоид.

Будем поступательно перемещать образующую параболу

расположенную в плоскости Oyz, параллельно самой себе вдоль направляющей параболы

находящейся в плоскости Oxz. Полученная таким образом поверхность называется гиперболическим параболоидом или седловидной поверхностью.

Найдем уравнение этой поверхности. Пусть М(х. у, z) – произвольная точка гиперболического параболоида. По его построению точка М принадлежит параболе с вершиной в точке , параллельной параболе Так как координаты произвольной точки этой параболы удовлетворяют уравнению

то, подставив в него координаты точки М, мы и получим после несложных преобразований уравнение гиперболического параболоида:

Здесь, как и для эллиптического параболоида, числа р, q – параметры гиперболического параболоида, точка O(0,0) и ось Oz – соответственно вершина и ось гиперболического параболоида.

Замечание 1. Седловидная поверхность может быть также получена перемещением параболы параллельно самой себе вдоль параболы

Судя по уравнению гиперболического параболоида, в сечениях этой поверхности плоскостями z = h > 0 находятся гиперболы, действительные оси которых параллельны координатной оси Ох. Аналогично, плоскости z = h < 0 пересекают данную поверхность по гиперболам с действительными осями, параллельными оси Оу. Наконец, плоскость Оху пересекает гиперболический параболоид по двум прямым

Гиперболические параболоиды, осями которых служат координатные оси Ох и Оу, имеют, соответственно, уравнения:

Замечание 2. Отразив седловидную поверхность относительно координатной плоскости, перпендикулярной ее оси, получим гиперболический параболоид, уравнение которого отличается знаком правой части от уравнения исходной поверхности.

Цилиндры второго порядка

Цилиндром второго порядка называется поверхность, полученная перемещением некоторой прямой (образующей) вдоль кривой второго порядка (направляющей), расположенной в плоскости, не содержащей образующую, параллельно фиксированному ненулевому вектору в пространстве.

Ограничимся случаем, когда направляющая расположена в одной из координатных плоскостей, а образующая перпендикулярна этой плоскости. Возьмем для определенности в плоскости Оху кривую второго порядка и будем перемещать прямую, параллельную оси Oz, вдоль этой кривой. Так как проекцией любой точки M(x,y,z) полученного таким образом цилиндра на плоскость Оху является точка N(x,y), принадлежащая кривой второго порядка, то координаты точки М удовлетворяют уравнению этой кривой. Следовательно, уравнением построенного цилиндра является уравнение его направляющей.

Перечислим теперь цилиндры второго порядка.

1) – эллиптический цилиндр. 

В частности, при а = b мы получим круговой цилиндр.

2 2 X у

2) – гиперболический цилиндр.

3)  – параболический цилиндр.

Аналогичные уравнения имеют цилиндры второго порядка, образующие которых параллельны осям Ох и Оу, а направляющие расположены в координатных плоскостях Oyz и Oxz, соответственно.

Конус второго порядка

Конус второго порядка представляет собой поверхность, которая может быть получена перемещением прямой (образующей), имеющей неподвижную точку, которая называется вершиной конуса, вдоль кривой второго порядка (направляющей), расположенной в плоскости, не содержащей вершину.

Найдем уравнение конуса, вершина которого совпадает с началом координат, а направляющей служит эллипс с уравнением

расположенный в плоскости z = с, с > 0.

Пусть M(x,y,z) – произвольная точка конуса. Обозначим через точку перс-сечения образующей, проходящей через точку М, с направляющей. Координаты точки удовлетворяют уравнениям

а точки M – уравнениям 

Из последних уравнений мы находим:

Подставив найденные выражения для в уравнение эллипса, получим после несложных преобразований уравнение конуса второго порядка:

Координатная ось Oz называется осью конуса. Если а = b, то конус является круговым.

Конусы второго порядка с осями Ох и Оу имеют, соответственно, уравнения:

Покажем, что вид конуса второго порядка не зависит от выбора направляющей. Действительно, если в качестве направляющей взять гиперболу

находящегося в плоскости 2 = с, то после рассуждений, аналогичных предыдущим, получим поверхность с уравнением

т. е. конус с осью Ох. Если же за направляющую мы выберем в плоскости z = с параболу с уравнением

то построенный таким образом конус имеет уравнение

Наблюдая со стороны положительной полуоси Оу, повернем систему координат Oxz вокруг оси Оу на угол 45° против часовой стрелки. Тогда произведение xz в системе координат

запишется как (§4, пункт 4, замечание). Следовательно, в новой системе координат Oxyz найденное уравнение поверхности приобретает вид

и, стало быть, эта поверхность является конусом с осью

Как следует из уравнения конуса и его построения, плоскости, перпендикулярные его оси, пересекают эту поверхность по эллипсам, сечениями конуса плоскостями, параллельными его оси, являются гиперболы, и, наконец, в сечениях конуса плоскостями, параллельными образующей, располагаются параболы.

Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

По аналогии с уравнением кривой второго порядка (§4, пункт 4), уравнение поверхности второго порядка, не содержащее произведений координат, мы можем за счет выделения полных квадратов привести к уравнению одной из рассмотренных в пунктах 1—5 поверхностей. Следовательно, мы получим одну из поверхностей второго порядка в смещенной с помощью параллельного переноса системе координат. Исключение, правда, составляет случай, когда уравнение поверхности содержит полный квадрат и два линейных слагаемых относительно других координат. Такая поверхность представляет собой параболический цилиндр в смещенной с помощью параллельного переноса и повернутой затем вокруг одной из координатных осей системе координат.

Пример №8

Привести уравнение второго порядка

к каноническому виду, назвать и построить поверхность.

Решение. После выделения полных квадратов по переменным у, z получим:

Переписав это уравнение в виде

мы замечаем, что в смещенной с помощью параллельного переноса в точку системе координат, эта поверхность представляет собой гиперболический параболоид с параметрами р = 1, q = 4.

Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой на плоскости

Докажем, что всякая прямая на плоскости задается в любой пдск  уравнением первой степени относительно двух переменных. 
Если  A  – некоторая точка на прямой    – вектор, перпендикулярный ей, то, во-первых, через  A  перпендикулярно  проходит единственная прямая на  плоскости,  а,  во-вторых,    для любой  точки    вектор   .  Таким свойством обладают только точки, лежащие на.  

Чтобы вывести уравнение прямой, зададим на плоскости пдск  XOY .  
В этой системе координат  

Пусть M (x, y)  – произвольная точка 
на . Тогда (рис. 22 ) . Так как   , то по свойству 5 скалярного произведения   – векторное уравнение прямой .   
поэтому по формуле (2.5) получим  

Координаты точек, лежащих на прямой, связаны соотношением (3.1). Если же    не перпендикулярен  значит, координаты  M  не  будут  удовлетворять полученному  уравнению.  Поэтому  (3.1)  –  уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору. Заметим, что это уравнение линейно относительно переменных   x  и  y . 
 

Определение: Любой ненулевой вектор   , перпендикулярный прямой , называется ее нормальным вектором, или нормалью. 
. Обозначая   , получим 

(3.2) – общее уравнение прямой на плоскости,

Уравнение прямой с направляющим вектором

Определение:  Любой  ненулевой  вектор   ,  параллельный  прямой, называется ее направляющим вектором. 
Если  A  – некоторая точка на прямой  – вектор, параллельный ей, то, во-первых, через  A  параллельно  проходит единственная прямая, а, во-вторых,  для любой точки вектор Таким свойством обладают только точки, лежащие на .  

Чтобы  вывести  уравнение  прямой,  зададим  на  плоскости  пдск  XOY .  В этой системе координат  

Пусть  M (x, y) – произвольная точка на  . Тогда   и . Запишем условие коллинеарности векторов: 

(3.3) – уравнение прямой на плоскости с направляющим вектором.                    
Если   – направляющий вектор прямой   , поэтому уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид: 

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть – направляющий вектор прямой  не параллельна оси OY , тогда
 

Определение: Угловым коэффициентом прямой  называется число 

Очевидно, что если  – угол между прямой  и положительным направлением оси ОХ, то  
Рассмотрим уравнение (3.3)  прямой с направляющим вектором
 
Отсюда следует  (3.5) – уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Из (3.5) получим . Обозначим , тогда  

(3.6) – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угол между прямыми на плоскости

Определение: Углом между двумя прямыми на плоскости называется  любой  из  двух  смежных  углов,  образованных  ими  при  пересечении.  Если прямые параллельны, то угол между ними равен  0  или  радиан. 
Пусть прямые заданы общими уравнениями. 


Условие параллельности прямых: 

Условие перпендикулярности прямых:   

Рассмотрим случай, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. 
                                                                     

Так как    (рис. 24  ), то 

Условие параллельности прямых:    

Условие перпендикулярности:     
Так как
не существует, то

Пример №9

Даны  вершины  треугольника:
Написать: 
 а) уравнение медианы  AM , б) высоты  AH , в) найти угол между   AM  и  AH  
(рис. 25).      
                     
Перепишем уравнение  медианы в общем виде:   
 – нормаль АМ. 
б) – нормаль  AH . Уравнение прямой (3.1), проходящей через точку  A  перпендикулярно вектору :  

в). По формуле (3.7)
 

Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть  в некоторой пдск  XOY  задана прямая    и точка   Найдем расстояние от точки M  до прямой  . 

Пусть   – проекция точки  M  на  (рис.  26),  тогда  . 

Нормаль 

где   d  – искомое расстояние, – скалярное произведение.  
Следовательно,        

Так как . Поэтому    

Отсюда    
(3.8) – формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости. 
 

Пример №10

Найти длину высоты  
Уравнение   –
искомая длина высоты АН. 
 

Кривые второго порядка

Окружность

Определение: Кривые второго порядка – плоские линии, которые в пдск   XOY  задаются уравнениями второй степени относительно двух переменных x,y. 
 

Определение: Окружностью называется совокупность точек  плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой ее центром. 

Выведем уравнение окружности. Зададим пдск  XOY . Пусть – фиксированная точка (центр окружности), а  R  – расстояние от точек окружности до ее центра (радиус окружности). Если    – произвольная точка окружности, то длина равна R .

Если точка  M (x, y)   не лежит на окружности, то    и ее координаты уравнению (3.9) не удовлетворяют, поэтому, (3.9) – уравнение окружности с центром   радиуса  R . 
Если   , то уравнение окружности примет вид: 

(3.10) – каноническое уравнение окружности.

Пример №11

Показать, что уравнение задает окружность (то есть найти  ее центр и радиус). 
Приведем  данное  уравнение  к  виду (3.9), выделив  полный квадрат по переменной   x : 

 

Пример №12

Написать уравнение линии центров окружностей  

Найдем центр второй окружности:         

Уравнение прямой (3.4), проходящей через две точки: 

 

Эллипс

Определение:  Эллипс  –  совокупность  точек  плоскости,  сумма  расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами. 

Чтобы вывести уравнение эллипса, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокусы   , а ось ординат – посередине отрезка  перпендикулярно  оси  абсцисс.    Обозначим  расстояние  между  фокусами  тогда . Пусть  M(x, y)  – произвольная точка, лежащая на эллипсе, а  2a  – сумма расстояний от точек на эллипсе до  ,     
                     
2a>2c определению эллипса. 
(рис. 27). 
Запишем  в  виде  уравнения  свойство  точек, принадлежащих эллипсу, сформулированное в определении: 

(3.11) – уравнение эллипса в выбранной системе координат. Преобразуем его к 
более простому (каноническому) виду. Для этого умножим (3.11)  на сопряженное выражение: 

Сложим (3.11) и (3.12) и результат возведем в квадрат: 

Так как по определению  a>c, то есть  , то обозначим . 
Тогда из (3.13) получим:  

(3.14) – каноническое уравнение эллипса. 
 

Исследуем форму эллипса по его каноническому уравнению. Найдем точки пересечения с осями координат:
  

Из (3.14) следует, что 

Значит, эллипс расположен в прямоугольнике со сторонами   .  
Кроме того, из уравнения следует, что он симметричен относительно OX  и OY . O(0,0)  – точка пересечения осей симметрии – центр симметрии  эллипса. 
Ось, на которой лежат фокусы, называется фокальной осью эллипса. Точки  пересечения  эллипса  с  осями  симметрии  называются  его  вершинами.  

– полуфокусное расстояние, – малая полуось,  
– большая полуось эллипса и  (рис. 28). 

Отношение полуфокусного расстояния к длине большой полуоси  называется эсцентриситетом  эллипса. Он характеризует форму эллипса.

Так как , и чем меньше , тем больше эллипс похож на окружность. Для окружности . 
 

ЗАМЕЧАНИЕ  1.  Уравнение  эллипса,  центр  которого  ,  а  оси симметрии параллельны координатным осям, имеет вид:  

 

ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка эллиптического типа относятся также мнимый эллипс 
 и точка 

 

Пример №13

Найти эксцентриситет эллипса   (рис. 29).    
Так как , то фокусы лежат на оси  OY  и поэтому  

 

Гипербола

Определение:  Гипербола  –  совокупность  точек  плоскости,  модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами,  есть величина постоянная, не равная  нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами. 

Чтобы вывести уравнение гиперболы, выберем пдск следующим образом: 

ось абсцисс проведем через фокусы , а ось ординат – посередине отрез-
ка перпендикулярно оси абсцисс. Тогда – фокусы гиперболы (рис. 30). Пусть  M(x, y)  – произвольная точка, лежащая на гиперболе.

– расстояние между фокусами, 2a  – модуль разности  расстояний от точек на гиперболе до (рис. 30). 

Запишем свойство точек, принадлежащих гиперболе, сформулированное в определении: 

(3.16) – уравнение гиперболы в выбранной системе координат ( «+» – если разность расстояний  положительна, и «–»  – если отрицательна). Чтобы привести это уравнение к более простому виду, умножим (3.16) на сопряженное выражение и выполним такие  же действия, как при упрощении уравнения эллипса, после чего получим: 

По определению . Обозначим  , тогда (3.17) перепишется в виде:  

(3.18) – каноническое уравнение гиперболы. 

Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению.  
Из (3.18) следует, что гипербола симметрична относительно осей координат. Если x=0,  , значит, точек пересечения с  OY  нет; если  y = 0 , то . Точки пересечения с осями симметрии называются вершинами гиперболы.  Кроме  того,  из  (3.18)  следует,  что . Точка  пересечения осей  симметрии  называется  центром  гиперболы.  Ось  симметрии,  на  которой расположены  фокусы,  называется  фокальной  осью.  При  этом  фокальная  ось также называется действительной (с ней гипербола пересекается), а ось симметрии, с которой гипербола не пересекается, называется ее мнимой осью. 

c  – полуфокусное расстояние,   a  – действительная полуось, b  – мнимая полуось.  Отношение  полуфокусного  расстояния  к  длине  действительной  полуоси называется эксцентриситетом  гиперболы: .  Так  как  по  определению 

Считая, что из (3.18) получим, что  – уравнение части гиперболы, расположенной в первой четверти. Заметим, что при неограниченном  возрастании   разность , то есть при достаточно больших   x  гипербола приближается к прямой , 
причем ординаты точек на ней меньше соответствующих ординат точек на этой 
прямой:. Прямая называется асимптотой гиперболы.  

Из симметрии гиперболы следует, что то же самое происходит во второй, третьей и четвертой  четвертях. Поэтому   – также асимптота. 
Итак, прямые  – асимптоты гиперболы (3.18), а гипербола – кривая, состоящая из двух ветвей (рис. 31). 
Если фокусы гиперболы лежат на OY , то ее уравнение имеет вид: 

Гиперболы  (3.18)  и  (3.19)  называются  сопряженными  (рис.  31).  Уравнения асимптот  (3.19) такие же, как и для (3.18), но действительной является ось OY . 
Если  a = b, то гипербола называется равносторонней:  – уравнения ее асимптот (рис. 32 ).     

Очевидно, в этом случае асимптоты перпендикулярны. После поворота осей координат на против часовой стрелки, получим  гиперболу, задаваемую уравнением
 

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если центр гиперболы  в точке , а оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид         

 ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка гиперболического типа относится также  пара пересекающихся прямых:  
 

Пример №14

Найти координаты центра и написать уравнения асимптот гиперболы
Приведем данное уравнение к виду (3.20): 

Таким образом,  – центр,  – уравнения асимптот данной гиперболы. 
 

Парабола

Определение: Парабола – совокупность точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, и фиксированной прямой, не проходящей через эту точку, называемой директрисой.   Чтобы вывести уравнение параболы, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно директрисе, а ось ординат посередине между фокусом и директрисой (рис. 33). 

Пусть расстояние между фокусом  F  и директрисой  DK  равно  p . Тогда .  Если  M(x, y)   –  произвольная  точка  на  параболе,  то  по определению 

(3.21) – уравнение параболы в выбранной системе координат. 

Упростим его:                                 

(3.22) – каноническое уравнение параболы;  p  называется ее параметром. 
Из уравнения следует, что парабола симметрична относительно   OX  и проходит через начало координат. Кроме того,  если , поэтому кривая лежит в правой полуплоскости и с ростом величины также растет. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной (рис. 34). 

Если фокус параболы на оси ОУ (рис. 35), то ее каноническое уравнение имеет вид

 

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если вершина параболы в точке и ось симметрии параллельна OX , то ее уравнение имеет вид

ЗАМЕЧАНИЕ 2.  К кривым второго порядка параболического типа относятся также  – пара совпадающих прямых;  
– пара параллельных прямых; пара мнимых параллельных прямых.  
 

Пример №15

Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от прямой  x + y – 1 = 0 и точки F(-3,2). 
По определению множество точек, равноудаленных от данных точки и прямой, является  параболой.  Пусть  M (x, y)   –  произвольная  точка  искомой  параболы, тогда . Расстояние от точки M  до прямой x + y – 1 = 0 вычисляется по формуле (3.8): . Из условия следует, что  
 – уравнение искомого геометрического места точек. 

Если  оси  координат  системы XOY   повернуть на угол  так, чтобы  одна  из  них  стала  параллельна директрисе, а затем перенести  начало координат в точку   – вершину параболы, то в новой  системе   уравнение  параболы  будет  каноническим (рис. 36).  
 

ЗАМЕЧАНИЕ. Можно показать, что, кроме окружности, эллипса, гиперболы, параболы и вырожденных случаев, указанных в замечаниях, других кривых второго порядка не существует.  
 

Преобразования координат на плоскости

Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном n-мерном многообразии.

Параллельный перенос координатных осей

Пусть на плоскости задана пдск ХОУ. Будем называть ее “старой”. “Новая” система координат получена из “старой” параллельным переносом осей в точку .  Выясним, как связаны координаты одной и той же точки М  в этих системах координат.

Пусть  – орты координатных осей системы ХОУ, а  – системы
Тогда

так как по определению  равенства  векторов (рис. 37). 
Так как , то 

или                                                  

(3.23) – формулы параллельного переноса осей пдск. 

 

Поворот координатных осей на угол α

Поворот координатных осей на угол . 

Пусть  “новая”  пдск    получена из  “старой” системы координат XOY поворотом осей ОХ и ОУ на угол (рис. 38) и М(х, у) – произвольная  точка  в  системе XOY . Выясним, какими станут ее координаты в “новой” пдск.  
Из рис. 38 очевидно, что 

Так как , то  

(3.24) – формулы поворота координатных осей на угол  , выражающие старые координаты точки через новые. 
Если обозначить  , то (3.24) можно переписать:  . Так как , то существует   и  

(3.25) – формулы поворота координатных осей на угол , выражающие новые  координаты точки через старые. 

 

Пример №16

Каким  будет  уравнение  прямой  x + y – 1 = 0 после поворота координатных осей на угол 

 новое уравнение прямой (рис. 39). 
 

Линейные  преобразования на плоскости

Рассмотрим систему линейных уравнений: 

Каждой точке  плоскости  M(x, y)  по формулам (3.26) можно поставить в соответствие  единственную точку той же плоскости. При этом точка  N  называется образом точки  M , а точка  M  – прообразом точки  N .  Кроме того,уравнения (3.26) линейны относительно  x  и  y , поэтому будем говорить, что (3.26) определяют линейное преобразование плоскости в себя. 
Преобразование (3.26) определяется матрицей , которая называется  матрицей  линейного  преобразования.  Обозначая  ,
(3.26)  можно  переписать  в  виде .  Можно  показать,  что  определитель  равен  коэффициенту  изменения  площадей  при  линейном  преобразовании (3.26). При этом , если в результате преобразования направление обхода некоторого  контура  не  меняется,  и ,  если  оно  меняется  на  противоположное. Поясним это на примерах. 

 

Пример №17

 – растяжение вдоль 
оси OX  в 2 раза.  
(рис. 40). 

 

Пример №18

при этом направление обхода   от O  к  A , затем к  B  – по часовой стрелке, а соответствующее направление обхода  – против часовой стрелки. Геометрически данное преобразование – растяжение вдоль  OX  и OY  в 2 раза и отражение симметрично относительно оси OY  (рис. 41). 
 

Определение:  Линейное  преобразование  (3.26)  называется  невырожденным, если

В  этом  случае  существует  обратная  матрица  и  можно  найти . То есть, если , то не только у каждого прообраза существует единственный образ, но и наоборот: для каждого образа существует единственный прообраз. В этом случае говорят, что (3.26) устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками плоскости, или линейное преобразование плоскости на себя. 
Можно  показать,  что  невырожденное  линейное  преобразование  переводит прямую в прямую, а кривую второго порядка – в кривую второго порядка. 
 

Пример №19

Пусть  преобразование вырожденное. 
Какими будут образы точек, лежащих, например, на прямой  x + y – 1 = 0 
(рис. 42)?

Очевидно, что если , то есть у точки N(1,2) существует  бесконечное  множество  прообразов:  все  они  лежат  на  прямой x + y – 1 = 0.  Потому  данное  вырожденное  линейное  преобразование  не  устанавливает взаимно-однозначного соответствия между точками плоскости. 
 

Пример №20

Рассмотрим формулы (3.25):  

Очевидно, что поворот осей пдск на угол – линейное преобразование. 
Так как это линейное преобразование невырожденное, то существует  

Заметим, что в этом случае
 

Определение: Матрица  A называется ортогональной, если . 
Линейное  преобразование,  матрица  которого  ортогональна,  называется  ортогональным. 

Таким образом, поворот координатных осей – ортогональное линейное преобразование. 

Можно показать, что если  A  – ортогональная матрица, то (доказать самостоятельно). Таким образом, в результате ортогональных линейных преобразований на плоскости площади фигур остаются неизменными.  
 

Произведение линейных преобразований

Рассмотрим  матрицы Каждая  из  них определяет  линейное  преобразование  плоскости.  Если  M(x, y) –  некоторая точка плоскости, то под действием линейного преобразования  с матрицей  B   она перейдет в точку

В свою очередь точка  N  под действием линейного преобразования с матрицей C   перейдет в точку

Такое последовательное выполнение линейных преобразований называется их произведением:

Покажем, что произведение линейных преобразований также линейное преобразование, и найдем его матрицу. Подставим (3.27) в (3.28): 
 
То есть  

(3.29)  – система линейных уравнений, а потому произведение линейных преобразований линейно. Матрица (3.29)  имеет вид: 

Таким образом, матрица произведения линейных преобразований равна произведению их матриц. Само же правило умножения матриц, сформулированное в гл.1, находит объяснение в этом выводе.  
 

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Определение: Квадратичной формой относительно двух переменных  x  и  y  называется однородный многочлен второй степени:  

Уравнение задает на плоскости кривую второго порядка, причем, так как вместе с точкой  M(x, y) , лежащей на этой кривой,  ей  принадлежит  и  точка ,  кривая  симметрична  относительно 
начала  координат,  то  есть  является  центральной  кривой  (эллиптического  или гиперболического типа).

Предположим, что уравнение задает в пдск ХОУ эллипс. Если , то это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, а потому, хотя О(0, 0) – его центр, оси симметрии не совпадают с ОХ и ОУ (рис. 43). Тем не менее, заметим, что если оси системы  XOY  повернуть на 

угол , то в системе  эллипс будет  задаваться  каноническим  уравнением:  кривая  симметрична  относительно .  Найдем  линейное преобразование,  соответствующее этому повороту. 

Матрица  называется матрицей квадратичной формы (3.30).  
Пусть  
Вычислим
Таким образом, квадратичная форма может быть записана в матричном виде: 

Пусть  x, y – координаты точек плоскости в системе  XOY , а  – координаты точек  плоскости  в новой системе , где  кривая задается каноническим уравнением. Переход от “старых” координат к “новым” будем искать в виде  

(3.32) – ортогональное линейное преобразование с матрицей  

По определению ортогональной матрицы  

(В  результате  ортогонального  преобразования  не  происходит  изменение  площадей фигур, то есть фигуры не деформируются.) 
Чтобы узнать, как изменится матрица квадратичной формы в результате линейного  преобразования  (3.32),  подставим  (3.32)  в  (3.31): (свойство 5 умножения матриц)
(свойство 2 умножения матриц и равенство (3.33)) – матрица новой квадратичной формы.  

Так как в “новой” системе координат кривая должна задаваться каноническим уравнением, то есть в нем должно отсутствовать произведение координат  xy, то   имеет вид:
, где – неизвестные числа. Умножим равенство  на матрицу T  слева. Так как , то получим: 

По определению равных матриц имеем: 

Системы уравнений (3.34), (3.35) – линейные и однородные. Они имеют нетривиальное решение, если их определители равны 0. 

Это означает, что  являются решениями уравнения 

Уравнение (3.36) называется характеристическим уравнением матрицы  A  (характеристическим  уравнением  квадратичной  формы).  Его  решения  называются собственными значениями матрицы  A (квадратичной формы).  

Покажем, что дискриминант квадратного уравнения (3.36) положителен, то есть любая квадратичная форма двух переменных имеет 2 различных собственных значения. 
Вычислим определитель (3.36):      

Дискриминант
так как  (иначе квадратичная форма будет канонической). 
 

Таким образом, коэффициентами при  в каноническом виде квадратичной формы являются ее собственные значения, то есть решения уравнения (3.36).  

Решим (3.36) и подставим  в (3.34). Система имеет бесконечное множество решений и пусть  – одно их них. Так как система (3.34) однородная, то  – тоже решение. Подберем  k  так, чтобы вектор  
 был единичным:

Векторы   называется  собственными  векторами  квадратичной формы, соответствующими собственному значению   , или первыми собственными  векторами.  Их направление называется  первым  главным  направлением квадратичной формы. Таким образом, первым собственным вектором квадратичной формы называется любое ненулевое решение системы (3.34). 

Аналогично  подставим   в  (3.35)  и  найдем –  второй  собственный вектор, соответствующий собственному значению  r2 . Его направление  называется  вторым  главным  направлением  квадратичной  формы.  – второй единичный собственный вектор, то есть 

Можно показать, что . Кроме того,  – первый собственный вектор, а  – второй собственный 
вектор, поэтому ортами “новой” системы координат  , к которой мы перейдем в результате линейного преобразования с матрицей  T , являются единичные собственные векторы квадратичной формы, найденные как решения систем (3.34), (3.35). Направив оси “новой” системы координат вдоль собственных векторов  , получим систему координат,  в которой квадратичная форма будет иметь канонический вид
 

ВЫВОД.  

Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, надо: 

1. Составить и решить характеристическое уравнение (3.36); его решения – собственные значения – являются коэффициентами при  в каноническом виде квадратичной формы. 
2. Найти единичные собственные векторы, решив (3.34) и (3.35); они будут ортами новой системы координат .При этом если ось сонаправлена с   – канонический вид, который квадратичная форма имеет в системе .

Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:  

В результате невырожденного линейного преобразования с матрицей   T  квадратичная форма перейдет в квадратичную форму, линейная – в линейную, а свободный член   не изменится. Каждую группу слагаемых будем преобразовывать отдельно, а именно: найдем ортогональное преобразование, приводящее  квадратичную  форму  к  каноническому  виду, затем  посмотрим, как  в результате этого преобразования изменится линейная форма (ортогональное преобразование в нашем случае – это поворот осей).

После поворота осей подберем параллельный перенос новой системы  так, чтобы после него уравнение кривой стало каноническим. 

Пример №21

Привести к каноническому виду ранее полученное уравнение параболы (стр. 58) и построить ее:  

1) Составим матрицу квадратичной формы: 
2) Составим и решим характеристическое уравнение (3.36):  
– собственные значения. 
3) Найдем первый единичный собственный вектор, то есть решим систему (3.34): 
– первый собственный вектор.  
 – первый единичный  собственный вектор (орт оси ). 
4) Найдем второй единичный собственный вектор, то есть решим (3.35): 
 –  второй    собственный вектор.  
 – второй  единичный  собственный вектор (орт оси ) . 
Заметим, что ,так как скалярное произведение

В полученной таким образом системе координат , взяв несколько контрольных точек, нарисуем параболу (рxис. 44). 
Сравните  эскиз  (рис.  36)  и  данный  рисунок,  являющийся  результатом точных расчетов. 

 

Плоскость

Покажем, что плоскость в пространстве задается в любой пдск линейным уравнением относительно трех переменных  x, y, z. 
Если  A  – некоторая точка на плоскости  – вектор, перпендикулярный ей, то, во-первых, через  A  перпендикулярно  проходит единственная плоскость, а, во-вторых,  для любой точки вектор . Таким свойством обладают только точки, лежащие на .  
Чтобы  вывести  уравнение  плоскости,  зададим  в  пространстве  пдск  OXYZ .  В этой системе координат

Раскрыв скобки в (3.38), получим   
Обозначим , тогда уравнение (3.38) примет вид: 

(3.39) – общее уравнение плоскости в пространстве, – ее нормаль. 
 

Определение: Любой ненулевой вектор  , перпендикулярный плоскости , называется ее нормальным вектором, или нормалью.  

Особые случаи расположения плоскости

Выясним, какие особенности в расположении плоскости влечет за собой равенство нулю одного или нескольких коэффициентов в уравнении (3.39). 

1.  координаты точки O(0,0,0) удовлетворяют уравнению, значит, плоскость проходит через начало  координат. 
2. , так как , значит, плоскость . 
3. ,  так  как .Значит, плоскость .
4. так как . Значит, плоскость . 
5.  проходит через OX . 
6.  проходит через OY . 
7.  проходит через OZ . 
8.  или . 
9.  или . 
10.  или . 
11.  – плоскость YOZ . 
12.  – плоскость XOZ . 
13.  – плоскость XOY . 
     

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость  не параллельна ни одной из координатных осей и не проходит  через  начало  координат.  Тогда  она  отсекает  на  координатных  осях отрезки a,b,c (рис. 46). Выведем уравнение  такой плоскости.  
  

Рассмотрим общее уравнение плоскости. Так как , то   .
Аналогично  

Подставив А, В, С в общее уравнение, получим  

(3.40) – уравнение плоскости в отрезках. 
 

Пример №22

Вычислить объем тетраэдра, образованного плоскостями   


Перепишем уравнение плоскости в виде (3.40):   

уравнение данной плоскости в отрезках. Поэтому (рис. 47) 

 

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть в некоторой пдск заданы три точки, не лежащие на одной прямой: 
.  Известно,  что  через  них  проходит  единственная плоскость  . 

Чтобы вывести  ее уравнение, рассмотрим произвольную точку этой плоскости  M(x,y,z) . Тогда  – компланарные векторы, и их смешанное произведение равно нулю: . Тогда по формуле (2.9) получим 

(3.41) – уравнение плоскости, проходящей через три точки.

ЗАМЕЧАНИЕ. Если точки лежат на одной прямой, то векторы    коллинеарны и   их соответствующие координаты пропорциональны. Поэтому в определителе (3.41) две строки пропорциональны и по свойству 6 определителей он тождественно равен нулю, что означает, что  координаты любой точки   M(x,y,z) удовлетворяют уравнению (3.41). Это иллюстрация того факта, что через прямую и любую точку можно провести плоскость.  
 

Пример №23

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки  


 

Угол между плоскостями

Определение: Углом между плоскостями называется любой из двух смежных  двугранных  углов,  образованных  плоскостями  при  их  пересечении. 

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0  или  радиан. 

Рассмотрим плоскости и 
. 
Очевидно,
или  

Если    –0 условие перпендикулярности плоскостей.  

Если  – условие параллельности плоскостей.

Пример №24

Найти угол между плоскостями  

 плоскости перпендикулярны. 
 

Прямая линия в пространстве

Всякая линия в пространстве есть результат пересечения двух поверхностей. В частности прямую линию можно рассматривать  как результат пересечения  двух плоскостей  

и 

Если  не  параллельна ,  то есть не  коллинеарен ,  то  система уравнений  

определяет прямую линию в пространстве. 
  

Уравнения (3.42) называются общими уравнениями прямой в пространстве. 
Очевидно,  одна  и  та  же  прямая  может  быть результатом пересечения разных  пар плоскостей  (рис.  48),  поэтому  прямую  в  пространстве  можно  задать    различными  способами. 

Уравнения (3.42) неудобны в использовании, так как не дают представления о расположении  прямой  относительно  выбранной  системы координат.  
Поэтому выведем более  удобные  уравнения,  эквивалентные  (3.42),  то  есть  из  бесконечного  множества плоскостей, проходящих через данную прямую, выберем в некотором смысле более заметную пару.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Пусть  в  некоторой  пдск  задана  прямая ,  проходящая  через  точку   параллельно  ненулевому  вектору .  Такой  вектор называется направляющим вектором этой прямой.  
                                                                      

Для произвольной точки   вектор   где  t  – не-который  числовой  множитель.  Кроме того,   –  радиус-вектор точки  M ,  – радиус вектор точки  A  
(рис. 49).  

Отсюда                                             
(3.43) – векторное уравнение прямой в пространстве. Из (3.43) получаем: 

(3.44) – параметрические уравнения прямой в пространстве,  – параметр.  

Выразим из каждого уравнения (3.44) параметр:  

Тогда
(3.45)  –  канонические  уравнения  прямой  в  пространстве,  то  есть  уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору .  

Заметим, что уравнения (3.45) задают прямую  как результат пересечения плоскостей   

одна из которых параллельна OZ , а вторая – OY   или как

где первая плоскость параллельна OZ , а вторая – OX . 

Если прямая  проходит через две заданные точки , то  направляющий вектор этой прямой, поэтому из (3.45) получим: 

(3.46) – уравнения пространственной прямой, проходящей через две заданные точки.  
 

Угол между прямыми в пространстве

Рассмотрим прямые, заданные в некоторой пдск каноническими уравнениями:  

и   

 

Определение:  Углом  между  прямыми  в  пространстве  называется угол между двумя пересекающимися прямыми, проходящими через произвольную точку пространства параллельно данным. 
Из определения следует, что . Если , то  
 
1)–  условие перпендикулярности прямых. 
2)  –  условие  параллельности  прямых  в пространстве.

Пример №25

Найти угол между прямой и прямой , проходящей через точки  . 

Заметим, что уравнение прямой  имеет вид: . В данном случае  ноль  в  знаменателе    писать  принято:  он  означает,  что  направляющий вектор прямой (и сама прямая) параллелен плоскости  XOZ . Эта прямая является результатом пересечения плоскостей
 

Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду

Рассмотрим  прямую , заданную  общими  уравнениями (3.42) в пространстве:  

Привести эти уравнения к каноническому виду можно двумя способами: 

1. найти  координаты  какой-либо  точки ,  лежащей  на , ее направляющий вектор  s  и написать уравнения (3.45); 
2. найти координаты двух точек, лежащих на , и воспользоваться уравнениями (3.46). 

1 способ.

Координаты точки  A – любое частное решение системы линейных уравнений (3.42). Эта система имеет бесконечное множество решений, так как  ранги  основной  и  расширенной  матриц ,  а  число  неизвестных . 
 – направляющий вектор прямой , поэтому – нормаль плоскости – нормаль плоскости . Из определения векторного произведения векторов следует, что тогда . Так как  – произвольный вектор, параллельный , то будем  считать, что .

Пример №26

Привести уравнения прямой  к каноническому виду. 
Найдем  какое-нибудь  частное  решение  этой  системы:  пусть,  например, 
,  то  есть  точка  A(1,2,0) лежит  на прямой. 

Таким образом,  – канонические уравнения данной прямой. 
 

2  способ.  

Найдем  два  произвольных  частных  решения  системы  уравнений, задающей прямую. 
В рассмотренном примере . Пусть теперь 

тогда  – направляющий вектор  прямой, который  отличается  от  найденного  ранее  только  знаком.  Поэтому  уравнения совпадают (с точностью до знака) с уже найденными. 
 

Угол между прямой и плоскостью

Определение: Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. 
Пусть в некоторой пдск заданы плоскость  

и прямая

Определение общих точек прямой и плоскости

Чтобы найти общие точки прямой :   и плоскости, надо решить систему  линейных уравнений: 

Решение этой системы будет наименее трудоемким, если перейти  к параметрическим  уравнениям прямой (3.44): 

1) Пусть . Это значит, что прямая не параллельна плоскости, а потому они имеют одну общую точку. Из (3.47) найдем   
 
и по формулам (3.44) M(x,y,z) – их  точку пересечения. 

2) Пусть . Это означает, что в (3.47) решений нет: выполнено  условие  параллельности  прямой  и  плоскости,  при  этом  точка  , но не лежит в плоскости , значит, прямая и плоскость общих точек не имеют. 

3)  Пусть . Тогда любое – решение (3.47) и система имеет бесконечно много решений: выполнено условие параллельности прямой и плоскости и  точка   , лежащая на прямой, лежит в плоскости. Это значит, что прямая лежит в плоскости, то есть имеет с ней бесконечное множество  общих точек. 
 

Пример №27

Найти    проекцию    точки   на    плоскость (рис. 53). 

Пусть прямая проходит через точку  М  перпендикулярно плоскости  . Точка ее пересечения с плоскостью и будет искомой проекцией. В качестве направляющего вектора можно взять нормаль к плоскости . 

Напишем канонические уравнения  прямой  (3.45):

 Подставим   x,y,z   в уравнение плоскости: 

, то есть  P 1,2,0  – искомая проекция.                                                     
 

Цилиндрические поверхности

Уравнение  F(x, y, z)=0  задает в пространстве некоторую поверхность.  

Пусть  уравнение содержит только две переменные, например,  F(x,y)=0.Рассмотренное  в  плоскости  XOY ,  оно  задает  некоторую  кривую.  Но  ему  будут удовлетворять и все точки пространства, которые проецируются в точки  этой кривой, так как в уравнении отсутствует  z , то есть все точки  M(x,y,z)  у которых  х и у  связаны соотношением   – произвольно. 

 

Пример №28

Построить  поверхность  
На  плоскости  это  уравнение  задает окружность  с центром О(0, 0) и  R=1. 
В  пространстве  ему  удовлетворяют координаты  всех  точек,  проекция  которых  на  плоскость  ХОУ  лежит  на этой  окружности.  Очевидно,  что  эта поверхность  –  круговой    цилиндр 
(рис. 54).  
Цилиндрические поверхности бывают не только круговыми.

Определение: Цилиндрической называется поверхность, полученная движением  прямой,  параллельной  некоторому  вектору,  и  пересекающей  при движении некоторую кривую. При этом движущаяся прямая называется образующей,  а  кривая,  которую  она  пересекает,  называется  направляющей  цилиндрической поверхности. 
Для поверхности   образующая параллельна оси OZ  (так как в уравнении  z  отсутствует), а направляющей является окружность в плоскости  XOY . 

ВЫВОД. Если уравнение поверхности содержит только две переменные, то оно задает цилиндрическую поверхность. У поверхности  F(y,z) ,образующая параллельна  OX , а направляющая лежит в плоскости  YOZ . Для поверхности  F(x,z) ,образующая параллельна OY , направляющая в плоскости  XOZ . 
 

Пример №29

Построить и назвать поверхности Эти уравнения задают цилиндрические поверхности. В первом случае направляющей является парабола в плоскости  YOZ , а образующая параллельна  OX  (рис. 55). Во втором – образующая синусоида в плоскости  XOZ , образующая параллельна OY  (рис. 56).

Поверхности вращения

Определение: Поверхностью вращения называется поверхность, полученная  в  результате  вращения  плоской  кривой  вокруг  оси,  лежащей  в  ее 
плоскости. 

Из определения следует, что сечением такой поверхности любой плоскостью, перпендикулярной оси вращения, является окружность.  

Пусть в плоскости  YOZ  задана кривая – координаты точки  в  плоской  системе  координат  YOZ .  Эта  кривая  вращается  вокруг  оси OZ . Выведем уравнение поверхности вращения. 

Пусть  M(x,y,z)  –  произвольная  точка  на  поверхности, ,  z–  центр  окружности сечения,  проходящего  через точку  M ,  а   –  точка, лежащая  на кривой и одновременно в рассматриваемом  сечении (рис. 57). 

Тогда – радиусы сечения. 
Но

Таким образом, уравнение поверхности вращения получим, если в уравнении  кривой  заменим  на  –  на  z.  Тогда  получим: 
 – уравнение поверхности вращения (OZ  – ось вращения). 

Очевидно, что  если  кривая  F(y,z)=0 вращается    вокруг  OY ,  то  уравнение 
поверхности вращения имеет вид:  

Некоторые поверхности второго порядка

1. Пусть эллипс вращается вокруг оси OY .  
 

Полученная поверхность является поверхностью  второго  порядка, так ее уравнение  – второй  степени  относительно  переменных  x,y,z .  Она  называется эллипсоидом вращения (рис. 58). 
Поверхность, задаваемая уравнением   , называется трехосным эллипсоидом. 

2. Если гипербола  вращается вокруг оси OZ , то уравнение 

поверхности вращения имеет вид   

или  

Такая поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения (рис. 59). 

3. Если гипербола   вращается вокруг оси  OY , то уравнение поверхности имеет вид   . Такая поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения (рис. 60). 

4. Если пара пересекающихся прямых   вращается вокруг оси OY , то получается  конус вращения с уравнением  или   (рис. 61). 

5. При вращении параболы  вокруг оси OZ  получается поверхность , которая называется эллиптическим параболоидом вращения (рис. 62). 

Лекции по предметам:

1. Математика
2. Алгебра
3. Линейная алгебра
4. Векторная алгебра
5. Геометрия
6. Высшая математика
7. Дискретная математика
8. Математический анализ
9. Теория вероятностей
10. Математическая статистика
11. Математическая логика