Как найти параметр кубической решетки

Как найти параметр кубической решетки

Если кристалл кубической системы
обладает плотностью ρ (г/см3),
известен тип решетки (простая, объемно-
центрированная кубическая или
гранецентрированная[ кубическая), то
расчет производится следующим образом.

Число атомов, n необходимое
для построения данного куба (в таблице).
Масса куба определяется через массу
атомов (для металлов):
,
где А – атомная масса металла, N
– число Авогадро. Объем элементарной
ячейки определяется через плотность
ρ:
.
Длина ребра куба определяется по формуле:

(см, м).

Таблица. Важнейшие характеристики
некоторых кристаллических структур.

То же, %

52,4

68,0

74,0

34,0

74,0

Плотность упаковки

π/6

(π√3)/8

(π√2)/6

(π√3)/16

(π√2)/6

Атомный радиус
(а-ребро ячейки)

а√2

(а√3)/4

(а√2)/4

(а√3)/8

а/2

Число атомов

В элементарной
ячейке

1

2

4

8

2

Координаци-онное
число

6

8

12

4

12

Характеристики

Простой куб

Объемно-центрированный
куб

Гранецентриро-ванный
куб

Решетка алмаза

Гексагональная
плотная упаковка

Пример. Определить длину ребра куба
элементарной кристаллической ячейки
металлического свинца, имеющего решетку
типа ГЦК и плотность 11340 кг/м3 .

a

Решение:

  1. Изобразим элементарную кристаллическую
    ячейку и обозначим длину ребра куба
    (а).

  2. Находим n– число
    частиц, необходимое и достаточное для
    построения ячейки:

    1. По формуле определяем длину ребра
      куба.

    1. Определяем атомный радиус свинца, по
      его величине делаем вывод о физических
      свойствах Pb.

  1. Зная плотность свинца и число n
    можно определить объем элементарной
    ячейки:

  1. Можно оценить, сколько молей Pb
    содержится в 1 м3 твердого свинца.

  2. Оценить сколько атомов содержится в 1
    м3 Pb.

  3. Сколько весит один атом Pb.

  4. Рассчитать плотность упаковки и сделать
    вывод.

1.3. Расчет энергии кристаллической решетки.

Под энергией решетки U
понимают ту энергию, которая выделяется
при образовании кристаллов из частиц,
составляющих решетку и находящихся в
свободном состоянии (состояние идеального
газа) при той же температуре.

Для ионных кристаллов такими частицами
являются ионы, для атомных – атомы и
т.д..

Значение U вычисляют
разными способами. Рассмотрим способ
расчета на основе кругового процесса
Борна – Габера для NaCl:

,

где ∆H0обр
– энтальпия образования NaCl
из элементарных натрия и хлора,
кДж/моль.

∆H0субл.
– энтальпия сублимации металлического
натрия, кДж/моль.

INa
–энергия ионизации натрия, кДж/моль.

Eсвязи – энергия
диссоциации связи Cl –
Cl, кДж/моль.

ECl –
энергия сродства атомов хлора к электрону,
кДж/моль.

U – энергия кристаллической
решетки NaCl, кДж/моль.

Необходимые справочные данные приведены
в приложении.

Капустинский А.Ф. предложил уравнение
для расчета энергии моля кристалла
имеющего ионную решетку:


(кДж/моль)

z1 и z2
– валентность ионов.

r1 и r2
– радиусы ионов для координационного
числа 6,Å

∑n – число ионов
в молекуле.

Необходимые справочные данные приведены
в таблицах.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Определение параметров элементарной кристаллической ячейки в виде параллелепипеда с параметрами длины рёбер a, b, c и с углами между рёбрами

α, β, γ

Постоя́нная решётки, или параметр решётки — размеры элементарной кристаллической ячейки кристалла. В общем случае элементарная ячейка представляет собой параллелепипед с различными длинами рёбер, обычно эти длины обозначают как a, b, c. Но в некоторых частных случаях кристаллической структуры дли́ны этих рёбер совпадают. Если к тому же выходящие из одной вершины рёбра равны и взаимно перпендикулярны, то такую структуру называют кубической. Структуру с двумя равными рёбрами, находящимися под углом 120 градусов, и третьим ребром, перпендикулярным им, называют гексагональной.

Принято считать что, параметры элементарной ячейки описываются 6 числами: 3 длинами рёбер и 3 углами между рёбрами, принадлежащими одной вершине параллелепипеда.

Например, элементарная ячейка алмаза — кубическая и имеет параметр решётки 0,357 нм при температуре 300 К.

В литературе обычно не приводят все шесть параметров решётки, только среднюю длину рёбер ячейки и тип решётки.

Размерность параметров решётки a, b, c в СИ — длина. Величину, ввиду малости, обычно приводят в нанометрах или ангстремах (1 Å = 0,1 нм).

Параметры решётки могут быть экспериментально определены методами рентгеноструктурного анализа (исторически первый метод, развитый в начале XX века) или, начиная с конца XX века, — атомно-силовой микроскопией. Параметр кристаллической решётки может использоваться в качестве природного эталона длины нанометрового диапазона.[1][2]

Объём элементарной ячейки[править | править код]

Объём элементарной ячейки можно вычислить, зная её параметры (длины и углы параллелепипеда). Если три смежных ребра ячейки представить в виде векторов, то объём ячейки V равен (с точностью до знака) тройному скалярному произведению этих векторов (т.е. скалярному произведению одного из векторов на векторное произведение двух других). В общем случае

{displaystyle V=abc{sqrt {1+2cos alpha cos beta cos gamma -cos ^{2}alpha -cos ^{2}beta -cos ^{2}gamma }}.}

Для моноклинных решёток α = γ = 90°, и формула упрощается до

{displaystyle V=abcsin beta .}

Для орторомбических, тетрагональных и кубических решёток угол β также равен 90°, поэтому[3]

{displaystyle V=abc.}

Для тригональных (ромбоэдрических) решёток α = β = γ ≠ 90°, а также a = b = c, поэтому

{displaystyle V=a^{3}{sqrt {1+2cos ^{3}alpha -3cos ^{2}alpha }}.}

Слоистые полупроводниковые гетероструктуры[править | править код]

Постоянство параметров решётки разнородных материалов позволяет получить слоистые, с толщиной слоёв в единицы нанометров сэндвичи разных полупроводников. Этот метод обеспечивает получение широкой запрещённой зоны во внутреннем слое полупроводника и используется при производстве высокоэффективных светодиодов и полупроводниковых лазеров.

Согласование параметров решётки[править | править код]

Параметры решётки важны при эпитаксиальном выращивании тонких монокристаллических слоёв другого материала на поверхности иного монокристалла — подложки. При значительной разнице параметров решётки материалов трудно получить монокристалличность и бездислокационность наращиваемого слоя. Например, в полупроводниковой технологии для выращивания эпитаксиальных слоёв монокристаллического кремния в качестве гетероподложки обычно используют сапфир (монокристалл оксида алюминия), так как оба имеют практически равные постоянные решётки, но с разным типом сингонии, у кремния — кубическая типа алмаза, у сапфира — тригональная.

Обыкновенно параметры решётки подложки и наращиваемого слоя выбирают так, чтобы обеспечить минимум напряжений в слое плёнки.

Другим способом согласования параметров решёток является метод формирования переходного слоя между плёнкой и подложкой, в котором параметр решётки изменяется плавно (например, через слой твёрдого раствора с постепенным замещением атомов вещества подложки атомами выращиваемой плёнки, так чтобы параметр решётки слоя твёрдого раствора у самой плёнки совпадал с этим параметром плёнки).

Например, слой фосфида индия-галлия с шириной запрещённой зоны 1,9 эВ может быть выращен на пластине арсенида галлия с помощью метода промежуточного слоя.

См. также[править | править код]

  • Триклинная сингония
  • Моноклинная сингония
  • Ромбическая сингония
  • Тетрагональная сингония
  • Кубическая сингония

Примечания[править | править код]

  1. ↑ R. V. Lapshin. Automatic lateral calibration of tunneling microscope scanners (англ.) // Review of Scientific Instruments  (англ.) (рус. : journal. — USA: AIP, 1998. — Vol. 69, no. 9. — P. 3268—3276. — ISSN 0034-6748. — doi:10.1063/1.1149091.
  2. ↑ R. V. Lapshin. Drift-insensitive distributed calibration of probe microscope scanner in nanometer range: Real mode (англ.) // Applied Surface Science : journal. — Netherlands: Elsevier B. V., 2019. — Vol. 470. — P. 1122—1129. — ISSN 0169-4332. — doi:10.1016/j.apsusc.2018.10.149.
  3. ↑ Dept. of Crystallography & Struc. Biol. CSIC. 4. Direct and reciprocal lattices (4 июня 2015). Дата обращения: 9 июня 2015. Архивировано 4 мая 2021 года.
Источник

Кристаллическую решетку характеризуют следующие основные параметры:

· период решетки;

· атомный радиус;

· энергия решетки;

· координационное число;

· базис и коэффициент компактности решетки.

Периодом решетки называется расстояние между центрами двух соседних частиц (атомов, ионов) в элементарной ячейке решетки (см. рис. 1.2, а, b). Периоды решетки выражаются в ангстремах (1 = 10-8 см). Параметры решетки металлов находятся в пределах 0,2 – 0,7 нм и определяются методом рентгеноструктурного анализа с точностью до третьего, а при необходимости и до четвертого или даже пятого знака после запятой.

Под атомным радиусом понимают половину межатомного расстояния между центрами ближайших атомов в кристаллической решетке элемента при нормальной температуре и атмосферном давлении. Однако атомный радиус не является постоянной величиной, а изменяется в зависимости от ряда факторов, важнейшими из которых являются координационное число и тип химической связи между атомами в кристалле.

Энергия кристаллической решетки определяется как энергия, выделяющаяся при образовании кристалла из ионов, атомов или других частиц, образующих кристалл, когда исходное состояние этих частиц газообразное. От величины энергии решетки зависят такие свойства вещества, как температура плавления, модуль упругости, прочность, твердость и др. Увеличение валентности атомов приводит к увеличению энергии решетки.

Координационное число (К), показывает количество атомов, находящихся на наиболее близком и равном расстоянии от любого выбранного атома в решетке.

Базисом решетки называется количество атомов, приходящихся на одну элементарную ячейку решетки.

Коэффициент компактности (?) решетки определяется отношением объема, занимаемого атомами (Va), ко всему объему решетки (Vp), т.е.

? = Va/Vp. Представленные на рис. 1.2 (сверху) типы кристаллических решеток схематично отражают взаимное расположение атомов (ионов) в кристалле. Если условно считать атомы шарами одинакового диаметра, то снизу на рис. 1.2 дано более точное представление о действительном расположении атомов в кристаллах ОЦК, ГЦК и ГПУ

Пример: Гранецентрированная кубическая решетка (рис. 1.2, б) имеет восемь атомов по вершинам и по одному атому в центре граней куба. Определим для нее такие понятия, как «координационное число» и «базис» решетки.

Оперируя с элементарной ячейкой, нельзя забывать, что в реальном кристалле такая ячейка окружена со всех сторон другими ячейками и поэтому не все атомы, отно

сящиеся к рассматриваемой ячейке, принадлежат только этой ячейке. Для того чтобы это понять, рекомендуется изобразить на клетчатой бумаге элементарную ячейку и пристроить к ней со всех сторон другие ячейки. Важность такого построения выявляется при решении конкретных задач.

Из рис. 1.2, б видно, что минимальное расстояние между атомами в решетке ГЦК равно половине диагонали грани. Пристроив около какой-либо вершины куба другие примыкающие к ней ячейки, подсчитаем координационное число: к любой вершине куба реально пристроены 8 элементарных ячеек; в каждой ячейке на расстоянии η диагонали грани находится три атома; каждая грань обслуживает две ячейки, поэтому

К = (3 · 8)/2 = 12.

Источник

Добавить комментарий