Непрерывные распределения вероятностей и их параметры
- Общие свойства непрерывного распределения
- Функция распределения непрерывной случайной величины
- Числовые характеристики непрерывного распределения
- Таблица непрерывных распределений, их параметров и числовых характеристик
- Примеры
п.1. Общие свойства непрерывного распределения
Если случайная величина x может принимать любые значения в интервале (a;b), она называется непрерывной случайной величиной.
Функция (p(x)) от значения случайной величины, равная вероятности получения этого значения в испытании, называется плотностью распределения.
Свойства плотности распределения: begin{gather*} p(x)geq 0\ int_{-infty}^{+infty}p(x)dx=1 text{(условие нормировки)} end{gather*}
Например:
Пусть случайная величина равномерно распределена на отрезке (xin [a;b]), т.е. (p(x)=c=const). Из условия нормировки получаем: $$ int_{-infty}^{+infty}p(x)dx=int_{a}^{b}ccdot dx=ccdot x|_{a}^{b}=c(b-a)=1Rightarrow c=frac{1}{b-a} $$ Плотность равномерного непрерывного распределения: $$ p(x)= begin{cases} frac{1}{b-a}, xin [a;b]\ 0, xnotin [a;b] end{cases} $$
п.2. Функция распределения непрерывной случайной величины
Функцией распределения непрерывной случайной величины называют функцию, которая определяет вероятность, что значение случайной величины x не превышает граничное значение t: $$ F(t)=P(xleq t)=int_{-infty}^t p(x)dx $$ Вероятность для случайной величины попасть в интервал (cleq xleq d) определяется интегралом от плотности вероятности: $$ P(cleq xleq d)=int_{c}^d p(x)dx=F(d)-F(c) $$ и равна разности значений функции распределения на концах интервала.
Для непрерывной случайной величины график (F(x)) является монотонно возрастающей гладкой кривой. Область значений (F(x)in [0;1]).
Предел (F(x)) слева равен 0, предел справа равен 1: $$ lim_{xrightarrow -infty}F(x)=0; lim_{xrightarrow +infty}F(x)=1 $$ Например:
Найдем функцию распределения для равномерного распределения с плотностью: $$ p(x)= begin{cases} frac{1}{b-a}, xin [a;b]\ 0, xnotin [a;b] end{cases} $$ Для всех (xlt a) $$ F(x)=int_{-infty}^a p(x)dx=int_{-infty}^acdot dx=0 $$ Для всех (aleq xleq b) begin{gather*} F(t)=0+int_{a}^t p(x)dx=int_{a}^tfrac{1}{b-a}cdot dx=frac{1}{b-a}cdot x|_{a}^t=frac{t-a}{b-a}\ F(x)=frac{x-a}{b-a} end{gather*} Для всех (xgt b) begin{gather*} F(x)=F(b)+int_{b}^{+infty} p(x)dx=1+0=1 end{gather*} Получаем: $$ F(x)= begin{cases} 0, xlt a\ frac{x-a}{b-a}, xin [a;b]\ 1, xgt b end{cases} $$ Графики плотности распределения и функции распределения для равномерно распределенной непрерывной величины: 
п.3. Числовые характеристики непрерывного распределения
Числовыми характеристиками непрерывного распределения являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение (СКО).
Если для дискретных распределений числовые характеристики определяются через суммы (см. §62 данного справочника), то для непрерывных распределений для этого используются интегралы.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины (x) с плотностью распределения (p(x)) равно интегралу: $$ M(X)=int_{-infty}^{+infty}xcdot p(x)dx $$
Дисперсия непрерывной случайной величины (x) с плотностью распределения (p(x)) равна интегралу: $$ D(X)=int_{-infty}^{+infty}(x-M(x))^2cdot p(x)dx=int_{-infty}^{+infty}x^2cdot p(x)dx-M^2(x) $$
Среднее квадратичное отклонение (СКО) непрерывной случайной величины – это корень квадратный от дисперсии: $$ sigma(X)=sqrt{D(X)} $$
Например:
Найдем числовые характеристики равномерного распределения. $$ p(x)= begin{cases} frac{1}{b-a}, xin [a;b]\ 0, xnotin [a;b] end{cases} $$ Мат. ожидание: begin{gather*} M(x)=int_{-infty}^{+infty} xcdot p(x)dx=int_{a}^{b} xcdotfrac{1}{b-a}dx=frac{1}{b-a}cdotfrac{x^2}{2}|_{a}^{b}=frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\ =frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}=frac{a+b}{2} end{gather*} Т.е., среднее значение (центр тяжести) равномерного распределения – это середина отрезка.
Дисперсия: begin{gather*} D(x)=D(X)=int_{-infty}^{+infty}x^2cdot p(x)dx-M^2(x)=D(X)=int_{a}^{b}x^2cdotfrac{1}{b-a}dx-left(frac{a+b}{2}right)^2=\ =frac{1}{b-a}cdotfrac{x^3}{3}|_{a}^{b}-left(frac{a+b}{2}right)^2=frac{b^3-a^3}{3(b-a)}-frac{b^3-a^3}{3(b-a)}-frac{(a+b)^2}{4}=frac{a^2+ab+b^2}{3}-frac{a^2+2ab+b^2}{4}=\ =frac{a^2-2ab+b^2}{12}=frac{(b-a)^2}{12} end{gather*} СКО: $$ sigma(x)=sqrt{D(x)}=frac{b-a}{2sqrt{3}} $$
п.4. Таблица непрерывных распределений, их параметров и числовых характеристик
| Название | Принятое обозначение |
Плотность распределения |
Мат. ожидание |
Дисперсия |
| Непрерывное равномерное | (U(a,b)) | begin{gather*} p(x)=frac{1}{b-a}\ xinleft[a;bright] end{gather*} | (frac{a+b}{2}) | (frac{(b-a)^2}{12}) |
| Нормальное (Гаусса) | (N(mu,sigma^2)) | begin{gather*} p(x)=frac{1}{sqrt{2pisigma^2}}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}\ xinmathbb{R} end{gather*} | (mu) | (sigma^2) |
| Экспоненциальное | (Exp(lambda)) | begin{gather*} p(x)=lambda e^{-lambda x}\ lambdagt 0, xgeq 0 end{gather*} | (frac1lambda) | (frac{1}{lambda^2}) |
п.5. Примеры
Пример 1. Непрерывная случайная величина x задана плотностью распределения: $$ p(x)= begin{cases} Ax^2, xin [0;2]\ 0, xnotin [0;2] end{cases} $$ Найдите множитель A, функцию распределения, мат. ожидание, дисперсию и СКО случайной величины x. Постройте графики плотности распределения и функции распределения. Чему равна вероятность, что случайная величина окажется в интервале (frac12leq xleq 1)?
Находим множитель A из условия нормировки: begin{gather*} int_{-infty}^{+infty}p(x)dx=int_{0}^{2}Ax^2dx=1\ Acdotfrac{x^3}{3}|_{0}^{2}=frac{A}{3}(2^3-0)=frac{8A}{3}=1Rightarrow A=frac38\ p(x)= begin{cases} frac38 x^2, xin [0;2]\ 0, xnotin [0;2] end{cases} end{gather*} График плотности распределения:
Функция распределения (F(x)) для (xlt 0) равна 0, для (xgt 2) равна 1.
Найдем (F(x)) в интервале (xinleft[0;2right]): begin{gather*} F(t)=int_{0}^{t}p(x)dx=frac38int_{0}^{t}x^2dx=frac38cdotfrac{x^3}{3}|_{0}^{t}=frac{t^3}{8}Rightarrow F(x)=frac{x^3}{8}\ F(x)= begin{cases} 0, xlt 0\ frac{x^3}{8}, xin [0;2]\ 1, xgt 2 end{cases} end{gather*} График функции распределения:
Найдем математическое ожидание: begin{gather*} M(x)=int_{-infty}^{+infty}xcdot p(x)dx=int_{0}^{2}xcdotfrac38 x^2dx=frac38int_{0}^{2}x^3dx=frac38cdotfrac{x^4}{4}|_{0}^{2}=frac{3}{32}cdot 2^4=1,5 end{gather*} Найдем дисперсию: begin{gather*} D(x)=int_{-infty}^{+infty}x^2cdot p(x)dx-M^2(x)=int_{0}^{2}x^2cdotfrac38 x^2dx-1,5^2=frac38int_{0}^{2}x^4dx-1,5^2=\ =frac38cdotfrac{x^5}{5}|_{0}^{2}-1,5^2=frac{3}{40}cdot 2^5-1,5^2=2,4-2,25=0,15 end{gather*} Найдем СКО: $$ sigma(x)=sqrt{D(x)}=sqrt{0,15}approx 0,387 $$ Вероятность для x оказаться в интервале (frac12leq xleq 1) равна: $$ Pleft(frac12leq xleq 1right)=F(1)-Fleft(frac12right)=frac{1^3}{8}-frac{left(frac12right)^3}{8}=frac{7}{64} $$
Пример 2. Непрерывная случайная величина x задана функцией распределения: $$ F(x)= begin{cases} 0, xlt c\ frac{(x+2)^2}{4}, cleq xleq d\ 1, xgt d end{cases} $$ Найдите границы интервала c и d, плотность распределения, мат. ожидание, дисперсию и СКО случайной величины x. Постройте графики плотности распределения и функции распределения. Чему равна вероятность, что случайная величина окажется в интервале (-1leq xleq -frac12)
Границы интервала ищем из условий: begin{gather*} F(c)=frac{(c+2)^2}{4}=0Rightarrow c=-2\ F(d)=frac{(d+2)^2}{4}=1Rightarrow d=0 end{gather*} Получаем: begin{gather*} F(x)= begin{cases} 0, xlt -2\ frac{(x+2)^2}{4}, -2leq xleq 0\ 1, xgt 0 end{cases} end{gather*} График функции распределения:
Плотность распределения равна производной от функции распределения: $$ p(x)=F'(x) $$ Для (xlt -2cup xgt 0) получим (p(x)=0), т.к. производная от постоянной равна 0.
На значащем интервале: $$ p(x)=left(frac{(x+2)^2}{4}right)=frac{2(x+2)}{4}=frac{x+2}{2} $$ Получаем: begin{gather*} p(x)= begin{cases} frac{x+2}{2}, -2leq xleq 0\ 0, xlt -2cup xgt 0 end{cases} end{gather*} График плотности распределения:
Найдем математическое ожидание: begin{gather*} M(x)=int_{-infty}^{+infty}xcdot p(x)dx=int_{-2}^{0}xcdotfrac{x+2}{2}dx=frac12int_{-2}^{0}(x^2+2x)dx=frac12cdotleft(frac{x^3}{3}+x^2right)|_{-2}^{0}=\ =frac12left(0-left(frac{-8}{3}+4right)right)=-frac23 end{gather*} Найдем дисперсию: begin{gather*} D(x)=int_{-infty}^{+infty}x^2cdot p(x)dx-M^2(x)=int_{-2}^{0}x^2cdotfrac{x+2}{2}dx-left(-frac23right)^2=\ =frac12int_{-2}^{0}(x^3+2x^2)dx-frac49=frac12cdotleft(frac{x^4}{4}+frac{2x^3}{3}right)|_{-2}^{0}-frac49=frac12left(0-left(frac{16}{4}-frac{2cdot 8}{3}right)right)-frac49=\ =frac23-frac49=frac29 end{gather*} Найдем СКО: $$ sigma(x)=sqrt{D(x)}=frac{sqrt{2}}{3} $$ Вероятность для x оказаться в интервале (-1leq xleq -frac12) равна: $$ Pleft(-1leq xleq -frac12right)=Fleft(-frac12right)-F(-1)=frac{left(-frac12+2right)^2}{4}-frac{(-1+2)^2}{4}=frac{1,5^2-1^2}{4}=frac{9}{16} $$
Тема 23. Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины
Пренебрежение различием между близкими значениями случайной величины широко используется для упрощения описания и изучения случайных величин. В связи с этим вводится следующее определение.
Случайные величины, значения которых заполняют непрерывные интервалы, т.е. бесконечно мало отличаются друг от друга, называются непрерывными
случайными величинами.
Из этого определения следует, что непрерывные случайные величины могут принимать сколько угодно много разных близких значений и их нельзя задавать законом распределения. Для задания непрерывных случайных величин используются функции распределения и плотности распределения.
Напомним, что функцией распределения (как для дискретной, так и для непрерывной) случайной величины называют функцию F (x) , определяющую ве-
роятность того, что случайная величина X в результате испытания примет зна-
|
чение, меньшее x , т.е.: |
|
|
F (x) = P( X < x) |
(5.1) |
На рис. 2.8 представлен график функции распределения непрерывной случайной величины.
F(x)
1
Рис. 2.8. График функции распределения непрерывной случайной величины
Плотностью распределения случайной величины X называется произ-
водная от ее функции распределения FX (x) . Плотность распределения обозна-
|
чается |
f X (x) . Следовательно, согласно определению: |
|||
|
f (x) = |
dF (x) |
(5.2) |
||
|
dx |
||||
|
Для непрерывной случайной величины функция F (x) и плотность |
f (x) |
|||
|
распределения удовлетворяют следующим условиям: |
||||
|
1) |
при всех действительных x справедливо: |
|||
|
f (x) ≥ 0 ; |
(5.3) |
63
2) для любых a < b справедливо равенство:
|
P(a ≤ X < b) = ∫b |
f (x)dx = F(b) − F(a) ; |
(5.4) |
|
a |
||
|
3) |
||
|
F(+∞) = ∫∞ f (x)dx =1; |
(5.5) |
|
|
−∞ |
4) вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.
Эти свойства вытекают из определения плотности распределения и свойств функции распределения. Неотрицательность выводится из того, что функция распределения всегда не убывает. Второе свойство определяется на основе основного свойства функции распределения. Последнее свойство есть важный частный случай второго и выполняется потому, что значения случайной величины всегда удовлетворяют условию: −∞ < X < ∞. Оно называется условием нормировки.
Геометрически (рис. 2.9) основные свойства плотности распределения означают, что:
1)вся кривая плотности распределения лежит не ниже оси абсцисс;
2)площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции плотности распределения, снизу осью абсцисс, слева и справа прямыми x = a
иx = b , равна вероятности попадания случайной величины в интервал a < X < b ;
3)полная площадь, ограниченная кривой плотности распределения и осью абсцисс, равна единице.
f(x)
Рис. 2.9. График плотности распределения непрерывной случайной величины
Зная плотность распределения f (x) , можно найти функцию распределения F (x) по формуле:
|
F(x) = ∫x |
f (x)dx |
(5.6) |
|
−∞ |
64
Приведем несколько примеров, в которых используются плотности распределения.
Пример 1. При каких значениях параметра a функция
|
0, |
если |
x ≤ −2 |
|||
|
2 |
, |
если − 2 < x ≤ 0 |
|||
|
f (x) = ax |
|||||
|
0, |
eссл |
x > 0 |
|||
будет являться плотностью распределения вероятности случайной величины X ?
Решение. По условию, заданная функция всюду неотрицательна, если a положительно. Остается только найти его значение. Воспользуемся последним
свойством плотности распределения – ∫∞ f (x)dx =1.
−∞
В данном случае подынтегральная функция не равна нулю только тогда, когда − 2 ≤ x ≤ 0 , и, следовательно, интеграл равен нулю при интегрировании по тем областям, в которых не выполняется условие − 2 ≤ x ≤ 0 . А по условию, на
интервале − 2 ≤ x ≤ 0 заданная функция равна ax2 . Значит, должно выполняться равенство:
|
∫0 ax2dx =1. |
||||||||||||
|
Вычисление интеграла дает: |
−2 |
|||||||||||
|
0 |
||||||||||||
|
0 |
||||||||||||
|
x3 |
03 |
(−2)3 |
8a |
|||||||||
|
∫ax |
2 |
. |
||||||||||
|
dx = a 3 |
= a 3 − a |
3 = |
3 =1 |
|||||||||
|
−2 |
−2 |
|||||||||||
Следовательно, при значении параметра a = 83 заданная функция является
плотностью распределения вероятности случайной величины X . Пример 2. Дана плотность распределения:
|
0, |
если x ≤ −1 |
|
|
если −1 < x ≤1 |
||
|
f (x) = a(x +1), |
||
|
0, |
если x >1 |
|
Определить: а) параметр a ; б) вероятность того, что значение случайной величины попадает в интервал (0.5, 1.5) ; в) функцию распределения.
Решение. В условии этой задачи сказано, что заданная функция является плотностью распределения случайной величины. Эта функция равна нулю при всех значениях x , которые меньше -1 и больше 1. Поэтому все значения случай-
ной величины удовлетворяют x <1. Для того чтобы найти значение параметра a , так же как и в предыдущем примере воспользуемся последним свойством
65
|
плотности распределения – |
∫∞ f (x)dx =1. Запишем это условие, учитывая задан- |
|||||||||||||||||||||||||
|
−∞ |
||||||||||||||||||||||||||
|
ный вид плотности распределения: |
||||||||||||||||||||||||||
|
∫1 a(x +1)dx =1. |
||||||||||||||||||||||||||
|
−1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
После интегрирования получаем: |
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
(−1) |
2 |
1 |
1 |
||||||||||||||||||
|
x |
+ (−1) |
= a( |
+1 |
− |
+1) |
= 2a =1 |
||||||||||||||||||||
|
∫a(x +1)dx = a |
+ x |
= a |
+1 |
− a |
||||||||||||||||||||||
|
−1 |
2 |
−1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
|
Следовательно, a = |
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
Поскольку плотность распределения есть производная функции распределения, интеграл от плотности является функцией распределения. В данной задаче функция распределения должна равняться нулю при всех x < −1 и единице, при всех x >1. Если −1 < x <1, интегрирование плотности дает:
|
x |
1 |
x |
1 |
x2 |
x |
||||||||||||||||||||
|
F(x) = f (x)dx = |
(x +1)dx = |
+ x |
= |
||||||||||||||||||||||
|
∫ |
2 |
∫ |
2 |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
−1 |
||||||||||||||||||||||||
|
−∞ |
−1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
x2 |
1 |
(−1) |
2 |
x2 |
+1 + 2x |
x +1 |
||||||||||||||||||
|
+ x |
− |
+ |
(−1) |
= |
= |
||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
2 |
4 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
2 |
Подчеркнем специально, что найденное выражение справедливо только при условии x <1. Таким образом, функция распределения есть:
|
0, |
если |
x ≤ −1 |
|||
|
2 |
|||||
|
x +1 |
|||||
|
F(x) = |
если |
−1 < x ≤1 |
|||
|
2 |
|||||
|
если |
x >1 |
||||
|
1, |
|||||
Теперь найдем вероятность того, что выполняется условие 0.5 < X <1.5 . Проще всего использовать найденную функцию распределения. Получаем:
|
P(0.5 < X <1.5) = F(1.5) − F(0.5) |
3 |
2 |
7 |
||||
|
=1 |
− |
= |
|||||
|
4 |
16 |
||||||
Пример 3. Функция распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:
|
0, |
если |
x ≤ 0 |
||
|
Аx |
2 |
+ В, |
если 0 < x ≤1 |
|
|
F(x) = |
||||
|
1, |
если |
x >1 |
||
66
Определить параметры A и B . Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение: а) меньше 0.5; б) больше, чем -0.5; в) в интервале (1.5, 5). Определить плотность распределения случайной величины X .
Решение. Для решения надо так подобрать параметры A и B , чтобы функция распределения была непрерывной, так как по условию X – непрерывная случайная величина. Это значит, что при x = 0 она должна равняться нулю. По-
|
этому A 02 + B = 0 и B = 0 . Аналогично, |
при x =1 функция распределения |
||||
|
должна равняться единице. Следовательно, |
A 12 + B =1 и A =1. Таким образом, |
||||
|
функция распределения непрерывной случайной величины Х есть: |
|||||
|
0, |
если |
x ≤ 0 |
|||
|
2 |
, |
если 0 < x ≤1 |
|||
|
F(x) = x |
|||||
|
если |
x >1 |
||||
|
1, |
|||||
|
Теперь найдем вероятность того, |
что значение X < 0.5 . Для этого доста- |
точно вычислить F (0.5) . Получаем P( X < 0.5) = F(0.5) = 0.52 = 0.25. По усло-
вию задачи, все значения случайной величины X неотрицательны и не больше, чем 1. Поэтому P( X > −0.5) =1 − F (−0.5) =1. Аналогично, P( X >1.5) = 0 .
Пример 4. Функция распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
|
0, |
если |
x ≤1 |
|||
|
Аx |
2 |
+ В, если1 |
< x ≤ 3 |
||
|
F(x) = |
|||||
|
1, |
если |
x > 3 |
|||
Определить параметры A и B . Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение: а) меньше 1.5; б) больше, чем 1.5, но меньше, чем 2.5. Определить плотность распределения случайной величины X .
Решение. Так как по условию X − непрерывная случайная величина, для решения надо так подобрать параметры A и B , чтобы функция распределения была непрерывной. Значит, при x =1 она должна равняться нулю, а при x = 3 функция распределения должна равняться единице. Следовательно, имеем систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными A и B :
A + B = 0
9A + B =1
Эта система имеет единственное решение A =1 / 8 , B = −1/ 8 .
Таким образом, функция распределения непрерывной случайной величины
|
X есть: |
0, |
если |
x ≤1 |
|||
|
1 |
2 |
|||||
|
F(x) = |
(x |
−1), |
если |
1 < x ≤ 3 |
||
|
8 |
1, |
если |
x > 3 |
|||
Теперь вероятность того, что значение X <1.5 , равна значению функции распределения при значении x =1.5 , т.е.:
67
|
P( X <1.5) = F(1.5) = |
1.52 |
−1 |
= |
1.25 |
= 0.15625 |
||||||||
|
8 |
8 |
||||||||||||
|
Аналогично, получаем: |
|||||||||||||
|
2.52 |
1.52 |
||||||||||||
|
P(1.5 < X < 2.5) = F(2.5) − F(1.5) = |
−1 |
− |
−1 |
= |
5.25 −1.25 |
= 0.5 |
|||||||
|
8 |
8 |
8 |
|||||||||||
По определению плотности распределения случайной величины, она равна производной от функции распределения. Поэтому, вычисляя производную, получаем:
|
(0)′, |
если |
x ≤1 |
0, |
если |
x ≤ 1 |
|||||||
|
′ |
1 |
|||||||||||
|
x2 −1 |
||||||||||||
|
f ( x) = |
, |
если |
1 < x ≤ |
3 = |
x, |
если |
1 < x ≤ 3 |
|||||
|
8 |
4 |
|||||||||||
|
0, |
если |
x > 3 |
||||||||||
|
(1)′, |
если |
x > 3 |
||||||||||
Задачи для самостоятельного решения
|
Задача 1. Может ли функция |
|||||
|
0, |
если |
x ≤ 0 |
|||
|
F(x) = |
2 |
, |
если 0 < x ≤1 |
||
|
x |
|||||
|
если |
x > 2 |
||||
|
1, |
являться функцией распределения случайной величины?
Задача 2. Функция распределения случайной величины X имеет вид:
|
0, |
если |
x ≤1 |
|
|
Аx + В, |
если1 < x ≤ 3 |
||
|
F(x) = |
|||
|
1, |
если |
x > 3 |
|
Определить параметры A и B . Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение: а) меньше –2; б) меньше 4; в) больше 3; г) больше 3; д) в интервале (-2, 2); е) в интервале (-1, 0); ж) в интервале (-3, 5).
Задача 3. Функция распределения случайной величины X имеет вид:
|
0, |
если |
x ≤ 0 |
|||
|
2 |
, |
если 0 |
< x ≤ 2 |
||
|
F(x) = Ax |
|||||
|
1, |
если |
x > 2 |
|||
Определить параметр A и плотность распределения случайной величины. Задача 4. Функция распределения случайной величины X имеет вид:
|
0, |
если |
x ≤ 0 |
|
|
если 0 < x ≤1 |
|||
|
F(x) = Ax, |
|||
|
1, |
если |
x >1 |
|
Определить параметр A и вероятность попадания значения случайной величины в интервал (-1, 0.5).
68
Задача 5. Функция распределения случайной величины X имеет вид:
|
0, |
если |
x ≤1 |
|
|
А(x −1)2 , |
если1 < x ≤ 3 |
||
|
F(x) = |
|||
|
1, |
если |
x > 3 |
|
Определить параметр A и построить график функции распределения. Задача 6. Функция распределения случайной величины имеет вид:
|
0, |
если |
x ≤ −2 |
||
|
F(x) = |
0.25(x + 2)2 , |
если − 2 < x ≤ 0 |
||
|
1, |
если |
x > 0 |
||
Найти плотность распределения случайной величины и вероятность того, что значение Х больше, чем -1.5, но меньше, чем -0.5.
Задача 7. Функция распределения случайной величины имеет вид:
|
0, |
если |
x ≤1 |
||
|
Аx |
2 |
+ В, |
если1 < x ≤ 4 |
|
|
F(x) = |
||||
|
1, |
если |
x > 4 |
||
Определить параметры A и B . Найти вероятность того, что случайная величина X примет значение: а) меньше 0.5; б) больше -0.5; в) в интервале (1.5, 3) . Определить плотность распределения случайной величины X .
|
Задача 8. Дана плотность распределения: |
||
|
0, |
если |
x ≤ −1 |
|
если −1 |
< x ≤1 |
|
|
f (x) = a, |
||
|
если |
x >1 |
|
|
0, |
Определить: а) параметр a ; б) вероятность попадания в интервал (0.5, 1.5) ; в) функцию распределения.
Тема 24. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины
Математическое ожидание дискретных случайных величин, введенное выше, определялось законом распределения случайной величины и использовалось при предельном переходе от биномиального распределения к распределению Пуассона. Для непрерывных случайных величин, математическое ожидание и дисперсия выражаются через плотности распределения согласно следующему определению.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X с
|
плотностью распределения f (x) называется: |
|
|
M ( X ) = ∫∞ xf (x)dx |
(5.7) |
|
−∞ |
69
Это определение представляет собой обобщение определения для дискретных случайных величин.
Пример 5. Найти M ( X ) , если случайная величина X имеет плотность рас-
|
пределения: |
|||
|
0, |
если |
x ≤1 |
|
|
f (x) = 0.25, |
если1 < x ≤ 5 |
||
|
0, |
если |
x > 5 |
Решение. По определению математического ожидания, получаем:
|
∞ |
1 |
5 |
+∞ |
|||||||
|
M ( X ) = ∫xf (x)dx = |
∫xf (x)dx + ∫xf (x)dx + ∫xf (x)dx = |
|||||||||
|
−∞ |
−∞ |
1 |
5 |
|||||||
|
5 |
1 |
x2 |
5 |
52 − |
1 |
|||||
|
= ∫x |
dx = |
= |
= 3 |
|||||||
|
4 |
8 |
8 |
||||||||
|
1 |
1 |
|||||||||
Здесь учтено, что по условию плотность распределения равна нулю всюду вне интервала (1;5) и равна 0.25 только внутри интервала (1;5).
Пример 6. Найти M ( X ) , если случайная величина X имеет плотность распределения:
|
0, |
если |
x ≤1 |
||||
|
− x |
2 |
+8x −7 |
||||
|
f (x) = |
, |
если1 < x ≤ 7 |
||||
|
36 |
||||||
|
если |
x > 7 |
|||||
|
0, |
||||||
Решение. Учитывая, что так же, как в предыдущем примере, при вычислении математического ожидания надо найти интеграл только по той области, где плотность распределения отлична от нуля, получаем:
|
7 x(−x |
2 +8x −7) |
1 |
x4 |
8x |
3 |
7x2 |
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M ( X ) = |
∫ |
dx = |
− |
+ |
− |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
36 |
36 |
4 |
3 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
4 |
7 |
3 |
7 7 |
2 |
4 |
3 |
2 |
49 35 +13 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
7 |
8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
8 1 |
7 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
− |
+ |
− |
− |
− |
+ |
− |
= |
= 4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
36 |
4 |
3 |
2 |
4 |
3 |
2 |
36 12 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Математическое ожидание обладает следующими свойствами:
1.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е. M (cX ) = cM ( X ) , где c – любое постоянное число.
2.Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной.
3.Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Эти свойства вытекают из определения математического ожидания. Например, первое свойство имеет место потому, что все значения случайной величины
70
Y = cX получаются из значений случайной величины Х умножением на множитель c, а вероятности соответствующих значений новой случайной величины никак не изменяются.
Еще раз подчеркнем, что математическое ожидание есть усредненная характеристика случайной величины. Оно всегда определяется только одним числом, которое находится на интервале между наименьшим и наибольшим из возможных значений случайной величины. В отличие от функции и плотности распределения, которые дают полную информацию о случайной величине и позволяют находить вероятности ее значений или вероятности того, что они находятся в любом интервале, знание математического ожидания недостаточно для определения таких вероятностей.
Дисперсия случайных величин характеризует средний разброс квадрата отклонений значений случайной величины X от ее математического ожидания M ( X ) . Аналогично тому, как это было для дискретных случайных величин,
вводится следующее определение.
Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
|
D( X ) = M (( X − M ( X ))2 ) |
(5.8) |
Поэтому размерность D(X ) равна квадрату размерности X . Удобнее D( X ) является среднее квадратичное отклонение σ = D( X ) . Дисперсии случайных
величин удовлетворяют следующим свойствам:
1. Дисперсия постоянной величины C равна нулю:
D(C) = 0
2. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате, т.е.:
D(cX ) = c2 D( X )
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е.:
D( X +Y ) = D( X ) + D(Y )
|
4. Для вычисления D( X ) удобнее использовать равенство |
|
|
D( X ) = M (X 2 )−(M ( X ))2 |
(5.9) |
Заметим, что отклонение случайной величины X от числа, равного ее математическому ожиданию M ( X ) , т.е. Z = X − M ( X ) – также случайная вели-
чина. При этом M (Z ) всегда равно нулю, т.е. M (X − M (X )) = 0 . Действительно, используя свойства (1) – (3), получаем:
M (Z) = M ( X ) − M (M ( X )) = M ( X ) − M (X ) = 0
|
Именно по этой причине разброс значений X относительно M ( X ) |
харак- |
|
теризуется дисперсией D( X ) и средним квадратичным уклонением σ = |
D(X ) . |
Пример 7. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины X , которая имеет плотность распределения:
71
|
0, |
если x ≤1 |
|
|
если1 < x ≤ 6 |
||
|
f (x) = 0.2, |
||
|
0, |
если x > 6 |
|
Решение. По определению математического ожидания, получаем:
|
∞ |
6 |
1 |
1 |
6 |
1 |
35 |
7 |
||||||||||
|
M ( X ) = ∫xf (x)dx = ∫x |
dx = |
x2 |
= |
(62 |
−1) = |
= |
. |
||||||||||
|
5 |
10 |
1 |
10 |
10 |
2 |
||||||||||||
|
−∞ |
1 |
Здесь учтено, что, по условию, плотность распределения равна нулю всюду вне интервала (1,6) и равна 0.2 только внутри интервала (1,6) .
Для того чтобы найти дисперсию X , воспользуемся формулой (5.9) и найдем сначала:
|
∞ |
6 |
1 |
1 |
6 |
1 |
215 |
43 |
|||||||||||||||||||||
|
M ( X 2 ) = ∫x2 f (x)dx = ∫x2 |
dx = |
x3 |
= |
(63 −1) = |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
15 |
15 |
15 |
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
−∞ |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Поэтому: |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
D( X ) = M ( X 2 ) −(M ( X )2 |
43 |
7 |
43 |
4 − 49 3 |
172 |
−147 |
25 |
|||||||||||||||||||||
|
= |
− |
= |
= |
= |
||||||||||||||||||||||||
|
3 |
12 |
12 |
12 |
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
σ = |
D( X ) = |
25 |
= |
5 |
3 |
||
|
12 |
2 |
||||||
|
Пример 8. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадрати- |
|||||||
|
ческое отклонение случайной величины X , заданной плотностью распределения: |
|||||||
|
0, |
если |
x ≤1 |
|||||
|
− x |
2 |
+8x −7 |
|||||
|
f (x) = |
, |
если1 < x ≤ 7 |
|||||
|
36 |
|||||||
|
если |
x > 7 |
||||||
|
0, |
|||||||
Решение. При вычислении математического ожидания надо найти интеграл только по той области, где плотность распределения отлична от нуля, получаем:
|
7 |
x(−x2 +8x |
−7) |
1 |
x4 |
8x3 |
7x2 |
7 |
49 35 +13 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
М( Х) = |
∫ |
dx = |
− |
+ |
− |
= |
= 4. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
36 |
36 |
4 |
3 |
2 |
36 12 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Аналогично, получаем: |
7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
М( Х2 ) = |
7 |
x2 (−x2 +8x −7) |
1 |
x5 |
8x4 |
7x3 |
7 |
4 4 +8 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx = |
− |
+ |
− |
= |
=17.8 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
36 |
36 |
5 |
4 |
3 |
36 15 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Поэтому по формуле (5.9): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D( X ) =17.8 − 42 =1.8, |
σ = |
1.8 ≈1.4 |
Существуют различные распределения непрерывных случайных величин. Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Далее будут рассмотрены равномерно распределенные и нормально распределенные случайные величины.
72
Задачи для самостоятельного решения
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины
Задача 9. Плотность распределения:
|
0, |
если |
x ≤ −1 |
|
|
1 |
, |
если −1 < x ≤ 1 |
|
|
f ( x) = |
2 |
||
|
если |
x > 1 |
||
|
0, |
Задача 10. Плотность распределения:
|
0, |
если |
x ≤ 0 |
||||||||||||||
|
3 |
(2 x − x2 ), |
|||||||||||||||
|
f ( x) = |
если 0 < x ≤ 2 |
|||||||||||||||
|
4 |
||||||||||||||||
|
0, |
если |
x > 2 |
||||||||||||||
|
Задача 11. Плотность распределения: |
||||||||||||||||
|
0, |
если |
x ≤ −1 |
||||||||||||||
|
если −1 < x ≤1 |
||||||||||||||||
|
f (x) = 0.75(1 − x2 ), |
||||||||||||||||
|
0, |
если |
x >1 |
||||||||||||||
|
Задача 12. Плотность распределения: |
||||||||||||||||
|
0, |
если |
x ≤ −2 |
||||||||||||||
|
3 |
(4 − x2 ), |
|||||||||||||||
|
f ( x) = |
если − 2 < x ≤ 2 |
|||||||||||||||
|
32 |
||||||||||||||||
|
0, |
если |
x > 2 |
||||||||||||||
|
Задача 13. Плотность распределения: |
||||||||||||||||
|
0, |
если |
x ≤1 |
||||||||||||||
|
3 |
( x2 |
|||||||||||||||
|
f ( x) = − |
− 6 х + 5), |
если 1 < x ≤ 5 |
||||||||||||||
|
32 |
||||||||||||||||
|
0, |
если |
x > 5 |
||||||||||||||
|
Задача 14. Плотность распределения: |
||||||||||||||||
|
0, |
если |
x ≤ −5 |
||||||||||||||
|
3 |
( x2 |
|||||||||||||||
|
f ( x) = − |
+ 6 x + 5), |
если − 5 < x ≤ −1 |
||||||||||||||
|
32 |
||||||||||||||||
|
0, |
если |
x > −1 |
||||||||||||||
|
Задача 15. Плотность распределения: |
||||||||||||||||
|
0, |
если |
x ≤ −2 |
||||||||||||||
|
2 |
+ 4 |
х) |
||||||||||||||
|
3(12 − x |
||||||||||||||||
|
f ( x) = |
, |
если − 2 < x ≤ 6 |
||||||||||||||
|
256 |
||||||||||||||||
|
если |
x > 6 |
|||||||||||||||
|
0, |
||||||||||||||||
|
Задача 16. Плотность распределения: |
||||||||||||||||
|
0, |
если |
x ≤ 1 |
||||||||||||||
|
2 |
( x2 − 5x + 4), |
если 1 < x ≤ 4 |
||||||||||||||
|
f ( x) = − |
9 |
|||||||||||||||
|
0, |
если |
x > 4 |
||||||||||||||
73
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
Краткая теория
Ранее
непрерывная случайная величина задавалась с помощью функции распределения. Этот
способ задания не является единственным. Непрерывную случайную величину можно
также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью
распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной
функцией).
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины
называют функцию
– первую производную от функции распределения
:
Из этого определения следует, что
функция распределения является первообразной для плотности распределения.
Заметим, что для описания
распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность
распределения неприменима.
Зная плотность распределения, можно
вычислить вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение,
принадлежащее заданному интервалу.
Вероятность того, что непрерывная
случайная величина
примет
значение, принадлежащее интервалу
равна
определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от
до
:
Геометрически полученный результат
можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина
примет значение, принадлежащее интервалу
, равна площади криволинейной трапеции, ограниченной
осью
, кривой распределения
и прямыми
и
.
В частности, если
– четная
функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то:
Зная плотность распределения
можно найти
функцию распределения
по формуле:
Свойства плотности распределения
Свойство 1.
Плотность
распределения – неотрицательная функция:
Свойство 2.
Несобственный
интеграл от плотности распределения в пределах от
до
равен единице:
Смежные темы решебника:
- Дискретная случайная величина
- Непрерывная случайная величина
- Интегральная функция распределения вероятностей
Примеры решения задач
Пример 1
Задана
плотность распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной
величины X. Требуется:
1)
определить коэффициент A;
2) найти
функцию распределения F(x);
3)
схематично построить графики F(x) и f(x);
4) найти
математическое ожидание и дисперсию X;
5) найти
вероятность того, что X примет значение из
интервала (α,β):
α=1; β=1.7
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
1)
Постоянный параметр
найдем из
свойства плотности вероятности:
В
нашем случае эта формула имеет вид:
Получаем:
2)
Функцию распределения
найдем из
формулы:
Учитывая
свойства
, сразу можем
отметить, что:
Остается
найти выражение для
, когда
принадлежит
интервалу
.
Получаем:
3) Построим графики
и
:
График плотности распределения
График функции распределения
4)
Математическое ожидание находим по формуле:
Для
нашего примера:
Дисперсию
можно найти по формуле:
5)
Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала
:
Пример 2
Плотность
распределения вероятности непрерывной случайной величины равна
, x∈(0,∞). Найти нормировочный множитель C,
математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).
Решение
Нормировочный множитель
найдем из
свойства плотности вероятности:
В
нашем случае эта формула имеет вид:
Плотность
вероятности:
Математическое
ожидание находим по формуле:
Для
нашего примера:
Дисперсию
можно найти по формуле:
Пример 3
Непрерывная
случайная величина
имеет плотность распределения:
Найти
величину a, вероятность P(X<0) и математическое
ожидание X.
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Постоянный
параметр
найдем из
свойства плотности вероятности:
В
нашем случае эта формула имеет вид:
Плотность
вероятности имеет вид:
Вероятность:
Математическое
ожидание находим по формуле:
Для
нашего примера:
Задачи контрольных и самостоятельных работ
Задача 1
Плотность
распределения непрерывной случайной величины X имеет вид:
Найти:
а)
параметр a;
б)
функцию распределения F(x);
в)
вероятность попадания случайной величины X в интервал (6.5; 11);
г)
математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X);
Построить
график функций f(x) и F(x).
Задача 2
Задана
функция распределения непрерывной случайной величины:
Найти и
построить график функции плотности распределения вероятностей.
Задача 3
Случайная
величина X задана функцией распределения F(x).
Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины. Построить график функции
F(x).
Задача 4
Задана
плотность вероятности f(x) или функции распределения
непрерывной случайной величины X. Найти a, M[X], D[X], P(α<x<β).
α=1,β=2
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 5
Непрерывная
случайная величина
задана плотностью распределения вероятностей.
Требуется
найти:
– функцию
распределения вероятностей;
–
математическое ожидание;
–
дисперсию;
– среднее
квадратическое отклонение;
– вероятность
того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не
более, чем на одну четвертую длины всего интервала возможных значений этой
величины;
–
построить графики функции распределения и плотности распределения вероятностей.
Задача 6
Случайная
величина X равномерно распределена на интервале (2;7).
Составить f(x),F(x), построить графики. Найти
M(X),D(X).
Задача 7
Случайная
величина X~N(a,σ)
a=25;
σ=4; α=13; β=30; δ=0.1.
Требуется:
–
составить функцию плотности распределения и построить ее график;
– найти
вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет
значение, принадлежащее интервалу (α; β);
– найти
вероятность того, что абсолютная величина отклонения значений случайной
величины от ее математического ожидания не превысит δ.
Задача 8
Плотность
вероятности непрерывной случайной величины ξ задана следующим выражением:
Найти
постоянную C, функцию распределения Fξ (x), математическое
ожидание и дисперсию Dξ случайной величины ξ.
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Задача 9
Случайная
величина X задана функцией распределения вероятностей F(x).
Требуется:
1. Найти
функцию плотности распределения f(x).
2. Найти M(X).
3. Найти
вероятность P(α<X<β)
4.
Построить графики f(x) и F(x).
α=2, β=4.5
Задача 10
Найти
функцию плотности нормально распределенной случайной величины X и
постройте ее график, зная M(X) и D(X).
M(X)=-1; D(X)=8
Задача 11
Случайная
величина X задана интегральной F(x) или дифференциальной f(x)
функцией. Требуется:
а) найти
параметр C;
б) при
заданной интегральной функции F(x) найти дифференциальную функцию f(x), а при
заданной дифференциальной функции f(x) найти интегральную функцию F(x);
в)
построить графики функций F(x) и f(x);
г) найти
математическое ожидание M(X), дисперсию D(X) и
среднее квадратическое отклонение σ(x);
д)
вычислить вероятность попадания в интервал P(a≤x≤b)
е)
определить, квантилем какого порядка является точка xp;
ж)
вычислить квантиль порядка p
a=π/4; b=π/3; xp=π/2; p=0.75
- Краткая теория
- Примеры решения задач
- Задачи контрольных и самостоятельных работ
Содержание:
Непрерывные случайные величины: функция распределения случайной величины:
Если вычислить вероятность появления непрерывной случайной величины не составляет особого труда, то решение основной задачи теории вероятностей для непрерывной случайной величины несёт большие трудности. Поэтому в материалах сегодняшней лекции мы рассмотрим методы определения вероятности попадания непрерывной случайной величины на интервал с помощью функции распределения.
Функция распределения непрерывной случайной величины
Зная функцию распределения непрерывной случайной величины, задача определения вероятности её попадания на интервал (а; b) может быть решена следующим образом.
По известной функции распределения вероятность попадания непрерывной случайной величины на интервал (а; b) равна приращению функции распределения на этом участке (рис. 1).
Во всех рассмотренных выше случаях случайная величина определялась путём задания значений самой величины и вероятностей этих значений.
Однако такой метод применим далеко не всегда. Например, в случае непрерывной случайной величины, её значения могут заполнять некоторый произвольный интервал. Очевидно, что в этом случае задать все значения случайной величины просто нереально.
Даже в случае, когда это сделать можно, зачастую задача решается чрезвычайно сложно. Рассмотренный только что пример даже при относительно простом условии (приборов только четыре) приводит к достаточно неудобным вычислениям, а если в задаче будет несколько сотен приборов?
Поэтому встает задача по возможности отказаться от индивидуального подхода к каждой задаче и найти по возможности наиболее общий способ задания любых типов случайных величин.
Пусть х – действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, меньшее х, т.е. X
Определение. Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее х.
F(x) = Р(Х < х)
Функцию распределения также называют интегральной функцией. Функция распределения существует как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Она полностью характеризует случайную величину и является одной из форм закона распределения.
Для дискретной случайной величины функция распределения имеет
Знак неравенства под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на те возможные значения случайной величины, которые меньше аргумента х.
Функция распределения дискретной случайной величины X разрывна и возрастает скачками при переходе через каждое значение 
Так для примера, который мы будем рассматривать на следующем
Свойства функции распределения
1) значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1].
2) F(x) – неубывающая функция.
3) Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b) , равна приращению функции распределения на этом интервале.
4) На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности функция распределения равна единице.
5) Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.
Таким образом, не имеет смысла говорить о каком – либо конкретном значении случайной величины. Интерес представляет только вероятность попадания случайной величины в какой – либо интервал, что соответствует большинству практических задач.
Заключение по лекции:
В лекции мы рассмотрели методы решения основной задачи теории вероятностей – определения вероятности попадания непрерывной случайной величины на интервал с помощью функции распределения.
Плотность вероятности. Числовые характеристики. Моменты случайных величин
Если вычислить вероятность появления непрерывной случайной величины не составляет особого труда, то решение основной задачи теории вероятностей для непрерывной случайной величины несёт большие трудности. Поэтому в материалах сегодняшней лекции мы рассмотрим методы определения вероятности попадания непрерывной случайной величины на интервал с помощью плотности
распределения.
Плотность распределения
Функция распределения полностью характеризует случайную величину, однако, имеет один недостаток. По функции распределения трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или иной точки числовой оси.
Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).
Плотность распределения также называют дифференциальной функцией. Для описания дискретной случайной величины плотность распределения неприемлема.
Смысл плотности распределения состоит в том, что она показывает как часто появляется случайная величина X в некоторой окрестности точки х при повторении опытов.
После введения функций распределения и плотности распределения можно дать следующее определение непрерывной случайной величины.
Определение. Случайная величина X называется непрерывной, если её функция распределения F(x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f(x) существует везде, за исключением (может быть, конечного числа точек).
Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность того, что некоторая случайная величина X примет значение, принадлежащее заданному интервалу.
Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b.
Доказательство этой теоремы основано на определении плотности распределения и третьем свойстве функции распределения (см. лекцию тема № 10).
Геометрически это означает, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми х=а и х=b.
Геометрически вероятность Р(а < X < b) представляется в виде заштрихованной области, ограниченной кривой распределения и осью Ох на интервале(а; b) (рис 1).
Функция распределения может быть легко найдена, если известна плотность распределения, по формуле:
Свойства плотности распределения
1) Плотность распределения – неотрицательная функция.
2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от –
равен единице.
Плотность распределения 
можно представить как:
тогда
Поэтому иногда функцию плотности распределения f(x) называют также дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения величины X, а функцию распределения F(x) -интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Следует заметить, что интеграл 
возможно трактовать как сумму бесконечно большого числа несовместных элементарных событий, каждое из которых заключается в попадании случайной величины в бесконечно малый участок (х, х + dx) и имеет вероятность:
Р(х < X < х + dx) = dF(x) = f(x)dx
Величину f(x)dx называют элементом вероятности.
По своему содержанию элемент вероятности есть вероятность попадания случайной величины X на элементарный участок dx, прилежащий к точке X.
Функция распределения случайной величины X по известной плотности распределения может быть найдена, как интеграл от плотности распределения в интервале от 
В схеме непрерывных случайных величин можно вывести аналогии формулы полной вероятности и формулы Бейеса, рассмотренные при изучении темы 4.
Обозначим Р(А /х) условную вероятность события А при условии Х= х. Заменяя в формуле полной вероятности вероятность гипотезы элементом вероятности f(x)dx, а сумму – интегралом, получим полную вероятность события А.
Данная формула называется интегральной формулой полной вероятности.
Соответствующий аналог в схеме непрерывных случайных величин имеет и формула Бейеса. Обозначив условную плотность распределения случайной величины X при условии, что в результате опыта появилось событие A через 
, получим:
Данная формула называется интегральной формулой Бейеса.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Пусть непрерывная случайная величина X задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [а,b].
Математическое ожидание
Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а,b], называется определенный интеграл
Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:
При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.
Дисперсия
Определение. Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата её отклонения.
По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:
Среднеквадратичное отклонение
Определение. Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.
Мода
Определение. Модой 
дискретной случайной величины называется её наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.
Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным.
Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно
называется антимодальным.
Медиана
Определение. Медианой 
случайной величины X называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.
Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.
Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.
Начальный момент
Определение. Начальным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины 
Для дискретной случайной величины:
Для непрерывной случайной величины: 
Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.
Центральный момент
Определение. Центральным моментом порядка k случайной величины X называется математическое ожидание величины 
Для дискретной случайной величины: 
Для непрерывной случайной величины: 
Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.
Коэффициент асимметрии
Определение. Отношение центрального момента третьего порядка к среднеквадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.
Эксцесс
Определение. Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения используется величина, называемая эксцессом.
Кроме рассмотренных величин используются также так называемые абсолютные моменты:
Абсолютный начальный момент: 
Абсолютный центральный момент: 
Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением.
Заключение по лекции:
В лекции мы рассмотрели методы решения основной задачи теории вероятностей – определения вероятности попадания непрерывной случайной величины на интервал с помощью плотности распределения.
Законы распределения непрерывных величин: нормальное, равномерное, показательное
В материалах сегодняшней лекции мы рассмотрим законы распределения непрерывных величин.
Равномерное распределение
Определение. Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [а,b], если на этом отрезке плотность
распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю.
Постоянная величина С может быть определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения, представленной на рис. 1
Получаем 
.
Найдём функцию распределения F(x) на отрезке [а,b] (рис. 2).
Для того, чтобы случайная величина подчинялась закону равномерного распределения необходимо, чтобы её значения лежали внутри некоторого определенного интервала, и внутри этого интервала значения этой случайной величины были бы равновероятны.
Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения.
Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:
Показательное распределение
Определение. Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью
где 
– положительное число.
Найдём закон распределения.
Графики функции распределения и плотности распределения представлены на рис. 3, 4.
Найдём математическое ожидание случайной величины, подчинённой показательному распределению.
Результат получен с использованием того факта, что
Для нахождения дисперсии найдём величину 
Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим:
Тогда 
Итого:
Видно, что в случае показательного распределения математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение равны.
Также легко определить и вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал.
Показательное распределение широко используется в теории надёжности.
Допустим, некоторое устройство начинает работать в момент времени to=0, а через какое- то время t происходит отказ устройства.
Обозначим Т непрерывную случайную величину – длительность безотказной работы устройства.
Таким образом, функция распределения F(t) = P(T
Вероятность противоположного события (безотказная работа в течение времени t) равна R(t) = P(T>t) – l – F(t).
Функция надежности
Определение. Функцией надёжности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t.
Часто на практике длительность безотказной работы подчиняется показательному закону распределению.
Вообще говоря, если рассматривать новое устройство, то вероятность отказа в начале его функционирования будет больше, затем количество отказов снизится и будет некоторое время иметь практически одно и то же значение. Затем (когда устройство выработает свой ресурс) количество отказов будет возрастать.
Другими словами, можно сказать, что функционирование устройства на протяжении всего существования (в смысле количества отказов) можно описать комбинацией двух показательных законов (в начале и конце функционирования) и равномерного закона распределения.
Функция надёжности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна:
Данное соотношение называют показательным законом надежности.
Важным свойством, позволяющим значительно упростить решение задач теории надежности, является то, что вероятность безотказной работы устройства на интервале времени t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t.
Таким образом, безотказная работа устройства зависит только от интенсивности отказов 
и не зависит от безотказной работы устройства в
прошлом.
Так как подобным свойством обладает только показательный закон распределения, то этот факт позволяет определить, является ли закон распределения случайной величины показательным или нет.
Нормальный закон распределения
Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности
Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.
Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.
Можно легко показать, что параметры 
входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением случайной величины X.
Найдём функцию распределения F(x).
График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.
Нормальная кривая обладает следующими свойствами:
1) Функция определена на всей числовой оси.
2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.
3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента л значение функции стремится к нулю.
4) Найдём экстремум функции.
Т.к. при
, то в точке х = m функция имеет максимум, равный 
5) Функция является симметричной относительно прямой x = а, т.к. разность
(х – а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.
6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.
При 
вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т.е. в этих точках функция имеет перегиб.
В этих точках значение функции равно 
Построим график функции плотности распределения (рис. 5).
Построены графики при м =0 и трёх возможных значениях среднеквадратичного отклонения
. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.
Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.
При а = 0 и 
кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой:
Функция Лапласа
Найдём вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал.
Обозначим
Тогда 
Т.к. интеграл
не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция
которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.
Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах.
На рис. 6 показан график функции Лапласа.
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
- 1) Ф(0) = 0;
- 2) Ф(-х) = – Ф(х);
- 3)
Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают
erf х.
Ещё используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:
На рис. 7 показан график нормированной функции Лапласа.
Правило трёх сигм
При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм.
Запишем вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины
Если принять 
, то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:
Т.е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую, чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю.
Это правило называется правилом трех сигм.
Не практике считается, что если для какой-либо случайной величины выполняется правило трёх сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.
Пример:
Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:
Найти: а) значение с; б) функцию распределения F(х) и построить ее график; в)
Решение:
а) Значение с найдем из условия нормировки: 
Следовательно,
б) Известно, что 
Поэтому, если 
если 
если 
Таким образом,
График функции F(х) изображен на рис. 5. 3.
в) 
Пример:
Случайная величина Х задана функцией распределения:
Найти дифференциальную функцию распределения 
Решение:
Так как 
то
Пример:
Случайная величина Х задана дифференциальной функцией 
Найти 
а также 
Решение:
Некоторые законы распределения непрерывной случайной величины
Пример:
Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [3;7]. Найти:
а) плотность распределения вероятностей 
и построить ее график;
б) функцию распределения 
и построить ее график;
в) 
Решение: Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а = 3, b = 7, находим:
Построим ее график (рис. 6.3):
Построим ее график (рис. 6.4):
Пример:
Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч.
Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:
а) плотность распределения вероятностей;
б) функцию распределения;
в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч.
Решение.
По условию математическое ожидание 
откуда 
= 1/100 = 0,01.
Следовательно,
в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения:
Пример:
Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 32 и дисперсией 16. Найти: а) плотность распределения вероятностей 
б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (28;38).
Решение:
По условию m = 32, σ2 = 16, следовательно, σ = 4, тогда
а) 
б) Воспользуемся формулой:
Подставив a = 28, b = 38, m = 32, σ = 4, получим
По таблице значений функции Ф(х) находим Ф(1,5) = 0,4332, Ф(1) = 0,3413.
Итак, искомая вероятность:
Заключение по лекции:
В лекции мы рассмотрели законы распределения непрерывных величин.
- Закон больших чисел
- Генеральная и выборочная совокупности
- Интервальные оценки параметров распределения
- Алгебра событий – определение и вычисление
- Правило «трех сигм» в теории вероятности
- Производящие функции
- Теоремы теории вероятностей
- Основные законы распределения дискретных случайных величин
Непрерывная случайная величина
Ранее мы представили примеры решений задач о дискретной случайной величине, теперь переходим к непрерывной. Формально в задачах требуется найти тоже самое: вычислить числовые характеристики, начертить графики, определить неизвестные параметры, найти вероятности событий.
Но формулы-то совсем другие (в силу непрерывности СВ), поэтому стоит разобраться в них хорошенько. Надеемся, наши примеры вам помогут (а если нет времени, закажите решение).
Ниже вы найдете примеры решений на самые разные законы распределений непрерывных случайных величин: законы $arcsin$ и $arctan$, тригонометрические и логарифмические функции, показательный, равномерный закон распределения, законы Коши, Симпсона, Лапласа и т.д.
Примеры для других НСВ: Нормальный закон, Равномерный закон, Показательный закон.
Лучшее спасибо – порекомендовать эту страницу
Примеры решений
Задача 1. Случайная величина X задана дифференциальной функцией распределения
1) Определить вероятность попадания случайной величины X в интервал $[pi, 5/4 pi]$.
2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Задача 2. Случайная величина X задана плотностью вероятности:
Требуется:
а) найти коэффициент C;
б) найти функцию распределения F(x);
в) найти M(X), D(X), σ(X)
г) найти вероятность P(α < X < β);
д) построить графики f(x) и F(x).
Задача 3. Случайная величина Х задана функцией распределения F(x).
А) является ли случайная величина Х непрерывной?
Б) имеет ли случайная величина Х плотность вероятности f(X)? Если имеет, найти ее.
В) постройте схематично графики f(X) и F(X).
Задача 4. Дана функция распределения F(x) непрерывной случайной величины X.
1. Найти значения параметров a,b
2. Построить график функции распределения F(x)
3. Найти вероятность P(α < X < β)
4. Найти плотность распределения p(x) и построить ее график.
Задача 5. Время в годах безотказной работы прибора подчинено показательному закону, т.е. плотность распределения этой случайной величины такова: f(t)=2e-2t при t ≥ 0 и f(t)=0 при t<0.
1) Найти формулу функции распределения этой случайной величины.
2) Определить вероятность того, что прибор проработает не более года.
3) Определить вероятность того, что прибор безотказно проработает 3 года.
4) Определить среднее ожидаемое время безотказной работы прибора.
Задача 6. Функция распределения вероятностей случайной величины $X$ имеет вид:
А) найти $a$ и $b$;
Б) найти плотность $f(x)$;
В) нарисовать график $F(x)$;
Г) нарисовать график $f(x)$;
Д) найти $M[X]$;
Е) найти $D[X]$.
Задача 7. Функция распределения вероятностей случайной величины $X$ имеет вид:
$$F(x)=A+B arctan (x/2), -infty lt x lt infty $$ (закон Коши).
А) определить постоянные $A$ и $B$;
Б) найти плотность распределения вероятностей
В) найти $P(-1 lt X lt 1)$;
Г) нарисовать график $F(x)$;
Д) нарисовать график $f(x)$.
Задача 8. Случайная величина $X$ имеет распределение Парето с плотностью вероятности $f(x)=4/23(23/x)^5$
при $23 le x$ и $f(x)=0$ при $x lt 23$.
Найдите $M(X)$ и $P(23lt X lt 27)$.
Задача 9. Непрерывная случайная величина задана интегральной функцией (функцией распределения) $F(x)$. Найти:
А) вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $(a;b)$.
Б) дифференциальную функцию (функцию плотности вероятностей) $f(x)$.
В) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины $X$.
Г) построить графики функций $F(x)$ и $f(x)$.
Задача 10. Случайная величина $X$ подчинена закону Лапласа $p(x)=acdot e^{-lambda |x|}$, $lambda gt 0.$ Найти $a$, $M(x)$, $D(x)$ и $F(x)$. Построить графики $p(x)$ и $F(x)$.
Задача 11. Случайная величина $X$ задана функцией распределения $F(x)$. Найти:
5) дифференциальную функцию $f(x)$ (плотность распределения),
6) математическое ожидание $M(X)$, дисперсию $D(X)$, среднее квадратическое отклонение $sigma(X)$.
7) Моду $Mo$ и медиану $Me$,
8) $P(1/2 lt X lt 2).$
Построить графики функции и плотности распределения.
Задача 12. Случайная величина $Х$ подчинена закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника) на участке от $-a$ до $+a$.
а) Написать выражение для плотности распределения.
б) Построить график функции распределения.
в) Определить числовые характеристики случайной величины Х.
Мы отлично умеем решать задачи по теории вероятностей
Решебник по теории вероятности онлайн
Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:
