Как найти параметрические уравнения медианы - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Образцы выполнения некоторых заданий

Рассмотрим решения некоторых практических упражнений.

Задание 2(е)

На плоскости даны точки А(11; -5), В(6;7), С(-10; -5). Найти уравнение биссектрисы угла А.

Решение задания 2(е)

Найдем направляющий вектор биссектрисы как сумму ортов векторов и

или (умножая на )

; ;

; .

Таким образом, в качестве направляющего вектора биссектрисы угла А можно взять вектор и уравнение биссектрисы будет иметь вид

Задание 3

Дана точка (0;2) пересечения медиан треугольника и уравнения двух его сторон 5х – 4у + 15 = 0 и 4х + у – 9 = 0. Найти координаты вершин треугольника и уравнение третьей стороны.

Решение Координаты одной вершины найдем как координаты точки пересечения данных сторон, для чего решим систему уравнений

Получаем или

Точка О_ц пересечения медиан треугольника называется его центром. Отметим одно свойство центра треугольника, которое используем для нахождения координат остальных вершин:

; ,

где х_ц, у_ц – координаты центра треугольника;

х_i, y_i – координаты i-ой вершины треугольника,

Для доказательства этих формул рассмотрим треугольник А₁А₂А₃, где А_i(x_i;y_i), i = 1-3 (см.рис.2.1).

Рис.2.1. Вспомогательный чертеж к заданию 3

Пусть В середина стороны А₁А₂. Тогда А₃В – медиана треугольника А₁А₂А₃. По известному из элементарной геометрии свойству медиан треугольника .

Тогда координаты точки В найдем по формулам

и ,

а координаты центра О_ц из векторного соотношения , которое в координатной форме записывается так

, .

Отсюда, выражая х_ц и у_ц через x_i, y_i, получим требуемые формулы.

Вернемся к решению задания 3. Используя доказанные формулы, полагая в них х₁ = 1 и у₁ = 5, х_ц = 0 и у_ц = 2, получим два уравнения, которым должны удовлетворять координаты остальных двух вершин

; ,

Еще два уравнения получим, если потребуем, чтобы искомые точки, вершины треугольника, принадлежали заданным сторонам, т.е. их координаты удовлетворяли уравнениям этих сторон

Итак, для определения четырех неизвестных х₂, у₂, х₃, у₃, мы имеем четыре независимых (!) условия (уравнения)

Решив эту систему, получим х₂ = -3, у₂ = 0, х₂= 2, у₃ = 1.

Наконец, уравнение третьей стороны запишем как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (-3;0) и (2;1)

или .

Итак, уравнение третьей стороны x – 5у + 3 = 0, а вершины треугольника имеют координаты (1;5), (-3;0), (2;1).

Задание 7

Составить уравнение линии, для каждой точки М которой, отношение расстояний до точки F( ) и до прямой
равно .

Привести уравнение линии к каноническому виду, определить тип линии и построить линию на чертеже. Показать на чертеже фокусы, директрисы, асимптоты (если они имеются у построенной линии).

Замечание. Отметим, что в заданиях этого модуля ; ; .

Пусть n = 101. Тогда:

, т.к. ;

, т.к. .

Итак, для n = 101 первая часть задания 7 принимает вид:

Составить уравнение линии, для каждой точки М которой, отношение расстояния до точки F(-4;1) и до прямой x = 1
равно .

Решение задания 7 (для n = 101).

Пусть М(х;у) произвольная точка искомой линии, r – расстояние от М до F и d – расстояние от точки М до прямой x = 1. Тогда

и .

По условию , т.е. d = 2r.

– уравнение искомой линии.

Упростим уравнение линии и приведем его к каноническому виду. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат и выполним следующие преобразования уравнения

х 2 – 2х +1 = 4х 2 + 32х + 64 + 4(у – 1) 2 ,

3х 2 + 34х + 4(у – 1) 2 + 63 = 0,

Последнее уравнение – это каноническое уравнение эллипса с полуосями и ( ), центр которого находится в точке с координатами . Координаты вершин эллипса
и , т.е. (-9;1), , ,
. Построим эллипс на чертеже (см.рис.2.2).

Рис.2.2. Эллипс с уравнением

Фокусы эллипса имеют координаты , где .

Итак, координаты фокусов F₁(-4;1), F₂( ;1).

Директрисы эллипса имеют уравнения , где е – эксцентриситет эллипса

Уравнения директрис , т.е.

D₂: .

Отметим фокусы и директрисы эллипса на рис.2.2.

Обратите внимание на совпадение фокуса F₁ с точкой, данной в условии задания 7, на совпадение директрисы D₁ с прямой х = 1 из условия этого задания, и совпадение эксцентриситета е с параметром е в условии. По этому поводу см. теоретическое упражнение 18.

В пространстве даны точки А(-2; -4;1), В(3;1; -1), С(5;1;1),
S(1;-4;0). Найти координаты центра и радиус вписанной в пирамиду SABC сферы (условие сформулировано для n = 101).

Решение задания 4(м)

Пусть точка О(x₀;y₀;z₀) – центр сферы, вписанной в пирамиду SABC. Найдем точку О как точку, равноудаленную от граней пирамиды. Для этого найдем уравнения всех граней и расстояния от точки О до этих граней (уравнения некоторых граней находятся в предшествующих пункту М пунктах задания 4).

Грань АВС. Уравнение грани

или 5х – 7у – 5z – 13 = 0.

Точки О и S лежат по одну сторону от грани АВС, поэтому отклонения этих точек от грани АВС имеют одинаковые знаки. Отклонение (S) точки S от грани АВС равно

> 0.

Аналогично все делается для граней ABS, BCS, CAS.

Грань ABS имеет уравнение 5х + у + 15z – 1 = 0 и
.

Грань BCS имеет уравнение 5х – 3у – 5z – 17 = 0 и
.

Наконец, грань CAS имеет уравнение 5х – 7у + 15z + 33 = 0 и
.

Так как О – центр сферы, вписанной в пирамиду SABC, то

d(O; ABC) = d(O; ABS) = d(O; BCS) = d(O; CAS) = r,

где r – радиус вписанной сферы.

Тогда координаты точки О должны удовлетворять системе

В отличие от других заданий этого модуля, коэффициенты и решение этой системы найдем приближенно, с помощью микрокалькулятора или ЭВМ. Получим систему

и уравнение вписанной сферы

1. Общее уравнение прямой на плоскости. Нормальный вектор прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

3. Каноническое и параметрическое уравнения прямой на плоскости. Направляющий вектор прямой. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

4. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

5. Уравнения прямых, проходящих через данную точку параллельно и перпендикулярно данной прямой (3 случая задания данной прямой: общим уравнением, каноническим уравнением, уравнением с угловым коэффициентом).

6. Общее уравнение плоскости в пространстве, нормальный вектор плоскости. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности.

7. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, не лежащие на одной прямой.

8. Общее, каноническое и параметрическое уравнения прямой в пространстве. Угол между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности.

9. Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

10. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данной плоскости.

11. Расстояние от точки до: прямой на плоскости; прямой в пространстве; плоскости в пространстве.

12. Уравнение линии на плоскости. Общее уравнение кривой второго порядка.

13. Каноническое и параметрическое уравнения окружности.

14. Эллипс (фокусы и директрисы, фокальные радиусы точки, эксцентриситет). Каноническое и параметрическое уравнения эллипса.

15. Гипербола (фокусы, директрисы и асимптоты, фокальные радиусы точки, эксцентриситет). Каноническое и параметрическое уравнения гиперболы.

16. Парабола (фокус и директриса, фокальный радиус точки, эксцентриситет). Каноническое уравнение параболы.

17. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

18. Полярные координаты на плоскости. Уравнение линии в полярных координатах.

19. Уравнение поверхности в пространстве. Общее уравнение поверхностей второго порядка.

20. Основные типы поверхностей второго порядка и их канонические уравнения.

1. Бугров Н.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980. 176 с.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1: Учебное пособие для студентов втузов. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1980. 320 с.

3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1981. 232 с.

4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980. 240 с.

5. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа/Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидович. – М.: Наука, 1981, 464 с.

6. Высшая математика. Методические указания и контрольные задания/Под ред. Ю.С. Арутюнова. – М.: Высшая школа, 1985.

7. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. – Изд. 3-е. – Минск: Изд-во БГУ, 1973. 532 с.

8. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты): Учеб. пособие для втузов. – М.: Высшая школа, 1983. 175 с.

9. Погорелов А.В.Аналитическая геометрия.– М.:Наука, 1968. 176с

[spoiler title=”источники:”]

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=onlain-reshit-treugolnik

http://poisk-ru.ru/s5347t9.html

[/spoiler]

Источник

Как составить уравнение медианы треугольника по координатам его вершин?

Медиана соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Следовательно, при решении задачи составления уравнения медианы нужно:

Найти координаты середины отрезка по координатам его концов.
Составить уравнение прямой, проходящей через две точки: найденную середину отрезка и противолежащую вершину.

Пример.

Дано: ΔABC, A(3;1), B(6;-3), C(-3;-7).

Найти уравнения медиан треугольника.

Решение:

Обозначим середины сторон BC, AC, AB через A₁, B₁, C₁.

1) По формулам координат середины отрезка

$[x_{A_1 } = frac{{x_B + x_C }}{2} = frac{{6 + ( - 3)}}{2} = 1,5;]$

$[y_{A_1 } = frac{{y_B + y_C }}{2} = frac{{ - 3 + ( - 7)}}{2} = - 5.]$

Уравнение медианы AA₁ будем искать в виде y=kx+b.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки A(3;1) и A₁(1,5;-5). Составляем и решаем систему уравнений:

$[left{ begin{array}{l} 1 = k cdot 3 + b; \ - 5 = k cdot 1,5 + b. \ end{array} right.]$

Отсюда k= 4; b= -11.

Уравнение медианы AA₁: y=4x-11.

2) Аналогично, координаты точки B₁ — середины отрезка AC

$[x_{B_1 } = frac{{x_A + x_C }}{2} = frac{{3 + ( - 3)}}{2} = 0;]$

$[y_{B_1 } = frac{{y_A + y_C }}{2} = frac{{1 + ( - 7)}}{2} = - 3.]$

Можно в уравнение y=kx+b подставить координаты точек B(6;-3) и B₁(0;-3) и найти k и b. Но так как ординаты обеих точек равны, уравнение медианы BB₁ можно найти ещё быстрее: y= -3.

3) Координаты точки C₁ — середины отрезка BC:

$[x_{C_1 } = frac{{x_A + x_B }}{2} = frac{{3 + 6}}{2} = 4,5;]$

$[y_{C_1 } = frac{{y_A + y_B }}{2} = frac{{1 + ( - 3)}}{2} = - 1.]$

C(-3;-7), C(4,5;-1), y=kx+b:

$[left{ begin{array}{l} - 7 = k cdot ( - 3) + b; \ - 1 = k cdot 4,5 + b; \ end{array} right. Rightarrow k = 0,8;b = - 4,6.]$

Отсюда уравнение медианы CC₁ : y=0,8x-4,6.

Источник

1007 Составить канонические
уравнения прямой, проходящей через точку М₁(2; 0; -3) параллельно: 1007.1 вектору a={2; -3;
5}; 1007.2 прямой

; 1007.3 оси Ох; 1007.4 оси Оу; 1007.5 оси Oz. 1008 Составить
канонические уравнения прямой, проходящей через
данные точки: 1008.1 (1; -2; 1), (3; 1; -1); 1008.2 (3; -1; 0), (1; 0; -3); 1008.3 (0; -2; 3), (3; -2; 1); 1008.4 (1; 2; -4), (-1; 2; -4). 1009 Составить
параметрические уравнения прямой, проходящей
через точку М₁(1; -1; -3) параллельно: 1009.1 вектору a={2; -3;
4}; 1009.2 прямой

; 1009.3 прямой

. 1010 Составить
параметрические уравнения прямой, проходящей
через данные точки: 1010.1 (3; -1; 2), (2; 1; 1); 1010.2 (1; 1; -2), (3; -1; 0); 1010.3 (0; 0; 1), (0; 1; -2). 1011 Через точки М₁(-6; 6; -5), М₂(12;
-6; 1) проведена прямая. Определить
точки пересечения этой прямой с координатными
плоскостями.
1012 Даны вершины
треугольника А(3; 6; -7), В(-5; 2; 3), С(4; -7; -2). Составить
параметрические уравнения его медианы,
проведенной из вершины С. 1013 Даны вершины
треугольника А(3; -1; -1), В(1; 2; -7), С(-5; 14; -3). Составить
канонические уравнения биссектрисы его
внутреннего угла при вершине С. 1014 Даны вершины
треугольника А(2; -1; -3), В(5; 2; -7), С(-7; 11; 6). Составить
канонические уравнения биссектрисы его внешнего
угла при вершине А. 1015 Дан вершины
треугольника А(1; -2; -4), В(3; 1; -3), С(5; 1; -7). Составить
параметрические уравнения его высоты,
опущенного из вершины В на противоположную
сторону. 1016 Дана прямая

. Вычислить
проекции какого-нибудь ее направляющего вектора
а на координатные оси. Найти общее выражение
проекций произвольного направляющего вектора
этой прямой на координатные оси. 1017 Дана прямая

. Найти
разложение какого-нибудь ее направляющего
вектора а по базису i, j, k. Выразить в общем виде
разложение произвольного направляющего вектора
этой прямой по базису i, j, k. 1018 Составить
канонические уравнения прямой, проходящей через
точку М₁(2; 3; -5) параллельно
прямой

. 1019 Составить
канонические уравнения следующих прямых: 1019.1

; 1019.2

; 1019.3

. 1020 Составить
параметрические уравнения следующих прямых: 1020.1

; 1020.2

. 1021 Доказать
параллельность прямых: 1021.1

; 1021.2

; 1021.3

. 1022 Доказать
перпендикулярность прямых: 1022.1

; 1022.2

; 1022.3

. 1023 Найти острый
угол между прямыми

. 1024 Найти тупой
угол между прямыми

. 1025 Определить
косинус угла между прямыми

. 1026 Доказать, что
прямые, заданные параметрическими уравнениями

, пересекаются. 1027 Даны прямые

; при
каком значении l они пересекаются? 1028

Доказать,
что условие, при котором две прямые и лежат в одной плоскости, может быть
представлено в следующем виде:

1029 Составить
уравнения прямой, которая проходит через точку М₁(-1;
2; -3) перпендикулярно к вектору a={6;
-2; -3} и пересекает прямую

. 1030 Составить
уравнения прямой, которая проходит через точку
М(-4; -5; 3) и пересекает две прямые

.
1031 Составить
параметрические уравнения общего
перпендикуляра двух прямых, заданных
уравнениями

. 1032 Даны
уравнения движения точки М(x; y; z):

. Определить скорость v. 1033 Даны
уравнения движения точки М(x; y; z):

. Определить расстояние d, которое
пройдет эта точка за промежуток времени от t₁=0
до t₂=7. 1034 Составить
уравнения движения точки М(x; y; z), которая, имея
начальное положение М₀(3; -1; -5), движется прямолинейно и равномерно
в направлении вектора s={-2; 6; 3} со скоростью v=21. 1035 Составить
уравнения движения точки М(x; y; z), которая,
двигаясь прямолинейно и равномерно, прошла
расстояние от точки М₁(-7; 12; 5) до точки М₂(9; -4; -3) за промежуток времени от t₁=0
до t₂=4. 1036 Точка М(x; y; z)
движется прямолинейно и равномерно из
начального положения М₀(20; -18; -32)
в направлении, противоположном
вектору s={3; -4; -12}, со скоростью v=26. Составить
уравнения движения точки М и определить точку, с
которой она совпадает в момент времени t=3. 1037 Точки М(x; y; z)
и N(x, y, z) движутся прямолинейно и равномерно:
первая из начального положения М₀(-5;
4; -5) со скоростью v_M=14 в направлении вектора s={3; -6; 2}, вторая
из начального положения N₀(-5; 16; -6) со скоростью v_N=13 в направлении, противоположном
вектору r={-4; 12; -3}. Составить уравнения движения
каждой из точек и, убедившись, что их траектории
пересекаются, найти: 1037.1 точку Р
пересечения их траекторий; 1037.2 время,
затраченное на движение точки М от М₀
до Р; 1037.3 время,
затраченное на движение точки N от N₀
до Р; 1037.4 длины
отрезков M₀P и N₀P.

Источник

Ника

Высший разум

(181432)

13 лет назад

Решение:
1) Найдем уравнение медианы АМ, для этого найдем координаты точки М (4;3;5)
(х-1)/(4-1)=(у-2)/(3-2)=(z-3)/(5-3)
(x-1)/3=(y-2)/1=(z-3)/2 – искомое уравнение медианы.
2) Найдем каноническое уравнение высоты АН, для этого найдем уравнение стороны ВС:
(x-3)/2=(y-4)/(-2)=(z-4)/2
Направляющий вектор этой прямой n(2;-2;2) является нормальным вектором для плоскости проходящей через точку А и перпендикулярно прямой ВС
2(x-1)-2(y-2)+2(z-3)=0
x-y+z-2=0 – уравнение плоскости, найдем основание перпендикуляра, точку Н:
(x-3)/2=t
(y-4)/(-2)=t
(z-4)/2=t
Получили:
x=2t+3
y=2t+4
z=2t+4
2t+3-2t-4+2t+4-2=0
2t=-1
t=-0.5
Тогда H(2;3;3)
Уравнение высоты:
(x-1)/1=(y-2)/1=(z-3)/0

Елена Гужвенко

Гений

(53581)

13 лет назад

Помогу про высоту.
1) Найти вектор ВС=(2,-2,3), он будет перпендикулярен высоте АН.
2) Найдем координаты любого вектора (х, у, z), параллельного АН, то есть перпендикулярного ВС.
Возьмем х=0, у=1, найдем z с помощью скалярного произведения ВС на (0,1,z):
2*0+(-2)*1+3*z=0
-2=-3z
z=2/3
Нашли вектор, параллельный АН, тогда уравнение высоты АН:
(x-1)/0=(y-2)/1=(z-3)/(2/3) каноническое уравнение высоты АН

Источник

Параметрические уравнения прямой
Прямая линия однозначно определена, если на ней задана точка и ненулевой вектор, параллельный этой прямой. В дальнейшем такой вектор будем называть направляющим вектором. Если – направляющий вектор, то для любой точки , принадлежащей прямой справедливо: . Из определения коллинеарных векторов следует соотношение . Так как вектор , то последнее равенство равносильно системе
, или .
Полученные три уравнения называются параметрическими уравнениями прямой, а – параметром.

Канонические уравнения прямой
Если использовать условие коллинеарности векторов, выраженное через их координаты, то получим уравнения, которые называются каноническими уравнениями прямой:
.

Задача 1
Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точки и .
Решение
Вектор параллелен прямой, следовательно, мы можем выбрать его в качестве направляющего вектора. Подставляя в канонические уравнения прямой координаты любой из заданных точек, например , получим систему канонических уравнений прямой .

Задача 1

Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точки и .

Решение

Вектор параллелен прямой, следовательно, мы можем выбрать
его в качестве направляющего вектора. Подставляя в канонические уравнения
прямой координаты любой из заданных точек, например , получим систему канонических
уравнений прямой

Следует заметить, что канонические и параметрические
уравнения прямой выглядят различно, в зависимости от того, координаты какой
точки в них подставлены вместо чисел , и . Кроме того, в данной задаче одна из координат направляющего
вектора равна нулю, а это означает, что один из знаменателей в канонических
уравнениях равен нулю. Такая запись для канонических уравнений прямой считается
вполне допустимой. Чтобы понять, как в данном случае расположена в пространстве
прямая, перейдем к параметрическим уравнениям. Для этого каждое из трех равных
отношений обозначим через и получим
, или . Из последних уравнений ясно, что заданная прямая лежит в
плоскости .

Задача 2
Составьте параметрические уравнения медианы, проведенной из вершины в треугольнике , если заданы координаты его вершин , и .
Решение
На медиане задана точка (рис.8). Направляющим вектором для нее может являться вектор (рис. 8). Вычислим координаты векторов и , а также вектора . Подставим в параметрические уравнения прямой вместо координаты вектора , а вместо – координаты точки . Получим .
Ответ:
, , .

Рис. 8

Угол между прямыми
Пусть и – направляющие векторы двух прямых. Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Для косинуса этого угла справедлива формула:
.

Условие перпендикулярности прямых
или .

Условие параллельности прямых
или .

Условия пересечения
прямых в пространстве

Если

– направляющие векторы двух прямых, а

– точки на этих прямых, то прямые пересекаются или
скрещиваются в зависимости от того, компланарны или нет векторы

(рис.9).

Прямые скрещиваются, если смешанное произведение

(рис.9 a).

Прямые пересекаются, если смешанное произведение

(рис.9 b).

Рис. 9
a

Рис. 9
b

Задача 3
При каком значении прямые и пересекаются?
Решение
Для первой прямой: направляющий вектор и точка . Для второй прямой: направляющий вектор и точка . Вычислим координаты вектора и учтем, что прямые пересекаются, если смешанное произведение векторов и равно нулю. =. Поскольку , то .
Ответ:
.

Приведение общих уравнений прямой к
каноническому виду

Пусть прямая задана общими уравнениями

Рис. 10

Если нужно привести ее уравнения к каноническим или
параметрическим, то следует выбрать на этой прямой какую-то точку и найти
вектор, параллельный ей. Координатами точки, принадлежащей прямой,
является любое из решений заданной линейной системы. Направляющим вектором
прямой является вектор

, где

– нормальные векторы плоскостей, задающих прямую
(рис. 10).

Задача 4
Приведите уравнения прямой к каноническому виду.
Решение
Выберем на прямой точку с аппликатой . Подставим в общие уравнения прямой и найдем остальные координаты точки из системы. . Складывая уравнения системы, получим , или . Подставляя это в любое уравнение, найдем , Итак, точка принадлежит прямой. Нормальные векторы плоскостей, задающих прямую: и . Тогда направляющий вектор прямой равен их векторному произведению . Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид .
Ответ:
.