Как найти параметрическое уравнение прямой через общее - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Получить уравнение прямой, проходящей через две точки помогут созданные нами калькуляторы. Предлагаем найти каноническое и параметрическое уравнение прямой, а также уравнение прямой с угловым коэффициентом как на плоскости, так и в пространстве.

Прямая – это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Уравнения прямой, проходящей через две точки могут быть следующих видов:

каноническое уравнение,
параметрическое уравнение,
общее уравнение прямой,
уравнение прямой с угловым коэффициентом,
уравнение прямой в полярных координатах и другие.

Для получения уравнений введите координаты двух точек прямой. Онлайн-калькулятор найдет уравнения и выдаст результат с подробным решением.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}

x_a и y_a – координаты первой точки A,

x_b и y_b – координаты второй точки B

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

{begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases}}

x_a, y_a – координаты точки, лежащей на прямой,

{l;m} – координаты направляющего вектора прямой,

t – произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

{dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a} = dfrac{z-z_a}{z_b-z_a}}

x_a, y_a и z_a – координаты первой точки A,

x_b, y_b и z_b – координаты второй точки B

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a \ z=n cdot t + z_a end{cases} }

x_a, y_a и z_a – координаты точки, лежащей на прямой,

{l;m;n} – координаты направляющего вектора прямой,

t – произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Пример нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки

Найдем уравнения прямой, проходящей через точки A(1,2) и B(3,8).

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид {dfrac{x-x_a}{x_b-x_a} = dfrac{y-y_a}{y_b-y_a}}

Подставим в формулу координаты точек A и B: {dfrac{x-1}{3-1} = dfrac{y-2}{8-2}}

Получаем каноническое уравнение прямой: {dfrac{x-1}{2} = dfrac{y-2}{4}}

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Из канонического уравнения получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом: {y=3x-1}

Параметрическое уравнение прямой

Параметрическое уравнение прямой имеет вид:

{ begin{cases} x=l cdot t + x_a \ y=m cdot t + y_a end{cases} }

где {x_a, y_b} – координаты точки, лежащей на прямой, {{l;m}} – координаты направляющего вектора прямой, t – произвольный параметр, аналогичный параметру в векторно-параметрическом уравнении. В качестве координат используем координаты точки {A(x_a, y_b)}.

Найдем координаты направляющего вектора:

overline{AB} = {x_b – x_a; y_b – y_a} = {3-1; 8-2} = {2; 6}

Получаем параметрическое уравнение:

begin{cases} x=2 t + 1 \ y=6 t + 2 end{cases}

Используем калькулятор для проверки полученного ответа.

Источник

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

В данной статье мы рассмотрим параметрическое уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения параметрического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в параметрическом виде в канонический и общий виды.

Параметрическое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

где x₁, y₁ координаты некоторой точки M₁ на прямой L. Вектор q={m, p} является направляющим вектором прямой L, t − некоторый параметр.

Отметим что при записи уравнения прямой в параметрическом виде, направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором, т.е хотя бы один координат направляющего вектора q должен быть отличным от нуля.

Для построения прямой на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат, заданной параметрическим уравнением (1), достаточно задать параметру t две разные значения, вычислить x и y и провести через эти точки прямую линию. При t=0 имеем точку M₁(x₁, y₁) при t=1, получим точку M₂(x₁+m, y₁+p).

Для составления параметрического уравнения прямой на плоскости L достаточно иметь точку на прямой L и направляющий вектор прямой или две точки, принадлежащие прямой L. В первом случае, для построения параметрического уравнения прямой нужно координаты точки и направляющего вектора вставить в уравнение (1). Во втором случае сначала нужно найти направляющий вектор прямой q={m, p}, вычисляя разности соответствующих координатов точек M₁ и M₂: m=x₂−x₁, p=y₂−y₁(Рис.1). Далее, аналогично первому случаю, подставить координаты одной из точек (не имеет значение какой именно) и направляющего вектора q прямой в (1).

Можно также вывести формулу параметрического уравнения прямой, проходящей через две точки. Для этого подставим значения m=x₂−x₁, p=y₂−y₁ в (1), получим параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂):

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(3,−1) и имеет направляющий вектор q={−3, 5}. Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Для построения параметрического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Ответ:

Пример 2. Прямая проходит через точки M₁=(−5, 2) и M₂=(−2, 3). Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Воспользуемся формулой (2). Подставим координаты точек M₁ и M₂ в уравнение (2):

Упростим полученное уравнение:

Ответ:

Приведение параметрического уравнения на плоскости к каноническому виду

Выразим параметр t в (1) через переменные x и y:

Из выражений (3), можем записать каноническое уравнение прямой на плоскости:

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 3. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к каноническому виду.

Решение: Выразим параметр t через переменные x и y:

Из выражений (5), можем записать:

Ответ.

Приведение параметрического уравнения на плоскости к общему виду

Для приведения параметрического уравнения прямой на плоскости к общему виду, в формулах (1) выразим из второго уравнения параметр t через переменную y и подставим в первое уравнение:

Умножим обе части уравнения (6) на p и группируем элементы уравнения:

Сделаем обозначения: A=p, B=−m, C=−px₁+my₁. Тогда получим общее уравнение прямой:

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к общему виду.

Решение: В уравнении (9) имеем: x₁=−5, y₁=0, m=4, p=−2. Подставим эти значения в формулу (7):

Упростив выражение (10) получим общее уравнение прямой (9):

Ответ.

Источник

Простейшая
линия на плоскости – прямая.

Уравнение
линии на плоскости:

Уравнение
с угловым коэффициентом–

Под углом
наклона
прямой понимается наименьший угол, на
который нужно повернуть вокруг точки
пересечения прямой и осипротив часовой стрелки осьдо ее совпадения с прямой.

Число
=tgназываетсяугловым коэффициентомпрямой, а уравнение–уравнением прямой с угловым
коэффициентом.

Если прямая проходит через начало
координат, то
и, следовательно, уравнение прямой будет
иметь вид.

Если прямая параллельна оси
,
то,
следовательно,=tg=0
и уравнение имеет вид.

Если прямая параллельна оси
,
тои уравнение теряет смысл, так как для
нее угловой коэффициент=tg=tgне существует. В этом случае уравнение
прямой будет иметь вид,
гдеабсцисса
точки пересечения прямой с осью.

Общее
уравнение–,
где,
так как нормальный векторпрямойL:не равен нулю и перпендикулярен прямойL.

Возможны два случая.

Если
,
то уравнение имеет вид,
причем,
т. е..
Это есть уравнение прямой, параллельной
осии проходящей через точку.

Если
,
то получаем уравнение.
Это есть уравнение прямой с угловым
коэффициентом=tg=.

Есть частные случаи общего уравнение
прямой:

Если
,
то уравнение приводится к виду.
Это есть уравнение прямой, параллельной
оси;
Если
,
то прямая параллельна оси;
Если
,
то получаем.
Уравнению удовлетворяют координаты
точки,
прямая проходит через начало координат.

Уравнение
прямой, проходящей через две заданные
точки–(при,).

Пусть прямая проходит через точки
М₁(x₁;y₁)иM₂(x₂;y₂).
Уравнение прямой, проходящей через
точкуМ₁, имеет видy–y₁=k(x–x₁),
гдеk– пока
неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку
M₂(x₂;y₂),
то координаты этой точки должны
удовлетворять уравнениюy₂–y₁=k(x₂–x₁).
Отсюда находим.
Подставляя найденное значениев уравнениеy–y₁=k(x–x₁),
получим уравнение прямой, проходящей
через точкиМ₁иM₂:.

Параметрическое
уравнение –

Пусть на плоскости зафиксирована
прямоугольная
декартова система координатOxy.
Зададим прямуюa, указав лежащую на
ней точкуM₁(x₁;y₁)
и направляющий вектор этой прямой.

Возьмем произвольную точку плоскости
M(x;y).
Мы можемвычислить
координаты вектора.
Очевидно, что множество всех точек
M(x;y)
задают прямую, проходящую через точкуM₁(x₁;y₁)
и имеющую направляющий вектор,
тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны.

Необходимое
и достаточное условие коллинеарности
векторовизаписывается в виде уравнения,
где– некоторое действительное число.
Полученное уравнение называется
векторно-параметрическим уравнением
прямой. Векторно-параметрическое
уравнение прямой в координатной форме
имеет вид.
Уравнения полученной системыназываютсяпараметрическими
уравнениями прямойна плоскости.

Каноническое
уравнение –

Пусть на плоскости зафиксирована
прямоугольная
декартова система координатOxy.
Нужно получить уравнение прямойa,
еслиM₁(x₁;y₁)
– некоторая точка прямойaи-направляющий
вектор прямойa.

Пусть M(x;y)-
плавающая точка прямойa. Тогда
векторявляется направляющим вектором прямойaи имеет координаты.
Очевидно, что множество всех точекM(x;y)на
плоскости определяют прямую, проходящую
через точкуM₁(x₁;y₁)
и имеющую направляющий вектортогда
и только тогда, когда векторыи– коллинеарны.

Равенство
в координатной форме имеет вид.

Если
и,
то мы можем записать.

Полученное уравнение вида
называютканоническим уравнениемпрямойна плоскости. Это уравнение также
называют уравнением прямой в каноническом
виде.

* Уравнение
прямой в отрезках –

Пусть прямая пересекает ось в точке
М₁(),
а ось– в точкеМ₂().
В этом случае уравнение имеет вид,
т. е..
Это уравнение называетсяуравнением
прямой в отрезках, так как числаиуказывают, какие отрезки отсекает прямая
на осях координат.

Полярное
уравнение –
.

Положение прямой можно определить,
указав расстояние
от полюса О до данной прямой и уголмежду полярной осью ОР и осью,
проходящей через полюс О перпендикулярно
данной прямой.

Для любой точки М()
на данной прямой имеем:

пр_l=.

С другой стороны,

пр_l=||.

Следовательно,

Полученное уравнение и есть уравнение
прямой в полярных координатахилиполярное уравнение прямой.

Нормальное
уравнение прямой –

Пусть прямая определяется заданием
и.
Рассмотрим прямоугольную систему
координатOxy. Введем
полярную систему, взявОза полюс иOx за полярную ось.
Уравнение прямой можно записать в виде,
т. е..

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные
и полярные координаты, имеем:
,.
Следовательно уравнениепрямой в прямоугольной системе координат
имеет вид.

Это уравнение называется нормальным
уравнением прямой.

Геометрический
смысл коэффициентов в уравнениях прямой.

Коэффициент kв уравнении прямой с
точностью до знака равен тангенсу
острого угла, который образует прямая
с осью.

Переход из
одного вида уравнения в другой.

Приведение общего уравнения прямойк каноническому уравнению прямой: если,
то переносим слагаемоев правую часть равенствас
противоположным знаком.
В левой части равенства выносимАза скобки.
Полученное равенство можно записать
как пропорцию вида.

Если
,
то оставляем в левой части общего
уравнения прямойтолько слагаемое,
а остальные переносим в правую часть с
противоположным знаком:.
Теперь выносим в правой части равенства–Bза скобкии записываем полученное равенство в
виде пропорции.

Переход от общего уравнения прямой к
параметрическим уравнениям прямой
проводится в два этапа: сначала общее
уравнение приводится к каноническому
виду, а затем осуществляется переход
от канонического уравнения прямой к
параметрическим уравнениям прямой.

Разберем этот алгоритм при решении
примера.

Нужно написать параметрические уравнения
прямой, которая задана общим уравнением
прямой
.

Сначала приведем исходное общее уравнение
прямой к каноническому уравнению
прямой:.

Теперь принимаем левую и правую части
полученного уравнения равными параметру
Теперь принимаем левую и правую части
полученного уравнения равными параметру
:.

Из общего уравнения прямой вида
получить
уравнение прямой с угловым коэффициентомвозможно лишь тогда, когда.

Для этого в левой части общего уравнения
прямой оставить только слагаемое:.
Затем разделить обе части полученного
равенства на число B, которое отлично
от нуля,.

Чтобы получить уравнение прямой в
отрезках вида
из общего уравнения прямой переносим
числоСв правую часть равенствас противоположным знаком, делим обе
части полученного равенства на–С,
и в заключении переносим в знаменатели
коэффициенты при переменных x иy:

Чтобы привести общее уравнение прямой
к нормальному виду нужно обе части
равенства
умножить на так называемый нормирующий
множитель, который равен.
Знак нормирующего множителя берется
противоположным знаку слагаемогоС.
Если,
то знак нормирующего множителя не имеет
значения и может быть выбран произвольно.

Для перехода к общему уравнению от
уравнения прямой в отрезках и уравнения
прямой с угловым коэффициентом достаточно
просто собрать все слагаемые в левой
части равенства:

Каноническое уравнение прямой приводится
к общему уравнению прямой с помощью
следующих преобразований:

От параметрических уравнений прямой
следует сначала перейти к каноническому
уравнению прямой, а уже потом к общему
уравнению прямо:

Соседние файлы в папке 1семестр_ответы

Источник

Прямая в пространстве – это линия, которая проходит от одной точки к другой, а также за пределы этих точек в бесконечность. Есть несколько видов уравнения прямой в пространстве: каноническое, параметрическое, угол между двумя прямыми в пространстве и т. д. Про это расскажем в данной статье и для наглядности предоставим несколько примеров.

Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве
Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки
Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению
Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
Примеры решения задач

Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве

Параметрическое и каноническое уравнение прямой рассматривается практически так, как и для прямой на плоскости. Значит, нужно составить уравнение прямой , которая проходит через данную точку $M_{1} (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ параллельно направляющему вектору .

Пусть, – произвольная точка прямой, тогда векторы $overline{M_{1}M} = (x - x_{1}, y - y_{1}, z - z_{1})$ и коллинеарные, а это значит, что координаты их пропорциональны, поэтому получаем:

${x - x_{1}over{l}} = {y - y_{1}over{m}} = {z - z_{1}over{p}}$

(1)

это и есть канонические уравнения прямой.

Приравнивая каждую из дробей (1) к параметру , запишем параметрические уравнения прямой:

$left{ begin{aligned} x = lt + x_{0}\ y = mt + y_{0}\ z = pt + z_{0} end{aligned}$

(2)

Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки

Уравнение прямой в пространстве – тема очень лёгкая, так как здесь самое важное – знать нужную формулу. Тогда легко можно решить любую задачу.

Итак, через две точки $M_{1}(x_{1}, y_{1}z_{1}$ и $M_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ можно не только геометрично провести линию, но и сложить её уравнения.

За направляющий вектор возьмём $overline{S} = overline{M_{1}M} = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1}, z_{2} - z_{1})$ , тогда по формуле (1) у нас получается:

${x - x_{1}over{x_{2} - x_{1}}} = {y - y_{1}over{y_{2} - y_{1}}} = {z - z_{1}over{z_{2} - z_{1}}}$

(3)

уравнение прямой в пространстве, которые проходят через две заданные точки.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению

Объяснение про общее уравнение прямой начнём с прямой, которая задана двумя плоскостями, что пересекаются по этой прямой.

Пусть известны их уравнения:

$left{begin{aligned}A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0\A_{2}x + B_{2}y + C{2}z + D_{2} = 0 end{aligned}$

(4)

Тогда система (4) называется общим уравнением прямой.

Чтобы перейти к каноническим уравнениям вида (1), необходимо найти вектор и точку $M_{0}$ этой прямой.

Точку $M_{0}$ находим, как один из решений системы (4). Например, положив в (4) находим $x_{0}, y_{0}$ , тогда и точку $M_{0} (x_{0}, y_{0}, 0)$ . Направляющий вектор , который параллелен к каждой из плоскостей $P_{1}$ и $P_{2}$ и перпендикулярен к их нормальным векторам $overline{n_{1}} = (A_{1}, B_{1}, C_{1})$ и $overline{n_{2}} = (A_{2}, B_{2}, C_{2})$ , то есть $overline{S}perp{overline{n_{1}}}$ , $overline{S}perp{overline{n_{2}}}$ . (см. рис. 1). Поэтому вектор можно найти при помощи векторного произведения $overline{n_{1}}$ и $overline{n_{2}}$

= $overline{n}_{1}$ x $overline{n}_{2}$ = $begin{vmatrix} overline{i}&overline{j}&overline{k}\ A_{1}&B_{1}&C_{1}\ A_{2}&B_{2}&C_{2} end{vmatrix}$

Найдены координаты $M_{0}$ и подставим в каноническое уравнение (1).

Например, от общих уравнений прямой:

$left{begin{aligned} 2x + 7y - z - 4 = 0\ 4x - 9y - 2z - 8 = 0 end{aligned}$

Перейдём к каноническим, положив в системе (при нём относительно больше коэффициенты). найдём $x = 2, z = 0, M_{0} (2, 0, 0)$ . Нормальные векторы $overline{n_{1}} = (2, 7, -1)$ и $overline{n_{2}} = (4, -9, -2)$ . Тогда направляющий вектор

Рис. 1

$overline{S} = overline{n}_{1}$ x $overline{n}_{2}$ = $begin{vmatrix} overline{i}&overline{j}&overline{k}\ 2&7&-1\ 4&-9&-2 end{vmatrix} = -23overline{i} - 0overline{j} - 46overline{k}$ ,

и канонические уравнения станут:

Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Угол между двумя прямыми :

${x - x_{1}over{l_{1}}} = {y - y_{1}over{m_{1}}} = {z - z_{1}over{p_{1}}}$ и ${x - x_{2}over{l_{2}}} = {y - y_{2}over{m_{2}}} = {z - z_{2}over{p_{2}}}$

равен углу между их направляющими векторами $overline{S_{1}} = (l_{1}, m_{1}, p_{1})$ и $overline{S_{2}} = (l_{2}, m_{2}, p_{2})$ , поэтому

${cosvarphi = cos(overline{S}_{1}}, overline{S}_{2}})$ = ${l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + p_{1}p_{2}}over{sqrt{l_{1}^2 + m_{1}^2 + p_{1}^2}} * {sqrt{l_{2}^2 + m_{2}^2 + p_{2}^2}}$

(5)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых соответственно запишутся:

${l_{1}over{l_{2}}} = {m_{1}over{m_{2}}} = {p_{1}over{p_{2}}}$ и $l_{1}l_{2} + m_{1}m_{2} + p_{1}p_{2} = 0$ .

(6)

Примеры решения задач

Давайте рассмотрим первый пример, где можно двумя способами построить прямую:

Задача

При точке и направляющем векторе необходимо:

составить каноническое уравнение прямой;
построить эту прямую.

Решение

1) По формуле (1) запишем каноническое уравнение прямой :

= .

2) Рассмотрим два способа построения прямой .

Первый способ

В системе координат строим вектор и точку и проводим через точку прямую параллельную вектору .

Второй способ

По формуле (2) запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде:

$left{begin{aligned} x = 3t + 1\ y = 0 * t + 5\ z = 4t + 2 end{aligned} right$

На рисунке видно, что при произвольных значениях из системы находим координаты соответствующих точек, которые принадлежат прямой . Так при находим координаты $M_{1}(4, 5, 6)$ . Через две точки и $M_{1}$ проводим прямую .

Очевидно, что найти острый угол между прямыми совершенно не сложно при знании темы и определённых формул. Давайте разберём такой пример:

Задача

Найти острый угол между прямыми:

(7)

Решение

По формуле (7) получаем:

= ${6 * (-2) + (-2)(-1) + 3 * (-2)}over{sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} * sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2}$ = =

Так как , тогда угол тупой, , а острый угол .

Ответ

Рассмотрим последний пример, где нужно составить уравнение. Здесь, как и в каждой задаче, важно знать и понимать, какой формулой нужно воспользоваться.

Задача

Составить уравнение прямой , которая проходит через точку и параллельна прямой .

Решение

От параметрического уравнения переходим к каноническому При условии параллельности прямых $overline{S}||overline{S_{1}}$ то есть направляющим вектором новой прямой может служить известный вектор и по формуле (1) у нас получается:

Ответ

Источник

Прямая (прямая линия) – это бесконечная линия, по которой проходит кратчайший путь между любыми двумя её точками.

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

A x + B y + C = 0

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

y = k x + b

где k – угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

k = tg φ

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами (a, 0) и (0, b), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M(x₁, y₁) и N(x₂, y₂), такие что x₁ ≠ x₂ и y₁ ≠ y₂, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x – x₁	=	y – y₁
x₂ – x₁	y₂ – y₁

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x₀y = m t + y₀

где N(x₀, y₀) – координаты точки лежащей на прямой, a = {l, m} – координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N(x₀, y₀) лежащей на прямой и направляющего вектора a = {l; m} (l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

Пример 1. Найти уравнение прямой проходящей через две точки M(1, 7) и N(2, 3).

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x – 12 – 1 = y – 73 – 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

x – 11 = y – 7-4

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

y – 7 = -4(x – 1)

y = -4x + 11

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN.

MN = {2 – 1; 3 – 7} = {1; -4}

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1y = -4t + 7

Пример 2. Найти уравнение прямой проходящей через две точки M(1, 3) и N(2, 3).

Решение. Так как M_y – N_y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN.

MN = {2 – 1; 3 – 3} = {1; 0}

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1y = 3

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M(x₁, y₁, z₁) и N(x₂, y₂, z₂), такие что x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂ и z₁ ≠ z₂, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x – x₁	=	y – y₁	=	z – z₁
x₂ – x₁	y₂ – y₁	z₂ – z₁

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x₀
y = m t + y₀
z = n t + z₀

где (x₀, y₀, z₀) – координаты точки лежащей на прямой, {l; m; n} – координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M(x₀, y₀, z₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = {l; m; n}, то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x – x₀	=	y – y₀	=	z – z₀
l	m	n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

	A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0
A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0

при условии, что не имеет место равенство

A₁	=	B₁	=	C₁	.
A₂	B₂	C₂

Источник

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Пример нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки

Каноническое уравнение прямой

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Параметрическое уравнение прямой

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Приведение параметрического уравнения на плоскости к каноническому виду

Приведение параметрического уравнения на плоскости к общему виду

Параметрическое и каноническое уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве, которая проходит через две заданные точки

Общее уравнение прямой – переход к каноническому уравнению

Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Примеры решения задач

Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой в отрезках на осях

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Вам также может понравиться

Как найти что продает ип на вайлдберриз

Восьмерка на литом диске как исправить

Как найти точку возрождения в майнкрафте

Добавить комментарий Отменить ответ