Как найти параметры четырехполюсника

Содержание:

Основы теории четырехполюсников и фильтров:

Электрическая цепь, имеющая два входных и два выходных зажима, называется четырехполюсником. Теория четырехполюсников в общем виде рассматривает основную проблему электротехники: передачу энергии от источника к приемнику через промежуточное звено — четырехполюсник.

Активные четырехполюсники содержат внутри себя также источники электрической энергии. Далее сначала рассматриваются пассивные четырехполюсники, не содержащие внутри себя источников энергии. Примером их могут служить линия передачи (рис. 9.1, а), трансформатор (рис. 9.1, б), мостовая схема (рис. 9.1, в), а также Т-образная (рис. 9.1, г) и П-образная (рис. 9.1, д) схемы, к зажимам I’, I” которых подключается источник, а к зажимам 2′, 2″ — приемник электрической энергии.

На рис. 9.2, а изображена в общем виде схема четырехполюсника. Здесь

Для вывода уравнений, связывающих входные и выходные напряжения и токи, удобно заменить приемник Z₂ с напряжением эквивалентным источником напряжения без внутреннего сопротивления (рис. 9.2, б). Согласно, э. д. с. последнего должна быть равна Тогда можно применить метод наложения. Считая сначала существующим только источник и замыкая накоротко зажимы источника — (рис. 9.2, в), находят токи которые, очевидно, будут пропорциональны напряжению

Аналогично, при наличии источника , и коротком замыкании (рис. 9.2, г)

Здесь — комплексные коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность проводимости; Y₁₁ и Y₁₂ называются входными, а Y₁₂ и Y₂₁ — взаимными проводимостями. Проводимости Y₁₂ и Y₂₁ определяют токи в короткозамкнутом выходном или входном контуре при заданном напряжении в другом контуре. При одинаковом напряжении U токи Y_l2U и Y₂₁U по принципу взаимности были бы равны между собой. Следовательно, взаимные проводимости

Действительные токи на входе и выходе четырехполюсника

Совместное решение этих уравнений дает

После введения обозначений

(9.1)

получаются уравнения четырехполюсника:

где комплексы А, В, С, D называются параметрами четырехполюсника. Между ними существует следующая связь:

Следовательно, из четырех параметров независимыми являются три.

Если входные и выходные зажимы поменять местами (рис. 9.2, д), т. е. осуществить обратное питание (индекс «о»), уравнения, очевидно, получатся аналогичными:

а параметры А’, В’, С’, D’ определятся из выражений (9.1), если индекс I заменить индексом 2 и наоборот:

Следовательно, уравнения четырехполюсника, питаемого со стороны выхода, получают вид:

Отсюда следует, что в симметричном четырехполюснике, который со стороны выходных зажимов представляет ту же цепь, что и со стороны входных, А = D и А² — ВС = 1.

С помощью уравнений четырехполюсника можно определить нагрузочный режим, т. е. найти , для заданных . Очевидно, уравнения четырехполюсника могут быть использованы также для определения двух любых величин из указанных, если заданы две другие.

Холостой ход и короткое замыкание четырехполюсника

При холостом ходе ток на выходе = 0 и уравнения четырехполюсника дают

При коротком замыкании напряжение на выходе = 0 и из уравнении четырехполюсника вытекает, что

Отсюда видно, что параметр А представляет собой отношение входного и выходного комплексных напряжений при холостом ходе четырехполюсника, a D — отношение входного и выходного комплексных токов при коротком замыкании.

Если при холостом ходе напряжение на выходе будет равно напряжению при нагрузке, а при коротком замыкании ток на выходе — току при нагрузке, уравнения четырехполюсника получают вид:

Следовательно, напряжение и ток I₁ при любом заданном режиме работы приемника могут быть определены путем наложения соответствующих режимов холостого хода и короткого замыкания.

Чтобы осуществить это наложение, надо знать, как расположить друг относительно друга векторные диаграммы холостого хода и короткого замыкания . Для этой цели нужно измерить сдвиг фаз σ между векторами при опыте холостого хода и сдвиг фаз между векторами при опыте короткого замыкания.

После этого построение ведется в следующем порядке (рис. 9.3): строится заданная диаграмма затем под углом σ к вектору т. е. отличаются от основных уравнений четырехполюсника тем, что параметры А и D поменялись местами, строится вектор , а под углом к нему — вектор под углом β к вектору I₂ строится вектор а под углом к нему — вектор После этого строятся векторы напряжения и тока на входе как суммы напряжений и токов при холостом ходе и коротком замыкании.

Так как в симметричном четырехполюснике А = D, то

т. е. угол сдвига фаз между векторами равен заданному углу сдвига фаз в нагрузке, что сразу определяет взаимное расположение векторных диаграмм холостого хода и короткого замыкания без добавочных измерений.

Указанное применение принципа наложения имеет большое значение при испытании мощных электротехнических устройств, описываемых линейными уравнениями, так как позволяет заменить опыт нагрузки, требующий источников большой мощности, опытами холостого хода и короткого замыкания при значительно меньшей мощности.

Определение параметров четырехполюсника

Если известны конкретная схема и сопротивления (проводимости) ветвей четырехполюсника, то его параметры могут быть определены расчетным путем по входным и взаимным проводимостям. Можно также исходить непосредственно из зависимостей, устанавливаемых законами Кирхгофа.

Далее в качестве примера рассмотрены простейшие схемы четырехполюсников. Так как из четырех параметров четырехполюсника независимыми являются три, простейшие схемы должны содержать три ветви, т. е. представлять собой соединение звездой (Т-образная схема, рис. 9.1, г) или треугольником (П-образная схема, рис. 9.1, д).

Для Т-образной схемы при режиме холостого хода (рис. 9.4, а) очевидны следующие соотношения:

при коротком замыкании (рис. 9.4, б)

Отсюда параметры этого четырехполюсника

Параметры П-образной схемы могут быть определены аналогичным расчетом (рис. 9.1, д). При холостом ходе

при коротком замыкании

Отсюда параметры П-схемы

Подобно тому, как при расчете цепей любой двухполюсник удобно заменить простейшим эквивалентным двухполюсником — последовательной или параллельной схемой, можно любой сложный четырехполюсник заменить простейшим эквивалентным ему, т. е. Т- или П-схемой. Решая уравнения (9.2) и (9.3), можно найти параметры этих эквивалентных схем, выразив их через параметры четырехполюсника.

Для Т-схемы

Для П-схемы

Из этих выражений видно, что схемы, эквивалентные симметричным четырехполюсникам, сами тоже симметричны, так как, если А = D, то

Если конкретная схема и параметры ветвей четырехполюсника неизвестны, его параметры могут быть определены из опытов холостого хода и короткого замыкания при питании и измерениях со стороны входа и со стороны выхода. Эти измерения позволяют определить комплексы сопротивлений короткого замыкания и холостого хода при питании схемы со стороны входных зажимов — при питании схемы со стороны выходных зажимов 2′ —2″:

Как видно из этих выражений, полные сопротивления при коротком замыкании и холостом ходе связаны между собой соотношением:

поэтому из четырех вышеупомянутых опытов необходимы лишь три, а четвертый может служить для контроля.

Параметры четырехполюсника находят по формулам, вытекающим из (9.4):

Повторное сопротивление и коэффициент распространения симметричного четырехполюсника

В технике электросвязи часто применяются симметричные четырехполюсники и такое согласование их с сопротивлением нагрузки Z, при котором сопротивление между входными зажимами также равно Z, т. е.

Сопротивление Z получило название повторного. Уравнения симметричного четырехполюсника после подстановки примут вид:

Деление первого уравнения на второе дает:

откуда

и уравнения четырехполюсника, нагруженного повторным сопротивлением, будут иметь вид:

Как видно из этих уравнений, равные между собой отношения напряжений и токов на входе и выходе являются комплексным числом. Последнее может быть представлено в показательной форме:

Следовательно, у симметричного четырехполюсника, нагруженного повторным сопротивлением, выходные напряжение и ток меньше входных в раз, а их фазы — на угол β. Поэтому α называется коэффициентом затухания, β — коэффициентом фазы, — коэффициентом распространения. Коэффициент β измеряется в радианах, α—в неперах; одному неперу соответствует затухание в е = 2,718… раз.

Так как

уравнения симметричного четырехполюсника при произвольной нагрузке могут быть переписаны в другой форме:

Передаточные функции и обратные связи четырехполюсников

Как видно из предыдущего, четырехполюсник можно рассматривать как преобразователь входных величин или в выходные или . Тогда его можно характеризовать передаточной функцией К, равной отношению выходной величины к входной. Например,

В ряде электротехнических и автоматических устройств необходимо, чтобы передаточная функция зависела от режима цепи на выходе. Для этого схема усложняется обратной связью — дополнительным четырехполюсником, питаемым выходной величиной основного четырехполюсника, например напряжением а выходная величина дополнительного четырехполюсника, например напряжение включается последовательно с источником первичного напряжения (рис. 9.5).

Пусть передаточная функция четырехполюсника обратной связи равна . Тогда входное напряжение основного четырехполюсника, передаточная функция которого

окуда передаточная функция всей системы

Из этого выражения видно, что передаточную функцию К’ системы можно изменять, регулируя передаточную функцию К_о устройства обратной связи.

Цепные схемы и электрические фильтры

Цепные схемы состоят из каскадно включенных четырехполюсников, называемых звеньями (рис. 9.6).

При этом выходные зажимы каждого предыдущего звена соединяются с входными последующего. Если все n четырехполюсника одинаковы и симметричны, а последний нагружен своим повторным сопротивлением Z, то оно будет также входным сопротивлением последнего звена, нагрузкой предпоследнего звена, его входным сопротивлением и т. д. Величина — коэффициент распространения одного звена схемы), на которую надо умножать выходные величины каждого звена, чтобы получить входные, также одинакова для всех звеньев. В результате Z является повторным сопротивлением всей цепной схемы, а ее коэффициент распространения

Тогда уравнения n-звенной цепной схемы будут:

В различных электротехнических устройствах между источником энергии и приемником включают электрические фильтры в виде четырехполюсников или цепных схем, чтобы пропустить к приемнику только токи заданного диапазона частоты.

Фильтры различаются по диапазону пропускаемых частот: низкочастотные — от 0 до заданного значения ω, высокочастотные — от ω до , полосные — от ω₁ до <ω₂, заграждающие — от 0 до <ω₁ и от <ω₂ до , причем ω₁ < ω₂, т. е. они не пропускают частоты от ω₁ до ω₂.

Идеальным был бы фильтр, нагруженный сопротивлением, npи всех частотах равным повторному. Кроме того, коэффициент затухания а в области пропускания должен быть равен нулю, а вне этой области — бесконечности. При этом в области пропускания

т. е. напряжение, ток и сдвиг фаз между ними и, следовательно, средняя мощность Р₁ на входе и Р₂ на выходе равны; вне области пропускания npи напряжение U₂=0 и ток I₂ = 0. Так как в области пропускания Р₁ = Р₂ потери в идеальном фильтре должны отсутствовать, т. е. он должен состоять из чисто реактивных элементов.

Далее даны примеры простейших фильтров. На рис. 9.7, а показан низкочастотный фильтр, Так как для этого Т-образного симметричного четырехполюсника Z₁ = Z₂ = его параметры (в отличие от емкости параметр С дается со звездочкой):

но в данном случае А — вещественное число, следовательно,

(9.5)

Так как в области пропускания а = 0, ch а= 1, то А = cosβ может изменяться в пределах ±1 и границы области пропускания определяются из неравенства

Следовательно, фильтр будет пропускать без затухания частоты от

Повторное сопротивление фильтра

уменьшается с ростом частоты, начиная со значения -при ω=0 до нуля в конце области пропускания при ω = , оставаясь при этом вещественным, т. е. активным сопротивлением. Поэтому при нагрузке повторным сопротивлением входное сопротивление фильтра, равное повторному, будет также чисто активным, т. е. для всех частот области пропускания фильтр работает в режиме резонанса. При большей частоте Z становится мнимым и носит индуктивный характер (рис. 9.7, б).

Если бы нагрузка Z₂ на выходе фильтра в области пропускания мела бы ту же частотную характеристику, т. е. при всех частотах I₂= Z, то фильтр в области пропускания был бы идеальным. Однако такое согласование, очевидно, невозможно, и фильтр работает с а = 0 только при ограниченном числе частот.

Вне области пропускания коэффициент затухания а может быть oпределен из уравнения (9.5); этот коэффициент от 0 при нарастает постепенно, т. е. в области затухания фильтр не является идеальным.

Вторым примером может служить П-образный четырехполюсник, изображенный на рис. 9.8, у которого Его параметр

тот же, что и у рассмотренного Т-образного четырехполюсника, следовательно, он также является низкочастотным фильтром.

Простейший высокочастотный фильтр показан на рис. 9.9. Так как у этого Т-образного симметричного четырехполюсника

его параметры

Так же, как и в первом примере, А — вещественное число, поэтому в области пропускания А = cos β изменяется в пределах

Нижний предел соответствует , верхний т. е. этот фильтр будет пропускать без затухания частоты от до при нагрузке повторным сопротивлением.

Вне области пропускания коэффициент затухания а может быт.1 определен из уравнения

При коэффициент затухания а = 0, а с уменьшением частоты становится отрицательным, возрастая по абсолютной величине, т. е. и этот фильтр в области затухания не является идеальным.

Повторное сопротивление этого фильтра

равно нулю при и увеличивается до при оставаясь вещественным, т. е. активным сопротивлением. Тогда фильтр при нагрузке повторным сопротивлением работал бы в режиме резонанса. Однако такая частотная характеристика нагрузки, т. е. Z₂ =Z, при всех частотах невозможна, поэтому фильтр будет работать с β=0 только при ограниченном числе частот.

Полосный фильтр можно получить путем последовательного соединения низкочастотного фильтра, пропускающего частоты до ω₂, и высокочастотного, пропускающего частоты выше ω₁ причем ω₁<ω₂. Такой фильтр будет пропускать полосу частот от ω₁ до ω₂, работая в ней при Z₂ = Z в режиме резонанса.

Обычно в фильтрах всех типов вместо одного звена применяют цепную схему. Приведенный расчет области пропускания не изменится, так как для цепной схемы а = nа₁ и при а₁= 0 коэффициент а=0. Чем больше число звеньев, тем больше и число частот, при которых Z₂ = Z, что вместе с увеличением a в n раз вне области пропускания приблизит фильтр к идеальному. Усложнение схемы звена также может улучшить качество фильтра.

Кроме фильтров, рассчитанных на диапазоны пропускаемых частот, применяются фильтры, пропускающие или задерживающие определенные частоты.

Активные четырехполюсники

Активными называются четырехполюсники, содержащие источники энергии. Примерами их могут служить усилитель и линия передачи, в разных точках которой включены дополнительные источники энергии.

Активный четырехполюсник условно изображается в виде прямоугольника с буквой А (рис. 9.10, й). Для вывода уравнений активного четырехполюсника удобно заменить приемник Z₂ источником напряжения.

И применить метод наложения в два этапа. Сначала принимаются в расчет только внешние источники , источники же э. д. с. внутри четырехполюсника считаются замкнутыми, а источники тока разомкнутыми, причем от всех источников остаются только внутренне сопротивления. Тогда активный четырехполюсник превратится в пассивный, изображенный на рис, 9.2, б, который, в свою очередь, эквивалентен пассивному четырехполюснику рис. 9.2, а. Поэтому для первого этапа наложения

(9.6)

где А, В, С, D — параметры пассивного четырехполюсника.

Во втором этапе принимаются в расчет все внутренние источники, а источники замыкаются накоротко (рис. 9.10,6). Пусть токи во внешних ветвях при этом будут Тогда токи входа и выхода активного четырехполюсника оказываются равными

После подстановки найденных отсюда значений в (9.6) получаются уравнения активного четырехполюсника:

Из этих уравнений видно, что активный четырехполюсник рис. 9.10, а эквивалентен пассивному, к входным и выходным зажимам которого подключены ветви с источниками тока. (рис. 9.10, в), заменяющими все внутренние источники четырехполюсника. Токи эквивалентных источников тока определяются в каждом частном случае расчетом.

Таким образом, расчет цепей с активными четырехполюсниками сводится к расчету цепей с пассивными четырехполюсниками.

Четырехполюсники при переменных токах и напряжениях

Нередко возникает задача исследовать изменение режима одной ветви сложной электрической цепи при изменении электрических характеристик в другой ветви.

Решение такой задачи облегчается с помощью приятия о четырехполюснике, так как в анализе рассматриваются только две ветви, а режим остальной части цени может оставаться неизвестным.

Такой метод применяется при исследовании линий электропередачи, трансформаторов, электрических машин, усилителей и др.

Уравнения четырехполюсника

Каждая из двух любых ветвей электрической цепи, которые предполагается рассмотреть во взаимосвязи, присоединены к остальной части цепи двумя зажимами или, как еще говорят, в двух полюсах (рис. 18.1, а).
 

Часть электрической цепи, имеющая две пары зажимов, одна из которых является входной, а другая — выходной, называется четырехполюсником.

Внутреннее содержание и схемы четырехполюсников могут быть разнообразны. Задача состоит в том, чтобы написать общие выражения, пригодные для любого четырехполюсника.

Постановка задачи

Четырехполюсник, имеющий в своих ветвях источники электрической энергии, называется активным, а четырехполюсник, не имеющий в своих ветвях источников энергии, — пассивным.

Режим работы четырехполюсника относительно двух ветвей, которые присоединяются к его зажимам, вполне определен, если известны напряжения и токи на входе и выходе: u₁, u₂, i₁, i₂.

Рис. 18.1. К вопросу о четырехполюснике

Задача ставится так: из четырех величин, определяющих режим четырехполюсника, две величины заданы; их можно рассматривать как заданные воздействия на цепь. Необходимо найти две другие величины которые являются откликами на эти воздействия.

На практике чаще приходится рассматривать схемы, в которых одна из ветвей, присоединенных к четырехполюснику, содержит источник энергии, а другая — приемник.

Зажимы, к которым присоединяется ветвь с источником, будем считать входными, а зажимы, к которым присоединяется приемник, — выходными.
Входными зажимами может быть любая пара зажимов — первичная 1—1 или вторичная 2—2 (рис. 18.1, б).

Основные уравнения четырехполюсника

Обозначим комплексы напряжения и тока со стороны первичных зажимов  со стороны вторичных зажимов —
В режиме четырехполюсника ничего не изменится, если вместо приемника  ко вторичным зажимам присоединить источник, э. д. с. которого (рис. 18.1, в).

После такой замены можно применить метод наложения для нахождения зависимости между входными и выходными напряжениями и токами.
При коротком замыкании зажимов 2—2 (источник Е₂ исключен) частные токи в схеме вызывает э.д. с. Е₁. Величины их пропорциональны напряжению U₁:

При наличии источника Е₂ и коротком замыкании зажимов 1—1 величины токов пропорциональны U₂:

 
Коэффициенты пропорциональности имеют размерность проводимости:   — входные проводимости;   — взаимные проводимости.
В соответствии с принципом взаимности взаимные проводимости равны между собой:
Применяя принцип наложения токов, находим:
  
или

Из этих уравнений можно получить другие уравнения, у которых заданными можно считать напряжение и ток на выходе четырехполюсника, а искомыми — напряжение и ток на входе. Для этого систему (18.1) надо решить относительно :

В этих уравнениях комплексы    называются коэффициентами или параметрами четырехполюсника:

Уравнения в форме (18.2) удобно применять в тех случаях, когда четырехполюсник выполняет роль передаточного звена между источником и приемником энергии.

Свойства четырехполюсников

Между коэффициентами четырехполюсника имеется такая связь:

Это нетрудно доказать, если в формулу (18.4) подставить выражения (18.3).
Если поменять местами входные и выходные зажимы (рис. 18.1, г), то уравнения вида (18.1) можно записать, поменяв индексы при всех величинах:

Решение этих уравнений относительно и  дает

Сопоставление (18.5) и (18.2) показывает, что при перемене местами входных и выходных зажимов в уравнениях четырехполюсника меняются местами коэффициенты  и .
Отсюда следует, что при равенстве коэффициентов  и  четырехполюсник имеет одинаковую цепь со стороны той и другой пары зажимов. Такой четырехполюсник называется симметричным.

Задача 18.1.

Определить коэффициенты    четырехполюсника, схема которого показана на рис. 18.2, а. Параметры схемы: R₁ = 20 Ом; Х_1L = 30 Ом; R₂ = 5 Ом; Х_2L = 15 Ом.

Рис. 18.2. К задаче 18.1

Решение. Для решения задачи воспользуемся методом наложения для определения входных и взаимных проводимостей со стороны первичных зажимов при коротком замыкании на выходе и со стороны вторичных зажимов при коротком замыкании на входе (рис. 18.2, в):

так как  что видно из схемы рис. 18.2, б;

По формулам (18.3) определить другие коэффициенты четырехполюсника.

Режимы четырехполюсника

Для практики наибольший интерес представляет нагрузочный режим четырехполюсника. Однако раньше рассмотрим режимы холостого хода й короткого замыкания на выходе четырехполюсника, которые используются, в частности, для определения его параметров.

Холостой ход и короткое замыкание

В режиме холостого хода на выходе четырехполюсника (рис. 18.4, а)   При коротком замыкании вторичных зажимов (рис. 18.4, б)  

Рис. 18.4. К вопросу о режимах четырехполюсника

Из уравнений (18.2) следует

Из этих выражений предоставляется возможным выразить параметры четырехполюсника:

Если провести опыты холостого хода и короткого замыкания, измерить напряжения и токи (модули и фазы) на входе и выходе четырехполюсника, то параметры его легко определить по формулам (18.7).
Из опыта холостого хода можно также найти входное сопротивление при разомкнутых вторичных зажимах [см. (18.6)]:

Из опыта короткого замыкания [см. (18.6)] находят входное сопротивление при замкнутых накоротко вторичных зажимах:

Если известны внутренняя схема и сопротивления всех ветвей пассивного четырехполюсника, то параметры его можно найти расчетом, применяя известные методы преобразования схем. Сначала определяют входные сопротивления и  и дополнительно — входное сопротивление со стороны вторичных зажимов при разомкнутых первичных зажимах Из уравнений (18.5)

Совместным решением четырех уравнений (18.4), (18.8), (18.9), (18.10) определяют коэффициенты четырехполюсника.
В качестве контрольного можно использовать уравнение, полученное на основе режима короткого замыкания на первичной стороне.
Входное сопротивление со стороны вторичных зажимов при коротком замыкании на первичной стороне из (18.5) при

Режим при нагрузке

Напряжение и ток на входе четырехполюсника (18.2) состоят из двух слагаемых.
Учитывая выражения (18.7), основные уравнения четырехполюсника можно записать так:

Из уравнений видно, что напряжение и ток на входе четырехполюсника в режиме при нагрузке определяют наложением соответствующих величин, известных по режимам холостого хода и короткого замыкания.
Рабочий режим четырехполюсника в некоторых случаях характеризуется входным сопротивлением со стороны первичных зажимов  и со стороны вторичных зажимов
Разделим первое уравнение (18.2) на второе:

Но  поэтому

где — сопротивление нагрузки на вторичной стороне.
Входное сопротивление со стороны вторичных зажимов найдем из уравнений (18.5):

Учитывая, что где  — сопротивление нагрузки на первичной стороне, найдем

 

Задача 18.3.

Определить коэффициенты    четырехполюсника, схема которого показана на рис. 18.2, а. Параметры схемы – по условию задачи 18.1: R₁ = 20 Ом; Х₁ = 30 Ом; R = 5 Ом; Х₂ = 15 Ом.
Решение. В данном случае определим коэффициенты четырехполюсника на основе опытов холостого хода и короткого замыкания. Совместное решение уравнений (18.4), (18.8), (18.9), (18.10) дает:





Вычислить другие коэффициенты четырехполюсника.

Схемы замещения пассивного четырехполюсника

Пассивный четырехполюсник, у которого сопротивления элементов схемы постоянны, можно привести к одной из эквивалентных схем замещения с тремя ветвями, соединенными звездой или треугольником.

Т-образная схема замещения

Три ветви пассивного четырехполюсника, соединенные звездой, образуют Т-образную схему замещения (рис. 18.5, а). Для этой схемы ток на входе


Напряжение” на входе

Подставляя I₁ из (18.14), получим

или


Рис. 18.5. Эквивалентные схемы четырехполюсников

Сопоставляя полученные уравнения входных величин тока (18.14) и напряжения (18.15) с уравнениями четырехполюсника (18.2), найдем выражения коэффициентов Т-образной схемы замещения пассивного четырехполюсника:

П-образная схема замещения

В схеме рис. 18.5, а звезду сопротивлений  можно заменить эквивалентным треугольником сопротивлений

После такой замены получим эквивалентную П-образную схему замещения пассивного четырехполюсника (рис. 18.5, б).

Выразим входные величины этой схемы:

или



или

Сопоставляя полученные уравнения напряжения (18.17) и тока (18.18) с основными уравнениями четырехполюсника (18.2), найдем выражения коэффициентов для П-образной схемы замещения пассивного четырехполюсника:

Приведение любой схемы четырехполюсника к одной из эквивалентных схем

Параметры схем замещения и постоянные пассивного четырехполюсника связаны формулами (18.16) и (18.19). Из них нетрудно выразить сопротивления Т- и П-образных схем.
Параметры:
Т-образной схемы из (18.16)

П-образной схемы из (18.19)

Отсюда следует путь приведения любой заданной схемы пассивного четырехполюсника к одной из эквивалентных схем:

1. Определить расчетом или на основе опыта коэффициенты    заданного четырехполюсника.
2. По формулам (18.20) или (18.21) найти параметры эквивалентной схемы замещения.

Далее эквивалентную схему можно использовать для анализа заданного четырехполюсника наравне с исходной схемой.

Основы теории линейных четырёхполюсников

Системы собственных параметров четырёхполюсников

Среди многополюсников (см. лекцию 1) особое место в теории цепей принадлежит четырёхполюсникам. К ним относятся: трансформаторы, усилители, электрические фильтры, линии связи, амплитудные и фазовые корректоры и другие устройства. Все они, несмотря на принципиальные схемные различия и специальное назначение, обладают рядом существенных общих свойств.

Обычно схема четырёхполюсника и параметры составляющих его элементов известны. Однако теория четырёхполюсников позволяет проанализировать свойства той или иной цепи и получить схему её замещения даже в случае, когда внутренняя структура исследуемого устройства неизвестна, т. е. когда четырёхполюсник представляет собой так называемый “чёрный ящик”. Кроме того, методы теории четырёхполюсников применяются в задачах их синтеза.

Определение и классификация четырёхполюсников

Определение:

Четырёхполюсником (рис. 20.1) называется электрическая цепь произвольной сложности, которая может быть соединена с внешними по отношению к ней цепями через две пары зажимов (полюсов).

Не путать с полюсами передаточной функции.

Четырёхполюсник используется для передачи электрических колебаний (сигналов) от источника колебаний к нагрузке (приёмнику), в связи с чем в четырёхполюснике выделяют вход и выход. Соответственно зажимы (полюсы),  к которым подключается источник колебаний, называются входными, а зажимы, к которым подключается нагрузка, называются выходными.

Четырёхполюсник включается между источником колебаний и нагрузкой строго определённым образом, как показано на рис. 20.1, а именно: через каждую пару его зажимов должны проходить попарно равные и противоположно направленные токи Такая система отсчётов называется симметричной и, как будет ясно из дальнейшего, наиболее удобна для большинства форм уравнений передачи четырёхполюсника.

Четырёхполюсники подразделяют на следующие классы (рис. 20.2):

• линейные и нелинейные; линейные четырёхполюсники не содержат нелинейных элементов, напряжения и токи на выходе линейного четырёхполюсника линейно зависят от напряжений и токов на его входе; линейные четырёхполюсники описываются линейными операторами, а нелинейные — нелинейными операторами;
• по наличию источников электроэнергии: пассивные, которые не содержат источников электроэнергии, и активные, содержащие источники; в свою очередь, среди активных четырёхполюсников выделяют неавтономные, содержащие только зависимые источники (например, усилители), и автономные, которые содержат независимые (т. е. неуправляемые) источники;
• по характеру элементов, входящих в состав четырёхполюсника: с сосредоточенными элементами (активного сопротивления, индуктивности, ёмкости) и распределёнными элементами, или параметрами (например, длинные линии);

В литературе такие четырёхполюсники иногда называют 2х2-полюсниками или проходными четырёхполюсниками.

• по виду схемы выделяют симметричные и несимметричные четырёхполюсники; в симметричном четырёхполюснике с помощью электрических измерений невозможно обнаружить различий между входными и выходными зажимами;
• уравновешенные и неуравновешенные: уравновешенные четырёхполюсники имеют симметрию относительно продольной оси (рис. 20.3, а); в неуравновешенном четырёхполюснике (рис. 20.3, б) один из зажимов одной пары соединяется с зажимом другой пары — в результате образуется трёхполюсник, используемый в четырёхполюсном режиме;

• по структуре четырёхполюсники подразделяют на лестничные: Г-образные (рис. 20.4, а), Т-образные (рис. 20.4, б), П-образные (рис. 20.4, в), а также Т-образные перекрытые (рис. 20.4, г) и мостовые (рис. 20.4, д)

Замечание:

Четырёхполюсники, изображённые на рис. 20.4, б, в, г, могут стать симметричными при условии соблюдения равенства

• взаимные и невзаимные; взаимными являются четырёхполюсники, для которых справедлива теорема взаимности (см. разд. 6.1), согласно этой теореме отношение входного напряжения к току на выходе не меняется при перемене местами зажимов.

В дальнейшем изучаются основы общей теории линейных неавтономных четырёхполюсников при условии, что в цепи действуют гармонические колебания. При анализе свойств цепей будет использоваться как частотный метод, так и метод преобразования Лапласа.

Уравнения передачи четырёхполюсника

Свойства четырёхполюсника (рис. 20.1) как системы передачи энергии полностью определяются соотношениями между напряжениями на его входе и выходе и токами протекающими через входные и выходные зажимы.

Определение:

Соотношения, которые связывают комплексные амплитуды токов и напряжений (или их L-изображения) на двух парах зажимов, называются уравнениями передачи четырёхполюсника.

Для составления уравнений передачи необходимо выбрать положительные направления отсчёта токов на внешних зажимах. В зависимости от поставленной задачи применяются три варианта отсчётов положительного направления токов (рис. 20.5):

• симметричный (рис. 20.5, а),
• несимметричный (рис. 20.5, б),
• несимметричный обратный (рис. 20.5, в),

из которых наиболее часто используется симметричный вариант.

Уравнения передачи связывают две из четырёх величин с двумя заданными, поэтому число возможных форм уравнений передачи определяется числом сочетаний из четырёх элементов по два и, следовательно, равно шести:

В качестве примера решим задачу.

Задача 20.1.

Записать уравнения передачи, устанавливающие связь между парой токов и парой напряжений четырёхполюсника при условии, что напряжения известны, т. е. представляют собой воздействия.

Решение. Согласно условию задачи токи можно рассматривать как реакции на воздействия. Направление отсчёта токов выберем симметричным (рис. 20.5, а). Поскольку четырёхполюсник линеен, каждый из рассматриваемых токов согласно свойству аддитивности (принципу наложения) можно записать в виде суммы двух составляющих токов (рис. 20.6): токов как реакций на воздействие напряжения ( и токов как реакций на воздействие напряжения .

Эти реакции связаны с воздействием по линейному закону: 

         (20.21)

Подставляя соотношения (20.1) в уравнения рис. 20.6, получаем так называемую Y-форму уравнений передачи четырёхполюсника:

          (20.2)

Полученная система уравнений является решением поставленной задачи.

Часто уравнения передачи четырёхполюсника записывают в матричном виде. Тогда из (20.2) получим:

               (20.3)

Здесь коэффициенты имеют размерность проводимости и называются Y-параметрами, или параметрами проводимости четырёхполюсника.

Аналогично (20.2) можно получить ещё пять форм уравнений передачи с соответствующими параметрами:

                (20.4)

                (20.5)

                (20.6)

                   (20.7)

                   (20.8)

Для форм (20.4)—(20.6) применяется симметричная система отсчётов токов (рис. 20.5, а), для формы (20.7) — несимметричная (см. рис. 20.5, б), для формы (20.8) — несимметричная обратная (см. рис. 20.5, в).

Уравнения передачи в форме (20.7) можно записать и при симметричной системе отсчётов, но тогда вторые слагаемые уравнений необходимо взять с обратным знаком. Что касается формы (20.8), то её можно получить, решив систему (20.7) относительно и :

где является определителем системы (20.7). Сопоставляя

системы (20.7) и (20.8), нетрудно получить коэффициенты для (20.8).

Все формы уравнений передачи являются равноправными. Тем не менее, на практике чаще всего используются формы (20.2), (20.4), (20.7), а в цепях с транзисторами и форма (20.5), поскольку Н-параметры транзисторов помещены в справочниках.

Особо следует отметить, что уравнения передачи связывают как амплитуды, так и фазы гармонических колебаний на зажимах четырёхполюсника и поэтому представляют собой систему из минимального числа уравнений, необходимых для полного описания взаимодействия четырёхполюсника с внешними цепями. Разумеется, те же результаты можно получить, если для цепи с четырёхполюсником составить и решить систему узловых или контурных уравнений, которая содержит также информацию обо всех внутренних напряжениях и токах четырёхполюсника. Однако эта информация для поставленной в данном разделе задачи избыточна, поэтому и система узловых или контурных уравнений также избыточна, а её решение только вносит дополнительные трудности.

Системы собственных параметров и их физический смысл

Коэффициенты, входящие в системы уравнений, называются параметрами четырёхполюсника. Они не зависят от внешних цепей, между которыми включён четырёхполюсник, и характеризуют собственно четырёхполюсник, поэтому они называются собственными, или внутренними параметрами четырёхполюсника, в отличие от его рабочих, или внешних параметров, в которых учитывается взаимодействие четырёхполюсника с внешними цепями и которые изучаются в лекции 22.

Введём ряд необходимых определений.

• Четырёхполюсники, которые при различной внутренней структуре (внутреннем содержании) обладают одинаковыми матрицами параметров, называются эквивалентными, поскольку они описываются одинаковыми уравнениями передачи и одинаково взаимодействуют с внешними электрическими цепями.

Все собственные параметры четырёхполюсников имеют физический смысл какой-либо комплексной частотной характеристики, которая определяется в режиме короткого замыкания (КЗ) или холостого хода (XX). Напомним, что режиму холостого хода (короткого замыкания) на некоторой паре зажимов соответствует размыкание (замыкание) этих зажимов.

Рассмотрим несколько наиболее важных примеров.

Пример 20.1.

Найти физический смысл Z -параметров. Решение. Разомкнём зажимы 2—2′ (см. рис. 20.5, а), т. е. образуем на этих зажимах режим холостого хода — XX; тогда ток , а уравнения передачи (20.4) преобразуются к виду:

откуда:

      — входное комплексное сопротивление четырёхполюсника

со стороны зажимов 1—1′ при разомкнутых зажимах 2—2′; 

   — отношение комплексной амплитуды напряжения на разомкнутых зажимах 2—2′ к комплексной амплитуде тока проходящего через зажимы 1—1′. Разомкнём зажимы 1—1′ (см. рис. 20.5, а), т. е. образуем на этих зажимах режим XX; тогда ток

а уравнения передачи (20.4) преобразуются к виду

откуда:

    — отношение комплексной амплитуды напряжения на разомкнутых зажимах 1—1′ к комплексной амплитуде тока , проходящего через зажимы 2—2′;

    — входное комплексное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 2—2′ при разомкнутых
зажимах  1—1′.

Пример 20.2.

Отсюда:

— входная комплексная проводимость четырёхполюсника со стороны зажимов 1—1′ при замкнутых зажимах 2—2′;

— отношение комплексной амплитуды тока, протекающего через короткозамкнутые зажимы 2—2′, к комплексной амплитуде напряжения на зажимах 1—Г.

В режиме КЗ зажимов 1—1′ (рис. 20.5, а) напряжение , а уравнения передачи (20.2) преобразуются к виду:

Отсюда получаем:

   — отношение комплексной амплитуды тока протекающего через короткозамкнутые зажимы 1—1′, к комплексной амплитуде напряжения на зажимах 2—2′;

   — входная комплексная проводимость четырёхполюсника со стороны зажимов 2—2′ при замкнутых накоротко зажимах 1—1′.

Пример 20.3.

Найти физический смысл обобщённых А-параметров.

Решение. Из системы уравнений передачи в А-параметрах (20.7) следует, что в правой её части переменными являются только комплексные ток и напряжение на зажимах 2—2′. Поэтому определение физического смысла А-параметров возможно только в режимах XX и КЗ зажимов 2—2′.

В режиме XX ток , поэтому из (20.7) имеем:

а в режиме КЗ и потому из (20.7) имеем:

Из этого набора равенств получаем:

Заметим, что параметры и являются безразмерными; параметр имеет размерность сопротивления, а параметр — проводимости.
 

Методы определения собственных параметров

Методы определения собственных параметров:

Собственные параметры четырёхполюсника могут быть определены как аналитически, так и экспериментально.

Аналитически параметры четырёхполюсника можно вычислить, если полностью известна его структура и составляющие её элементы. Эксперимент используется в том случае, когда четырёхполюсник представлен в виде “чёрного ящика” или же влияние паразитных элементов четырёхполюсника не поддаются аналитическому учёту.

Из всех параметров четырёхполюсника проще всего измерить параметры которые, как было показано в примерах 20.1 и 20.2, представляют собой входные сопротивления и проводимости соответственно в режиме XX и КЗ

Измерения этих параметров можно выполнить на заданной частоте с помощью измерительного моста. Измерения же всех других параметров, в том числе взаимных и обобщённых А-параметров, связаны с существенными трудностями, поскольку требуется определить соотношение амплитуд и фаз напряжений и токов на противоположных парах зажимов четырёхполюсника.

По этой причине особое место в теории четырёхполюсника отведено параметрам которые называются системой параметров холостого хода (XX) и короткого замыкания (КЗ). Эта система параметров позволяет найти все системы параметров пассивного четырёхполюсника с точностью до знака некоторых из них.

Соотношения между различными системами параметров

Параметры четырёхполюсника различных систем обладают однозначной взаимосвязью. Иного и не может быть, поскольку все системы однозначно определяются схемой четырёхполюсника и значениями её элементов. Рассмотрим методику определения соотношения между различными системами параметров на двух примерах.

Пример 20.4.

Найти связь между параметрами проводимостей Y и параметрами сопротивлений Z.

Решение. Из системы (20.2) выразим неизвестные комплексные амплитуды напряжений

           (20.10)

где  — определитель системы (20.2). Сопоставление системы (20.10) с системой (20.4) даёт следующие соотношения:

       (20.11)

С другой стороны, решая систему (20.4) относительно неизвестных комплексных амплитуд токов и , получаем:

откуда при сопоставлении с системой (20.2) имеем: 

где    — определитель системы уравнений (20.4).

Пример 20.5.

Выразить А-параметры четырёхполюсника через его Z-параметры.

Решение. Из второго уравнения передачи в Z-параметрах (20.4) найдём ток :

и подставим его в первое уравнение той же системы:

В результате получаем следующую систему уравнений:

сопоставление которой с уравнениями передачи в А-параметрах (20.7) при симметричной системе отсчётов токов и напряжений даёт:

Подобным образом можно установить взаимосвязи между другими системами параметров (табл. 20.1). Все соотношения, помещённые в табл. 20.1, справедливы как для пассивных, так и для активных четырёхполюсников.

  

  

Если же четырёхполюсник пассивен, то согласно теореме взаимности справедливы равенства:

       (20.12)

Тогда при выражении А-параметров через Z-параметры получим:

        (20.13)

Аналогично для пассивных четырёхполюсников можно показать, что

            (20.14)

Вывод: пассивный четырёхполюсник полностью характеризуется любыми тремя независимыми параметрами:

или

или

или

или любыми тремя А-параметрами, поскольку четвёртый легко находится из соотношения (20.13).

Если же пассивный четырёхполюсник является к тому же симметричным, то для его полной характеристики достаточно знать два независимых параметра, поскольку

 

Замечание:

Следует отметить, что не у всех четырёхполюсников существуют все разновидности систем собственных параметров, что показано в лекции 21.

Свойства параметров XX и КЗ пассивного четырёхполюсника

Ранее было отмечено, что параметры XX и КЗ дают возможность найти все системы параметров пассивного четырёхполюсника с точностью до знака некоторых из параметров, что видно на примере выражения (20.11).

Легко видеть, что из (20.11) следует:

поэтому только три из четырёх параметров XX и КЗ четырёхполюсника являются независимыми. Кроме того, из (20.11) при условии (20.12) также следует:

откуда:

Ясно, что параметры определяются с точностью до знака. Зная параметры XX и КЗ, по формулам табл. 20.1 можно найти и другие параметры пассивного четырёхполюсника, причём параметры

также определяются с точностью до знака.

Изменению знака перечисленных параметров соответствует скрещивание одной пары зажимов четырёхполюсника (рис. 20.7) и наоборот: скрещивание одной пары зажимов ведёт к изменению знаков этих параметров. Это объясняется тем, что при скрещивании одной пары зажимов проводимости КЗ и  

не меняются, поскольку при скрещивании одновременно изменяются направления отсчётов напряжения на скрещенной паре. В то же время параметры

а потому и перечисленные выше параметры изменяют свои знаки.

Замечание:

При скрещивании одной из пар зажимов ФЧХ четырёхполюсника изменяется на Если это допустимо, то для можно взять любой знак. В противном случае истинный знак определяется из сравнения вычисленного значения с измеренным, причём при измерениях важно получить только характер фазового сдвига.

Собственные параметры четырёхполюсников

Как известно, любые параметры четырёхполюсника можно найти, если решить системы узловых или контурных уравнений с использованием матричных методов расчёта. Соответствующие формулы, выраженные через определитель системы контурных уравнений и его миноры  даны в табл. 20.1.

Однако возможен и другой, более экономичный и удобный подход, который заключается в представлении сложного четырёхполюсника в виде комбинации типовых четырёхполюсников. Изучению этого подхода и посвящена данная лекция.

Собственные параметры типовых четырёхполюсников

Среди типовых четырёхполюсников выделяют элементарные и простейшие. Элементарными (рис. 21.1) называют четырёхполюсники, схемы которых содержат не более одного двухполюсника или могут быть сведены к таковым. К простейшим четырёхполюсникам относят Г-, Т- и П-образные (рис. 21.2), а также отдельно изучаемые мостовые четырёхполюсники.

Собственные параметры элементарных четырёхполюсников

Элементарные четырёхполюсники не имеют общепринятых названий, поэтому в дальнейшем будем их различать по типам, как показано на рис. 21.1.

Найдём А-параметры элементарных четырёхполюсников, для чего при заданных на рис. 21.1 направлениях отсчёта токов и напряжений составим системы уравнений согласно законам Кирхгофа и сравним их с уравнениями передачи в А-параметрах (20.7).

Четырёхполюсник типа 1. Для этого четырёхполюсника легко написать систему уравнений согласно законам Кирхгофа:

Из сравнения полученной системы с системой уравнений в А-параметрах получаем матрицу:

Важно:

для четырёхполюсника первого типа параметров сопротивления не существует, поскольку все они обращаются в бесконечность при  (см. табл. 20.1).

Четырёхполюсник типа 2. Этот четырёхполюсник описывается системой уравнений:

поэтому матрица А-параметров имеет вид:

Важно:

для четырёхполюсника второго типа параметров проводимости не существует, поскольку все они обращаются в бесконечность при (см. табл. 20.1).

Четырёхполюсник типа 3. Этот четырёхполюсник не содержит двухполюсников и представляет собой прямое соединение, для которого очевидно:

откуда

Четырёхполюсник типа 4. Четырёхполюсник типа 4 так же, как и в предыдущем случае, не содержит двухполюсников, но представляет собой скрещенное соединение, у которого напряжение и ток на выходе имеют отрицательный знак:

поэтому матрица А-параметров имеет вид:

что соответствует изменению на я фаз комплексных амплитуд тока и напряжения на зажимах 2—2′.

Важно:

четырёхполюсники типа 3 и 4 не имеют параметров сопротивления и проводимости (см. четырёхполюсники типов 1 и 2).

Собственные параметры простейших четырёхполюсников

В отличие от предыдущих случаев, собственные параметры простейших четырёхполюсников удобнее находить в виде Z– или Y-параметров, а затем перейти к обобщённым параметрам. Это объясняется тем, что Z- и Y-параметры нетрудно определить с помощью систем контурных или узловых уравнений.

Т-образный четырёхполюсник (рис. 21.2, а). Составим систему контурных уравнений с учётом принятых направлений отсчётов напряжений и токов:

Сопоставление полученной системы с системой уравнений передачи в Z-параметрах (20.4) позволяет записать матрицу
Z-параметров:

 

Z-параметры можно получить иначе, если воспользоваться методом холостого хода (XX) и короткого замыкания (КЗ) и учесть, что рассматриваемый четырёхполюсник является пассивным симметричным, у которого всегда

Метод XX и КЗ рассмотрен в примере 20.1, из которого следует:

  — входное сопротивление четырёхполюсника со стороны зажимов 1-1′ при холостом ходе зажимов 2 – 2′, поэтому ;

   — отношение комплексной амплитуды напряжения на разомкнутых зажимах 2—2′ (1—1′) соответственно к комплексной амплитуде тока, проходящего через противоположные зажимы (т. е. при КЗ противоположных зажимов), поэтому

— входное комплексное сопротивление четырёхполюсника со стороны зажимов 2—2′ при XX зажимов 1—1′, поэтому

Остальные параметры четырёхполюсника можно получить из соотношений табл. 20.1.

Пример 21.1.

Пользуясь табл. 20.1, запишем обобщённые А-параметры Т-образного четырёхполюсника:

Пример 21.2.

Найти А-параметры четырёхполюсника, изображённого на рис. 21.3.

Решение. Предварительно определим Z-параметры:

входное сопротивление со стороны зажимов 1—1′ равно

входное сопротивление со стороны зажимов 2—2′ равно а в силу симметрии четырёхполюсника оно будет равно и                               сопротивлению поэтому

  что показано ранее.

Теперь можно записать матрицу А-параметров через Z-параметры:

где определитель матрицы Z-параметров

После подстановки в матрицу А и в последнее равенство выражений Z-параметров

окончательно получаем систему А-параметров:

Параметры Г-образного четырёхполюсника (рис. 21.2, б) можно получить из параметров Т-образного четырёхполюсника при условии Следовательно, Z-параметры приводятся к виду:

и А-параметры принимают значения:

Параметры П-образного четырёхполюсника (рис. 21.2, в) получим методом короткого замыкания. Удобно сначала найти
Y-параметры, а затем, как 

Решение. Предварительно определим Z-параметры:

входное сопротивление со стороны зажимов 1—1′ равно

 входное сопротивление со стороны зажимов 2—2′ равно а в силу симметрии четырёхполюсника оно будет равно и                              сопротивлению поэтому

   что показано ранее.

Теперь можно записать матрицу А-параметров через Z-параметры:

где определитель матрицы Z-параметров

После подстановки в матрицу А и в последнее равенство выражений Z-параметров

окончательно получаем систему А-параметров:

Параметры Г-образного четырёхполюсника (рис. 21.2, б) можно получить из параметров Т-образного четырёхполюсника при условии Следовательно, Z-параметры приводятся к виду:

и А-параметры принимают значения:

Параметры П-образного четырёхполюсника (рис. 21.2, в) получим методом короткого замыкания. Удобно сначала найти
Y-параметры, а затем, как  

в примерах 21.1 и 21.2, записать другие параметры, воспользовавшись табл. 20.1.

  — входная проводимость четырёхполюсника со стороны зажимов 1—Г в режиме короткого замыкания зажимов 2—2′;

 — входная проводимость четырёхполюсника со стороны зажимов 2—2′ в режиме короткого замыкания зажимов 1—1′;

  – отношение комплексной амплитуды

тока на короткозамкнутых зажимах 1—1′ (2—2′) к комплексной амплитуде напряжения на противоположных зажимах (т. е. при XX противоположных зажимов).

Знание Y-параметров позволяет записать Z- и А-параметры (читателю предлагается самостоятельно получить эти соотношения):

Собственные параметры симметричного мостового четырёхполюсника

Симметричный мостовой четырёхполюсник (сокращённо — мост), как показано в дальнейшем, широко используется при анализе и синтезе пассивных симметричных четырёхполюсников. По этой причине уделим особое внимание параметрам этого четырёхполюсника.

Сопротивления ветвей мостового четырёхполюсника попарно равны (рис. 21.4, а), поэтому его схему, с целью упрощения рисунка, принято изображать так, как показано на рис. 21.4, б.

Найдём Z-параметры моста, для чего представим его схему в более наглядном и удобном для исследования виде (рис. 21.5).

Из данной схемы следует, что входное сопротивление со стороны зажимов 1—1′ равно входному сопротивлению со стороны зажимов 2—2′ в силу симметричности схемы. Для этих сопротивлений в режиме XX образуется цепь из параллельно соединённых ветвей, сопротивление каждой из которых составляет , поэтому и входные сопротивления оказываются равными друг другу:

            (21.1)

Проходные сопротивления симметричного четырёхполюсника также равны друг другу: Найдём эти сопротивления. В режиме XX ток  и для справедливо равенство:

Но ток разветвляется на равные части, имея на сопротивлении обратное направление, т. е.

поэтому

и в результате получаем:

         (21.2)

По вычисленным Z-параметрам (21.1) и (21.2) нетрудно определить Y- и А-параметры симметричного мостового четырёхполюсника:

               (21.3)

Эквивалентность T-, П-образного и мостового четырёхполюсников

Рассмотренный симметричный мостовой четырёхполюсник (мост) является наиболее общей структурой в классе пассивных симметричных четырёхполюсников.

Покажем, что для любого пассивного симметричного четырёхполюсника можно найти и реализовать эквивалентный ему мостовой (обратный эквивалентный переход не всегда возможен). Это означает, что все характеристики, которыми могут обладать пассивные симметричные четырёхполюсники, можно изучить на основе мостовых четырёхполюсников. Такое свойство общности структуры моста используется в задачах синтеза электрических цепей.

Условие эквивалентности:

заданный симметричный и мостовой четырёхполюсники эквивалентны, если сопротивления двухполюсников, образующих ветви моста, выражены через параметры заданного четырёхполюсника.

Пусть заданный симметричный четырёхполюсник описывается парой его параметров сопротивлений:

Для эквивалентности этого четырёхполюсника и мостового необходимо согласно (21.1) и (21.2) выполнение условий:

Вычитая и складывая эти уравнения, получаем значения сопротивлений ветвей моста:

       (21.4)

Важно:

для физической реализуемости эквивалентного четырёхполюсника необходимо, чтобы между вещественными частями сопротивлений выполнялось соотношение

Пример 21.3.

Определить условия эквивалентности симметричного Т-образного и мостового четырёхполюсников.

Решение. Как было показано в разд. 21.1.2, Z-параметры несимметричного четырёхполюсника имеют вид:

Для обеспечения симметричности необходимо, чтобы сопротивления и Т-образного четырёхполюсника были равными тогда его Z-параметры запишутся в виде:

Из условий эквивалентности (21.4) получаем искомое решение:

Пример 21.4.

Определить условия эквивалентности симметричного П-образного и мостового четырёхполюсников.

Решение. В этом случае удобнее рассматривать Y-параметры П-образного и мостового четырёхполюсников. Y-параметры несимметричного П-образного четырёхполюсника были получены в разд. 21.1.2.

Симметричный П-образный четырёхполюсник при имеет следующие Y-параметры:

По условиям эквивалентности (21.4) должно соблюдаться равенство Y-параметров симметричного П-образного и -параметров мостового четырёхполюсников:

Заменяя комплексные сопротивления моста его проводимостями

после простейших преобразований получаем искомые условия:

Соединения четырёхполюсников

Различные четырёхполюсники, соединённые между собой в определённом порядке, образуют сложные (составные) четырёхполюсники.

Поставили задачу: вычислить параметры сложного четырёхполюсника по параметрам входящих в его состав более простых четырёхполюсников.

Решение поставленной задачи возможно лишь при выполнении условия регулярности соединения.

Определение:

Регулярным называется такое соединение четырёхполюсников, при котором не происходит изменения соотношений между напряжениями и токами на их зажимах соединяемых четырёхполюсников, т. е. через каждую пару зажимов этих четырёхполюсников протекают попарно равные и противоположно направленные токи (см. рис. 20.1).

Условия регулярности кратко рассматриваются в разд. 21.5. Изучаемые далее способы соединения четырёхполюсников удовлетворяют условиям регулярности.

Каскадное соединение четырёхполюсников

При каскадном соединении (рис. 21.6) выходные зажимы первого четырёхполюсника соединяются с входными зажимами второго четырёхполюсника, поэтому при несимметричном отсчёте токов и напряжений имеют место равенства:

и наиболее удобным оказывается описание соединения в А-параметрах (20.7):

Отсюда уравнения передачи соответствующих четырёхполюсников получают вид:

Подставим в первую систему уравнений вместо равные им значения из второй системы:

откуда получаем матрицу А-параметров каскадно-соединенных четырёхполюсников:

             (21.5)

Из (21.5) следует правило:

при каскадном соединении четырёхполюсников матрица А-параметров сложного четырёхполюсника равна произведению
матриц параметров входящих в соединение четырёхполюсников. Если каскадно соединены N четырёхполюсников, то матрица
А-параметров получается из произведения:

При этом важно:

матрицы должны быть записаны в порядке следования четырёхполюсников, т. к. умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

Параллельное соединение четырёхполюсников

При параллельном соединении четырёхполюсников (рис. 21.7) ток на входе всей системы  равен сумме входных токов соединённых четырёхполюсников, а ток на выходе равен сумме выходных токов :
                                                                                                          

кроме того, имеют место равенства напряжений:

Система уравнений передачи сложного четырёхполюсника может быть записана в Y-параметрах в матричной форме:

а уравнения передачи составляющих четырехполюсников соответственно имеют вид:
 

При этих условиях (21.7) запишется следующим образом:

          (21.7)

Применяя правило сложения матриц, получаем:

             (21.8)

Из (21.8) следует правило: при параллельном соединении N четырёхполюсников матрица Y-параметров сложного четырёхполюсника равна сумме матриц -параметров соединённых четырёхполюсников:

           (21.9)

Последовательное соединение четырёхполюсников

Произведя действия, подобные действиям в разд. 21.3, можно доказать, что при последовательном соединении двух (рис. 21.8) и более четырёхполюсников матрица Z-параметров соединения равна сумме матриц -параметров четырёхполюсников, составляющих соединение:

                 (21.10)

При доказательстве используются очевидные из рис. 21.8 соотношения:

Последовательно-параллельное соединение четырёхполюсников

При последовательно-параллельном соединении (рис. 21.9) четырёхполюсники со стороны входных зажимов соединяются последовательно, а со стороны входных зажимов — параллельно.

При этом нетрудно видеть, что имеют место следующие равенства:

для которых удобно использовать матрицы Н-параметров.

Поступая так же, как в разд. 2.3.2, можно доказать, что при последовательно-параллельном соединении матрицы -параметров составляющих соединение четырёхполюсников складываются:

       (21.11)

Параллельно-последовательное соединение четырёхполюсников

При параллельно-последовательном соединении (рис. 21.10) четырёхполюсники со стороны входных зажимов соединяются параллельно, а со стороны выходных зажимов — последовательно.

В данном случае удобно использовать F-параметры, поскольку имеют место следующие равенства:

Условия регулярности соединения

В теорий цепей доказывается, что условия регулярности соединения четырёхполюсников, в частности, удовлетворяются, если осуществляется:

• каскадное соединение любых четырёхполюсников;
• параллельное соединение уравновешенных четырёхполюсников;
• параллельное или последовательное соединение треугольных четырёхполюсников (рис. 21.2), при котором их общие зажимы                   объединяются;
• соединение любым способом произвольного четырёхполюсника и так называемого “разорванного” четырёхполюсника, схема и            параметры которого приведены на рис. 21.11;
• соединение любым способом произвольного четырёхполюсника с четырёхполюсником, на входе или/и выходе которого включён        трансформатор.

Внешние характеристики четырёхполюсников

В лекциях 20 и 21 изучались собственные параметры четырёхполюсника, т. е. такие его индивидуальные характеристики, которые не зависят от внешних цепей и определяются лишь структурой четырёхполюсника и составляющими её элементами. Причём эти характеристики измеряются в одном из предельных режимов: холостого хода (XX) или короткого замыкания (КЗ). Тем не менее, роль собственных параметров четырёхполюсников чрезвычайно важна как в теории цепей, так и на практике, а именно: знание собственных параметров четырёхполюсника позволяет найти его любые КЧХ при произвольной внешней нагрузке в реальных, или рабочих, условиях (внутреннее сопротивление генератора, если оно является конечным и не равно нулю, также является сопротивлением нагрузки четырёхполюсника). Понятно, что в рабочих условиях невозможно добиться полного согласования комплексных сопротивлений четырёхполюсника с нагрузкой на всех частотах рабочего диапазона. Это приводит к появлению дополнительных потерь энергии за счёт её неоднократного отражения на входных и выходных зажимах. Для учёта таких потерь пользуются рабочими, или внешними характеристиками передачи.

Определение:

Под рабочими, или внешними характеристиками четырёхполюсника понимаются его комплексные частотные характеристики при условии подключения к нему генератора и двухполюсной нагрузки.

К рабочим характеристикам относятся: комплексное входное сопротивление нагруженного четырёхполюсника и его передаточные функции.

Комплексное входное сопротивление четырёхполюсника при произвольной нагрузке

Рассмотрим четырёхполюсник, у которого одна пара зажимов 2—2′ нагружена двухполюсником с комплексным сопротивлением (рис. 22.1, а). Тогда со стороны зажимов 1—1′ нагруженный четырёхполюсник можно рассматривать как двухполюсник с входным комплексным сопротивлением

Поставим задачу выразить комплексное сопротивление через собственные параметры четырёхполюсника.

При выбранном направлении отсчётов токов и напряжений удобно воспользоваться уравнениями передачи в А-параметрах (20.7):

Значение комплексного входного сопротивления найдём, разделив первое уравнение системы на второе:

и подставив в эту дробь величину напряжения на выходных зажимах

В результате получим:

           (22.1)

Воспользовавшись табл. 20.1, нетрудно получить выражения для через другие системы параметров четырёхполюсника, например, через его Z- и Y-параметры:

        (22.2)

Рассмотрим случай обратного включения четырёхполюсника (рис. 22.1, б): найдём входное сопротивление со стороны зажимов
2—2′, нагрузив четырёхполюсник со стороны зажимов 1—1′. Для этого воспользуемся теми же уравнениями передачи в А-параметрах (20.7), но учтём, что

При этих соотношениях имеем:

откуда

      (22.3)

Выразив А-параметры через другие параметры, получим: 

       (22.4)

Следствие:

вторые слагаемые формул (22.2) и (22.4) учитывают влияние сопротивления нагрузки четырёхполюсника; эти слагаемые называют вносимым нагрузкой сопротивлением, или просто вносимым сопротивлением.

Комплексные частотные характеристики нагруженных четырёхполюсников

Вносимые сопротивления оказывают влияние на амплитудно-частотные (АЧХ) и фазо-частотные характеристики (ФЧХ) нагруженных четырёхполюсников, что всегда нужно учитывать на практике. Как известно, АЧХ и ФЧХ можно получить из комплексной частотной характеристики (КЧХ), которую, как показывается далее, можно найти методами теории четырёхполюсников. При этом будем различать режимы односторонней и двусторонней нагрузки.

Комплексные частотные характеристики односторонне нагруженных четырёхполюсников

Определение:

Режимом односторонней нагрузки называют такое включение четырёхполюсника, при котором его внешние характеристики определяются лишь одним из двух сопротивлений нагрузки (рис. 22.2 и 22.3).

Выделим две группы односторонне нагруженных четырёхполюсников:

• группу четырёхполюсников, нагруженных на комплексное пассивное сопротивление;
• группу четырёхполюсников, нагруженных на генератор (напряжения или тока)

Четырёхполюсники, нагруженные на пассивное сопротивление

Сначала рассмотрим нагруженный четырёхполюсник при условии, что задано входное напряжение (рис. 22.2, а). Тогда КЧХ представляет собой отношение напряжения на выходе к напряжению на входе

       (22.5)

и найдётся из первого уравнения передачи (20.7):

Подставляя сюда, согласно рис. 22.2, а, соотношения    и пользуясь формулой (22.5), получаем КЧХ нагруженного четырёхполюсника при заданном напряжении на входе:

        (22.6)

Теперь рассмотрим нагруженный четырёхполюсник при условии, что задан входной ток (рис. 22.2, б). Тогда КЧХ представляет собой отношение тока на выходе к току на входе:

которое найдётся из второго уравнения (20.7):

       (22.7)

Выводы:

□    полученные КЧХ (22.6) и (22.7) являются безразмерными величинами;
□    АЧХ нагруженных четырёхполюсников называются коэффициентами усиления напряжения и тока                                 соответственно; это означает, что коэффициенты усиления являются функциями частоты;

□ аргументы и представляют собой фазочастотные характеристики:

              (22.8)

Четырёхполюсники, нагруженные на генератор

Варианты односторонне нагруженного четырёхполюсника при наличии генератора (для определённости на зажимах 1—1′) показаны на рис. 22.3: режимы холостого хода (XX) и короткого замыкания (КЗ).

В режиме XX комплексная частотная характеристика определяется как отношение

Поскольку в данном случае уравнения передачи в А-параметрах получают вид:

Отсюда

В режиме КЗ имеем КЧХ по току:

                     (22.10)

где —ток, протекающий через коротко замкнутые зажимы 2—2′. Вновь обратимся к уравнениям передачи в А-параметрах (ток запишется без отрицательного знака) при условии :

Для получения полного отношения (22.10) выразим ток через и ясно, что ток равен сумме тока и тока , протекающего через проводимость :

Подставляя это равенство в (22.10), получаем КЧХ по току в системе А-параметров:

             (22.11)

или в системах других параметров (табл. 20.1):

          (22.12)

Внешние характеристики двусторонне нагруженного четырёхполюсника

Пусть задана система, состоящая из генератора, четырёхполюсника и нагрузки (рис. 22.4, а).

При этом известны:

— комплексная амплитуда ЭДС генератора; 

  — внутренне комплексное сопротивление генератора;

   — собственные обобщённые параметры четырёхполюсника; 

  — комплексное сопротивление нагрузки.

Задача 22.1.

Найти отношение комплексной амплитуды напряжения на выходе к комплексной амплитуде ЭДС генератора

Решение. Из рис. 22.4, а следуют соотношения:

Подставим эти соотношения в уравнения по А-параметрам:

откуда получаем

           (*)

                       (**)

Подставим значение из (**) в уравнение (*):

Определение

Отношение комплексной амплитуды напряжения на выходе двусторонне нагруженного четырёхполюсника к комплексной амплитуде ЭДС генератора (источника) называется рабочим комплексным коэффициентом    передачи четырёхполюсника по напряжению.

Для нагруженного четырёхполюсника вводят также понятие его комплексного входного сопротивления.
 

Определение

Отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока на входе двусторонне нагруженного четырёхполюсника называется комплексным входным сопротивлением

Комплексные входное сопротивление и коэффициент передачи получили название внешних характеристик  двусторонне нагруженного четырёхполюсника.

Нормирование рабочих характеристик

В большинстве практических применений, а также в задачах синтеза линейных электрических цепей внутреннее сопротивление генератора и сопротивление нагрузки рассматриваются чисто резистивными сопротивлениями и (рис. 22.4, б). Например, именно при таких сопротивлениях рассчитываются и используются усилители.

На практике удобно пользоваться нормированными рабочими характеристиками (параметрами). Напомним, что нормированной функцией называется безразмерная функция , которая получается от деления текущего значения функции ) на её абсолютный достижимый максимум:

Как и для двухполюсников, АЧХ четырёхполюсников при резистивных и принято нормировать относительно максимально достижимого в данной системе значения амплитуды напряжения на выходе

Комплексный нормированный рабочий коэффициент передачи

Запишем комплексный коэффициент передачи (22.13) в показательной форме, для удобства опустив индекс “раб”:

               (22.14)

  — АЧХ нагруженного четырёхполюсника, называемая рабочим коэффициентом передачи;

   — ФЧХ четырёхполюсника, равная разности между фазой напряжения на выходе и фазой ЭДС генератора.

Введём понятие нормированного комплексного коэффициента передачи : комплексный коэффициент передачи (22.14) является нормированным при делении его на

         (22 15)

где согласно (22.14)

С учётом последнего соотношения выражение (22.15) принимает вид:

где

является нормированной АЧХ, или нормированным рабочим коэффициентом передачи.

Понятно, что если четырёхполюсник пассивен, то значение нормированного коэффициента передачи на любой частоте со не превышает единицы:

            (22.18)

Если четырёхполюсник активен и представляет собой, например, усилитель, то средняя мощность в нагрузке четырёхполюсника оказывается больше той, которую вообще может отдать заданный генератор с амплитудой ЭДС Е .

Чтобы получить общее выражение нормированного рабочего коэффициента передачи, необходимо знать значение  Значение нетрудно получить из величины средней мощности в нагрузке пассивного четырёхполюсника (см. лекцию 9):

которая не может превышать той средней мощности, которую способен развить заданный генератор (9.22):

Приравняем последние два выражения:

откуда получаем:

         (22.19)

Теперь запишем общее выражение комплексного нормированного рабочего коэффициента передачи:

         (22.20)

из которого имеем нормированный рабочий коэффициент передачи:

Комплексный коэффициент передачи (22.14) можно выразить через обобщённые параметры, если в (22.13) положить

Рабочая постоянная передачи цепи

Нормированный комплексный коэффициент передачи принято представлять в логарифмическом масштабе:

           (22.22)

Функцию (22.22) принято называть логарифмической амплитудно-фазовой характеристикой, её мнимую часть — фазочастотной характеристикой,  

а вещественную часть — рабочим усилением четырёхполюсника,    которое выражают либо в неперах (Нп):

       (22.23)

либо в децибелах (дБ):

       (22.24)

Комплексная величина

       (22.25) 

называется рабочей постоянной передачи четырёхполюсника, вещественная часть которой

    (22.26)

представляет собой рабочее затухание четырёхполюсника (а = -А), а мнимая часть является рабочей фазой четырёхполюсника.

Четырехполюсник в цепях постоянного и переменного тока

Четырехполюсником называется часть электрической цепи, имеющая две пары зажимов (рис. 21.1а).

К одной паре зажимов — входных — может быть присоединен источник, а к другой паре — выходных — присоединяется потребитель.

Если внутри четырехполюсников нет источников питания, то его называют пассивным. К пассивным четырехполюсникам относятся двухпроводная линия электропередачи, трансформаторы, выпрямители, фильтры, делители напряжения, мостовая схема и др.

Если электрическая схема содержит источник ЭДС, то в прямоугольнике, который изображает четырехполюсник, ставится буква «А» (активный).

Рассмотрим пассивный четырехполюсник. Такой четырехполюсник является передаточным звеном между источником питания и потребителем. При этом предполагается, что может изменяться нагрузка четырехполюсника и напряжение на входе, но схема внутренних соединений четырехполюсника и значения сопротивлений в ней остаются неизменными.

Напряжение приложенное к входным зажимам , называется входным напряжением. Ток, проходящий через входные зажимы , называется входным током

Напряжение между выходными зажимами называется выходным напряжением. Ток, проходящий через выходные зажимы , называется выходным током (рис. 21.1). Положительное направление напряжений и токов выбирается произвольно. Расчет подтвердит или опровергнет этот выбор.

Между входным и выходным напряжениями и токами четырехполюсника существуют линейные зависимости, называемые уравнениями четырехполюсника:

Величины А, В, С и Д в уравнениях четырехполюсника называются постоянными четырехполюсника.

Постоянные четырехполюсника А и Д — отвлеченные числа, В имеет размерность сопротивления, а С — проводимости. Постоянные четырехполюсника взаимосвязаны уравнением

Если поменять местами входные и выходные зажимы четырехполюсника (рис. 21.1а), т. е. источник ЭДС присоединить к зажимам , а потребитель к зажимам , то уравнение четырехполюсника изменится:

Как видно, при перемене входных и выходных зажимов четырехполюсника в уравнениях четырехполюсника меняются местами коэффициенты А и Д (ср. (21.1) и (21.3)). Уравнение (21.2) остается справедливым и для этого случая.

Четырехполюсник называется симметричным, если при перемене мест источника и потребителя входные и выходные напряжения и токи не изменяются. Для симметричного четырехполюсника существует дополнительная связь между постоянными:

Любой пассивный четырехполюсник, сопротивления которого постоянны, можно заменить эквивалентным четырехполюсником с тремя сопротивлениями, соединенными звездой – Т-образная схема замещения (рис. 21.16) или треугольником- П-образная схема замещения (рис. 21.1 в).

Уравнения четырехполюсника (21.1) и (21.3) справедливы для Т- и П-образных схем замещения. Постоянные четырехполюсника по-разному зависят от своих сопротивлений в этих схемах замещения.

Постоянные четырехполюсника А, В, С и Д (в любом случае) зависят от схемы внутренних соединений четырехполюсника, от величины сопротивлений схемы и от частоты (для переменного тока) и могут быть определены расчетным или опытным путем.

Постоянные четырехполюсника экспериментально можно определить в режимах холостого хода и короткого замыкания. В режиме холостого хода (выходные зажимы 2’—2″ разомкнуты, = 0) четырехполюсник подключают к источнику и измеряют входное напряжение и входной ток .

В режиме короткого замыкания (зажимы 2’—2″ замкнуты накоротко) измеряют входное напряжение и входной ток . Поменяв местами источник и потребитель, при холостом ходе (зажимы разомкнуты) определяют , а при коротком замыкании (зажимы замкнуты накоротко) определяют . Воспользовавшись результатами этих измерений, определяют постоянные четырехполюсника:

По вычисленным постоянным четырехполюсника (21.5) определяют параметры Т-образной и П-образной схем замещения. Для Т-образной схемы:

Для П-образной схемы:

Для определения коэффициентов и параметров четырехполюсника в цепях переменного тока их записывают в символической форме. Уравнения четырехполюсника в символической форме для расчета в цепях переменного тока записываются следующим образом:

Постоянные четырехполюсника А, В, С и Д в символической форме связаны уравнением

Для симметричного четырехполюсника

Расчет производится по тем же уравнениям, что и для четырехполюсников в цепи постоянного тока.

Что такое четырехполюсник

Исследование и расчет сложных цепей в существенной мере упростится, если исходную цепь разделить на отдельные блоки, связанные друг с другом двумя, тремя и большим числом зажимов. Рассматривая методы расчета сложных цепей, мы вводили понятие двухполюсников, при расчете трёхфазных цепей мы имели дело с трёхполюсниками. Теперь остановимся на понятии четырехполюсников, т.е. таких электрических цепях, у которых можно выделить две пары зажимов.

На практике четырехполюсники применяются для передачи и преобразования сигналов, несущих какую-либо информацию. Совокупность соединенных друг с другом четырехполюсников можно считать каналом связи, соединяющим источник информации (генератор) и приемник (нагрузку). В реальных условиях в состав канала связи входят усилители, аттенюаторы (ослабители), фильтры, корректирующие контуры, трансформаторы и просто линии передач. Теория четырехполюсников дает общий метод анализа сложных электрических цепей. Она позволяет разделить исходную цепь на отдельные звенья и исследовать их по частям с целью получения объективной информации о режиме ее работы в целом. На рис. 10.1 показана схема пассивного четырехполюсника.

Рис. 10.1. Схема пассивного четырехполюсника

Левые клеммы условно считаются входными, а правые – выходными. В зависимости от назначения выделяют активные и пассивные четырехполюсники. Если четырехполюсник линеен по структуре и для него выполняется свойство взаимности, то он считается обратимым. Проведем анализ работы четырехполюсников при условии их подключения к источникам синусоидального тока и напряжения. В случае работы их в цепях несинусоидального тока необходимо знать частотные характеристики входного сигнала (см. несинусоидальные цепи). Все это же будет справедливо и для случая источника постоянного тока или напряжения.

Канонические уравнения пассивных четырехполюсников

Режим работы четырехполюсника определен, если известна связь между четырьмя его основными величинами: входными и выходными токами и напряжениями. Для вывода уравнений рассмотрим электрическую цепь и представим ее в виде пассивного четырехполюсника, при этом выделим две ветви, содержащие источники ЭДС.

Рис. 10.2. Схема пассивного четырехполюсника с двумя источниками ЭДС

Используя метод контурных токов, составим систему уравнений электрического равновесия для схемы рис. 10.2:

или

Представленная система называется  —формой записи уравнений четырехполюсника.

Входящие в нее значения сопротивлений могут быть найдены, если провести режимы холостого хода со стороны первичных и вторичных зажимов.

При  имеем:

При имеем:

Данная система является не единственной. В ряде случаев, которые определяются способом соединения четырехполюсников, используют  – форму, для которой входные и выходные токи являются функциями напряжений  и Решив систему уравнений (10.1) относительно токов, получим – форму записи уравнений четырехполюсника, применительно к цепи по рис. 10.3.

При каскадном соединении четырехполюсников целесообразно иметь такую форму записи, которая позволяла бы выразить параметры и  через соответствующие и  Для вывода данной формы записи уравнений, которые носят название формы, решим систему уравнений (10.2) относительно и

Рис. 10.3. Схема пассивного четырехполюсника с одним источником ЭДС

Тогда —форма будет иметь вид:

При этом коэффициенты могут быть выражены через значения записанных выше проводимостей

Коэффициенты и являются безразмерными, 

Аналогичного рода система уравнений может быть получена при перемене местами входных и выходных зажимов:

Из сравнения систем уравнений (10.3) и (10.4) видно, что коэффициенты и меняются местами. Система уравнений по формуле (10.4) называется —формой записи уравнений четырехполюсника.

Коэффициенты  связаны между собой следующим соотношением:

Уравнение (10.5) называется уравнением связи. Четырехполюсник называется симметричным, если при перемене местами источника с приемником токи в нагрузке и источнике не меняются, для него В этом случае нет необходимости маркировать входные и выходные зажимы.

Кроме приведенных выше четырех форм записи уравнений четырехполюсника есть еще и так называемые гибридные формы записи, когда ток на входе и напряжение на выходе выражаются через ток на выходе и напряжении на входе и наоборот.

— форма

— форма

Коэффициенты четырехполюсника в любой форме записи могут быть определены из опытов XX и КЗ. Определим коэффициенты  и для одной из наиболее часто применяемых форм записи уравнений – формы.

Определение коэффициентов четырехполюсника

Для несимметричного четырехполюсника необходимо провести три из возможных четырех опытов холостого хода (XX) и короткого замыкания (КЗ) при питании со стороны первичных и вторичных зажимов, так как четвертым является уравнение связи (10.5). Проведем опыт холостого хода при питании со стороны первичных зажимов и опыты холостого хода и короткого замыкания при питании со стороны вторичных зажимов.

1. Опыт холостого хода при питании со стороны первичных зажимов, когда

Из формулы (10.3) имеем:

2. Опыт холостого хода при питании со стороны вторичных зажимов, когда

Из формулы (10.4) следует:

3. Опыт короткого замыкания при питании со стороны вторичных зажимов, когда

Из формулы (10.4) получим:

Совместное решение уравнений (10.5) и (10.7-10.9) относительно коэффициента дает:

При проведении всех опытов необходимо учесть, что по результатам измерений можно определить только модули сопротивлений. Для определения комплексных сопротивлений необходимо дополнительно оценить на входе или выходе четырехполюсника угол сдвига фаз между соответствующими токами и напряжениями, поэтому на входе или, соответственно, на выходе четырехполюсника включают фазометр или ваттметр.

Определив коэффициенты для одной из форм записи, для других форм их можно пересчитать или воспользоваться справочной литературой.

Входное сопротивление пассивного четырехполюсника

В случае, когда четырехполюсник включен между генератором и нагрузкой, то режим работы генератора будет существенно зависеть от входного сопротивления четырехполюсника. В свою очередь это сопротивление будет зависеть от сопротивлений нагрузки или

Определим выражения для и

При питании со стороны первичных зажимов получим:

Аналогично, при замене местами входа и выхода:

Между параметрами и имеется соотношение:

Характеристические сопротивления и постоянная передачи несимметричного четырехполюсника

Характеристическими сопротивлениями несимметричного четырехполюсника называется такая пара сопротивлений, для которых соответственно при питании со стороны выходных зажимов и При этом четырехполюсник будет выполнять роль связующего звена между генератором и нагрузкой. Из полученных ранее уравнений четырехполюсника определим входные сопротивления  и  Входное сопротивление при условии, что

Аналогично можно получить при перемене клемм местами:

Совместное решение уравнений (10.11) и (10.12) позволит выразить характеристические сопротивления через параметры четырехполюсника, то есть:

Третьим параметром, характеризующем четырехполюсник с точки зрения передачи электромагнитной энергии со входа на выход, является постоянная передачи  представляющая собой комплексную величину и получаемую при условии, что четырехполюсник нагружен на сопротивление, равное характеристическому:

где:

Коэффициент то есть вещественная часть постоянной передачи называется коэффициентом затухания. Коэффициент при мнимой части  называется коэффициентом фазы:

При

получим:

Введем в уравнения четырехполюсника характеристические сопротивления:

Аналогично для тока:

С учетом того, что:

постоянная передачи может быть определена как:

Параметры и  называются вторичными параметрами четырехполюсника

Характеристическое сопротивление и постоянная передачи симметричного четырехполюсника

Для симметричного четырехполюсника поэтому характеристические сопротивления равны  и, соответственно:

Для симметричного четырехполюсника связи между входными и выходными напряжениями и токами несколько изменятся:

Постоянная передачи

Параметр можно выразить через известные комплексные величины токов и напряжений:

Тогда:

В итоге получим:

Коэффициент затухания количественно показывает изменение величины выходного сигнала по сравнению с входным. Коэффициент равен 1Нп (Непер), если Это очень большая величина, поэтому используется меньшая единица, называемая белом (Б) и определяемая как:

Еще меньшая единица – децибел (дБ), определяемый по выражению:

Уравнения четырехполюсника в гиперболических функциях

Выразим коэффициенты несимметричного четырехполюсника через гиперболические функции:

Объединяя соотношения, установим взаимосвязь между первичными и вторичными параметрами четырехполюсника.

В итоге уравнения четырехполюсника примут вид:

При симметричном четырехполюснике уравнения упростятся в силу того, что и  и примут вид:

Схемы замещения пассивного четырехполюсника

Ранее было установлено, что любой пассивный четырехполюсник однозначно характеризуется тремя независимыми коэффициентами. Исходя из сказанного, следует, что его можно заменить трехэлементной схемой замещения (рис. 10.4).

Рис. 10.4. Трехэлементная схема замещения четырехполюсника: а)  – образная; b) – образная – продольные сопротивления; – поперечные сопротивления.

Комбинации  – образных схем (рис. 10.5) могут дать – или  – образную схему. – образные схемы не уравновешены, т.к. отсутствует симметрия между корпусом и входом. Такого рода четырехполюсник может включаться между сеткой электронной лампы и её заземлённым катодом.

Рис. 10.5. Варианты – образных схем замещения четырехполюсника

Однако в ряде случаев нужен уравновешенный четырехполюсник, если он, например, включается в линию передачи информации для устранения искажений, вносимых самим каналом (рис. 10.6.а,b).

Расчет параметров схем замещения проводится одинаково для всех четырехполюсников. При определении параметров схемы замещения необходимо учитывать, что коэффициенты реального четырехполюсника и эквивалентной схемы замещения одинаковы. Рассмотрим определение сопротивлений образной схемы замещения, полагая, что коэффициенты четырехполюсника известны.

Рис. 10.6. Примеры уравновешенных четырехполюсников

Рис. 10.7. – образная схема замещения четырехполюсника

Запишем для  – образной схемы по рис. 10.7. систему уравнений по законам Кирхгофа и приведем ее к виду уравнений для формы:

Сравним полученные выражения для тока и напряжения на входе четырехполюсника с каноническими уравнениями:

Коэффициенты четырехполюсника связаны с сопротивлениями схемы замещения следующими соотношениями:

Из полученных соотношений рассчитаем сопротивления схемы замещения:

Правомерно и обратное решение, т.е. по известным сопротивлениям легко рассчитать коэффициенты Аналогичного рода рассуждения могут быть выполнены и для  – образной схемы (рис. 10.8).

Рис. 10.8. – образная схема замещения четырехполюсника

Ниже приведены формулы, связывающие коэффициенты четырехполюсника и сопротивления схемы замещения, полученные из уравнений, составленных по законам Кирхгофа и приведенных к форме:

Из этих уравнений легко рассчитать сопротивления схемы замещения:

В частном случае симметричного четырехполюсника данные уравнения упрощаются. Для  – образной схемы Для – образной схемы В заключение отметим, что схемы замещения упрощают исследование цепей, особенно при их каскадном соединении.

Способы соединения пассивных четырёхполюсников

Существуют пять видов соединения четырехполюсников, которые представлены на рис. 10.9-10.13.

Рис. 10.9. Последовательное соединение четырехполюсников

Для расчета удобна  – форма.

Рис. 10.10. Параллельное соединение четырехполюсников

Для расчета используется – форма.

Рис. 10.11. Комбинированное последовательно-параллельное соединение четырехполюсников

Для расчета используется – форма.

Рис. 10.12. Комбинированное параллельно – последовательное соединение четырехполюсников

Для расчета используется форма.

Наиболее важным и значимым с точки зрения практики является каскадный способ соединения четырехполюсников (рис. 10.13).

Рис. 10.13. Каскадный способ соединения четырехполюсников

Расчет эквивалентной схемы ведется по форме. Если входящие в каскад четырехполюсники одинаковы по структуре, то они образуют цепную схему. С ее помощью реализуется линии задержки сигналов, а в каскад собираются частотные фильтры для увеличения коэффициента в области затухания. Если четырехполюсники, входящие в схему симметричны, то симметрична и вся цепная схема, при этом практически важной является задача определения параметров цепной схемы в целом, если известны параметры одного его звена. Под этими параметрами будем понимать характеристическое сопротивление и постоянную передачи как одного звена так и всей схемы

Решение данного вопроса рассмотрим на примере цепной схемы, составленной из симметричных и согласованных с нагрузкой четырехполюсников, общее число которых равно (рис. 10.14).

Для них имеем:

Пусть ый четырёхполюсник согласован с нагрузкой, т.е. его тогда и на входе го звена также будем иметь сопротивление Оно будет являться нагрузкой для четырехполюсника, т.е. его входное сопротивление так же будет равно  которое, в свою очередь будет являться нагрузкой -го звена и т.д. Двигаясь от конца схемы к началу, приходим к выводу, что входное сопротивление всей схемы равно  т.е., получим Ранее было получено выражение для постоянной передачи симметричного четырехполюсника:

Рис. 10.14. Цепная схема соединения четырехполюсников

Для всей схемы получим:

Но так как все четырехполюсники одинаковы, то:

Если каскадная схема состоит из несимметричных четырёхполюсников, но согласованных друг с другом и последний ый согласован с нагрузкой, то эквивалентный четырехполюсник будет иметь пару характеристических сопротивлений и

Постоянная передачи эквивалентного четырехполюсника определится как:

В самом общем случае цепная схема может быть составлена из несимметричных и несогласованных друг с другом четырехполюсников. В этом случае для расчета эквивалентной схемы уравнения каждого четырехполюсника надо представить в матричной форме:

Поскольку выходные значения тока и напряжения предыдущего четырехполюсника являются входными для последующего, то уравнение, связывающее их в матричной форме, примет вид:

Таким образом, задача по расчету параметров эквивалентного четырехполюсника сводится к умножению матриц исходных.

Передаточная функция четырехполюсника

Отношение комплексных амплитуд или комплексов действующих значений тока или напряжения на выходе к соответствующим значениям тока или напряжения на входе называется комплексной передаточной функцией четырехполюсника:

Понятие передаточной функции является важнейшим в теории автоматического управления (ТАУ) и будет подробно исследоваться в рамках соответствующего курса. Если известны параметры четырехполюсника и сопротивление нагрузки, то передаточные функции по напряжению и току могут быть выражены следующим образом:

Дифференцирующие и интегрирующие цепи

С помощью четырехполюсника на выходе можно получить производную или интеграл от входного сигнала, что позволяет рассматривать его в качестве дифференцирующего или интегрирующего звена, входящих в состав сложных динамических систем.

Применительно к теории электрических цепей такого рода звенья могут быть реализованы с использованием параметров

Примеры такого рода цепей даны на рис. 10.15. и 10.17.

Такие четырехполюсники называются дифференцирующими и интегрирующими цепями.

Дифференцирующая цепь.

На рис. 10.15 представлены простейшие дифференцирующие цепи.

Рис. 10.15. Схемы простейших дифференцирующих цепей

Пусть в схеме с индуктивностью сопротивление нагрузки столь велико, что током по сравнению с током  можно пренебречь.

Определим передаточную функцию:

Если постоянная времени цепи мала по сравнению с интервалом R времени, в течение которого входное напряжение заметно меняется, то расчет упростится:

При нулевых начальных условиях:

Таким образом, на выходе получили производную от входного сигнала на входе:

Цепь представленная на рис. 10.15, выполняет также дифференцирование функции. Покажем это. При нулевых начальных условиях напряжение на выходе, выраженное через напряжение на входе, в операторной форме имеет вид:

Определим передаточную функцию:

Если постоянная времени цепи достаточно мала по сравнению со временем, в течение которого напряжение  заметно меняется, то приближенно можно считать:

Тогда мгновенное значение напряжения:

Интегрирующая цепь.

На рис. 10.16 изображены простейшие интегрирующие звенья.

Проведем аналогичный расчет.

Будем полагать, что в обеих схемах сопротивление нагрузки столь велики, что током  по сравнению с током  можно пренебречь.

Рис. 10.16. Схемы простейших интегрирующих цепей

Определим выходное напряжение для цепи 

Если постоянная времени существенно больше интервала времени, в течение которого входное напряжение постоянно или изменяется незначительно, то:

Аналогичные рассуждения можно провести и для второй схемы.

Частотные электрические фильтры

Электрическими фильтрами называются четырехполюсники, которые обычно составлены из катушек индуктивностей и конденсаторов и из всего широкополосного спектра генератора пропускающие в нагрузку один или несколько заданных частотных диапазонов.

Принцип работы фильтров базируется на двух основных положениях: индуктивное сопротивление прямо, а емкостное – обратно пропорционально частоте; ток в емкости опережает, а в индуктивности отстает от приложенного напряжения. Будем рассматривать идеальные фильтры, в состав которых входят только идеальные реактивные элементы.

В зависимости от диапазона пропускаемых частот выделяют НЧ – низкочастотные фильтры, пропускающие в нагрузку все частоты от 0 до некоторой где  – частота среза фильтра или граничная частота; ВЧ – высокочастотные фильтры, пропускающие в нагрузку все частоты от до бесконечности; полосовые фильтры пропускающие в нагрузку частоты от  до заграждающие фильтры (пробки) пропускающие в нагрузку частоты от 0 до  и от до бесконечности.

Область, в которой частоты распространяются без затухания, называется зоной прозрачности, а вся остальная область частот называется зоной затухания.

Фильтры являются частным случаем пассивного четырехполюсника, поэтому все его свойства будут определяться вторичными параметрами и Если произведение продольного сопротивления на поперечное представляет некоторое постоянное число  не зависящее от частоты, то такие фильтры называют фильтрами типа

Исследование фильтрационных свойств тех или иных четырехполюсников сводится к исследованию зависимостей коэффициента затухания  коэффициента фазы и характеристического сопротивления  от частоты. Рассмотрение данного вопроса будем проводить для двух типов фильтров, построенных по  и образной схемам (рис. 10.17).

Для каждой из представленных схем ранее были получены соотношения, связывающие коэффициенты  и параметры сопротивлений, входящие в их состав:

для образной схемы:

для образной схемы:

Отметим, что в любой из этих схем отношение соответствующих сопротивлений в коэффициенте всегда будет вещественным числом (положительным или отрицательным).

Кроме того, в уравнениях четырехполюсника, представленных в гиперболических функциях, коэффициент равен

в силу того, что для симметричного четырехполюсника 

Рис. 10.17. -и  – образные схемы фильтра

Используя известные преобразования, получим:

Из выражения для коэффициента в тригонометрической форме следует, что это комплексное число, однако с другой стороны, для четырехполюсника, составленного из идеальных индуктивностей и емкостей он является вещественным. Данные выводы позволяют записать следующую систему уравнений:

Полученные уравнения могут быть использованы при расчете тех или иных фильтров.

Покажем методику расчета НЧ-фильтра, представленного образной схемой (рис. 10.18):

Рис. 10.18. образная схема низкочастотного фильтра

Обозначим сопротивления этой схемы:

В зоне полосы прозрачности коэффициент затухания равен нулю и поэтому

Из этого следует, что  который изменяется в пределах Тогда: Из полученного неравенства определяется граница полосы прозрачности НЧ-фильтра.

Полученный результат позволяет заключить, что НЧ-фильтр пропускает в нагрузку все частоты генератора начиная с 0 до частоты среза

Определим закон изменения коэффициента фазы  в зоне полосы прозрачности:

При достижении частоты коэффициент фазы достигнув остается неизменным. Это следует из второго уравнения системы (10.13). Таким образом, полученные соотношения позволяют качественно построить зависимости коэффициентов и  от частоты (рис. 10.19).

Ранее было установлено, что:

Уравнения для образной схемы замещения дают следующие выражения для коэффициентов и 

Используя полученное выражение построим функцию  (рис. 10.20).

Рис. 10.19. Зависимости коэффициентов затухания и фазы от частоты

Из графика следует, что в зоне полосы прозрачности имеет активный характер, в то время, как в зоне затухания характер становится емкостным.

Рис. 10.20. Зависимость характеристического сопротивления  от частоты

Основные определения и классификация четырехполюсников

Часть электрической цепи, рассматриваемая по отношению к любым двум парам ее выводов, называется четырехполюсником (рис. 9-1). Понятием «четырехполюсник» пользуются тогда, когда интересуются токами и напряжениями только в двух ветвях или двух парах узлов электрической цепи. Так, в качестве четырехполюсника могут быть представлены длинная линия, электрический фильтр, трансформатор, усилитель, корректирующее и всякое другое устройство с двумя парами выводов, включенное между источником и  приемником электрической

энергии, когда предметом исследования являются токи и напряжения на этих выводах, а не токи и напряжения внутри самого четырехполюсника.

Выводы четырехполюсника, к которым присоединяется источник электрической энергии, называются входными, а выводы, к которым присоединяется нагрузка, — выходными. Ради краткости применяются также термины «вход» и «выход» четырехполюсника.

На практике возможны случаи, когда обе пары выводов четырехполюсника являются входными (случай двустороннего питания четырехполюсника) или выходными (случай четырехполюсника, содержащего независимые источники электрической энергии и нагруженного с обеих сторон).

Четырехполюсники могут быть классифицированы по различным признакам.

По признаку линейности элементов, входящих в них, четырехполюсники разделяются на линейные и нелинейные. Ниже рассматриваются линейные четырехполюсники.

По схеме внутренних соединений четырехполюсников различают Г-образный (рис. 9-2, а), Т-образный (рис. 9-2, б), П-образный (рис. 9-2, в), мостовой (рис. 9-2, г), Т-образно-мостовой (рис. 9-2, д) и другие.

Четырехполюсники делятся на активные и пассивные.

Четырехполюсник называется активным, если он содержит внутри источники электрической энергии. При этом, если эти источники являются независимыми, то в случае линейного четырехполюсника обязательным дополнительным условием активности четырехполюсника является наличие на одной или обеих парах его разомкнутых выводов напряжения, обусловленного источниками электрической энергии, находящимися внутри него, т. е. необходимо, чтобы действия этих источников не компенсировались взаимно внутри четырехполюсника. Такой активный четырехполюсник называется автономным.

В случае, когда источники внутри четырехполюсника являются зависимыми, как это, например, имеет место в схемах замещения электронных ламп и транзисторов, то после отсоединения четырехполюсника от остальной части цепи напряжение на разомкнутых выводах его не обнаруживается. Такой активный четырехполюсник называется неавтономным.

Четырехполюсник называется пассивным, если он не содержит источников электрической энергии; линейный четырехполюсник может содержать источники электрической энергии, взаимно компенсирующиеся таким образом, что напряжения на обеих парах разомкнутых выводов четырехполюсника равны нулю. Так, четырехполюсник на рис. 9-3, а пассивен, так как любые две э. д. с. четырехполюсника взаимно компенсируются в контуре (в уравнениях Кирхгофа эти э. д. с. взаимно уничтожаются); четырехполюсник, изображенный на рис. 9-3, б, пассивен вследствие того что напряжение на выводах ветви с источниками всегда равно нулю.

Если все э. д. с. в схемах рис. 9-3 приравнять нулю, то получатся четырехполюсники, эквивалентные в электрическом смысле исходным. Под эквивалентностью двух четырехполюсников понимается возможность взаимной замены их в электрической цепи без изменения токов и напряжений в остальной ее части.
 

Различают четырехполюсники симметричные и несимметричные. Четырехполюсник является симметричным в том случае, когда перемена местами его входных и выходных выводов не изменяет токов и напряжений в цепи, с которой он соединен. В противном случае четырехполюсник является несимметричным.

Четырехполюсник называется о бр атимым, если выполняется теорема обратимости, т. е. отношение напряжения на входе к току на выходе, или, что то же, передаточное сопротивление входного и выходного контуров не зависит от того, какая из двух пар выводов является входной и какая выходной. В противном случае четырехполюсник называется необратимым.

Пассивные линейные четырехполюсники являются обратимыми, несимметричные же активные (автономные и неавтономные) четырехполюсники необратимы. Симметричные четырехполюсники всегда обратимы.

Основной смысл теории четырехполюсника заключается в том, что, пользуясь некоторыми обобщенными параметрами четырехполюсника, можно находить токи и напряжения на входе и выходе четырехполюсника.

Сложная электрическая цепь (например, канал связи), имеющая входные и выходные выводы, может рассматривать как совокупность составных четырехполюсников, соединенных по определенной схеме.

Теория четырехполюсника позволяет вычислить параметры такого сложного четырехполюсника по параметрам составных четырехполюсников и, таким образом, получить аналитическую зависимость между токами и напряжениями на входе и выходе результирующего сложного четырехполюсника, не производя расчетов токов и напряжений внутри заданной схемы.

Получаемые таким путем значения величин на входе и выходе позволяют оценить режим работы передачи в целом. При этом пользование обобщенными параметрами четырехполюсника дает возможность сопоставлять и правильно оценивать передающие свойства электрических цепей, различных по своему типу и структуре.

Теория четырехполюсника позволяет также решать задачи синтеза, т. е. находить структуру и элементы четырехполюсника по заданным характеристикам.

Основы теории пассивного четырехполюсника разрабатывались многими отечественными и зарубежными учеными. Понятие четырехполюсник может быть применено и к механизму, служащему для передачи силы и скорости от источника механической энергии к приемнику. Такой «механический четырехполюсник», имеющий два полюса (вход и выход), может быть описан линейными уравнениями, связывающими силы и скорости на полюсах].

Механическому четырехполюснику соответствует электрический четырехполюсник, построенный по одному из двух принципов электромеханических аналогий,  силы заменяются напряжениями, скорости — токами, либо силы заменяются токами, а скорости — напряжениями.

В настоящей главе рассматриваются активные (неавтономные) и пассивные четырехполюсники, имеющие одну пару входных и одну пару выходных выводов. Рассмотрение общей теории многополюсника не входит в рамки данного курса.

Системы уравнений четырехполюсника

Положим, что имеется четырехполюсник, не содержащий независимых источников электрической ‘энергии. Обозначим левую пару выводов четырехполюсника цифрами 1—1′, а правую пару выводов — цифрами 2—2’. Этого условного обозначения будем придерживаться во всем последующем изложении, приписывая индексы 1 и 2 токам и напряжениям, относящимся соответственно к левой и правой парам выводов четырехполюсника. Теми же индексами 1 и 2 будут обозначаться входной и выходной контуры четырехполюсника.

На рис. 9-4 обозначены принятые положительные направления для токов и напряжений на выводах четырехполюсника. Вариант с токами принято называть прямой передачей (см. уравнения по форме || А ||), вариант с токами — обратной передачей (см. уравнения по форме || В ||). Используется также вариант с токами который будем называть третьим вариантом (см. уравнения по формам || У ||, || Z ||, || Н ||, || С ||). Во всех случаях каждое из напряжений и понимается как разность потенциалов верхнего или 2) и нижнего (Г или 2′) выводов четырехполюсника.

Напряжения и токи на выводах четырехполюсника обусловливаются присоединением активных цепей к обеим парам выводов либо присоединением активной цепи к одной паре, а пассивной цепи к другой паре выводов .четырехполюсника.

Электрические цепи, присоединенные к выводами 2—2′, могут быть на оснований теоремы компенсации в любом режиме замещены источниками э. д. с. и которые могут рассматриваться как контурные э.д. с., включенные в два независимых контура четырехполюсника, а токи — как контурные токи.

Соотношения между напряжениями и токами на входе и выходе четырехполюсника могут быть записаны в виде следующих ниже шести форм уравнений:

1.    Форма выражаются в зависимости от

2.    Форма выражаются в зависимости от

3.    Форма выражаются в зависимости от

4.    Форма выражаются в зависимости от

5.    Форма выражаются в зависимости от

6.    Форма выражаются в зависимости от

Из перечисленных выше шести форм уравнений рассмотрим более подробно формы

Коэффициенты и определители каждой системы уравнений четырехполюсника могут быть выражены через коэффициенты и определители любой другой системы (см. приложения II и III). Таблицы облегчают переход от одной формы записи уравнений четырехполюсника к другой.

Контурные токи связаны с контурными э. д. с. (рис. 9-4) линейными уравнениями (9-1), которые непосредственно^ следуют из (7-11) , поскольку рассматриваемый четырехполюсник не содержит независимых источников электрической энергии.

Коэффициенты Y представляют собой входные и передаточные проводимости контуров / и 2, В общем случае — это комплексные величины, зависящие от частоты; они определяются следующим образом:

—входнаяпроводимость со стороны выводов 1 при закороченных выводах 2

 —входная проводимость со сторонывыводов 2 при закороченных выводах 1;

-передаточная проводимость при закороченных выводах 2
передаточная проводимость при закороченных выводах 1.

В случае обратимого четырехполюсника

т. е. только три коэффициента в уравнениях (9-1) являются независимыми.

Если четырехполюсник симметричен, то наряду с (9-7) выполняется условие

В этом случае число независимых коэффициентов равно двум (например,).
Коэффициенты в общем случае комплексные и зависят от частоты. Они имеют размерность сопротивления и могут быть определены следующим образом:

—входное сопротивление со стороны выводов 1 при разомкнутых выводах 2;

—входное сопротивление со стороны выводов 2при разомкнутых выводах 1;

— передаточное сопротивление при разомкнутых выводах 2;

— передаточное сопротивление при разомкнутых выводах 1.

В случае обратимого четырехполюсника

т. е. только три коэффициента в уравнениях (9-2) являются независимыми .

Если четырехполюсник симметричен,’ то наряду с (9-9) выполняется условие

В этом случае остаются только два независимых коэффициента (например,
 

Уравнения четырехполюсника в форме || А||

Как уже отмечалось при записи уравнений в форме || А || положительное направление токов выбирается согласно рис. 9-4. Удобство выбора именно такого положительного направления тока связано в данном случае с тем, что форма || А || применяется обычно при передаче электрической энергии от входных выводов к вы-‘ходным, причем четырехполюсник, включенный между источником и приемником, может состоять из нескольких четырехполюсников, соединенных каскадно; вход каждого последующего четырехполюсника совпадает с выходом предыдущего четырехполюсника.

Выведем форму || А || из формы || Y ||. Для этого в уравнениях (9-1), заменив через — получим:

Из второго уравнения (9-11) следует:

Подстановка этого выражения в первое уравнение (9-11) дает:
где

———————————————————
* Коэффициенты четырехполюсников по формене являются обратными величинами по отношению к коэффициентам по форме так что, например,

———————————————————

Положив в (9-12) и (9-13):

получим систему уравнений четырехполюсника (9-3). Коэффициенты в общем случае комплексные и зависят от частоты: — безразмерные, имеет размерность сопротивлений, имеет размерность проводимости. Эти коэффициенты могут быть определены аналогично предыдущему следующим образом:

•  — отношение напряжений при разомкнутых вьрсодных выводах;
• — отношение токов при закороченных выходных выводах;
• — величина, обратная передаточной проводимости при закороченных выходных выводах;
• —величина, обратная передаточному сопротивлению при разомкнутых выходных выводах.

Определитель, составленный из коэффициентов А, равен:

В случае обратимого четырехполюсника и поэтому

т. е. только три любых коэффициента в уравнениях (9-3) являются независимыми; четвертый коэффициент связан с остальными условием (9-16).

Если четырехполюсник симметричен, то на основании (9-14) с учетом (9-8)

т. е. число независимых коэффициентов равно двум (например,

¹ Коэффициенты часто также обозначаются через А, В, С и D.

В случае перемены направления передачи электрической энергии, а именно при передаче энергии от выводов 2 к выводам 1, в уравнениях четырехполюсника связывают напряжения и токи [см. уравнения (9-4) по форме Если заменить в (9-3) токи на —на — и решить уравнения относительно то получим уравнения четырехполюсника в форме || В ||, выраженные через коэффициенты формы || А ||. Для обратимого четырехполюсника:

Сопоставляя уравнение (9-18) с уравнениями (9-3), соответствующими направлению передачи энергии от выводов 1 к выводам 2, заключаем, что с переменой направления передачи энергии коэффициенты входящие в системы уравнений, меняются местами.

Параметры холостого хода и короткого замыкания

Было показано, что коэффициенты представляют собой входные проводимости четырехполюсника рис. 9-4, измеренные слева и справа при закороченных противоположных выводах; соответственно представляют собой входные сопротивления четырехполюсника при разомкнутых выводах.

Введя индексы «к» и «х» для обозначения режимов короткого замыкания (выводы замкнуты) и холостого хода (выводы разомкнуты), получим параметры холостого хода и короткого замыкания:

Этих параметров достаточно для составления уравнений обратимого четырехполюсника. Для записи уравнений необратимого четырехполюсника недостаточно параметров холостого хода и короткого замыкания, так как из них только три являются независимыми.

Действительно, на основании (9-19) и таблицы приложения II

и

откуда

Таким образом, параметры холостого хода и короткого замыкания, выражаемые формулами (9-19), принудительно связаны уравнением (9-20).

В случае симметричного четырехполюсника

т. е. симметричный четырехполюсник характеризуется только двумя параметрами.

Параметры холостого хода и короткого замыкания могут быть выражены через любую систему коэффициентов, например через коэффициенты А:
В свою очередь любая система коэффициентов обратимого четырехполюсника может быть выражена через параметры холостого хода и короткого замыкания. Например, для коэффициентов А получаем

и, используя (9-21), выражаем все остальные коэффициенты через
 

Схемы замещения четырехполюсника

На основании уравнений четырехполюсника могут быть построены различные схемы замещения, которые облегчают исследование общих свойств рассматриваемой цепи. Ниже показаны некоторые схемы замещения четырехполюсника, параметры которых выражаются через коэффициенты У, Z и А.
1 Эта формула дает двузначное решение, так как входящие в нее параметры не меняются от перекрещивания любой пары выводов.

На практике чаще всего пользуются П-образной и Т-образной схемами замещения четырехполюсника.

На рис. 9-5, а показана П-образная схема замещения четырехполюсника, в которой проводимости ветвей выражены через коэффициенты Y. При этом зависимый источник тока сохраняется в эквивалентной схеме

только в случае необратимого четырехполюсника; в схеме обратимого четырехполюсника источник тока отсутствует (см. рис. 9-6, а).

Схема рис. 9-5, о соответствует системе уравнений (9-1). Действительно, по первому закону Кирхгофа ток равен сумме токов, входящих в ветви с проводимостями Ток, входящий в первую ветвь, рдвен а ток, входящий во вторую ветвь, равен

Итак,

В свою очередь ток равен сумме токов, входящих в ветви с проводимостями и тока источника Следовательно,

На рис. 9-5, б показана Т-образная схема замещения, в которой сопротивления ветвей выражены через коэффициенты Z четырехполюсника. Применив второй закон Кирхгофа, легко убедиться в тем, что данная схема соответствует уравнениям (9-2).

Схема замещения четырехполюсника содержит зависимый источник э. д. с. или тока в случае, когда четырехполюсник необратим. В схеме обратимого четырехполюсника зависимый источник отсутствует (рис. 9-6, б).

Параметры схемы замещения четырехполюсника могут быть выражены также через коэффициенты А. Так, например, пользуясь таблицей приложения II, можно в П-об-разной схеме (см. рис. 9-5, а) проводимости ветвей выразить через коэффициенты А. при этом получится схема рис. 9-5, в в случае обратимого четырехполюсника будем иметь схему рис. 9-6, а, которая часто применяется для расчета энергетических систем.

Пассивный П-образный четырехполюсник может быть преобразован в Т-образный (или наоборот) по правилу преобразования треугольника в эквивалентную звезду.

Следует заметить, что П-образ на я и Т-образная схемы замещения четырехполюсника не всегда физически реализуемы

Под физически реализуемой пассивной схемой понимается такая схема, в которой параметры r, L и С положительны. Если в какой-либо ветви схемы данное условие не выполнено, то схема физически нереализуема. 

¹ Это не относится к четырехполюсникам, не содержащим реактивных элементов.

Например, схема рис. 9-6, б нереализуема при отрицательном знаке действительной части т. е. если

Схемой замещения четырехполюсника может служить и мостовая схема. Мостовая схема является физически реализуемым эквивалентом для любого реально осуществимого симметричного пассивного четырехполюсника.

Схемы замещения необратимых четырехполюсников, описанные выше, применяются для анализа и расчета электрических цепей, содержащих электронные лампы и транзисторы. К этому вопросу предстоит вернуться во второй части курса.

Пример 9-1.

Рассматривая автотрансформатор (см. рис. 8-21, о) как четырехполюсник, построить для него Т-образную схему замещения.

Выбрав положительные направления токов по третьему варианту и воспользовавшись параметрами Z, найдем:

На основании рис. 9-6, б получаются следующие сопротивления ветвей Т-образной схемы:

Полученный результат совпадает с данными (см, рис. 8-21, б).

Входное сопротивление четырехполюсника при произвольной нагрузке

Обозначим через входное сопротивление четырехполюсника со стороны выводов 1, когда к выводам 2 присоединено произвольное комплексное сопротивление Z3 (рис. 9-7, а); соответственно через обозначим. входное сопротивление четырехполюсника со стороны выводов 2, когда к выводам 1 присоединено произвольное комплексное сопротивление (рис. 9-7, б).

Следовательно, входное сопротивление равно отношению напряжения к току при прямой передаче энергии:a равно отношению напряжения к-локу при обратной передаче энергии:

Входные сопротивления четырехполюсника могут быть выражены через любую систему коэффициентов четырехполюсника и комплексные сопротивления нагрузок и .

а и б — произвольная нагрузка: в и г — согласованная нагрузка.

Например, если воспользоваться системой уравнений (9-3), то, разделив первое из уравнений на второе, получим:

Аналогично при    обратной передаче на основании (9-18)

Если воспользоваться таблицами приложений II и III, то можно выразить через другие коэффициенты четырехполюсника.

На практике применяются и другие выражения для . Например, в тех случаях, когда известны параметры холостого хода и короткого замыкания удобно пользоваться зависимостями от этих параметров. С этой целью выражениям (9-23) и(9-24) с учетом (9-21) придается следующий вид:

Рассмотренные выше функциональные зависимости представляют собой дробнолинейные преобразования, связывающие сопротивления на выводах четырехполюсника; они иллюстрируют одно из свойств четырехполюсника — способность преобразовывать сопротивления.
 

Характеристические параметры четырехполюсника

Положим, что сопротивления в схемах рис. 9-7, а и б подобраны таким образом, что и . Иначе говоря, будем считать, что существуют два сопротивления: которые удовлетворяют следующему условию: входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного сопротивлением , равно (рис. 9-7, в); входное сопротивление четырехполюсника, нагруженного сопротивлением равно (рис. 9-7, г).

Такие два сопротивления называются характеристическими сопротивлениями несимметричного четырехполюсника.

Условие, когда четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения.

Положив в (9-23) и (9-24)

и

получим

Совместное решение этих уравнений относительно и дает:

Введем для рассматриваемого обратимого четырехполюсника новый параметр g, удовлетворяющий условиям:

Эти условия всегда осуществимы, так как параметр g может быть комплексным. Кроме того, эти условия взаимно дополняют друг друга, так как имеющая место связь между коэффициентами (9-16) соответствует тригонометрической формуле

Параметр g в общем случае комплексный; называется мерой передачи четырехполюсника. Это — третий характеристический параметр обратимого четырехполюсника. Его действительная часть а называется собственным затуханием четырехполюсника, а мнимая часть b — коэффициентом фазы.

Физический смысл этих коэффициентов будет пояснен ниже. Выразим коэффициенты четырехполюсника формы через характеристические параметры.

На основании (9-25):

и

Умножение (9-26) на (9-27) и (9-28) дает:

¹ Иногда этот параметр называется коэффициентом передачи, его не следует смешивать с терминами «коэффициент передачи по напряжению» и «коэффициент передачи по току». В литературе ранее применялось обозначение

Деление (9-26) на (9-27) и (9-28) дает:

В результате подстановки (9-29)—(9-32) в (9-3) получаются уравнения несимметричного обратимого четырехполюсника в гиперболической форме, соответствующие положительным направлениям токов указанным на рис. 9-4:

При согласованно подобранной нагрузке имеет место равенство

Если воспользоваться известным математическим соотношением

то уравнения (9-33) упростятся:

Отсюда следует, что при согласованно подобранной нагрузке модули напряжений и соответственно токов на входе и выходе четырехполюсника связаны уравнениями:

Множитель равен отношению амплитуд или действующих значений напряжений на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке. В свою очередь множитель равен отношению амплитуд или действующих значений токов при той же нагрузке.

Если аргументы (углы) комплексных характеристических сопротивлений обозначить через то фазовый сдвиг напряжения на входе относительно напряжения на выходе определится величиной а фазовый сдвиг тока на выходе относительно тока на выходе — величиной

В общем случае коэффициент фазы b может быть определен как полусумма фазовых сдвигов между напряжениями и соответственно между токами на входе и выходе четырехполюсника, нагруженного согласованно. При равенстве углов и согласованно подобранной нагрузке фазовые сдвиги между напряжениями и соответственно между токами четырехполюсника одинаковы и равны b.

Характеристические параметры и g могут быть выражены через параметры холостого хода и короткого замыкания, а именно: на основании (9-21), (9-25) и (9-26)

Подстановка (9-26) в формулу ch g + sh g = приводит к выражению, связывающему характеристический параметр g с коэффициентами четырехполюсника формы ||A||,

По этой формуле g вычисляется однозначно, если подставлять под радикалы коэффициенты А в показательной форме с последующим сложением углов и делением их суммы на 2. По формуле (9-35) для тангенса принципиально невозможно получить однозначное решение, так как входные сопротивления под радикалом не изменяются от перекрещивания выводов четырехполюсника. Поэтому формула (9-36) предпочтительнее формулы (9-35) для th g.

Вычисление g по формуле для th g ведется в следующем порядке:

откуда

в результате логарифмирования

Следует отметить, что параметр g может быть также получен как половина натурального логарифма отношения произведений комплексных напряжения и тока на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке.

Действительно, на основании (9-34)

откуда

В случае симметричного четырехполюсника характеристические сопротивленияравны друг другу:
Следовательно, входное сопротивление симметричного четырехполюсника, нагруженного характеристическим сопротивлением  равно . Это означает, что всякому симметричному четырехполюснику соответствует некоторое характеристическое сопротивление  обладающее следующим свойством: если нагрузить данный четырехполюсник сопротивлением то отноишия напряжения к току на входе и выходе четырехполюсника будут-одинаковыми, т. е.

На основании (9-33) уравнения симметричного четырехполюсника при произвольной нагрузке записываются в гиперболической форме (для положительных направлений рис. 9-4) так:

Если нагрузка подобрана согласованно, т. е. то
В этом случае амплитудные изменения напряжения и тока определяются множителем а фазовый сдвиг между напряжениями или токами — углом b. Собственное затухание а будет:

Величины g, а и b — безразмерные. Угол b вычисляется в радианах (рад); собственное затухание а, входящее в (9-39), принято вычислять в б е л а х (Б) или децибелах (дБ), которые определяются следующим образом.

Если полная мощность на выходе четырехполюсника в 10 раз меньше мощности на его входе, то затухание составляет 1-Б если мощность уменьшается в 100 раз, то затухание оценивается в 2 Б и т. д. Поэтому

В случае согласованно нагруженного симметричного четырехполюсника

и, следовательно,

Децибел — единица затухания, в 10 раз мейьшая бела. Затухание 1 дБ соответствует уменьшению полной мощности в 1,26 раза или уменьшению напряжения и тока в 1,12 раза.

Затуханию 1 Нп соответствует уменьшение амплитуды и действующего значения напряжения или тока в е = 2,718 раза (так как при имеем ).
Табл. 9-1 иллюстрирует зависимость затухания в децибелах от отношений полных мощностей на входе и выходе четырехполюсника;

Таблица 9-1
Затухание при различных отношениях дБ

соответствующие им отношения величин напряжений или токов симметричного четырехполюсника, нагруженного согласованно, составляют

Для перехода от децибелов к неперам или обратно можно воспользоваться приведенным выше условием:

т.е.

или

 

Вносимое затухание четырехполюсника

Вносимое затухание (или усиление) является мерой оценки изменения условий передачи при включении четырехполюсника между источником и приемником.

Положим, что между источником напряжения, имеющим внутреннее сопротивление и приемником включен четырехполюсник.

Под вносимым затуханием четырехполюсника подразумевается десятикратное значение десятичного логарифма (в децибелах) или половина натурального логарифма (в неперах) отношения полной мощности 5,. которую непосредственно отдавал бы источник сопротивлению (рис. 9-8, о), к полной мощности на выходе четырехполюсника, нагруженного сопротивлением (рис, 9-8, б):

или

Мощности выражаются следующим образом:

Согласно (9-41)

Отношение входящее в (9-42), может быть выражено через характеристические параметры четырехполюсника и сопротивления

Пользуясь обозначениями рис. 9-8, б и уравнениями четырехполюсника, записанными в форме находим:

откуда

На основании (9-29) — (9-32)

Подстановка (9-44) в (9-43) дает:

После ряда алгебраических преобразований получается:
где

— так называемые коэффициенты отражения на входе и выходе четырехполюсника.

В связи с этим выражение (9-42) принимает следующий вид:

Следовательно, вносимое затухание состоит из пяти слагаемых. Первое слагаемое — собственное затухание четырехполюсника, второе — затухание вследствие несогласованности сопротивлений на входе четырехполюсника, третье — затухание вследствие несогласованности сопротивлений на выходе, четвертое — затухание вследствие взаимодействия несогласованностей на входе и выходе и пятое со знаком минус — затухание вследствие несогласованности сопротивлений источника и приемника.

Если вносимое затухание равно нулю, то это означает, что мощности на входе и выходе четырехполюсника равны между собой.

Когда четырехполюсник является усилителем мощности (например, в случае лампового триода или транзистора), выражения (9-40) и (9-41) дают отрицательные значения ; это указывает на то,- что вместо затухания в данном случае имеет место усиление (измеряемое в децибелах или неперах),

Передаточная функция

Передаточной функцией называется зависимость от частоты отношения комплексных амплитуд или комплексных действующих значений электрических величин на выходе и входе четырехполюсника при заданном режиме передачи. Необходимо помнить, что именно выходная электрическая величина делится на входную, а не обратно.

Передаточные функции, соответствующие отношению одноименных электрических величин, — коэффициент передачи по напряжению

и коэффициент передачи по току

представляют собой безразмерные, в общем случае комплексные, зависящие от частоты величины. Применительно к усилительным устройствам они носят название коэффициентов усиления по напряжению и току.

Отношения разноименных электрических величин — передаточное сопротивление и передаточная проводимость — имеют соответственно размерности сопротивления и проводимости и также являются в общем случае комплексными величинами, зависящими от частоты.

Зависимости модулей комплексных отношений представляют собой амплитудно-частотные, зависимости их аргументов — фазо-частотные характеристики четырехполюсника.
Под передаточной функцией понимается часто отношение операторных изображенийэлектрических величин на выходе и входе четырехполюсника»

Эти характеристики имеют важное значение для работы устройств автоматики и радиотехники.

В общем случае четырехполюсника, нагруженного произвольным сопротивлением передаточные функции могут быть выражены через любую систему коэффициентов четырехполюсника, и сопротивление

Через коэффициенты формы они выразятся следующим образом (положительные направления для токов соответствуют прямой передаче):
Н

При холостом ходе и коротком замыкании эти коэффициенты примут вид:

В случае обратной передачи, очевидно, можно написать

Отсюда видно, что для обратимого четырехполюсника коэффициент передачи по напряжению при холостом ходе и прямом направлении передачи энергии равен коэффициенту передачи по току при коротком замыкании и обратном направлении передачи энергии. В свою очередь коэффициент передачи по току при коротком замыкании и прямом направлении передачи равен коэффициенту передачи по напряжению при холостом ходе и обратном направлении передачи.

Каскадное соединение четырехполюсников, основанное на согласовании характеристических сопротивлений

На практике широко распространено каскадное или цепочечное соединение четырехполюсников, при котором входные выводы каждого последующего четырехполюсника присоединяются к выходным выводам предыдущего четырехполюсника; цепи, служащие для передачи электрической энергии (каналы связи и т. д.) обычно состоят из звеньев, следующих друг за другом.

Каскадное соединение четырехполюсников, выполненное по принципу согласования характеристических сопротивлений, заключается в том, что входное сопротивление на выводах любого четырехполюсника равно характеристическому.

Рисунок 9-9 иллюстрирует каскадное соединение двух четырехполюсников. Ввиду того что комплексное сопротивление нагрузки согласовано с выходным характеристическим сопротивлением второго четырехполюсника, входное сопротивление этого четырехполюсника равно характеристическому при этом оно служит согласованной нагрузкой для первого четырехполюсника. Поэтому входное сопротивление первого четырехполюсника также равно характеристическому

Отсюда следует, что каскадно соединенные четырехполюсники с согласованными характеристическими сопротивлениями могут быть замещены одним четырехполюсником, имеющим характеристические сопротивления, равные входному характеристическому сопротивлению первого и выходному характеристическому сопротивлению последнего четырехполюсников (рис. 9-9). Мера передачи g результирующего четырехполюсника определяется алгебраической суммой мер передачи составных четырехполюсников.

В самом деле, применительно к схеме рис. 9-9 в соответствии с (9-34)

Полученные выражения подтверждают сказанное выше: результирующий четырехполюсник имеет характеристические сопротивления и меру передачи Соответственно собственное затухание результирующего четырехполюсника а фазовый коэффициент

Было показано что передача максимума активной мощности обеспечивается, когда комплексные сопротивления источника и нагрузки являются сопряженными. Это условие не выполняется в случае согласования характеристических сопротивлений каскада в прямом и обратном направлениях, если характеристические сопротивления комплексные. Однако если они активные (включая сопротивление источника), как это нередко имеет место на практике, то обеспечивается оптимальное условие передачи мощности.

Согласование характеристических сопротивлений .широко применяется в автоматике, приборостроении и электронике.
 

Уравнения сложных четырехполюсников в матричной форме

Для получения параметров результирующего четырехполюсника, составленного из более простых четырехполюсников, параметры которых известны, удобно пользоваться матричной записью,

В зависимости от схемы соединения сложного четырехполюсника применяется та или иная форма уравнений, а именно:

1. при каскадном соединении (рис. 9-10) —форма
2. при последовательном соединении (см. рис. 9-11) — форма
3. при параллельном соединении (см. рис. 9-12) — форма Каскадное соединение четырехполюсников (рис. 9-10). Уравнения

составных четырехполюсников в матричной форме

Здесь индексом а отмечены величины, относящиеся к первому четырехполюснику, а индексом 6 — величины, относящиеся ко второму четырехполюснику.

При каскадном соединении

Следовательно,

Таким образом, матрица результирующего четырехполюсника равна произведению матриц составных четырехполюсников:

Эго правило распространяется на случай каскадного соединения любого числа четырехполюсника.’ При этом матрицы, подлежащие

перемножению, записываются в порядке следования соответствующих четырехполюсников, так как умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

Последовательное соединение четырехполюсников (рис. 9-11) Уравнения составных четырехполюсников в матричной формеимеют вид:

Здесь

Если при этом

То

Таким образом, матрица результирующего четырехполюсника равна сумме матриц составных четырехполюсников:

Параллельное соединение четырехполюсника (рис. 9-12)

Уравнения составных четырехполюсников в матричной форме имеют вид:
При параллельном соединении четырехполюсников:

При параллельном соединении четырехполюсников:

Следовательно,

Таким образом, матрица результирующего четырехполюсника равна сумме матриц Составных четырехполюсников

Правила нахождения матриц сложных четырехполюсников сведены в табл. 9-2. Они справедливы при любом числе составных четырехполюсников. Однако правила сложения матриц применимы только при равенстве токов входящего и выходящего в каждой паре выводов составных четырехполюсников, которое должно быть обеспечено тем или иным способом.

Одноэлементные четырехполюсники

Простейшими четырехполюсниками являются одноэлементные четырехполюсники, состоящие из последовательного (рис. 9-13, а) или параллельного (рис. 9-13, б) двухполюсника.

Уравнения первого из них в форме записываются следующим образом:

или, что то же,

Уравнения одноэлементного четырехполюсника с параллельной ветвью (рис. 9-13, б) в формезаписываются следующим образом:

или, что то же,

Если в первом четырехполюснике (рис. 9-13, а) положить Z = 0 или, что то же, во втором четырехполюснике (рис. 9-13, б) принять то получится уравнение

в форме

соответствующее непосредственному прямому соединению, показанному на рис. 9-14, а.

Поэтому при перекрещивании входных или выходных выводов любого четырехполюсника его матрица умножается на что равносильно перемене знаков коэффициентов А.

Г-образный четырехполюсник

Коэффициенты Г-образного четырехполюсника (см. рис. 9-15) могут быть получены непосредственно по формулам. Например, для схемы рис. 9-15, а коэффициенты формы ||Л|| согласно формулам будут:
Легко убедиться, что перекрещенному соединению (рис. 9-14, б) соответствует уравнение в формесогласно формулам будут:

Аналогично могут быть вычислены и другие коэффициенты.

Характеристические параметры Г-образного четырехполюсника могут быть вычислены по формулам (9-25) и (9-26).

Для схемы рис. 9-15, а:

Для схемы рис. 9-15, б:

При расчете электрических фильтров и в ряде других случаев за исходные схемы Г-образных четырехполюсников принимаются схемы рис. 9-15, виг, причем мера передачи Г-образного четырехполюсника обозначается через g/2, для того чтобы при согласованном каскадном соединении двух таких четырехполюсников получался Т- или П-образный четырехполюсник с мерой передачи g. При этом характеристическое сопротивление со стороны параллельной ветви обозначается через а со стороны последовательной ветви — через
На основании (9-45) или (9-46):

Эти выражения используются в теории электрических фильтров.
 

Т-образный и П-образный четырехполюсники

Рассматривались схемы замещения четырехполюсника и приводились схемы Т-образного и П-образного четырехполюсников. Коэффициенты таких четырехполюсников вычисляются по общей методике.

Так, для Т-образной схемы рис.

9-16 получим:

Характеристические параметры находятся по формулам (9-25) и (9-26).

Симметричные Т- и П-образные четырехполюсники можно получить согласованным каскадным соединением двух одинаковых Г-образных четырехполюсников (рис. 9-17, а и б). Результирующие четырехполюсники имеют характеристические сопротивленияопределяемые согласно (9-47), и меру передачи g, вдвое превышающую меру передачи Г-образного четырехполюсника.

С учетом (9-48) имеем:

Тот же результат получается на основании (9-26).

Симметричный мостовой четырехполюсник

Для симметричного мостового четырехполюсника (см.рис. 9-18) в соответствии с можно получить коэффициенты формы

Характеристические параметры симметричного мостового четырехполюсника находятся по формулам:

Как уже отмечалось, мостовой четырехполюсник является физически реализуемым эквивалентом для любого реально осуществимого симметричного пассивного четырехполюсника.
 

Обратная связь

Последовательно-параллельное соединение двух четырехполюсников представляет собой один из основных видов цепи с обратной связью, в которой напряжение на выходе воздействует на входные напряжения системы. Пусть некоторое устройство, которое назовем основным, представляет собой четырехполюсник с передаточной функцией

(рис. 9-19). Если выходное напряжение подвести к выводам другого четырехполюсника, называемого устройством обратной связи, и включить его противоположные выводы последовательно с входными выводами основного устройства, то получится система с обратной связью по напряжению.

Обозначим передаточную функцию устройства обратной связи черезОчевидно,

Следовательно, передаточная функция всей системы

или, если разделить числитель и знаменатель на

Если поменять полярность одной из пар выводов устройства обратной связи, то в знаменателе (9-51) вместо знака минус получится знак плюс.

Обратная связь, при которой напряжение, пропорциональное выходному напряжению, добавляется к входному напряжению системы так, чтоназывается положительной; если же то обратная связь называется отрицательной.

Выражение (9-51) может быть переписано так:

Если то

Это выражение показывает, что передаточная функция системы зависит от передаточной функции устройства обратной связи. Регулируя последнюю, можно воздействовать на передаточную функцию всей системы.

Методы расчета электрических цепей с использованием теории четырехполюсников

Основные теоретические сведения:

В радиотехнике обычно интересуются прохождением сигналов через произвольную сложную электрическую цепь. При этом важно установить связь между выходными и входными значениями сигнала, не рассчитывая токи и напряжения на элементах внутри цепи.

Для такого анализа цепь (или часть цепи) представляется обобщенной схемой в виде четырехполюсника. Анализ цепи в этом случае производится на основе классической теории четырехполюсников, которая устанавливает связь между токами и напряжениями, действующими на входных и выходных зажимах (полюсах).

Краткая характеристика четырехполюсников

На рис. 5.1. показан неавтономный активный четырехполюсник. В зависимости от того, какая пара переменных величин считается независимой, процессы в четырехполюсниках можно описать одной из шести форм уравнений, приведенных и табл. 5.1.

Коэффициенты уравнений характеризуют свойства четырехполюсника, зависящие только от схемы цепи и параметров ее элементов. Поэтому коэффициенты уравнения называют собственными (иногда первичными) параметрами четырехполюсника. Их можно определить экспериментально или аналитически по известной схеме цепи. Для определения параметров применяют режим холостого хода (XX) или режим короткого замыкания (КЗ) на соответствующих зажимах четырехполюсника.

Режим работы четырехполюсника выбирают так, чтобы одно из слагаемых данных уравнений (табл. 5.1) было равно нулю. Например, для выходных зажимов при XX при КЗ  Далее, полагая одну из двух переменных величин (ток, напряжение) заданной, по схеме цепи рассчитывают данный параметр.

При выбранном режиме работы четырехполюсника каждый коэффициент уравнений имеет конкретный физический смысл. Например, из уравнений в форме Y (табл. 5.1) видно, что каждый коэффициент равен отношению тока к напряжению. Поэтому по физическому смыслу Y-параметры являются входными или передаточными проводимостями. В этом смысле Z- параметры являются входными или передаточными сопротивлениями.

А- и В-параметры называют передаточными, так как по физическому смыслу они являются передаточными сопротивлениями (проводимостями) или коэффициентами передачи по напряжению (току). Параметры вида Н и G называются гибридными, так как они содержат входные сопротивления (проводимости) и коэффициенты передачи по напряжению (току).

В общем случае четырехполюсник характеризуется четырьмя параметрами. Для взаимных и симметричных четырехполюсников число параметров уменьшается, так как могут быть два параметра, равных по величине. Условия взаимности и симметричности четырехполюсников для различных собственных параметров приведены в табл. 5.2.

Любая система параметров может быть выражена через каждую из других пяти систем (табл.5.3). Например, в справочнике приведены Н-параметры транзистора, а для расчета цепи необходимо знать Y-параметры транзистора. В этом случае необходимо воспользоваться формулами, расположенными на пересечении строки Y и столбца Н (табл. 5.3):

где Н — определитель матрицы Н-параметров.

Использование собственных параметров четырехполюсника позволяет при расчете любую электрическую цепь представить эквивалентной схемой замещения.

На рис. 5.2 показаны схемы замещения на базе Y-, Z- и Н-параметров. Наиболее часто схемы замещения применяют для описания электрических приборов (триодов, транзисторов), включенных в электрическую цепь.

Собственные параметры четырехполюсника не учитывают влияние внешних цепей (источника и нагрузки). Для расчета четырехполюсника с учетом этих целей применяют комплексные функции, которые иногда называют вторичными или рабочими параметрами. Эти параметры выражают через собственные параметры Y или Z.

Если источник задан напряжением или током на входе четырехполюсника, то при расчете необходимо учитывать только нагрузку. Комплексные входные и передаточные функции для этого случая приведены соответственно в табл. 5,4 и 5.5.

Расчет в ряде случаев удается упростить, если цепь представить в виде сложного четырехполюсника. Основные виды соединения двух простых четырехполюсников показаны в табл. 5.6. Матрицы параметров некоторых простых четырехполюсников приведены в табл. 5.7 и 5.8.

Примеры решения задач:

Пример 5.1.1.

Для четырехполюсника (рис. 5.3, а) определить А-параметры. Y- и Z-параметры найти по связям с полученными параметрами.

Дано:

Решение

1. Строим схемы для холостого хода и короткою замыкания на зажимах 2—2′ (рис. 5.3, б, в).

Для режима холостого хода система уравнений вида А примет вид:

Отсюда

Для определении на вход цепи рис. 5.3,6 подаем и определяем

При расчете задаемся и находим (рис. 5.3, б) 

Отсюда

Для режима короткого замыкания система уравнений вида А примет вид

Тогда

Для определения на вход цепи (рис. 5.3, в) подаем  и находим . Из схемы видно, что поэтому

Подставляя по значение в исходную формулу, получаем

можно найти из соотношения

т.е.   

2. Рассчитаем Y- и Z-параметры по формулам связи с А-параметрами (см. табл. 5.3):

 

Пример 5.1.2.

Найти матрицу А низкочастотного фильтра, изображенного на рис. 5.4, пользуясь матрицами элементарных четырехполюсников.

Решение

1. Определяем матрицу элементарного четырехполюсника (см. табл. 5.7)                      

2. Находим матрицу элементарного четырехполюсника (см. табл. 5.7)

3.Рассчитаем матрицу А сложного четырехполюсника при каскадном включении элементарных четырехполюсников

Пример 5.1.3.

Определить комплексную передаточную функцию по напряжению реактивного фильтра нижних частот (см. рис. 5.4), нагруженного на активное сопротивление .

Решение

1. Рассчитаем Y-параметры ненагруженного четырехполюсника. Из табл. 5.8 определим

2.Комплексную передаточную функцию по напряжению нагруженного четырехполюсника определим по формуле (см. табл. 5.5).

Учитывая, что , получаем

Методы расчета линейных активных цепей с использованием теории четырехполюсников

Основные теоретические сведения:

Цепи с электронными приборами (электронными лампами, транзисторами, операционными усилителями и т.п.), способные в определенных режимах усиливать по мощности входной сигнал, называются активными. Вследствие нелинейности вольт-амперных характеристик (ВАХ) электронных приборов такие цепи, строго говоря, являются нелинейными. Если амплитуда входного сигнала мала, а рабочая точка выбрана на линейном участке ВАХ прибора, id активные цели можно рассматривать как линейные.

В этом случае их анализ производят методами теории линейных электрорадиоцепей.

Для расчета линейных электрических цепей активные элементы заменяют их моделями, которые с определенной степенью точности отражают происходящие в них физические процессы. Paзличают математические (аналитические) и электрические модели электронных приборов. При расчете линейных активных цепей (ЛАЦ) известными методами теории цепей используют электрические модели, т. е. эквивалентные электрические схемы активных элементов. Обычно применяют два вида эквивалентных схем электронных приборов — физическую и схему на базе собственных параметров четырехполюсника.

Физическая эквивалентная схема строится на основе структуры прибора и принципа его работы, т. е. на основе так называемых физических параметром.

Рассмотрим эквивалентные схемы трех основных видов электронных приборов, применяемых для усиления сигналов. Способность прибора усиливать сигнал отражается включением в эквивалентную схему зависимого источника тока или напряжения.

На рис.5.9 схематически показано устройство плоскостного биполярного транзистора и его условное графическое изображение. В электрическую цепь транзистор может быть включен по схеме с обшей базой (ОБ), но схеме с общим эмиттером (ОЭ) или по схеме с общим коллектором (ОК). В табл. 5.9 приведены физические эквивалентные схемы биполярного транзистора для трех схем включения.

Элемент , схемы является дифференциальным сопротивлением эмиттерного перехода в прямом направлении, — дифференциальное сопротивление коллекторного перехода в обратном направлении, — сопротивление объема полупроводника базы. Обычно в транзисторах

В общем случае все физические параметры являются частотно-зависимыми. Этот факт учитывается включением в электрическую модель емкостей эмиттера и коллектора. Эти емкости достаточно малы, поэтому их влияние необходимо учитывать лишь на высоких частотах. Наиболее вредной является емкость коллектора шунтирующая источник.

В рассматриваемых схемах усилительные свойства отображены зависимыми источниками тока в цепи коллектора, которые выражены через коэффициент передачи тока;

Зависимый источник можно выразить также через коэффициент передачи тока базы:Так как то

В современных транзисторах ток базы мал по сравнению с током эмиттера. Обычно поэтому

На рис.5.10 приведены условное графическое изображение и физическая эквивалентная схема электровакуумного триода.

Эквивалентная схема характеризуется физическими параметрами: входным и внутренним сопротивлениями триода переменному току и межэлектродными емкостями, которые пунктиром показаны на условном графическом изображении. Для большинства триодов эти емкости имеют значения от 2 до 15 пФ, поэтому на низких частях их можно не учитывать.

Величины входного и внутреннего сопротивлений зависит от режима работы триода. Обычно на сетку подается отрицательное относительно катода напряжение. При этом ток сетки близок к нулю, а входное сопротивление велико – единицы – десятки мегаом. Внутреннее сопротивление триода при работе в линейном режиме обычно лежит в пределах от 10 до 30 кОм.

Зависимый источник тока в эквивалентной схеме определяется крутизной S вольт-амперной характеристики и напряжением между сеткой и катодом:

где — ток анода.

Важным параметром триода является коэффициент усиления

где — напряжение между анодом и катодом.

Современные триоды имеют коэффициент усиления от 3 до 100 и крутизну от 1 до 50 мА/В.

Рассмотренная физическая эквивалентная схема соответствует включению триода и цепь по наиболее распространенной схеме с общим катодом. Кроме того, триод может включаться в цепь по схеме с общим анодом или с обшей сеткой.

Полевой (униполярный, канальный) транзистор является полупроводниковым аналогом электровакуумного триода. На рис.5.11 схематически показано устройство полевого транзистора с управляющим переходом и каналом типа, а также его условное графическое изображение.

Сетке триода соответствует затвор (3) транзистора, катоду -исток (И), аноду – сток (С).

Физическая эквивалентная схема этого транзистора, включенного на схеме с общим истоком, показана на рис. 5.12. Видно, что эта схема аналогична схеме триода. Зависимый источник тока характеризуется крутизной ВАХ и напряжением между затвором и истоком:

где — ток стока.

Величина внутреннего сопротивления может достигать сотен килоом.

Второй тип эквивалентных схем электронных приборов основан на представлении их линейными невзаимными четырехполюсниками. В этом случае параметрами активных элементов являются коэффициенты уравнений четырехполюсников (см. табл. 5.1). Поэтому эквивалентными схемами электронных приборов являются схемы замещения четырехполюсников на базе соответствующих параметров (см. рис. 5.2). Аналогично физическим эквивалентным схемам усилительные свойства электронных приборов отражаются зависимыми источниками.

В настоящее время основными параметрами транзисторов считаются гибридные Н-параметры, так как они наиболее просто измеряются. Именно эти параметры приводятся во всех справочниках. При расчете некоторых цепей удобнее применять Y-napaметры. Переход от одних параметров к другим производится по известным формулам связи собственных параметров четырехполюсников разных систем (см. табл. 5.3).

Н- и Y-параметры называются низкочастотными мало сигнальными, так как они справедливы лишь на низких частотах и для входных сигналом с малыми амплитудами. При работе электронных приборов на низких частотах все их параметры являются вещественными.

Параметры электронных приборов как четырехполюсников, в отличие от физических параметров, существенно зависят от схемы включения прибора в цепь. Поэтому к цифровому индексу параметра добавляют соответствующую букву.

Например, матрицы Н-параметров транзисторов, включенных по схеме с ОЭ и по схеме с ОБ, соответственно имеют вид:

Аналогично записываются матрицы Y-параметров.

Зная параметры прибора для одной схемы включения, можно найти его параметры для другой схемы. В табл. 5.10 приведены формулы, связывающие -параметры транзистора при различных схемах включения в цепь.

Н-параметры так же, как и Y-параметры, непосредственно связаны с физическими параметрами электронного прибора. Некоторые формулы, определяющие эту связь для биполярных транзисторов, приведены в табл. 5.11 и 5.12.

Отметим физический смысл Н-параметров транзистора, который следует из уравнений четырехполюсника в форме Н (см. табл. 5.1).

В систему Н-параметров входят величины:

. — входное сопротивление при коротком замыкании выходных зажимов транзистора

— коэффициент обратной связи по напряжению при холостом ходе на входных зажимах;

— коэффициент передачи тока ( или в зависимости от схемы включения) при

— выходная проводимость транзистора при холостом ходе на входе

По физическому смыслу выходная проводимость есть внутренняя проводимость транзистора;

Для полевого транзистора или электровакуумного триода эквивалентную схему можно упростить. Наиболее часто эти приборы включают в цепь по схеме с общим катодом (истоком). При этом входное сопротивление велико, поэтому ток сетки (затвора) близок к нулю.

Из уравнений в форме  (см. табл. 5.1) видно, что Поэтому эти активные элементы характеризуются двумя параметрами:

Расчет линейных активных целей (ЛАЦ) с использованием рассмотренных эквивалентных схем активных элементов может производиться по известным методам. В настоящее время наиболее часто применяют MУH, MKT, метод сигнальных графов.

Введение в эквивалентные схемы активных элементов зависимых (управляемых) источников позволяет исключить из расчета независимые источники цепи (источники питания), которые обеспечивают заданный режим работы. При этом зависимые источники работают на частоте сигнала, подаваемого на вход цепи.

Таким образом, при расчете полагают, что в цепи действует один независимый источник сигнала на входе. Поэтому расчет цепи проводят обычным способом, определяя заданные токи (напряжения) или комплексные функции.

Особенность расчета ЛАЦ по MKT или МУН состоит в следующем. Электрическая схема цепи заменяется эквивалентной схемой, в которой активные элементы заменяются физическими эквивалентными схемами или схемами на базе параметров четырехполюсника. Далее, в соответствии с выбранным методом расчета составляются по общим правилам контурные или узловые уравнения.

Например, допустим, что схема имеет три независимых контура. Источник сигнала включен в первый контур, а зависимый источник электронного прибора находится в третьем контуре. В соответствии с MKT система контурных уравнений в матричной форме будет иметь вид

В этом случае матрица контурных сопротивлений описывает только пассивные элементы цепи. Условимся называть такие матрицы матрицами пассивной части цепи и обозначим соответственно или  Эти матрицы являются симметричными относительно главных диагоналей, т. е.

Зависимые источники активных элементов неизвестны, они определяются токами (напряжениями) в цепи. Поэтому их необходимо выразить через контурные токи (при MKT) или через узловые напряжения (при МУН) и перенести в соответствующие элементы правой части уравнений.

После преобразований все уравнения, кроме первого, будут иметь нулевые правые части. При этом матрица Z или Y характеризует цепь с учетом активных элементов. Такую матрицу будем называть полной.

Так как электронной прибор является невзаимным (однонаправленным), то полная матрица будет несимметричной, т. е. в общем случае

Полная матрица Z или Y позволяет но известным формулам через определители рассчитать любую комплексную функцию цепи.

Эти методы расчета обычно называют методами эквивалентных схем. Они отличаются наглядностью, простатой и логичностью действий, позволяют использовать любые эквивалентные схемы активных элементов. Однако их применение ограничено, так как для сложных многокаскадных цепей метод становится громоздким.

Представление зависимых источников через искомые точки или напряжения, перенос этих величин в левые части уравнений имеют общие закономерности. Исследования этих закономерностей позволило обобщить (формализовать) методы расчета. Суть обобщения состоит в том, что можно по известным правилам составлять полную матрицу сопротивлений (проводимостей) цепи, не составляя систему уравнений.

Рассмотрим обобщенный метод узловых напряжений (ОМУН). Сущность этого метода состоит в следующем. Электронные приборы в схеме заменяют физической эквивалентной схемой, затем по известным правилам определяют независимые узлы и для них составляют матрицу  пассивной части цепи, включая физические параметры электронного прибора. Далее в эту матрицу вписывают так называемые управляющие параметры, учитывающие зависимые источники активных элементов. Полученная в результате этого матрица является полной матрицей активной линейной цепи, позволяющей произвести расчет заданных величин.

Управляющим параметрам называют коэффициент (по модулю) при узловом напряжении, которое создает ток зависимого источника активного элемента. Он рассчитывается непосредственно из выражения для зависимого источника тока.

Для биполярного транзистора Ток эмиттера зависит от сопротивления ветви эмиттера (внутреннего и внешнего) и от приложенного к ней узлового напряжения. Например, если то

Проводимость и является управляющим параметром, который вписывается в два элемента матрицы . В общем случае ток эмиттера может определяться разностью двух узловых напряжений: В этом случае управляющий параметр необходимо вписать в четыре элемента матрицы.

Номера строк этих элементов определяются номерами узлов цепи, к которым подключен зависимый источник тока , а номера столбцов – номерами узловых напряжений, создающих этот ток. Например, пусть источник включен между узлами 3 и 5, а управляется он узловым напряжением . Тогда управляющий параметр необходимо вписать в элементы матрицы.

Параметр вписывают со знаком плюс, если источник и напряжение относительно своих углов направлены одинаково. Например, в элемент параметр необходимо вписать со знаком плюс, если ток источника направлен к узлу 5, а напряжение — к узлу 3 (или оба направлены от узлов). В противном случае необходимо ставить знак минус.

Необходимо помнить, что при определении направления напряжения относительно -го узла необходимо учитывать его знак в формуле для расчета эмиттерного тока.

Для расчета ЛАЦ применяют также другой вариант ОМУН, принципиально отличающийся от рассмотренного выше. Сущность этого метода состоит в следующем. Для расчета составляют эквивалентную схему цепи, из которой исключают все активные элементы. Точки включения электродов этих элементов на схеме считаются узлами. Для этой схемы по известным правилам МУН составляют матрицу

Электронные приборы описывают матрицами Y-параметров. Для получения полной матрицы цепи элементы матрицы Y-napaметров необходимо вписать в одноименные элементы матрицы  Далее расчет ведется обычным способом.

Если электронный прибор включен в цепь определенно, т. е. по схеме с общим электродом, то он характеризуется четырьмя параметрами, например:

В общем случае электронный прибор включается в цепь неопределенно, т. е. без общего электрода. При этом на всех электродах имеется напряжение относительно базисного узла (относительно земли).

Пример неопределенного включения транзистора показан на рис. 5.13. В этом случае транзистор описывается не четырьмя, а девятью Y-параметрами. Такая матрица формируется на основе параметров транзистора с определенной схемой включения. Для схемы, прицеленной на рис. 5.13, матрица Y-параметров транзистора имеет вид:
                      
Можно показать, что такая матрица является неопределенной, т. е. суммы ее элементов в каждой строке и в каждом столбце тождественно равны нулю. На основании этого свойства определяют дополнительные параметры. Например:  и.т.д.

Чтобы получить правильную полную матрицу проводимостей ЛАЦ, необходимо знать правила вписывания Y-параметров электронных приборов. Если, например, электроды транзистора включены к узлам с номерами  то строки и столбцы неопределенной матрицы необходимо обозначить соответственно этими же номерами (см. ). Тогда элементы этой матрицы вписываются в элементы матрицы имеющие те же номера.

Примеры решения  задач:

Пример 5.2.1.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (рис. 5.14) методом контурных токов (MKT). Транзистор представить физической схемой замещения.

Решение

1. Составим эквивалентную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.15).

2. Выполним эквивалентные преобразования сопротивлений в схеме (рис. 5.16).

3. Выберем независимые контуры и зададим положительное направление контурных токов в них (рис. 5.16).

4.  Составим систему уравнении по MKT:

5.  Выразим ток  эмиттеpa через контурный ток

6. Подставим ток эмиттера в уравнения

7.  Сгруппируем подобные слагаемые в уравнениях

.

8. Рассчитаем ток  по формуле Крамера

где

9. Рассчитаем выходное напряжение транзисторного усилителя

10. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению транзисторного усилителя

Пример 5.2.2.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (рис. 5.17) MKT. Транзистор представить схемой замещения на базе Н-параметров.

Решение

1. Составим эквивалентную комплексную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.18).

2.Выполним эквивалентные преобразования сопротивлений в схеме и преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС (рис. 5.19):

3. Выберем независимые контуры и зададим положительное направление в них контурных токов.

4. Составим систему уравнений по MKT:

5. Выразим ток   и напряжение через контурные токи:

6. Подставим их выражения в уравнения:

7. Сгруппируем подобные слагаемые в уравнениях:

8. Рассчитаем комплексный ток третьего контура

где

9.  Рассчитаем выходное напряжение транзисторного усилителя

10. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению транзисторного усилителя

Пример 5.2.3. Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (рис. 5.20) ОМУН. Транзистор представить физической схемой замешения.

Решение

1. Составим эквивалентную комплексную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.21).
2.  Выберем независимые углы и зададим положительное направление узловых напряжений.

3. Составим матрицу проводимостей пассивной части схемы.

4. Определим управляющий параметр. Из схемы видно, что поэтому источник тока

Отсюда получим управляющий параметр: 

5. Впишем управляющий параметр в матрицу

Источник тока включен в узлы 3 и 4, а управляется он узловым напряжением третьего узла . Поэтому параметр  необходимо вписать в элементы матрицы

Ток источника направлен от yзла 3, а напряжение с учетом знака в формуле (5.1) направлено к. узлу. Поэтому в элемент  параметр  вписывается со знаком минус. Рассуждая аналогично, найдем, что в элемент  параметр необходимо вписать со знаком плюс. После вписывания получим полную матрицу Y проводимостей усилителя

6. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи усилителя по формуле (см. табл. 4.1)

где — алгебраические дополнения полной матрицы проводимостей, получаемые из нее путем вычеркивания соответствующих строк (в данном случае первой) и столбцов (первого и четвертого соответственно).

Пример 5.2.4.

Рассчитать Y-параметры транзистора — 623 В.

Дано:

Решение

1. Рассчитаем параметр транзистора по формуле (см. табл. 5.9)

2. Рассчитаем -параметры транзистора, включенного в схему с общей базой, по формулам пересчета параметров (см. табл. 5.3):

3. Используя основное свойство неопределенной матрицы, составим матрицу Y-параметров транзистора

4. Составим матрицу -параметров транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером

Пример 5.2.5.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (см. рис. 5.20) ОМУН. Транзистор описать матрицей Y-параметров.

Решение

1.Составим эквивалентную комплексную схему однокаскадного транзисторного усилителя без учета транзистора (рис. 5.22).

2. Выберем независимые узлы и зададим положительное направление узловых напряжений.

3. Составим матрицу проводимостей пассивной части схемы

4. Впишем матрицу проводимостей пассивной части схемы в матрицу Y-параметров транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером

5. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению

Пример 5.2.6.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилители (рис. 5.23) МУН. Транзистор представить схемой замещения на базе Y-параметров. Построить АЧХ усилителя в диапазоне

Дано:  

Решение

1. Составим эквивалентную комплексную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.24).

2. Выберем независимые узлы и зададим положительное направление узловых напряжений.

3.  Составим систему уравнений по МУН

4.  Выразим напряжения через узловые напряжения:

5. Подставим значения напряжений в систему уравнений (5.2):

6. Сгруппируем подобные слагаемые в уравнениях (5.3):

7. Запишем матрицу проводимостей из полученной системы уравнений (5.4)

8. Подставим числовые значения и матрицу проводимостей

9. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению:

где 

После подстановки и преобразований получим

Модуль комплексного коэффициента передачи определяется выражением

10. Рассчитаем значения модуля комплексного коэффициента передачи по напряжению и диапазоне частот

По результатам расчета построим график АЧХ и среде Mathcad (рис. 5.25).

Определение параметров четырехполюсника

Если
известны конкретная схема и сопротивления
(проводимости) ветвей четырехполюсника,
то его параметры могут быть определены
расчетным путем по входным и взаимным
проводимостям. Можно также исходить
непосредственно из зависимостей,
устанавливаемых зако­нами Кирхгофа.

В
качестве примера рассмотрим простейшие
схемы четы­рехполюсников. Так как из
четырех параметров четырехполюсника
независимыми являются три, то простейшие
схемы должны содержать три ветви, т. е.
представлять собой соединение звездой
(Т-образная схема)
или
треугольником (П-образная схема).

Для
Т-образной схемы при режиме холостого
хода очевидны следующие соотношения:

,

;

при
коротком замыкании:

,

Отсюда
параметры этого четырехполюсника:

,

,,

Параметры
П-образной схемы могут быть определены
аналогич­но:

при
холостом ходе:

,

;

при
коротком замыкании

,

Отсюда
параметры П-схемы

,

,,

Любой
сложный четырех­полюсник можно
заменить простейшим эквивалентным ему,
т. е. Т- или П-схемой. Параметры этих
эквивалентных схем выражаются через
параметры четырехполюсника.

Для
Т-схемы:
,,;

Для
П-схемы:
,,.

Из
этих выражений видно, что схемы,
эквивалентные симметрич­ным
четырехполюсникам, сами тоже симметричны,
так как, если
,
то
и.

Если
конкретная схема и параметры ветвей
четырехполюсника неизвестны, его
параметры могут быть определены из
опытов холостого хода и короткого
замыкания при питании и измерениях со
стороны входа и со стороны выхода. Эти
измерения позволяют опре­делить
комплексы сопротивлений короткого
замыкания
и холо­стого ходапри питании схемы со стороны входных
зажимов 1′-1″ иипри питании схемы со стороны выходных
зажимов 2′ -2″:

;

;

;

;

Как
видно из этих выражений, полные
сопротивления при корот­ком замыкании
и холостом ходе связаны между собой
соотношением:

,

поэтому
из четырех вышеупомянутых опытов
необходимы лишь три, а четвертый может
служить для контроля.

Параметры
четырехполюсника находят по формулам:

;
;;.

Периодические несинусоидальные напряжения и токи в линейных цепях Разложение периодических функций в ряд Фурье

До
сих пор рассматривались линейные цепи
при постоянных и синусоидальных
напряжениях и токах. Синусоидальная
форма кривых позволила применить
векторные диаграммы и символический
метод, весьма упростившие расчет цепей.

В
электротехнике стремятся к синусоидальной
форме периодических кривых, так как
большинство устройств при этом работает
лучше, однако на практике кривые несколько
отличаются от синусоид. Более того, в
устройствах электронной и вычислительной
техники часто напряжения и токи должны
быть несинусоидальными. В этих случаях
можно использовать рассмотренные ранее
методы расчета цепей, если разложить
периодические несинусоидальные кривые
в ряд Фурье.

Как
известно из математики, периодическая
функция
,
удовлетворяющая условиям Дирихле, может
быть приближенно представлена
тригонометрическим рядом.
Этот ряд состоит из суммы постоянной
составляющейА₀
и синусоид разных частот
,
гдеk
– целые числа, начиная с единицы,
:

.

Причем
член
называют постоянной составляющей, член,
имеющей частоту, равную частоте данной
функции, называют основной или первой
гармоникой, а все остальные члены виданосят название высших гармоник.

Ряд
Фурье может быть записан в другой форме,
если развернуть синусы сумм:

,

где

и,

т.е.

,.

Коэффициенты
ряда необходимо вычислять следующим
образом:

,
и.

Постоянная
составляющая
ряда является, очевидно, средним значением
функции за период.

Часто
периодическая функция, подлежащая
разложению в ряд Фурье, задается не
аналитическим выражением, а в виде
графика. В этом случае разложение в ряд
можно выпол­нить приближенно, заменив
интегрирование суммированием
подын­тегральных выражений для
конечного числа ординат кривой
.
Дляп
равноотстоящих
друг от друга на
ординат следует подставитьвместо.

Тогда . Аналогично ,

12.1. Общие положения

12.2. Уравнения передачи четырехполюсника

12.3. Применение матриц к расчету четырехполюсников

12.4. Параметры холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника

12.5. Характеристические параметры четырехполюсника

12.6. Внешние характеристики четырехполюсника

12.7. Вопросы и задания для самопроверки

12.1. Общие положения

В технике связи под четырехполюсником понимают электрическую цепь (или ее часть) любой сложности, имеющую две пары зажимов для подключения к источнику и приемнику электрической энергии. Зажимы, к которым присоединяется приемник (нагрузка), – выходными зажимами (полюсами).

В качестве примеров четырехполюсников можно привести трансформатор и усилитель. Четырехполюсниками являются электрические фильтры, усилительные устройства радиопередатчиков или радиоприемников, линия междугородной телефонной связи и т. д. Все эти устройства, имеющие совершенно “непохожие” схемы, обладают рядом общих свойств.

В общем, виде четырехполюсник изображают, как показано на рис. 12.1. Ко входу четырехполюсника 1-1′ подключен источник электрической энергии с задающим напряжением Uг и внутренним сопротивлением Zг. К выходным зажимам 2-2′ присоединена нагрузка с сопротивлением Zн. На входных зажимах действует напряжение U1; на выходных – U2. Через входные зажимы протекает ток I1, через выходные зажимы – I2. Заметим, что в роли источника и приемника электрической энергии могут выступать другие четырехполюсники.

На рис. 12.1 использованы символические обозначения напряжений и токов, что справедливо при анализе четырехполюсника в режиме гармонических колебаний. Если же используется источник периодических негармонических или непериодических колебаний, то можно воспользоваться спектральным представлением напряжений и токов.

Подобное представление будем широко использовать при анализе частотных характеристик четырехполюсников. В необходимых случаях обращаться к операторным изображениям Uг(p), U1(p), U2(p), I1(p) и I2(p), которые легко получить, заменяя оператор jw на оператор р.

Различают четырехполюсники линейные и нелинейные. Линейные четырехполюсники отличаются от нелинейных тем, что не содержат нелинейных элементов (НЭ) и поэтому характеризуются линейной зависимостью напряжения и тока на выходных зажимах от напряжения и тока на входных зажимах. Примерами линейных четырехполюсников являются электрический фильтр, линия связи, трансформатор без сердечника; примерами нелинейных – преобразователь частоты (содержащий диоды) в радиоприемнике, выпрямитель переменного тока, трансформатор со стальным сердечником (при работе с насыщением стали). Усилитель, содержащий НЭ (например, триоды), может являться как линейным, так и нелинейным четырехполюсником в зависимости от режима его работы (на линейном или нелинейном участке характеристик триодов).

Четырехполюсники бывают пассивными и активными. Пассивные схемы не содержат источников электрической энергии, активные – содержат. Последние могут содержать зависимые и независимые источники. Примером активного четырехполюсника с зависимыми источниками может служить любой усилитель; примером пассивного – LC-фильтр.

В зависимости от структуры различают четырехполюсники мостовые (рис. 12.2, а) и лестничные: гобразные (рис. 12.2, б), тобразные (рис. 12.2, в), побразные (рис. 12.2, г). Промежуточное положение занимают тобразномостовые (тперекрытые) схемы четырехполюсников (рис. 12.2, д).

Четырехполюсники делятся на симметричные и несимметричные. В симметричном четырехполюснике перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет напряжений и токов в цепи, с которой он соединен. Четырехполюсники, кроме электрической симметрии, могут иметь структурную симметрию, определяемую относительно вертикальной оси симметрии. Так, тобразный, побразный и тперекрытый четырехполюсники (рис. 12.2) имеют вертикальную ось симметрии при Z1 = Z3. Мостовая схема структурно симметрична. Очевидно, четырехполюсники, симметричные в структурном отношении, обладают электрической симметрией.

Четырехполюсники могут быть уравновешенными и неуравновешенными. Уравновешенные четырехполюсники имеют горизонтальную ось симметрии (например, мостовая схема на рис. 12.2, а) и используются, когда необходимо сделать зажимы симметричными относительно какойлибо точки (например, земли). Можно сделать уравновешенной любую из лестничных схем четырехполюсников.

Четырехполюсники также делятся на обратимые и необратимые. Обратимые четырехполюсники позволяют передавать энергию в обоих направлениях; для них справедлива теорема обратимости или взаимности, в соответствии с которой отношение напряжения на входе к току на выходе не меняется при перемене местами зажимов.

12.2. Уравнения передачи четырехполюсника

Системы уравнений четырехполюсника. Основной задачей теории четырехполюсников является установление соотношений между четырьмя величинами: напряжениями на входе и выходе, а также токами, протекающими через входные и выходные зажимы. Уравнения, дающие зависимость между U1, U2, I1 и I2, называются уравнениями передачи четырехполюсника. Для линейных четырехполюсников эти уравнения будут линейными. Величины, связывающие в уравнениях передачи напряжения и токи, называются параметрами четырехполюсников.

Сложная электрическая цепь (например, канал связи), имеющая входные и выходные зажимы, может рассматриваться как совокупность четырехполюсников, соединенных по определенной схеме. Зная параметры этих четырехполюсников, можно вычислить параметры сложного четырехполюсника и получить тем самым зависимость между напряжениями и токами на зажимах результирующего сложного четырехполюсника, не производя расчетов всех напряжений и токов внутри заданной схемы.

Кроме того, теория четырехполюсников позволяет решить обратную задачу: по заданным напряжениям и токам найти параметры четырехполюсника и затем построить его схему и рассчитать элементы, т. е. решить задачу синтеза.

Пусть четырехполюсник содержит п независимых контуров. Отнесем первый контур ко входу четырехполюсника (Iк1 = I1), второй контур – к его выходу (Iк2 = I2). Будем считать, что во внутренних контурах четырехполюсника отсутствуют независимые источники энергии.

При рассмотрении четырехполюсника важно заранее условиться о положительных направлениях напряжений и токов. В дальнейшем будем придерживаться положительных направлений, показанных стрелками на рис. 12.1, если особо не будут оговорены другие случаи.

Составим систему уравнений для контурных токов:

Определим из этой системы токи I1 и I2.

где DZ – определитель системы уравнений (12.1); D11, D22, D12 и D21 – алгебраические дополнения определителя DZ.

Введем обозначения

Тогда

Коэффициенты Y11, Y12, Y21 и Y22 в уравнениях (12.2) называются Y-параметрами, или параметрами проводимостей четырехполюсника, так как по размерности они являются именно таковыми. Уравнения (12.2) называются уравнениями передачи четырехполюсника в Y-параметрах. Эти уравнения представляют собой одну из возможных форм уравнений передачи. Она позволяют находить любую пару из значений I1, I2, U1 и U2, если заданы значения другой пары.

Помимо уравнений в форме (12.2) существует еще пять форм уравнений передачи. Уравнения, связывающие напряжения U1, U2 и токи I1, I2

содержат в качестве коэффициентов параметры сопротивлений четырехполюсника, или Z-параметры, и называются уравнениями передачи в Z-параметрах. Параметры Z11, Z12, Z21 и Z22 имеют размерность сопротивлений. Заметим, что они не являются обратными величинами по отношению к параметрам проводимости, таким образом, например

Не следует также путать эти параметры с собственными и взаимными сопротивлениями контуров Z11, Z12 и т. д. в уравнениях (12.1) для контурных токов.

Коэффициенты, входящие в систему уравнений, связывающую входные U1 и I1 и выходные U2 и I2 напряжения и токи

называются апараметрами, или обобщенными параметрами. Уравнения (12.4) называются уравнениями передачи в апараметрах. Параметры A11 и A22 являются безразмерными, параметр A12 имеет размерность сопротивления; параметр A21 – размерность проводимости.

Приведем еще две формы уравнений передачи:

Коэффициенты H11, H12, H21 и H22 называются нпараметрами и применяются при рассмотрении схем с транзисторами. Параметры H12 и H21 являются безразмерными, а параметры H11 и H22 имеют размерности сопротивления и проводимости.

Коэффициенты F11, F12, F21 и F22 называются F-параметрами и применяются при рассмотрении схем с электронными лампами. Параметры F12 и F21 безразмерные, а параметры F11 и F22 имеют размерности проводимости и сопротивления. Уравнения (12.5) называются соответственно уравнениями передачи в H-параметрах и F-параметрах.

Все формы уравнений передачи принципиально равноправны. Выбор той или иной формы зависит исключительно от задачи, которая в данном случае решается.

Полная совокупность параметров любой системы уравнений передачи образует систему параметров четырехполюсника. Так, систему Y-параметров четырехполюсника образует совокупность его параметров Y11, Y12, Y21, Y22.

Два четырехполюсника, имеющие одинаковые системы параметров, независимо от их внутренней структуры, числа элементов и т. д., характеризуются, очевидно, одинаковыми уравнениями передачи. Такие четырехполюсники называются эквивалентными, и при включении любого из них между одними и теми же внешними цепями на их зажимах устанавливаются одинаковые режимы.

Свойства параметровкоэффициентов. Системы Y-, Z-, а, н и F-параметров образованы из коэффициентов уравнений передачи, и поэтому часто их объединяют одним названием параметрыкоэффициенты. Рассмотрим основные свойства параметровкоэффициентов.

1. Параметрыкоэффициенты определяются только схемой четырехполюсника и ее элементами и не зависят от внешних цепей, между которыми может быть включен четырехполюсник, т. е. они характеризуют собственно четырехполюсник.

Пример. На входе гобразного четырехполюсника (см. рис. 12.2, б), подключенного к внешним цепям, действует напряжение U1 и ток I1, а на выходе напряжение U2 и ток I2. Определим апараметры четырехполюсника. В соответствии с ЗНК и 3TK U1 = U2 + I1Z1 и I1 = U2/Z2 + I2. Подставляя выражение для тока I1 в первое равенство, получаем

Сравнивая эти уравнения с уравнениями передачи в апараметрах (12.4), находим . Как видим, апараметры определяются только элементами гобразного четырехполюсника и не зависят от внешних воздействий.

2. Все системы параметровкоэффициентов описывают один и тот же четырехполюсник, поэтому между различными системами параметровкоэффициентов существует однозначная взаимосвязь.

Пример. Установим связь между апараметрами и Z-параметрами. Решая систему уравнений в Z-параметрах (12.3) относительно неизвестных U1 и I1, находим:

где DZ = Z11Z22 – Z12Z21 – определитель системы уравнений (12.3).

Сравнивая эту систему уравнений с системой (12.4), устанавливаем, что A11 = Z11/Z22; A12 = -DZ/Z21; A21 = 1/Z21 и A22 = -Z22/Z21. Решая систему (12.4) относительно неизвестных U1 и U2, можно найти выражение Z-параметров через апараметры:

где DA = A11A22 – A12A21 – определитель системы уравнений (12.4).

Аналогичным образом можно установить связь между другими системами параметров. В табл. 12.1 приведены соотношения между различными системами параметровкоэффициентов.

3. Пассивный четырехполюсник полностью характеризуется не более чем тремя независимыми параметрами. Действительно, в многоконтурной схеме пассивного четырехполюсника взаимные сопротивления Zkm и Zmk k-го и m-го контуров равны между собой. Следовательно, Y12 = -Y21. Зная связь между Y-параметрами и Z-параметрами, можно установить, что Z12 = -Z21. Далее можно показать, что для апараметров справедливо соотношение

Это легко доказать, если выразить в данном определителе апара-метры, например, через Z-параметры.

Наконец, аналогичным образом можно найти, что H12 = H21 и F12 = F21.

Таким образом, независимыми параметрами четырехполюсника могут быть: Y11, Y12 = -Y21, Y22; Z11, Z12 = -Z21, Z22; H11, H12 = = H21, H22; F11, F12 = F21 и F22 или любые три из параметров A11, A12, A21 и A22.

4. При изменении направления передачи энергии через четырехполюсник во всех выражениях, включающих апараметры, коэффициенты A11 и A22 меняются местами.

Рассмотрим передачу энергии через четырехполюсник в обратном направлении, т. е. от зажимов 2-2′ к зажимам 1-1′ (рис. 12.3). Если в уравнениях передачи (12.4) заменить напряжение U1 и ток I1 на зажимах 1-1′ на напряжение U2′ и ток -I2′ в соответствии с рис. 12.3, а напряжение U2 и ток I2 на зажимах 2-2′ на величины -U1′ и -I1′, то (12.4) можно переписать в виде

Решая эту систему относительно нового входа четырехполюсника, т. е. относительно переменных U1′ и I1′, получаем

Сопоставляя эти уравнения с (12.4), можно сделать интересное наблюдение: в уравнениях передачи параметры A11 и A22 поменялись местами. Оказывается, этот факт справедлив не только для уравнений передачи, но и для любых других выражений, в которые входят апараметры.

5. Симметричные пассивные четырехполюсники имеют только два независимых параметра. В самом деле, в случае симметричного пассивного четырехполюсника не имеет значения направление передачи энергии: напряжения и токи на входе и выходе не изменяются при замене местами зажимов. Сравнивая уравнения передачи (12.4) и (12.6), устанавливаем, что A11 = A22. Из табл. 12.1 находим также, что в симметричных четырехполюсниках Y11 = = -Y22; Z11 = -Z22 и DH = -1.

Любой симметричный пассивный четырехполюсник полностью описывается двумя независимыми параметрами: A11 = A22 и любым из параметров A12 и A21 (так как они связаны уравнением A11A22 – – A12A21 = 1); Y11 = -Y22 и Y12 = -Y21; Z11 = -Z22 и Z12 = -Z21; H12 = H21 и любым из параметров H11 и H22 (так как для симметричных четырехполюсников H11H22 – H12H21 = -1); F12 = F21 и любым из параметров F11 и F22.

6. Параметрыкоэффициенты имеют определенный физический смысл. Для выявления этого физического смысла следует четырехполюсник поставить в такой режим работы, при котором уравнения передачи содержат лишь один интересующий нас параметр. Подобное произойдет, если использовать режимы холостого хода (XX -размыкания пары зажимов) и короткого замыкания (КЗ – замыкания накоротко пары зажимов). Так, при XX на зажимах 2-2′ (см. рис. 12.1) ток I2 = 0. Тогда уравнения передачи, содержащие ток I2, например уравнения (12.3) в Z-параметрах, имеют вид:

Коэффициент Z11 = U1/I1 при I2 = 0 есть входное сопротивление четырехполюсника, измеренное со стороны зажимов 1-1′ при разомкнутых зажимах 2-2′ или входное сопротивление XX.

Коэффициент – отношение комплексного действующего напряжения на разомкнутых зажимах 2-2′ четырехполюсника к комплексному действующему току, протекающему через зажимы 1-1′, или взаимное (передаточное) сопротивление XX.

Рассматривая режим XX на зажимах 1-1′ (I1 = 0), убеждаемся из уравнений (12.3), что Z22 – выходное сопротивление четырехполюсника при разомкнутых входных зажимах, a Z12 – взаимное (передаточное) сопротивление при XX на зажимах 1-1′.

Предлагаем читателю самостоятельно установить физический смысл остальных параметров, “устраивая” поочередно XX на зажимах 2-2′ (I2 = 0) и зажимах 1-1′ (I1 = 0) и КЗ на этих же зажимах (U2 = 0 и U1 = 0) и используя соответствующие уравнения передачи (12.2), (12.4) и (12.5).

7. Из предыдущего свойства следует, что параметрыкоэффициенты являются комплексными величинами, так как они определяются отношением комплексных амплитуд (действующих значений) напряжений и токов. В случае анализа четырехполюсника в режиме негармонических колебаний используют спектральные представления электрических величин. Можно показать, что параметрыкоэффициенты, рассматриваемые относительно не отдельной частоты, а определенного спектра частот, являются рациональными функциями оператора jw. При переходе от оператора jw к оператору р параметрыкоэффициенты представляют собой рациональные функции оператора р.

Пример. Для четырехполюсника на рис. 12.2, б определим параметр Z11. Исходя из физического смысла параметра Z11 (он является входным сопротивлением гобразной схемы при разомкнутых зажимах на выходе), определяем из рис. 12.2, б: Z11 = Z1 + Z2.

Этот же результат можно получить следующим образом:

где значения параметров A11 и A21 взяты из первого примера этой главы.

Пусть далее двухполюсник Z1 состоит только из индуктивности L, а двухполюсник Z2 – только из емкости С. Тогда, используя операторную форму записи, получаем

т. е. Z11 является дробнорациональной функцией оператора р с положительными вещественными коэффициентами. Нули этой функции – мнимые и лежат на мнимой оси комплексной плоскости, полюс р1 = 0. При замене оператора р оператором jw переходим к частотной характеристике

Полученные выражения Z11(р) и Z11(jw) напоминают выражение входного сопротивления последовательного LC-контура. Это объясняется тем, что входное сопротивление гобразной цепи (см. рис. 12.2, б) при разомкнутых зажимах определяется последовательным соединением двухполюсников Z1, и Z2 (индуктивности и емкости), т. е. Z11 является сопротивлением двухполюсника (ср. с (4.115)).

12.3. Применение матриц к расчету четырехполюсников

Уравнения передачи в матричной форме. Любую из систем уравнений передачи четырехполюсника можно записать в матричной форме. В частности, для системы уравнений в Y-параметрах (12.2)

где слева и справа записаны матрицы-столбцы.

Действительно, выполняя операцию умножения в правой части (12.7), имеем

Из равенства этих матриц следует система уравнений (12.2). Система уравнений в Z-параметрах в матричной форме записи имеет вид:

Для уравнений передачи в апараметрах

Наконец, запишем в матричной форме системы уравнений передачи в нпараметрах и F-параметрах:

Расчет соединений четырехполюсников. Сложные четырехполюсники можно представить в виде различных соединений простых четырехполюсников. При этом параметры сложного четырехполюсника могут быть найдены по параметрам образующих его простых четырехполюсников.

На рис. 12.4 показана схема каскадного соединения двух четырехполюсников. В соответствии с обозначениями на рисунке при каскадном соединении U2’=U1” I2’=I1”. Для каждого из четырехполюсников можно составить матричные равенства:

Так как матрицы

равны между собой, получаем для результирующего четырехполюсника.

Таким образом, матрица А результирующего четырехполюсника при каскадном соединении равна произведению одноименных матриц соединенных четырехполюсников: А = А’А”. Это правило распространяется на любое число каскадно соединенных четырехполюсников, причем матрицы должны записываться в порядке следования четырехполюсников, так как умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

При последовательном соединении двух (или большего числа) четырехполюсников (рис. 12.5) удобно пользоваться матрицами Z. Для этого вида соединения и , т. е. напряжения на выходах и входах отдельных четырехполюсников в результирующем четырехполюснике складываются. Записывая уравнения передачи в Z-форме для каждого четырехполюсника

и складывая эти матричные равенства, получаем

При последовательном соединении четырехполюсников матрица Z результирующего четырехполюсника равна сумме одноименных матриц соединенных четырехполюсников: Z = Z’ + Z”.

Совершенно аналогично доказывается, что при параллельном соединении четырехполюсников (рис. 12.6), где и , матрица Y результирующего четырехполюсника равна сумме одноименных матриц соединяемых четырехполюсников: Y = Y’ + Y”.

Матрицы Н удобно применять при смешанном – последовательнопараллельном соединении четырехполюсников (рис. 12.7, а). При этом H = H’ + H”.

Матрицы F удобно применять при параллельнопоследовательном соединении четырехполюсников (рис. 12.7, б). При этом F = = F’ + F”.

Параметры типовых четырехполюсников. К типовым пассивным четырехполюсникам относят г, т, побразные схемы (см. рис. 12.2, бг), мостовые (см. рис. 12.2, а) и тперекрытые схемы (см. рис. 12.2, д). Можно получить, основываясь на матричных методах расчета, параметры типовых четырехполюсников, если рассматривать их как сложные четырехполюсники, состоящие из соединений простейших четырехполюсников.

Рассмотрим сначала простейшие четырехполюсники, изображенные на рис. 12.8, а и б. Для первого из них (рис. 12.8, а), пользуясь законами Кирхгофа, можно записать: U1 = U2 + I2Z1 и

I1 = I2. Сравнивая эти уравнения с уравнениями в апараметрах (12.4), можно записать матрицу А для такого четырехполюсника:

Для второго простейшего четырехполюсника (рис. 12.8, б) имеем U1 = U2 и I1 = U2/Z2 + I2 и поэтому

Другие матрицы – Z, Y и Н – могут быть легко получены из табл. 12.1. Заметим, что для первого простейшего четырехполюсника не существует Z-параметров, так как все они обращаются в бесконечность. По этой же причине для второго простейшего четырехполюсника не существует Y-параметров.

На рис. 12.9, а, б показаны соответственно прямое и скрещенное соединения. Нетрудно убедиться, что прямому соединению соответствует матрица

а скрещенному соединению – матрица

Найдем теперь параметры типовых пассивных четырехполюсников, изображенных на рис. 12.2. гобразный четырехполюсник (рис. 12.2, б) получается путем каскадного соединения простейших четырехполюсников, приведенных на рис. 12.8, а и б. Его матрица

А может быть получена перемножением вышеприведенных матриц простейших четырехполюсников:

Для тобразного четырехполюсника (рис. 12.2, в) матрицу А можно найти, если рассматривать его как каскадное соединение гобразной схемы с элементами Z1 и Z2 и простейшей схемы с элементом Z3 в продольном плече (рис. 12.8, а):

Для побразной схемы (рис. 12.2, г), если ее представить в виде каскадного соединения простейшего четырехполюсника, изображенного на рис. 12.8, б и гобразного четырехполюсника с элементами Z2 в продольном плече и Z3 в поперечном плече, матрица

Зная апараметры г, т и побразных четырехполюсников, можно найти по табл. 12.1 другие системы параметровкоэффициентов.

Мостовой четырехполюсник (см. рис. 12.2, а) можно представить как параллельное соединение двух простейших четырехполюсников (рис. 12.10). При параллельном соединении следует пользоваться матрицами Y. Используя данные табл. 12.1, найдем по известным матрицам А простейших четырехполюсников (второй из них имеет скрещенные выходные зажимы) их матрицы Y и, просуммировав последние, получим результирующую матрицу Y мостового четырехполюсника. Матрицы Y простейших четырехполюсников с учетом скрещивания выходных зажимов во втором равны

Отсюда матрица Y мостовой схемы

С помощью табл. 12.1 можно получить матрицы А и Z мостового четырехполюсника:

Предлагаем читателям самостоятельно найти параметры тперекрытого четырехполюсника (см. рис. 12.2, д), рассматривая его как параллельное соединение простейшего четырехполюсника с сопротивлением Z4 в продольном плече и тобразного четырехполюсника.

Параметры зависимых источников. Системе уравнений в Y-параметрах (12.2, б) можно сопоставить в соответствии с ЗТК схему с двумя зависимыми источниками типа ИТУН (рис. 12.11, а). Если положить Y11 = Y12 = Y22 = 0 и Y21 = НY, то получим идеальный источник тока, управляемый напряжением (рис. 1.7, б). Таким образом, Y-матрица идеального ИТУНа равна

Воспользовавшись таблицей 12.1, можно записать его а-матрицу:

Аналогичным образом системе уравнений (12.5) в нпараметрах можно сопоставить согласно ЗНК схему с двумя зависимыми источниками: ИНУН и ИТУН (рис. 12.11, б). Принимая Н11 = = Н12 = Н22 = 0 и Н21 = Нi переходим к идеальному источнику тока, управляемому током (рис. 1.7, г). Его матрица Н имеет вид

а переход с помощью таблицы 12.1 к аматрице дает

Если использовать систему уравнений (12.3) в Z-параметрах, то получаем схему с двумя источниками типа ИНУТ (рис. 12.11, в). Полагая Z11 = Z12 = Z22 = 0 и Z21 = НZ, приходим к идеальному источнику напряжения, управляемому током (рис. 1.7, в). Значит Z-матрица идеального ИНУТ записывается в виде

Соответствующая ей а-матрица равна

Система уравнений четырехполюсника в F-параметрах (12.5) связывает входной ток I1 и выходное напряжение U2 с остальными двумя величинами U1 и I2:

Она может быть представлена схемой, показанной на рис. 12.11, г. При F11 = F12 = F22 = 0 и F21 = Нu данная схема превращается в идеальный ИНУН (рис. 1.7, а). Следовательно, F-матрица ИНУН записывается в виде:

и соответствующая ей а-матрица:

К числу простейших активных линейных четырехполюсников с зависимыми источниками относятся транзисторы и лампы, работающие в линейном режиме.

Чаще всего для транзисторов используют уравнения передачи в н или Y-параметрах. Иногда используются также Z-параметры. Усредненные значения Y-, Z- и нпараметров транзисторов приводятся в справочной литературе. Следует иметь в виду, что одни и те же параметры имеют различные значения в зависимости от того, какой именно из электродов транзистора (эмиттер, база, коллектор) является общим для входной и выходной пар зажимов транзистора как четырехполюсника. Различают поэтому Y-, Z- и нпараметры транзисторов с общим эмиттером, с общей базой и с общим коллектором.

Пример. Определим параметры биполярного транзистора прп типа, включенного по схеме с общим эмиттером (рис. 12.12, а). Его схема замещения в области нижних частот показана на рис. 12.12, б. Сравнивая эту схему со схемой рис. 12.11, а, видим, что при Y11 = 1/RБЭ, Y12 = 0, Y21 = HY и Y22 = 0 обе схемы становятся идентичными. Следовательно, Y-матрица биполярного транзистора с общим эмиттером имеет вид

По формулам табл. 9.1 находим матрицы А и Н транзистора:

Электронная лампа как четырехполюсник чаще всего характеризуется Y- или апараметрами. Для электронной лампы с общим катодом, если считать, что сеточные токи отсутствуют, и не учитывать паразитные емкости, имеем:

где S – крутизна электронной лампы (скорость изменения анодного тока с изменением сеточного напряжения); Ri – внутреннее сопротивление лампы; m – коэффициент усиления лампы.

При перечисленных выше условиях Z- и нпараметров для электронной лампы не существует. В общем случае, когда с влиянием между электродами лампы через паразитные элементы приходится считаться, ни один из параметров лампы с учетом ее паразитных элементов не равен нулю и лампа как четырехполюсник может характеризоваться любой системой параметров.

Параметры сложных четырехполюсников. При анализе сложного четырехполюсника следует выделить простейшие и типовые четырехполюсники и установить способы их соединения. Затем с помощью матричных методов расчета можно определить соответствующие матрицы сложного четырехполюсника.

Пример. Рассмотрим методику определения нпараметров каскада усилителя на транзисторе со схемой, показанной на рис. 12.13, а. Каскад усилителя образуется в результате параллельного соединения транзистора и побразного пассивного четырехполюсника (рис. 12.13, б). Поэтому следует оперировать матрицами Y соединяемых четырехполюсников. Ранее для побразной схемы была найдена матрица А. От нее с помощью табл. 12.1 можно перейти к матрице Y побразного четырехполюсника. Для транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером, Y-параметры определяем из выбранной модели (рис. 12.13, в), либо берем из справочника. Просуммировав найденные таким образом матрицы Y побразного четырехполюсника и транзистора, получим матрицу Y усилительного каскада. Далее по табл. 12.1 перейдем к искомой матрице Н усилительного каскада.

12.4. Параметры холостого хода и короткого замыкания четырехполюсника

Входное сопротивление четырехполюсника. Если к одной паре зажимов четырехполюсника, например 2-2′, подключить произвольное сопротивление Zн (рис. 12.14, а), то со стороны другой пары зажимов, т. е. 1-1′, четырехполюсник можно рассматривать как двухполюсник с входным сопротивлением Zвх1, которое называют входным сопротивлением четырехполюсника. Следовательно, Zвх1 = U1/I1.

Входное сопротивление можно выразить через параметры четырехполюсника. Проще всего это сделать, воспользовавшись выражениями для U1 и I1 из уравнений передачи в апараметрах (12.4). В этом случае

На рис. 12.14, б показан тот же четырехполюсник, нагруженный со стороны зажимов 1-1 на сопротивление Zг. Его входное сопротивление со стороны зажимов 2-2 равно Zвх2 = U1’/I1′.

В связи с тем, что изменилось направление передачи энергии, следует воспользоваться уравнениями передачи (12.6). Тогда

Заметим, что при изменении направления передачи энергии через четырехполюсник в выражениях (12.11) и (12.12) параметры A11 и A22 поменялись местами (см. свойство 4, 12.2. Уравнения передачи четырехполюсника).

Входное сопротивление четырехполюсника не является его внутренним параметром, так как оно зависит не только от свойств четырехполюсника, но и от свойств внешней цепи (нагрузки), на которую замкнута пара зажимов четырехполюсника.

Параметры холостого хода и короткого замыкания. Формулы (12.11) и (12.12) описывают входные сопротивления четырехполюсника при произвольных сопротивлениях нагрузки Zн и Zг. Из них легко получить значения Zвх1 и Zвх2 при разомкнутых и замкнутых накоротко зажимах четырехполюсника.

В режиме холостого хода на зажимах 2-2′ (выходные зажимы разомкнуты) входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 1-1′ обозначается Zхх1 и определяется из формулы (12.11) при Zн = Ґ:

Аналогично входное сопротивление со стороны зажимов 2-2′ при разомкнутых зажимах 1-1′ определяется из (12.12) при Zг = Ґ:

При коротком замыкании зажимов 2-2′ и 1-1′ в формулах (12.11) и (12.12) нужно положить Zн = 0 и Zг = 0. В этом случае

Величины Zxx1, Zxx2, Zкз1 и Zкз2 называются параметрами холостого хода и короткого замыкания. Значения этих параметров для любой данной частоты могут быть измерены с помощью специального прибора для измерения комплексных сопротивлений – моста переменного тока. Это особенно удобно, когда четырехполюсник представляется в виде “черного ящика” и нет возможности узнать его содержимое или рассчитать какиелибо другие системы параметров, либо когда влияние паразитных элементов четырехполюсника трудно учесть аналитически. Измерение же других систем параметров часто представляет значительную сложность.

Из приведенных выше соотношений для параметров XX и КЗ легко получить, что Zxx1/Zxx2 = Zкз1/Zкз2, т. е. только три параметра из четырех являются независимыми. Этих параметров достаточно для составления уравнений передачи пассивного четырехполюсника, причем из параметров XX и КЗ может быть получена любая система параметровкоэффициентов.

У активного четырехполюсника все четыре параметра независимы, поэтому их нельзя найти по параметрам XX и КЗ.

В случае симметричного пассивного четырехполюсника параметры А11 = А22 и, следовательно, Zxx1 = Zxx2 и Zкз1 = Zкз2, т. е. симметричный четырехполюсник характеризуется только двумя параметрами XX и КЗ.

12.5. Характеристические параметры четырехполюсника

Согласованное включение четырехполюсника. При передаче сигналов на расстояние может участвовать большое число каскадно соединенных четырехполюсников. На практике используется такое включение четырехполюсников, которое получило название согласованного. Если рассматривать четырехполюсник, включенный по схеме рис. 12.1, то это означает, что должны выполняться два условия: Zвx1 = Zг и Zвx2 = Zн, т. е. входное сопротивление четырехполюсника должно быть согласовано с сопротивлением генератора, а выходное – с сопротивлением нагрузки.

В случае каскадного включения нескольких четырехполюсников обеспечивают согласованное включение каждого из них.

Режим согласованного включения является наиболее благоприятным при передаче сигналов, поскольку при этом отсутствуют отражения электрической энергии (а значит, ее рассеяние) на стыках “генераторчетырехполюсник” и “четырехполюсникнагрузка” и искажение сигнала.

Характеристические сопротивления четырехполюсника. Остается не ясным, всегда ли можно включить четырехполюсник согласованно, т. е. всегда ли можно подобрать такие сопротивления Zг и Zн, при которых

Оказывается, для любого четырехполюсника всегда существует такая пара сопротивлений, для которой выполняется условие (12.16). Эти сопротивления называются характеристическими (собственными) сопротивлениями четырехполюсника и обозначаются Zс1 и Zс2. Индекс “l” указывает на то, что характеристическое сопротивление определяется со стороны зажимов 1-1′, а индекс “2” – со стороны зажимов 2-2′.

Таким образом, если в качестве внутреннего сопротивления генератора выбрать Zг = Zс1, а в качестве сопротивления нагрузки Zн = Zс2, то Zвх1 будет равно Zс1, a Zвх2 = Zс2. Рисунок 12.15 иллюстрирует это свойство характеристических сопротивлений.

Можно теперь уточнить определение режима согласованного включения. Режимом согласованного включения четырехполюсника называется такой режим его работы, когда внутреннее сопротивление генератора выбрано равным характеристическому сопротивлению четырехполюсника Zс1, а сопротивление нагрузки равным характеристическому сопротивлению Zс2.

Положив в (12.16) Zвх1 = Zг = Zс1 и Zвх2 = Zн = Zс2, получим

Совместное решение этих уравнений относительно величин Zс1 и Zс2 дает выражение характеристических сопротивлений через апараметры:

Характеристическое сопротивление можно выразить через параметры XX и КЗ. Проще всего это получить из (12.17), если воспользоваться формулами (12.13)-(12.15), где параметры XX и КЗ выражены через апараметры:

Последние формулы удобны для экспериментального определения характеристических сопротивлений методами XX и КЗ.

Пример. Дан резистивный гобразный четырехполюсник (см. рис. 12.2, б) с элементами Z1 = 1600 Ом, Z2 =900 Ом. Включим его согласованно с генератором и нагрузкой. Для согласования четырехполюсника с генератором нужно выбрать его внутреннее сопротивление равным характеристическому сопротивлению четырехполюсника со стороны зажимов 1-1′, т. е. Zг = Zс1. Чтобы согласовать четырехполюсник с нагрузкой, следует подключить к его зажимам 2-2′ сопротивление нагрузки Zн = Zс2.

Матрица А четырехполюсника имеет вид

Зная апараметры, по формулам (12.17) определяем характеристические сопротивления четырехполюсника: = 2000 Ом и = 720 Ом. Их можно найти также по параметрам XX и КЗ из формулы (12.18). Последние можно определить непосредственно из схемы: Zхх1 = Z1 + Z2 = 2500 Ом, Zкз1 = Z1 = 1600 Ом и, следовательно, = 2000 Ом. Аналогично Zхх2 = Z2 = 900 Ом, Zкз2 = Z1Z2/(Z1 + + Z2) = 580 Ом и = 720 Ом.

Итак, внутреннее сопротивление генератора следует взять равным Zг = = 2000 Ом, а сопротивление нагрузки Zн = 720 Ом.

Схема согласованного включения четырехполюсника показана на рис. 12.16. Входное сопротивление четырехполюсника

Характеристическая постоянная передачи четырехполюсника. При согласованном включении на стыках “генераторчетырехполюсник” и “четырехполюсникнагрузка” рассеяние электрической энергии будет происходить только в четырехполюснике (например, она будет превращаться в тепловую энергию на резистивных элементах схемы).

Чтобы учесть эти потери, вводят меру передачи энергии – характеристическую (собственную) постоянную передачи четырехполюсника, определяемую через отношение произведения напряжения и тока на входе четырехполюсника к произведению напряжения и тока на его выходе, взятое в логарифмическом масштабе

причем все токи и напряжения измеряются или вычисляются в режиме согласованного включения четырехполюсника, т. е. при Zг = = Zс1 и Zн = Zс2.

Так как U1 = I1Zвх1 = I1Zс1 и U2 = I2Zвх2 = I1Zс2, характеристическую (собственную) постоянную передачи можно представить в иных формах записи

Если четырехполюсник симметричный, то из (12.17) следует, что Zс1 = Zс2 = Zс, а из (12.20)

Так же, как и характеристические сопротивления, характеристическую постоянную передачи можно выразить через параметрыкоэффициенты. Чтобы выразить Гс через апараметры, представим ток из (12.4) в виде I1 = А21U2 + А22I2. Так как при согласованном включении U2 = I2Zн = I2Zс2, то I1 = (А21Zс2 + А22)I2. Подставляя выражение для I1 в (12.20) и учитывая из (12.17), что

Приведем без вывода связь собственной постоянной передачи с параметрами XX и КЗ:

С собственной постоянной передачи Гс связаны конкретные физические представления. Воспользуемся выражением (12.19)

Величина

где S1 и S2 – полные мощности на входе и выходе четырехполюсника при согласованном его включении, называется характеристическим (собственным) ослаблением четырехполюсника. Она показывает в логарифмическом масштабе, на сколько уменьшилась мощность на выходе четырехполюсника по сравнению с мощностью на его входе при передаче энергии через четырехполюсник в режиме согласованного включения.

Для симметричного четырехполюсника из (12.21) получаем

В этом случае величина Ас показывает ослабление абсолютных значений напряжения и тока.

Единица измерения отношений величин в масштабе натуральных логарифмов называется непером (сокращенно Нп).

Ослаблению в 1 Нп соответствует уменьшение мощности в е2 = = 7,39 раза (так как при имеем S1/S2 = e2), а в симметричном четырехполюснике – уменьшение напряжения и тока в е = 2,718 раз (так как при

На практике принято вычислять и измерять ослабление в других единицах – белах (сокращенно Б). Ослаблению в 1 Б соответствует уменьшение мощности в 10 раз, ослаблению 2 Б – в 100 раз и т. д. Вместо формулы (12.25) в этом случае используют формулу

Бел достаточно крупная единица измерения. Вместо нее обычно применяют в 10 раз меньшую единицу – децибел (сокращенно дБ). Поскольку 1 Б = 10 дБ, то

Для симметричных четырехполюсников вместо (12.26) удобно пользоваться формулой

Между неперами и децибелами существует связь: 1 Нп = 8,7 дБ; 1 дБ = 0,115 Нп.

Пример. Несимметричный и симметричный четырехполюсники включены согласованно. Мощность на выходе первого из них уменьшается по сравнению с мощностью на входе в 1000 раз, на выходе второго по сравнению с его входом – в 10000 раз. Определим характеристические (собственные) ослабления четырехполюсников.

Характеристическое ослабление по мощности для несимметричного четырехполюсника согласно формуле (12.25) составляет Ас = 10 lg 1000 = 30 дБ, а для симметричного – Ас = 10 lg 10000 = 40 дБ. Кроме того, для симметричного четырехполюсника можно указать характеристическое ослабление по напряжению и току. В соответствии с (12.25) оно равно 20 lg 10000 = 80 дБ. Второе слагаемое в формуле (12.24)

учитывает изменение начальных фаз напряжений и токов при передаче энергии через согласованно включенный четырехполюсник и носит название характеристической (собственной) фазы или фазовой постоянной четырехполюсника.

Преобразование (12.21) для симметричного четырехполюсника приводит к характеристической (собственной) фазовой постоянной, равной разности фаз входного и выходного напряжений или токов:

Измеряется фазовая постоянная в радианах (сокращенно рад) или градусах (сокращенно град).

Величины Zc1, Zc2 и Гc образуют систему характеристических (собственных) параметров четырехполюсника. Она полностью описывает пассивный четырехполюсник.

Связь с другими системами параметров. Вычисление характеристических параметров по апараметрам осуществляется с помощью формул (12.17), (12.22), а по параметрам XX и КЗ – с помощью формул (12.18) и (12.23). Установим обратные соотношения, т. е. выразим апараметры и параметры XX и КЗ через характеристическое.

Из (12.22) следует:

Воспользовавшись формулой Эйлера, запишем

Параметр А11 определяется из произведения (12.27) и (12.29)

Чтобы найти параметр А12, необходимо перемножить (12.28) и (12.30)

Остальные два параметра получаются из отношений (12.28) к (12.30) и (12.27) к (12.29):

Уравнения передачи (12.4) в апараметрах после подстановки в них величин из (12.31)-(12.34) превратятся в уравнения передачи в характеристических параметрах:

Для симметричного четырехполюсника, где Zc1 = Zc2 = Zc эти уравнения примут вид

Запись уравнений передачи в форме (12.35) широко применяется для описания цепей с распределенными параметрами.

Формулы (12.13)-(12.15) и (12.31)-(12.34) позволяют выразить параметры XX и КЗ через характеристические параметры. Действительно,

Заметим, что из этих формул легко выводится формула (12.23), приведенная ранее без вывода.

Расчет каскадного согласованного соединения четырехполюсников. При расчете каскадного соединения четырехполюсников ранее был использован матричный метод, в котором матрица А результирующего четырехполюсника определялась произведением матриц А составляющих четырехполюсников. Если четырехполюсники соединены согласованно, то удобнее пользоваться характеристическими параметрами.

На рис. 12.17 показано каскадное согласованное включение трех четырехполюсников с характеристическими постоянными передачи Гc1, Гc2 и Гc3.

Согласование четырехполюсников состоит в том, что характеристические сопротивления со стороны их соединения выбраны равными друг другу, а внутреннее сопротивление генератора и сопротивление нагрузки – равными характеристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников. Действительно, крайний справа четырехполюсник нагружен на сопротивление, равное его характеристическому Zc4, значит, входное сопротивление этого крайнего четырехполюсника будет равно характеристическому сопротивлению Zc3 предшествующего четырехполюсника. В свою очередь, входное сопротивление среднего четырехполюсника оказывается равным характеристическому сопротивлению Zc2 крайнего левого четырехполюсника. Следовательно, входное сопротивление крайнего слева четырехполюсника равно Zc1 и согласовано с внутренним сопротивлением генератора.

Аналогичным образом можно провести рассуждения, начиная с левого четырехполюсника.

На рис. 12.17 во избежание путаницы входные сопротивления четырехполюсников со стороны зажимов 2-2′ названы выходными сопротивлениями четырехполюсников. Определим характеристическую постоянную передачи результирующего четырехполюсника. Согласно (12.20)

Таким образом, результирующий четырехполюсник, составленный из каскадно и согласованно соединенных отдельных четырехполюсников, имеет характеристические сопротивления, равные характеристическим сопротивлениям крайних четырехполюсников, и оказывается включенным согласованно с генератором и нагрузкой. Его характеристическая постоянная передачи равна сумме характеристических постоянных передачи соединяемых четырехполюсников. Учитывая, что Гс = Ас + jВс, можно записать:

12.6. Внешние характеристики четырехполюсника

Рабочее ослабление четырехполюсника. Режим согласованного включения четырехполюсника является наиболее благоприятным для передачи энергии. Однако обеспечить идеальное согласование четырехполюсника с генератором и нагрузкой в широкой полосе частот возможно только в том случае, когда внутреннее сопротивление генератора, сопротивление нагрузки и характеристические сопротивления четырехполюсника являются резистивными. Добиться же равенства комплексных сопротивлений на всех частотах рабочего диапазона, как правило, не удается. Возникающая вследствие этого несогласованность приводит к дополнительным потерям энергии.

Рассмотрим работу четырехполюсника в реальных условиях (см. рис. 12.1), когда Zг № Zс1 и Zн № Zс2. В этом случае Zвх1 № Zг и Zвх2 № Zн. Несогласованность на входе приводит к тому, что часть энергии отражается от входных зажимов четырехполюсника и возвращается к генератору. Изза несогласованности на выходе не вся энергия из четырехполюсника передается нагрузке: часть ее отражается от нагрузки и возвращается обратно в четырехполюсник. Очевидно, какаято часть энергии будет теряться за счет многократного ее отражения на входных и выходных зажимах четырехполюсника.

Чтобы учесть дополнительно возникающие в рабочих условиях потери энергии, пользуются рабочими мерами передачи, которые являются внешними характеристиками четырехполюсника.

К внешним характеристикам относится рабочее ослабление четырехполюсника, которое позволяет сравнить в логарифмических единицах полную мощность S2, выделяемую в нагрузке Zн на выходе четырехполюсника, с полной мощностью S0, которую генератор отдает в нагрузку, согласованную с его внутренним сопротивлением.

Мощность, выделяемая в нагрузке Zн (см. рис. 12.1)

Полная мощность S0 выделяется на сопротивлении, равном внутреннему сопротивлению генератора, т. е. на Zг, и подключенном непосредственно к его зажимам:

Рабочее ослабление четырехполюсника, выраженное в неперах (Нп), подсчитывается по формуле

В (12.36) и (12.37) входят действующие значения Uг и U2, которые могут быть измерены экспериментально, поэтому эти формулы лежат в основе большинства методов измерения рабочего ослабления четырехполюсника.

При теоретических расчетах пользуются другой формулой

где Ac – характеристическое ослабление четырехполюсника; DA1, DA2 – дополнительные ослабления изза несогласованностей на входе и выходе четырехполюсника:

DA3 – дополнительное ослабление за счет многократного отражения энергии от входных и выходных зажимов четырехполюсника:

При согласовании четырехполюсника с генератором Zг = Zc1 и DA1 = DA3 = 0. При согласовании четырехполюсника с нагрузкой Zн = Zc2 и DA2 = DA3 = 0.

Если согласование полное, т. е. Zг = Zc1 и Zн = Zc2, то Ар = Ас, т. е. рабочее ослабление четырехполюсника равно его характеристическому (собственному) ослаблению. Для пассивного четырехполюсника рабочее ослабление больше собственного ослабления вследствие рассогласования на входе и выходе.

Рабочее ослабление является вещественной частью комплексной величины Гр – рабочей постоянной передачи четырехполюсника:

где Вр – рабочая фазовая постоянная.

Передаточные функции четырехполюсника. Передаточной функ-цией нагруженного четырехполюсника (см. рис. 12.1) называется отношение выходной электрической величины к входной электрической величине, т. е. отношение реакции к воздействию.

Если входным воздействием считать напряжение генератора с комплексным действующим значением Uг, а реакцией четырехполюсника на это воздействие – напряжение с комплексным действующим значением U2 или ток с комплексным действующим значением I2, то получаются комплексные передаточные функции общего вида:

В частных случаях, когда заданными воздействиями являются напряжение на входных зажимах четырехполюсника или ток, протекающий через эти зажимы, получают следующие четыре разновидности передаточных функций:

Hu = U2/U1 – комплексный коэффициент передачи по напряжению (для активных четырехполюсников, например усилителей, он носит название коэффициента усиления по напряжению);

Hi = I2/I1 – комплексный коэффициент передачи по току (для активных цепей – коэффициент усиления по току);

HZ = U2/I1 – комплексное передаточное сопротивление;

HY = I2/U1 – комплексная передаточная проводимость.

Передаточные функции четырехполюсника выражаются через любую систему параметров и сопротивления нагрузки. Например,

Можно вычислять передаточные функции в различных режимах работы четырехполюсника (холостой ход, короткое замыкание, согласованное включение). Например, при холостом ходе на выходе (разомкнутые зажимы 2-2′) комплексный коэффициент передачи по напряжению находится из (12.39) при Zн = Ґ

Коэффициент передачи по току в режиме короткого замыкания на выходе (замкнутые накоротко зажимы 2-2′) получим из (12.40) при Zн = 0:

При согласованном включении симметричного четырехполюсника из (12.39) следует

Формула (12.43) устанавливает связь между передаточной функцией по напряжению согласованно включенного симметричного четырехполюсника с его характеристической (собственной) постоянной передачи. Аналогичным образом можно получить остальные передаточные функции в различных режимах работы и выражения их через интересующие нас параметры.

Часто используют так называемую рабочую передаточную функцию четырехполюсника:

Рабочая передаточная функция непосредственно связана с рабочей постоянной передачи четырехполюсника. Действительно, из (12.44) и (12.36) вытекает, что

Справедливы также более общие соотношения: или .

Если на входе четырехполюсника действует негармоническое (периодическое или непериодическое) воздействие, то, переходя от мгновенных значений напряжений и токов к их изображениям по Лапласу Uг(p), U1(p), U2(p), I1(p) и I2(p), получают операторные передаточные функции Н(р), которые представляются в общем виде (7.41):

где р01, р02, …, р0n – нули передаточной функции; р1, р2, …, рm – полюса передаточной функции; Н = ап/bт.

Пример. Найдем коэффициент передачи по напряжению и квадрат АЧХ четырехполюсника, изображенного на рис. 12.18, a, в режиме XX на выходных зажимах.

Коэффициент передачи по напряжению нагруженного четырехполюсника согласно (12.39)

В режиме XX Zн = Ґ и согласно (12.41) и (12.8)

Используя операторную форму записи, имеем

где H = 1; a0 = b0 = 1/LС; b1 = R/L.

Корни числителя этой рациональной дроби, т. е. нули передаточной функции,

Корни знаменателя, или полюсы передаточной функции,

На рис. 12.18, б показано расположение нулей и полюсов функции при .

По теореме Виета

Амплитудночастотная характеристика в данном режиме работы определяется из Huхх(р) путем замены р на jw и вычисления модуля полученной функции

Квадрат АЧХ запишется в виде

12.7. Вопросы и задания для самопроверки

1. Используя метод узловых напряжений, найти Y-параметры тобразного четырехполюсника, изображенного на рис. 12.19.

2. Определить Y-параметры тобразного четырехполюсника, показанного на рис. 12.20, при R = 100 Ом, L = 0,1 Гн, С = 10-5 Ф, w = 1000 с1.

Ответ: Y11 = Y22 = 0,01j;

Y12 = Y21 = -1,26Ч10-2exp(j1,25).

3. Объяснить, в каких случаях следует включать цепи согласованно?

4. Рассчитать характеристическое сопротивление четырехполюсника на рис. 12.21, если Z1 = 1000 Ом, Z2 = j500 Ом.

5. Чем отличается рабочее ослабление четырехполюсника от собственного (характеристического)?

6. Что такое комплексная передаточная функция? Какие виды комплексных передаточных функций четырехполюсника известны?

7. Определить коэффициент передачи по напряжению, АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 1.22, если выходным напряжением является напряжение на резисторе R. Построить графики АЧХ и ФЧХ.

8. Рассчитать передаточную функцию каскадного соединения цепей, изображенных на рис. 1.22 и 1.23. Построить график АЧХ полученной цепи.

9. Определить коэффициент передачи по напряжению при холостом ходе и коэффициент передачи по току при коротком замыкании для побразного четырехполюсника в продольную ветвь которого включена индуктивность L, а в поперечные ветви – емкость С.

10. Определить ослабление, вносимое цепью рис. 1.22, при R = = 31,8 кОм и = 10 кОм.

Ответ: 12 дБ.

11. Что такое операторная передаточная функция? Как она связана с комплексной передаточной функцией’ Как определить нули и полюсы операторной передаточной функции?

12. Определить операторную передаточную функцию, комплексный коэффициент передачи по напряжению, АЧХ и квадрат АЧХ последовательного колебательного контура, изображенного на рис. 12.18, а, если выходным напряжением является напряжение на емкости С. Построить график АЧХ цепи.

13. Перечислить основные свойства операторных передаточных функций пассивных цепей.

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 23 февраля 2023 года; проверки требует 1 правка.

Четырёхпо́люсник — электрическая цепь, разновидность многополюсника, имеющая четыре точки подключения^[1]. Как правило, две точки являются входом, две другие — выходом.

Общие сведения[править | править код]

При анализе электрических цепей очень часто бывает удобным выделить фрагмент цепи, имеющий две пары зажимов. Поскольку электрические (электронные) цепи очень часто связаны с передачей энергии или обработкой и преобразованием информации, одну пару зажимов обычно называют «входными», а вторую — «выходными». На входные зажимы подаётся исходный сигнал, с выходных снимается преобразованный.

Такими четырёхполюсниками являются, например, трансформаторы, усилители, фильтры, стабилизаторы напряжения, телефонные линии, линии электропередачи и т. д.

Однако математическая теория четырёхполюсников не предполагает никаких предопределённых потоков энергии/информации в цепях, поэтому названия «входные» и «выходные» являются данью традиции и с этой оговоркой будут использоваться далее.

Состояния входных и выходных зажимов определяются четырьмя параметрами: напряжением и током во входной (U₁, I₁) и выходной (U₂, I₂) цепях. В этой системе параметров линейный четырёхполюсник описывается системой из двух линейных уравнений, причём два из четырёх параметров состояния являются исходными, а два других — определяемыми. Для нелинейных четырёхполюсников зависимость может носить более сложный характер. Например, выходные параметры через входные можно выразить системой

В дальнейшем будет использоваться запись системы уравнений в матричном виде, как наиболее удобная для восприятия.

Системы параметров[править | править код]

Линейный четырёхполюсник, не содержащий независимых источников (напряжения и/или тока), описывается четырьмя параметрами — два напряжения и два тока. Любые две величины из четырёх можно определить через оставшиеся две. Поскольку число сочетаний 2 из 4 — 6, используется одна из шести систем записи формальных параметров четырёхполюсника^[2]:

• A-форма U₁=AU₂+BI₂; I₁=CU₂+DI₂, где A, B, C, D — A-параметры, обобщенные^[3] или комплексные^[4] параметры.
• Y-форма I₁=Y₁₁U₁+Y₁₂U₂; I₂=Y₂₁U₁+Y₂₂U₂, где Y₁₁, Y₁₂, Y₂₁, Y₂₂ — Y-параметры, или параметры проводимостей^[5].
• Z-форма U₁=Z₁₁I₁+Z₁₂I₂; U₂=Z₂₁I₁+Z₂₂I₂, где Z₁₁, Z₁₂, Z₂₁, Z₂₂ — Z-параметры, или параметры сопротивлений^[5].
• H-форма U₁=h₁₁I₁+h₁₂U₂; I₂=h₂₁I₁+h₂₂U₂, где h₁₁, h₁₂, h₂₁, h₂₂ — h-параметры, которые применяются при рассмотрении схем с транзисторами^[3].
• G-форма I₁=G₁₁U₁+G₁₂I₂; U₂=G₂₁U₁+G₂₂I₂, где G — это параметр который используется при рассмотрении ламповых схем.
• B-форма U₂=B₁₁U₁+B₁₂I₁; I₂=B₂₁U₁+B₂₂I₁

Конкретная система выбирается из соображений удобства. Выбор зависит от того, какой параметр (напряжение или ток) является входным и какой — выходным сигналом для данного четырёхполюсника.

В указанных системах формальных параметров не могут быть учтены произвольные внутренние источники (например, постоянного тока), допускаются только управляемые генераторы тока и управляемые генераторы напряжения, которые управляются входными сигналами четырёхполюсника. Поэтому в качестве четырёхполюсников рассматриваются, как правило, эквивалентные схемы по переменному току.

Системы уравнений и эквивалентные схемы четырёхполюсников при использовании каждого типа параметров показаны в таблице.

Системы уравнений, эквивалентные схемы, измерение параметров[править | править код]

Тип	Система уравнений	Эквивалентная схема	Измерение параметров

Преобразование параметров[править | править код]

Преобразования схем[править | править код]

R_in, R_out — входное и выходное сопротивления; K_I, K_U — коэффициенты усиления по току и напряжению.

Схема

Разновидности четырёхполюсников[править | править код]

Симметричный четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого схема одинакова относительно его входных и выходных зажимов.
Тогда для симметричного четырёхполюсника Z11 = Z22.
Ещё: если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырёхполюсник называется симметричным.

Пассивный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который не содержит источников энергии, либо содержит скомпенсированные источники энергии.

Активный четырёхполюсник — это четырёхполюсник, который содержит нескомпенсированные источники энергии.

Обратимый четырёхполюсник — четырёхполюсник, у которого выполняется теорема обратимости, то есть передаточное сопротивление входных и выходных контуров не зависит от того, какая пара зажимов входная, а какая выходная: U1/I2=U2/I1

Частные случаи четырёхполюсников[править | править код]

Идеальный трансформатор[править | править код]

Идеальный трансформатор — это пассивный четырёхполюсник, описывающий формально модель трансформатора без учёта тока холостого хода и ферромагнитного сердечника. Математически это определяется системой уравнений, которая выглядит в H-форме (либо соответствующей ей матрицей):

Гиратор[править | править код]

Гиратор — пассивный четырёхполюсник без потерь, преобразующий входной ток — в выходное напряжение, а входное напряжение — в обратный по знаку (инвертированный) выходной ток (инвертор положительного сопротивления^[6]). Математически это описывается системой, которая выглядит в Y-форме (либо соответствующей ей матрицей:

Т.о. гиратор не поглощает и не накапливает энергию, преобразуя комплексное сопротивление нагрузки в сопротивление с обратным знаком и модулем, равным обратному соотношению:

Нуллор[править | править код]

Нуллор  — четырехполюсник, аномальный элемент, у которого входные ток и напряжение равны нулю, а выходные ток и напряжение принимают любые, не связанные друг с другом значения^[7]. Аномальные элементы используются в ряде случаев при анализе и синтезе электрических цепей.

См. также[править | править код]

Двухполюсник

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1978. — 528 с.
• Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. — М.: Высшая школа, 1996. — 638 с.
• Кисель В.А. Аналоговые и цифровые корректоры. — М.: Радио и связь, 1986. — 184 с.
• Бакалов В.П. Основы теории электрических цепей и электроники. — М.: Радио и связь, 1989. — 528 с. — ISBN 5-256-00265-1.