Как найти пару делителей натурального числа?
(Ответ правилом).
На этой странице сайта размещен вопрос Как найти пару делителей натурального числа? из категории
Математика с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса
соответствует знаниям учеников 5 – 9 классов. Здесь же находятся ответы по
заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы.
Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по
заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими
пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.
В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.
Как найти все делители числа
Чтобы понять материал, изложенный в данном пункте, нужно хорошо знать, что вообще из себя представляют кратные числа и делители. Здесь мы поговорим только о поиске делителей натуральных чисел, т.е. целых положительных. Этим можно ограничиться, поскольку свойство делимости гласит, что делители целого отрицательного числа аналогичны делителям целого положительного, которое будет противоположным по отношению к этому числу. Также сразу уточним, что у нуля есть бесконечно большое число делителей, и находить их смысла не имеет, поскольку в итоге все равно получится 0.
Если речь идет о простом числе, то его можно разделить только на единицу и на само себя. Значит, у любого простого числа a есть всего 4 делителя, два из которых больше 0 и два меньше: 1, -1, a, -a. Возьмем простое число 7: у него есть делители 7, -7, 1 и -1, и все. Еще один пример: 367 – тоже простое число, которое можно разделить лишь на 1, -1, 367 и -367.
Сложнее определить все делители составного числа. Сформулируем теорему, которая лежит в основе данного действия.
Допустим, у нас есть выражение, означающее каноническое разложение числа на простые множители, вида a=p1s1·p2s2·…·pnsn. Тогда натуральными делителями числа a будут следующие числа: d=p1t2·p2t2·…·pntn, где t1=0, 1, …, s1, t2=0, 1, …, s2, …, tn=0, 1, …, sn.
Перейдем к доказательству этой теоремы. Зная основное определение делимости, мы можем утверждать, что a можно разделить на d, если есть такое число q, что делает верным равенство a=d·q, т.е. q=p1(s1−t1)·p2(s2-t2)·…·pn(sn-tn).
Любое число, делящее a, будет иметь именно такой вид, поскольку, согласно свойствам делимости, других простых множителей, кроме p1, p2, …, pn, оно иметь не может, а их показатели в данном случае не превысят s1, s2, …, sn.
Учитывая доказательство этой теоремы, мы можем сформировать схему нахождения всех положительных делителей данного числа.
Для этого нужно выполнить следующие действия:
- Выполнить каноническое разложение на простые множители и получить выражение вида a=p1s1·p2s2·…·pnsn.
- Найти все значения d=p1t2·p2t2·…·pntn, где числа t1, t2, …, tn будут принимать независимо друг от друга каждое из значений t1=0, 1, …, s1, t2=0, 1, …, s2, …, tn=0, 1, …, sn.
Самым трудным в таком расчете является именно перебор всех комбинаций указанных значений. Разберем подробно решения нескольких задач, чтобы наглядно показать применение данной схемы на практике.
Условие: найти все делители 8.
Решение
Разложим восьмерку на простые множители и получим 8=2·2·2. Переведем разложение в каноническую форму и получим 8=23. Следовательно, a=8, p1=2, s1=3.
Поскольку все делители восьмерки будут значениями p1t1=2t1, то t1 может принять значения нуля, единицы, двойки, тройки. 3 будет последним значением, ведь s1=3. Таким образом, если t1=0, то 2t1=20=1, если 1, то 2t1=21=2, если 2, то 2t1=22=4, а если 3, то 2t1=23=8.
Для нахождения делителей удобно все полученные значения оформлять в виде таблицы:
| t1 | 2t1 |
| 0 | 20=1 |
| 1 | 21=2 |
| 2 | 22=4 |
| 3 | 23=8 |
Значит, положительными делителями восьмерки будут числа 1, 2, 4 и 8, а отрицательными −1, −2, −4 и −8.
Ответ: делителями данного числа будут ±1, ±2, ±4, ±8.
Возьмем пример чуть сложнее: в нем при разложении числа получится не один, а два множителя.
Условие: найдите все делители числа 567, являющиеся натуральными числами.
Решение
Начнем с разложения данного числа на простые множители.
56718963217133337
Приведем разложение к каноническому виду и получим 567=34·7. Затем перейдем к вычислению всех натуральных множителей. Для этого будем присваивать t1 и t2 значения 0, 1, 2, 3, 4 и 0, 1, вычисляя при этом значения 3t1·7t2. Результаты будем вносить в таблицу:
| t1 | t2 | 3t1·7t2 |
| 0 | 0 | 30·70=1 |
| 0 | 1 | 30·71=7 |
| 1 | 0 | 31·70=3 |
| 1 | 1 | 31·71=21 |
| 2 | 0 | 32·70=9 |
| 2 | 1 | 32·71=63 |
| 3 | 0 | 33·70=27 |
| 3 | 1 | 33·71=189 |
| 4 | 0 | 34·70=81 |
| 4 | 1 | 34·71=567 |
Ответ: натуральными делителями 567 будут числа 27, 63, 81, 189, 1, 3, 7, 9, 21 и 567.
Продолжим усложнять наши примеры – возьмем четырехзначное число.
Условие: найти все делители 3 900, которые будут больше 0.
Решение
Проводим разложение данного числа на простые множители. В каноническом виде оно будет выглядеть как 3 900=22·3·52·13. Теперь приступаем к нахождению положительных делителей, подставляя в выражение 2t1·3t2·5t3·13t4 значения t1, равные 0, 1 и 2, t2=0,1, t3=0, 1, 2, t4=0, 1. Результаты представляем в табличном виде:
| t1 | t2 | t3 | t4 | 2t1·3t2·5t3·13t4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 20·30·50·130=1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 20·30·50·131=13 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 20·30·51·130=5 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 20·30·51·131=65 |
| 0 | 0 | 2 | 0 | 20·30·52·130=25 |
| 0 | 0 | 2 | 1 | 20·30·52·131=325 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 20·31·50·130=3 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 20·31·50·131=39 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 20·31·51·130=15 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 20·31·51·131=195 |
| 0 | 1 | 2 | 0 | 20·31·52·130=75 |
| 0 | 1 | 2 | 1 | 20·31·52·131=975 |
| t1 | t2 | t3 | t4 | 2t1·3t2·5t3·13t4 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 21·30·50·130=2 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 21·30·50·131=26 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 21·30·51·130=10 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 21·30·51·131=130 |
| 1 | 0 | 2 | 0 | 21·30·52·130=50 |
| 1 | 0 | 2 | 1 | 21·30·52·131=650 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 21·31·50·130=6 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 21·31·50·131=78 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 21·31·51·130=30 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 21·31·51·131=390 |
| 1 | 1 | 2 | 0 | 21·31·52·130=150 |
| 1 | 1 | 2 | 1 | 21·31·52·131=1950 |
| t1 | t2 | t3 | t4 | 2t1·3t2·5t3·13t4 |
| 2 | 0 | 0 | 0 | 22·30·50·130=4 |
| 2 | 0 | 0 | 1 | 22·30·50·131=52 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 22·30·51·130=20 |
| 2 | 0 | 1 | 1 | 22·30·51·131=260 |
| 2 | 0 | 2 | 0 | 22·30·52·130=100 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 22·30·52·131=1300 |
| 2 | 1 | 0 | 0 | 22·31·50·130=12 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 22·31·50·131=156 |
| 2 | 1 | 1 | 0 | 22·31·51·130=60 |
| 2 | 1 | 1 | 1 | 22·31·51·131=780 |
| 2 | 1 | 2 | 0 | 22·31·52·130=300 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 22·31·52·131=3900 |
Ответ: делителями числа 3 900 будут:195, 260, 300, 325, 390, 650, 780, 975, 75, 78, 100, 130, 150, 156, 13,15, 20, 25, 26, 30, 39, 50,52, 60, 65, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 1 300, 1 950, 3 900
Как определить количество делителей конкретного числа
Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как a=p1s1·p2s2·…·pnsn, нужно найти значение выражения (s1+1) ·(s2+1) ·…·(sn+1). О количестве наборов переменных t1, t2, …, tn мы можем судить по величине записанного выражения.
Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа 3 900, которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали: 3 900=22·3·52·13. Значит, s1=2, s2=1, s3=2, s4=1. Теперь подставим значения s1, s2, s3 и s4 в выражение (s1+1) ·(s2+1) ·(s3+1) ·(s4+1) и вычислим его значение. Имеем (2+1)·(1+1)·(2+1)·(1+1)=3·2·3·2=36. Значит, это число имеет всего 36 делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет 72 делителя.
Условие: определите, сколько делителей имеет 84.
Решение
Раскладываем число на множители.
844221712237
Записываем каноническое разложение: 84=22·3·7. Определяем, сколько у нас получится положительных делителей: (2+1)·(1+1)·(1+1) =12. Для учета отрицательных нужно умножить это число на 2:2·12=24.
Ответ: всего у 84 будет 24 делителя – 12 положительных и 12 отрицательных.
Как вычислить общие делители нескольких чисел
Зная свойства наибольшего общего делителя, можно утверждать, что количество делителей некоторого набора целых чисел будет совпадать с количеством делителей НОД тех же чисел. Это будет справедливо не только для двух чисел, но и для большего их количества. Следовательно, чтобы вычислить все общие делители нескольких чисел, надо определить их наибольший общий множитель и найти все его делители.
Разберем пару таких задач.
Условие: сколько будет натуральных общих делителей у чисел 140 и 50? Вычислите их все.
Решение
Начнем с вычисления НОД (140, 50).
Для этого нам потребуется алгоритм Евклида:
140=50·2+40, 50=40·1+10, 40=10·4, значит, НОД (50, 140)=10.
Далее выясним, сколько положительных делителей есть у десяти. Разложим его на простые множители и получим 20·50=1, 20·51=5, 21·50=2 и 21·51=10. Значит, все натуральные общие делители исходного числа – это 1, 2, 5 и 10, а всего их четыре.
Ответ: данные числа имеют четыре натуральных делителя, равные 10, 5, 2 и 1.
Условие: выясните, сколько общих положительных делителей есть у чисел 585, 315, 90 и 45.
Решение
Вычислим их наибольший общий делитель, разложив число на простые множители. Поскольку 90=2·3·3·5, 45=3·3·5, 315=3·3·5·7 и 585=3·3·5·13, то таким делителем будет 5: НОД (90, 45, 315, 585) =3·3·5=32·5.
Чтобы узнать количество этих чисел, нужно выяснить, сколько положительных делителей имеет НОД.
Считаем:
НОД (90, 45, 315, 585) =32·5:(2+1)·(1+1) =6.
Ответ: у данных чисел шесть общих делителей.
Здравствуйте, дорогие читатели! Как посчитать, сколько делителей у какого-нибудь числа? Если это число маленькое, то никаких сложностей не возникает. Например, для числа 10, мы легко можем найти все делители и посчитать их количество простым перебором. А вот как узнать, на какое количество различных чисел делится, например, число 720? Можно, конечно, опять же перебрать все делители, но это будет довольно трудоемко. При чем, 720 – еще и довольно маленькое число.
Сегодня, я Вам расскажу, как находить количество делителей любого натурального числа, зная всего лишь одну простую формулу.
На самом деле, наша сегодняшняя формула будет даже проще, чем те, которые изображены на картинке выше)
Вы находитесь на канале Trifler, где я разбираю интересные математические задачи, а также рассуждаю на некоторые околоматематические темы. Если Вы искренне увлечены математикой, но еще не подписаны на этот канал, то самое время это исправить! Подписаться
Чудо-формула
Ну что ж, пора переходить от разговоров к делу.
Мы знаем, что любое натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел, которые являются его делителями. Так как один и тот же простой делитель может встречаться несколько раз, то любое натуральное числа можно записать так:
Если не совсем понятно, о чем идет речь, то потом посмотрите пример ниже. На самом деле, все очень просто.
Так вот, после того, как мы найдем такое представление числа n, количество его делителей можно будет посчитать по формуле:
Посмотрим, как все это считается на примере
Пример
Раскладываем это число на простые множители, чтобы получить нужное представление:
Теперь, запишем число 720 в каноническом виде:
Ну и все, остается только применить чудо-формулу:
Вот и все, получили, что у числа 720 имеется 30 различных натуральных делителей. Стоит сделать замечание:
По этой формуле мы считаем количество делителей вместе с единицей и самим числом.
Если Вам понравилась статья, то обязательно ставьте лайки и комментируйте ее. Это поспособствует тому, чтобы ее увидело много людей!
Читайте также ТОП-3 статьи, выпущенные в этом месяце на моем канале:
- Quincy: робот, который обучит Ваших детей математике, английскому и рисованию
- Почему вторая степень это квадрат, а третья – куб
- Необычное тригонометрическое уравнение
№2.
На отвороте
доски записаны числа:
100; 2/3;
5,6; 7; 4/17; 35/9; 0,34; 1; 12,4; 537; 6/17.
Попробуйте
разбить данные числа на группы.
Один
человек работает на втором отвороте доски.
Сколько
групп у вас получилось?
Совпало
ли ваше разбиение с тем, что на доске?
–
Как называются числа первой группы?
-Какое
самое маленькое натуральное число?
–
А самое большое?
–
Является ли 0 натуральным числом?
–
Какие действия вы умеете выполнять с этими числами?
Всегда
ли эти действия можно выполнить с натуральными числами? Бывают случаи, когда
мы не можем выполнить вычитание и деление. В этом году мы найдем выход из
этого затруднения!
–
Как называются числа второй группы?
Умеете
ли вы выполнять действия с обыкновенными дробями? А с теми, которые записаны
на доске? Одна из основных тем 6 класса – действия с обыкновенными дробями с
разными знаменателями.
–
Как называются числа третьей группы?
-Какие
действия вы умеете выполнять с этими числами?
3.
Объяснение нового материала.
Представьте,
что у вас 12 апельсинов и несколько белых подносов. Разложите апельсины на
подносы таким образом, чтобы на подносах оказалось апельсинов поровну.
На
доске учитель рисует таблицу:
|
Подносы: |
Апельсины: |
|
2 |
6 |
|
3 |
4 |
|
4 |
3 |
|
6 |
2 |
|
12 |
1 |
|
1 |
12 |
Расскажите,
как вы разместили апельсины?
Если
в первый раз не получились все возможные варианты, то учитель просит
придумать другие варианты размещения апельсинов на подносах.
С
помощью ответов детей учитель заполняет полностью таблицу.
Почему
апельсины можно разложить на 2 подноса?
А
можно ли было разложить апельсины поровну на 5 подносов? Почему?
Отложите
в сторону 3 апельсина. Разложите оставшиеся 9 апельсинов на подносы поровну.
|
Подносы: |
Апельсины: |
|
3 |
3 |
|
1 |
9 |
|
9 |
1 |
Расскажите,
как вы разместили апельсины?
С
помощью ответов детей учитель заполняет полностью таблицу.
Почему
апельсины можно разложить на 9 подносов?
А можно ли было разложить
апельсины поровну на 4 подноса? Почему?
Представьте,
что у вас 20 апельсинов и их надо одинаково разложить на подносы. «Бумажных»
апельсинов у нас больше нет, т.е. мы не можем сейчас с ними выполнить
реальное действие, как же нам тогда определить количество необходимых
подносов?
Такие
числа называют делителями данного числа. Итак, тема нашего урока – «Делители».
Давайте
сформулируем определение:
Делителем
натурального числа а называется такое натуральное число, на которое а делится
нацело.
Те
числа, которые мы получили в таблице для первых двух ситуаций, являются
делителями 12 и 9. Учитель возвращается к первой таблице и проговаривает:
2- делитель 12, т.к. 2 – натуральное число и 12 делится на 2 без остатка,
6 –делитель 12, т.к. 6 – натуральное число и 12 делится на 6 без остатка,
3 – делитель 12 т.к. 3 – натуральное число и 12 делится на 3 без остатка и
т.д.
Посмотрите
на вторую таблицу. Назовите делители 9.
№ 3.Верно ли, что: (при ответе требовать у ребенка
полное пояснение, задание записано на доске)
7 –делитель 14,
10 – делитель 20,
5 – делитель 23,
1 – делитель 6,
3 – делитель 10,
0,2 – делитель 2.
А можем ли мы всё-таки решить задачу с 20
апельсинами? Попробуйте найти делители 20.
Уверены
ли вы в том, что мы перечислили все делители данного числа?
Значит,
нам нужно придумать способ, с помощью которого находятся делители данного
числа.
Посмотрите
внимательно на таблицы и ответьте на вопросы.
-Может ли делитель быть больше
самого числа?
-Что является наибольшим делителем для каждого
числа?
– На какое число делится любое натуральное число?
– Какой вывод можно сделать?
Давайте ещё раз вернемся к таблицам, внимательно
посмотрим на числа, располагающиеся в одной строке.
Являются ли числа, записанные в одной строке,
делителями данного числа?
Учитель проговаривает и показывает в таблице: если 2
является делителем, то и 6 является делителем и т.д.
Какую закономерность можно заметить?
Такие делители называются парными.
Парными делителями натурального числа называются
такие натуральные числа, произведение которых равно данному числу.
№ 2. В тетради.
100, 7, 1, 537 2/3; 4/17; 35/9; 6/17
5,6; 0,34; 12,4
3 (если есть
другие ответы, обсудить.)
Да (если –
нет, обсудить)
Натуральные числа.
1
Такого нет.
НЕТ.
Сложение, вычитание, умножение, деление.
Нет.(В случае положительного ответа привести пример:
3-5, 10:4, но в последнем случае уточняем, что 13 не делится на 4 нацело, но
возможно осуществить деление с остатком: 13: 4=3 (ост.1 ))
Обыкновенные дроби.
Да(не все).
Нет.
Десятичные дроби.
Сложение, вычитание, деление, умножение.
На каждую парту выдаётся набор из
12 бумажных оранжевых кружков и стопки (не меньше 15) белых небольших
квадратов.
Дети работают в парах, раскладывают
апельсины.
Дети дают различные варианты
ответов. Например, 2 подноса по 6 апельсинов.
Потому что, 12 делится на 2 нацело.
Нет, т.к. на 5 подносов можно
положить по 2 апельсина, но ещё 2 апельсина останутся.
Дети работают в парах, раскладывают
апельсины.
Дети дают различные варианты
ответов.
Потому что, 9 делится на 9 нацело.
Нет, т.к. на 4 подноса можно
положить по 2 апельсина, но ещё 1 апельсина останется.
Нужно найти число, на которое 20
делиться нацело.
Дети записывают в тетрадь тему
урока: «Делители».
Выслушиваем формулировки детей.
Дети записывают определение в
тетрадь.
3 – делитель 9
1 – делитель 9
9 – делитель 9
Да, т. к. 7 – натуральное число и 14:7 нацело и т.
п.
Нет, т.к. 23 не делится на 5 нацело.
Нет, т.к. 0,2 – не натуральное число.
Дети могут привести несколько примеров.
Нет.
Нет.
Само число.
На 1.
1- делитель любого
натурального числа.
Да
Произведение
чисел в одной строке равно самому числу.(может прозвучать ответ: чем больше
первый делитель, тем меньше второй.
Дети
записывают определение в тетрадь.
Нахождение всех делителей числа
- Все делители числа
- Калькулятор нахождения всех делителей
Все делители числа
Все делители, на которые данное число делится нацело, можно получить из разложения числа на простые множители.
Нахождение всех делителей числа выполняется следующим образом:
- Сначала нужно разложить данное число на простые множители.
- Выписываем каждый полученный простой множитель (без повторов, если какой-то множитель повторяется).
- Далее, находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой и добавляем их к выписанным простым множителям.
- В конце добавляем в качестве делителя единицу.
Например, найдём все делители числа 40. Раскладываем число 40 на простые множители:
40 = 23 · 5.
Выписываем (без повторов) каждый полученный простой множитель — это 2 и 5.
Далее находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой:
| 2 · 2 = 4, |
| 2 · 2 · 2 = 8, |
| 2 · 5 = 10, |
| 2 · 2 · 5 = 20, |
| 2 · 2 · 2 · 5 = 40. |
Добавляем в качестве делителя 1. В итоге получаем все делители, на которые число 40 делится без остатка:
1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.
Других делителей у числа 40 нет.
Калькулятор нахождения всех делителей
Данный калькулятор поможет вам получить все делители числа. Просто введите число и нажмите кнопку “Вычислить”.
