Как найти пары действительных чисел найдите – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Найдите все пары действительных чисел $%(x; y) $% которые удовлетворяют неравенству
$%sqrt{x+y-1} +x^4+y^4-1/8≤0$%

Я рассуждал следующим образом. $%x+y geq 1$%, так как $%x+y-1$% находится под корнем. $%x$% и $%y$% оба меньше единицы, так как в противном случае $%x^{4}$% или $%y^{4}$% будут больше 1 и заданное неравенство будет неверно. Я взял $%x+y=1$% и получил систему

$%x+y=1$%;

$% x^{4} + y^{4} leq frac{1}{8} $%

Преобразуем неравенство, вводя замены: $%x+y=a$%; $%xy=b$%.

Получим выражение $% (a^{2}-2b) ^{2}-2 b^{2}leq frac{1}{8}$%. Подставим $%x+y=a=1$% в неравенство и получим $%(1-2b)^2-2 b^{2} leq frac{1}{8}$%

Раскрыв скобки получим $%2 b^{2}-4b+ frac{7}{8} leq 0$%

Решив его получим $%frac{1}{4} leq b leq frac{7}{4} $%.

После обратной замены получается система:

$%xy geq frac{1}{4}; xy leq frac{7}{4} ; x+y=1$% .

Решим её. Первое неравенство: $%y=1-x$%; $%x- x^{2} geq frac{1}{4}$%;
$%4 x^{2} -4x+1 leq 0$%; $% (2x-1)^{2} leq 0$%; получается единственное решение $%x= frac{1}{2}$%.

Второе неравенство:
$%x- x^{2} leq frac{7}{4} $%; $%4 x^{2}- 4x +7 geq 0$%. Его решением являются все допустимые действительные числа, так как дискриминант отрицательный.

Пересекая все решения этой системы неравенств и уравнения получаем $%x= frac{1}{2} $% . Тогда $%y= frac{1}{2}$%.

Единственное в чём я сомневаюсь, что у меня на мой взгляд очень слабое обоснование положения, что $%x+y=1$%, или даже его вообще нет Или я вообще не верно рассуждал? Заранее благодарен. С уважением.

Источник

Светило науки – 571 ответ – 6607 раз оказано помощи

Хоть решать графически и нельзя, но представить себе график функции, безусловно, можно. Итак, это парабола с ветвями, направленными вверх. Нам нужно найти такие параметры параболы, чтобы на отрезке [1; 5] эта парабола находилась в пределах от -2 до 2.
Найдём минимальное и максимальное значение функции на отрезке. Как известно, минимальное/максимальное значение функции на отрезке может достигаться на концах этого отрезка или в точке, где производная равна нулю:

Теперь запишем несколько неравенств нахождения значения функции в промежутке, одновременно преобразовывая их:

Вычтем из второго неравенства первое:

Итак, 4a должно равняться -24! Следовательно, a = -6; подставим это значение во все неравенства (в качестве проверки и нахождения b):

Итак, b может равняться только 7.

Ответ: a = -6; b = 7.

Источник

��

�� x � y, �� x¹⁰⁰ – y¹⁰⁰ =
2⁹⁹(x – y) � x²⁰⁰ – y²⁰⁰ = 2¹⁹⁹(x – y).

��

�� x = 2a � y = 2b. �� a¹⁰⁰ – b¹⁰⁰ = a²⁰⁰ – b²⁰⁰ = a – b ≠0. �� , ��
a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰ = 1; ��, �� a � b �� 1.
�� b = 0, �� a¹⁰⁰ = a, �� a = 1. �� a = 0, �� b = 1.
�� ab ≠ 0; �� 0 < |a|, |b| < 1. ��, �� f(x) = x¹⁰⁰ – x = x(x⁹⁹ – 1) �� x ∈ (–1, 0) � �� x ∈ (0, 1). �� a¹⁰⁰ – b¹⁰⁰ = a – b, �� f(a) = f(b), �� a � b �� .
� �� ,
�� a � b ��, �� (*) �� , �� . �� a � b ��, �� (*) ��, �� a⁹⁹ + b⁹⁹; ��, a⁹⁹ + b⁹⁹ < 1. � �� , �� 0 < |a|, |b| < 1, �� a⁹⁹ + b⁹⁹ > a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰ = 1. ��.

��

(2, 0) � (0, 2).

��

�� (*) �� – ��, � ��
(a⁹⁹ + a⁹⁸b + a⁹⁷b² + … + b⁹⁹)¹⁰⁰ > (a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰)⁹⁹, �� ab > 0. �� , �� , �� , �� .

��


��
��	��
��
��	2015/2016
��
��	4
��
��	10
��
��	10.8

Источник

$frac{|t - 2z|}{zt} - frac{z-2}{t} = frac{4-t}{z} - frac{5}{zt}$
Приводим дроби к общему знаменателю и переносим все z влево, а все t вправо. Не забываем про модуль!
1. Модуль больше нуля:
$frac{z^{2} - 4z}{zt} = frac{3t - t^{2} -5}{zt}$
2. Модуль меньше нуля:
$frac{z^{2}}{zt} =frac{5t - t^{2} - 5}{zt}$
Получаем систему уравнений:
$left { {{z^{2}-4=3t - t^{2}-5} atop {z^2=5t-t^{2}-5}} right.$
Причем, z не равно 0 и t не равно нулю.
Ну а дальше идет уже решение системы уравнений.
В итоге получаем , что t = 2, z = 1. Система верна только при этих значениях переменных.