Как найти pba пирамида

Способ 1

Требуется найти площадь боковой поверхности (displaystyle S_{бок}) правильной пирамиды. Эта площадь равна сумме площадей всех боковых граней.

Боковые грани правильной пирамиды – равные треугольники. Следовательно, площади боковых граней равны.

У правильной треугольной пирамиды три боковых грани. Значит,

(displaystyle S_{бок}=S_{грани}+S_{грани}+S_{грани}=3S_{грани}small. )

Вычислим (displaystyle S_{грани}small. )

(displaystyle S_{грани}=18)

Получаем:

(displaystyle S_{бок}=3 cdot S_{грани}=3cdot 18 = 54small. )

Способ 2

Воспользуемся формулой для вычисления площади боковой поверхности пирамиды.

Периметр основания правильной треугольной пирамиды равен

(displaystyle P_{осн}=3cdot AC{small .})

(displaystyle l=SK=4 )

Подставим найденные значения (displaystyle P_{осн}) и (displaystyle l) в формулу для (displaystyle S_{бок}{small :})

(displaystyle S_{бок}=frac{1}{2}P_{осн} cdot l{ small ,} )

(displaystyle S_{бок}=frac{1}{2}cdot 3 cdot AC cdot SK{ small .} )

Подставим значения (displaystyle AC) и (displaystyle SK{small :})

(displaystyle S_{бок}=frac{1}{2}cdot 3 cdot 9 cdot 4=54{ small .})

Ответ: (displaystyle 54{small .})

Онлайн-калькулятор площади поверхности пирамиды

Стоит остановиться на определении некоторых составляющих пирамиды.

У нее, как и у других многогранников, есть ребра. Они сходятся к одной точке, которая называется вершиной пирамиды. В ее основании может лежать произвольный многоугольник. Гранью называется геометрическая фигура, образованная одной из сторон основания и двумя ближайшими ребрами. В нашем случае это треугольник. Высотой пирамиды называется расстояние от плоскости, в которой лежит ее основание, до вершины многогранника. Для правильной пирамиды существует еще понятие апофемы – это перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к её основанию.

Виды пирамид

Существуют 3 вида пирамид:

1. Прямоугольная — та, у которой какое-либо ребро образует прямой угол с основанием.
2. Правильная — у нее основание – правильная геометрическая фигура, а вершина самого многоугольника является проекцией центра основания.
3. Тетраэдр — пирамида, составленная из треугольников. Причем каждый из них может быть принят за основание.

Формула площади поверхности пирамиды

Для нахождения полной площади поверхности пирамиды нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания.

Самой простой является случай правильной пирамиды, поэтому нею мы и займемся. Вычислим полную площадь поверхности такой пирамиды. Площадь боковой поверхности равна:

Полная площадь поверхности пирамиды:

Пример решения задачи.

Еще один пример, немного сложнее.

Возникают трудности с тем, чтобы найти площадь поверхности пирамиды? У нас вы можете заказать контрольную работу по геометрии!

2023-04-05   

В треугольной пирамиде $PABC$ с основанием $ABC$ известно, что $AB=13$, $PB=15$, $cosangle PBA=frac{48}{65}$. Основанием высоты этой пирамиды является точка $C$. Прямые $PA$ и $BC$ перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.
б) Найдите объём пирамиды $PABC$.

Решение:

а) Поскольку $PC$ – перпендикуляр к плоскости $ABC$, сторона $AC$ основания пирамиды – ортогональная проекция наклонной $PA$ на эту плоскость, а т.к. $PAperp BC$, то по теореме о трёх перпендикулярах $ACperp BC$. Следовательно, треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.
б) По теореме косинусов

$AP^{2}=PB^{2}+AB^{2}-2PBcdot ABcosangle PBA=225+169-2cdot15cdot13cdotfrac{48}{65}=106.$

Пусть $PH$ – высота треугольника $APB$. Из прямоугольного треугольника $PHB$ находим, что

$BH=PBcosangle PBA=15cdotfrac{48}{65}=frac{144}{13}.$

По теореме о трёх перпендикулярах $CH$ – высота прямоугольного треугольника $ABC$, проведённая из вершины прямого угла. Значит,

$BC=sqrt{BHcdot AB}=sqrt{frac{144}{13}cdot13}=12$

(см. задачу 6185).
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ABC$ находим, что $AC=5$. Тогда

$PC=sqrt{AP^{2}-AC^{2}}=sqrt{106-25}=sqrt{81}=9.$

Следовательно,

$V_{PABC}=frac{1}{3}S_{ABC}cdot PC=frac{1}{2}ACcdot BCcdot PC=frac{1}{2}cdot5cdot12cdot9=90.$