Как найти передаточное отношение механизма

Была ли эта статья полезной?

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 2 мая 2022 года; проверки требуют 7 правок.

Передаточное отношение — отношение между угловыми скоростями, либо крутящими моментами валов (в передачах), либо перемещениями (линейным или угловым). Понятие применяется в машиностроении (передачи), теории механизмов и машин, метрологии.

Ввиду большой распространённости редукторов, термин чаще всего применяют в смысле передаточного отношения механических передач. Но несмотря на отличие этого термина от передаточного числа, некоторые авторитетные издания допускают путаницу в этом вопросе^[1].

Передаточное отношение зубчатой и цепной передачи[править | править код]

Отношение угловой скорости (ω) ведущего зубчатого колеса к угловой скорости ведомого зубчатого колеса.^[2] Определение одинаково справедливо для любых типов зубчатых передач — цилиндрических, конических, гиперболоидных. Обозначение — i.

Передаточное отношение любых зубчатых и цепных передач можно определить без замеров угловых скоростей в движении, зная лишь числа зубьев всех зубчатых колёс, составляющих передачу. В общем случае для передачи из двух зубчатых колёс справедлива формула:

— то есть, число зубьев ведомого зубчатого колеса делится на число зубьев ведущего зубчатого колеса (не наоборот).

Понижающая передача[править | править код]

Зубчатая передача, в которой угловая скорость ведомого зубчатого колеса меньше угловой скорости ведущего зубчатого колеса.^[3] Передаточное отношение понижающей передачи всегда больше единицы. То же самое, что редуктор.

Повышающая передача[править | править код]

Зубчатая передача, в которой угловая скорость ведомого зубчатого колеса больше угловой скорости ведущего зубчатого колеса.^[4] Передаточное отношение понижающей передачи всегда меньше единицы. То же самое, что мультипликатор.

Передаточное число[править | править код]

Передаточное число — отношение числа зубьев большего зубчатого колеса к числу зубьев меньшего зубчатого колеса.^[5] Справедливо только для пары зацепления (зацепления только из двух зубчатых колёс). Ввиду большего числителя дроби, передаточное число больше или равно (если число зубьев совпадает) единице. Из определения следует, что передаточное число является частным случаем передаточного отношения для одноступенчатого зубчатого редуктора (понижающая передача), причём передаточное число всегда беззнаковое.

u = z_Б / z_М,

где:

z_Б — число зубьев большей шестерни зубчатого колеса;

z_М — число зубьев меньшей шестерни зубчатого колеса.

Передаточное отношение вариатора[править | править код]

Отношение частоты вращения (или угловой скорости) входного вала вариатора к частоте вращения (или угловой скорости) выходного вала вариатор.^[6] Передаточное отношение вариатора не фиксировано и может изменяться в пределах т.н. диапазона регулирования вариатора.

Передаточное отношение гидротрансформатора/гидромуфты[править | править код]

Отношение частоты вращения (или угловой скорости) выходного звена к частоте вращения (или угловой скорости) входного звена.^[7] Передаточное отношение гидродинамической передачи не фиксировано и может изменяться в пределах т.н. диапазона регулирования.

Теория механизмов и машин[править | править код]

В теории механизмов и машин, передаточным отношением звена или механизма называют отношение угловых скоростей^[8] (либо мгновенных перемещений, в случае линейного передаточного числа механизма^[9]) входного и выходного звеньев. Таким образом, отличие здесь в том, что потери механизма не учитываются (нулевые), и в некоторых случае, соотношение меняется при работе механизма (передаточное отношение при работе кривошипно-шатунного механизма). Формула для угловых координат:

, где

 — угловые скорости звеньев^[8].

В рядовых механизмах общее передаточное отношение равняется произведению частных^[8].

Метрология[править | править код]

Передаточное отношение — отношение линейного или углового перемещения указателя к изменению измеряемой величины, вызвавшей такое перемещение^[10].

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

1. ГОСТ 16530-83 Передачи зубчатые; общие термины, определения и обозначения. — официальное. — Москва: ИПК Издательство стандартов, 1983. — 51 с.
2. ГОСТ 26546-85. «Вариаторы. Общие технические условия». — Москва: Издательство стандартов, 1986. — 13 с.
3. ГОСТ 19587-74. Передачи гидродинамические; термины и определения. — Москва: ИПК Издательство стандартов, 1974. — 37 с.
4. Под ред. Скороходова Е. А. Общетехнический справочник. — М.: Машиностроение, 1982. — С. 416.
5. Гулиа Н. В., Клоков В. Г., Юрков С. А. Детали машин. — М.: Издательский центр “Академия”, 2004. — С. 416. — ISBN 5-7695-1384-5.
6. Анурьев В. И. Справочник конструктора-машиностроителя : в 3 т. / под ред. И. Н. Жестковой. — 8-е изд., перераб. и доп. — М. : Машиностроение, 2001. — ББК 34.42я2. — УДК 621.001.66 (035)^(G). — ISBN 5-217-02962-5.
7. Курмаз Л. В. Детали машин. Проектирование// Л. В. Курмаз; А. Т. Скойбеда — 2-е изд., испр. и доп. — Мн.: УП «Технопринт», — 2002. — 296с.,ил.
8. Чернавский С. А., Боков К. Н. Курсовое проектирование деталей машин. — 1988.

На практике для решения различных технических задач механизмы создаются с кинематической схемой, имеющей постоянное или переменное передаточное отношение.

Общее определение

Значение передаточного отношения у кинематических схем рассчитывается по стандартному математическому выражению. Результат получается при проведении математической операции деления значения угловой скорости ведущего вала или шестерёнки, на такой же параметр ведомого вала. Вместо этих значений используют отношение их частот вращения.

Современные кинематические схемы реализованы с использованием следующих механических соединений:

• с зубчатым зацеплением (в разных вариациях);
• червячных;
• фрикционных соединений;
• с помощью цепей;
• посредством специальных ремней;
• планетарных соединений.

Передача вращения основана на двух физических принципах: с помощью силы трения, с использованием механизмов зацепления. В зависимости от решаемой задачи механизмы изготавливаются с замедлением и ускорением. Первые называются редукторами, вторые – мультипликаторами. Обе разновидности бывают одноступенчатыми, двухступенчатыми, многоступенчатыми.

Пространственное расположение осей определяет следующие виды механизмов:

• параллельные (в них оба вала расположены параллельно друг относительно друга);
• пересекающиеся (зацепление происходит посредством пересечения);
• перекрещивающиеся механизмы (у них валы вступают в перекрестное зацепление).

Все типы механизмов бывают замедляющие и ускоряющие движение. Наиболее частое применение замедляющих конструкций объясняется более высокой скоростью используемых двигателей и необходимостью увеличить мощность выходного элемента кинематической схемы.

В зависимости от соотношения скоростей возникает вопрос: может ли передаточное отношение быть отрицательным? Этот коэффициент является отношением величин имеющих только положительные значения. Он не может быть отрицательным. В зависимости от отношения числителя к знаменателю результат получиться больше единицы или меньше. В первом случает, он справедлив для редукторов, во втором для мультипликаторов.

Таблица передаточных отношений является сводным документом. В ней приведены значения основных технических характеристик всех типов кинематических соединений.

В сводной таблице можно найти зависимость значения передаточного числа от допустимой мощности, которая передаётся конкретным видом соединения.

Зубчатая передача

Это механическое соединение двух или более вращающихся валов при помощи специальных колёс, на поверхности которых выточены зубья. Такой тип подразделяется по следующим характеристикам:

• форме и типу зубьев;
• относительному расположению валов в корпусе;
• расчётной скорости вращения колёс;
• степени защиты от внешних воздействий.

Важную роль в понимании работы всего механизма играет передаточное отношение зубчатой передачи. Его вычисляют, используя классическое выражение. Оно находится с подстановкой различных параметров. Например, подсчитывая численность изготовленных зубьев на ведущем и ведомом колесе. Формула позволяет получать результаты с высокой степенью точности:

Где i₁₂ – передаточное отношение от звена 1 к звену 2 (звено 1 – ведущее, звено 2 – ведомое; d₁,d₂ – диаметры звеньев; z₁, z₂ – количество зубьев звеньев (если таковые имеются); M1, M2 – крутящие моменты звеньев; ω₁, ω₂ – угловые скорости звеньев; n₁, n₂ – частоты вращения звеньев.

В большей степени он зависит от количества зубьев расположенных на шестерёнке. Существенным достоинством зубчатого соединения является постоянство расчётного и реального передаточного отношения. Она связано с отсутствием эффекта проскальзывания.

Существенное влияние на величину этого показателя оказывает применяемое количество шестерней и число зубчатых колёс.

Для цилиндрической передачи этот параметр кроме приведенных выше параметров зависит от межосевого расстояния. Цилиндрические зубчатые передачи распространены в различных агрегатах легковых и грузовых автомобилей, тракторов, сельскохозяйственной техники. Их активно используют в трансмиссии.

Зубчатая передача обладает самым большим коэффициентом передачи мощности. Она способна отдавать мощность до 4500 кВт с передаточным числом достигающим 6,3.

Распространение получили зубчатые конструкции конического типа. Они обладают ортогональным сочленением. Расчёт конической передачи предполагает учёт таких параметров как: делительные диаметры, углы конусов, количество зубьев.

Для получения поступательного движения применяется реечное соединение. Конструктивно она состоит из шестерёнки, рейки с нанесёнными зубьями. Для реечной передачи учитывают диаметр окружности и количество зубьев на колесе, число зубьев расположенных на рейке.

Планетарная передача

Широко применяется так называемая планетарная кинематическая схема. Она представляет собой механизм, предназначенный для передачи, преобразования вращательного движения. С этой целью используются зубчатые колеса, расположенные на перемещающейся оси. Конструктивными элементами являются: центральные зубчатые колеса, закреплённые на неподвижных осях, боковые зубчатые колеса (расположены на перемещающихся осях). Для обеспечения наилучшего эффекта планетарные механизмы изготовляются на параллельных осях.

Максимальное значение передаточного числа достигает 9 единиц.

Коэффициент полезного действия достаточно высокий. Его значение приближается к 0,98. Наиболее распространёнными являются конструкции, в которых применяются нескольких сателлитов. Их располагают с угловыми шагами равной величины.

Такие конструкции выполняются с постоянным или переменным передаточным отношением. Некоторые из них имеют возможность регулировки этого параметра. Они разработаны обратимыми и необратимыми. В обратимых образцах предусмотрено движение в прямом и обратном направлении. В необратимых конструкциях такое движение невозможно. Изменение передаточного отношения бывает ступенчатым или бесступенчатым. Ярким представителем первого агрегата является механическая коробка передач автомобиля. Второй вариант применяется в вариаторах.

Рассмотренные передаточные отношения передач рассчитываются на этапе проектирования агрегата при выборе кинематической схемы. С их помощью производится выбор типа соединения, определяется эффективность. Оценивается надёжность всего механизма.

Цепная передача

Хорошо известна цепная передача. Она относится к гибким конструкциям. Передаточное отношение цепной передачи рассчитывается расчёту зубчатых систем. Ведущая и ведомая звёздочка рассматриваются как зубчатые колеса. Значение этого параметра достигает 15. Особенностью такой конструкции считается требование иметь определённое провисание цепи. Настройка этого параметра проводится с помощью специального регулирующего винта.

Достоинства подобного соединения сводятся к следующему:

• низкая критичность к возможным ошибкам при установке валов.
• передача мощности производится с использованием нескольких звездочек;
• длина передачи вращения может быть достаточно большой.

К недостаткам можно отнести быстрый износ соединительных элементов цепи. Это требует периодической смазки. Вторым недостатком считается высокий уровень шума.

Кроме передаточного числа для них рассчитывается величина статистической разрушающей силы. Этот параметр зависит от требуемого коэффициента безопасности. Его задают в интервале от 6 до 10. Он обеспечивает качественную работу всего механизма, высокую надёжность соединения и долговечность.

Червячная передача

Необходимость изменения вращательного движения под углом требует создания специального вида систем. К таким конструкциям относится червячная передача. Основной элемент такой передачи может быть цилиндрической формы, глобоидным, эвольвентным, архимедовым винтом. Это зависит от поверхности, на которой расположена резьба, и профиля резьбы.

В качестве параметров, используемых для расчёта передаточного числа подставляемых в выражение, используют существующее количество заходов червячного механизма. Обычно оно варьируется от одного до четырёх. Таблица передаточных отношений для червячной схемы позволяет рассчитать необходимое количество элементов зацепления. Приведенные в этой таблице данные, помогают правильно выбрать соединения для конкретного механизма.

Основными недостатками передачи являются:

• высокая температура нагрева элементов во время передачи вращения;
• наличие эффекта проскальзывания;
• затормаживание и заедание;
• низкий КПД;
• как следствие невысокую надёжность.

Ременная передача

Данная конструкция является часто встречающейся. Её тип определяется расположением вала и направлением движения ремня. Их классифицируют следующим образом:

• открытого типа;
• перекрестной формы;
• ступенчатой системы;
• угловой.

Для повышения надёжности применяют спаренное соединение. Реализация подобных конструкций производится с помощью ремней различного сечения. Наиболее популярными являются три типа: прямоугольные, в форме трапеции, круглого сечения.

Значение передаточного отношения рассчитывается подстановкой в классическую формулу скоростей вращения ведущего и ведомого валов. Иногда в расчёте используют число оборотов каждого из валов. В качестве альтернативного варианта при расчёте этого параметра используются величины диаметров (радиусов) шкивов.

1. Передаточное отношение, передаточное число

Передаточное
отношение –
это отношение мгновенных угловых или
линейных скоростей ведущего
и ведомого
звеньев. u
= ω₁/ω₂.

Передаточное
число – это
отношение чисел зубьев или диаметров
(радиусов)
ведомого и ведущего звеньев.
i
= z₂/z₁.

В
производственном лексиконе эти два
понятия зачастую путают, поскольку в
численном выражении u
= i.
Определим u
и
i при
последовательном и параллельном
соединении зубчатых колес.

Последовательное
соединение (рис.4.3).

u
_1-4
= ω₁/ω₂*
ω₂/ω₃*
ω₃/ω₄
= ω₁/ω₄

i
_1-4
=
z₂/z₁*
z₃/z₂*
z₄/z₃
= z₄/z₁

Видим,
что промежуточные шестерни z₂
и z₃
не влияют
на передаточное отношение и передаточное
число. Эти шестерни называются паразитными.
Они

Рис.
4.3 устанавливаются
в двух случаях:

1 – для изменения направления
вращения; 2 – для получения большого
межосевого расстояния при малых
поперечных габаритах передачи.

Параллельное
соединение (рис.4.4).

u
_1-4
= ω₁/ω₂*
ω₃/ω₄
= ω₁/ω₄,

ω₂
= ω₃
– это один вал.

i
_1-4
=
z₂/z₁*
z₄/z₃

При
параллельном соединении нет паразитных
шестеренок. Больше того, у зубчатых
колес 1-й ступени (z₁
и z₂)
модуль меньше чем модуль колес 2-й ступени
(z₃
и z₄),
поскольку крутящий момент на входе 1-й
ступени в i
_1-2
= z₂/z₁
раз меньше
момента на входе 2-й ступени (при условии,
что обе

Рис.
4.4 ступени
редукторные, то есть

z₂
> z_1
; z₄
> z₃
, соответственно
i
_1-2 >
1 и
i
_3-4
> 1).

Редуктор
–понижает
обороты, но увеличивает крутящий момент.

Мультипликатор
– повышает
обороты, но понижает крутящий момент.

1. Силы в зацеплении цилиндрических зубчатых колес

В

цилиндрической косозубой
передаче силу в зацеплении раскладывают
на составляющие (рис.4.5).

Окружная
сила F_t
определяется
по формуле

F_t
= 2T₁/d₁
,
(4.1)

где
T₁
– крутящий
момент на валу шестерни;

d₁
– делительный
диаметр
шестерни .

Радиальная сила
равна

F_r
= F_t*tq
α/cos
β
, (4.2)

Рис. 4.5

где
α = 20^о
– стандартный
угол эвольвентного зацепления;
β
– угол
наклона зубьев.

Осевая сила равна

F_а
= F_t*tq
β
(4.3)

В
цилиндрической прямозубой
передаче β
= 0, поэтому
F_r
= F_t*tq
α, а F_а
= 0.

1. Прочностной расчет цилиндрических зубчатых передач

В инженерной
практике может возникнуть необходимость
в двух видах расчетов: проверочном и
проектировочном. В первом случае Вам
известны все элементы передачи, а так
же крутящие моменты на валах. Задача –
определить напряжения и сравнить с
допустимыми. Во втором случае необходимо
найти элементы передачи, удовлетворяющие
условию прочности.

Зубчатые
передачи рассчитывают на контактную
прочность (σ_H
≤ [σ_H])
и на изгиб зубьев (σ_F
≤ [σ_F])
.

1. Расчет зубьев на контактную прочность

Расчеты на контактную
прочность базируются на формуле Герца

,
(4.4)

где
q –
нагрузка на единицу длины контактной
линии;

Е
= 2*Е₁*Е₂/(
Е₁+Е₂)
– приведенный
модуль упругости материалов зубчатых
колес; ρ_пр
= ρ₁*ρ₂/(
ρ₁+ρ₂)
– приведенный
радиус кривизны контактирующих элементов;
μ
– коэффициент Пуассона.

Опуская
промежуточные выкладки (они описаны в
приведенной литературе), запишем условия
контактной прочности: прямозубых передач

;
(4.5)

косозубых передач

.
(4.6)

Здесь
a_w
= a
– межосевое
расстояние; Т₂
– крутящий
момент на валу зубчатого колеса;

b₂
– ширина
колеса; u –
передаточное отношение пары зацепления;

K_H
= K_Ha*
K_Hβ*
K_Hv
– комплексный коэффициент. K_Ha
– учитывает неравномерность распределения
нагрузки между зубьями; K_Hβ
– учитывает неравномерность распределения
нагрузки по ширине венца; K_Hv
– зависит от скорости и степени точности
передачи. Значения коэффициентов даны
в литературе.

Допускаемое
контактное напряжение [σ]_H
определяется по формуле

[σ]_H
= σ_{Н lim
b}*K_НL/[n]_Н
, (4.7)

где
σ_Н
lim
b
– предел контактной выносливости при
базовом числе циклов нагружения;

K_НL
– коэффициент,
учитывающий число циклов ( в большинстве
случаев принимают K_НL
= 1); [n]_Н
– коэффициент безопасности; для колес
из нормализованной и улучшенной стали,
а также при объемной закалке принимают
[n]_Н
= 1,1…1,2; при
поверхностном упрочнении зубьев [n]_Н
= 1,2…1,3.

σ_Н
lim
b
определяются
по формулам (см. таблицу 4.1).

Таблица
4.1

Способы термохимической обработки зубьев	Твердость поверхностей зубьев	Сталь	σН lim b, МПа
Нормализация или улучшение	< НВ 350	Углеродистая и легированная	2 НВ + 70
Объемная закалка	38…50 НRС	Углеродистая и легированная	18 НRС + 150
Поверхностная закалка	48…54 НRС	Углеродистая и легированная	17 НRС + 200
Цементация и нитроцементация	56…63 НRС	Низкоуглеродистая	23 НRС
Азотирование	57…67 НRС	Легированная (38ХМЮА)	1050

В
таблице НВ
– твердость
по Бринеллю; НRС
– твердость
по Роквеллу. 1
НRС ≈ 10 НВ

Предположим,
Вы применили углеродистую Сталь 45,
термообработка – нормализация,
твердость НВ
200. Тогда σ_Н
lim
b
= 2 НВ + 70 = 470 МПа. Эта же сталь при объемной
закалке может дать твердость 40
НRС. В этом
случае

σ_Н
lim
b
= 18 НRС + 150 = 870 МПа. А если Вы применили
Сталь 12ХН3А, термообработка – цементация
и закалка, твердость
60 НRС,
то

σ_Н
lim
b
= 23 НRС
= 1380 МПа. Разница весьма существенная.
Учитывая, что межосевое расстояние (a_w)
обратно пропорционально допускаемому
напряжению (формулы 4.5 и 4.6), габаритные
размеры в 1-м и 3-ем случаях будут отличаться
почти в 3 раза. Если бы шестерни в коробках
передач автомобилей делали из не
термообработанной стали, то коробки
пришлось бы возить в кузове.

Для
косозубых передач рекомендуется
допускаемое контактное напряжение
определять по формуле

[σ]_H
= 0,45*([σ]_H1
+ [σ]_H2),
(4.8)

где
[σ]_H1
и [σ]_H2
– допускаемые контактные напряжения
соответственно для шестерни и колеса.

По
формулам (4.5) и (4.6) проводится проверочный
расчет. При проектировочном расчете из
формул выделяют a_w.
При этом ширина колеса b₂
заменяется выражением b₂
= Ψ_ba*
a_w.
Ψ_ba
– коэффициент ширины зубчатого венца.
Рекомендуется:

для
прямозубых передач Ψ_ba
= 0,125…0,25; для косозубых передач

Ψ_ba
= 0,25…0,40. В результате получают формулы
для проектировочного
расчета:

прямозубых
передач

(4.9)

косозубых
передач

(4.10)

В
формулах (4.5); (4.6); (4.9); (4.10) для получения
требуемой размерности крутящий момент
Т₂
следует подставлять в Н*мм.

После
определения межосевого расстояния
выбирают стандартный
нормальный модуль в
интервале

m
= m_n
=
(0,01…0,02)*a_w..

Определяют
суммарное число зубьев, предварительно
задавшись углом наклона зубьев (для
косозубых колес) в интервале β
= 8…15^о.

z_∑
= 2*a_w*cos
β/m_n
(4.11)

Определяют
числа зубьев шестерни и колеса

z
₁
= z_∑/(u
+ 1); z
₂
= z
₁*
u (4.12)

При
расчетах числа зубьев могут получиться
не целыми. Их округляют до ближайших
целых чисел и уточняют: для прямозубых
передач – межосевое расстояние; для
косозубых – угол наклона зубьев.

Затем,
по зависимостям, приведенным в п.4.1.1,
определяют все остальные элементы
шестерни и колеса.

В
завершение проводят проверку контактных
напряжений по формулам (4.5) или (4.6). В
случае невыполнения условия прочности
увеличивают b₂
(при малых расхождениях σ_H
и [σ]_H)
или увеличивают a_w
(при значительных расхождениях σ_H
и
[σ]_H).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Определение передаточных отношений различных передач:

Передаточное отношение — основная кинематическая характеристика любой передачи.

Передаточные отношения определяются при помощи тех или иных геометрических элементов звеньев передачи. Найденное его значение выражает отношение угловых скоростей

Даны формулы, при помощи которых определяются передаточные отношения различных простейших передач, составленных из пары звеньев.

Передаточное отношение сложной передачи — передачи, составленной из нескольких простейших передач, равно произведению передаточных отношений простейших передач:

Передаточное отношение между двумя элементами передачи считается положительным, если оба элемента вращаются в одну сторону, например пара зубчатых колес с внутренним зацеплением.

Передаточное отношение между двумя элементами считается отрицательным, если оба элемента вращаются в противоположные стороны, например пара зубчатых цилиндрических колес с внешним зацеплением.

Задача №1

На каком расстоянии х необходимо установить каток 2 лобовой фрикционной передачи (см. эскиз к лобовой передаче в табл. 6), чтобы при угловой скорости = 400 об/мин катка 1 каток 2 вращался со скоростью = 500 об/мин? Диаметры катков

Определить также, какие наименьшую и наибольшую угловые скорости может получить вал катка 2 при различных положениях последнего.

Решение.

1.    Необходимое значение х (расстояние от катка 2 до оси катка I) найдем непосредственно из формулы передаточного отношения любой передачи:

2.    Если начать передвигать каток 2 ближе к краю катка 1 (увеличить х), то точки на ободе катка 2 будут вступать в контакт с точками на торцовом поверхности катка 1, имеющими возрастающую скорость (по зависимостии в данном случае и благодаря силе трения станут приобретать такую же большую скорость.

Если в выражение
вместо х подставить наибольшее, теоретически возможное значение х — (практически xmas несколько меньше то

3.    Если каток 2 установить у противоположного края катка 1, то угловая скорость у катка 2 также получится 10000 об/мин, но он будет вращаться в обратную сторону.

Таким образом, при

Благодаря способности изменять направление вращения вала, на котором укреплен каток 2, лобовую фрикционную передачу называют фрикционным вариатором (передача, способная варьировать направлением вращения).

4.    При х = 0 (положение катка 2 совпадает с осью катка 1)

Точки на ободе катка 2 касаются практически неподвижных точек на торце катка 1 и поэтому не двигаются.

Иначе говоря, если в выражении принять то

Но так как

Задача №2

Передача вращательного движения между валами I и II осуществляется при помощи четырех зубчатых колес, два из которых помещены на промежуточных валах (рис. 232, а). Числа зубьев колес:  

Модуль зубчатых колес m = 5 мм. Определить передаточное отношение межосевое расстояние А и габариты передачи L. Как изменятся габариты, если передачу осуществить при помощи лишь двух колес того же модуля?

Решение.

1.    Передаточное отношениев данном случае равно произведению трех передаточных отношений между соседними колесами:

Как видно, зубчатые колеса, находящиеся на промежуточных осях, не влияют на величину передаточного отношения; поэтому их иногда называют «паразитными».

2.    Находим межосевое расстояние А (см. рис. 232, а):

где — диаметры начальных окружностей зубчатых колес.

Подставляем вместо значений диаметров их выражения через модуль m и соответствующие числа зубьев:

Откуда

3.    Находим габариты передачи L (см. рис. 232, а):

4.    Если осуществить передачу при помощи двух колес с числами зубьев того же модуля, оставляя при этом межосевое расстояние передачи неизменным, то оно выразится так (рис. 232, б):

Здесь имеются два неизвестных но учтя, что передаточное отношение остается неизменным, получаем второе уравнение:

Из уравнения (2)

(как уже известно,

Подставим найденное значение в уравнение (1)

откуда

Теперь, зная число зубьев, легко определить габариты двухколесного варианта передачи:

Как видно, габариты увеличиваются на 300 мм, т. е почти в 1,5 раза (на 47,5%).

Отсюда следует сделать вывод, что при значительных межосевых расстояниях, которые по конструктивным причинам нельзя уменьшить, целесообразнее (для уменьшения габаритов) применять рядовое соединение нескольких зубчатых колес.

Задача №3

Какую угловую скорость л, нужно сообщить валучтобы при помощи передачи, показанной на рис. 233, вал IV вращался со скоростью —450 об/мин? Числа зубьев колес: коническихцилиндрическогос внутренним зацеплениемдиаметры шкивов

Решение.

1.    Передаточное отношение от вала I к валу IV равно в данном случае произведению трех передаточных отношений:

где — передаточное отношение конической зубчатой пары: г,

передаточное отношение цилиндрической пары с внутренним зацеплением;

— передаточное отношение ременной передачи.

2.    Таким образом,

После подстановки в эту формулу числовых значений получаем, что угловая скорость первого вала

 

Задача №4

Изображенный на рис. 234 механизм лебедки при вращении рукоятки, имеющей длину I, в вертикальном на-

правлении перемещает груз Р. Диаметр барабана d = 200 мм, число зубьев зубчатых колес механизма:

Определить: 1) с какой скоростью поднимается груз Р, если рукоятка / вращается с угловой скоростью я, =60 об/мин.

2) угловую скорость рукоятки, если груз должен подниматься со скоростью = 0,2 м/сек.

Решение.

1.    Если рукоятка l, жестко соединенная с колесом делает об/мин, то колесо а также жестко соединенный с ним бара бан получают в минуту число оборотов, равное

где– передаточное отношение от колеса к колесу причем и, следовательно,

2. Так как барабан, вращаясь, делает об/мин, то окружная скорость точек на поверхности барабана
Скорость подъема груза Р равна окружной скорости и, следовательно,

3.    Если нужно поднимать груз со скоростью то и барабан должен вращаться так, чтобы его точки двигались с окружной скоростью при этом число оборотов в минуту барабана

4.    Если же барабан и вместе с ним колесо имеют об/мин, то колесо с рукояткой делают об/мин, причем

Такая угловая скорость рукоятки при ручном приводе, конечно, неосуществима.

Следующие две задачи рекомендуется решить самостоятельно.

Определение передаточных отношении простейших планетарных и дифференциальных передач

Планетарными называются передачи, в которых оси одного или нескольких колес закреплены в подвижном звене—водиле.

Любая планетарная передача состоит из трех групп элементов. Первая группа – центральные колеса (колеса, расположенные на неподвижных осях), вторая группа – сателлиты (колеса, расположенные на подвижном звене – водиле) и третья группа — водила.

На рис. 237 показана схема передачи, состоящей из нейтрального колеса 1, сателлита 2 и водила H.

В общем случае центральное колесо и водило могут получать вращение от двух источников независимо друг от друга Такая

передача имеет две степени свободы и называется дифференциальной.

Если закрепить центральное колесо, то получается передача с одной степенью свободы — движение можно передавать либо от водила к сателлиту, либо от сателлита к водилу-• такая передача называется простой планетарной (рис. 238).

Чтобы в процессе решения задач глубже проанализировать кинематику планетарных передач, целесообразно не пользоваться готовыми выведенными в учебниках формулами, а применять метод сложения двух движений.

Сателлиты планетарных передач совершают сложное вращательное движение. Движение сателлитов относительно Земли (относительно неподвижной системы координат) складывается из вращения их вместе с водилом — переносного движения и вращения их вокруг осей, закрепленных в водиле, — относительного движения.

Метод сложения двух движений можно распространить и на центральные колеса. Так, например, закрепленное центральное жолесо простой планетарной передачи можно считать вращающимся вместе с воднлом и одновременно поворачивающимся на их общей оси в обратную сторону с такой же скоростью, что и водило.

Поэтому метод, который подробно изложен в решениях задач, включает следующие четыре этапа:

• 1. Мысленно закрепляем все колеса на водиле и придаем ему вращение с угловой скоростью водила относительно его собственной неподвижной оси – получаем первое движение.
• 2. Освобождаем колеса от водила. Водило мысленно закрепляем (превращаем планетарную передачу в обычную зубчатую передачу с неподвижными осями) и поворачиваем центральное колесо с угловой скоростью — т. е. с угловой скоростью, равной разности абсолютных скоростей водила и центрального колеса, но в обратную сторону относительно направления вращения водила. В результате этого движения центрального колеса все остальные колеса передачи получают соответствующие угловые скорости, определяемые при помощи передаточных отношений. Так получается второе движение.
• 3. Угловые скорости всех элементов передачи, получившиеся в первом и втором движениях, складываем.
• 4. Из получившихся в результате сложения действительных зависимостей между угловыми скоростями определяем неизвестные в задаче величины.

Введем такие обозначения:

-угловые скорости, выраженные в об/мин (рад/сек), зубчатых колес (центральных или сателлитов), дифференциальных передач, индексы соответствуют нумерации колес; — угловая скорость водила в дифференциальной передаче;

угловые скорости колес или водила в простой планетарной передаче (с закрепленным колесом) обозначим теми же буквами, но с верхними индексами в скобках, соответствующих закрепленному колесу, например– угловая скорость второго колеса при закрепленном первом;– угловая скорость водила при закрепленном первом и т. д.

Аналогично обозначим и передаточные отношения:

• передаточное отношение от колеса 1 к колесу 2 при неподвижном водиле;
• —передаточное отношение от колеса 2 к водилу при неподвижном первом колесе;
• — передаточное отношение от колеса 1 к водилу в дифференциальной передаче и т. д.

При решении задач с планетарными передачами необходимо очень внимательно следить за правильностью определения знаков передаточных отношений между отдельными элементами передачи. 

Задача №5

Определить передаточное отношение от сателлита 2 к водилу Н для простой планетарной передачи, показанной на рис. 238, если числа зубьев колес

Решение.

1.    Осуществим первое движение. Закрепим колеса 1 и 2 на водиле и сообщим водилу вместе с колесами вращательное движение с угловой скоростью Следовательно, в этом движении колеса 1 и 2 также получают угловую скорость

2.    Осуществим второе движение. Освободим колеса от водила. Закрепим водило, т. е. превратим простую планетарную передачу в обычную зубчатую передачу, состоящую в данном случае из пары зубчатых колес.

3.    Угловая скорость центрального колеса в механизме так как колесо 1 закреплено. Поэтому во втором движении колесу 1 сообщаем скорость

В результате вращения колеса1 колесо 2 приобретет угловую скорость

так как передаточное отношение от колеса 1, вращающегося со скоростью

ко второму колесу при закрепленном водиле отрицательное и равно

Приведенные результаты заносим в табл. 7, в нижней графе которой затем осуществляем третий этап — сложение обоих значений.

4.    Находим передаточное отношение отсателлита 2 к водилу:

Таким образом,

Так как в данном случае передаточное отношение от колеса 2 к колесу 1 при закрепленном водиле имеет отрицательное значение

то окончательно

(a)

Но при помощи передачи, изображенной на рис. 238, неудобно передавать вращательное движение, так как необходимо дополнительное приспособление, чтобы сообщить угловую скорость сателлиту.

Аналогичная, но несколько видоизмененная простая планетарная передача рассматривается в следующей задаче.

Задача №6

Определить передаточное отношение от колеса 2 к водилу Н простой планетарной передачи с закрепленным колесом внутреннего зацепления (рис. 239), если

Решение:

1.    Так же как и в предыдущей задаче, осуществим сначала первое движение, и тогда все элементы механизма (водило H, колеса 1,. 2 и 3) получат угловую скорость

2.    Превратим планетарную передачу в обычную, закрепив водило. Освободим колеса и осуществим

второе движение–сообщим колесу 3 угловую скорость — . Тогда колесо 2 приобретет угловую скорость

а колесо / – угловую скорость

3.    Сведем результаты обоих движений в табл. 8 и произведем сложение угловых скоростей.

4.    Найдем передаточное отношение

Подставим в (б) числовые значения чисел зубьев:

Таким образом, если к передаче подвести угловую скорость слева (к колесу 1), то справа (у водила Н) угловая скорость уменьшится в шесть раз.

Если в выражении передаточного отношения (б) заменить-обозначением – то

Сравнивая выражение (в) с выражением (а) из предыдущей задачи, замечаем, что они аналогичны.

Как видно, эти передачи не дают большого кинематического эффекта по сравнению с обычными передачами с неподвижными осями: передаточные отношения отличаются только на единицу.

Чтобы увеличить передаточное отношение, передачи, рассмотренные в задаче 202-40, соединяют последовательно.

Задача №7

Определить передаточное отношение для простой планетарной передачи, показанной на рис. 241, если числа зубьев колес

Решение.

1.    Осуществим первое движение (см. табл. 9).

2.    Осуществим второе движение при закрепленном водиле, сообщив вращение колесу 3 (см. табл. 9).
3 Записав угловые скорости каждого элемента в первом и втором движении, сложим их (табл. 9).

4. Находим передаточное отношение

Особенно большим получается передаточное отношение, если

близко к единице. Так, например, при

Следовательно, простая планетарная передача, состоящая всего из четырех колес, уменьшает угловую скорость в 10 тысяч раз.

Такие передачи создают большой кинематический эффект, но они имеют и крупный недостаток — крайне низкий коэффициент полезного действия (около 0,5%).

В следующей задаче рассматривается дифференциальная передача.

Задача №8

Определить угловую скорость водила Н и колеса 2 дифференциального зубчатого механизма (рис. 242), если число зубьев колес угловая скорость колеса = 120об/мин, угловая скорость колеса при направлении вращения в обратную сторону относительно колеса 1

Решение.

1 Осуществим первое движение. Закрепив жестко все колеса на водиле, сообщим последнему угловую скорость тогда все три колеса получат ту же самую угловую скорость.

2. Освободив колеса от водила и закрепив его, сообщаем колесу 1 угловую скорость —об/мин. Тогда колесо 2 получит скорость

а колесо 3

3.    Сведем все результаты в табл. 10.

4. Число оборотов в минуту водила найдем из равенства

откуда

Водило И вращается с угловой скоростью 15 об/мин в ту же сторону, что и колесо 3.

5. Число оборотов в минуту колеса 2 определяем из равенства

но предварительно необходимо определить число зубьев

Из рис. 242 ясно, что

или

Так как модули всех колес равны между собой, то

откуда

и теперь
Таким образом, бегающее колесо (сателлит) вращается вокруг своей оси со скоростью 150 об/мин в ту же сторону, что и водило, и колесо 3.