Как найти перемещение шарика

Мы уже знаем, что для определения положение тела в любой момент времени, необходимо знать вектор перемещения, так как именно он связан с изменением координат движущегося тела. Проекции вектора перемещения тела на координатные оси просто равны изменениям его координат.

— Но как найти вектор перемещения? Что для этого нужно знать?

Ответ на этот вопрос зависит от того, какое движение совершает тело.

Рассмотрим сначала самый простой вид движения — равномерное прямолинейное движение (сокращённо РПД).

Из седьмого класса вы знаете, что движение, при котором за любые равные промежутки времени тело проходит одинаковые пути, называется равномерным.

— А что означают слова «за любые равные промежутки времени»?

Ответим на этот вопрос, проведя следующий опыт. Возьмём вертикальную трубку, заполненную вязкой жидкостью, например, густым сахарным сиропом, и проследим за падением маленького металлического шарика в ней. Будем отмечать положение шарика через равные промежутки времени, например, через каждые 5 секунд.

Не трудно заметить, что за равные промежутки времени, шарик совершает одинаковые перемещения.

Уменьшим промежутки времени, например, в два раза.

Как видим, во столько же раз уменьшаются и перемещения шарика, но по-прежнему за равные промежутки времени они будут равны.

Таким образом, равномерное прямолинейное движение — это такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

Конечно же в реальной жизни очень трудно создать такие условия, чтобы тело двигалось равномерно в течение длительного промежутка времени. Поэтому равномерное движение является моделью реального движения тел.

Вы знаете, что в случае прямолинейного движения тела в одном направлении перемещение тела непрерывно возрастает. Чтобы найти перемещение за некоторый промежуток времени, надо знать, как быстро оно возрастает. Быстроту этого возрастания характеризует скорость.

Скорость равномерного прямолинейного движения — это векторная физическая величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за который оно совершено.

Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна. Иными словами, с течением времени не изменяется ни её модуль, ни её направление.

Единицей скорости в СИ является метр в секунду. Скорость показывает, какое перемещение тело совершает в единицу времени.

Так как векторная величина имеет не только числовое значение, но и направление, то по формулам, записанным в векторном виде, вычисления вести нельзя. Поэтому при вычислениях пользуются формулами, в которые входят не векторы, а их проекции на оси координат:

На прошлых уроках мы с вами говорили о том, что основной задачей механики является определение координаты тела в любой момент времени. Получим формулу для вычисления координаты тела для равномерного прямолинейного движения. Для этого рассмотрим равномерное движение лодки по прямолинейному участку реки.

Для описания движения лодки воспользуемся одной координатной осью, например Ox, выбрав в качестве начала отсчёта дерево на берегу реки. Лодку будем рассматривать как материальную точку.

Полученное уравнение называется кинематическим законом движения или уравнением движения.

Из него следует, что для определения координаты движущегося тела в любой момент времени, необходимо знать его начальную координату и проекцию скорости движения на ось.

Необходимо помнить, что в формуле υ_х — это проекция вектора скорости. А она, как всякая проекция вектора, может быть больше или меньше нуля. Если направление движения совпадает с направлением оси Ох, то проекция скорости положительна. Если же направление вектора скорости противоположно направлению оси, то его проекция на эту ось отрицательна. Координата начального положения тела тоже может быть больше или меньше нуля, так как в момент начала наблюдения тело может находиться и по одну, и по другую стороны от начала отсчёта.

Для большей наглядности, движение можно описывать с помощью графиков. Рассмотрим, как строятся такие графики на конкретном примере. Саша и Маша идут навстречу друг к другу. Они движутся равномерно и прямолинейно. Модуль скорости Саши равен двум метрам в секунду, а Маши — одному метру в секунду.

Выберем координатную ось Ox, направив её в сторону движения Саши. Будем считать, что в момент начала наблюдения координата Саши равнялась 2 метрам, а Маши — 8 метрам. Построим графики зависимости проекции скорости движения Саши и Маши от времени. Для этого сначала найдём проекции их скоростей на координатную ось. При этом учтём, что направление вектора скорости Саши совпадает с направлением оси Ox, а Маши — нет. Так как скорости движения детей не меняются со временем, то графиками зависимости проекций их скоростей от времени будут прямые линии, параллельные оси времени.

По графику скорости можно определить перемещение тела за данный промежуток времени: при прямолинейном равномерном движении тела проекция вектора его перемещения численно равна площади прямоугольника, заключённого между графиком скорости, осью времени и перпендикулярами к этой оси, восставленными из точек, соответствующих моментам начала и конца наблюдения.

Теперь построим график проекции перемещения. Согласно формуле, проекция перемещения линейно зависит от времени, то есть графиком проекции перемещения является прямая линия. А направление и угол наклона графика к оси времени будет зависеть от проекции вектора скорости на координатную ось.

По графику зависимости проекции перемещения тела от времени можно определить проекцию скорости тела, которая будет равна тангенсу угла наклона графика к оси времени.

Теперь разберёмся с график пути. Мы знаем, что при равномерном прямолинейном движении путь равен модулю перемещения. Поэтому график пути совпадает с графиком проекции перемещения, если проекция скорости положительна. И является «зеркальным отражением» от оси времени графика проекции перемещения, если проекция скорости отрицательна.

Ну и наконец рассмотрим график зависимости координаты тела от времени. Его также называют графиком движения. Для того, чтобы построить такой график, необходимо знать уравнение движения тела. Составим такие уравнения для Саши и Маши:

Из уравнений видно, что координаты Саши и Маши, при их равномерном прямолинейном движении, линейно зависят от времени. Построим графики координат, помня о том, что для построения прямой достаточно найти координаты двух любых её точек.

Для прямолинейного движения тела графики движения дают полное решение задачи механики, так как они позволяют найти координату тела в любой момент времени, в том числе и в моменты времени, предшествовавшие начальному моменту.

Так, например, продолжив график Саши в сторону, противоположную направлению его движения, увидим, что за секунду до начала наблюдения Саша находился в точке начала отсчёта координаты (конечно это будет справедливо только в том случае, если Саша двигался с такой же скоростью и до начала наблюдения).

По виду графиков движения можно судить и о скорости тел: чем круче график (то есть чем больше его угол наклона к оси времени), тем больше скорость движения.

Из графиков движения можно определить и перемещение тела за любой промежуток времени. Видно, например, что Саша, за первые 3 секунды движения совершил перемещение в положительном направлении оси Ох, по модулю равное 6 метрам.

А по точке пересечения графиков можно определить момент и координату встречи Саши и Маши, опустив перпендикуляры на соответствующие координатные оси.

Закрепление материала.

Две лодки плывут навстречу друг другу равномерно и прямолинейно. Скорость первой лодки 8 м/с, второй — 5 м/с. Определите время и координату их места встречи, если в начальный момент времени расстояние между лодками равно 130 метрам.

Когда мы только начинали изучать движение, то уже говорили о его относительности. 

Механическое движение — это изменение положение тела с течением времени относительно других тел.

Например, мы неподвижны относительно стула, на котором сидим, но находимся в движении относительно Солнца. Ведь наша планета беспрестанно вращается вокруг него.

Поэтому, рассматривая любое движение, нам необходимо выбирать систему отсчета (рисунок 1), относительно которой мы и будем его рассматривать.

Система отсчета — это совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета, относительно которого рассматривается движение.

Например, рассматривая движение пассажира в салоне голубого автомобиля, мы можем выбрать систему отсчета, связанную с деревом, стоящим на обочине дороги. А можем выбрать и систему отсчета, связанную с пассажирским сидением. В последнем случае пассажир будет находиться в состоянии покоя. Если же мы должны оценить время обгона, то придется связать систему отсчета с другим движущимся автомобилем (рисунок 2).

На данном уроке мы более подробно рассмотрим это свойство движения, и вы узнаете, какие именно физические величины и понятия зависят от выбора системы отсчета.

Относительность координат или положения тела

Это очевидно, что в разных, не совпадающих друг с другом, системах отсчета движущееся тело будет иметь разные координаты.

На рисунке 3 наглядно показано, как некоторая точка A, описывающая положение тела в пространстве, будет иметь разные координаты в разных системах отсчета.

В системе отсчета с координатными осями OX и OY точка A будет иметь координаты (x, y), а в системе отсчета с координатными осями O’X’ и O’Y’ эта же самая точка A будет иметь другие координаты (x’, y’).

Относительность скорости

Начнем с рассмотрения примера. Пусть Образавр идет по вагону против движения поезда (рисунок 4). При этом скорость движения поезда относительно поверхности земли равна $20 frac{м}{с}$, а сам Образавр движется со скоростью $1 frac{м}{с}$ относительно вагона.

Давайте определим, с какой скоростью и в каком направлении Образавр будет двигаться относительно поверхности земли.

Итак, если бы Образавр сидел на одном месте, то за $1 space с$ он бы переместился вместе с поездом на расстояние, равное $20 space м$. Но Образавр за эту же $1 space с$ прошел $1 space м$ против направления движения поезда. В итоге получается, что Образавр сместился относительно поверхности земли не на $20 space м$, как сам поезд, а на $19 space м$. Значит, скорость Образавра относительно поверхности земли равна $19 frac{м}{с}$ и направлена в ту же сторону, что и скорость движения поезда.

Что мы получили? Скорость Образавра в системе отсчета, связанной с поездом, равна $1 frac{м}{с}$, а в системе отсчета, связанной с каким-либо другим телом на поверхности земли, равна $19 frac{м}{с}$. Эти скорости будут направлены в противоположные стороны.

Скорость относительна, то есть скорость одного и того же тела в разных системах отсчета может быть различной как по числовому значению, так и по направлению.

Относительность траектории движения

Перейдем к следующему примеру. Пусть вертолет вертикально опускается на землю. Рассмотрим траекторию точки A, находящейся на винте вертолета, в разных системах отсчета.

Для пилота, сидящего в кабине вертолета (или относительно самого вертолета), точка A будет постоянно двигаться по окружности — совершать круговое движение (рисунок 5).

А в системе отсчета, связанной с наблюдателем, стоящим на земле, эта же точка A будет двигаться по винтовой траектории (рисунок 6).

Траектория движения относительна, то есть траектория движения одного и того же тела может быть различной в разных системах отсчета.

Относительность пути и перемещения

Если относительна траектория движения, то относителен и путь. Ведь он является суммой длин всех участков траектории, пройденных телом за рассматриваемый промежуток времени.

Перемещение тела тоже будет относительным. Рассмотрим наглядный пример. Автомобиль и велосипедист начали двигаться одновременно из одной точки и в одном направлении. Через какое-то время мы хотим оценить перемещение автомобиля. Мы можем рассматривать его в неподвижной системе отсчета, связанной с деревом, а можем — в подвижной, связанной с движущимся велосипедистом (рисунок 7).

Перемещение автомобиля относительно неподвижного тела (дерева) называют абсолютным, а относительно движущегося тела (велосипедиста) – относительным. Перемещение движущейся системы отсчета (велосипедиста) относительно неподвижного тела (дерева) называют переносным.

Одинаковы ли перемещения автомобиля в двух системах отсчета: относительно дерева и относительно велосипедиста? Очевидно, что нет. На данном опыте мы наглядно убедились, что перемещение относительно.

В чем проявляется относительность движения?

Относительность движения проявляется в том, что скорость, траектория, путь и перемещение и некоторые другие характеристики движения относительны, то есть они могут быть различны в разных системах отсчета.

Принцип независимости движения

Получается, что траектория, путь, перемещение и скорость являются относительными величинами. То есть они зависят от выбора системы отсчета. Про время мы такого сказать не можем. В рамках классической механики время — это абсолютная величина. Оно протекает во всех системах отсчета одинаково.

Как найти перемещение в одной системе отсчета, если оно нам известно в другой? Рассмотрим наглядный опыт.
Заполним лабораторную пробирку густым сахарным сиропом и опустим в нее металлический шарик. Будем двигать ее вдоль школьной доски, не наклоняя, не поднимая и не опуская. Остановим пробирку в момент времени, когда медленно тонущий в сиропе шарик окажется на дне.

Теперь определим, как связано перемещение металлического шарика относительно неподвижной системы отсчета XOY, связанной с доской, с перемещением относительно подвижной системы отсчета X’O’Y’, связанной с пробиркой (рисунок 8).

Перемещение шарика в неподвижной системе отсчета мы обозначили $vec s$ (абсолютное перемещение), его же перемещение относительно движущейся пробирки — $vec s’$ (относительное перемещение) и перемещение пробирки относительно неподвижной доски — $vec s_0$ (переносное перемещение).

Зная правило сложения векторов (правило треугольника) из рисунка 8 следует равенство, получившее название принципа независимости движения (или принципа суперпозиции):
$vec s = vec s’ space + space vec s_0$.

Перемещение тела относительно неподвижной системы отсчета равно векторной сумме его перемещения относительно движущейся системы и перемещения движущейся системы отсчета относительно неподвижной:
$vec s = vec s’ space + space vec s_0$.

Закон сложения скоростей

Теперь перейдем к скоростям. Разделим каждое слагаемое из предыдущего равенства на время:
$frac{vec s}{t} = frac{vec s’}{t} space + space frac{vec s_0}{t}$.

В нашем представлении и пробирка, и шарик двигались прямолинейно и равномерно. По определению скорость равномерного прямолинейного движения: $vec upsilon = frac{vec s}{t}$.

Теперь мы можем записать закон сложения скоростей.

$vec upsilon = vec upsilon’ space + space vec upsilon_0$. 

Здесь $vec upsilon$ — это скорость, с которой шарик двигался относительно неподвижной доски, $vec upsilon’$ — это скорость шарика относительно пробирки, $vec upsilon_0$ — скорость движения пробирки.

Обратите внимание, что данные правила сложения перемещений и скоростей имеют свое ограничение. Они работают только в том случае, если рассматриваемые скорости тел очень малы по сравнению со скоростью света.

Геоцентрическая система мира

Рассмотрение движения в разных системах отсчета позволило значительно развиться взглядам человечества на строение Вселенной.

С самых давних времен люди наблюдали за движением небесных тел. Они видели, что ночью звезды движутся по небу с востока на запад, подобно Солнцу днем. По этой причине очень долгое время люди считали, что в центре всего мира находится наша планета Земля, а вокруг нее вращаются все остальные небесные тела. Такая система устройства мира получила название геоцентрической (от греческого слова «гео» — «земля»).

Геоцентрическая система мира — это представление об устройстве Вселенной, согласно которому центральное положение занимает неподвижная Земля, вокруг которой вращаются Солнце, Луна и другие небесные тела.

Большой вклад в становление и изучение геоцентрической системы (рисунок 9) внес александрийский ученый Клавдий Птолемей. Еще во II веке он составил довольно точные таблицы, позволяющие определять положение небесных тел в прошлом и будущем, предсказывать наступление солнечных и лунных затмений.

Гелиоцентрическая система мира

В ходе истории люди продолжали вести астрономические наблюдения. Их точность постепенно возрастала. Так, ученые стали обнаруживать расхождения между вычисляемыми и наблюдаемыми положениями небесных тел. Теория Птолемея становилась все более сложной и запутанной. Это создало свои предпосылки для создания другой системы мира.

В XVI веке польский ученый Николай Коперник предложил гелиоцентрическую систему мира (рисунок 10). Земля и другие планеты движутся вокруг Солнца, при этом вращаясь вокруг собственных осей. Теперь центром Вселенной стали считать Солнце (по-гречески «гелиос»), а не Землю.

Гелиоцентрическая система мира — это представление об устройстве Вселенной, согласно которому центральное положение занимает Солнце, вокруг которого вращаются Земля и другие планеты.

В чем основное отличие гелиоцентрической системы мира от геоцентрической?
Разные системы отсчета: в геоцентрической системе движение всех небесных тел рассматривалось относительно Земли, а в гелиоцентрической системе — относительно Солнца.

Смены дня и ночи на Земле в гелиоцентрической системе мира

Как объяснить смену дня и ночи на Земле в гелиоцентрической системе?

Воспользуемся для этого рисунком 11. На нем схематично изображен земной шар, освещенный с одной стороны солнечными лучами, и наблюдатель, положение которого на Земле в течение суток не изменяется. Наблюдатель вращается вместе с Землей и наблюдает за перемещением небесных тел.

Воображаемая ось, вокруг которой вращается Земля, проходит через Северный (N) и Южный (S) географические полюсы. Стрелочка указывает направление вращения Земли — с запада на восток.

На рисунке 11, а Земля показана в утреннее время. Наблюдатель, вращаясь вместе с Землей,  постепенно переходит с темной ночной стороны на дневную освещенную Солнцем сторону.

Получается, что наблюдатель, вращается вместе с Землей относительно ее оси со скоростью, приблизительно равной $200 frac{м}{с}$. Но он не ощущает этого движения с огромной скоростью, как и мы с вами. 

Скорость вращения точек поверхности Земли относительно ее оси зависит от широты местности: она возрастает от нуля (на полюсах) до $465 frac{м}{с}$ (на экваторе).

Из-за этого складывается ощущение, что Солнце обращается вокруг Земли, поднимаясь из-за горизонта, перемещается в течение дня (рисунок 11, б) с востока на запад, а вечером уходит за горизонт (рисунок 11, в). Затем наблюдатель видит перемещение звезд с востока на запад в течение ночи (рисунок 11, г).

Сделаем вывод.

По системе мира Коперника смена дня и ночи объясняется вращением Земли вокруг своей оси.

Получается, что знания об относительности движения в какой-то период истории позволили ученым по-новому взглянуть на строение Вселенной. Новые представления дали возможность вывести новые физические законы, описывающие движение тел в Солнечной системе и объясняющие причины такого движения.

Упражнения

Посмотреть ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

$frac{upsilon_1}{upsilon_2} — ?$

Как перевести скорость, выраженную в $frac{км}{ч}$, в $frac{м}{с}$?
$upsilon_1 = 900 frac{км}{ч} = 900 cdot frac{1000 space м}{3600 space с} = 900 cdot frac{1000}{3600} cdot frac{м}{с} = 250 frac{м}{с}$.

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

$upsilon_{зап} — ?$
$upsilon_{вос} — ?$

Посмотреть решение и ответ

Скрыть

Часто задаваемые вопросы

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T – это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение – это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено – это есть период T. Путь, который преодолевает точка – это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v_A и v_B соответственно. Ускорение – изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Как найти перемещение по окружности

Движение по окружности

Движение по окружности — простейший случай криволинейного движения тела. Когда тело движется вокруг некоторой точки, наряду с вектором перемещения удобно ввести угловое перемещение ∆ φ (угол поворота относительно центра окружности), измеряемое в радианах.

Зная угловое перемещение, можно вычислить длину дуги окружности (путь), которую прошло тело.

Если угол поворота мал, то ∆ l ≈ ∆ s .

Угловая скорость

При криволинейном движении вводится понятие угловой скорости ω , то есть скорости изменения угла поворота.

Определение. Угловая скорость

Угловая скорость в данной точке траектории — предел отношения углового перемещения ∆ φ к промежутку времени ∆ t , за которое оно произошло. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Единица измерения угловой скорости — радиан в секунду ( р а д с ).

Существует связь между угловой и линейной скоростями тела при движении по окружности. Формула для нахождения угловой скорости:

Нормальное ускорение

При равномерном движении по окружности, скорости v и ω остаются неизменными. Меняется только направление вектора линейной скорости.

При этом равномерное движение по окружности на тело действует центростремительное, или нормальное ускорение, направленное по радиусу окружности к ее центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль центростремительного ускорения можно вычислить по формуле:

a n = v 2 R = ω 2 R

Докажем эти соотношения.

Рассмотрим, как изменяется вектор v → за малый промежуток времени ∆ t . ∆ v → = v B → — v A → .

В точках А и В вектор скорости направлен по касательной к окружности, при этом модули скоростей в обеих точках одинаковы.

По определению ускорения:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Взглянем на рисунок:

Треугольники OAB и BCD подобны. Из этого следует, что O A A B = B C C D .

Если значение угла ∆ φ мало, расстояние A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Принимая во внимание, что O A = R и C D = ∆ v для рассмотренных выше подобных треугольников получим:

R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , направление вектора ∆ v → = v B → — v A → приближается к направлению на центр окружности. Принимая, что ∆ t → 0 , получаем:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

При равномерном движении по окружности модуль ускорения остается постоянным, а направление вектора изменяется со временем, сохраняя ориентацию на центр окружности. Именно поэтому это ускорение называется центростремительным: вектор в любой момент времени направлен к центру окружности.

Запись центростремительного ускорения в векторной форме выглядит следующим образом:

Здесь R → — радиус вектор точки на окружности с началом в ее центре.

Тангенциальное ускорение

В общем случае ускорение при движении по окружности состоит из двух компонентов — нормальное, и тангенциальное.

Рассмотрим случай, когда тело движется по окружности неравномерно. Введем понятие тангенциального (касательного) ускорения. Его направление совпадает с направлением линейной скорости тела и в каждой точке окружности направлено по касательной к ней.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

Здесь ∆ v τ = v 2 — v 1 — изменение модуля скорости за промежуток ∆ t

Направление полного ускорения определяется векторной суммой нормального и тангенциального ускорений.

Движение по окружности в плоскости можно описывать при помощи двух координат: x и y. В каждый момент времени скорость тела можно разложить на составляющие v x и v y .

Если движение равномерное, величины v x и v y а также соответствующие координаты будут изменяться во времени по гармоническому закону с периодом T = 2 π R v = 2 π ω

I. Механика

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v_A и v_B соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

теория по физике 🧲 кинематика

Криволинейное движение — движение, траекторией которого является кривая линия. Вектор скорости тела, движущегося по кривой линии, направлен по касательной к траектории. Любой участок криволинейного движения можно представить в виде движения по дуге окружности или по участку ломаной.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — частный и самый простой случай криволинейного движения. Это движение с переменным ускорением, которое называется центростремительным.

Особенности движения по окружности с постоянной по модулю скоростью:

1. Траектория движения тела есть окружность.
2. Вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности.
3. Направление скорости постоянно меняется под действием центростремительного ускорения.
4. Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и не вызывает изменения модуля скорости.

Период, частота и количество оборотов

Пусть тело двигается по окружности беспрерывно. Когда оно сделает один оборот, пройдет некоторое время. Когда тело сделает еще один оборот, пройдет еще столько же времени. Это время не будет меняться, потому что тело движется с постоянной по модулю скоростью. Такое время называют периодом.

Период — время одного полного оборота. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунды (с).

t — время, в течение которого тело совершило N оборотов

За один и тот же промежуток времени тело может проходить лишь часть окружности или совершать несколько единиц, десятков, сотен или более оборотов. Все зависит от длины окружности и модуля скорости.

Частота — количество оборотов, совершенных в единицу времени. Обозначается буквой ν («ню»). Единица измерения — Гц.

N — количество оборотов, совершенных телом за время t.

Период и частота — это обратные величины, определяемые формулами:

Количество оборотов выражается следующей формулой:

Пример №1. Шарик на нити вращается по окружности. За 10 секунд он совершил 20 оборотов. Найти период и частоту вращения шарика.

Линейная и угловая скорости

Линейная скорость

Линейная скорость — это отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден. Обозначается буквой v. Единица измерения — м/с.

l — длина траектории, вдоль которой двигалось тело за время t

Линейную скорость можно выразить через период. За один период тело делает один оборот, то есть проходить путь, равный длине окружности. Поэтому его скорость равна:

R — радиус окружности, по которой движется тело

Если линейную скорость можно выразить через период, то ее можно выразить и через частоту — величину, обратную периоду. Тогда формула примет вид:

Выразив частоту через количество оборотов и время, в течение которого тело совершало эти обороты, получим:

Угловая скорость

Угловая скорость — это отношение угла поворота тела ко времени, в течение которого тело совершало этот поворот. Обозначается буквой ω. Единица измерения — радиан в секунду (рад./с).

ϕ — угол поворота тела. t — время, в течение которого тело повернулось на угол ϕ

Радиан — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. Полный угол равен 2π радиан.

За один полный оборот тело поворачивается на 2π радиан. Поэтому угловую скорость можно выразить через период:

Выражая угловую скорость через частоту, получим:

Выразив частоту через количество оборотов, формула угловой скорости примет вид:

Сравним две формулы:

Преобразуем формулу линейной скорости и получим:

Отсюда получаем взаимосвязь между линейной и угловой скоростями:

• У вращающихся прижатых друг к другу цилиндров линейные скорости точек их поверхности равны: v₁ = v₂.
• У вращающихся шестерен линейные скорости точек их поверхности также равны: v₁ = v₂.
• Все точки вращающегося твердого тела имеют одинаковые периоды, частоты и угловые скорости, но разные линейные скорости. T₁ = T₂, ν₁ = ν₂, ω₁ = ω₂. Но v₁ ≠ v₂.

Пример №2. Период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году. Радиус орбиты Земли равен 150 млн. км. Чему примерно равна скорость движения Земли по орбите? Ответ округлить до целых.

В году 365 суток, в одних сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Перемножив все эти числа между собой, получим период в секундах.

За каждую секунду Земля проходит расстояние, равное примерно 30 км.

Центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение — ускорение с постоянным модулем, но меняющимся направлением. Поэтому оно вызывает изменение направления вектора скорости, но не изменяет его модуль. Центростремительное ускорение обозначается как a_ц.с.. Единица измерения — метры на секунду в квадрате (м/с 2 ). Центростремительное ускорение можно выразить через линейную и угловую скорости, период, частоту и количество оборотов/время:

Пример №3. Рассчитать центростремительное ускорение льва, спящего на экваторе, в системе отсчета, две оси которой лежат в плоскости экватора и направлены на неподвижные звезды, а начало координат совпадает с центром Земли.

Спящий лев сделает один полный оборот тогда, когда Земля сделает один оборот вокруг своей оси. Земля делает это за время, равное 1 сутки. Поэтому период обращения равен 1 суткам. Количество секунд в сутках: 1 сутки = 24•60•60 секунд = 86400 секунд = 86,4∙10 3 секунд.

Радиус Земли равен 6400 км. В метрах это будет 6,4∙10 6 . Теперь у нас есть все, что нужно для вычисления центростремительного ускорения. Подставляем данные в формулу:

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Записать формулу для определения искомой величины.
3. Подставить известные данные в формулу и произвести вычисления.

Решение

Записываем исходные данные:

• Радиус окружности, по которой движется автомобиль: R = 100 м.
• Скорость автомобиля во время движения по окружности: v = 20 м/с.

Формула, определяющая зависимость центростремительного ускорения от скорости движения тела:

Подставляем известные данные в формулу и вычисляем:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Точка движется по окружности радиусом R с частотой обращения ν. Как нужно изменить частоту обращения, чтобы при увеличении радиуса окружности в 4 раза центростремительное ускорение точки осталось прежним?

а) увеличить в 2 раза б) уменьшить в 2 раза в) увеличить в 4 раза г) уменьшить в 4 раза

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Определить, что нужно найти.
3. Записать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты.
4. Преобразовать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты для каждого из случаев.
5. Приравнять правые части формул и найти искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

Центростремительное ускорение определяется формулой:

Запишем формулы центростремительного ускорения для 1 и 2 случаев соответственно:

Так как центростремительное ускорение в 1 и 2 случае одинаково, приравняем правые части уравнений:

Произведем сокращения и получим:

Это значит, чтобы центростремительное ускорение осталось неизменным после увеличения радиуса окружности в 4 раза, частота должна уменьшиться вдвое. Верный ответ: «б».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Равномерное движение тела по окружности

1. Движением тела по окружности называют движение, траекторией которого является окружность. По окружности движутся, например, конец стрелки часов, точки лопасти вращающейся турбины, вращающегося вала двигателя и др.

При движении по окружности направление скорости непрерывно изменяется. При этом модуль скорости тела может изменяться, а может оставаться неизменным. Движение, при котором изменяется только направление скорости, а её модуль сохраняется постоянным, называется равномерным движением тела по окружности. Под телом в данном случае имеют в виду материальную точку.

2. Движение тела по окружности характеризуется определёнными величинами. К ним относятся, прежде всего, период и частота обращения. Период обращения тела по окружности ​ ( T ) ​ — время, в течение которого тело совершает один полный оборот. Единица периода — ​ ( [,T,] ) ​ = 1 с.

Частота обращения ​ ( (n) ) ​ — число полных оборотов тела за одну секунду: ​ ( n=N/t ) ​. Единица частоты обращения — ( [,n,] ) = 1 с -1 = 1 Гц (герц). Один герц — это такая частота, при которой тело совершает один оборот за одну секунду.

Связь между частотой и периодом обращения выражается формулой: ​ ( n=1/T ) ​.

Пусть некоторое тело, движущееся по окружности, за время ​ ( t ) ​ переместилось из точки А в точку В. Радиус, соединяющий центр окружности с точкой А, называют радиусом-вектором. При перемещении тела из точки А в точку В радиус-вектор повернётся на угол ​ ( varphi ) ​.

Быстроту обращения тела характеризуют угловая и линейная скорости.

Угловая скорость ​ ( omega ) ​ — физическая величина, равная отношению угла поворота ( varphi ) радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошел: ​ ( omega=varphi/t ) ​. Единица угловой скорости — радиан в секунду, т.е. ​ ( [,omega,] ) ​ = 1 рад/с. За время, равное периоду обращения, угол поворота радиуса-вектора равен ​ ( 2pi ) ​. Поэтому ​ ( omega=2pi/T ) ​.

Линейная скорость тела ​ ( v ) ​ — скорость, с которой тело движется вдоль траектории. Линейная скорость при равномерном движении по окружности постоянна по модулю, меняется по направлению и направлена по касательной к траектории.

Линейная скорость равна отношению пути, пройденному телом вдоль траектории, ко времени, за которое этот путь пройден: ​ ( vec=l/t ) ​. За один оборот точка проходит путь, равный длине окружности. Поэтому ​ ( vec=2pi!R/T ) ​. Связь между линейной и угловой скоростью выражается формулой: ​ ( v=omega R ) ​.

Из этого равенства следует, что чем дальше от центра окружности расположена точка вращающегося тела, тем больше её линейная скорость.

4. Ускорение тела равно отношению изменения его скорости ко времени, за которое оно произошло. При движении тела по окружности изменяется направление скорости, следовательно, разность скоростей не равна нулю, т.е. тело движется с ускорением. Оно определяется по формуле: ​ ( vec=frac<Deltavec> ) ​ и направлено так же, как вектор изменения скорости. Это ускорение называется центростремительным ускорением.

Центростремительное ускорение при равномерном движении тела по окружности — физическая величина, равная отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности: ​ ( a=frac ) ​. Так как ​ ( v=omega R ) ​, то ​ ( a=omega^2R ) ​.

При движении тела по окружности его центростремительное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ

Часть 1

1. При равномерном движении тела по окружности

1) изменяется только модуль его скорости
2) изменяется только направление его скорости
3) изменяются и модуль, и направление его скорости
4) не изменяется ни модуль, ни направление его скорости

2. Линейная скорость точки 1, находящейся на расстоянии ​ ( R_1 ) ​ от центра вращающегося колеса, равна ​ ( v_1 ) ​. Чему равна скорость ​ ( v_2 ) ​ точки 2, находящейся от центра на расстоянии ​ ( R_2=4R_1 ) ​?

1) ​ ( v_2=v_1 ) ​
2) ​ ( v_2=2v_1 ) ​
3) ​ ( v_2=0,25v_1 ) ​
4) ​ ( v_2=4v_1 ) ​

3. Период обращения точки по окружности можно вычислить по формуле:

1) ​ ( T=2pi!Rv ) ​
2) ( T=2pi!R/v ) ​
3) ( T=2pi v ) ​
4) ( T=2pi/v ) ​

4. Угловая скорость вращения колеса автомобиля вычисляется по формуле:

1) ​ ( omega=a^2R ) ​
2) ( omega=vR^2 ) ​
3) ( omega=vR )
4) ( omega=v/R ) ​

5. Угловая скорость вращения колеса велосипеда увеличилась в 2 раза. Как изменилась линейная скорость точек обода колеса?

1) увеличилась в 2 раза
2) уменьшилась в 2 раза
3) увеличилась в 4 раза
4) не изменилась

6. Линейная скорость точек лопасти винта вертолёта уменьшилась в 4 раза. Как изменилось их центростремительное ускорение?

1) не изменилось
2) уменьшилось в 16 раз
3) уменьшилось в 4 раза
4) уменьшилось в 2 раза

7. Радиус движения тела по окружности увеличили в 3 раза, не меняя его линейную скорость. Как изменилось центростремительное ускорение тела?

1) увеличилось в 9 раз
2) уменьшилось в 9 раз
3) уменьшилось в 3 раза
4) увеличилось в 3 раза

8. Чему равен период обращения коленчатого вала двигателя, если за 3 мин он совершил 600 000 оборотов?

1) 200 000 с
2) 3300 с
3) 3·10 -4 с
4) 5·10 -6 с

9. Чему равна частота вращения точки обода колеса, если период обращения составляет 0,05 с?

1) 0,05 Гц
2) 2 Гц
3) 20 Гц
4) 200 Гц

10. Линейная скорость точки обода велосипедного колеса радиусом 35 см равна 5 м/с. Чему равен период обращения колеса?

1) 14 с
2) 7 с
3) 0,07 с
4) 0,44 с

11. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и формулами для их вычисления в правом столбце. В таблице под номером физической
величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранной вами формулы из правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
А) линейная скорость
Б) угловая скорость
В) частота обращения

ФОРМУЛА
1) ​ ( 1/T ) ​
2) ​ ( v^2/R ) ​
3) ​ ( v/R ) ​
4) ​ ( omega R ) ​
5) ​ ( 1/n ) ​

12. Период обращения колеса увеличился. Как изменились угловая и линейная скорости точки обода колеса и её центростремительное ускорение. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и характером их изменения в правом столбце.
В таблице под номером физической величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами элемента правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
A) угловая скорость
Б) линейная скорость
B) центростремительное ускорение

ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ
1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась

Часть 2

13. Какой путь пройдёт точка обода колеса за 10 с, если частота обращения колеса составляет 8 Гц, а радиус колеса 5 м?

[spoiler title=”источники:”]

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-peremeschenie-po-okruzhnosti

[/spoiler]

Как найти перемещение тела

Кинематика изучает различные виды движения тела с заданной скоростью, направлением и траекторией. Чтобы определить его положение относительно точки начала пути, нужно найти перемещение тела.

Инструкция

Движение тела происходит по некоторой траектории. В случае прямолинейного движения ею является прямая линия, поэтому найти перемещение тела довольно просто: оно равно пройденному пути. В противном случае определить его можно по координатам начального и конечного положения в пространстве.

Величина перемещения материальной точки является векторной, поскольку она имеет направление. Следовательно, чтобы найти ее числовое значение, необходимо вычислить модуль вектора, соединяющего точки начала пути и его окончания.

Рассмотрим двухмерное координатное пространство. Пусть тело проделало путь от точки A (x0, y0) до точки B (x, y). Тогда, чтобы найти длину вектора АВ, опустите проекции его концов на оси абсцисс и ординат. Геометрически проекции относительно той и другой координатной оси можно представить в виде катетов прямоугольного треугольника с длинами:Sx = x – x0;Sy = y – y0, где Sx и Sy – проекции вектора на соответствующих осях.

Модуль вектора, т.е. длина перемещения тела, в свою очередь, является гипотенузой этого треугольника, длину которой легко определить по теореме Пифагора. Он равен квадратному корню из суммы квадратов проекций:S = √(Sx² + Sy²).

В трехмерном пространстве:S = √(Sx² + Sy² + Sz²), где Sz = z – z0.

Это формула является общей для любой разновидности движения. Вектор перемещения обладает несколькими свойствами: • его модуль не может превышать длину пройденного пути;• проекция перемещения может быть как положительной, так и отрицательной величиной, в то время как величина пути всегда больше нуля;• в общем случае перемещение не совпадает с траекторией движения тела, а его модуль не равен пути.

В частном случае прямолинейного движения тело перемещается только по одной оси, например, оси абсцисс. Тогда длина перемещения равна разности конечной и начальной первой координаты точек:S = x – x0.

Источники:

• как перемещается тело

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Содержание:

Основная задача механики – описание движения тел, т. е. выяснение закона (уравнения) их движения. Как отмечал А. Эйнштейн, наиболее фундаментальная проблема, остававшаяся нерешенной на протяжении тысячелетий, – это проблема движения. Собственно, учение о движении стало наукой лишь со времен Галилео Галилея и Исаака Ньютона.

Кинематика, изучает конкретные механические та их взаимодействия с другими телами. Она фактически объединяет простейшие пространственно-временные зависимости, в частности изменение координат тела со временем (как функцию времени).

Поэтому кинематику часто называют геометрией движения.

Кинематика изучает механические движения тел без учета их взаимодействия с другими телами.

Кинематика

Физика изучает разнообразные явления и процессы, происходящие вокруг нас. Как вам известно, в зависимости от их природы различают механические, тепловые, электрические, магнитные, световые и другие физические явления. Раздел физики, который объясняет движение и взаимодействие тел, называется механикой.

Слово «механика» впервые ввел Аристотель. Оно означает «машина».
Механика – одна из древнейших наук. Ее возникновение и развитие связано с практическими потребностями человека. Первые труды по механике, в которых рассматривались свойства простых механизмов и машин, появились еще в Древней Греции. Весомый вклад в ее становление сделали такие корифеи науки, как Аристотель (IV в. до н. э.), Архимед (III в. до н. э.), Леонардо да Винчи (XV в.), Галилео Галилей (XVII в.) и др. В завершенном виде как классическая теория она получила обоснование в работе Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии» (1687 г.). Современная механика, в основе которой лежит теория относительности, создана в начале XX в. Альбертом Эйнштейном.

Основная задача механики состоит в том, чтобы на основании параметров движения тела: координат, пройденного пути, перемещения, угла поворота, скорости, силы и т. д. – найти закон или уравнение, которое описывает это движение.

Основная задача механики состоит в том, чтобы найти уравнение движения тела с помощью параметров, описывающих это движение.
Т. е. если мы при помощи этих физических величин сможем установить положение тела в любой момент времени, то основная задача механики считается решенной. В зависимости от способов ее решения в механике выделяют три раздела: кинематика, динамика и статика.

Кинематика изучает, как движется тело, не вникая в причины, вызывающие именно такое движение. Поэтому кинематические уравнения состоят лишь из пространственных характеристик механического движения: пройденного пути, изменения координат тела, скорости и т. д. В них нет сил, изменяющих это движение.

В переводе с греческого слово кинематика» (kinematos) означает движение.

Механическое движение и траектория движения

Чаще всего в обыденной жизни мы наблюдаем явление, которое называется механическим движением. Например, автомобиль едет по дороге, в небе «плывут» тучи, ребенок катается на качелях, Луна вращается вокруг Земли и т. д. Во всех этих случаях происходит изменение положения одного тела или его частей относительно других. Чтобы убедиться в этом, необходимо выбрать тело отсчета, относительно которого можно фиксировать положение движущегося тела в любой момент времени. Тело отсчета выбирают произвольно. В приведенных примерах это может быть столб или дерево возле дороги, дом, поверхность Земли и т. д.

Для того чтобы описать движение тела, необходимо точно знать его местоположение в пространстве в произвольный момент времени, т. е. уметь определять изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Как известно, легче всего это можно сделать с помощью системы координат. Например, зафиксировать «адрес» тела как определенное его положение в пространстве, измерив расстояния или углы в некоторой системе координат.

Например, в географии положение тела на земной поверхности задается двумя числами на пересечении меридиана и параллели, которые называются географической долготой и широтой. В математике «адрес» точки чаще всего определяют ее координатами, в частности в прямоугольной (декартовой) системе координат на плоскости – это расстояния х и у (рис. 1.1).
Взаимные изменения положения тела или его частей в пространстве с течением времени называются механическим движением.

Систему координат, как правило, связывают с телом отсчета. В данном случае движущееся тело характеризуется изменением положения в пространстве относительно тела отсчета, т. е. изменением его координат с течением времени.

Математически это можно записать в таком виде: х = x(t); у = y(t).

Для того чтобы определить такое изменение в любой момент времени, с телом отсчета и системой координат необходимо связать средство измерения времени, к примеру секундомер или хронометр. Тогда тело отсчета, связанную с ним систему координат и секундомер как единое целое называют системой отсчета.

Как известно, реальные физические тела имеют форму и объем. Поэтому однозначно задать их положение в пространстве не всегда представляется возможным, поскольку различные их части имеют разные координаты. Однако эту проблему можно упростить, если не брать во внимание размеры тела. Такое возможно лишь при определенных условиях.

Чтобы выяснить их, рассмотрим движение автомобиля. На значительных расстояниях, например на шоссе между Киевом и Харьковом, размерами автомобиля можно пренебречь, поскольку они значительно меньше расстояния между этими городами. Поэтому нет необходимости рассматривать особенности движения каждой части кузова автомобиля – достаточно его представить как движение точки.

Таким образом, для упрощения описания движения тел, когда их размерами при определенных условиях можно пренебречь, применяют понятие материальной точки. Это условное тело, не имеющее размеров, которое определяет положение реального тела в пространстве при помощи координат такой, материальной точки. Ее геометрический образ – невесомая точка, не имеющая размеров. В случае поступательного движения, при котором все точки тела движутся одинаково, любое тело можно считать материальной точкой.

Материальная точка – это физическая модель, при помощи которой представляют реальное тело, пренебрегая его размерами.

Часто кроме движущихся предметов мы наблюдаем тела, пребывающие в состоянии покоя. Однако абсолютно неподвижных тел в природе не существует.

Рассмотрим такой пример. В вагоне на столе стоит бутылка с водой (рис. 1.2). Во время движения поезда разные наблюдатели – пассажир в купе и провожающий на перроне – оценят ее состояние движения по-разному. Для сидящего пассажира она неподвижна, поскольку расстояние от него до бутылки не изменяется. Для провожающего на перроне 16 она движется, потому что изменяет свое положение с течением времени в системе отсчета, связанной с перроном.

Следовательно, состояние покоя является относительным, равно как и состояние движения, поскольку зависит от выбранной системы отсчета. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении движения тела мы в первую очередь будем определяться с выбором системы отсчета, потому что от этого нередко зависит сложность уравнений, описывающих данное движение. Правильный выбор системы отсчета ведет к упрощению уравнений движения.

Состояние покоя и состояние движения тела относительны, поскольку зависят от выбора системы отсчета.

Рассмотрим движущееся тело, последовательно фиксируя его положение в определенные моменты времени. Если теперь соединить все точки, в которых побывало тело во время своего движения, то получим мнимую линию, которая называется траекторией движения. Траектория движения может быть видимой (след от самолета на небосклоне, линия от карандаша или ручки при записи в тетради) и невидимой (полет птички, движение теннисного мяча и т. д.).

По форме траектории механическое движение бывает прямолинейным и криволинейным (рис. 1.3).

Положение броуновской частички через определенные промежутки времени.

Рис. 1.3. Различные формы траектории

Траектория прямолинейного движения – прямая линия. Например, падение тела с определенной высоты или движение шарика по наклонному желобу. Во время криволинейного движения тело перемещается по произвольной кривой. Часто реальное движение тел является комбинацией прямолинейного и криволинейного движений. Например, комбинированным есть движение автобуса по маршруту: на разных участках траектория его движения может быть и прямолинейной, и криволинейной.

Поскольку движение тел происходит в определенных системах отсчета, то и траектория рассматривается относительно них. Ведь она отображает во времени последовательные положения тела в некоторой системе отсчета. Поэтому она будет отличаться формой в различных системах отсчета, т. е. траектории движения также относительны. Например, все точки колеса велосипеда относительно его оси описывают окружность, однако в системе отсчета, связанной с землей, эта линия более сложная (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Траектория движения точки обода колеса велосипеда

Путь и перемещение

Зная траекторию движения, можно определить путь, пройденный телом: для этого необходимо измерить длину траектории между начальной и конечной точками движения.

Путь – это длина траектории, которую проходит тело или материальная точка за определенный интервал времени. Он обозначается латинской буквой l. Данная физическая величина является скалярной и характеризуется лишь значением длины траектории движения.

В Международной системе единиц (СИ) путь измеряется в метрах (м). На практике используют также другие единицы пути – километр (км), сантиметр (см) и др.

Часто, для того чтобы более полно охарактеризовать движение тела и найти его новое положение, кроме пройденного пути (длины траектории), необходимо указать также направление, в котором двигалось тело. Например, водителю автомобиля приходится ехать по извилистой дороге (рис. 1.5).

Пройденный путь – это длина дороги I, по которой ехал автомобиль. Водитель же совершил перемещение в пространстве из точки А в точку В, которое можно найти, соединив начальное и конечное положение тела прямой линией, указав при этом направление движения.

Следовательно, направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение движущегося тела с конечным, называется перемещением. Перемещение – это векторная величина. Оно обозначается латинской буквой Его значение характеризуется модулем вектора перемещения или для упрощения записи s.

Путь и перемещение могут отличаться своими значениями. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим движение велосипедиста по окружности радиуса R= 100 м (рис. 1.6).

Допустим велосипедист стартует в точке А. Проехав половину окружности, он окажется в точке В. Пройденный им путь равен дуге а модуль перемещения = 2R = 200 м.

В момент времени, когда велосипедист проедет  окружности, пройденный им путь будет равен значение перемещения Когда велосипедист сделает полный оборот, пройденный путь будет равен модуль перемещения при этом равен нулю Таким образом, перемещение может равняться нулю даже в том случае, если тело перед этим осуществляло движение. Это возможно, когда начальное и конечное положения тела совпадают.

Путь и перемещение имеют также одинаковые значения, когда тело движется прямолинейно лишь в одном направлении.

В рассмотренном нами примере пройденный путь и перемещение разные, отличаются по своему значению. Возникает вопрос: могут ли они совпадать, быть одинаковыми? Можно легко убедиться в том, что такое возможно, если, во-первых, траектория движения будет прямой, во-вторых, движение происходит в одну сторону. Как подтверждение этого, рассмотрим — такой пример.

Допустим, что автомобиль движется прямолинейно по шоссе из пункта А в пункт В, а затем возвращается в пункт С. Расстояние между пунктами 2 км и 4 км соответственно, все они размещены на одной прямой (рис. 1.7).

Двигаясь из пункта А в пункт В, автомобиль проходит путь = 2 км + 4 км = 6 км, и модуль его перемещения равен = 6 км. Т. е. в данном случае путь и перемещение совпадают: После того как автомобиль развернулся и приехал в пункт С, его перемещение равно = 2 км, а пройденный путь составляет  = 6 км + 4 км = 10 км, т. е. пройденный путь и перемещение отличаются:

Следовательно, пройденный путь и перемещение по своему значению одинаковы лишь в том случае, если тело движется по прямой и не изменяет направление движения.

Равномерное прямолинейное движение

Простейшим видом механического движения является равномерное прямолинейное движение. Это такое движение, при котором тело, двигаясь по прямой, за любые одинаковые интервалы времени совершает одинаковые перемещения. Его траектория – прямая линия. Поэтому его можно описать переменой одной из координат, например х = x(t), если координатная ось совпадает с направлением движения.

Пусть тело в начальный момент движения имеет координату (рис. 1.8); через некоторое время, совершив перемещение оно будет иметь координату х. Перемещение, характеризующее изменение положения тела в пространстве с течением времени, может происходить с разной скоростью. Скорость равномерного движения – это физическая величина, равная отношению перемещения ко времени, в течение которого оно произошло:

Как известно, в СИ скорость
измеряется в метрах за секунду (м/с). 1 м/с – это скорость такого равномерного прямолинейного движения, при которой тело за 1 с совершает перемещение 1 м. На практике используют также другие единицы скорости, например километр в час:

Поскольку перемещение – векторная величина, а время t -скалярная и всегда больше 0, то скорость также векторная величина, направление которой совпадает с направлением перемещения (рис. 1.9).

При равномерном движении значение скорости остается постоянным, поскольку за любые равные интервалы времени совершаются равные перемещения.

Как известно, основной задачей механики является определение положения тела в пространстве в произвольный момент времени. Следовательно, чтобы ее решить, надо найти координаты тела либо их изменение во времени: х – x(t). В механике такое уравнение называется уравнением движения. При решении задач с использованием уравнения движения векторные величины, характеризующие движение тела, записывают в проекциях на соответствующую ось. Следовательно, из формулы (1) получаем:

Из рисунков 1.8 и 1.9 понятно, что Воспользовавшись формулой (2), получим уравнение равномерного прямолинейного движения:

поэтому
Уравнения равномерного прямолинейного движения:

Рассмотрим теперь различные случаи равномерного прямолинейного движения (рис. 1.10).

Из рисунка следует, что если направление движения тела совпадает с направлением координатной оси, то > 0 и координата тела с течением времени возрастает: где v – модуль скорости.

Если же направление движения тела противоположно направлению координатной оси, то < 0 и координата с течением времени уменьшается:
 

Как решать задачи кинематики

Решение любой физической задачи в определенной степени можно условно разделить на три этапа: физический, математический и анализ решения.

На физическом этапе:

• ✓    анализируют условие задачи и описание физической ситуации, заданной условием;
• ✓    выясняют физическую модель явления, лежащего в основе задачи;
• ✓    физическую модель явления представляют в графической форме (рисунки, чертежи, схемы, графики и т. д.);
• ✓    сокращенно записывают условия задачи в систематизированном виде.

На математическом этапе:

• ✓ предлагают математическую модель задачи, составляют общие уравнения, описывающие физические явления, представленные в условии задачи;
• ✓  определяют конкретные условия и параметры, при которых происходит данное явление;
• ✓  конкретизируют общие уравнения в виде частных решений аналитическим, графическим или числовым способом, производят вычисления.
• На этапе анализа решения:
• ✓  производят проверку единиц физических величин и находят значения искомых величин;
• ✓ анализируют результаты, их достоверность и правдоподобность;
• ✓  ищут иные методы решения задачи и выбирают наиболее рациональный из них.

В ходе решения задач кинематики главное состоит в том, чтобы за заданными параметрами движения (координаты, перемещение, скорость и др.) записать уравнение движения. Или наоборот, если уравнение движения известно, ищут физические величины, которые его описывают.

Решение задач кинематики подчинено определенной последовательности умственных действий, так называемому алгоритму, при помощи которого поиск решения задачи значительно облегчается. Представим его как последовательность шагов в ходе решения задачи.

• Шаг 1. В соответствии с условием задачи выберите систему отсчета. Определите начальные значения координат, связав их с телом отсчета.
• Шаг 2. Выясните характер движения (равномерное, неравномерное) и вид траектории (прямолинейная, криволинейная).
• Шаг 3. Сделайте рисунок, иллюстрирующий условие задачи. Свяжите рисунок с выбранной системой отсчета, обозначьте на нем векторные физические величины.
• Шаг 4. Отобразите проекции перемещения, скорости, других векторных величин и запишите уравнение движения тела в общем виде. При необходимости составьте дополнительные уравнения, которые объединяют эти кинематические величины.
• Шаг 5. Решите уравнения относительно искомых величин. Определите их значения, оцените достоверность результата.
• Шаг 6. Проанализируйте полученный ответ. Если он противоречит смыслу задачи, начните поиск иного решения.
• Шаг 7. Произведите поиск иных возможных путей решения задачи. Оцените, какое из решений наиболее рационально.
   

Задача №1

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 80 км, одновременно начали движение навстречу друг другу два велосипедиста. Первый ехал со скоростью 5 м/с, второй -3 м/с. Определите:

• 1)    через какое время они встретятся и где это произойдет;
• 2)    какой путь они пройдут до момента встречи и какое совершат перемещение;
• 3)    через какое время от начала движения расстояние между ними будет 20 км.

Решение

1.    Выберем такую систему отсчета, начало координат которой совпадает с пунктом А. В общем виде уравнение движения тела имеет такой вид:  Запишем его для каждого велосипедиста отдельно. Поскольку у первого велосипедиста начальная координата = 0, проекция скорости а ее модуль по условию задачи равен 5 м/с, то уравнение его движения будет  иметь вид:

У второго велосипедиста = 80 км, = 3 м/с, следовательно, =80000- -3t.

Вследствие движения координаты обоих велосипедистов с течением времени изменяются: у первого она возрастает, у второго – уменьшается. В момент их встречи координаты обоих велосипедистов равны: Подставив в это равенство соответствующие уравнения движения, получим уравнение с одним неизвестным:
5t = 80 000 – 3t; St = 80 000; отсюда t = 10 000 с = 2,8 ч. Таким образом, велосипедисты встретятся через 2,8 часа.

Место их встречи определяют координаты которые можно найти из уравнения движения каждого велосипедиста, подставив в него время t = 10 000 с:

• а)     = 5t = 5 м/с • 10 000 с = 50 000 м = 50 км;
• б)     = 80 000 – 3t = 80 000 м – 3 м/с • 10 000 с = 50 000 м = 50 км.

Задача №2

Поскольку велосипедисты по условию задачи ехали прямолинейно и не изменяли направления движения, то пройденный ими путь равен модулю перемещения (или его проекции):

5 м/с • 10 000 c = 50 000 м = 50 км;

= 50 000 м, = 80 000 m; = 30 km.

Или = 3 м/с • 10 000 c = 30 000 м = 30 км.

3.    Чтобы найти время, когда расстояние между велосипедистами будет равно 20 км, достаточно записать равенство = 20 км или = 20 км и подставить в него соответствующие уравнения движения велосипедистов.

5t – 80 000 + 3t = 20 000; 8t = 100 000; t = 12 500 с = 3,5 ч.

80 000 – 3t – 5t = 20 000; 8t = 60 000; t = 7500 с = 2,1 ч.

Почему получено два разных ответа? Внимательно проанализировав условие задачи, заметим, что на расстоянии 20 км друг от друга велосипедисты будут дважды – когда едут навстречу друг другу (2,1 ч) и когда разъезжаются после встречи, продолжая движение (3,5 ч).

Графики равномерного прямолинейного движения

Для того чтобы лучше усвоить особенности изменений параметров равномерного движения (координат, пути, перемещения, скорости) с течением времени, рассмотрим соответствующие графические зависимости, следующие из уравнения равномерного прямолинейного движения.

1.    График скорости v = u(t). Как известно, скорость тела при равномерном прямолинейном движении с течением времени не изменяется, т. е. v = const. Поэтому график скорости – это прямая, параллельная оси времени t, которая находится над ней, если проекция скорости положительна (рис. 1.11), или под ней, если она отрицательна.

2.    График пути l = l(t). Из формулы пути l = vt следует, что между пройденным путем и временем существует прямо пропорциональная зависимость. Графически она отображается прямой, проходящей через начало координат (ведь длина пути не может иметь отрицательных значений). В зависимости от значения скорости наклон графика будет разным (рис. 1.12): чем больше скорость, тем круче прямая.

3.    График проекции перемещения Поскольку проекция перемещения может иметь как положительные, так и отрицательные значения, график проекции перемещения (рис. 1.13) может, соответственно, вздыматься вверх (проекция перемещения положительна) либо устремляться вниз (проекция перемещения отрицательна).

График проекции перемещения всегда проходит через начало координат. Угол наклона прямой, как и в случае графика пути, зависит от значения скорости: чем она больше, тем круче график проекции перемещения.

Если тело изменяет направление движения – сначала движется в одну сторону, а затем возвращается назад, то график проекции перемещения принимает вид, изображенный на рисунке 1.14 (в момент времени  тело изменило направление движения).

4. График движения тела х = x(t) характеризует изменение координат тела с течением времени. Из уравнения движения следует, что он представляет собой линейную функцию и отображается прямой. Эта прямая проходит через начало координат, когда = 0. Она смещена на , если (рис. 1.15 и 1.16).

Так как проекция скорости может иметь положительные и отрицательные значения (направление вектора скорости может совпадать или быть противоположным выбранному направлению оси), то график может подниматься вверх ( > 0) либо устремляться вниз ( < 0). На представленных графиках отображена зависимость координат тел, которые в начальный момент времени находились в одной точке: > 0 (рис. 1.15) либо < 0 (рис. 1.16), но двигались в противоположных направлениях ( > 0 и < 0).

Таким образом, при помощи графиков можно выяснить характер движения тел и изменения соответствующих величин с течением времени t.

Задача №3

 

На основании графика движения (рис. 1.17):

• 1)    определить скорость движения тел;
• 2)    составить уравнения движения обоих тел;
• 3)    найти перемещение тел за 4 с;
• 4)    определить время и место их встречи;
• 5)    найти расстояние между телами через 2 с после начала движения;
• 6)    построить графики скорости, проекции перемещения и пути.

Решение

1. Скорость тела определяется на основании формулы

Время движения выбираем произвольно, руководствуясь простотой расчетов. Например, используем значение t = 2 с. Тогда тело 1 через 2 с будет иметь координату 6 м; его начальная координата = 0. Следовательно, скорость тела 1 равна:

У тела 2 начальная координата равна = 4 м, а через 2 с она равна 2 м. Следовательно, скорость тела 2 равна:

2.    Уравнение движения для обоих тел будет иметь такой вид:

3.    Перемещение тел за время t = 4 с равно:

4.    В момент встречи тел их координаты будут одинаковы, т. е. это точка пересечения графиков. При помощи перпендикуляра, проведенного к оси координат, можно установить координату места встречи – она равна 3 м. Для определения времени встречи необходимо опустить перпендикуляр на ось времени t; получим t = 1 с.
5.    Согласно графикам движения тел через 2 с тело 1 имеет координату
= 6 м, а тело 2 – координату = 2 м. Следовательно, расстояние между телами равно: l =  = 4 (м).
6.    Используя предыдущие данные решения задачи, построим соответствующие графики (рис. 1.18-1.20).

Относительность движения. Закон сложения скоростей

Для того чтобы описать механическое движение и определить его параметры – траекторию, перемещение, пройденный путь, скорость и др., следует прежде всего выбрать систему отсчета и проанализировать движение тела или материальной точки относительно тела отсчета, выбранного произвольно. В природе существует множество систем отсчета и описание движения может одновременно производиться в каждой из них. Например, лодка, плывущая по реке, движется относительно ее берегов, относительно теплохода, который плывет рядом, относительно пешеходов, стоящих на берегу, и т. д.

Чаще всего систему отсчета связывают с телом, которое в данной ситуации считается неподвижным: с землей, берегом реки, населенным пунктом, столбом на обочине дороги и др. Такая система отсчета считается неподвижной.

С телами, которые движутся в неподвижных системах отсчета равномерно и прямолинейно, связывают подвижные системы отсчета. Следует учитывать, что удачный выбор системы отсчета намного упрощает решение задачи.

Рассмотрим движение какого-либо тела, например лодки, плывущей по реке, в различных системах отсчета (рис. 1.22).

Пусть лодка пересекает реку перпендикулярно к ее течению. За движением лодки следят два наблюдателя – один на берегу реки (неподвижная система отсчета XOY), другой с плота, который перемещается относительно берега со скоростью течения реки (подвижная система отсчета X’O’Y’).
Первый наблюдатель будет видеть перемещение лодки по прямой ОА’. Второй наблюдатель, находясь в подвижной системе отсчета, увидит иную картину: лодка будет удаляться от него по прямой, перпендикулярно к течению, и когда она достигнет противоположного берега в т. А’, плот будет находится точно напротив нее в т. А.

Таким образом, относительно подвижной системы отсчета лодка совершает перемещение (рис. 1.23), относительно неподвижной системы отсчета она совершает перемещение Сама же подвижная система отсчета за это время совершила перемещение Согласно правилам сложения векторов: Следовательно, сложение перемещений относительно различных систем отсчета выполняется в соответствии с правилами сложения векторов.

Разделив каждый член уравнения на время движения t, одинаковое для подвижной и неподвижной систем отсчета, получим:

Уравнение (1) называется законом сложения скоростей: скорость тела в неподвижной системе отсчета равна векторной сумме скорости тела в подвижной системе отсчета и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Сложение скоростей в данном случае также выполняется согласно правилам сложения векторов.

Движение тела в подвижной системе отсчета называется относительным, движение самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной является переносным. Таким образом, механическое движение тел относительно различных систем отсчета может быть представлено независимыми движениями: а) относительным движением тела в подвижной системе отсчета; б) переносным движением подвижной системы отсчета относительно неподвижной. В соответствии с данным утверждением закон сложения скоростей приобретает вид:

т. е. скорость тела в неподвижной системе отсчета равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Скорость тела в неподвижной системе отсчета иногда называют абсолютной.

• Заказать решение задач по физике

Задача №4

Моторная лодка плывет по реке от одного поселка к другому, расстояние между которыми 30 км. Скорость лодки в стоячей воде 20 км/ч, а скорость течения реки относительно берегов 10 км/ч. За какое время лодка преодолеет расстояние между поселками, двигаясь сначала по течению, а затем, возвращаясь назад, против него?
Дано:

Решение

Согласно закону сложения скоростей

В скалярной форме, учитывая знаки проекции скоростей, получим:

(по течению),

(против течения).

Следовательно, время движения лодки между поселками по течению:

Время движения лодки против течения:

Ответ:

Равноускоренное движение. Ускорение

При равномерном прямолинейном движении скорость тела в различных точках траектории остается неизменной. Однако в реальной жизни мы чаще имеем дело с неравномерным движением, когда скорость тела может изменяться и по своему значению, и по направлению. Если за любые равные интервалы времени скорость тела изменяется одинаково либо по значению, либо по направлению, то такое движение называется равноускоренным.

Изменение значения скорости может происходить довольно быстро (например, движение пули в ружье, старт ракеты, разбег самолета и т. п.) или сравнительно медленно (начало движения поезда, торможение автомобиля). При этом также следует учитывать, что скорость как векторная величина может изменять свое направление, которое тоже характеризует неравномерность движения. В физике для оценивания быстроты изменения скорости движения применяют физическую величину, которая называется ускорением.

Для характеристики неравномерного движения используют понятие ускорения, которое определяет, насколько быстро I изменяется скорость движения.

Ускорение – это векторная физическая величина, равная отношению изменения скорости тела к интервалу времени, в течение которого это изменение произошло:

где – начальная скорость тела, – его конечная скорость, t -время, в течение которого произошло изменение скорости.

Из определения равноускоренного движения следует, что его ускорение является постоянной величиной ( = const), потому что за равные интервалы времени скорость изменяется одинаково. В СИ ускорение измеряется в метрах в секунду в квадрате (). 1 – это ускорение такого движения, при котором тело за 1 с изменяет свою скорость на 1 м/с.

Значение ускорения определяют, учитывая векторные свойства данной физической величины. В частности, в проекциях на ось ОХ  (рис. 1.24) формула ускорения приобретает вид:

В случае, когда > 0, скорость движения увеличивается, ведь – > 0, вектор совпадает с направлением движения.

Если скорость тела со временем уменьшается то вектор ускорения будет противоположным к направлению движения (рис. 1.25).

В данном случае в соответствии с выбранным направлением координатной оси ОХ проекция ускорения будет отрицательной

Вместе с тем знак проекции ускорения не определяет характер движения – оно ускоряющееся или замедляющееся, в зависимости от выбора системы отсчета. В этом легко убедиться, если рассмотреть случай, когда оба тела движутся в противоположных направлениях. Тогда одно из тел имеет положительную проекцию ускорения а другое – отрицательную хотя оба движутся равноускоренно.

Из формул (1) и (2) можно получить кинематическое уравнение скорости для равноускоренного движения:

или в проекциях на ось ОХ:

Выведем теперь кинематическое уравнение перемещения для равноускоренного движения. Учтем, что скорость во время такого движения постоянно изменяется, например сначала она равна  а в конце движения она будет v. Поэтому в формуле перемещения можно воспользоваться понятием средней скорости (известное из курса физики 8-го класса):

Подставив в данную формулу уравнение (3) и произведя некоторые преобразования, получим:

или в проекциях на ось ОХ:

Если начальная скорость тела равна 0 то кинематическое уравнение перемещения приобретает вид:

или в проекциях на ось ОХ:

Для прямолинейного движения, учитывая, что получим кинематическое уравнение для координат или уравнение равноускоренного движения:

или для случая, когда = 0:

Следует помнить, что в ходе решения задач необходимо учитывать знаки проекций в соответствующих уравнениях.

При определении проекции перемещения не всегда известно время, в течение которого происходило движение. Тогда можно воспользоваться иным уравнением. Чтобы его получить, подставим в кинематическое уравнение  выражение  Сделав некоторые математические преобразования (предлагаем произвести их самостоятельно), получим формулу:

Отсюда Если

Задача №5

Водитель начинает тормозить в тот момент, когда спидометр автомобиля фиксирует скорость 72 км/ч. Через какое время автомобиль остановится, если он двигался с ускорением Каким был его тормозной путь?
Дано:

t -?

l – ?
Решение

По условию задачи спидометр показывает начальную скорость автомобиля Движение автомобиля во время торможения – замедляющееся, поэтому вектор ускорения направлен в противоположную сторону от направления движения. Конечная скорость автомобиля v = 0 (он остановился).

следовательно, 0 = – at, отсюда

Ответ: автомобиль остановился через 10 с, проехав 100 м.

Задача №6

Шарик толкнули по наклонному желобу вверх со скоростью 6 м/с. Шарик движется с ускорением 0,5 Найти скорость шарика через 8 с и 14 с после начала движения.
Дано:

Решение

Направим ось ОХ вдоль желоба (см. рис.).

Учитывая знаки проекций скорости и ускорения, имеем

Отсюда уравнение для имеет такой вид:

Для имеем:

Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что в первом случае шарик двигался вверх (> 0), а во втором случае он скатывался вниз, поскольку < 0.
Ответ: = 2 м/с, = -1 м/с.

Графики равноускоренного движения

1.    График ускорения а = a(t). Как известно, при равноускоренном движении ускорение является величиной постоянной (а = const). Поэтому зависимость проекции ускорения от времени отображает прямая, параллельная оси времени t. В зависимости от значения проекции ускорения -положительная она или отрицательная – данная прямая размещена над осью или под ней (рис. 1.26).

2.    График скорости и = v(t).

Линейная зависимость скорости от времени обусловлена математическим видом ее кинематического уравнения В зависимости от значений проекции ускорения и начальной скорости график будет иметь различный вид (рис. 1.27), в частности:

Если = 0, то прямая выходит из начала координат и в зависимости от значения проекции ускорения будет либо устремляться вверх ( > 0), либо падать вниз ( < 0). Наклон прямых зависит от значения проекции ускорения: чем больше ускорение, тем круче график.

3. График проекции перемещения  и координаты х = x(t).

Кинематические уравнения перемещения и координат представляют собой квадратные уравнения вида Поэтому графиками зависимости проекции перемещения и координаты от времени являются параболы. Например, если = 0 и > 0, то график имеет вид, представленный на рисунке 1.28. На графике зависимости координаты от времени, если вершина параболы смещается по оси ординат вверх или вниз в зависимости от значения

Если = 0 и < 0, то ветки параболы опущены вниз (рис. 1.29) и смещение вершины параболы вверх или вниз по оси ординат также зависит от значения

Если и (рис. 1.30), то вершина параболы смещается в точку, координаты которой определяются из соотношений:

Представленные на рисунке 1.30 графики отображают такие параметры равноускоренного движения:

1)

2) 

Задача №7

Прямолинейное движение тела описывается уравнением Определить:

• 1)    характер движения тела и его скорость через 3 с от начала движения;
• 2)    в какой момент времени после начала его отсчета тело изменило направление движения на противоположное;
• 3)    в какой момент времени после начала его отсчета тело вернется в начальную точку;
• 4)    перемещение и пройденный путь через 2 с.

Решение

1.    Для определения скорости тела в любой момент времени необходимо составить уравнение скорости Сравнив общее уравнение равноускоренного движения  с уравнением из условия задачи найдем параметры движения:

При таких условиях уравнение скорости для данного движения приобретает вид: = 6 – 8t. Из этого уравнения определим проекцию скорости через 3 с от начала движения:

Следовательно, скорость движения равна 18 м/с. Отрицательное ее значение свидетельствует о том, что направление скорости противоположно выбранному направлению координатной оси. Движение тела замедляется поэтому в некоторый момент оно остановится и может изменить направление движения.

2.    Для определения момента изменения направления движения надо уравнение скорости приравнять к 0 и решить его относительно t:

3.    Тело вернется в начальную точку, когда его координата примет значение начальной координаты, т. е. х = = 4 м. Подставив это значение в уравнение движения и решив его относительно t, получим:

Следовательно, тело имело координату в начале движения и через 1,5 с после начала движения.

4.    Для определения перемещения через 2 с после начала движения составим уравнение проекции перемещения
 в соответствии с параметрами данного движения:
Отсюда = 12 м – 16 м = -4 м.
Для определения пройденного пути следует учесть, что тело меняло направление движения, поэтому где и – перемещение тела до и после изменения направления движения. Учитывая, что время движения до изменения направления равно 0,75 с, после изменения направления t = 2 с – 0,75 с = 1,25 с, имеем:

Таким образом, пройденный путь равен:

l = 2,25 м + 6,25 м = 8,5 м.

Свободное падение тел. Ускорение свободного падения

Многочисленные наблюдения и опыты убеждают нас в том, что все тела падают на землю вследствие притяжения к ней. Если тело бросить вертикально вверх, оно все равно упадет на землю: вначале его скорость будет уменьшаться, а затем оно начнет падать вниз со всевозрастающей скоростью.

Анализ характера движения падающего тела (рис. 1.33) показывает, что данное движение равноускоренное, т. е. за равные интервалы времени оно проходит разные расстояния, которые с течением времени пропорционально увеличиваются.

Долгое время считалось, что различным телам Земля придает разное ускорение, и поэтому они падают на нее неодинаково – одни быстрее, другие медленнее. Это, как оказалось впоследствии, ложное представление подтверждал жизненный опыт: легкое перышко, падающее вместе со свинцовым шариком, достигало земли гораздо позже его. Этот, на первый взгляд, очевидный факт вынуждал многих людей искаженно воспринимать действительное протекание явления свободного падения тел. Если повторить данный опыт в условиях, когда на тело не действуют другие факторы, кроме земного притяжения, например в цилиндрической колбе, из которой откачан воздух, то результат будет иным: оба тела упадут одновременно. Этот опыт впервые выполнил И. Ньютон. Он подтвердил, что в условиях свободного падения, т. е. когда на тело действует только сила тяжести, все тела, независимо от их массы и формы, падают одинаково. Следовательно, свободное падение – это равноускоренное движение тел под действием силы тяжести при отсутствии посторонних влияний на них (сопротивление воздуха, электромагнитное взаимодействие и др.). Свободное падение происходит не только на Земле вследствие притяжения к ней всех тел. Оно происходит на всех планетах, Солнце, Луне и др. Однако падение тела ускорение свободного падения у них, конечно же, разное.
 

Выдающийся итальянский физик Галилео Галилей, изучая движение тел по наклонной плоскости, установил, что шары одинакового диаметра, изготовленные из дерева, железа, слоновой кости и других материалов, следовательно, разной массы, имеют одно и то же ускорение. Увеличивая угол наклона, он пришел к выводу, что значение ускорения при этом растет, но остается одинаковым для всех тел, независимо от их массы. Если увеличивать угол наклона плоскости до 90°, т. е. до ее вертикального положения, выводы в отношении ускорения тел останутся теми же.

Ведь при этом не появилось каких-либо дополнительных факторов, влияющих на характер движения тел. Для подтверждения данного вывода ученый провел известный опыт с пушечным ядром и пулей от мушкета, бросая их с Пизанской башни (рис. 1.34): оба тела достигали земли одновременно. Таким образом Г. Галилей экспериментально установил, что ускорение свободного падения не зависит от массы тел и является постоянной величиной для каждой планеты.

Благодаря многочисленным измерениям ускорения свободного падения для Земли определено его среднее значение у поверхности: Установлено, что оно зависит от географической широты местности. Например, на экваторе  а на полюсах

Поскольку свободное падение и движение тела, брошенного вертикально вверх (как частный случай свободного падения), являются равноускоренным движением, все его кинематические уравнения применимы и для данного случая. Вместе с тем в соответствующих уравнениях надо учитывать направление движения.

Выберем ось ОУ для вывода кинематических уравнений свободного падения тела (рис. 1.35).

Учитывая знаки проекций векторных величин на ось ОУ, а также то, что проекцию вертикального перемещения (высоту) обозначают
буквой h, получим:  

Задача №8

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с (рис. 1.36).

1. Через какое время оно будет на высоте 40 м?

Воспользуемся уравнением движения
Для упрощения уравнения можно принять тогда

Решив квадратное уравнение, получим два корня

На одной и той же высоте значение скорости тела по модулю одинаково, а по направлению противоположно.

3.    На какую максимальную высоту поднимется тело?

В наивысшей точке скорость тела равна 0. Следовательно,

Несложно определить, что все время движения составляет 6 с, общее перемещение тела равно 0, а пройденный путь l = 90 м.

Движение точки по окружности

Ранее мы рассматривали равноускоренное движение, траекторией которого была прямая. При таком движении изменяется значение скорости, а ее направление остается неизменным. В жизни чаще встречаются криволинейные движения (орбитальное движение планет, повороты транспорта нa дороге, карусели и т. п.), во время которых происходят изменения направления скорости движения. Здесь проявляется векторный характер ускорения.

По форме траектории криволинейное движение может быть достаточно разнообразным. Однако его всегда можно представить в виде последовательных участков, состоящих из отрезков прямых и дуг окружностей различного диаметра (рис. 1.37). Т. е. любое криволинейное движение является комбинацией прямолинейного движения и движения тела по окружности.

Рассмотрим равномерное движение материальной точки по окружности. Пусть она равномерно движется по окружности радиуса R и за некоторое время t перемещается из точки А в точку В (рис. 1.38).

Угол, который при этом описывает радиус, называется угловым перемещением.

Угловое перемещение обозначают греческой буквой («фи») и в СИ измеряют в радианах (рад). 1 рад равен центральному углу между двумя радиусами, стягивающих дугу, длина которой равна радиусу. Следовательно, за один оборот (360°) материальная точка осуществляет угловое перемещение рад.

Движение точки по окружности характеризуют также период вращения и частота вращения. Период вращения – это время, в течение которого материальная точка совершает полный оборот по окружности, т. е. поворот на угол рад:

где t – время вращения, N – количество совершенных оборотов. В СИ период вращения Т измеряется в секундах (с). Частота вращения n характеризует количество оборотов тела или материальной точки вокруг центра вращения за 1 секунду:

где N – количество оборотов, совершенных за время t.

В СИ частота вращения измеряется в оборотах за секунду (об/с).
Между частотой и периодом вращения существует взаимообратная зависимость:

Для определения быстроты движения точки по окружности используют понятие угловой скорости. Это физическая величина, равная отношению углового перемещения к интервалу времени t, в течение которого данное перемещение происходило:

В СИ угловая скорость измеряется в радианах за секунду (рад/с). 1 рад/с равен угловой скорости такого равномерного движения точки по окружности, при котором за 1 с совершается угловое перемещение 1 рад.

Поскольку за период Т угловое перемещение равно рад, то угловая скорость может быть определена через период и частоту вращения:

Равномерное движение материальной точки по окружности характеризуется специфическими кинематическими величинами, благодаря которым его описывают при помощи соответствующих уравнений. Это – угловое перемещение и угловая скорость, период и частота вращения. Наряду с ними применяется и привычное для нас понятие скорости, которое в данном случае называют линейной скоростью.

Во время равномерного движения точки по окружности значение ее линейной скорости остается неизменным однако направление вектора скорости все время меняется (рис. 1.39).

Поэтому линейную скорость можно характеризовать как скорость тела в некоторой точке. Она направлена по касательной к дуге в данной точке (точка А и точка В). В этом можно убедиться, приложив к точильному камню стальной нож: искры от него летят по касательной к поверхности камня в том месте, куда поднесли нож.  
 

Линейная скорость тела, которое движется по окружности, все время изменяется по направлению и в любой точке траектории направлена по касательной к дуге этой окружности.

Поскольку в данном случае линейная скорость по модулю не изменяется, то из формулы скорости равномерного движения и можно найти выражение для линейной скорости вращательного движения: Или учитывая, что получим:

Сравнивая формулы линейной скорости с угловой благодаря несложным преобразованиям, получаем:

Как уже отмечалось, изменение направления вектора скорости также вызывает ускорение, ведь как векторная величина оно равно Поэтому даже во время равномерного движения точки по окружности вследствие изменения направления линейной скорости возникает ускорение. Его называют центростремительным, потому что как вектор оно направлено к центру окружности, по которой движется материальная точка. Значение центростремительного ускорения определяют по формуле или принимая во внимание, что получаем
 

Задача №9

Земля делает один оборот вокруг своей оси за 24 ч. Вычислить угловую и линейную скорости вращения точек поверхности Земли, которые находятся на экваторе. Радиус Земли равен 6400 км. Считайте, что ось вращения проходит сквозь полюсы.

Дано:

Решение
Вращение Земли вокруг своей оси можна считать равномерным.

Следовательно,

Ответ:
 

Задача №10

Велосипедист едет по дороге со скоростью 10 м/с. Сколько оборотов за секунду делают колеса велосипеда, если они не скользят? Какое центростремительное ускорение точки обода колеса, если его радиус 35 см?
Дано:

v = 10 м/с,

R = 0,35 м.

n – ? а – ?
Решение

Ответ: n = 0,22 об/с, а = 285

Итоги:

Кинематика изучает механическое движение тел, не рассматривая причин, вызывающих именно такое движение. Описание механического движения в кинематике основывается на выяснении характера изменений координат, перемещений, скорости с течением времени. Для того чтобы описать движение тела, необходимо установить закон (уравнение) изменения во времени координат или скоростей тела относительно других тел. Изменение положения тела в пространстве с течением времени характеризуется перемещением. Это векторная величина, которая определяет не только пройденный путь, но и направление, в котором происходило движение.

Механическое движение по форме траектории может быть прямолинейным или криволинейным, по характеру движения – равномерным или равноускоренным. В зависимости от этого уравнения движения имеют вид:

для равномерного прямолинейного движения

для равноускоренного прямолинейного движения

для равномерного движения по окружности

Механическое движение относительно. Это означает, что траектория, перемещение, пройденный путь, скорость, зависят от выбора системы отсчета. Механическое движение относительно различных систем отсчета может быть представлено двумя независимыми движениями – относительным движением тела в подвижной системе отсчета и переносным движением подвижной системы отсчета относительно неподвижной. Данное утверждение подтверждает закон сложения скоростей -скорость тела в неподвижной системе отсчета равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:

Равноускоренное движение характеризует векторная физическая величина, называемая ускорением: Одним из случаев равноускоренного движения является свободное падение тел, при котором движение тела происходит лишь под действием силы тяжести Земли, исключая постороннее влияние на тела иных факторов (сопротивление воздуха, электромагнитное взаимодействие и др.). Ускорение свободного падения не зависит от массы тела и является постоянной величиной для данной местности. На Земле оно равно приблизительно 9,81 Уравнения движения тел при их свободном падении зависят от выбора системы отсчета:

Криволинейное движение можно представить как последовательность участков, состоящих из отрезков прямых и дуг окружностей разного диаметра. Равномерное движение тела или материальной точки по окружности характеризуется угловым перемещением и угловой скоростью

Линейная и угловая скорости согласуются между собой в виде соотношения:

При равномерном движении точки по окружности вследствие изменения направления линейной скорости возникает центростремительное ускорение: