Как найти перемещение в физике по графику - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Вычисление перемещения по графику проекции скорости

Из кодификатора по физике, 2020.
«1.1.3. Вычисление перемещения по графику зависимости υ(t).»

Теория

Пусть задан график зависимости проекции скорости ${ v }_{ x }$ от времени t (рис. 1).

Проекция перемещении тела ${ s }_{ x }$ за промежуток времени от ${ t }_{ 1 }$ до ${ t }_{ 2 }$ численно равна по величине площади фигуры, ограниченной графиком ${ v }_{ x }(t)$ , осью времени 0t и перпендикулярами к ${ t }_{ 1 }$ и ${ t }_{ 2 }$ (см. рис. 1, площадь выделена штриховкой).

Проекцию перемещения на ось 0Х будем считать:

— положительной, если проекция скорости на данную ось будет положительной (тело движется по направлению оси) (см. рис. 1);

— отрицательной, если проекция скорости на данную ось будет отрицательной (тело движется против оси) (рис. 2).

Путь s может быть только положительным:

Напоминаем формулы для расчета площадей фигур:

— прямоугольника –

— треугольника – $S=frac { acdot h }{ 2 }$

— трапеции – $S=frac { a+b }{ 2 } cdot h$

Задачи

Задача 1. По графику проекции скорости тела (рис. 3) определите проекцию его перемещения между 1 и 5 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Проекция перемещения за промежуток времени Δt= ${ t }_{ 2 }$ – ${ t }_{ 1 }$ =5с–1с=4c численно равна площади фигуры, ограниченной графиком ${ v }_{ x }(t)$ , осью времени 0t и перпендикулярами к ${ t }_{ 1 }=1$ с и ${ t }_{ 2 }=5$ с (рис. 4, площадь выделена штриховкой). Фигура ABCD — это трапеция, ее площадь равна

$S=frac { a+b }{ 2 } cdot h=frac { AD+BC }{ 2 } cdot DC$

где DC = Δt = 4 c, AD = 3 м/c, BC = 5 м/c. Тогда S = 16 м.
Проекция перемещения ${ s }_{ x }>0$ , т.к. проекция скорости ${ v }_{ x }>0$ .
${ s }_{ x }=S=16$ м.

Ответ: 16.

Задача 2. Автомобиль движется по прямой улице вдоль оси X. На рисунке 5 представлен график зависимости проекции скорости автомобиля от времени. Определите путь, пройденный автомобилем в течение указанных интервалов времени.

Интервал времени	Путь
от 0 до 10 с	Ответ: м.
от 30 до 40 с	Ответ: м.

В бланк ответов перенесите только числа, не разделяя их пробелом или другим знаком.

Решение. Путь за промежуток времени Δt = ${ t }_{ 2 }$ – ${ t }_{ 1 }$ численно равна площади фигуры, ограниченной графиком ${ v }_{ x }(t),$ осью времени 0t и перпендикулярами к ${ t }_{ 1 }$ и ${ t }_{ 2 }$ .

На интервале [0 с, 10 с] ищем площадь треугольника (рис. 6).

${ S }_{ 1 }=frac { acdot h }{ 2 }$ ,

где a = 20 м/c, $h=triangle { t }_{ 1 }=10c-0c=10c$ . Тогда ${ S }_{ 1 }=100$ м.

Путь равен значению площади (путь всегда положительный, т.е. s > 0).

${ s }_{ 1 }={ S }_{ 1 }=100$ м.

На интервале [30 с, 40 с] ищем площадь трапеции (см. рис. 6).

${ S }_{ 2 }=frac { a+b }{ 2 } cdot h$ ,

где a = 10 м/c, b = 15 м/c, h = Δt = 40 c – 30 с = 10 с. Тогда ${ s }_{ 2 }={ S }_{ 2 }=125$ м.

Ответ: 100125.

Задача 3. Определите за первые 4 с (рис. 7):

а) проекцию перемещения тела;

б) пройденный путь.

Ответ: а) ____ м; б) ____ м.

Решение. Проекция перемещения за время $triangle t={ t }_{ 2 }-{ t }_{ 1 }=4c-0=4c$ (пер-вые 4 с) численно равна площади фигуры, ограниченной графиком ${ v }_{ x }(t)$ , осью времени 0t и перпендикулярами к ${ t }_{ 1 }=0$ с и ${ t }_{ 2 }=4$ с (рис. 8, площадь выделена штриховкой).

Так как при ${ t }_{ 0 }=3$ с проекция скорости поменяла знак, то получили две фигуры, два треугольника, площади которых равны:

${ S }_{ 1 }=frac { { a }_{ 1 }cdot { h }_{ 1 } }{ 2 } ,quad { S }_{ 2 }=frac { { a }_{ 2 }cdot { h }_{ 2 } }{ 2 }$ ,

где

${ a }_{ 1 }=30quad$ м/с, $quad { h }_{ 1 }=triangle { t }_{ 1 }=3c-0c=3c$

${ a }_{ 2 }$ =|-10 м/c|=10 м/c, $quad { h }_{ 2 }=triangle { t }_{ 2 }=4c-3c=1c$ .

Тогда ${ S }_{ 1 }=45$ м, $quad { S }_{ 2 }=5$ м.

а) Проекция перемещения ${ s }_{ 1x }>0$ , т.к. проекция скорости ${ v }_{ 1x }>0$ ; проекция перемещения ${ s }_{ 2x }<0$ , т.к. проекция скорости ${ v }_{ 2x }<0$ . В итоге получаем: ${ s }_{ x }={ s }_{ 1x }+{ s }_{ 2x }={ S }_{ 1 }-{ S }_{ 2 },quad { s }_{ 1x }=$ 45м – 5м = 40 м. б) Путь равен значению площади (путь всегда положительный, т.е. s>0).

$s={ S }_{ 1 }+{ S }_{ 2 }$ , s = 45 м + 5 м = 50 м.

Ответ: а) 40; б) 50.

Задача 4. График зависимости проекции скорости материальной точки, движущейся вдоль оси 0Х, от времени изображен на рисунке 9. Определите перемещение точки, которое она совершила за первые 6 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Проекция перемещения за время $triangle t={ t }_{ 2 }-{ t }_{ 1 }=6c-0=6c$ (пер-вые 6 с) численно равна площади фигуры, ограниченной графиком ${ v }_{ x }(t)$ , осью времени 0t и перпендикулярами к ${ t }_{ 1 }=0 c$ и ${ t }_{ 2 }=6 c$ (рис. 10, площадь выделена штриховкой).

Так как при ${ t }_{ 01 }=2c$ и ${ t }_{ 02 }=4c$ проекция скорости меняет знак, то получили три фигуры, три треугольника, площади которых равны:

${ S }_{ 1 }=frac { { a }_{ 1 }cdot { h }_{ 1 } }{ 2 } ,quad { S }_{ 2 }=frac { { a }_{ 2 }cdot { h }_{ 2 } }{ 2 } ,quad { S }_{ 3 }=frac { { a }_{ 3 }cdot { h }_{ 3 } }{ 2 } ,$

где

${ a }_{ 1 }=3$ м/с, $h_{ 1 }=triangle { t }_{ 1 }=2c-0c=2c$

${ a }_{ 2 }=$ |-2 м/c| = 2 м/с, $h_{ 2 }=triangle { t }_{ 2 }=4c-2c=2c$

${ a }_{ 2 }=$ 3м/c, $h_{ 3 }=triangle { t }_{ 3 }=6c-4c=2c$ .

Тогда ${ S }_{ 1 }=3$ м, ${ S }_{ 2 }=2$ м, ${ S }_{ 3 }=3$ м.

Проекция перемещения ${ s }_{ 1x }>0$ , т.к. проекция скорости ${ v }_{ 1x }>0$ .

Проекция перемещения ${ s }_{ 2x }<0$ , т.к. проекция скорости ${ v }_{ 2x }<0$ . Проекция перемещения ${ s }_{ 3x }>0$ , т.к. проекция скорости ${ v }_{ 3x }>0$ . В итоге получаем:

${ s }_{ x }={ s }_{ 1x }+{ s }_{ 2x }+{ s }_{ 3x }={ S }_{ 1 }-{ S }_{ 2 }+{ S }_{ 3 },quad { s }_{ x }=$ 3 м – 2 м + 3 м = 4 м.

Ответ: 4.

Задача 5. На рисунке приведен график зависимости v_x скорости тела от времени .

Определите путь, пройденный телом в интервале времени от 0 до 5 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Решение любых графических задач основывается на умении «читать» графики. В данной задаче рассматривается зависимость проекции скорости тела от времени. На интервале от 0 до 3с проекция скорости уменьшается от значения 15 м/с до 0. На интервале от 3 до 5с модуль проекции начинает возрастать от нулевого значения до 10 м/с. Причем важно «увидеть», что тело в этом временном интервале начинает движение в направлении, противоположном оси ОХ.

Пройденный путь будет определяться площадью геометрической фигуры, образованной под графиком проекции скорости.

Рис.1

Дальнейшее решение задачи сводится к нахождению площадей двух треугольников, заштрихованных на рис.1

$S_1=frac{15cdot 3}{2}=22,5$ (м).

$S_2=frac{10cdot 2}{2}=10$ (м).

Тогда, общий путь в интервале времени от 0 до 5с будет определяться суммой отдельных путей S_1 и S_2 .

(м).
Ответ: 32,5 м

По условию этой задачи можно поставить второй вопрос: найти проекцию перемещения в интервале времени от 0 до 5с.

В этом случае надо учесть, что проекция перемещения в интервале времени от 0 до 3 с положительная и её значение равно пройденному пути на этом интервале.

$S_{1x}=S_1=22,5$ (м).

В интервале времени от 3 с до 5 с проекция перемещения отрицательная, так как тело движется в направлении противоположном оси ОХ.

$S_{2x}=-10$ (м).

Проекция перемещения за весь интервал времени будет равна $S_{o.x}=S_{1x}+S_{2x}$
$S_{o.x}=22,5+(-10)=12,5$ (м).

Ответ: 12,5 м

Задача 6. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости v прямолинейно движущегося тела от времени t. Определите по графику путь, пройденный телом в интервале времени от 1 до 5 с.

Ответ: ____ м.

Решение. Для нахождения пройденного пути в интервале времени от 1с до 5с необходимо рассчитать площадь геометрической фигуры под графиком модуля скорости.

Рис.1

Дальнейшее решение сводится к расчету площади трапеции, заштрихованной на графике (см. рис.1).

$S=frac{4+2}{2}cdot 10=30$ (м).

Особенностью подобной задачи является то, что при решении, необходимо внимательно отследить временной интервал, на котором требуется рассчитать пройденный путь.
Ответ: 30 м.

Задача 7. Из двух городов навстречу друг другу с постоянной скоростью двиижутся два автомобиля. На графике показана зависимость расстояния между автомобилями от времени. Скорость первого автомобиля равна 15 м/с. Какова скорость второго автомобиля?

Ответ: ____ м.

Решение. При движении навстречу друг к другу расстояние между двумя автомобилями уменьшается от значения 144 км до 0. На графике видно, что встреча автомобилей произошла в момент времени 60 минут, так как расстояние между автомобилями стало равным 0. Расчеты в этой задаче требуют обязательного применения системы «СИ».

144 км = 144000 м; 60 мин = 3600 с.
Используя эти данные, можно рассчитать скорость сближения автомобилей.

$v=frac{144000}{3600}=40$ м/с

Так как автомобили движутся навстречу друг другу, то отсюда скорость второго автомобиля можно выразить как

(м/с)

Ответ: 25 м/с.

Задача 8. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени. Найдите путь, пройденный телом за время от момента времени 0 с до момента времени 5 с. (Ответ дайте в метрах.)

Ответ: ____ м.

Решение. Для нахождения пройденного пути необходимо рассчитать площадь геометрической фигуры (трапеции) под графиком модуля скорости (см.рис.1). Это относится к интервалу времени от 0 до 3 с. От 3 с до 5 с скорость тела равна 0, следовательно, тело находилось в состоянии покоя и пройденный путь в этом интервале равен 0.

Рис.1

$S_1=frac{3+1}{2}cdot 10=20$ (м).
S_2=0
(м).

Сакович А.Л., 2020

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Вычисление перемещения по графику проекции скорости» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

По графику скорости от времени v(t) можно найти перемещение тела. Для этого нужно уметь рассчитывать площади плоских фигур.

По-английски «Square» – значит «площадь». Первая буква этого слова – буква «S». Перемещение обозначают буквой S потому, что S – это площадь фигуры, заключенной между линией скорости и горизонтальной осью времени.

Как вычислить площади плоских фигур

Рис.1. Чтобы рассчитать перемещение по графику v(t) нужно уметь вычислять площади трех плоских фигур

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника (рис. 1а) можно найти, перемножив две его перпендикулярные стороны:

[ large boxed{ S_{text{прямоуг}} = a cdot b }]

Площадь трапеции

Примечание: Трапеция – это четырехугольник, две его стороны параллельные, а две другие – не параллельные. Параллельные стороны называются основаниями трапеции.

Умножив полусумму оснований трапеции на ее высоту, получим площадь (рис. 1б) трапеции:

[ large boxed{ S_{text{трапец}} = frac{1}{2} (a + b) cdot h }]

Площадь прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника (рис. 1в) площадь можно вычислить, перемножив два его катета и взяв половину от получившегося произведения:

[ large boxed{ S_{text{треуг}} = frac{1}{2} cdot a cdot b }]

Скорость не меняется

Пусть тело движется по прямой и при этом его скорость не изменяется (остается одной и той же). На языке математики «скорость не изменяется» можно записать так:

[v=const]

На графике для скорости v(t) такая скорость обозначается горизонтальной линией. На рисунке 2 эта линия обозначена синим цветом.

Рис.2. Площадь прямоугольника на графике v(t), если скорость тела не изменяется, будет численно равна перемещению тела

Примечание: Движение с постоянной (т. е. с одной и той же) скоростью называют равномерным движением.

Если скорость направлена по оси движения – линия лежит выше оси t времени (рис. 2а).

А когда скорость направлена против оси движения – линия скорости располагается ниже оси t времени (рис. 2б). Математики в таком случае говорят: «Скорость имеет отрицательную проекцию на ось».

Какую бы проекцию не имела скорость – положительную, или отрицательную, длина вектора скорости остается положительной. Поэтому, когда мы вычисляем площадь фигуры, то не учитываем знак «минус» для скорости (рис. 2б).

В обоих случаях перемещение тела можно вычислить по формуле:

[ large S = v_{0} cdot (t_{2} — t_{1}) ]

Примечание: Перемещение тела – это всегда либо нулевая, либо положительная величина S. Математики словосочетание «либо нулевая, либо положительная» заменят одним словом «не отрицательная».

Скорость увеличивается

Когда скорость тела увеличивается, то линия скорости на графике v(t) всегда располагается так, чтобы с ростом времени удаляться от оси времени. Чем больше времени пройдет, тем дальше от горизонтали располагаются точки, лежащие на линии скорости (рис. 3).

Рис.3. Так выглядит зависимость скорости от времени v(t), когда тело увеличивает свою скорость, двигаясь по оси – рис а) и против оси – рис. б)

Примечание: Движение с возрастающей скоростью называют равноускоренным движением.

Когда тело движется по направлению оси, линия скорости расположена выше горизонтальной оси времени (рис 3а).

А если тело движется против оси, линия скорости располагается ниже горизонтальной оси времени (рис. 3б).

Вычислим перемещение тела, движущегося в положительном направлении оси Ox. Для тела, движущегося противоположно оси, перемещение рассчитывается аналогично.

Выбор интервала времени влияет на то, будем ли мы вычислять площадь трапеции (рис. 4а), или прямоугольного треугольника (рис. 4б).

Рис.4. График v(t) — тело движется в положительном направлении оси и увеличивает свою скорость. От того, какой интервал времени мы выберем, зависит, будем ли мы вычислять путь, пройденный телом, с помощью площади трапеции – рис. а), или прямоугольного треугольника — рис. б)

На графике скорости v(t) для рисунка 4а перемещение с помощью трапеции вычисляется так:

[ large S = frac{1}{2} cdot (v_{1} + v_{2}) cdot (t_{2} — t_{1}) ]

А для рисунка 4б перемещение тела найдем с помощью площади треугольника:

[ large S = frac{1}{2} cdot v_{2} cdot (t_{2} — 0) ]

Скорость уменьшается

Когда тело замедляется и его скорость уменьшается, с ростом времени линия скорости приближается к горизонтальной оси t

сверху – если тело движется по оси (рис. 5а),
или снизу – когда тело движется против оси (рис. 5б).

Рис.5. Так выглядит зависимость скорости от времени v(t), когда тело уменьшает свою скорость, двигаясь по оси – рис а) и против оси – рис. б)

Примечание: Движение с уменьшающейся по модулю скоростью называют равнозамедленным движением.

Будем вычислять перемещение тела, движущегося в положительном направлении оси Ox. Аналогичным способом рассчитывается перемещение тела, движущегося противоположно оси.

От того, какой интервал времени нас интересует, зависит, будем ли мы вычислять площадь трапеции (рис. 6а), или треугольника (рис. 6б).

Рис.6. График v(t) — тело движется в положительном направлении оси и уменьшает свою скорость. Выбор интервала времени определяет, будем ли мы вычислять путь, пройденный телом, с помощью трапеции – рис. а), или треугольника — рис. б)

Найдем на графике v(t) перемещение с помощью площади трапеции для рисунка 6а:

[ large S = frac{1}{2} cdot (v_{1} + v_{2}) cdot (t_{2} — t_{1}) ]

А для рисунка 6б перемещение тела найдем с помощью площади треугольника:

[ large S = frac{1}{2} cdot v_{1} cdot (t_{2} — t_{1}) ]

Выводы

На графике v(t) перемещение – это:

площадь прямоугольника, когда скорость не изменяется;
площадь треугольника, или трапеции, когда скорость изменяется — падает, или растет.

Источник

Физическую задачу в кинематике можно решить несколькими способами:

аналитический — решение задачи основано на формулах (физических законах), которые связывают искомую величину и данные в условии задачи;
графический — решение задачи осуществляется с помощью графика.

Основные закономерности графического способа решения задач по кинематике

1.1. График зависимости модуля скорости (v(t)) равномерного движения от времени — прямая линия, параллельная оси (OX) (рис. (1)).

Рис. (1). График модуля скорости равномерного движения

Если изображается зависимость проекции скорости от времени (v_x(t)), то возможны следующие варианты интерпретации:

а) график расположен над осью времени — тело движется в положительном направлении оси (OX);

б) график расположен под осью времени — тело движется в отрицательном направлении оси (OX).

1.2. Модуль перемещения (или пройденный путь при одномерном прямолинейном движении) на графике (v(t)) в момент времени (t_1) будет равен площади фигуры (прямоугольника) под графиком модуля скорости (рис. (2)).

Рис. (2). Определение модуля перемещения по графику скорости

2.1. График модуля перемещения (s(t)) для равномерного движения (рис. (3)) — прямая под углом ({alpha}) к оси времени:

Рис. (3). График модуля перемещения

Если изображается зависимость проекции перемещения от времени (s_x(t)), то возможны следующие варианты интерпретации:

а) график расположен над осью времени — тело движется в положительном направлении оси (OX);

б) график расположен под осью времени — тело движется в отрицательном направлении оси (OX).

2.2. Модуль скорости равномерного движения на графике модуля перемещения (s(t)) равен тангенсу угла (tgalpha) наклона прямой на графике (рис. (4)).

Рис. (4). Определение модуля скорости по графику модуля перемещения

Решение задачи аналитическим и графическим способами

Два катера, между которыми расстояние (30) м, равномерно движутся навстречу друг другу со значениями модулей скоростей υ1 (=) (2) м/с и υ2 (=) (4) м/c. Определи время встречи катеров. Какой путь успеет пройти первый катер до встречи?

Дано:

начальная координата первого катера —

x01

(=) (0) м, а второго —

x02

(=) (30) м.

Вектор скорости первого катера (vec{v_1}) сонаправлен оси (OX), его проекция будет положительна ({v_1}_x > 0), а вектор скорости второго катера (vec{v_2}) направлен противоположно оси (OX), поэтому его проекция будет отрицательна: ({v_2}_x < 0) (рис. (5)).

Рис. (5). Задача

Аналитический способ решения

1. Запишем уравнения движения тел, исходя из формулы (x(t) = x_0 + v_x(t – t_0)).

2. В момент встречи (t_{встр}) тела будут иметь одинаковую координату (x_1 = x_2):

2tвстр=30−4tвстр;6tвстр=30;[tвстр]=мм/с=c;tвстр=306=5c.

— расчёт времени встречи катеров.

3. Для ответа на второй вопрос воспользуемся следующей формулой:

L=υ1⋅tвстр;[L]=мc⋅c=м;L=2⋅5=10м.

— расчёт пути, пройденного первым катером до момента встречи (t_{встр}).

Графический способ решения

1. Запишем для первого катера уравнение движения:

x1=0+2t=2t

2. Заполним таблицу значений (x(t)) для построения графика движения первого катера.

(x), м	(0)	(2)	(4)
(t), с	(0)	(1)	(2)

3. Запишем для второго катера уравнение движения:

x2=30−4t

4. Заполним таблицу значений (x(t)) для построения графика движения второго катера.

(x), м	(30)	(26)	(22)
(t), с	(0)	(1)	(2)

5. Построим графики движений двух катеров.

Рис. (6). График движения катеров

6. Находим по графику (рис. (6)):

а) время встречи (точка пересечения)

tвстр

(=) (5) c;

б) путь, пройденный первым катером, равен изменению координаты (L) (=) (x(t_{встр})) —

x01

(=) (10) м.

Ответ: (5) с; (10) м.

Источники:

Рис. 1. График модуля скорости равномерного движения. © ЯКласс.

Рис. 2. Определение модуля перемещения по графику скорости. © ЯКласс.

Рис. 3. График модуля перемещения. © ЯКласс.

Рис. 4. Определение модуля скорости по графику модуля перемещения. © ЯКласс.

Рис. 5. Задача. © ЯКласс.

Рис. 6. График движения катеров. © ЯКласс.

Источник

Физика

Тема 2: Кинематика

Урок 8: Графический способ нахождения пути и перемещения

Видео
Тренажер
Теория

Заметили ошибку?

Графический способ нахождения пути и перемещения

При равномерном движении, проекция перемещения на ось х (S_x) вычисляется как S _x=v _x t.

Если мы на графике изобразим зависимость скорости v xот времени, то получим прямую линию, параллельную оси t . Тогда S xна графике – это площадь прямоугольника

Если тело движется против оси х, то проекция скорости vнаправлена против оси х и v x будет отрицательной. Тогда

S_x=−v_x t.

При неравномерном движении, мы разбиваем проекцию перемещения на маленькие участки, где на каждом участке, скорость практически не менялась и движение равномерно

Сложив площади всех маленьких участков (где площадь каждого участка S _x=v _x t ¿, мы получим общую площадь под графиком, т. е. проекцию перемещения на ось t .

Задача 1

Электропоезд, отходящий от станции, в течение 0,5 мин двигался с ускорением 0,8 м/с2. Определите путь, который он прошёл за это время, и скорость в конце пути.

Дано

Решение

Задача 2

Тело движется прямолинейно вдоль оси ОХ (рис 8). График зависимости скорости V x от времени представлен на рисунке 7. По данному графику определите перемещение и путь, пройденные телом за время t = 6 с.

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Источник

Геометрический смысл перемещения заключается в том, что перемещение есть площадь фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и прямыми, проведенными перпендикулярно к оси времени через точки, соответствующие времени начала и конца движения.

При равноускоренном прямолинейном движении перемещение определяется площадью трапеции, основаниями которой служат проекции начальной и конечной скорости тела, а ее боковыми сторонами — ось времени и график скорости соответственно. Поэтому перемещение (путь) можно вычислить по формуле:

Формула перемещения

Пример №1. По графику определить перемещение тела в момент времени t=3 с.

Перемещение есть площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами, проведенными к ней. Поэтому в нашем случае:

Извлекаем из графика необходимые данные:

Фигура 1. Начальная скорость — 3 м/с. Конечная — 0 м/с. Время — 1,5 с.
Фигура 2. Начальная скорость — 0 м/с. Конечная — –3 м/с. Время — 1,5 с (3 с – 1,5 с).

Подставляем известные данные в формулу:

Перемещение равно 0, так как тело сначала проделало некоторый путь, а затем вернулось в исходное положение.

Варианты записи формулы перемещения

Конечная скорость движения тела часто неизвестна. Поэтому при решении задач вместо нее обычно подставляют эту формулу:

v = v₀± at

В итоге получается формула:

Если движение равнозамедленное, в формуле используется знак «–». Если движение равноускоренное, оставляется знак «+».

Если начальная скорость равна 0 (v₀= 0), эта формула принимает вид:

Если неизвестно время движения, но известно ускорение, начальная и конечная скорости, то перемещение можно вычислить по формуле:

Пример №2. Найти тормозной путь автомобиля, который начал тормозить при скорости 72 км/ч. Торможение до полной остановки заняло 3 секунды. Модуль ускорения при этом составил 2 м/с.

Перемещение при разгоне и торможении тела

Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают (а↑↑v). Если векторы имеют противоположное направление (а↑↓v), движение следует описывать в два этапа:

Этап торможения

Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:

t₁ = t – t₂

Когда тело тормозит, через некоторое время t₁ оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t₁ равна 0:

0 = v₀₁ – at₁

При торможении перемещение s₁ равно:

Этап разгона

Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:

t₂ = t – t₁

Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t₂равна:

v = at₂

При разгоне перемещение s₂ равно:

При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:

s = |s₁ – s₂|

Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:

l = s₁ + s₂

Пример №3. Мальчик пробежал из состояния покоя некоторое расстояние за 5 секунд с ускорением 1 м/с². Затем он тормозил до полной остановки в течение 2 секунд с другим по модулю ускорением. Найти этот модуль ускорения, если его тормозной путь составил 3 метра.

В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:

Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:

v₀₂ = v₀₁ + a₁t₁ = a₁t₁ (так как v₀₁= 0)

Подставляем выраженные величины в формулу:

Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения

Иногда в механике встречаются задачи, когда нужно найти перемещение тела за определенный промежуток времени при условии, что тело начинало движение из состояния покоя. В таком случае перемещение определяется формулой:

За первую секунду тело переместится на расстояние, равное:

За вторую секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 2 секунды и перемещения за 1 секунду:

За третью секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 3 секунды и перемещения за 2 секунды:

Видно, что за каждую секунду тело проходит перемещение, кратное целому нечетному числу:

Из формул перемещений за 1, 2 и 3 секунду можно выявить закономерность: перемещение за n-ную секунду равно половине произведения модуля ускорения на (2n–1), где n — секунда, за которую мы ищем перемещение тела. Математически это записывается так:

Формула перемещения за n-ную секунду

Пример №4. Автомобиль разгоняется с ускорением 3 м/с^2.Найти его перемещение за 6 секунду.

Подставляем известные данные в формулу и получаем:

Таким же способом можно найти перемещение не за 1 секунду, а за некоторый промежуток времени: за 2, 3, 4 секунды и т. д. В этом случае используется формула:

где t — время одного промежутка, а n — порядковый номер этого промежутка.

Пример №5. Ягуар ринулся за добычей с ускорением 2,5 м/с². Найти его перемещение за промежуток времени от 4 до 6 секунд включительно.

Время от 4 до 6 секунд включительно — это 3 секунды: 4-ая, 5-ая и 6-ая. Значит, промежуток времени составляет 3 секунды. До наступления этого промежутка успело пройти еще 3 секунды. Значит, время от 4 до 6 секунд — это второй по счету временной промежуток.

Подставляем известные данные в формулу:

Проекция и график перемещения

Проекция перемещения на ось ОХ. График перемещения — это график зависимости перемещения от времени. Графиком перемещения при равноускоренном движении является ветка параболы. График перемещения при равноускоренном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения сонаправлены (v↑↑a), принимает следующий вид:

График перемещения при равнозамедленном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения противоположно (v↓↑a), принимает следующий вид:

Определение направления знака проекции ускорения по графику его перемещения:

Если ветви параболического графика смотрят вниз, проекция ускорения тела отрицательна.
Если ветви параболического графика смотрят вверх, проекция ускорения тела положительна.

Пример №6. Определить ускорение тела по графику его перемещения.

Перемещение тела в момент времени t=0 с соответствует нулю. Значит, ускорение можно выразить из формулы перемещения без начального ускорения. Получим:

Теперь возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 с. Этой точке соответствует перемещение 30 м. Подставляем известные данные в формулу и получаем:

График пути

График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.

В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:

1 часть — до момента, когда скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть графика является частью параболы от начала координат до ее вершины.
2 часть — после момента, при котором скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть является ветвью такой же, но перевернутой параболы. Ее вершина совпадает с вершиной предыдущей параболы, но ее ветвь направлена вверх.

Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.

Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.

При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:

Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:

Задание EF18553

Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t– 3t²(все величины выражены в СИ).

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Алгоритм решения

1.Записать исходные данные и перевести их единицы измерения величин в СИ.

2.Записать уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении в общем виде.

3.Сравнить формулу из условия задачи с этим уравнением движения и выделить кинематические характеристики движения.

4.Определить перемещение тела и его кинетическую энергию.

5.Выбрать для физических величин соответствующую позицию из второго столбца таблицы и записать ответ.

Решение

Из условия задачи известна только масса тела: m = 200 г = 0,2 кг.

Так как тело движется вдоль оси Ox, уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид:

x(t)=x0+v0t+at22

Теперь мы можем выделить кинематические характеристики движения тела:

• a/2 = –3 (м/с2), следовательно, a = –6 (м/с2).

Перемещение тела определяется формулой:

s=v0t+at22

Начальная координата не учитывается, так как это расстояние было уже пройдено до начала отсчета времени. Поэтому перемещение равно:

x(t)=v0t+at22=5t−3t2

Кинетическая энергия тела определяется формулой:

Ek=mv22

Скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна:

v=v0+at=5−6t

Поэтому кинетическая энергия тела равна:

Ek=m(5−6t)22=0,22(5−6t)2=0,1(5−6t)2

Следовательно, правильная последовательность цифр в ответе будет: 34.

Ответ: 34

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18774

На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.

К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.

Алгоритм решения

Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
Определить величины, которые характеризуют такое движение.
Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.

Решение

График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:

перемещение и путь;
скорость;
ускорение.

Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.

График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.

График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.

Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.

График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».

График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».

Ответ: 24

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Задание EF18831

На рисунке представлен график зависимости модуля скорости υ автомобиля от времени t. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t₁=20 с до t₂=50 с.

Алгоритм решения

Охарактеризовать движение тела на различных участках графика.
Выделить участки движения, над которыми нужно работать по условию задачи.
Записать исходные данные.
Записать формулу определения искомой величины.
Произвести вычисления.

Решение

Весь график можно поделить на 3 участка:

От t₁ = 0 c до t₂ = 10 с. В это время тело двигалось равноускоренно (с положительным ускорением).
От t₁ = 10 c до t₂ = 30 с. В это время тело двигалось равномерно (с нулевым ускорением).
От t₁ = 30 c до t₂ = 50 с. В это время тело двигалось равнозамедленно (с отрицательным ускорением).

По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t₁ = 20 c до t₂ = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:

От t₁ = 20 c до t₂ = 30 с — с равномерным движением.
От t₁ = 30 c до t₂ = 50 с — с равнозамедленным движением.

Исходные данные:

Для первого участка. Начальный момент времени t₁ = 20 c. Конечный момент времени t₂ = 30 с. Скорость (определяем по графику) — 10 м/с.
Для второго участка. Начальный момент времени t₁ = 30 c. Конечный момент времени t₂ = 50 с. Скорость определяем по графику. Начальная скорость — 10 м/с, конечная — 0 м/с.

Записываем формулу искомой величины:

s = s₁ + s₂

s₁ — путь тела, пройденный на первом участке, s₂ — путь тела, пройденный на втором участке.

s₁ и s₂ можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:

Теперь рассчитаем пути s₁ и s₂, а затем сложим их:

s₁ + s₂ = 100 + 100 = 200 (м)

Ответ: 200

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор

Алиса Никитина | Просмотров: 25.2k

Источник

Вычисление перемещения по графику проекции скорости

Теория

Задачи

Как вычислить площади плоских фигур

Площадь прямоугольника

Площадь трапеции

Площадь прямоугольного треугольника

Скорость не меняется

Скорость увеличивается

Скорость уменьшается

Выводы

Физика

Урок 8: Графический способ нахождения пути и перемещения

Заметили ошибку?

<img decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" loading="lazy" src="https://spadilo.ru/wp-content/uploads/2020/07/word-image-149.png" width="430" height="61" />

Перемещение при разгоне и торможении тела

Этап торможения

Этап разгона

Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения

Проекция и график перемещения

График пути

Вам также может понравиться

Ошибка 1401 canon mg3640 как исправить

Как найти на компьютере рисовалку

Как найти видео в ватсапе на айфоне

Добавить комментарий Отменить ответ