Как найти пересечение диагоналей куба координаты - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;
прямая призма, все грани которой есть квадраты;
прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.

Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.

Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.

Центр куба

Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.

Диагональ куба

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба – одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Объем куба

Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

106

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:

Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).

Свойства куба

Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.

Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.

Прочие свойства:

у куба все грани равны, являются квадратами;
у куба все рёбра равны;
один центр и несколько осей симметрии.

Источник

Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;
прямая призма, все грани которой есть квадраты;
прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями.

Другое название – стороны.

Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть.

Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать.

Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Центр куба

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Диагональ куба

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба — одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Перспективный рисунок куба

ЦЕЛЬ И ПОСТАНОВКА ЗАДАНИЯ. Чтобы научиться рисовать куб в перспективе, сначала изобразите куб в произвольном положении на основе горизонтального квадрата. Проанализируйте перспективные закономерности построения куба на примере вашего рисунка. Затем изобразите кубы в произвольном и заданном повороте, выше и ниже линии горизонта.

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ

Приступая к работе над рисунком, продумайте композицию листа. На нем должны разместиться 7 – 8 кубов (рис. 3.2). В верхней части листа изображайте кубы, на которые вы смотрите снизу, в нижней части листа – кубы, на которые вы смотрите сверху -так, как будто примерно посередине листа проходит линия горизонта. При желании можно действительно провести ее на рисунке, тогда раскрытие квадратов в основании кубов будет задано более точно. Обозначьте на листе место и приблизительный размер каждого куба легкими линиями.

Наилучшее представление о геометрическом теле дает анализ его ортогональных проекций. Рассмотрите перспективный рисунок куба на рис. 3.3 и его ортогональные проекции на рис. 3.4. Перспектива куба строится на перспективе квадратов, его образующих. Чувство перспективы квадрата, а также куба, должно быть развито у архитектора особенно хорошо, так как квадрат и куб являются основными модулями площади и объема для других плоских и пространственных форм.

Для выполнения задания внимательно изучите схемы построения куба в угловой и фронтальной перспективах. Сначала изобразите куб ниже линии горизонта в угловой перспективе. Рисунок куба начните с горизонтального квадрата верхнего основания. Квадрат постройте на основе эллипса (рис. 3.5). Проведите из вершин квадрата вертикальные ребра куба и отложите на ближнем вертикальном ребре высоту куба. Она, примерно, равна большой оси эллипса, вписанного в квадрат основания куба. Определив высоту куба, последовательно достраивайте недостающие ребра, сводя параллельные линии в точки схода на горизонте. Эти построения лучше совершать в определенной последовательности – в той, которая позволит вам постоянно контролировать ход работы и своевременно исправлять замеченные ошибки. Сначала из полученной точки в нижнем основании куба проведите горизонтальное ребро, достроив до квадрата ту вертикальную грань, которая имеет большее раскрытие (рис. 3.6). Визуально проверьте правильность этого квадрата и, если это необходимо, исправьте его, увеличив или уменьшив выбранную высоту куба. Направление второго горизонтального ребра легко определить, продлив его линию на рисунке и проверив, насколько она сходится в перспективе с горизонтальными ребрами верхнего основания куба (рис. 3.7). Третье ребро также проведите, ориентируясь на уже существующие линии параллельного направления (рис. 3.8). Последнее ребро нижнего основания соединяет две вершины, место которых на рисунке уже определено предыдущим построением (рис. 3.9). Изображенный куб должен выглядеть убедительно и правдиво – каждая его грань, вне зависимости от того, видим мы ее или нет, должна по ощущению быть похожа именно на квадрат. Проверьте это визуально, а затем графически, вписав в видимые нам вертикальные грани куба окружности (рис. 3.10).

Закончив рисунок, еще раз проанализируйте закономерности раскрытия граней куба и перспективных сокращений его ребер:

• горизонтальные параллельные линии, на которых лежат ребра куба, равномерно сходятся в точки схода на линии горизонта, а вертикальные ребра куба сохраняют на листе свое вертикальное направление (рис. 3.11);

• те горизонтальные ребра, что идут в точку схода, расположенную ближе к кубу, сходятся быстрее, чем те, что идут в точку схода, расположенную дальше (рис. 3.12);

• те ребра, которые расположены ближе к зрителю, на рисунке имеют больший размер по сравнению с ребрами, которые расположены дальше. Заметьте, что подобным образом можно сравнивать только те ребра, которые лежат на параллельных прямых. Так, например, из четырех вертикальных ребер куба наибольший размер имеет ближнее к нам ребро, а по мере удаления от зрителя размер ребер на рисунке уменьшается (рис. 3.13);

• верхняя горизонтальная грань куба, расположенная ближе к линии горизонта, раскрыта меньше, чем нижняя горизонтальная грань (рис. 3.14). Из двух параллельных вертикальных граней больше раскрыта та грань, которая расположена дальше от зрителя (рис. 3.15 и 3.16);

• из двух видимых вертикальных граней куба больше раскрыта та грань, точки схода горизонтальных ребер которой находятся дальше от куба, таким образом, больший угол при основании а соответствует менее раскрытой вертикальной грани куба, меньший угол р – более раскрытой грани (рис. 3.17);

• параллельные диагонали, проведенные в горизонтальных гранях куба, сходятся на линии горизонта (рис. 3.18).

Если вы обнаружили ошибки в своем рисунке, исправьте их. В следующих кубах старайтесь отслеживать перспективные закономерности в процессе рисунка, а не в конце, когда построение уже закончено.

На рисунке куба во фронтальной перспективе фронтальные грани куба изображаются как квадраты различного размера – в зависимости от того, ближе или дальше от зрителя они расположены. Ребра, ограничивающие фронтальные грани, имеют вертикальное и горизонтальное направления. Горизонтальные ребра куба, уходящие от зрителя, сходятся в точке схода на линии горизонта. Сначала изобразите верхнее основание куба – горизонтальный квадрат во фронтальной перспективе на основе эллипса (рис. 3.19). Опустите из вершин основания вертикальные ребра куба и достройте до квадрата переднюю вертикальную грань (рис. 3.20). Из нижних точек фронтальной грани проведите прямые в точку схода на линии горизонта. Точки пересечения этих прямых с дальними вертикальными ребрами определят на вашем рисунке размеры остальных граней куба (рис. 3.21). Завершите рисунок, вписав окружности во фронтальные грани куба (рис. 3.22).

Для того, чтобы нарисовать куб в определенном повороте, сначала необходимо изобразить в соответствующем повороте его горизонтальное основание. Вы можете самостоятельно задать этот поворот, определяя его как отношение проекций боковых граней куба на горизонтальную прямую (рис. 3.23). Выберите простые отношения – 1:2, 1:3, 1:4. Изображая куб в заданном положении, сначала, как обычно, изобразите эллипс, а затем опишите вокруг него квадрат, добиваясь заданного положения квадрата путем последовательных приближений. На основе квадрата постройте куб.

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

рисуем куб

Все окружающие нас вещи, которые мы хотели бы нарисовать, какими бы сложными по форме они нам не казались, всегда можно схематически представить с помощью простых геометрических фигур, таких как куб, цилиндр, шар. Поэтому, нужно понять, как правильно рисовать эти простейшие фигуры, и потом в рисовании более сложных фигур у вас будет гораздо меньше сложностей.

Для начала нужно построить куб. Чтобы понять, как будут изменяться пропорции куба в перспективе, рассмотрим рисунок, на котором изображен непрозрачный и прозрачный куб. Точка F на рисунке – точка схода.

Тут показано фронтальное положение куба в трех возможных случаях:

1) когда линия горизонта пересекает куб – значит, мы смотрим на прямо куб, находящийся на уровне наших глаз;

2) когда куб находится ниже линии горизонта – мы смотрим на куб прямо и немного сверху и

3) когда куб находится над линией горизонта – мы смотрим прямо и снизу. Вот всех этих случаях вся передняя грань куба находится на одинаковом расстоянии от наших глаз, поэтому она не изменится в перспективе. Чтобы построить куб во всех этих положениях, достаточно построить переднюю грань, провести линии из четырех углов в точку схода, отложить на этих линиях верхние и нижние ребра и соединить их между собой.

куб

На рисунке 1 видно, что когда куб расположен на линии горизонта, его передние боковые ребра не подвергаются перспективным изменениям, а задние ребра кажутся короче передних, из-за этого верхние и нижние ребра, уходящие в глубину, кажутся не параллельными, и продлив их до линии горизонта, мы получим точку схода.

Если куб поставить ниже или выше линии горизонта (рис 2 и 3), то ребра, уходящие в глубину, поднимутся вверх или, соответственно, опустятся вниз, сходясь на линии горизонта.

Возможны еще случаи, когда линия горизонта проходит через верхнюю или нижнюю грани куба, такие положения построить тоже достаточно легко. Теперь рассмотрим вариант, если куб развернут к нам одним из своих боковых ребер, так же в трех положениях: на линии горизонта, ниже и выше линии горизонта. В этом случае точек схода будет две.

В первом случае, нам будут видны только две грани, расположенные под углом. Ближе всего к зрителю будет находиться переднее боковое ребро, и только оно не подвергнется перспективным сокращениям. Из углов куба проводим вправо и влево прямые, сходящиеся на линии горизонта, на них будут лежать верхние и нижние ребра куба.

Если поставить куб выше или ниже линии горизонта, то нам будет видна верхняя или нижняя грань. В этом упражнении мы будем рисовать куб, развернутый к нам одним из боковых ребер, расположенный ниже линии горизонта.

Вам нужно будет нарисовать линейный рисунок прозрачного куба, прорисовывая задние ребра. Во время рисования можно использовать линейку. Если вы выполняли упражнения на развитие моторики кисти, то, скорее всего, у вас вполне получится сделать это и без линейки, во всяком случае, хотя бы попробуйте. Вполне можно наметить все линии от руки, а потом нарисовать окончательный контур с помощью линейки. Пусть размен нашего куба будет 5х5 см. Наверняка вам придется вытирать черновые линии, поэтому возьмите лист ватмана. Карандаш подойдет любой от Н до 2В.

Начните с переднего бокового ребра, которое мы видим без перспективных искажений, и только это ребро будет иметь реальный размер 5 см. На уровне нижнего угла ребра проведите вспомогательную горизонтальную прямую, потом ее можно будет вытереть, она нужна нам, чтобы определить углы, под которыми мы будем строить боковые грани куба. Если они равны, обе боковые грани мы видим одинаково, но в нашем варианте это разные углы.

Чем больше угол, тем меньше открыта соответствующая боковая грань. Определившись с углами, проведите прямые, содержащие горизонтальные ребра. Для тренировки глазомера на листе бумаги желательно не располагать точки схода, и если вы разместите ваш рисунок на вертикально развернутом листе, то они просто не поместятся, главное, чтобы из рисунка было понятно, что эти прямые сойдутся, Но вполне можно довести прямые до точек схода и указать их на линии горизонта, так нарисовать куб будет проще. Теперь, помня о том ,что исходя из законов перспективы, чем дальше от нас что-то тем оно меньше, откладываем на прямых нижние и верхнее горизонтальные ребра.

Здесь можно проверить себя с помощью линейки. Все ребра, кроме переднего бокового должны быть меньше 5 см. Например, дальнее ребро, будет меньше противоположному ему ближнему, так как более удалено от зрителя.

После того, как куб будет построен, попробуйте придать линиям разную толщину, чтобы подчеркнуть этим перспективу. Самым тонким будет дальнее вертикальное ребро, а самым толстым – ближнее. На горизонтальных ребрах нужно сделать плавный переход от более тонкого (дальнего) угла к более толстому (ближнему). Так будет выглядеть ваш куб.

Градации светотени. Тоновый рисунок куба

Теперь, зная, как правильно построить куб, мы будем разбираться, как его нарисовать тоном. Чтобы правильно нарисовать даже простейшие геометрические фигуры, нам понадобится немного теории. Мы видим предметы, если они освещены. Лучи света по-разному попадают на разные участки поверхности предметов и вы видим его форму, сам предмет закрывает собой доступ для лучей света на какую-нибудь поверхность и образуется падающая тень. Светотеневые участки на любом предмете можно представить в виде нескольких градаций:

Свет – это участок поверхности предмета, получающий наибольший поток прямых лучей света.

Полутон – участок поверхности предмета, освещенных скользящими лучами света. Полутон делится на полутон света и полутон тени.

Тень (собственная тень) – участок поверхности предмета, куда прямые и скользящие лучи света не попадают. Это самый темный участок на поверхности предмета. Блик – бывает на блестящих или лакированных поверхностях, чаще всего на территории света.

Рефлекс – участок теневой поверхности предмета, получающий поток отраженных лучей света от окружающих предметов или от поверхности, на которой предмет расположен.

Цвет рефлекса зависит от цвета окружающих предметов, а яркость или светлота зависит от характера поверхности предмета: на блестящих объектах рефлексы более светлые и ярче выражены, чем на матовых. Падающая тень – это тень, отбрасываемая объектом на какую-нибудь поверхность. Падающая тень темнее, чем собственная, а наиболее темный участок падающей тени ближе всего к источнику света. Позже я сделаю дополнение к этому уроку о том, как правильно построить падающую тень. Источников света может быть несколько, мы рассмотрим вариант с одним источником света, расположенным вверху слева относительно объекта.

На стыках по-разному освещенных граней можно наблюдать так называемый краевой контраст. На границе светлого и темного светлое кажется светлее, а темное – темнее.

Для того, чтобы выполнить это упражнение, вам потребуется настольная лампа и гипсовый куб. Гипсовые геометрический фигуры продаются в магазинах для художников, но в домашних условиях вполне можно обойтись, сделав, например, бумажный кубик, вырезанный из белого листа ватмана или картона по такой схеме:

После того, как вы сделаете куб из бумаги, поставьте его на ровную горизонтальную поверхность справа от настольной лампы так, чтобы свет от нее был направлен на куб немного сверху и слева. Желательно, чтобы поверхность стола и фон сзади куба были однотонными, чтобы не отвлекать ваше внимание. Рассмотрите куб в различных положениях, о которых мы говорили в первой части этого урока, И подробнее остановимся на том положении, которой нам предстоит нарисовать. Обратите внимание, как распределяются светотеневые участки на гранях, как ведет себя падающая тень, если приближать или удалять куб от источника света, постарайтесь увидеть краевой контраст и рефлекс.

Дальше можно выполнять это упражнение по-разному. Более простой вариант – снова начертить линейный куб и раскрасить его тоном, а более сложный – сделать рисунок куба с натуры. При рисовании с натуры тоже начинаем с переднего бокового ребра, строим сходящиеся линии, необязательно доводить их до точки схода. После определяем углы. Можно применять визирование, этот метод помогает определять углы и расстояния. Прищурив один глаз, держа на вытянутой руке карандаш, используют его, для измерения. Например, замерив одну из граней куба карандашом, смотрим, на сколько процентов или частей другая грань больше или меньше. Чтобы измерить углы, держим карандаш горизонтально на вытянутой руке как бы образуя им вспомогательную линию, параллельную линии горизонта и проходящую через нижний угол передней грани куба.

При визировании обязательно рука всегда должна быть вытянутой, иначе все время будут получаться разные результаты. Визирование тормозит развитие глазомера, поэтому не стоит им пользоваться постоянно.

Старайтесь штриховать параллельно ребрам куба, плотно и аккуратно. В результате у вас получится примерно такой куб как на рисунке выше или ниже.

Источник

Содержание

Введение системы координат
Координаты куба
Координаты трехгранной призмы
Координаты шестигранной призмы
Координаты четырехугольной пирамиды
Куб — свойства, виды и формулы
Элементы куба
Грань
Ребро
Вершина
Центр грани
Центр куба
Ось куба
Диагональ куба
Диагональ грани куба
Объем куба
Периметр куба
Площадь поверхности
Сфера, вписанная в куб
Сфера, описанная вокруг куба
Координаты вершин куба
Свойства куба
Куб — свойства, виды и формулы
Элементы куба
Грань
Ребро
Вершина
Центр грани
Центр куба
Ось куба
Диагональ куба
Диагональ грани куба
Объем куба
Периметр куба
Площадь поверхности
Сфера, вписанная в куб
Сфера, описанная вокруг куба
Координаты вершин куба
Свойства куба

Введение системы координат

Метод координат — это, конечно, очень хорошо, но в настоящих задачах C2 никаких координат и векторов нет. Поэтому их придется вводить. Да-да, вот так взять и ввести: указать начало отсчета, единичный отрезок и направление осей x, y и z.

Самое замечательное свойство этого метода заключается в том, что не имеет никакого значения, как именно вводить систему координат. Если все вычисления будут правильными, то и ответ будет правильным.

Тем не менее, приведу некоторые рекомендации, как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников. С указанием конкретных точек. Во всех случаях упор делается на минимизацию объема вычислений.

Координаты куба

Если в задаче C2 будет куб — считайте, что вам повезло. Это самый простой многогранник, все двугранные углы которого равны 90°.

Система координат также вводится очень просто:

Начало координат — в точке A;
Чаще всего ребро куба не указано, поэтому принимаем его за единичный отрезок;
Ось x направляем по ребру AB, y — по ребру AD, а ось z — по ребру AA₁.

Обратите внимание: ось z направляется вверх! После двумерной системы координат это несколько непривычно, но на самом деле очень логично.

Итак, теперь у каждой вершины куба есть координаты. Соберем их в таблицу — отдельно для нижней плоскости куба:

Точка	A	B	C	D
Координаты	(0; 0; 0)	(1; 0; 0)	(1; 1; 0)	(0; 1; 0)

Точка	A₁	B₁	C₁	D₁
Координаты	(0; 0; 1)	(1; 0; 1)	(1; 1; 1)	(0; 1; 1)

Несложно заметить, что точки верхней плоскости отличаются соответствующих точек нижней только координатой z. Например, B = (1; 0; 0), B₁ = (1; 0; 1). Главное — не запутаться!

Координаты трехгранной призмы

Призма — это уже намного веселее. При правильном подходе достаточно знать координаты только нижнего основания — верхнее будет считаться автоматически.

В задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник). Для них система координат вводится почти так же, как и для куба. Кстати, если кто не в курсе, куб — это тоже призма, только четырехгранная.

Итак, поехали! Вводим систему координат:

Начало координат — в точке A;
Сторону призмы принимаем за единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
Ось x направляем по ребру AB, z — по ребру AA₁, а ось y расположим так, чтобы плоскость OXY совпадала с плоскостью основания ABC.

Здесь требуются некоторые пояснения. Дело в том, что ось y НЕ совпадает с ребром AC, как многие считают. А почему не совпадает? Подумайте сами: треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:

Надеюсь, теперь понятно, почему ось y не пойдет вдоль AC. Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтому AH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.

Теперь взглянем на всю призму вместе с построенной системой координат:

Получаем следующие координаты точек:

Как видим, точки верхнего основания призмы снова отличаются от соответствующих точек нижнего лишь координатой z. Основная проблема — это точки C и C₁. У них есть иррациональные координаты, которые надо просто запомнить. Ну, или понять, откуда они возникают.

Координаты шестигранной призмы

Шестигранная призма — это «клонированная» трехгранная. Можно понять, как это происходит, если взглянуть на нижнее основание — обозначим его ABCDEF. Проведем дополнительные построения: отрезки AD, BE и CF. Получилось шесть треугольников, каждый из которых (например, треугольник ABO) является основанием для трехгранной призмы.

Теперь введем собственно систему координат. Начало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось x пойдет вдоль FC, а ось y — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:

Обратите внимание: начало координат НЕ совпадает с вершиной многогранника! На самом деле, при решении настоящих задач вы обнаружите, что это очень удобно, поскольку позволяет значительно уменьшить объем вычислений.

Осталось добавить ось z. По традиции, проводим ее перпендикулярно плоскости OXY и направляем вертикально вверх. Получим итоговую картинку:

Запишем теперь координаты точек. Предположим, что все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1. Итак, координаты нижнего основания:

Координаты верхнего основания сдвинуты на единицу по оси z:

Координаты четырехугольной пирамиды

Пирамида — это вообще очень сурово. Мы разберем только самый простой случай — правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны единице. Однако в настоящих задачах C2 длины ребер могут отличаться, поэтому ниже приведена и общая схема вычисления координат.

Итак, правильная четырехугольная пирамида. Это такая же, как у Хеопса, только чуть поменьше. Обозначим ее SABCD, где S — вершина. Введем систему координат: начало в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, а ось z — вверх, перпендикулярно плоскости OXY. Для дальнейших вычислений нам потребуется высота SH — вот и построим ее. Получим следующую картинку:

Теперь найдем координаты точек. Для начала рассмотрим плоскость OXY. Здесь все просто: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Проблемы возникают с точкой S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и H отличаются лишь координатой z. Собственно, длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).

Заметим, что треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно, SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

Вот и все с координатами пирамиды. Но не с координатами вообще. Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных задач C2.

Источник

Куб — свойства, виды и формулы

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;

прямая призма, все грани которой есть квадраты;

прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Центр куба

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Диагональ куба

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба — одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Объем куба

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Свойства куба

Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.

у куба все грани равны, являются квадратами;

один центр и несколько осей симметрии.

Источник

Куб — свойства, виды и формулы

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;

прямая призма, все грани которой есть квадраты;

прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Центр куба

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Диагональ куба

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба — одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Объем куба

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Свойства куба

Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.

у куба все грани равны, являются квадратами;

Источник

Куб — свойства, виды и формулы

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;

прямая призма, все грани которой есть квадраты;

прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Центр куба

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Диагональ куба

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба — одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Объем куба

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Свойства куба

Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.

у куба все грани равны, являются квадратами;

у куба все рёбра равны;

один центр и несколько осей симметрии.

10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.

Оглавление
Занятия
Обсуждение
О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

1. Тема и цели урока

Мы уже изучали параллельные прямые в планиметрии. Теперь нужно дать определение параллельных прямых в пространстве и доказать соответствующие теоремы.

2. Определение параллельных прямых в пространстве

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).

Обозначение параллельных прямых: a || b.

3. Теорема 1 и ее доказательство

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Дано: прямая а, (Рис. 2.)

Доказать: существует единственная прямая b || a,

Через прямую а и точку , не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость α (Рис. 3.). В плоскости α можно провести единственную прямую b, параллельную а, проходящую через точку M (из аксиомы планиметрии о параллельных прямых). Существование такой прямой доказано.

Докажем единственность такой прямой. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда плоскость β проходит через точку M и прямую а. Но через точку M и прямую а проходит единственная плоскость (в силу теоремы 2). Значит, плоскости β и α совпадают. Из аксиомы параллельных прямых, следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. Единственность доказана.

4. Лемма (о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость) и ее доказательство

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Дано: а || b,

Доказать:

Доказательство: (Рис. 4.)

Существует некоторая плоскость β, в которой лежат параллельные прямые а и b. Точка М принадлежит и плоскости α, и прямой а, которая лежит в плоскости β. Значит, М – общая точка плоскостей α и β. А по третьей аксиоме, существует прямая MN, по которой пересекаются эти две плоскости.

Прямая MN пересекается с прямой b.(так как в противном случае, получается, что прямые MN и b параллельные, то есть a = MN, что невозможно, так как прямая а пересекается с плоскостью α в точке М по условию). То есть точка N – это точка пересечения прямой b и плоскости α..

Докажем, что N – это единственная общая точка прямой b и плоскости α. Допустим, что есть другая точка, но тогда прямая bпринадлежит плоскости α (по второй аксиоме). То есть MN = b, что невозможно, так как прямые а и bпараллельны, а прямая а должна пересекаться с прямой MN. Лемма доказана.

5. Теорема 2 и ее доказательство

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Дано:

Доказать: .

Доказательство: (Рис. 5.)

Выберем произвольную точку К на прямой b. Тогда существует единственная плоскость α, проходящая черезточку К и прямую а. Докажем, что прямая bлежит в плоскости α.

Предположим противное. Пусть прямая bне лежит в плоскости α. Тогда прямая bпересекает плоскость α в точке К. Так как прямые bи с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α. Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости α. Получили противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая bлежит в плоскости α.

Докажем, что прямые а и b не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и bпересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.

Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и bпараллельны (по определению), что и требовалось доказать.

6. Итоги урока

Итак, мы дали определение параллельных прямых и доказали теорему о параллельных прямых в пространстве. Также мы доказали важную лемму о пересечении параллельными прямыми плоскости и с помощью этой леммы доказали теорему: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. Эта теория будет использоваться дальше и для доказательства других теорем, и для решения задач.

Перечислить и указать в кубе прямые параллельные плоскости BDC1?

Геометрия | 10 – 11 классы

Перечислить и указать в кубе прямые параллельные плоскости BDC1.

Прямая, нележащая в плоскости, параллельна этой плоскости, если данная прямая параллельна хотя бы одной прямой лежащей в данной плоскости

из рисунка видно, что прямая BC1 лежит в плоскостиBDC1, а прямая АD1 параллельна ВС1 (АD1 || BC1) – так как лежат в параллельных гранях и являются равными диагоналями этих граней, значитАD1 параллельна плоскостиBDC1, то естьАD1||(BDC1)

аналогично АВ1 || C1D = > ; AB1 ||(BDC1)

B1D1 || BD = > ; B1D1 ||(BDC1)

отв : B1D1 ; АВ1 иАD1.

Две прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости?

Две прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости.

Можно ли утверждать что плоскости параллельны.

Верно ли утверждение, прямая параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости?

Прямая n параллельна прямой m параллельна плоскости а?

Прямая n параллельна прямой m параллельна плоскости а.

Следует ли из этого, что прямая n параллельна плоскости а.

Выберите верные утверждения?

Выберите верные утверждения.

А) Прямая, не лежащая в данной плоскости и параллельная какой либо прямой на плоскости, параллельна самой плоскости.

Б) Плоскость, проходящая через одну из двух параллельных прямых, параллельна другой прямой.

В) Через точку, не принадлежащую плоскости, можно провести бесконечное число прямых, параллельных данной плоскости.

Г) Через одну из двух параллельных прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и только одну.

Д) Если две прямые параллельны одной плоскости, то они параллельны друг другу.

Плоскости параллельны?

Прямая а лежит на плоскости.

Верно ли, что прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости.

Отметьте верные утверждения?

Отметьте верные утверждения.

1. Прямая параллельная плоскости, параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

2. Через одну из двух параллельных прямых можно провести бесконечное множество плоскостей, параллельных другой прямой.

3. Если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

4. Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они параллельны.

Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда : а)другая плоскость параллельна прямой ; б) прямая лежит в другой плоскости ; в)другая плоскость перпендикулярна прямой ; г)перямая ?

Одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, тогда : а)другая плоскость параллельна прямой ; б) прямая лежит в другой плоскости ; в)другая плоскость перпендикулярна прямой ; г)перямая не пресекает другую плоскость ; д) выполняются все случаи, указанные в пунктах а – г.

Докажите, что если плоскость проходит через прямую, параллельную другой прямой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна первой прямой?

Докажите, что если плоскость проходит через прямую, параллельную другой прямой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна первой прямой.

Две плоскости пересекаются по прямой а ?

Две плоскости пересекаются по прямой а .

Прямая b лежит в одной из плоскостей и не параллельна другой плоскости .

Параллельные ли прямые а и b.

Выберете верное утверждение : а)если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая лежит в данной плоскости ; б)если плоскость альфа проходит через прямую, параллельн?

Выберете верное утверждение : а)если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая лежит в данной плоскости ; б)если плоскость альфа проходит через прямую, параллельную плоскости бета, то и плоскость альфа параллельна плоскости бета ; в)если две прямые пересекают плоскость, то они параллельны ; г)прямая и плоскость называется параллельными, если они не имеют общих точек.

Перед вами страница с вопросом Перечислить и указать в кубе прямые параллельные плоскости BDC1?, который относится к категории Геометрия. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 10 – 11 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.

Площадь боковой поверхности S = (АВ + ВС + СD + АD)·АМ = 26·АМ. По условию 26·АМ = 260. АМ = 260 / 26 = 10 см. Ответ : 10 см.

Площадь параллелограмма : S = a * b * sinα, α – угол между сторонами параллелограмма а = 3 см b = 12 см S = 18 см² 18 = 3 * 12 * sinα, sinα = 1 / 2. Α = 30° β = 180° – 30°, β = 150° (α + β = 180°. Сумма углов параллелограмма прилежащих к одной стор..

Если PL = 72°, KM = 72 * Они вертикальны. 180 – 72 = 108.

Ответ д, там получается две параллельные прямые пересечены секущей, треугольник ABN получается равнобедренный, AN = AB a AB = корень (25 – 9) = 4.

АВ = 12 см – СЕ = 4 см АВ = 8 см – СЕ = 2 см АВ = 10 см – СЕ = 2 см.

Решение – в приложении.

Остроугольный треугольник, потому что каждый угол меньше 90 градусов.

45 градусов. Так как МС биссектриса а она делит угол С пополам.

Так как мс биссектриса, то угол mca равен 1 / 2 bca ответ : 45 градусов.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.kursoteka.ru/course/2156/lesson/6859/unit/17941/3

http://geometria.my-dict.ru/q/4790343_perecislit-i-ukazat-v-kube-pramye/

[/spoiler]

Источник

Метод координат в пространстве

30 мая 2011

Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:

Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂):
Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А если не проходит, то D = 1.
Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C).

На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики — и все будет работать великолепно.

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).

Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.

Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.

Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!

Вычисление координат векторов

А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек — начала и конца вектора — можно вычислить координаты самого вектора.

Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.

Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:

Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.

Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).

Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9)

Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!

Вычисление направляющих векторов для прямых

Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.

Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую…

Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой:

Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что угол между двумя прямыми — это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведены прямые AC и BD₁. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA₁ соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) — это и есть направляющий вектор.

Теперь разберемся с прямой BD₁. На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D₁ = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD₁ = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Ответ: AC = (1; 1; 0); BD₁ = (− 1; 1; 1)

Задача. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все ребра которой равны 1, проведены прямые AB₁ и AC₁. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA₁, ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

Для начала разберемся с прямой AB₁. Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B₁ = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB₁ = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Теперь найдем направляющий вектор для AC₁. Все то же самое — единственное отличие в том, что у точки C₁ иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

Ответ: AB₁ = (1; 0; 1);

Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.

Вычисление нормальных векторов для плоскостей

Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.

Другими словами, нормаль — это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение — правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом — хоть прямой, хоть вектором.

Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).

Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором — той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно — и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение A₁BC₁. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA₁ соответственно.

Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A₁, B и C₁, то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A₁ = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C₁ = (1; 1; 1) получим уравнения:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).

Задача. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ проведено сечение AA₁C₁C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA₁ соответственно.

В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A₁ и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A₁ = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;

Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).

Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 — без ущерба для общности решения и правильности ответа.

Координаты середины отрезка

Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.

Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (x_a; y_a; z_a) и B = (x_b; y_b; z_b). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.

Задача. Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A₁B₁. Найдите координаты этой точки.

Поскольку точка K — середина отрезка A₁B₁, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A₁ = (0; 0; 1) и B₁ = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Задача. Единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁ помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA₁ соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A₁B₁C₁D₁.

Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A₁L = C₁L, т.е. точка L — это середина отрезка A₁C₁. Но A₁ = (0; 0; 1), C₁ = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Ответ: L = (0,5; 0,5; 1)

Смотрите также:

Введение системы координат
Четырехугольная пирамида в задаче C2
В 2012 году ЕГЭ по математике станет двухуровневым?
Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии
ЕГЭ 2022, задание 6. Касательная и уравнение с параметром

Источник