Как найти пересечение множеств в информатике

Содержание:

• Объяснение задания 15 ЕГЭ по информатике
  • Элементы математической логики
  • Математическая логика и теория множеств
  • Задания с отрезками и ДЕЛ
  • Задания с поразрядной конъюнкцией
• Решение заданий 15 ЕГЭ по информатике
  • Задания с множествами
  • Задания с отрезками на числовой прямой
  • Задания с ДЕЛ
  • Задания с поразрядной конъюнкцией
  • Задания на поиск наибольшего или наименьшего числа А

15-е задание: «Основные законы алгебры логики»

Уровень сложности

— повышенный,

Требуется использование специализированного программного обеспечения

— нет,

Максимальный балл

— 1,

Примерное время выполнения

— 5 минут.

  
Проверяемые элементы содержания: Знание основных понятий и законов математической логики

15_16:

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

((x ∈ {1, 3, 5, 7, 9, 11}) → ¬(x ∈ {3, 6, 9, 12})) ∨ (x ∈ A)

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

✎ Решение аналитическое:
• Введем обозначения:

P ≡ (x ∈ {1, 3, 5, 7, 9, 11}) ; 
Q ≡ (x ∈ {3, 6, 9, 12}) ; 
A ≡ (x ∈ A).

• Выполним преобразования:

(P → ¬Q) ∨ A = 1
Избавимся от импликации:
¬P ∨ ¬Q ∨ A = 1

• Разделим выражение на две части — известную часть и неизвестную. Чтобы неизвестная часть (А) была непременно истинной, необходимо, чтобы известная часть была ложна:

¬P ∨ ¬Q ∨ А = 1
    0      1

• То есть получаем:

¬P ∨ ¬Q = 0,
или 
¬P = 0  отсюда P = 1
¬Q = 0 отсюда Q = 1

• Таким образом имеем пересечение (умножение) двух множеств Q и P. То есть необходимо выбрать элементы, которые встречаются в обоих множествах одновременно:

A = {3,9}

• Сумма элементов:

3 + 9 = 12

✎ Решение программированием:
PascalAbc.net:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

begin var s1 := hset(1, 3, 5, 7, 9, 11); var s2 := hset(3, 6, 9, 12); for var x := 1 to 100 do begin if (x in s1 <= not (x in s2)) = false then print(x) end end.

Ответ: 12

15_17:

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) ∧ ¬(x ∈ A)) → 
→ ¬(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}))

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

Типовые задания для тренировки

• Введем обозначения:

P≡(x ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12}) ; 
Q ≡ (x ∈ {3, 6, 9, 12, 15}) ; 
A ≡ (x ∈ A).

• Выполним преобразования:

P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = 
P → (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P) = 
¬P ∨ (¬(Q ∧ ¬А) ∨ ¬P) = 
¬P ∨ ¬Q ∨ А.

• Разделим выражение на две части — известную часть и неизвестную. Чтобы неизвестная часть (А) была непременно истинной, необходимо, чтобы известная часть была ложна:

¬P ∨ ¬Q ∨ А = 1
    0      1

• То есть получаем:

¬P ∨ ¬Q = 0,
или 
¬P = 0  отсюда P = 1
¬Q = 0 отсюда Q = 1

• Таким образом имеем пересечение (умножение) двух множеств Q и P. То есть необходимо выбрать элементы, которые встречаются в обоих множествах одновременно:

A = {6,12}

• Сумма элементов:

6 + 12 = 18

Ответ: 18

15_18: Закон распределения

Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}. Известно, что выражение

( (x ∈ A) → (x ∈ P) ) ∧ ( (x ∈ Q) → ¬(x ∈ A) )

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наибольшее возможное количество элементов в множестве A.

Типовые задания для тренировки

• Введем обозначения:

P ≡ (x ∈ P); 
Q ≡ (x ∈ Q); 
A ≡ (x ∈ A).

• Выполним преобразования:

Избавимся от импликации:
(¬A ∨ P) ∧ (¬Q ∨ ¬A) = 1
Применим распределительный закон (но можно вывести самостоятельно):
¬A ∨ (P ∧ ¬Q) = 1

• Разделим выражение на две части — известную часть и неизвестную. Чтобы неизвестная часть (А) была непременно истинной, необходимо, чтобы известная часть была ложна:

¬A ∨ (P ∧ ¬Q) = 1
 0      1

• То есть получаем:

P ∧ ¬Q = 1,
или 
P = 1  и
¬Q = 1 отсюда Q = 0

• Таким образом имеем разность двух множеств Q и P. То есть это новое множество, элементы которого принадлежат P, но не принадлежат Q:

A = {2, 4, 8, 10, 14, 16, 20}

• Количество элементов = 7

Ответ: 7

15_20:

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение

¬(x ∈ A) →¬(x ∈ {1, 3, 7}) ∨ (¬(x  ∈ {1, 2, 4, 5, 6}) ∧ (x ∈ {1, 3, 7})) 

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наименьшее возможное количество элементов множества A.

• Введем обозначения:

P ≡ (x ∈ {1, 3, 7}); 
Q ≡ (x  ∈ {1, 2, 4, 5, 6}); 
A ≡ (x ∈ A).

• Выполним преобразования:

Избавимся от импликации:
A ∨ ¬P ∨ (¬Q ∧ P) = 1
Применим закон поглощения (но можно вывести самостоятельно):
A ∨ ¬P ∨ ¬Q = 1

• Разделим выражение на две части — известную часть и неизвестную. Чтобы неизвестная часть (А) была непременно истинной, необходимо, чтобы известная часть была ложна:

A ∨ ¬P ∨ ¬Q = 1
 1      0

• То есть получаем:

¬P ∨ ¬Q = 0,
или 
P = 1 и Q = 1 

• Таким образом имеем пересечение двух множеств Q и P:

A = {1}

• Количество элементов = 1

Ответ: 1

15_3:

На числовой прямой даны два отрезка: P=[44,48] и Q=[23,35].

Укажите наибольшую возможную длину отрезка А, для которого формула

((x ϵ P) → (x ϵ Q)) ∧ (x ϵ A)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной x.

• Упростим формулу, избавившись от ‘x ϵ‘:

(P → Q) ∧ A

• Теперь преобразуем импликацию в скобках:

правило импликации: a → b = ¬a ∨ b

(¬P ∨ Q) ∧ A

• Указанные в задании отрезки отобразим на числовой прямой. Разделим отрезки на части по точкам, соответствующим их границам.



• Вернемся к преобразованному выражению. В нем есть известная часть (выделим ее) и неизвестная. По условию выражение должно быть ложно:

(¬P ∨ Q) ∧ A = 0

• Внешняя операция выражения — конъюнкция — ложна в трех случаях и только в одном — истинна:

(¬P ∨ Q) ∧ A
    0     ∧ 0 = 0
    0     ∧ 1 = 0
    1     ∧ 0 = 0
    1     ∧ 1 = 1

• Теперь рассмотрим это выражение относительно наших отрезков на числовой прямой: если известная часть выражения (¬P ∨ Q) на каком-либо отрезке прямой дает истину, то неизвестная часть (A) должна возвращать ложь (по условию формула должна быть тождественно ложна).
• Рассмотрим все отрезки числовой прямой для известной части выражения:

1. (¬P ∨ Q) = 1 ∨ 0 = 1  - на данном отрезке А должно равняться 0
2. (¬P ∨ Q) = 1 ∨ 1 = 1  - на данном отрезке А должно равняться 0
3. (¬P ∨ Q) = 1 ∨ 0 = 1  - на данном отрезке А должно равняться 0
4. (¬P ∨ Q) = 0 ∨ 0 = 0  - на данном отрезке А может! равняться 1
5. (¬P ∨ Q) = 1 ∨ 0 = 1  - на данном отрезке А должно равняться 0

• Получаем, что на всех отрезках кроме 4-го выражение ¬P ∨ Q истинно, т.е. на отрезках 1, 2, 3 и 5 неизвестная часть A должна быть ложной (чтобы формула вернула ложь). Отсюда следует, что А может быть истинно только на отрезке 4.
• Длина отрезка 4 составляет:

48 - 44 = 4

Результат: 4
✎ Решение 2 (программирование):
Внимание! этот способ подходит НЕ для всех заданий с отрезками!
Python:

1
2
3
4
5
6
7
8
9

def f(a1,a2,x):
    return((44<=x<=48)<=(23<=x<=35))and(a1<=x<=a2)
maxim = 0
for a1 in range (1,200):
    for a2 in range (a1+1,200):
        if all(f(a1,a2,x)==0 for x in range (1,200)):# если все ложны
            if a2-a1>maxim:
                maxim=a2-a1
                print(a1,a2, a2-a1) # сами точки отрезка и длина

Вывод:

44 45 1
44 46 2
44 47 3
44 48 4

PascalABC.net:

Вывод:

15_9:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,20] и Q = [30,40].

  
Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

((x ∈ P) → (x ∈ Q))  → ¬(x ∈ A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Типовые задания для тренировки

• Упростим выражение, введя обозначения:

A: x ∈ A
P: x ∈ P
Q: x ∈ Q

• Запишем формулу с новыми обозначениями, учитывая, что по условию она должна быть тождественно истинной:

(P → Q) → ¬A = 1

• Избавимся от импликации:

(P → Q) → ¬A = 1        =>
¬(P → Q) ∨ ¬A = 1       =>
¬(¬P ∨ Q) ∨ ¬A = 1   

• Используем закон Де Моргана для последующего преобразования:

¬(¬P ∨ Q) ∨ ¬A = 1    =>
P ∧ ¬Q ∨ ¬A = 1

• А — наше неизвестное, а выделенную часть формулы можно найти. Необходимо, чтобы А = 1. Значит, предположим, что ¬А = 0, тогда P ∧ ¬Q = 1 (если P ∧ ¬Q = 0, то ¬А может равняться и 0 и 1, так как имеет место операция логического сложения ∨)
• Значит, имеем P ∧ ¬Q = 1. Кроме того, в данном случае имеет место операция конъюнкция, которую проще вычислить, если выражение равно 1 (так как для конъюнкции существует один единственный случай истинности: 1 & 1 = 1). Таким образом имеем утверждения:

А = 1
P = 1
¬Q = 1 или Q = 0

• Т.е. A истинно (=1) на промежутке пересечения отрезков P и ¬Q.
• Отобразим отрезки на числовой прямой, чтобы найти искомое значение:



• Очевидно, что А будет истинно, только в части 2 (на рис. желтым цветом), то есть соответствовать отрезку [10,20], имеющему длину 10.

Результат: 10

15_10:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 20] и Q = [6, 12].

  
Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

((x ∈ P) ~ (x ∈ Q))  → ¬(x ∈ A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

• Упростим выражение, введя обозначения:

A: x ∈ A
P: x ∈ P
Q: x ∈ Q

• Запишем формулу с новыми обозначениями, учитывая, что по условию она должна быть тождественно истинной:

(P ~ Q) → ¬A = 1

• Избавимся от импликации:

(P ~ Q) → ¬A = 1      =>
¬(P ~ Q) ∨ ¬A = 1

Далее возможно 2 способа решения.

✎ 1 способ:

• Избавимся от эквивалентности по правилу преобразования эквивалентности:

(a ~ b) = a * b + ¬a * ¬b

¬(P ~ Q) = ¬((P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)) =
= ¬(P ∧ Q) ∧ ¬(¬P ∧ ¬Q) 

• Преобразуем часть данного выражения по закону Де Моргана:

¬(P ∧ Q) ∧ ¬(¬P ∧ ¬Q) =
= ¬(P ∧ Q) ∧ (P ∨ Q) 

• В итоге получим:

¬(P ∧ Q) ∧ (P ∨ Q) ∨ ¬A = 1

• А — наше неизвестное, а выделенную часть выражения можно найти. Необходимо, чтобы А = 1. Значит, предположим, что ¬А = 0, тогда, чтобы общее выражение было истинным (по условию), нужно чтобы ¬(P ∧ Q) ∧ (P ∨ Q) = 1.
• Имеем:

¬(P ∧ Q) ∧ (P ∨ Q) = 1
А = 1

• Отобразим отрезки на числовой прямой, чтобы найти искомое значение:



• Очевидно, что А будет истинно в двух отмеченных на рисунке частях: 2 и 4 (на рис. желтым цветом). Но по условию нам необходимо найти А наибольшей длины, соответственно, выбираем отрезок [12,20], имеющий длину 8.

✎ 2 способ:
После того, как мы избавились от импликации, имеем:

¬(P ~ Q) ∨ ¬A = 1

• А — наше неизвестное, а выделенную часть выражения можно найти. Необходимо, чтобы А = 1. Значит, предположим, что ¬А = 0, тогда ¬(P ~ Q) = 1 (чтобы общее выражение было истинным, как указанно в условии).
• Иными словами ¬(P ~ Q) истинно для всех значений x, при которых P не равно Q (т.е. либо P = 1 и Q = 0, либо P = 0 и Q = 1).
• Это соответствует двум отрезкам (см. рисунок выше, желтым цветом): [3,6] и [12,20]. Но по условию нам необходимо найти А наибольшей длины, соответственно выбираем отрезок [12,20], имеющий длину 8.

Результат: 8

15_11:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [11, 21] и Q = [15, 40].

  
Укажите наибольшую возможную длину отрезка A, для которого формула

(x ∈ A) → ¬((x ∈ P)  ~ (x ∈ Q))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной x.

Типовые задания для тренировки

• Упростим выражение, введя обозначения:

A: x ∈ A
P: x ∈ P
Q: x ∈ Q

• Запишем формулу с новыми обозначениями, учитывая, что по условию она должна быть тождественно истинной:

A → ¬(P ~ Q) = 1

• Избавимся от импликации:

A → ¬(P ~ Q) = 1    =>
¬A ∨ ¬(P ~ Q) = 1

• А — наше неизвестное, тогда как выделенную часть формулы можно найти. Введем предположение, что А = 1. Значит, ¬А = 0 (т.е. А = 1), тогда ¬(P ~ Q) = 1 (так как общая формула должна быть истинной по условию).
• Иными словами ¬(P ~ Q) истинно для всех значений x, при которых P не равно Q (т.е. либо P = 1 и Q = 0, либо P = 0 и Q = 1).
• Отобразим отрезки на числовой прямой, чтобы найти искомое значение:



• Получаем, что А соответствует двум отрезкам (см. рисунок, желтым цветом): [11,15] и [21,40]. Но по условию нам необходимо найти А наибольшей длины, соответственно выбираем отрезок [21,40], имеющий длину 19.

Результат: 19

15_7:

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

  
Для какого наибольшего натурального числа А формула

  (ДЕЛ(x, 40) ∨ ДЕЛ(x, 64))  → ДЕЛ(x, A) 

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Типовые задания для тренировки

• Введем обозначения:

A = ДЕЛ(x,A); 
D40 = ДЕЛ(x, 40); 
D64 = ДЕЛ(x, 64)

• Перепишем исходную формулу, согласно введенным обозначениям. Укажем, что формула должна быть тождественно истинна (по условию):

(D40 ∨ D64)  → A = 1

• Избавимся от импликации:

¬(D40 ∨ D64) ∨ A = 1
или
(¬D40 ∧ ¬D64) ∨ A = 1

• Разделим данную формулу на две части: в одной из них — искомое A, а в другой — часть формулы с x, которую можно найти:

(¬D40 ∧ ¬D64) ∨ A = 1
      1          2

• В полученной формуле необходимо, чтобы искомая часть с A в конечном счете было истинно.

  Т.е. (¬D40 ∧ ¬D64) должно быть = 0. Это нам ничего не дает, т.к. конъюнкция ложна в трех случаях (1*0, 0*1 и 0*0), т.е. D40 и D64 могут быть равны как 0, так и 1 (исключение составляет лишь вариант, когда оба D истинны, тогда логическое умножение 1 * 1 ≠ 0).

• Преобразуем выражение первой части формулы по закону Де Моргана (чтобы оно равнялось 1):

¬D40 ∧ ¬D64 = 0
или
¬(¬D40 ∧ ¬D64) = 1

Преобразуем по закону Де Моргана и получим:
D40 ∨ D64 = 1

  
Далее можно решать задание либо с помощью кругов Эйлера, либо с помощью логических рассуждений.

Решение с помощью логических рассуждений:

• Найдем все такие x, которые делятся на А и при этом делятся на 40 ИЛИ делятся на 64:

x/A : x/40 ∨ x/64

x = 40, 64, 80, 120, 128, 160, 192, 200, ...

• Теперь найдем такие A, начиная с самого наименьшего (единицы), на которые делятся все x без исключения:

А = 1, 2, 4, 8

• Наибольшее А равно 8.
• Или то же самое можно найти поиском наибольшего общего делителя чисел 40 и 64 (используем формулу Евклида):

НОД (40,64) = 8 
40,64  (64 - 40 = 24)
40,24  (40 - 24 = 16)
24,16  (24 - 16 = 8)
16,8   (16 - 8 = 8)
8,8

Решение с помощью кругов Эйлера:

• В этом случае логическое сложение тоже дает истину в трех случаях (1+1, 1+0, 0+1). Т.е. мы не сможем найти А с помощью функции ДЕЛ. Необходимо прибегнуть к решению с помощью кругов Эйлера.
• В множество A должны входить все числа, которые попадают в объединение D40 + D64. Таким образом, нужно найти множество, в которое входят оба этих множества.
• Найдем наибольший общий делитель чисел 40 и 64; это число 8:

64 / 40 = 1 (24 остаток)
40 / 24 = 1 (16 остаток)
24 / 16 = 1 (8 остаток)
16 / 8 = 2 (0 остаток) - НОД = 8
+++
40 / 8 = 5
64 / 8 = 8

• Т.е. можно сказать, что A = D40 + D64 = D8*D5 + D8*D8 = D8*(D5 + D8). D8 входит в каждое из множеств D40 и D64. Объединение D40 + D64 тоже входит в D8:



• 8 — наибольший общий делитель числе 40 и 64, значит, оно соответствует максимальному значению A.

Результат: 8

✎ Решение 2 (программирование):
Python:

1
2
3
4
5
6

for A in range(1,500):
    OK = 1
    for x in range(1,1000):
        OK *= ((x % 40 == 0) or (x % 64 == 0))<=(x % A== 0)
    if OK:
        print( A )

Вывод:

1
2
4
8

PascalABC.net:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

begin
  for var A := 1 to 500 do
  begin
    var ok := 1;
    for var x := 1 to 1000 do
    begin
      if (((x mod 40 = 0) or (x mod 64 = 0)) <= (x mod A = 0)) = false then
      begin
        ok := 0; 
        break;
      end;
    end;
    if (ok = 1) then print(A)
  end;
end.

Вывод:

1
2
4
8

Результат: 8

15_5:

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

 
Для какого наименьшего натурального числа А формула

ДЕЛ(x, A) → (¬ДЕЛ(x, 28) ∨ ДЕЛ(x, 42))

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Типовые задания для тренировки

Имеем:

ДЕЛ(x, A) → (¬ДЕЛ(x, 28) ∨ ДЕЛ(x, 42)) = 1 

• Введем обозначения:

A = ДЕЛ(x,A); 
D28 = ДЕЛ(x, 28); 
D42 = ДЕЛ(x, 42)

• Перепишем исходную формулу, согласно введенным обозначениям. Укажем, что формула должна быть тождественно истинна (по условию):

A → (¬D28 ∨ D42) = 1

Избавимся от импликации:

¬A ∨ (¬D28 ∨ D42) = 1

• Разделим данную формулу на две части: в одной из них — искомое A, а в другой — часть формулы с x, которую можно найти:

¬A ∨ (¬D28 ∨ D42) = 1
 1        2

• В части 2 полученной формулы находится операция дизъюнкция, которую проще найти, когда логическое выражение равно 0 (только один случай: 0 ∨ 0 = 0):

(¬D28 ∨ D42) = 0   один случай: когда ¬D28 = 0 и D42 = 0

• Т.е. имеем:

x/¬A : x/28 ∧ x/¬42

• Иными словами найдем все такие x, которые НЕ делятся на А и при этом делятся на 28 И НЕ делятся на 42:

x = 28, 56, 84, 112, 140, 168, 196, 224, ...

• Теперь найдем такие A, начиная с самого наименьшего (единицы), на которые НЕ делятся все x без исключения:

А = 1, 2, 3

• Наименьшее А равно 3.

✎ Решение 2 (программирование). Язык Python, Pascal:

Из общего выражения:

ДЕЛ(x, A) → (¬ДЕЛ(x, 28) ∨ ДЕЛ(x, 42)) = 1 

• Можно сделать вывод, что для некоторого диапазона натуральных значений А, необходимо рассмотреть диапазон натуральных значений x. Если выражение будет истинным для диапазона всех рассматриваемых х, то такое А необходимо вывести на экран.
• То есть следует рассмотреть вложенный цикл: для внешнего цикла, перебирающего значения А (ограничим их числом 50, т.к. необходимо найти наименьшее А), будем запускать внутренний цикл, перебирающий значения х (х ограничим числом 1000, будем рассматривать данный диапазон, как «любое натуральное значение переменной х»).
• Во внутреннем цикле расположим формулу:

Python:

for A in range(1,50):
    OK = 1
    for x in range(1,1000):
        OK *= (x % A == 0) <= ((x % 28 != 0) or (x % 42== 0))
    if OK:
        print( A )
        break

PascalABC.net:

begin
  for var A := 1 to 50 do
  begin
    var ok := 1;
    for var x := 1 to 1000 do
    begin
      if (x mod A = 0) <= ((x mod 28 <> 0)or (x mod 42 = 0)) = false then
      begin
        ok := 0; 
        break;
      end;
    end;
    if (ok = 1) then begin
      print(A);
      break;
      end
  end;
end.

OK — переменная-индикатор: если находится такое А при котором, диапазон всех значений x, подставленных в выражение, возвращает истинное значение выражения, то ОК остается равным 1, т.к. используется операция умножения (до цикла ОК необходимо присвоить единице).
Следует иметь в виду, что в программировании вместо операции импликация (->) можно использовать нестрогое неравенство: <=. Т.к. таблица истинности для операции импликация соответствует операции <=:

a b   F(a<=b)
0 0      1
0 1      1
1 0      0
1 1      1  

• После запуска программы выдается наименьшее значение А, т.к. используется оператор break для выхода из цикла после первого найденного значения:

3

Результат: 3

15_6:

Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение «натуральное число n делится без остатка на натуральное число m».

  
Для какого наименьшего натурального числа А формула

 (¬ДЕЛ(x, 19) ∨ ¬ДЕЛ(x, 15)) → ¬ДЕЛ(x, A) 

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

• Введем обозначения:

A = ДЕЛ(x,A); 
D19 = ДЕЛ(x, 19); 
D15 = ДЕЛ(x, 15)

• Перепишем исходную формулу, согласно введенным обозначениям. Укажем, что формула должна быть тождественно истинна (по условию):

(¬D19 ∨ ¬D15) → ¬A = 1

• Избавимся от импликации:

D19 ∧ D15 ∨ ¬A = 1

• Разделим данную формулу на две части: в одной из них – искомое A, а в другой – часть формулы с x, которую можно найти:

¬A ∨ D19 ∧ D15 = 1
 1       2

• Начнем с известной части – части 2 формулы. В ней находится операция конъюнкция, которую проще найти, когда все ее операнды равны 1 (единственный случай для конъюнкции: 1 ∧ 1 = 1).
• Вторая часть общей формулы может равняться только 1, когда ¬A = 0 (если ¬A = 1, то вторая часть может равнять 0, а нам нужно 1) :

¬A ∨ D19 ∧ D15 = 1
 0  ∨     1      = 1

• Т.е. получаем:

¬A = 0 при D19 ∧ D15 = 1
или
A = 1 при D19 = 1 и D15 = 1

• Таким образом, имеем:

A = 1
D19 = 1
D15 = 1

• Очевидно, что наименьшим x можем взять число 285 (15 * 19 = 285): ДЕЛ(285, 19) и ДЕЛ(285, 15)
• Поскольку мы ищем наименьшее A, такое что: ДЕЛ(x, A) и при этом ДЕЛ(x, 19) и ДЕЛ(x, 15), то нам необходимо найти наименьшее делимое чисел 19 и 15:

19 * 2 = 38 (38 не делится на 15)
19 * 3 = 57 (57 не делится на 15)
19 * 4 = 76 (76 не делится на 15)
19 * 5 = 95 (95 не делится на 15)
...
19 * 10 = 190 (190 не делится на 15)
19 * 15 = 285 (285 делится на 15)

• A должно быть таким числом, при котором x принимает единственно возможное (наименьшее) значение 285.
• Таким наименьшим A является само число 285.

✎ Решение 2 (программирование). Язык Python:

Из общего выражения:

 (¬ДЕЛ(x, 19) ∨ ¬ДЕЛ(x, 15)) → ¬ДЕЛ(x, A)  = 1

• Можно сделать вывод, что для некоторого диапазона натуральных значений А, необходимо рассмотреть диапазон натуральных значений x. Если выражение будет истинным для диапазона всех рассматриваемых х, то такое А необходимо вывести на экран.
• То есть следует рассмотреть вложенный цикл: для внешнего цикла, перебирающего значения А (ограничим их числом 500, т.к. необходимо найти наименьшее А), будем запускать внутренний цикл, перебирающий значения х (х ограничим числом 1000, будем рассматривать данный диапазон, как “любое натуральное значение переменной х”).
• Во внутреннем цикле расположим формулу:

for A in range(1,500):
    OK = 1
    for x in range(1,1000):
        OK *= ((x % 19 != 0) or (x % 15 != 0))<= (x % A!= 0)
    if OK:
            print( A )

OK – переменная-индикатор: если находится такое А при котором, диапазон всех значений x, подставленных в выражение, возвращает истинное значение выражения, то ОК остается равным 1, т.к. используется операция умножения (до цикла ОК необходимо присвоить единице).
Следует иметь в виду, что в программировании вместо операции импликация (->) можно использовать нестрогое неравенство: <=. Т.к. таблица истинности для операции импликация соответствует операции <=:

a b   F(a<=b)
0 0      1
0 1      1
1 0      0
1 1      1  

• После запуска программы выдается одно значение А:

285

Результат: 285

15_1:

Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 12&6 = 1100₂&0110₂ = 0100₂ = 4

  
Для какого наименьшего неотрицательного целого числа A формула

(X & A = 0) ∧ ¬(X & 35 ≠ 0 → X & 52 ≠ 0)

тождественно ложна (то есть принимает значение 0 при любом неотрицательном значении переменной X)?

Стоит заметить, что для такого типа задач, нет универсального единственного решения. Поэтому на видео, расположенном ниже, представлено два варианта решения.
✎ Способ 1:

Рассмотрим один из вариантов решения:

• Удалим из формулы X&, чтобы сократить ее запись:

(A = 0) ∧ ¬(35 ≠ 0 → 52 ≠ 0)

• Обратим внимание, что внешней операцией является конъюнкция – логическое умножение:

(A = 0) ∧ ¬(35 ≠ 0 → 52 ≠ 0)

• Разделим общее выражение на две части относительно внешней операции. Первая часть – неизвестная, искомая, а вторая – известная, ее можно вычислить:

(A = 0) ∧ ¬(35 ≠ 0 → 52 ≠ 0)
   1               2

• Выполним некоторые преобразования во второй части формулы:
• Зная свойство импликации, преобразуем формулу (избавимся от импликации в скобках):

правило импликации: a → b = ¬a ∨ b

(A = 0) ∧ ¬(35 = 0 ∨ 52 ≠ 0)
т.к. в результате получается отрицание того, что 35 ≠ 0, 
то убираем знак "не равно": было 35 ≠ 0, стало 35 = 0

• Избавимся от отрицания перед скобками по закону Де Моргана:

закон де Моргана: ¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B

A = 0 ∧ 35 ≠ 0 ∧ 52 = 0 = 0

• По условию формула должна быть ложной. Вспомним таблицу истинности для конъюнкции (внешняя операция в нашей общей формуле):

0 ∧ 0 = 0
0 ∧ 1 = 0
1 ∧ 0 = 0
1 ∧ 1 = 1

• Вторая часть формулы – вычислима, поэтому начнем с нее. В ней находится операция конъюнкция, которая имеет один единственный вариант решения, когда ¬ A ∧ ¬ B = 1. То есть примем вторую часть за истину (=1). В таком случае, для того чтобы общее выражение стало ложным (так требуется по заданию), необходимо, чтобы утверждение, что A = 0 было ложным (т.к. в обратном случае получим: 1 ∧ 1 = 1):

(A = 0) ∧ 35 ≠ 0 ∧ 52 = 0 = 0
   0    ∧        1    = 0 

• Вторая часть будет истинной только в том случае, если оба утверждения будут истинными:

35 ≠ 0 ∧ 52 = 0 = истинно (=1)  если:
35 ≠ 0 = истинно (=1)
и
52 = 0 = истинно (=1)

так как стоит логическое умножение ∧ - 
смотрим выше таблицу истинности для конъюнкции

• Из двух последних пунктов получаем три утверждения:

35 ≠ 0  = 1  (истина)
и
52 = 0  = 1  (истина)
и
A = 0   = 0  (ложь)

• Переведем числа в двоичную систему счисления:

35: 100011  (≠ 0)
52: 110100 (= 0)

• Найдем такой X, который при поразрядной конъюнкции даст истинное значение для обеих частей.
• Для начала рассмотрим ситуацию с числом 52 – это проще, т.к. для получения в результате нуля (52 = 0 => истина), достаточно во всех разрядах “перекрыть” единицы нулями:

52	1	1	0	1	0	0
X	0	0	?	0	?	?

• Мы “перекрыли” все единицы нулями, чтобы в результате получить 0.
• Теперь рассмотрим 35 ≠ 0 = истина (1):

35	1	0	0	0	1	1
X	1	?	?	?	1	1

• Объединим обе маски в одну:

0 0 ? 0 ? ?  &
1 ? ? ? 1 1
0 0 ? 0 1 1

• Так как выражение X & A = 0 должно быть ложным, то найдем такое наименьшее А, при котором X & A ≠ 0. Для этого в тех разрядах Х, в которых находится единица, необходимо сохранить эту единицу и в соответствующих разрядах А:

X	0	0	?	0	1	1
A	0	0	0	0	1	1

• Переведем результат в десятичную систему счисления:

0000112 = 310

Ответ: 3

✎ Способ 2*:

Используем метод А.В. Здвижковой.
• Выполним последовательно следующие пункты:
1. Произвести замену (x & K = 0) на Zk
2. Выполнить преобразования по свойству импликации и закону Де Моргана.
3. Стремиться прийти к выражению с конъюнкциями без отрицаний типа: Zk * Zm.
4. Все выражения типа Zk * Zm преобразовать по свойству
   Zk * Zm = Z_{k or m}.
5. Путем преобразований прийти к импликации: Zk → Zm.
• Согласно первому пункту производим замену:

A ∧ ¬(¬Z35 → ¬Z52) = 0

• Введем отрицание в выражение, чтобы оно было истинным:

¬(A ∧ ¬(¬Z35 → ¬Z52)) = 1

• По закону де Моргана:

¬A ∨ (¬Z35 → ¬Z52) = 1

• По свойству импликации:

¬A ∨ (Z35 ∨ ¬Z52) = 1

• Объединим слагаемые с отрицанием:

¬A ∨ ¬Z52 ∨ Z35 = 1

• Чтобы прийти к конъюнкции (пункт 3), используем закон де Моргана:

¬(A ∧ Z52) ∨ Z35 = 1

• Чтобы прийти к импликации (пункт 5), используем свойство импликации:

(A ∧ Z52) → Z35 = 1

• Получаем:

ZA ∨ 52 → Z35 = 1

• Вспомним свойство:

Условие Zk → Zm истинно для любых натуральных значений x тогда и только тогда, когда все единичные биты двоичной записи числа M входят во множество единичных битов двоичной записи числа K.

• В нашем случае это говорит о том, что все единичные биты двоичной записи числа 35 должны входить в результат Z_{A or 52}.
• Рассмотрим подробно:

A       = ??0?11
52      = 110100
A or 52 = 110111
35      = 100011
 

• поскольку мы ищем наименьшее А, то:

Аmin = 112 = 310

Результат: 3

15_2:

Обозначим через m & n поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел m и n. Так, например, 12&6 = 1100₂&0110₂ = 0100₂ = 4

  
Для какого наибольшего неотрицательного целого числа A формула

X & A ≠ 0 → (X & 36 = 0 → X & 6 ≠ 0)

тождественно истинна (то есть принимает значение 1 при любом неотрицательном значении переменной X)?

✎ Способ 1:
• Произведем замену:

z36 = (x&36 = 0), z6 = (x&6 = 0), A = (x&A = 0)

• Перепишем выражение:

¬A → (z36 → ¬ z6)

• Избавимся от импликации (A → B = ¬ A ∨ B):
• Сначала по правилу преобразования импликации:

¬A → (z36 → ¬ z6) = A + ¬z36 + ¬z6 

• По Закону де Моргана вынесем отрицание за скобки (¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B):

A + ¬z36 + ¬z6 = A + ¬(z36 * z6)

• Вернемся опять к импликации:

A + ¬(z36 * z6) = ¬(z36 * z6) + A = (z36 * z6) → A

• Суть предыдущих действий в том, что нам необходимо прийти к импликации, но, избавившись от отрицания.
• По следующему правилу Z_K * Z_M = Z_{K or M} (К. Поляков) заменим конъюнкцию:

z36 * z6 = z36 or 6

• Выполним поразрядную дизъюнкцию двоичных чисел 36 и 6:

1001002 -> 36
1102 -> 6

100100
   110
1001102 -> 36 or 6 = 3810

• Получаем:

z38 → A

• Необходимо обеспечить истинность данного выражения при всех x. Это возможно, когда единичные биты A входят в единичные биты числа 38. То есть:

A = 1001102 = 3810

  
✎ Способ 2:

• Так как по заданию формула должна быть тождественно истинна, то перепишем ее так:

x&A ≠ 0 → (x&36 = 0 → x&6 ≠ 0) = 1

• Введем обозначения:

A = (x&A = 0);
P = (x&36 = 0);
Q = (x&6 = 0);

• Перепишем выражение согласно введенным обозначениям:

¬A → (P → ¬Q) = 1

• Избавимся от импликации:

A ∨ (¬P ∨ ¬Q) = 1

• A – наше неизвестное; для части выражения ¬P ∨ ¬Q нам необходимо подобрать такой вариант (равный 0 или 1), при котором единственно возможным значением A была бы единица (1).
• Возьмем (¬P ∨ ¬Q) = 0, тогда А должно быть только единицей (чтобы общее выражение было = 1):

A ∨ (¬P ∨ ¬Q) = 1; 
или 
1 ∨ (0) = 1

• Иными словами, выражение истинно, если при ¬P ∨ ¬Q = 0, A равно единице (1).
• Получаем:

¬P ∨ ¬Q = 0
Отсюда имеем: 
¬P = 0 и ¬Q = 0 

(дизъюнкция равна 0 в единственном случае, когда все операнды равны 0)

• Или запишем другим образом:

Q = 1 и P = 1

• Построим побитовые маски:

100100  : 36
000110  : 6
0**0**  : маска P (x&36 = 0)
***00*  : маска Q (x&6 = 0)

• Сопоставим обе маски и маску x&A = 0:

0**0**  : маска P (x&36 = 0)
***00*  : маска Q (x&6 = 0)
0**00*  : общая маска x
*00**0  : маска для A (x&A = 0)
т.е. в тех битах А, где может получиться единица (звездочки в обеих масках),
 мы поставили нули.

• Так как нам необходимо получить наибольшее A (по заданию), то вместо всех “звездочек” ставим единицы:

100110 = 3810

Результат: 38

15_8:

Определите наименьшее натуральное число А из интервала [43, 55], такое, что выражение

((x & 17 ≠ 0) → ((x & A ≠ 0) → (x & 58 ≠ 0))) →
→ ((x & 8 = 0) ∧ (x & A ≠ 0) ∧ (x & 58 = 0))

тождественно ложно (то есть принимает значение 0 при любом натуральном значении переменной х)?

Типовые задания для тренировки

Кратко изложенное решение *:
• Введем обозначения:

(¬Z17 → (¬A → ¬Z58)) → (z8 ∧ ¬A ∧ Z58) = 0

• Для того, чтобы выражение было истинным, поставим его с отрицанием:

¬(((¬Z17 → (¬A → ¬Z58)) → (z8 ∧ ¬A ∧ Z58)) = 1
 

• Упростим выделенную часть выражения (свойство 1, теория):

Z8 ∧ Z58 = Z8 or 58  :

8  =   1000  or
58 = 111010
     111010 = 58

• Получили:

Z8 ∧ Z58 = Z58
 

• Перепишем все выражение снова, избавившись от импликации:

¬(¬(Z17 ∨ A ∨ ¬Z58) ∨ (¬A ∧ Z58)) = 1
 

• По закону Де Моргана получим:

(Z17 ∨ A ∨ ¬Z58) ∧ ¬(¬A ∧ Z58)) = 1
 

• Еще раз применим закон теперь ко второй скобке:

(Z17 ∨ A ∨ ¬Z58) ∧  (A ∨ ¬Z58) = 1

• Используем закон поглощения:

A ∨ ¬Z58 = 1

• Приведем к импликации, чтобы избавиться от отрицания:

¬Z58 ∨ A => 
 Z58 → A = 1

• Поскольку по заданию нас интересует диапазон [43;55], то проверять будет с числа 43.
• По свойству 3 (теория), необходимо, чтобы единичные биты А входили в единичные биты двоичного представления числа 58:

43 = 101011 - не подходит!
58 = 111010

44 = 101100 - не подходит!
58 = 111010

45 = 101101 - не подходит!
58 = 111010

46 = 101110 - не подходит!
58 = 111010

47 = 101111 - не подходит!
58 = 111010

48 = 110000 - подходит!
58 = 111010

Результат: 48

15_15:

Определите набольшее натуральное число A, такое что выражение

((x & 26 = 0) ∨  (x & 13 = 0)) → ((x & 78 ≠ 0) → (x & A = 0))

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной х)?

Типовые задания для тренировки:

• Для упрощения восприятия введем обозначения:

z26 = (x & 26 = 0)
z13 = (x & 13 = 0)
z78 = (x & 78 = 0)
A = (x & A = 0)

• Таким образом, получим следующее выражение:

(z26 ∨ z13) → (¬z78 → A) = 1

• Упростим выражение по свойству импликации для второй скобки:

(z26 ∨ z13) → (z78 ∨ A) = 1

• Упростим левую часть, используя свойство 2 (Z_k + Z_m = Z_{k and m}):

26 : 11010   единичные биты: 4, 3, 1
13 :  1101   единичные биты: 3, 2, 0
∧ =------------------------
     01000 = 810

• То есть получили z26 ∨ z13 = z8
• По правилу импликации: все единичные биты двоичной записи результата (z78 ∨ A) должны входить во множество единичных битов двоичной записи z8.
• Рассмотрим:

z8 → (z78 ∨ A)
z78: не влияет на решение, так как операция дизъюнкция истинна тогда, 
когда хотя бы один операнд истинен
z8 → A     : ????

• Для А единичными битами должны быть общие единичные биты для z8 (1000₂). Т.е. в нашим случае – это один бит – 3-й:

Наибольшее А = 1000 = 810

Результат: 8

15_4: 15 задание. Демоверсия ЕГЭ 2018 информатика:

Для какого наибольшего целого числа А формула

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

✎ Способ 1 (программный):

Важно: Поскольку используется метод полного перебора, то возможна ситуация, когда транслятор будет работать слишком медленно. Но работоспособность представленного алгоритма проверена на онлайн компиляторах.

Pascalabc.net:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

begin
  for var A := 200 downto -100 do
  begin
    var OK := 1;
    for var x := 0 to 100 do
      for var y := 0 to 100 do
        if ((x <= 9) <= (x * x <= A)) and ((y * y <= A) <= (y <= 9)) = false then 
        begin
          OK := 0;
          break;
        end;
    if OK = 1 then 
    begin
      print(A);
      break
    end;
  end;
end.

for A in range(200,-100,-1):
    OK = 1
    for x in range(0,100):
        for y in range(0,100):
            OK *= ((x<=9) <= (x*x<=A)) and((y*y<=A) <= (y<=9)) 
    if OK:
        print(A)
        break

✎ Способ 2 (теоретическое решение):

• Условно разделим исходное выражение на части:



• Главное действие (внешняя операция) в исходном выражении – это конъюнкция. Конъюнкция истинна, когда все операнды истинны. Т.е. в задаче обе части 1 и 2 должны быть истинными (т.к. по условию общая формула должна быть истинной).

Рассмотрим часть 1:
• если в 1.1 имеем x > 9, то часть 1 будет истинна независимо от А. Значит, значение числа А влияет на решение только при выполнении условия:

x<=9

(импликация 0 → 0 = 1, 0 → 1 = 1)

• теперь, для того чтобы в части 1, выражение было истинным, надо чтобы часть 1.2 была истинной:

x*x <= A

(импликация 1 → 1 = 1)

• таким образом, получаем:

x <= 9
x2 <= A

при любых x

• так как нам необходимо найти наибольшее возможное А, то, значит, надо ограничить его значения сверху, а данная часть выражения ограничивает только снизу:

возьмем максимальное натуральное: x=9, тогда A>=81

Рассмотрим часть 2:

• если 2.2 истинно (т.е. y <= 9), то часть 2 будет истинна независимо от А. Значит, значение числа А влияет на решение только при выполнении условия:

y > 9

• теперь, для того чтобы в части 2 выражение было истинным, надо чтобы часть 2.1 была ложной:

y * y > A

(импликация 0 → 0 = 1)

• таким образом, получаем:

y > 9
y2 > A

при любых y

• данная часть выражения ограничивает значения А сверху:

возьмем наименьшее возможное по условию натуральное: y = 10, тогда A < 100

• Получаем, что наибольшее А меньшее 100: А = 99

Результат: 99

✎ Способ 1 (программный):

Важно: Поскольку используется метод полного перебора, то возможна ситуация, когда транслятор будет работать слишком медленно. Но работоспособность представленного алгоритма проверена на онлайн компиляторах.

Pascalabc.net:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

begin
  for var A := -100 to 200 do
  begin
    var OK := 1;
    for var x := 1 to 100 do
      for var y := 1 to 100 do
        if ((y+3*x<A) or (x >20)or(y>40)) = false then 
        begin
          OK := 0;
          break;
        end;
    if OK = 1 then 
    begin
      print(A);
      break
    end;
  end;
end.

for A in range(-100,200):
    OK = 1
    for x in range(1,100):
        for y in range(1,100):
            OK *= (y+3*x<A) or (x > 20) or (y > 40) 
    if OK:
        print(A)
        break

✎ Способ 2 (теоретическое решение):

• Определим основные части выражения, выделив отдельно неизвестную часть – с А, и, так сказать, известную часть, то есть остальную.

    1                 2
(y+3x < A) ∨ (x > 20) ∨ (y > 40)

• Поскольку основными операциями являются операции дизъюнкции (логического сложения) и порядок их выполнения не важен, то последней, внешней, операцией будем выполнять дизъюнкцию слева, т.к. она объединяет неизвестную и известную часть.
• Сначала важно рассмотреть вторую часть выражения, известную, так как от нее будет зависеть значение A. Если вторая часть истинна, то А может быть как = 1, так и = 0. Такой вариант нам не подходит:

(y+3x < A) ∨ (x > 20) ∨ (y > 40)
  1 или 0?                   1               = 1
Не подходит!

• Соответственно, рассмотрим вариант, когда вторая часть ложна, тогда часть выражения с неизвестным А будет обязательно истинной, т.е.:

1. (y+3x < A) = 1
2. (x > 20) ∨ (y > 40) = 0

• Дизъюнкция ложна, когда оба операнда ложны, т.е. из второго пункта имеем:

x <= 20
y <= 40

• Для того, чтобы перекрыть все x и все y, возьмем наибольшие из возможных значений: x = 20, y = 40.
• Выразим А:

А > 3x + y
A > 3*20 + 40
A > 100 

• Поскольку требуется найти наименьшее значение А, то имеем А = 101.

Результат: 101

15_0:Разбор 15 задания. Демоверсия егэ по информатике 2019:

✍ Решение:
✎ Решение 1 (теоретическое):

• Разделим общее выражение на две части. Выделим неизвестную часть красным:

(48 ≠ y + 2x) ∨ (A < x) ∨ (A < y)

• Неизвестная часть должна быть истинной, она обязательно будет истинна, если известная часть — ложь:

(48 ≠ y + 2x) ∨ (A < x) ∨ (A < y) = 1
      0                  1

• Т.е. 48 ≠ y + 2x = 0 или y + 2x = 48. На графике это уравнение представляет линию. Из условия имеем два ограничения:(x > 0) and (y > 0). Отобразим линию для 1-й четверти, соответствующей положительным x и y:

y + 2x = 48  :
при x = 0, y = 48
при y = 0, 2x = 48 => x = 24



• Возьмем некоторое значение A, например, A = 25, отметим его на графике белой областью так, чтобы выполнялось (A < x) ∨ (A < y). По условию имеем, что все точки данной части отрезка прямой y + 2x = 48 должны принадлежать отмеченной белой области. Заштрихуем область для всех точек прямой (голубым цветом):



• То есть все точки голубого квадрата должны находиться под отрезком линии (включая вершину (A, A)), и данный квадрат, соответствует максимальному значению A.
• Наибольшее значение голубая область приобретает в точке пересечения прямой y + 2x = 48 с прямой y = x:



• Далее решаем полученное линейное уравнение (для x = y):

x + 2x = 48 =>
3x = 48
x = 16

• Так как значение A должно быть меньше x, то наибольшее А = 15.

✎ Решение 2 (программное):
Python:

1
2
3
4
5
6
7
8

for A in range(200,0,-1):
    OK = 1
    for x in range(0,100):
        for y in range(0,100):
            OK *= (48!=y+2*x) or(A<x)or (A<y) 
    if OK:
        print(A)
        break

Результат: 15

15_19:

Для какого наименьшего целого числа А формула

  
(y + 5x <= 34) → ((y – x > 4) ∨ (y <= A))

 
тождественно истинна, т.е. принимает значение 1 при любых целых неотрицательных x и y?

✍ Решение:

• Общая идея такова:
  необходимо упростить формулу так, чтобы последняя операция (внешняя) выполнялась со скобкой, в которой находится искомое A. После чего разделить формулу на две части, в одной из которых находится искомое.
• Избавимся от импликации, это даст нам возможность опустить общие скобки во второй части формулы:

¬(y + 5x <= 34) ∨ (y - x > 4) ∨ (y <= A)

• Разделим формулу на две части таким образом, чтобы внешняя операции отделяла часть, в которой находится искомое A:

¬(y + 5x <= 34) ∨ (y - x > 4) ∨ (y <= A) = 1
        1 часть                  2 часть

• Формула по условию должна быть истинной (=1). Внешняя операция — дизъюнкция — истинна аж в трех случаях: a=1 b=0, a=0 b=1, a=1 b=1.
• Если мы допустим, что первая часть истинна, то вторая, искомая часть, может быть как истинной, так и ложной. Поэтому такой вариант не подходит.
• Допустим, что первая часть ложна, тогда вторая, искомая часть, должна быть только истинной:

¬(y + 5x <= 34) ∨ (y - x > 4) ∨ (y <= A) = 1
        1 часть = 0               2 часть = 1

• С учетом, что в первой части формулу находится операция дизъюнкция, которая ложна только в одном случае (a=0 b=0), то выпишем утверждения, получившиеся из первой части:

y + 5x > 34 = 0, значит:
1. y + 5x <= 34
y - x > 4 = 0, значит:
2. y - x <= 4

• Кроме того, имеем еще одно утверждение второй части:

y <= A
или
A >= y

• Отобразим получившиеся уравнения прямых на плоскости:



• Раз A >= y, значит, искомая область лежит выше обеих прямых. Наименьшее значение А будет достигнуто в указанной точке пересечения двух прямых.
• В точке пересечения прямых уравнения равны, т.е. имеем:

34 - 5x = 4 + x
30 = 6x
x = 5
Найдем y: 
y = 4 + 5 = 9

• Поскольку имеем утверждение, что A >= y и в задании требуется найти наименьшее A, то получаем:

y = 9:
A >= 9 => наименьшее A = 9

✎ Решение 2 (программное):
Python:

1
2
3
4
5
6
7
8

for A in range(-100,100):
    OK = 1
    for x in range(0,100):
        for y in range(0,100):
            OK *= (y+5*x<=34)<=((y-x >4)or(y<=A)) 
    if OK:
        print( A )
        break

PascalABC.NET:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21

 
begin
  for var A := -100 to 100 do
  begin
    var OK := true;
    for var x := 0 to 100 do
    begin
      for var y := 0 to 100 do
      begin
        OK := (y + 5 * x <= 34) <= ((y - x > 4) or (y <= A));
        if OK = false then break;
      end;
      if OK = false then break;
    end;
    if OK then 
    begin
      print(A);
      break;
    end;
  end;
end.

Результат: 9

15_13:

Укажите наименьшее целое значение А при котором выражение

  
(2y + 5x < A) ∨ (2x + 4y > 100) ∨ (3x – 2y > 70)

истинно для любых целых положительных значений x и y.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение (программное):
Python:

1 2 3 4 5 6 7 8

for A in range(-200,200): OK = 1 for x in range(1,100): for y in range(1,100): OK *= (2*y + 5*x < A) or (2*x + 4*y > 100) or (3*x - 2*y > 70) if OK: print( A ) break

PascalABC.NET:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

begin for var A := -200 to 200 do begin var OK := true; for var x := 1 to 100 do begin for var y := 1 to 100 do begin OK := (2*y + 5*x < A) or (2*x + 4*y > 100) or (3*x - 2*y > 70); if OK = false then break; end; if OK = false then break; end; if OK then begin print(A); break; end; end; end.

Результат: 171

15_14:

Укажите наибольшее целое значение А при котором выражение

  
(3y – x > A) ∨ (2x + 3y < 30) ∨ (2y – x < –31)

истинно для любых целых положительных значений x и y.

Типовые задания для тренировки

✍ Решение:

✎ Решение 1 (теоретическое):
• Разделим выражение на две части: часть с неизвестным = 1, часть известная = 0:

(3y – x > A) ∨ (2x + 3y < 30) ∨ (2y – x < –31) = 1

• Выпишем отдельно обе скобки известной части:

(1) 
(2x + 3y) >= 30,
y >= (30 - 2x) / 3
x = (30 - 3y) /2

(2) 
(2y – x >=–31)
y >= (x - 31) / 2
x = 2y + 31

• Подберем значения координат для x и y обеих частей, и отобразим линии на графике функций:

(1)
x | y
0 | 10
15| 0

(2)
x | y
0 | -15 ( целые)
30|0

• Для первого уравнения:



• Для второго уравнения:



• Сопоставим обе области:



• Добавим на график прямую A<3y-x:



• Раз A < 3y – x, то будем перемещать А снизу вверх. Наибольшее значение А будет достигнуто в указанной точке пересечения с прямой (2).
• Т.е. для уравнения (2) имеем:

если y = 1, то x = 2*1 + 31 = 33

• Подставим в выражение для поиска А:

А < 3y - x
A < 3-33, A < -30, A=-31

✎ Решение (программное):
Python:

1 2 3 4 5 6 7 8

for A in range(200,-200,-1): OK = 1 for x in range(1,100): for y in range(1,100): OK *= (3*y-x>A) or (2*x+3*y<30) or (2*y-x<-31) if OK: print(A) break

Результат: -31