Как найти пересечение множества слов

Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.

Простейшие случаи

Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.

Определение 1

Объединение двух множеств – это множество, в котором каждый элемент является элементом одного из исходных множеств.

Пересечение множеств – это множество, которое состоит из всех общих элементов исходных множеств.

Из указанных определений логически следуют следующие правила:

– чтобы составить объединение двух числовых множеств, имеющих конечное количество элементов, необходимо записать все элементы одного множества и дописать к ним недостающие элементы из второго множества;

– чтобы составить пересечение двух числовых множеств, необходимо элементы первого множества один за другим проверить на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими обоим множествам и будут составлять пересечение.

Полученное согласно первому правилу множество будет включать в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е. станет объединением этих множеств по определению.

Множество, полученное согласно второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т.е. станет пересечением исходных множеств.

Рассмотрим применение полученных правил на практических примерах.

Пример 1

Исходные данные: числовые множества А = {3, 5, 7, 12} и В = {2, 5, 8, 11, 12, 13}. Необходимо найти объединение и пересечение исходных множеств.

Решение

  1. Определим объединение исходных множеств. Запишем все элементы, к примеру, множества А: 3, 5, 7, 12. Добавим к ним недостающие элементы множества В: 2, 8, 11 и 13. В конечном итоге имеем числовое множество: {3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13}. Упорядочим элементы полученного множества и получим искомое объединение: А∪B = {2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13}.
  2. Определим пересечение исходных множеств. Согласно правилу, переберем один за другим все элементы первого множества A и проверим, входят ли они во множество B. Рассмотрим первый элемент – число 3: он не принадлежит множеству B, а значит не будет являться элементом искомого пересечения. Проверим второй элемент множества A, т.е. число 5: оно принадлежит множеству B, а значит станет первым элементом искомого пересечения. Третий элемент множества A – число 7. Оно не является элементом множества B, а, следовательно, не является элементом пересечения. Рассмотрим последний элемент множества A: число 1. Оно также принадлежит и множеству B, и соответственно станет одним из элементов пересечения. Таким образом, пересечение исходных множеств – множество, состоящее из двух элементов: 5 и 12, т.е. А∩В = {5, 12}.

Ответ: объединение исходных множеств – А∪B = {2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13}; пересечение исходных множеств – А∩В = {5, 12}.

Все вышесказанное относится к работе с двумя множествами. Что же касается нахождения пересечения и объединения трех и более множеств, то решение этой задачи возможно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы определить пересечение трех множеств A, В и С, возможно сначала определить пересечение A и B, а затем найти пересечение полученного результата с множеством C. На примере это выглядит так: пусть будут заданы числовые множества: А = {3, 9, 4, 3, 5, 21}, В = {2,7, 9, 21} и С = {7, 9, 1, 3}. Пересечение первых двух множеств составит: А∩В = {9, 21}, а пересечение полученного множества с множеством А∩В = {9, 21}. В итоге: А∩В∩С = {9}.

Однако на практике, чтобы найти объединение и пересечение трех и более простейших числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, удобнее применять правила, аналогичные указанным выше.

Т.е., чтобы найти объединение трех и более множеств указанного типа, необходимо к элементам первого множества добавить недостающие элементы второго множества, затем – третьего и т.д. Для пояснения возьмем числовые множества: А = {1, 2}, В = {2, 3}, С = {1, 3, 4, 5}. К элементам первого множества A добавится число 3 из множества B, а затем – недостающие числа 4 и 5 множества C. Таким образом, объединение исходных множеств: А∪В∪С = {1, 2, 3, 4, 5}.

Что же касается решения задачи на нахождение пересечения трех и более числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, необходимо одно за другим перебрать числа первого множества и поэтапно проверять, принадлежит ли рассматриваемое число каждому из оставшихся множеств. Для пояснения рассмотрим числовые множества:

А = {3, 1, 7, 12, 5, 2} В = {1, 0, 2, 12} С = {7, 11, 2, 1, 6} D = {1, 7, 15, 8, 2, 6}.

Найдем пересечение исходных множеств. Очевидно, что множество B имеет меньше всего элементов, поэтому именно их мы будем проверять, определяя, входят ли они в остальные множества. Число 1 множества B является элементом и прочих множеств, а значит является первым элементом искомого пересечения. Второе число множества B – число 0 – не является элементом множества A, а, следовательно, не станет элементом пересечения. Продолжаем проверку: число 2 множества B является элементом прочих множеств и становится еще одной частью пересечения. Наконец, последний элемент множества B – число 12 – не является элементом множества D и не является элементом пересечения. Таким образом, получаем: A∩B∩C∩D = {1, 2}.

Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей

Отметим на координатной прямой произвольную точку, например, с координатой -5,4. Указанная точка разобьет координатную прямую на два числовых промежутка – два открытых луча (-∞, -5,4) и (-5,4, +∞) и собственно точку. Нетрудно увидеть, что в соответствии с определением объединения множеств любое действительное число будет принадлежать объединению (-∞, -5,4)∪ {-5,4} ∪(-5,4, +∞). Т.е. множество всех действительных чисел R = (-∞; +∞) возможно представить в виде полученного выше объединения. И наоборот, полученное объединение будет являться множеством всех действительных чисел.

Отметим, что заданную точку возможно присоединить к любому из открытых лучей, тогда он станет простым числовым лучом (-∞, -5,4] или [-5,4, +∞). При этом множество R будет описываться следующими объединениями: (-∞, -5,4] ∪ (-5,4, +∞) или (-∞, -5,4) ∪ [-5,4, +∞)..

Подобные рассуждения действительны не только относительно точки координатной прямой, но и относительно точки на любом числовом промежутке. Т.е., если мы возьмем любую внутреннюю точку любого произвольного промежутка, его возможно будет представить, как объединение его частей, полученных после деления заданной точкой, и самой точки. К примеру, задан полуинтервал (7, 32] и точка 13, принадлежащая этому числовому промежутку. Тогда заданный полуинтервал можно представить в виде объединения (7, 13) ∪ {13} ∪ (13, 32] и обратно. Мы можем включить число 13 в любой из промежутков и тогда заданное множество (7, 32] можно представить, как (7, 13] ∪ (13, 32] или (7, 13] ∪ (13, 32]. Также мы можем взять в качестве исходных данных не внутреннюю точку заданного полуинтервала, а его конец (точку с координатой 32), тогда заданный полуинтервал можно представить, как объединение интервала (7, 32) и множества из одного элемента {32}. Таким образом: (7, 32] = (7, 32) ∪ {32}.

Еще один вариант: когда берется не одна, а несколько точек на координатной прямой или числовом промежутке. Эти точки разобьют координатную прямую или числовой промежуток на несколько числовых промежутков, а объединение этих промежутков будут составлять исходные множества. К примеру, на координатной прямой заданы точки с координатами -6, 0, 8, которые разобьют ее на промежутки: (-∞, -6), (-6,0), (0, 8), (8, +∞). При этом множество всех действительных чисел, олицетворением чего и является координатная прямая, возможно представить в виде объединения полученных промежутков и указанных чисел:

(-∞, -6) ∪ {-6} ∪(-6,0) ∪ {0} ∪ (0, 8) ∪ {8} ∪ (8, +∞).

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

С темой нахождения пересечения и объединения множеств возможно наглядно разобраться, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только речь – не о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).

Мы рассмотрим общий подход, который позволяет определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Рассматривать его шаги будем постепенно, каждый раз приводя очередной этап решения конкретного примера.

Пример 2

Исходные данные: заданы числовые множества А = (7, +∞) и В = [-3, +∞). Необходимо найти пересечение и объединение данных множеств.

Решение

  1. Изобразим заданные числовые множества на координатных прямых. Их необходимо расположить друг над другом. Для удобства принято считать, что точки начала отсчета заданных множеств совпадают, и остается сохранным расположение точек друг относительно друга: любая точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. При этом, если нам интересно объединение множеств, то координатные прямые объединяют слева квадратной скобкой совокупности; если интересует пересечение, то – фигурной скобкой системы.

В нашем примере для записи пересечения и объединения числовых множеств имеем: Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств и Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Изобразим еще одну координатную прямую, расположив ее под уже имеющимися. Она понадобится для отображения искомого пересечения или объединения. На этой координатной прямой отмечают все граничные точки исходных числовых множеств: сначала черточками, а позже, после выяснения характера точек с этими координатами, черточки будет заменены выколотыми или невыколотыми точками. В нашем примере это точки с координатами -3 и 7.

Получим:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множестви Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Точки, которые изображены на нижней координатной прямой в предыдущем шаге алгоритма, дают возможность рассматривать координатную прямую как набор числовых промежутков и точек (об этом мы говорили выше). В нашем примере координатную прямую представим в виде набора пяти числовых множеств: (-∞, -3), {-3}, (-3, 7), {7}, (7, +∞).

Теперь необходимо поочередно проверить принадлежность каждого из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Получаемые выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: когда промежуток является частью пересечения или объединения, над ним рисуется штриховка. Когда точка входит в пересечение или объединение, то штрих заменяется на сплошную точку; если точка не является частью пересечения или объединения – ее делают выколотой. В этих действиях нужно придерживаться таких правил:

-. промежуток становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества A и множества B (или иными словами – если есть штриховка над этим промежутком на обеих координатных прямых, отображающих множества А и B);

– точка становится частью пересечения, если она является одновременно частью каждого из множеств А и В (иными словами – если точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обоих числовых множеств A и B);

– промежуток становится частью объединения, если он является частью хотя бы одного из множеств A или B (иными словами – если присутствует штриховка над этим промежутком хотя бы на одной из координатных прямых, отображающих множества A и B.

– точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств A и B (иными словами – точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B).

Кратко резюмируя: пересечением числовых множеств A и B служит пересечение всех числовых промежутков множеств A и B, над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединением числовых множеств A и B служит объединение всех числовых промежутков, над которыми присутствует штриховка хотя бы у одного из множеств A или B, а также всех невыколотых отдельных точек.

  1. Вернемся к примеру, определим пересечение заданных множеств. Для этого поочередно проверим множества: (-∞, -3), {-3}, (-3, 7), {7}, (7, +∞). Начнем с множества (-∞, -3), наглядно выделив его на чертеже:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Этот промежуток не будет включен в пересечение, потому что не является частью ни множества A, ни множества B (нет штриховки). И так наш чертеж сохраняет свой изначальный вид:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Рассмотрим следующее множество {-3}. Число -3 является частью множества B (невыколотой точкой), но не входит в состав множества A, а потому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной прямой точку с координатой -3 делаем выколотой:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Оцениваем следующее множество (-3, 7).

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Оно является частью множества B (над интервалом присутствует штриховка), но не входит в множество A (над интервалом штриховка отсутствует): не будет входить в искомое пересечение, а значит на нижней координатной прямой не появляется никаких новых отметок:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Следующее множество на проверку – {7}. Оно является составом множества B (точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [-3, +∞) ), но не является частью множества A (выколотая точка), таким образом, рассматриваемый промежуток не станет частью искомого пересечения.. Отметим точку с координатой 7 как выколотую:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

И, наконец, проверяем оставшийся промежуток (7, +∞).

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Промежуток входит в оба множества A и B (над промежутком присутствует штриховка), следовательно, становится частью пересечения. Штрихуем место над рассмотренным промежутком:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

В конечном счете на нижней координатной прямой образовалось изображение искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, что оно является множеством всех действительных чисел больше числа 7, т.е.: А∩В = (7, +∞).

  1. Следующим шагом определим объединение заданных множеств A и B. Последовательно проверим множества (-∞, -3), {-3}, (-3, 7), {7}, (7, +∞), устанавливая факт включения или невключения их в искомое объединение.

Первое множество (-∞, -3) не является частью ни одного из исходных множеств A и B (над промежутками нет штриховок), следовательно, множество (-∞, -3) не войдет в искомое объединение:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Множество {-3} входит в множество B, а значит будет входить в искомое объединение множеств A и B:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Множество (-3, 7) является составной частью множества B (над интервалом присутствует штриховка) и становится элементом объединения множеств A и B:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Множество 7 входит в числовое множество B, поэтому войдет и в искомое объединение:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Множество (7, +∞), являясь элементом обоих множеств А и В одновременно, становится еще одной частью искомого объединения:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

По итоговому изображению объединения исходных множеств А и В получаем: А∩В = [-3, +∞).

Имея некий практический опыт применения правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко проводятся устно, что позволяет быстро записывать конечный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без детальных пояснений.

Пример 3

Исходные данные: множества А =(-∞, -15)∪{-5}∪[0, 7)∪{12} и  В =(-20, -10)∪{-5}∪(2, 3)∪{17}. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение

Отметим заданные числовые множества на координатных прямых, чтобы иметь возможность получить иллюстрацию искомых пересечения и объединения:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств                           Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Ответ: А∩В = (-20,-15)∪{-5}∪(2, 3); А∪В = (-∞, -10)∪{-5}∪[0, 7]∪{12, 17}.

Также понятно, что при достаточном понимании процесса указанный алгоритм возможно подвергнуть оптимизации. К примеру, в процессе нахождения пересечения можно не тратить время на проверку всех промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, ограничившись рассмотрением только тех промежутков и чисел, которые составляют множество А или В. Прочие промежутки в любом случае не войдут в пересечение, т.к. не являются частью исходных множеств. Составим иллюстрацию сказанного на практическом примере.

Пример 4

Исходные данные: множества А = {-2}∪[1, 5] и B = [-4, 3].

Необходимо определить пересечение исходных множеств.

Решение

Геометрически изобразим числовые множества А и В:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Граничные точки исходных множеств разобьют числовую прямую на несколько множеств:

(-∞, -4), {-4}, (-4, -2), {-2}, (-2, -1), {1}, (1, 3), {3}, (3, 5), {5}, (5, +∞).

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Легко заметить, что числовое множество A можно записать, объединив некоторые из перечисленных множеств, а именно: {-2}, (1, 3), {3} и (3, 5). Достаточно будет проверить эти множества на их включенность также в множество В для того, чтобы найти искомое пересечение. Те, что войдут в множество В и станут элементами пересечения. Проведем проверку.

Совершенно понятно, что {-2} является частью множества B , ведь точка с координатой -2 – внутренняя точка отрезка [-4, 3). Интервал (1, 3) и множество {3} также входят в множество В (над интервалом присутствует штриховка, а точка с координатой 3 является для множества В граничной и невыколотой). Множество (3, 5) не будет элементом пересечения, т.к. не входит в множество В (над ним не присутствует штриховка). Отметим все вышесказанное на чертеже:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

В итоге искомым пересечением двух заданных множеств будет объединение множеств, которое мы запишем так: {-2}∪(1, 3].

Ответ: А∩В = {-2}∪(1, 3].

В заключении статьи обговорим еще, как решить задачу о нахождении пересечения и объединения нескольких множеств (более 2). Сведем ее, как рекомендовалось ранее, к необходимости определения пересечения и объединения первых двух множеств, затем полученного результата с третьим множеством и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с единственным только отличием, что проверку вхождения промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, необходимо проводить не по двум, а всем заданным множествам. Рассмотрим на примере.

Пример 5

Исходные данные: множества А = (-∞, 12], В = (-3,25], D = (-∞, 25)ꓴ{40}. Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение 

Отображаем заданные числовые множества на координатных прямых и ставим с левой от них стороны фигурную скобку, обозначая пересечение, а также квадратную, обозначая объединение. Ниже отобразим координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств                             Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Таким образом, координатная прямая представлена следующими множествами: (-∞, -3), {-3}, (-3, 12), {12}, (12, 25), {25}, (25, 40), {40}, (40, +∞).

Начинаем искать пересечения, поочередно проверяя записанные множества на принадлежность каждому из исходных. Во все три заданных множества входит интервал (-3, 12) и множество {-12}: они и станут элементами искомого пересечения. Таким образом, получим: A∩B∩D = (-3, 12].

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Объединение заданных множеств составят множества: (-∞, -3) – элемент множества А; {-3} – элемент множества А; (-3, 12) – элемент множества А; {12} – элемент множества А; (12, 25) – элемент множества В; {25} – элемент множества В и {40} – элемент множества D. Таким образом, получим: A∪B∪D = (-∞, 25] ∪ {40}.

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

 Ответ: A∩B∩D = (-3, 12]; A∪B∪D = (-∞, 25] ∪ {40}.

Отметим также, что искомое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Происходит это в тех случаях, когда в заданные множества не включены элементы, одновременно принадлежащие им всем.

Пример 6

Исходные данные: А = [-7, 7]; В = {-15}∪[-12, 0)∪{5}; D = [-15, -10]∪[10, +∞); Е = (0, 27). Определить пересечение заданных множеств.

Решение

Отобразим исходные множества на координатных прямых и штрихами граничные точки этих множеств на дополнительной прямой.

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Отмеченные точки разобьют числовую прямую на множества: (-∞, -15), {-15}, (-15, -12), {-12}, (-12, -10), {-10}, (-10, -7), {-7}, (-7, 0), {0}, (0, 5), {5}, (5, 7), {7}, (7, 10), {10}, (10, 27), {27}, (27, +∞).

Ни одно из них не является одновременно элементом всех исходных множеств, следовательно, пересечение заданных множеств есть пустое множество.

Ответ: A∩B∩D∩Е = Ø.

Множества удобно изображать в виде кругов, которые называют кругами Эйлера.

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.

Содержание:

Множества

Понятие множества является одним из исходных понятий математики в том смысле, что его нельзя определить с помощью более простых, чем оно само, понятий. В повседневной жизни часто приходится рассматривать набор некоторых объектов как единое целое. Скажем, когда биолог изучает флору и фауну некоторой местности, он делит организмы на виды, а виды на семейства. При этом каждый вид рассматривается как единое целое, состоящее из организмов.

Множество может состоять из объектов различной природы. Например, вес реки Азии или все слова в словаре могут рассматриваться как множества.

Знаменитый немецкий математик Г. Кантор (1845 -1918) дал следующую описательную формулировку: «Множество есть совокупность, мыслимая как единое целое».

Объекты, составляющие множество, называются его элементами.

Обычно, для удобства, множество обозначается заглавными буквами латинского алфавита, например, А, В, С,…, а его элементы – прописными.

Множество А, состоящее из элементов а, b, с, … , будем записывать в виде A = {а, b, с,…}. Отметим, что записи {6, 11} , {11, 6} , {11, 6, 6, 11} означают одно и то же множество.

При ведем примеры множеств. Например, множество {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – множество цифр десятичной системы счисления ,Множества - определение и вычисление с примерами решения

То, что х является элементом множества А, будем обозначать как Множества - определение и вычисление с примерами решенияа то, что он не является его элементом, будем обозначать как Множества - определение и вычисление с примерами решения Эти записи в первом случае читаются как «элементах принадлежит А», а во втором случае как «элемент х не принадлежит А».

Например, для множества Множества - определение и вычисление с примерами решения имеем Множества - определение и вычисление с примерами решенияоднако Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если число элементов, составляющих множество, конечно, то такое множество будем называть конечным, в противном случае бесконечным. Например, множество Множества - определение и вычисление с примерами решения конечно, а множество Множества - определение и вычисление с примерами решения всех натуральных чисел бесконечно.

В качестве еще одного примера бесконечного множества можно привести множество всех натуральных чисел, не меньших 13.

Обозначим через Множества - определение и вычисление с примерами решения число всех элементов конечного множества А. Если, например,Множества - определение и вычисление с примерами решения

в силу того, что число всех его элементов равно 6. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается так: 0

Пустое множество 0 считается конечным и для него я(0)= 0.

Для бесконечного множества А принято, что Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если вес элементы множества А также принадлежат множеству В, то говорят, что множество А – подмножество множества В и обозначают так: Множества - определение и вычисление с примерами решения. В этом случае также говорят, что «множество А лежит во множестве В» или «множество А – часть В».

Во множестве {а} лежат два подмножества:Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множество {а, b} имеет четыре подмножества: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения так как все элементы первого множества также являются элементами второго.

Если множество А имеет элементы, не принадлежащие В, то множество А не может быть подмножеством В. Этот факт мы будем записывать так:Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, пусть А={ 1, 2, 3, 4}, В={2, 3, 4, 5}. Так как Множества - определение и вычисление с примерами решения Очевидно, что справедливы соотношения:Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если Множества - определение и вычисление с примерами решения то эти множества состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называются равными (совпадающими), и этот факт мы будем записывать так: А = В.

Например, множество всех правильных треугольников совпадает со множеством всевозможных треугольников, у которых все углы равны. Причина этого заключается в том, что у любого правильного треугольника

все углы равны, и, наоборот, если у треугольника все углы равны, то он является правильным.

Напомним основные числовые множества:Множества - определение и вычисление с примерами решения— множество натуральных чисел; Множества - определение и вычисление с примерами решения — множество целых чисел; Множества - определение и вычисление с примерами решения– множество рациональных чисел; Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множество действительных чисел

Объединение и пересечение множеств

1) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А, В, называется объединением множеств.

Объединение множеств А, В обозначается через Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, если Множества - определение и вычисление с примерами решения

2) Множество, состоящее из элементов, принадлежащих обоим множествам А, В, называется пересечением множеств. Пересечение множеств А. В обозначается через Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, если Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества, не имеющие общих элементов, называются не пересекающимися.

Пример:

Для множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения

a) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны: Множества - определение и вычисление с примерами решения

b) найдите множества: Множества - определение и вычисление с примерами решения

c) определите, какие из утверждений верны, а какие неверны:Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

а) Так как число 4 не является элементом множества М, то утверждение Множества - определение и вычисление с примерами решения неверно. Так как число 6 не является элементом множества, утверждение Множества - определение и вычисление с примерами решения истинно.

b). Множества - определение и вычисление с примерами решения так как только числа 3 и 9 – элементы обоих множеств. Для того, чтобы найти множествоМножества - определение и вычисление с примерами решениявыпишем элементы, принадлежащие либо М либо N: Множества - определение и вычисление с примерами решения = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10};

c) Утверждение Множества - определение и вычисление с примерами решения ложно, ибо существуют элементы множества М, не принадлежащие N. Утверждение Множества - определение и вычисление с примерами решения истинно, ибо в множестве У есть элементы из {9, 6, 3}. 

В некоторых случаях для задания множества указывается характеристическое свойство, истинное для всех элементов множества и ложное для остальных. Если мы кратко запишем тот факт, что элемент х удовлетворяет свойству Р как Р(х), то множество всех элементов, удовлетворяющих свойству Р обозначается так: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, запись Множества - определение и вычисление с примерами решения читается следующим образом: “множество всех целых чисел, больших или равных -2, по меньших или равных 4”.

На числовом луче это множество изображается так:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Видно, что Множества - определение и вычисление с примерами решения и оно, конечно, при этом Множества - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично запись Множества - определение и вычисление с примерами решения читается так: “множество всех действительных чисел, больших или равных -2, но меньших 4”.

На числовом луче это множество изображается так:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Видно, что, Множества - определение и вычисление с примерами решения и оно бесконечно, при этом Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

a) Как читается эта запись?

b) Выпишите последовательно элементы этого множества.

c) Найдите Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

a) “Множество всех целых чисел, больших 3 и меньших или равных 10”;

b). Множества - определение и вычисление с примерами решения

c). Множества - определение и вычисление с примерами решения

Рассмотрим множество всех натуральных чисел, больших или равных 1, но меньших или равных 8. Пусть нас интересуют только его подмножества.

В таком случае, обычно вводится множество Множества - определение и вычисление с примерами решения называемое универсальным множеством.

Множество А содержащее все элементы универсального множества U, не являющиеся элементами множества А, называется дополнением множества А.

Например, если Множества - определение и вычисление с примерами решения – универсальное множество, то дополнение множества Множества - определение и вычисление с примерами решенияимеет вид Множества - определение и вычисление с примерами решения

Очевидно, что Множества - определение и вычисление с примерами решения

т.е. множества А и А’ не имеют общих элементов, а также вес составляющие их элементы образуют в совокупности универсальное множество U.

Пример:

Пусть U универсальное множество. Найдите С’, если:

а) С = {все четные числа); b). Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решения Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения Выпишите все элементы множеств:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть Множества - определение и вычисление с примерами решения {числа, кратные 4 и меньшие 50} и Q = {числа, кратные 6 и меньшие 50}. a) выпишите элементы множеств Р, Q;

b) найдите Множества - определение и вычисление с примерами решения с) Найдите Множества - определение и вычисление с примерами решения

d) проверьте выполнение равенства Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Значит, Множества - определение и вычисление с примерами решения равенство является верным. 

Диаграммы Венна

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, на этом рисунке изображено множество А, лежащее внутри универсального множества Множества - определение и вычисление с примерами решенияЗакрашенная область вне круга означает дополнение А ’ множества А:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если Множества - определение и вычисление с примерами решенияи Множества - определение и вычисление с примерами решения, то они изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Мы знаем, что если Множества - определение и вычисление с примерами решения то любой элемент множества В принадлежит множеству А. Значит, на соответствующей диаграмме Венна круг, обозначающий множество В, лежит в круге, обозначающем множество А:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Все элементы пересечения Множества - определение и вычисление с примерами решениялежат как в А, так и в В. Значит, на соответствующей диаграмме Венна закрашенная область изображает множество Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Все элементы объединения A U В принадлежат либо А, либо В, либо обоим одновременно. Значит, на соответствующей диаграмме Венна область, соответствующая множеству A U В, изображается следующим образом: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Пусть Множества - определение и вычисление с примерами решения Изобразите на диаграмме

Венна множества:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Удобно на диаграмме Венна множества раскрашивать.

Например, на рисунке раскрашены множества А, Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Высказывание

Высказывание – это повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, при этом непременно истинное или ложное. Вопросительные предложения, повествовательные предложения, описывающие личное отношение субъекта, например «Зеленый цвет приятен», не являются высказываниями. Отметим, что существуют высказывания, истинность или ложность которых не определяются однозначно.

Например, высказывание “Этот писатель родился в Ташкенте” может быть истинным по отношению к некоторым писателям и ложным по отношению к другим.

Пример:

Укажите, какие из предложений являются высказываниями. В случае, когда предложение является высказыванием, однозначно ли определяется его истинность – ложность?

а) 20:4=80; b) 25-8=200;

с) Где мой карандаш? d) У тебя глаза голубые.

Решение:

a) Это высказывание и оно ложно, так как 20:4=5;

b) это высказывание и оно истинно;

c) это вопросительное предложение и поэтому оно не является высказыванием;

d) это высказывание. Истинность-ложность его определяется неоднозначно, так как применительно к некоторым людям оно истинно, а к другим – ложно.

Мы будем обозначать высказывания буквами p,q,r … .

Например, р: во вторник прошел дождь; q: 20:4=5; r: х – четное число. Для построения нескольких сложных высказываний служат символы, называемые логическими связками: Множества - определение и вычисление с примерами решения(конъюнкция, “и”, “но”), Множества - определение и вычисление с примерами решения(дизъюнкция, “или”), Множества - определение и вычисление с примерами решения(отрицание,” не ….”,”неверно, что ….”).

Рассмотрим их подробней.

Отрицание

Для высказывания р высказывание вида “не р” или “неверно, что р” называется отрицанием высказывания р и обозначается как Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например,

отрицанием высказывания

р: Во вторник шел дождь

является высказывание

Множества - определение и вычисление с примерами решения: Во вторник дождя не было;

Отрицанием высказывания

р: У Мадины глаза голубые

является высказывание

Множества - определение и вычисление с примерами решения: У Мадины глаза не голубые.

Ясно, что если р истинно, то Множества - определение и вычисление с примерами решения ложно, и наоборот, если р ложно, то Множества - определение и вычисление с примерами решенияистинно. Этот факт иллюстрируется так называемой таблицей истинности. Такая таблица позволяет, исходя из высказывания р, заключить об истинности Множества - определение и вычисление с примерами решения или ложности Множества - определение и вычисление с примерами решения нового высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

1 Буквы Т и F – начальные буквы английских слов “true” (истинно) и “false” (ложно) соответственно.

Пример:

Составьте отрицание высказывания:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Удобно находить отрицание высказывания с помощью диаграмм Венна. Например, рассмотрим высказывание: Множества - определение и вычисление с примерами решения

р: “Число х больше, чем 10 “.

На диаграмме U – множество всех чисел, множество Р – множество истинности высказывания р, то есть множество всех х , для которых это высказывание истинно. Множество Р’ является множеством истинности отрицания Множества - определение и вычисление с примерами решения: “Число х меньше или равно 10”.

Пример:

На множестве Множества - определение и вычисление с примерами решениярассмотрим высказывание р: х- простое число. Найдите множества истинности высказываний Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пусть множество Р – множество истинности высказывания р, а множество Р’ – множество высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения. Тогда эти множества изображаются на диаграмме Венна следующим образом:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Конъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки “и”, называется конъюнкцией заданных высказываний.

Конъюнкция высказываний р, q обозначается через Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, конъюнкция высказываний,

р: Эльдар на завтрак ел плов;

q: Эльдар на завтрак ел самсу.

имеет вид:

Множества - определение и вычисление с примерами решения Эльдар на завтрак ел плов и самсу.

Видно, что высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения верно, если Эльдар на завтрак ел и плов и самсу, то есть высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения истинно при истинности обоих высказываний. Если хотя бы одно из высказываний р, q ложно, то высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения является ложным. Конъюнкция высказываний р, q имеет следующую таблицу истинности:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения истинно, когда оба высказывания р, q истинны. Множества - определение и вычисление с примерами решения ложно, когда хотя бы одно из высказываний р, q ложно.

Первый и второй столбцы таблицы составлены из всех возможных значений истинности высказываний р, q.

На диаграмме Р – множество истинности высказывания р, Q – множество истинности высказывания q , а множество истинности высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения является множеством Множества - определение и вычисление с примерами решения на котором истинны оба высказывания:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Дизъюнкция

Высказывание, образованное из двух высказываний с помощью связки “или”, называется дизъюнкцией заданных высказываний.

Дизъюнкция высказываний р, q обозначается через Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, дизъюнкция высказываний,

р: Эльдар сегодня посетит библиотеку,

q: Эльдар сегодня посетит театр .

имеет вид:

Множества - определение и вычисление с примерами решения Эльдар сегодня посетит библиотеку или театр.

ВысказываниеМножества - определение и вычисление с примерами решения истинно, когда сегодня Эльдар посетит либо библиотеку, либо театр, либо и то и другое.

Высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения будет ложным, лишь когда оба высказывания р, q будут ложными одновременно.

Дизъюнкция имеет следующую таблицу истинности:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

pVq истинно, когда хотя бы одно из высказываний р, q истинно.

pVq ложно, когда оба высказывания p, q ложны.

На диаграмме Р – множество истинности высказывания р, Q – множество истинности высказывания q, а множество истинности высказывания pVq является множество Множества - определение и вычисление с примерами решения, на котором истинно хотя бы одно высказывание:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Логическая равносильность

Составим, используя буквы и символы логических связок таких, как отрицание, конъюнкция и дизъюнкция, символическую запись более сложных высказываний естественного языка, при этом не обращая внимания на их истинность или ложность.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Объединяя таблицы истинности для отрицания, конъюнкции и дизъюнкции, можно составить таблицы истинности для более сложных высказываний: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример 1. Составьте таблицу истинности высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения

1 шаг.

Выпишем таблицу и заполним сначала первый и второй столбец всеми возможными значениями истинности р и q:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

2 шаг. Учитывая значения истинности q, заполним третий столбец значениями истинности Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

3 шаг Учитывая значения истинности p и Множества - определение и вычисление с примерами решениязаполним четвертый столбец значениями истинности Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Высказывание, являющееся истинным всегда, называется законом логики или тавтологией.

То, что высказывание является законом логики, можно доказать при помощи таблицы истинности.

Пример:

Докажите, что высказываниеМножества - определение и вычисление с примерами решенияявляется тавтологией.

Заполним таблицу истинности:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Видно, что высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения принимает только истинные значения (см. третий столбец). Поэтому данное высказывание является тавтологией. 

Если для двух высказываний соответствующие их значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания называются логически равносильными.

Пример:

Докажите, что следующие высказывания являются логически равносильнымиМножества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Составим таблицы истинности для высказываний Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Так как у высказыванийМножества - определение и вычисление с примерами решения соответствующие значениям истинности столбцы одинаковы, то эти высказывания являются логически равносильными.

Мы будем обозначать этот факт так:Множества - определение и вычисление с примерами решения

Импликация

Высказывание, образуемое из двух высказываний с помощью связки “если …., то …” называется импликацией этих двух высказываний.

Импликация “Если р, то q” обозначается какМножества - определение и вычисление с примерами решения и имеет также следующие интерпретации “Из р следует (вытекает) q”, “Высказывание р достаточно для q “, “Высказывание q необходимо для р”.

При этом высказывание р называется достаточным условием для q, а высказывание q – необходимым условием для р.

высказывание q – необходимым условием для р.

Рассмотрим , например, высказывания

р: У Сардора есть телевизор; q: Сардор будет смотреть кино.

Тогда высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения означает:

Если у Сардора есть телевизор, то он будет смотреть кино.

Точно такжеМножества - определение и вычисление с примерами решения

Для того, чтобы Сардор смотрел кино достаточно, чтобы у него был телевизор.

Можно заметить, что высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения ложно, лишь когда высказывание р истинно, а высказывание q ложно, а в остальных случаях – истинно. Поэтому имеем следующую таблицу истинности:

Множества - определение и вычисление с примерами решения Из высказываний и логических связок, не обращая на значения истинности, можно составить более сложные высказывания.

Пример:

Рассмотрим высказывания

р: “Анора часто смотрит кинофильмы”;

q: “Барно часто смотрит кинофильмы

r: “Барно не сдаст экзамен”;

s: “произойдет чудо”.

 Имеем: 1. Множества - определение и вычисление с примерами решения“Анора часто смотрит кинофильмы, а Барно – нет”.

2. Множества - определение и вычисление с примерами решения“Если Анора часто смотрит кинофильмы, то Барно нет”.

3. Множества - определение и вычисление с примерами решения “Если Барно часто смотрит кинофильмы, то она или не сдаст экзамен или произойдет чудо”.

4. Множества - определение и вычисление с примерами решения “Если Барно часто смотрит кинофильмы и при этом не произойдет чуда, то Барно не сдаст экзамен”.

5. Множества - определение и вычисление с примерами решения “Либо Барно часто смотрит кинофильмы и произойдет чудо, либо Барно не сдаст экзамен”.

Эквиваленция

Высказывание вида Множества - определение и вычисление с примерами решения называется эквиваленцией высказываний и обозначается так: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Запись Множества - определение и вычисление с примерами решения читается как “высказывание р необходимо и достаточно для q” или как “высказывание р истинно лишь при выполнении q”.

Пример:

р: х – четно, q: последняя цифра числа х четна. Выразите высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Рассмотрим высказывание,Множества - определение и вычисление с примерами решения: Если х- четно, то его последняя цифра четна;

Множества - определение и вычисление с примерами решения Если последняя цифра числа х четна, то х – четно.

Тогда запись Множества - определение и вычисление с примерами решениячитается , как “Для того чтобы число х было четно, необходимо и достаточно, чтобы последняя его цифра была четной”. ^ Теперь для заданных высказываний р и q составим таблицу истинности высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Видно, что высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решениябудет истинным, лишь когда высказывания р и q принимают одинаковые значения истинности (то есть когда они оба одновременно истинны или одновременно ложны ).

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Конверсия

Конверсией высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения называется высказываниеМножества - определение и вычисление с примерами решения

Конверсия имеет следующую таблицу истинности:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Рассмотрим высказывания

р: треугольник равнобедренный,

q: два угла треугольника равны.

Выразите на естественном языке высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения и его конверсию.

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решенияЕсли треугольник равнобедренный, то у него два угла равны.

Множества - определение и вычисление с примерами решенияЕсли два угла треугольника равны, то он равнобедренный .

Инверсия

Инверсией высказыванияМножества - определение и вычисление с примерами решения называется высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения Инверсия имеет следующую таблицу истинности:

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому конверсия и инверсия логически равносильны.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Контрапозиция

Контрапозицией высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решенияназывается высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения Контрапозиция имеет следующую таблицу истинности:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Эта таблица совпадает с таблицей истинности высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решенияПоэтому импликация и контрапозиция логически равносильны.

Пример:

Рассмотрим высказывание. Все учителя живут поблизости от школы”. Составим его контрапозицию.

Решение:

Данное высказывание можно сформулировать так: “Если этот человек – учитель, что он живет поблизости от школы”.

Это предложение имеет форму Множества - определение и вычисление с примерами решения, где

р: этот человек – учитель,

q: этот человек живет поблизости от школы.

Контрапозиция Множества - определение и вычисление с примерами решения имеет вид:

“Если этот человек не живет поблизости от школы, то он не является учителем.

Пример:

Рассмотрим высказывания:

р: Самандар находится в библиотеке, q: Самандар читает книгу.

Составьте имликацию, конверсию, инверсию и контрапозицию

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Отметим, что импликация и конверсия логически не равносильны, так как , например , Самандар может читать книгу и в классе.

Предикаты и кванторы

В некоторых предложениях участвуют переменные, при этом подставив вместо них конкретные значения, получим высказывания. Такие предложения называются предикатами.

Пример:

Пусть задан предикат Множества - определение и вычисление с примерами решения Определите истинность или ложность высказываний Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

В некоторых предикатах переменную можно определить исходя из контекста.

Например, в предложениях “Этот писатель родился в Ташкенте” и “Он родился в Ташкенте” переменными являются словосочетание”. “Этот писатель” и местоимение “он” соответственно. Если вместо переменной подставить значение “Абдулла Кадыри”, получим истинное высказывание “Абдулла Кадыри родился в Ташкенте”. Если вместо переменной подставить значение “Шекспир”, получим ложное высказывание “Шекспир родился в Ташкенте”.

Обозначив переменную через х, вышеуказанные предложения можно записать в виде “х родился в Ташкенте”.

В предикате могут участвовать одно или несколько переменных. В зависимости от количества переменных, участвующих в предикате, будем обозначать его так: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Используя совместно с предикатом специальные символы Множества - определение и вычисление с примерами решения(квантор всеобщности, “для всех … “) и Множества - определение и вычисление с примерами решения (квантор существования, “существует такой, что ….”), можно образовать новые высказывания

Например, новое высказывание вида Множества - определение и вычисление с примерами решения говорит о том, что для всех значений х верно Р(х), высказывание вида Множества - определение и вычисление с примерами решения говорит о том, что значений х верно Р(х).

К примеру, рассмотрим предикат Р(х): “х родился в Самарканде”. Тогда высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решениячитается как “все родились в Самарканде”, а высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения – “некоторые родились в Самарканде”.

Приведем примеры, в которых можно определить истинность-ложность высказываний видаМножества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

ПустьМножества - определение и вычисление с примерами решения Докажите истинность высказывания: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

 Проверим: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Значит, высказывание, Множества - определение и вычисление с примерами решенияистинно.

Следует отметить, что для того, чтобы доказать ложность высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения достаточно, привести пример хотя бы одного значения х такого, что высказываниеМножества - определение и вычисление с примерами решения, ложно.

Действительно, приМножества - определение и вычисление с примерами решения

Любое значениех, которое показывает, что высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решенияложно, называется контрпримером.

Пример:

Докажите истинность высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как Множества - определение и вычисление с примерами решения то высказывание, Множества - определение и вычисление с примерами решенияистинно.

Если же Множества - определение и вычисление с примерами решения, то высказывание Множества - определение и вычисление с примерами решения ложно, ибо

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Приведем два важных закона логики, связанных с операцией отрицания:Множества - определение и вычисление с примерами решения

Для понимания смысла этих законов приведем пример.

Если запись Множества - определение и вычисление с примерами решения означает Множества - определение и вычисление с примерами решения“Среди моих одноклассников

не существует отличников”, тогда запись означает логически равносильное ему утверждение “Все мои одноклассники не являются отличниками”.

Точно также, формула Множества - определение и вычисление с примерами решения означает высказывание “Неверно, что все мои одноклассники – отличники “, а формулаМножества - определение и вычисление с примерами решенияозначает логически равносильное ему высказывание “Некоторые мои одноклассники не являются отличниками”.

Очевидно, что с помощью кванторов и предиката Множества - определение и вычисление с примерами решения можно построить зависящие от одной переменной предикаты вида:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

из которых, в свою очередь, можно построить всказывания вида:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

В то время, когда смысл высказываний Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решенияа также смысл высказыванийМножества - определение и вычисление с примерами решения,одинаков, оказывается, что высказывания Множества - определение и вычисление с примерами решенияне являются равносильными.

Рассмотрим, например, предикат Р(х,у): человек у – отец моего одноклассника х.

В этом случаеМножества - определение и вычисление с примерами решения = означает высказывание “у каждого моего одноклассника есть отец”; а Множества - определение и вычисление с примерами решенияозначает высказывание “существует такой человек, который является отцом всех моих одноклассников”.

Аналогично можно показать, что высказывания,Множества - определение и вычисление с примерами решенияне являются равносильными (приведите примеры самостоятельно).

С помощью кванторов и предикатов можно построить и другие законы логики. Например, высказывание «Если все вороны черные, то ни одна не черная птица не является вороной “, служит примером закона логики вида:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Законы правильного мышления (аргументации)

В процессе познания действительности мы приобретаем новые знания. Некоторые из них непосредственно, в результате воздействия предметов внешнего мира на органы чувств. Но большую часть знаний мы получаем пу тем выведения новых знаний из знаний уже имеющихся. Чтобы научиться стройно и последовательно излагать свои мысли, правильно делать выводы, необходимо пользоваться законами логики. Определенность, непротиворечивость, последовательность и обоснованность являются обязательными качествами правильного мышления. Законы логики устанавливают необходимые связи в последовательном ряду мыслей и умозаключений.

Суждение представляет собой форму мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях. Например, в суждении «Железо-металл» утверждается связь между предметом (железо) и его признаком (являться металлом). В суждении «Яйцо появилось раньше курицы » утверждается связь между двумя предметами (яйцо и курица). Так как суждение выражается в форме повествовательного предложения, причем суждение может быть либо истинным, либо ложным, то каждое суждение имеет форму высказывания.

Умозаключение- это такая форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам получается некоторое суждение, называемое заключением или выводом.

Пусть S-совокупность исходных суждений (посылок), Р- заключение. В этом случае, умозаключение имеет логическую форму вида Множества - определение и вычисление с примерами решенияСовокупность высказываний S будем называть основанием, а высказывание Р- следствием. Основание и следствие будем связывать словом «следовательно» и отделять горизонтальной чертой: Множества - определение и вычисление с примерами решения . Рассмотрим простой пример.

Если Собир занимается спортом, то будет здоров. Собир занимается спортом. Следовательно, Собир будет здоров.

Найдем логическую форму этого умозаключения.

Пусть р: Собир занимается спортом; q: Собир будет здоров. Тогда умозаключение имеет вид:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Так следствие вытекает из суждений Множества - определение и вычисление с примерами решенияи р, то умозаключение имеет следующую логическую форму Множества - определение и вычисление с примерами решения

Составим соответствующую таблицу истинности: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Получили тавтологию. Это показывает правильность умозаключения, то есть мы из данного основания получили правильное следствие.

Пример:

Покажите неправильность умозаключения:

Если треугольник имеет три стороны, то 2+4-7.

Следовательно, треугольник имеет три стороны.

Решение:

Найдем логическую форму этого умозаключения.

р: треугольник имеет три стороны.

q: 2+4=7

Имеем:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Так как здесь Множества - определение и вычисление с примерами решенияследует q, то наше умозаключение имеет логическую форму Множества - определение и вычисление с примерами решения

Составим соответствующую таблицу истинности:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

В результате мы не получили тавтологию. Это показывает неверность умозаключения, то есть мы из данного основания не получили правильное следствие.

Ниже мы приведем некоторые правила правильных умозаключений:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство верности вышеуказанных умозаключений мы оставляем учащимся в качестве упражнения.

Софизмы и парадоксы

Множества - определение и вычисление с примерами решения– представляют собой преднамеренные, сознательно совершаемые ошибки, рассчитанные на то, чтобы выдать ложь за истину, тем самым вводя человека в заблуждение.

Одним из первых соответствующие примеры привел математик Зенон, живший в 5 веке до нашей эры в Древней Греции. Например, Зенон «доказал», что быстроногий Ахиллес никогда не догонит неторопливую черепаху, если в начале движения она находится впереди Ахиллеса. Приведем его рассуждения. Допустим, Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха, и находи тся позади нее на расстоянии в 100 шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползет 10 шагов.

За то время, за которое Ахиллес пробежит 10 шагов, черепаха проползет еще 1 шаг, и так далее. Процесс будет длиться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Примеры Зенона связаны с понятиями бесконечности и движения, которые имели большое значение в развитии физики и математики.

Некоторые софизмы обсуждали в переписке между собой наши великие соотечественники Беруни и Ибн Сино, а также они встречаются в произведениях Фараби.

Приведем простейшие примеры на софизмы и обсудим их.

Пример:

Куда пропали 1000 руб? Три друга отобедали в кафе, после чего официант дал им счет на 25000 руб. Каждый из трех друзей достал по купюре в 10000 руб, в итоге они отдали официанту 30000 руб. На сдачу официант отдал 5000 руб более мелкими купюрами. Друзья взяли по 1000 руб себе, а оставшиеся 2000 руб отдали другу на такси. Один из друзей стал рассуждать: “Каждый из нас потратил по 9000 руб, что в итоге составляет 27000 руб. Затем 2000 руб отдали на такси, значит, в итоге получается 29000 руб. Куда пропали 1000 руб?”

Решение:

 Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что 2 От древнегреческого уловка.

расчеты сделаны неверно. Действительно, трое друзей сложились по 9000 руб и получили 27000 руб. Из этих денег 25000 руб заплатили за обед, а 2000 руб заплатили за такси. Следовательно, общая трата составила 27000 руб. Тс 2000 руб находятся внутри 27000 руб.

Пример:

Множества - определение и вычисление с примерами решенияУпростим верное равенство: 20-16-4=25-20-5

2(10—8—2)=25—20—5

2-2-(5—4—1)=5-(5—4—1)

Сократим левую и правую часть последнего равенства на общий делитель (5-4-1). В итоге получим равенство 2-2=5.

Основной «подвох» в этом рассуждении заключается в том, что мы поделили обе части равенства 2-2-(5-4-1)=5-(5-4-1) на нуль.

Множества - определение и вычисление с примерами решения – странное мнение, высказывание, расходящееся с общепринятыми мнениями, научными положениями, а также мнение, противоречащее здравому смыслу. Сам термин «парадокс» использовался в античной философии для обозначения всякого странного, оригинального мнения.

Парадоксы, обычно, возникают в теориях, логические основы которых не определены полно.

Пример:

Парадокс лжеца. Рассмотрим высказывание “То, что я утверждаю сейчас – ложь”.

Если это высказывание истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что данное высказывание -ложь. Но если оно -ложь, тогда неверно то, что оно утверждает, то есть утверждение о ложности данного высказывания неверно, значит, данное высказывание истинно. Таким образом, цепочка рассуждений возвращается в начало.

Пример:

Прилагательное русского языка назовем рефлексивным, если оно обладает свойством, которое определяет.

Например, прилагательное «русский» – рефлексивное, а прилагательное «английский» – нерефлексивное, прилагательное «трехсложный» – рефлексивное (это слово состоит из трех слогов), а прилагательное «четырехсложный» – нерефлсксивное (состоит из пяти слогов). Вроде бы ничто не мешает нам определить множество {все рефлексивные прилагательные}. Но давайте рассмотрим прилагательное «нерефлексивный». Оно рефлексивное или нет?

Можно заявить, что прилагательное «нерефлексивный» не является ни рефлексивным, ни нерефлексивным. Действительно, если это слово рефлексивное, то по своему смыслу, оно нерефлексивное. Если же это от древнегреческого Множества - определение и вычисление с примерами решения – неожиданный, странный слово нерефлексивное, то, в силу того, что оно обладает свойством, которое определяет, оно является рефлексивным. Противоречие.

Пример:

Два взаимно пересекающихся множества А, В делят универсальное множество на четыре части:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, число элементов универсального множества является суммой количеств элементов этих частей.

На следующей диаграмме мы заключили известные количества элементов частей универсального множества в круглые скобки: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Здесь, например, обоим множествам А, В принадлежат 4 элемента, а 3 элемента не принадлежат ни одному из них.

Так как произвольный элемент множества U, принадлежит только одному из этих 4 частей , то число элементов множества U равно 7+4+6+3=20.

Пример:

Используя рисунок, найдите число элементов следующих множеств: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

d). Множество элементов, принадлежащих Р, но не принадлежащих Q

е) Множество элементов, принадлежащих Q, но не принадлежащих Р;

f) Множество элементов, не принадлежащих ни Р, ни Q.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Если Множества - определение и вычисление с примерами решения

a) Найдите Множества - определение и вычисление с примерами решения

b) Сколько элементов содержит множество элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В‘?

Решение:

Составим диаграмму Венна:

Из того, что Множества - определение и вычисление с примерами решенияСледовательно, b=6, а=8, с= 11, d=5.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Из диаграммы получаем следующее:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

b) Число элементов, принадлежащих А, но не принадлежащих В, равно а= 8

Пример:

Из 27 учеников, посещающих спортивную секцию, 19 имеют темные волосы, 14 – черные глаза, а 11 имеют и темные волосы и черные глаза одновременно.

a) Изобразите эту информацию с помощью диаграммы Венна. Объясните ситуацию.

b) Найдите число учеников, которые I имеют или темные волосы или черные глаза; II темноволосых, но не черноглазых?

Решение:

а) Пусть Qs – множество темноволосых, a Qk множество черноглазых учеников.

Изобразим ситуацию на диаграмме:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

b) Используя диаграмму, определим следующее:

I количество учеников, имеющих или темные волосы или черные глаза:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

II количество темноволосых учеников, не обладающих черными глазами:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

На футбольном соревновании город представляют три команды А, В и С. 20 процентов населения города болеют за команду И, 24 процента – за В, 28 процентов – за С. 4 процента жителей болеют и за С и за И, 5 процент, жителей болеют и за В и за А, а 6 процентов жителей болеют и за В и за С. Кроме того, 1 процент населения болеет за все три команды.

Сколько процентов жителей:

a) болеют только за команду А;

b) болеют и за А и за В, но не болеют за команду С;

c) не болеют ни за одну из команд?

Решение:

Заполним для начала соответствующую диаграмму Венна.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

а= 1, так как 1 процент жителей болеет за все команды.

a+d=4, так как 4 процента жителей болеет и за И и за В.

а+b=6, так как 6 процентов жителей болеют и за В и за С а+с=5, так как 5 процентов жителей болеют

—-

Множества

Понятие множества принадлежит к числу первичных, не определяемых через более простые. Под множеством понимается совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. Объекты, которые образуют множество, называются элементами, или точками, этого множества.

Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными. Если Множества - определение и вычисление с примерами решения есть элемент множества А, то используется запись Множества - определение и вычисление с примерами решения если b не является элементом множества А, то записывают Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, Множества - определение и вычисление с примерами решения – множество А состоит из элементов 1;3;6;8.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Множества - определение и вычисление с примерами решения Например, множество действительных корней уравнения Множества - определение и вычисление с примерами решения есть пустое множество.

Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если Множества - определение и вычисление с примерами решения т.е.
множества равны.

Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств, т.е. Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пересечением двух множеств А и В называется множество D, состоящее из всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств А и В, т.е. Множества - определение и вычисление с примерами решения

Разностью двух множеств А и В называется множество E, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е. Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример 1. Даны множества  Множества - определение и вычисление с примерами решения Найти объединение, пересечение и разность множеств А и В.

Решение. Объединение двух данных множеств – Множества - определение и вычисление с примерами решения их пересечение – Множества - определение и вычисление с примерами решения а разностью – Множества - определение и вычисление с примерами решения  .

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми.

Обозначения множеств:

Множества - определение и вычисление с примерами решения – множество натуральных чисел.

Множества - определение и вычисление с примерами решения – множество целых чисел;
Множества - определение и вычисление с примерами решения– множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

Множества - определение и вычисление с примерами решения – множество комплексных чисел.

Геометрически, каждому действительному числу соответствует точка числовой оси, и наоборот, каждой точке прямой – определенное действительное число.

Множество X, элементы  которого удовлетворяют: неравенству Множества - определение и вычисление с примерами решенияназывается отрезком Множества - определение и вычисление с примерами решения неравенству Множества - определение и вычисление с примерами решения называется интервалом Множества - определение и вычисление с примерами решениянеравенствам Множества - определение и вычисление с примерами решения называются полуинтервалом соответственно Множества - определение и вычисление с примерами решения

В дальнейшем все указанные множества мы объединяем термином промежуток X.

——

Множества и операции над ними

Под множеством будем понимать совокупность объектов, наделенных определенными свойствами. Эти свойства должны полностью определять данное множество, то есть являться признаками, по которым относительно любого объекта можно решить, принадлежит он данному множеству или нет. Синонимами термина “множество” являются термины “класс “семейство “совокупность”. Объекты, из которых состоит данное множество, называют его элементами.

Чаще всего множество обозначают большими буквами латинского или греческого алфавита, а его элементы — малыми буквами. Если a — элемент множества A, то пишут a ∈ A (читают: “a принадлежит множеству A”) или A 3 a (множество A содержит элемент a). Запись a ∈/ A означает, что a не является элементом множества A.
Множество обычно записывают одним из следующих способов:

A = {a , . . . , Множества - определение и вычисление с примерами решения} или A = {x ∈ X : P (x)}.

Первая запись означает, что множество A состоит из элементов a, . . . , Множества - определение и вычисление с примерами решения , то есть перечислены элементы, составляющие A, их может быть конечное число или бесконечно много. Вторая запись означает, что A есть совокупность всех тех объектов из множества X, для которых выполняется свойство P . Формально введем пустое множество — множество, не содержащее в себе никаких элементов, которое обозначим символом Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Определение 1.1. Множества A и B называются равными (или совпадающими), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть x ∈ A тогда и только тогда, когда x ∈ B .

Коротко это высказывание записывают: A = B, а отрицание этого утверждения — в виде: Множества - определение и вычисление с примерами решения .

Определение 1.2. Если каждый элемент множества A является элементом множества B , то говорят, что A есть подмножество множества B (или A есть часть B ), и пишут A ⊂ B (читается: “Множество A содержится в множестве B”) или B ⊃ A (читается: “Множестоо B содержит множество A”).

Отметим следующие свойства отношения включения:
1.    A ⊂ A, то есть всякое множество есть подмножество себя самого;
2.    Если A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C (отношение включения транзитивно);
3.    Если A ⊂ B и B ⊂ A, то A = B.

Удобно считать, что Множества - определение и вычисление с примерами решения⊂ A для любого множества A.

Пусть A и B — некоторые подмножества множества E. Введем наиболее простые операции с множествами.

Определение 1.3. Объединением множеств A и B называется множество, обозначаемое A ∪ B и состоящее из всех элементов, которые принадлежат или множеству A или B .

Таким образом, x ∈ A ∪ B , если x ∈ A, но x Множества - определение и вычисление с примерами решения B , или x ∈ B , но x Множества - определение и вычисление с примерами решения A, или x ∈ A и x ∈ B. Очевидно, что A ∪ A = A, A ∪ Множества - определение и вычисление с примерами решения = A.

Определение 1.4. Пересечением множеств A и B называют множество, обозначаемое A∩B и состоящее из всех элементов, каждый из которых принадлежит и A и B .

Если множества A и B не имеют общих точек, то A ∩ B =Множества - определение и вычисление с примерами решения. Очевидно, что A∩A= A, A∩Множества - определение и вычисление с примерами решения= Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Определение 1.5. Разностью множеств A и B называют множество, обозначаемое A B и состоящее из всех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B .

Если A ⊂ B , то часто множество A B называют дополнением множества B до A. По определению A A = Множества - определение и вычисление с примерами решения, A Множества - определение и вычисление с примерами решения = A.

Пример 1.1. Пусть A = {1,3,4,8, 15} ,B = {1,2,7,8, 12}. Тогда

A∪B = {1,2,3,4,7,8,12,15}, A∩B = {1, 8},

AB = {3, 4, 15}, BA= {2, 7, 12}

Определение 1.6. Набор, состоящий из двух элементов x1 и x2, называют упорядоченным, если известно, какой из этих элементов является первым, а какой — вторым. Такой упорядоченный набор называют упорядоченной парой и обозначают (x1, x2). Элементы x1 , x2 называют, соответственно, первой и второй координатами пары (x1, x2). Пары (x1, x2) и (y1 , y2) называют совпадающими, если x1 = y1 и x2 = y2 .

Определение 1.7. Декартовым (или, по-другому, прямым) произведением множеств A и B называют множество упорядоченных пар (x, y), где первый элемент x является элементом множества A, а второй y — элементом множества B . Это множество обозначают символом A × B .

Таким образом, A × B = { (x, y) | x ∈ A, y ∈ B}. Но, вообще говоря, A × BМножества - определение и вычисление с примерами решения B × A. Известная всем плоскость с декартовой системой координат является декартовым произведением двух числовых прямых (осей).

Пусть A и B — числовые отрезки, помещенные на взаимно перпендикулярных осях плоскости. Упорядоченная пара (x, y) — это точка пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках x ∈ A и y ∈ B . Произведением A × B является прямоугольник.

Логическая символика

В последующем, как и в большинстве математических текстов используется ряд специальных символов, многие из которых вводятся по мере надобности. Применяются распространенные символы математической логики Множества - определение и вычисление с примерами решения, Множества - определение и вычисление с примерами решения, ∃, ∀, которые читаются, соответственно, как “влечет” , “равносильно” , “существует” (“найдется”), “любой” (“каждый” , “для каждого” , “для любого” ).

Запись A Множества - определение и вычисление с примерами решения B читают одним из следующих способов: A влечет B , B следует из A, B — необходимое условие A, A — достаточное условие (признак) B.

Запись A Множества - определение и вычисление с примерами решения B читают одним из следующих способов: A равносильно B, A необходимо и достаточно для B , A верно тогда и только тогда, когда верно B . Квантор равносильности часто применяется в символьной записи определений и утверждений.

Запись “∃ x ∈ X ” означает: существует элемент x из множества X .
Запись “∀ x ∈ X ” означает: для любого элемента x из множества X или каков бы ни был элемент x из множества X .

Часто в символьной записи математических утверждений используют символ “:” или эквивалентный ему символ “| которые читают: “такой, что”. В частности, запись “∃ x ∈ X : x2 – 1 = 0″ означает: существует такой элемент x в множестве X , что x2 – 1 = 0.

  • Заказать решение задач по высшей математике

Множества

Множества и операции над ними

Понятие множества и его элементов

Элемент Множества - определение и вычисление с примерами решения принадлежит множеству Множества - определение и вычисление с примерами решенияМножества - определение и вычисление с примерами решенияМножества - определение и вычисление с примерами решения

Элемент Множества - определение и вычисление с примерами решения не принадлежит множеству Множества - определение и вычисление с примерами решенияМножества - определение и вычисление с примерами решения Множества - определение и вычисление с примерами решения

В множестве нет элементов Множества - определение и вычисление с примерами решения Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множество можно представить как совокупность некоторых объектов, объединенных по определенному признаку. В математике множество — одно из основных неопределяемых понятий.

Каждый объект, принадлежащий множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения, называется элементом этого множества.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается Множества - определение и вычисление с примерами решения

Подмножество Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если каждый элемент множества Множества - определение и вычисление с примерами решения является элементом множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, то говорят, что множество Множества - определение и вычисление с примерами решения является подмножеством множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, и записывают так: Множества - определение и вычисление с примерами решения Используется также запись Множества - определение и вычисление с примерами решения, если множество Множества - определение и вычисление с примерами решения или является подмножеством множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, или равно множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения

Равенство множеств

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества

Пересечение множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пересечением множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения называют их общую часть, то есть множество Множества - определение и вычисление с примерами решения всех элементов, принадлежащих как множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения, так и множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения

Объединение множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Объединением множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения называют множество Множества - определение и вычисление с примерами решения, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения)

Разность множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Разностью множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения называется множество Множества - определение и вычисление с примерами решения, которое состоит из всех элементов, принадлежащих множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения и не принадлежащих множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения

Дополнение множеств

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого универсального множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, то разность Множества - определение и вычисление с примерами решения называется дополнением множества Множества - определение и вычисление с примерами решения. Другими словами, дополнением множества Множества - определение и вычисление с примерами решения называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения (но принадлежащих универсальному множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения)

Объяснение и обоснование:

Понятие множества

Одним из основных понятий, которые используются в математике, является понятие множества. Для него не дается определения. Можно пояснить, что множеством называют произвольную совокупность объектов, а сами объекты — элементами данного множества. Так, можно говорить о множестве учеников в классе (элементы — ученики), множестве дней недели (элементы — дни недели), множестве натуральных делителей числа 6 (элементы — числа 1, 2, 3, 6) и т. д. В курсах алгебры и алгебры и начал анализа чаще всего рассматривают множества, элементами которых являются числа, и поэтому их называют числовыми множествами.

Как правило, множества обозначают прописными буквами латинского алфавита. Например, если множество Множества - определение и вычисление с примерами решения состоит из чисел 1; 2; 3, то его обозначают так: Множества - определение и вычисление с примерами решения = {1; 2; 3}. Тот факт, что число 2 входит в это множество (является элементом данного множества Множества - определение и вычисление с примерами решения), записывается с помощью специального значка е следующим образом: Множества - определение и вычисление с примерами решения; а то, что число 5 не входит в это множество (не является элементом данного множества), записывается так: Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Можно рассматривать также множество, не содержащее ни одного элемента, — пустое множество.

Например, множество простых делителей числа 1 — пустое множество.

Для некоторых множеств существуют специальные обозначения. Так, пустое множество обозначается символом Множества - определение и вычисление с примерами решения, множество всех натуральных чисел — буквой Множества - определение и вычисление с примерами решения, множество всех целых чисел — буквой Множества - определение и вычисление с примерами решения, множество всех рациональных чисел — буквой Множества - определение и вычисление с примерами решения, а множество всех действительных чисел — буквой Множества - определение и вычисление с примерами решения. Множества бывают конечными и бесконечными в зависимости от того, какое количество элементов они содержат. Так, множества Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения — конечные, потому что содержат конечное число элементов, а множества Множества - определение и вычисление с примерами решения — бесконечные.

Множества задают или с помощью перечисления их элементов (это можно сделать только для конечных множеств), или с помощью описания, когда задается правило — характеристическое свойство, которое позволяет определить, принадлежит или нет данный объект рассматриваемому множеству. Например, множество Множества - определение и вычисление с примерами решения задано перечислением элементов, а множество Множества - определение и вычисление с примерами решения четных целых чисел — характеристическим свойством элементов множества. Последнее множество иногда записывают так: Множества - определение и вычисление с примерами решения или так: Множества - определение и вычисление с примерами решения — здесь после вертикальной черточки записано характеристическое Множества - определение и вычисление с примерами решения.

В общем виде запись множества с помощью характеристического свойства можно обозначить так: Множества - определение и вычисление с примерами решения, где Множества - определение и вычисление с примерами решения — характеристическое свойство. Например, Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решенияВ этом случае и в записи решений тригонометрических уравнений и неравенств в разделе 3 запись Множества - определение и вычисление с примерами решения означает, что Множества - определение и вычисление с примерами решения принимает любое целое значение, что также можно записать как Множества - определение и вычисление с примерами решения

Равенство множеств

Пусть Множества - определение и вычисление с примерами решения — множество цифр трехзначного числа 312, то есть Множества - определение и вычисление с примерами решения, а Множества - определение и вычисление с примерами решения — множество натуральных чисел, меньших чем 4, то есть Множества - определение и вычисление с примерами решения. Поскольку эти множества состоят из одних и тех же элементов, то они считаются равными. Это записывают так: Множества - определение и вычисление с примерами решения. Для бесконечных множеств таким способом (сравнивая все элементы) установить их равенство невозможно. Поэтому в общем случае равенство множеств определяется следующим образом.

Два множества называются равными, если каждый элемент первого множества является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества является элементом первого множества.

Из приведенного определения равенства множеств следует, что в множестве одинаковые элементы не различаются. Действительно, например, Множества - определение и вычисление с примерами решения, поскольку каждый элемент первого множества (1 или 2) является элементом второго множества и, наоборот, каждый элемент второго множества (1 или 2) является элементом первого. Поэтому, записывая множество, чаще всего каждый его элемент записывают только один раз.

Подмножество

Если каждый элемент множества Множества - определение и вычисление с примерами решения является элементом множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, то говорят, что множество Множества - определение и вычисление с примерами решения является подмножеством множества Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Это записывают следующим образом: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, Множества - определение и вычисление с примерами решения (поскольку любое натуральное число — целое), Множества - определение и вычисление с примерами решения (поскольку любое целое число — рациональное), Множества - определение и вычисление с примерами решения (поскольку любое рациональное число — действительное).

Полагают, что всегда Множества - определение и вычисление с примерами решения, то есть пустое множество является подмножеством любого непустого множества.

Иногда вместо записи Множества - определение и вычисление с примерами решения используется также запись Множества - определение и вычисление с примерами решения, если множество Множества - определение и вычисление с примерами решения является подмножеством множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, или равно множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения. Например, Множества - определение и вычисление с примерами решения

Сопоставим определение равенства множеств с определением подмножества. Если множества Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения равны, то: 1) каждый элемент множества Множества - определение и вычисление с примерами решения является элементом множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, следовательно, Множества - определение и вычисление с примерами решения — подмножество Множества - определение и вычисление с примерами решения Множества - определение и вычисление с примерами решения; 2) каждый элемент множества Множества - определение и вычисление с примерами решения является элементом множества Множества - определение и вычисление с примерами решения, следовательно, Множества - определение и вычисление с примерами решения — подмножество Множества - определение и вычисление с примерами решения Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Таким образом, два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого.

Иногда соотношения между множествами удобно иллюстрировать с помощью кругов (которые часто называют кругами Эйлера—Венна). Например, рисунок 1 иллюстрирует определение подмножества, а рисунок 2 — отношения между множествами Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Операции над множествами

Над множествами можно выполнять определенные действия: пересечение, объединение, находить разность. Дадим определение этих операций и проиллюстрируем их с помощью кругов Эйлера—Венна.

Пересечением множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения называют их общую часть, то есть множество Множества - определение и вычисление с примерами решения всех элементов, принадлежащих как множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения, так и множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Пересечение множеств обозначают знаком Множества - определение и вычисление с примерами решения (на рисунке 3 приведена иллюстрация определения пересечения множеств).

Например, если Множества - определение и вычисление с примерами решения то Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Объединением множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения называют множество Множества - определение и вычисление с примерами решения, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения).

Объединение множеств обозначают знаком Множества - определение и вычисление с примерами решения (на рисунке 4 приведена иллюстрация определения объединения множеств).

Например, для множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения из предыдущего примера Множества - определение и вычисление с примерами решения Если обозначить множество иррациональных чисел через Множества - определение и вычисление с примерами решения, то Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Разностью множеств Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения называется множество Множества - определение и вычисление с примерами решения, состоящее из всех элементов, которые принадлежат множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения и не принадлежат множеству В.

Разность множеств обозначают знаком Множества - определение и вычисление с примерами решения. На рисунке 5 приведена иллюстрация определения разности множеств.

Например, если Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если Множества - определение и вычисление с примерами решения — подмножество Множества - определение и вычисление с примерами решения, то разность Множества - определение и вычисление с примерами решения называют дополнением множества В до множества Множества - определение и вычисление с примерами решения (рис. 6).

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Например, если обозначить множество всех иррациональных чисел через Множества - определение и вычисление с примерами решения, то Множества - определение и вычисление с примерами решения: множество Множества - определение и вычисление с примерами решения всех иррациональных чисел дополняет множество Множества - определение и вычисление с примерами решения всех рациональных чисел до множества Множества - определение и вычисление с примерами решения всех действительных чисел.

Если все множества, которые мы рассматриваем, являются подмножествами некоторого так называемого универсального множества Множества - определение и вычисление с примерами решения (на рисунке его обычно изображают в виде прямоугольника, а все остальные множества — в виде кругов внутри этого прямоугольника, то разность Множества - определение и вычисление с примерами решения называют дополнением множества Множества - определение и вычисление с примерами решения (рис. 7). То есть дополнением множества Множества - определение и вычисление с примерами решения называется множество, состоящее из всех элементов, не принадлежащих множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения, но принадлежащих универсальному множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Дополнение множества Множества - определение и вычисление с примерами решения обозначается Множества - определение и вычисление с примерами решения (можно читать: «Множества - определение и вычисление с примерами решения с чертой» или «дополнение Множества - определение и вычисление с примерами решения»).

Например, если Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения, то Множества - определение и вычисление с примерами решения. Для этого примера удобно использовать традиционную иллюстрацию множества действительных чисел на числовой прямой (рис. 8).

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Числовые множества. Множество действительных чисел

Числовые множества:

Действительные числа Множества - определение и вычисление с примерами решения

Числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби

Рациональные числа Множества - определение и вычисление с примерами решения

Можно представить в виде несократимой дроби Множества - определение и вычисление с примерами решения, где Множества - определение и вычисление с примерами решения — целое, — натуральное число. Записываются в виде бесконечной периодической десятичной дроби

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Иррациональные числа

Нельзя представить в виде несократимой дроби Множества - определение и вычисление с примерами решения, где Множества - определение и вычисление с примерами решения — целое, Множества - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число. Записываются в виде бесконечной непериодической десятичной дроби

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Целые числа Множества - определение и вычисление с примерами решения

Включают натуральные числа, числа, противоположные им, и число нуль

Дробные числа

Числа, состоящие из целого числа частей единицы

(Множества - определение и вычисление с примерами решения – обыкновенная дробь, 1,23 — десятичная дробь: Множества - определение и вычисление с примерами решения)

Натуральные числа Множества - определение и вычисление с примерами решения (целые положительные)

Для школьного курса математики натуральное число – основное не определяемое понятие

Число 0

Такое число, при сложение с которым любое число не изменяется

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Целые отрицательные числа

Числа, противоположные натуральным

Модуль действительного числа и его свойства

Определение:

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа называется число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Геометрический смысл модуля

Множества - определение и вычисление с примерами решения

На координатной прямой модуль — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Модуль разности двух чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения — это расстояние между точками Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения на координатной прямой

Свойства

1. Множества - определение и вычисление с примерами решения Модуль любого числа — неотрицательное число

2. Множества - определение и вычисление с примерами решения Модули противоположных чисел равны

3. Множества - определение и вычисление с примерами решения, то естьМножества - определение и вычисление с примерами решения Каждое число не больше своего модуля

4. При Множества - определение и вычисление с примерами решения Множества - определение и вычисление с примерами решения

5. При Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

6. Множества - определение и вычисление с примерами решения Модуль произведения равен произведению модулей множителей

7. Множества - определение и вычисление с примерами решения Модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю)

8. Множества - определение и вычисление с примерами решения Множества - определение и вычисление с примерами решения

9. Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых

10. Множества - определение и вычисление с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Числовые множества

В курсе математики вы встречались с разными числами: натуральными, целыми, рациональными, иррациональными, действительными. Представление о числах у человечества складывалось постепенно, под воздействием требований практики. Например, натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов. Но для того чтобы дать ответ на вопрос «Сколько спичек в пустой коробке из-под спичек?», множества натуральных чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения недостаточно — для этого необходимо иметь еще и число нуль. Присоединяя к множеству Множества - определение и вычисление с примерами решения натуральных чисел число 0, получаем множество неотрицательных целых чисел. Его часто обозначают Множества - определение и вычисление с примерами решения. Одних только неотрицательных целых чисел оказалось недостаточно для решения задач практики (а следовательно, и математических задач, отображающих заданную реальную ситуацию). Так, для того чтобы охарактеризовать температуру воздуха выше и ниже нуля или движение тела в противоположных направлениях, необходимы противоположные натуральным числа, то есть отрицательные числа. Для натурального числа Множества - определение и вычисление с примерами решения противоположным считается число Множества - определение и вычисление с примерами решения, а для числа Множества - определение и вычисление с примерами решения противоположным считается число Множества - определение и вычисление с примерами решения. Нуль считают противоположным самому себе.

Натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число нуль составляют множество Множества - определение и вычисление с примерами решения целых чисел.

Измерение величин привело к необходимости расширения множества целых чисел и введения рациональных чисел. Например, средняя многолетняя температура воздуха в январе в г. Харькове — Множества - определение и вычисление с примерами решения, длительность урока — 45 минут, или Множества - определение и вычисление с примерами решения часа.

Таким образом, выбирая какую-либо единицу измерения, мы получаем числовое значение величин, которое может выражаться с помощью разных рациональных чисел — целых и дробных, положительных и отрицательных.

Целые и дробные числа составляют множество Множества - определение и вычисление с примерами решения рациональных чисел.

Любое рациональное число можно записать в виде дроби Множества - определение и вычисление с примерами решения, где

Множества - определение и вычисление с примерами решения (то есть числитель Множества - определение и вычисление с примерами решения является целым числом, а знаменатель Множества - определение и вычисление с примерами решения — натуральным).

Рациональное число может быть записано разными дробями. Например,

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Как видно из приведенных примеров, среди дробей, которые изображают данное рациональное число, всегда есть единственная несократимая дробь (для целых чисел — это дробь, знаменатель которой равен 1).

Обратим внимание, что рациональное число, записанное в виде дроби Множества - определение и вычисление с примерами решения, где Множества - определение и вычисление с примерами решения, можно также записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, разделив числитель на знаменатель. Например, Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Договоримся, что конечную десятичную дробь можно изображать в виде бесконечной, у которой после последнего десятичного знака, отличного от нуля, на месте следующих десятичных знаков записываются нули, например, Множества - определение и вычисление с примерами решения .

Целые числа также договоримся записывать в виде бесконечной десятичной дроби, у которой справа от запятой на месте десятичных знаков стоят нули, например Множества - определение и вычисление с примерами решения . Таким образом, любое рациональное число может быть записано как бесконечная периодическая дробь. Напомним, что у бесконечной периодической дроби, начиная с некоторого разряда, все десятичные знаки повторяются. Группу цифр, которая повторяется, называют периодом дроби; при записи дроби период записывают в скобках. Например, Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Таким образом, каждое рациональное число может быть записано в виде бесконечной периодической десятичной дроби и наоборот, каждая бесконечная периодическая дробь задает рациональное число.

Обратим внимание, что любая периодическая десятичная дробь с периодом девять равна бесконечной десятичной дроби с периодом нуль, у которой десятичный разряд, предшествующий периоду, увеличен на единицу по сравнению с разрядом первой дроби. Например, бесконечные периодические дроби Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения являются записью одного и того же рационального числа Множества - определение и вычисление с примерами решения. Действительно, учитывая, что сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии с первым членом Множества - определение и вычисление с примерами решения и знаменателем Множества - определение и вычисление с примерами решениявычисляется по формуле Множества - определение и вычисление с примерами решения, имеем:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

В дальнейшем, записывая рациональные числа с помощью бесконечных периодических десятичных дробей, договоримся исключить из рассмотрения бесконечные периодические дроби, период которых равен девяти.

Каждое рациональное число можно изобразить точкой на координатной прямой (то есть прямой, на которой выбраны начало отсчета, положительное направление и единица измерения). Например, на рисунке изображены несколько рациональных чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Однако на координатной прямой есть точки, изображающие числа, которые не являются рациональными. Например, из курса алгебры известно, что число Множества - определение и вычисление с примерами решения не является рациональным. Это так называемое иррациональное число. Если построить квадрат со стороной, равной 1, на координатной прямой Множества - определение и вычисление с примерами решения (рис. 10), то его диагональ будет равна Множества - определение и вычисление с примерами решения. Тогда, проведя дугу окружности радиуса Множества - определение и вычисление с примерами решения с центром в точке Множества - определение и вычисление с примерами решения, получим точку Множества - определение и вычисление с примерами решения, координата которой равна Множества - определение и вычисление с примерами решения. Кроме числа Множества - определение и вычисление с примерами решения вы также встречались с иррациональными числами Множества - определение и вычисление с примерами решения и т. д.

Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения. На координатной прямой каждому действительному числу соответствует единственная точка и, наоборот, каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число (в этом случае говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие).

Каждое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби: рациональные числа — в виде бесконечной периодической десятичной дроби, а иррациональные — в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Напомним, что для сравнения действительных чисел и выполнения действий над ними (в случае, когда хотя бы одно из них не является рациональным) используются приближенные значения этих чисел. В частности, для сравнения двух действительных чисел последовательно рассматриваем их приближенные значения с недостатком с точностью до целых, десятых, сотых и т. д. до тех пор, пока не получим, что какое-то приближенное значение одного числа больше соответствующего приближенного значения второго. Тогда то число, у которого приближенное значение больше, и считается большим. Например, если

Множества - определение и вычисление с примерами решения, то Множества - определение и вычисление с примерами решения (поскольку Множества - определение и вычисление с примерами решения).

Для выполнения сложения или умножения рассмотренных чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения последовательно записывают их приближенные значения с недостатком и с избытком (с точностью до целых, десятых, сотых и т. д.) и выполняют действия над полученными рациональными числами. В результате последовательно получаем значение суммы или произведения с необходимой точностью.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Как видим, Множества - определение и вычисление с примерами решения

В курсе математического анализа доказывается, что в случае, когда приближенные значения чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения последовательно берутся с точностью до целых, десятых, сотых и т. д., то значения суммы Множества - определение и вычисление с примерами решения с недостатком и с избытком стремятся к одному и тому же числу, которое и принимается за значение суммы Множества - определение и вычисление с примерами решения (аналогично определяется и произведение Множества - определение и вычисление с примерами решения).

Модуль действительного числа и его свойства

Напомним определение модуля.

Модулем положительного числа называется само это число, модулем отрицательного числа — число, противоположное ему, модуль нуля равен нулю.

Это определение можно коротко записать несколькими способами. а при а > 0,

Множества - определение и вычисление с примерами решения, или Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения или

Множества - определение и вычисление с примерами решения

При необходимости мы будем пользоваться любой из этих записей определения модуля. Для нахождения Множества - определение и вычисление с примерами решения по определению необходимо знать знак числа Множества - определение и вычисление с примерами решения и использовать соответствующую формулу. Например, Множества - определение и вычисление с примерами решения

На координатной прямой модуль числа — это расстояние от начала координат до точки, изображающей это число.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, если Множества - определение и вычисление с примерами решения (рис. 11), то расстояние Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если Множества - определение и вычисление с примерами решения, то расстояние Множества - определение и вычисление с примерами решения

Модуль разности двух чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения — это расстояние между точками Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения на координатной прямой.

Для доказательства можно воспользоваться тем, что при параллельном переносе вдоль оси координат на Множества - определение и вычисление с примерами решения единиц абсцисса соответствующей точки изменяется на Множества - определение и вычисление с примерами решения: к абсциссе данной точки прибавляется число Множества - определение и вычисление с примерами решения, то есть при Множества - определение и вычисление с примерами решения точка переносится вправо, а при Множества - определение и вычисление с примерами решения — влево. Обозначим на координатной прямой числа Множества - определение и вычисление с примерами решения соответственно точками Множества - определение и вычисление с примерами решения. На рисунке 12 эти точки изображены для случая Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения, хотя приведенное далее обоснование не зависит от знаков Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Множества - определение и вычисление с примерами решения

При параллельном переносе вдоль оси Множества - определение и вычисление с примерами решения на Множества - определение и вычисление с примерами решения единиц точка Множества - определение и вычисление с примерами решения перейдет в точку Множества - определение и вычисление с примерами решения, а точка Множества - определение и вычисление с примерами решения (с координатой Множества - определение и вычисление с примерами решения) — в точку с координатой Множества - определение и вычисление с примерами решения, то есть в точку Множества - определение и вычисление с примерами решения. Тогда Множества - определение и вычисление с примерами решения. Но расстояние Множества - определение и вычисление с примерами решения — это расстояние от точки Множества - определение и вычисление с примерами решения до начала координат, следовательно, Множества - определение и вычисление с примерами решения, а значит, и Множества - определение и вычисление с примерами решения.

Используя определение модуля и его геометрический смысл, можно обосновать свойства модуля, приведенные в таблице 2.

Например, учитывая, что Множества - определение и вычисление с примерами решения — это расстояние от точки Множества - определение и вычисление с примерами решения до точки Множества - определение и вычисление с примерами решения, а расстояние может выражаться только неотрицательным числом, получаем

Множества - определение и вычисление с примерами решения

то есть модуль любого числа является неотрицательным числом.

Учитывая, что точки Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения находятся на одинаковом расстоянии от точки Множества - определение и вычисление с примерами решения, получаем

Множества - определение и вычисление с примерами решения

это означает, что модули противоположных чисел равны.

Если Множества - определение и вычисление с примерами решения то Множества - определение и вычисление с примерами решения а если Множества - определение и вычисление с примерами решения, то Множества - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, всегда

Множества - определение и вычисление с примерами решения

то есть каждое число не превышает его модуль.

Если в последнее неравенство вместо Множества - определение и вычисление с примерами решения подставить Множества - определение и вычисление с примерами решения и учесть, что Множества - определение и вычисление с примерами решения, то получаем неравенство Множества - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда Множества - определение и вычисление с примерами решения, что вместе с неравенством Множества - определение и вычисление с примерами решения свидетельствует о том, что для любого действительного числа а выполняется двойное неравенство

Множества - определение и вычисление с примерами решения (1)

При Множества - определение и вычисление с примерами решения неравенство Множества - определение и вычисление с примерами решения означает, что число Множества - определение и вычисление с примерами решения на координатной прямой находится от точки Множества - определение и вычисление с примерами решения на расстоянии, которое не превышает Множества - определение и вычисление с примерами решения (рис. 13), то есть в промежутке Множества - определение и вычисление с примерами решения. Наоборот, если число Множества - определение и вычисление с примерами решения находится в этом промежутке, то есть Множества - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно,

при Множества - определение и вычисление с примерами решения (2)

Обратим внимание, что последнее утверждение справедливо и при Множества - определение и вычисление с примерами решения (тогда двум неравенствам удовлетворяет только одно значение Множества - определение и вычисление с примерами решения).

Аналогично при Множества - определение и вычисление с примерами решения неравенство Множества - определение и вычисление с примерами решения означает, что число Множества - определение и вычисление с примерами решения на координатной прямой находится от точки Множества - определение и вычисление с примерами решения на расстоянии, которое больше или равно Множества - определение и вычисление с примерами решения (рис. 13),

Множества - определение и вычисление с примерами решения

то есть в этом случае Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения. Наоборот, если число Множества - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяет одному из этих неравенств, то Множества - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, при Множества - определение и вычисление с примерами решения неравенство Множества - определение и вычисление с примерами решения равносильно совокупности неравенств Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения, что можно записать так:

при Множества - определение и вычисление с примерами решения

Свойства модуля произведения и модуля дроби фиксируют известные правила действий над числами с одинаковыми и разными знаками:

модуль произведения равен произведению модулей множителей, то есть

Множества - определение и вычисление с примерами решения

модуль дроби равен модулю числителя, деленному на модуль знаменателя (если знаменатель не равен нулю), то есть

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Формулу для нахождения модуля произведения можно обобщить для случая нескольких множителей

Множества - определение и вычисление с примерами решения (3)

Если в формуле (3) взять Множества - определение и вычисление с примерами решения, получаем формулу

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Используя последнюю формулу справа налево при Множества - определение и вычисление с примерами решения и учитывая, что Множества - определение и вычисление с примерами решения при всех значениях Множества - определение и вычисление с примерами решения, получаем Множества - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно,

Множества - определение и вычисление с примерами решения. Для обоснования неравенства

Множества - определение и вычисление с примерами решения (4)

запишем неравенство (1) для чисел Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Складывая почленно эти неравенства, получаем

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Учитывая неравенство (2), имеем

Множества - определение и вычисление с примерами решения (5)

то есть модуль суммы не превышает суммы модулей слагаемых. Если в неравенстве (4) заменить Множества - определение и вычисление с примерами решения на Множества - определение и вычисление с примерами решения и учесть, что Множества - определение и вычисление с примерами решения, то получим неравенство

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Если записать число Множества - определение и вычисление с примерами решения так: Множества - определение и вычисление с примерами решения и использовать неравенство (4), то получим неравенство Множества - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда

Множества - определение и вычисление с примерами решения (6)

Если в неравенстве (6) заменить Множества - определение и вычисление с примерами решения на Множества - определение и вычисление с примерами решения и учесть, что Множества - определение и вычисление с примерами решения, то получим неравенство

Множества - определение и вычисление с примерами решения (7)

то есть модуль суммы двух чисел не меньше разности их модулей.

Меняя местами буквы Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения в неравенствах (6) и (7) и учитывая, что Множества - определение и вычисление с примерами решения, имеем также неравенства

Множества - определение и вычисление с примерами решения (8)

Полученные неравенства (4)-(8) можно коротко записать так:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Примеры решения задач:

Пример №402

Докажите, что сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное (если делитель не равен нулю) двух рациональных чисел всегда является рациональным числом.

Решение:

► Пусть заданы два рациональных числа Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения где Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения – целые, а Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения – натуральные числа. Поскольку сумма, разность, произведение, натуральная степень и частное двух обыкновенных дробей всегда являются обыкновенными дробями, то полученный результат всегда будет рациональным числом. Например,

Множества - определение и вычисление с примерами решения

где Множества - определение и вычисление с примерами решения – целое число, а Множества - определение и вычисление с примерами решения – натуральное.

Комментарий:

Любое рациональное число может быть записано как дробь Множества - определение и вычисление с примерами решения, где Множества - определение и вычисление с примерами решения — целое, Множества - определение и вычисление с примерами решения — натуральное число.

Чтобы доказать утверждение задачи, достаточно доказать, что сумма, разность, произведение и частное двух дробей вида Множества - определение и вычисление с примерами решения также будет дробью такого вида.

Пример №403

Докажите, что для любого натурального числа Множества - определение и вычисление с примерами решения число Множества - определение и вычисление с примерами решения или натуральное, или иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод от противного: предположить, что заданное положительное число является рациональным ненатуральным (то есть дробью), и получить противоречие с условием или с каким-либо известным фактом.

Записывая Множества - определение и вычисление с примерами решения в виде несократимой дроби, следует учесть, что при натуральных значениях Множества - определение и вычисление с примерами решения это число всегда будет положительным.

Решение:

► Допустим, что Множества - определение и вычисление с примерами решения не является иррациональным числом (тогда это число рациональное) и не является натуральным числом. Следовательно, это число может быть только рациональной несократимой дробью Множества - определение и вычисление с примерами решения, где Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения — натуральные числа Множества - определение и вычисление с примерами решения. По определению квадратного корня имеем Множества - определение и вычисление с примерами решения то есть Множества - определение и вычисление с примерами решения. Учитывая, что Множества - определение и вычисление с примерами решения, получаем, что дробь Множества - определение и вычисление с примерами решения, равная натуральному числу Множества - определение и вычисление с примерами решения, должна быть сократимой.

Следовательно, у натуральных множителей, которые стоят в числителе и знаменателе этой дроби, должен быть общий натуральный делитель, отличный от 1. Но в числителе стоят только множители Множества - определение и вычисление с примерами решения, а в знаменателе — только множители Множества - определение и вычисление с примерами решения. Тогда числа Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения имеют натуральный делитель, отличный от 1, то есть дробь является сократимой дробью, что противоречит условию. Таким образом, наше предположение неверно, и для любого натурального числа Множества - определение и вычисление с примерами решения число Множества - определение и вычисление с примерами решения или натуральное, или иррациональное.

Например, поскольку числа Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения не являются натуральными числами Множества - определение и вычисление с примерами решения, то Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения — иррациональные числа.

Пример №404

Докажите, что Множества - определение и вычисление с примерами решения — число иррациональное.

Решение:

► Допустим, что число Множества - определение и вычисление с примерами решения рациональное. Тогда Множества - определение и вычисление с примерами решения Возведя обе части последнего равенства в квадрат, имеем Множества - определение и вычисление с примерами решения Отсюда Множества - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Множества - определение и вычисление с примерами решения

Но правая часть этого равенства — рациональное число (поскольку по предположению Множества - определение и вычисление с примерами решения — рациональное число), а левая — иррациональное. Полученное противоречие означает, что наше предположение неверно и число Множества - определение и вычисление с примерами решенияМножества - определение и вычисление с примерами решения — иррациональное.

Комментарий:

Для доказательства утверждения задачи можно использовать метод «от противного» — допустить, что заданное число является рациональным, и получить противоречие с каким-либо известным фактом, например с тем, что Множества - определение и вычисление с примерами решения — иррациональное число.

При анализе полученных выражений используем результат задачи 1: если число Множества - определение и вычисление с примерами решения — рациональное, то числа Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения и их частное тоже будут рациональными.

Заметим, что знаменатель полученной дроби Множества - определение и вычисление с примерами решения

Пример №405

Решите уравнениеМножества - определение и вычисление с примерами решения

Решение

I способ

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Заданное уравнение имеет вид Множества - определение и вычисление с примерами решения (в данном случае Множества - определение и вычисление с примерами решения). Его удобно решать, используя геометрический смысл модуля: Множества - определение и вычисление с примерами решения— это расстояние от точки 0 до точки Множества - определение и вычисление с примерами решения. Но расстояние 7 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 7), так и влево (получаем число -7). Следовательно, равенство Множества - определение и вычисление с примерами решения возможно тогда и только тогда, когда Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения.

II способ

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

С геометрической точки зрения Множества - определение и вычисление с примерами решения — это расстояние между точками Множества - определение и вычисление с примерами решения и Множества - определение и вычисление с примерами решения на координатной прямой. Запишем данное уравнение так: Множества - определение и вычисление с примерами решения. Тогда равенство Множества - определение и вычисление с примерами решения означает, что расстояние от точки Множества - определение и вычисление с примерами решения до точки -5 равно 7. На расстоянии 7 от точки -5 находятся точки 2 и -12 (рис. 14). Таким образом, данное равенство выполняется тогда и только тогда, когда Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения то есть данное уравнение равносильно указанной в решении совокупности уравнений.

Пример №406

Решите неравенство Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Решая эти неравенства (рис. 15), получаем

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Множества - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, Множества - определение и вычисление с примерами решения или Множества - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Множества - определение и вычисление с примерами решения

Комментарий:

Заданное неравенство имеет вид Множества - определение и вычисление с примерами решения (в данном случае Множества - определение и вычисление с примерами решения), и его можно решать, используя геометрический смысл модуля. С геометрической точки зрения, Множества - определение и вычисление с примерами решения — это расстояние от точки 0 до точки Множества - определение и вычисление с примерами решения. На расстоянии 6 от 0 находятся числа 6 и -6.

Тогда неравенству Множества - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяют все те и только те точки, которые находятся в промежутке Множества - определение и вычисление с примерами решения то есть Множества - определение и вычисление с примерами решения Для решения полученного двойного неравенства его удобно заменить соответствующей системой.

  • Рациональные уравнения
  • Рациональные неравенства и их системы
  • Геометрические задачи и методы их решения
  • Прямые и плоскости в пространстве
  • Функции, их свойства и графики
  • Параллельность в пространстве
  • Перпендикулярность в пространстве
  • Векторы и координаты в пространстве

ПОМОГИТЕ С ВЕРОЯТНОСТЬЮ

Даша Слушай



Ученик

(102),
на голосовании



3 месяца назад

составьте для каждого из слов свое множество ”способ, подоконник” найдите пересечение и объединение

Голосование за лучший ответ

Артём Стрелков

Мастер

(1181)


4 месяца назад

А={э,л,е,к,т,р,и,ч,с,в,о}

В={у,ч,е,б,н,и,к}

пересечение ={ч,е,и,к}

объединение ={э,л,е,к,т,р,и,ч,с,в,о,у,б,н}

Вот тебе аналогичный пример

Yrik

Мастер

(1247)


4 месяца назад

Способ:

метод
методика
способность
технология
стратегия
Подоконник:

каменный
деревянный
пластиковый
мраморный
керамический
Пересечение множества “способ” и “подоконник” не существует, так как эти два множества не имеют общих элементов.

Объединение множества “способ” и “подоконник” будет состоять из всех элементов из обоих множеств: “метод”, “методика”, “способность”, “технология”, “стратегия”, “каменный”, “деревянный”, “пластиковый”, “мраморный”, “керамический”.

В общем, объединение множеств означает объединение всех элементов из обоих множеств, в то время как пересечение множеств означает нахождение элементов, которые присутствуют в обоих множествах. В данном случае, пересечение множества “способ” и “подоконник” не существует.

olegbI4

Оракул

(98413)


4 месяца назад

{с,п,о,б}
{п,о,д,к,н,и}
Пересечение {п,о}
Объединение {с,п,о,б,д,к,н,и}

Пересечение, объединение и разность множеств

  1. Пересечение множеств
  2. Объединение множеств
  3. Универсум и отрицание
  4. Свойства операций пересечения и объединения
  5. Разность множеств
  6. Формулы включений и исключений
  7. Примеры

Пересечение множеств

Пересечением множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно как в множество A, так и в множество B:

$$ A cap B = {x|x in Bbb A и x in Bbb B } $$

Пересечение множеств

Если множества не пересекаются, то $A cap B = varnothing $ – пустое множество в пересечении. Если $B subseteq A$ – подмножество, то $A cap B = B$ – пересечением будет меньшее множество из двух.

Например:

Если A = {1;3;5;9}, Β = {3;7;11}, то $A cap B$ = {3;5}.

Если A = {f|f-прямоугольник}, B = {f|f-ромб}, то $A cap B$ = {f|f-квадрат}.

Если A = ${n|n⋮3, n in Bbb N }$ – натуральные числа, кратные 3, B = ${n|n⋮5, n in Bbb N }$ – натуральные числа, кратные 5, то $A cap B = {n|n⋮15, n in Bbb N}$ – натуральные числа, кратные 15.

Если A = {a│a-слон}, B = {a|a-птица}, то $A cap B = varnothing$.

Объединение множеств

Объединением – множеств A и B называют множество, содержащее те и только те элементы, которые входят хотя бы в одно из множеств, A или B:

$$ A cup B = { x|x in Bbb A или x in Bbb B } $$

Объединение множеств

Если $B subseteq A$ – подмножество, то $A cap B = A$ – объединением будет большее множество из двух.

Например:

Если A = {1;3;5;9}, Β = {3;7;11}, то $A cup B$ = {1;3;5;7;9;11}.

Если $A = {x|x^2-4 = 0, x in Bbb R}, B = {x|x+3 = 2, x in Bbb R }, то A cup$ B = {-2;-1;2}

Если $A = {n│n in Bbb Z }$- все целые числа, $B = {x|x = frac{a}{b}, a in Bbb Z, b in Bbb N }$ – все дроби, то $A cup B = {x│x in Bbb Q}$ – множество рациональных чисел. Заметим, что в данном случае $A subset B$.

Универсум и отрицание

Универсум (универсальное множество) – множество, включающее в себя все множества, рассматриваемые в данной задаче.

В литературе универсум обозначают U.

На диаграммах Эйлера универсум изображают как множество точек прямоугольника, в котором лежат остальные множества:

Универсум и отрицание

Примеры универсумов:

При рассмотрении целочисленных задач, универсум – это множество целых чисел.

При построении двумерных графиков, универсум – это множество всех точек координатной плоскости.

При решении вероятностных задач, универсум – это множество всех возможных исходов цепочек событий.

Отрицание (абсолютное дополнение) множества A – множество всех элементов универсума, не принадлежащих A:

$$ bar{A} = {x|x notin A } $$

Читается «не A».

У отрицания есть любопытное свойство: $bar{bar{Α}} = Α $(два раза «нет» – это «да»).

Отрицание (абсолютное дополнение) множества A

Например:

Если U = {1;2;3;4;5;6;7}, A = {3;4;5}, то $bar{A} = {1;2;6;7}$

Если U = ${x|x in Bbb R}$ – все действительные числа, A = ${x|x gt 0, x in Bbb R }$ – все положительные действительные числа, то $ bar{A} = {x|x le 0, x in Bbb R}$.

Свойства операций пересечения и объединения

$A cap B = B cap A$

$ A cup B = B cup A $

$(A cap B) cap C = A cap (B cap C)$

$ (A cup B) cup C = A cup ( B cup C) $

$(A cup B) cap C = (A cap C) cup (B cap C)$

$ (A cap B) cup C = (A cup C) cap (B cup C) $

$A cap A = A$

$ A cup A = 0 $

Взаимодействие с отрицанием, пустым множеством и универсумом

$A cap bar{A} = varnothing $

$A cap U = A$

$A cap varnothing = varnothing$

$A cup bar{A} = U $

$A cup U = U$

$A cup varnothing = A$

$ overline{(A cap B)} = bar{A} cup bar{B} $

$ overline{(A cup B)} = bar{A} cap bar{B} $

$ (A cup B) cap A = A $

$ (A cap B) cup A = A $

Разность множеств

Разностью двух множеств A и B называют множество, в которое входят все элементы из множества A, не принадлежащие множеству B:

$$ AB = {x|x in Bbb A , x notin B} $$

Читается «A без B».

На диаграммах Эйлера разности для пересекающихся множеств выглядят так:

Разность множеств 1

Разность множеств 2

Получается, что отрицание – частный случай разности: $ bar{A} = {x|x in Bbb U, x notin A } $= UA

«Не A» – это «универсум без A».

Формулы включений и исключений

Рассмотрим два конечных пересекающихся множества A и B.

Пусть число элементов во множествах равно n(A)и n(B) соответственно. А число элементов в пересечении $n(A cap B)$.

Вопрос: сколько всего элементов в обоих множествах, т.е. чему равно $n(A cup B)$?

Формулы включений и исключений 1

Сумма n(A)и n(B) даст нам больше, чем общее количество, потому что мы два раза посчитаем то, что попадает в пересечение. Значит, если отнять одно пересечение, получится как раз то, что ищем:

$$n(A cup B) = n(A)+ n(B)-n(A cap B)$$

Выведем аналогичную формулу для трёх пересекающихся конечных множеств.

Формулы включений и исключений 2

Сумма n(A)+ n(B)+n(C) учтёт каждое из парных пересечений по два раза. Поэтому, аналогично задаче с двумя множествами, нужно отнять всё, что попадает в парные пересечения, т.е. отнять сумму $(n(A cap B)+n(A cap C)+n(B cap C) )$. Но после этого получится, что мы лишний раз отняли $n(A cap B cap C)$; значит, его нужно «вернуть».

Получаем:

$$ n(A cup B cup C) = n(A)+ n(B)+n(C)- $$

$$ -(n(A cap B)+n(A cap C)+n(B cap C) )+n(A cap B cap C) $$

Примеры

Пример 1. Найдите пересечение данных множеств:

а) A = {0;5;8;10},

B = {3;6;8;9}

$A cap B$ = {8}

$б) A = {x|x lt 3, x in Bbb R}, $

$ B = {x|x gt 1, x in Bbb R} $

$A cap B = {x|1 lt x lt 3, x in Bbb R}$ – отрезок

$в) A = {x|x lt 3, x in Bbb R}, $

$ B = {x|x gt 1, x in Bbb N} $

$A cap B = {x|1 lt x lt 3, x in Bbb N } или A cap B = {2}$ – одна точка

г) A = {f|f-правильный многоугольник},

B = {f|f-четырехугольник}

$A cap B = {f|f-квадрат}$

Пример 2. Найдите объединение данных множеств:

а) A = {0;5;8;10}, B = {3;6;8;9}

$A cup B$ = {0;3;5;6;8;9;10}

б) A = {1;2}, B = {1;2;3;4}

$A subset B$ – строгое подмножество

$A cup B $ = B = {1;2;3;4}

$в) A = {x|x lt 1, x in Bbb R}, B = {x|x gt 1,x in Bbb R} $

$A cup B = {x|x neq 1, x in Bbb R }$

$г) A = {n│n⋮3, n in Bbb Z}, B = {n|n⋮9,n in Bbb N} $

$B subset A$ – строгое подмножество

$ A cup B = A = {n│n⋮3, n in Bbb Z} $

Пример 3. Найдите отрицание данного множества на данном универсуме:

а) U = {1;2;3;4;5}, A = {2;3}

$ bar{A} = {1;4;5}$

б) U = ${x│x in Bbb Q }$, A = ${ frac{4}{5}, frac{7}{8} }$

$ bar{A} = {x|x neq frac{4}{5}, x neq frac{7}{8}, x in Bbb Q} $

$в) U = {x│x in Bbb R}, A = {x|x ge 2, x in Bbb R} $

$bar{A} = {x|x lt 2, x in Bbb R}$

г) U = { 0;1}, A = { 0}

$ bar{A} = {1}$

Пример 4. Найдите обе разности данных множеств:

а) A = {0;1;2;3;4}, B = {2;4}

AB = {0;1;3}, $BA = {∅}$

б) A = {0;1;3}, B = {2;4;6}

AB = {0;1;3}, BA = {2;4;6}

$в) A = {x|x gt 1, x in Bbb R}, $

$ B = {x|x lt 3, x in Bbb R} $

AB $ = {x|x ge 3, x in Bbb R}$

BA $ = {x|x le 1,x in Bbb R} $

$ г*) A = {(x,y)|x gt 0, x in Bbb R, y in Bbb R} $

$ B = {(x,y)|x le 5, x in Bbb R, y in Bbb R} $

AB $ = {(x,y)|x gt 5, x in Bbb R, y in Bbb R} $

BA $ = {(x,y)|x le 0, x in Bbb R, y in Bbb R} $

Пример 5. Из 100 студентов умеют программировать на Python 28 человек, на Java 30 человек, на C# 42 человека, на Python и Java 8 человек, на Python и C# 10 человек, на Java и C# 5 человек. Все три языка знают 3 студента. А сколько студентов не умеют программировать на этих языках?

Пример 5.

n(U) = 100

n(A) = 28, n(B) = 30, n(C) = 42

$ n(A cap B) = 8, n(B cap C) = 5, n(A cap C) = 10 $

$n(A cap B cap C) = 3$

Всего программистов:

$ n(A cup B cup C) = n(A)+n(B)+n(C)- $

$ (n(A cap B)+n(B cap C)+n(A cap C) )+n(A cap B cap C) $

$n(A cup B cup C) = 28+30+42-(8+5+10)+3 = 100-23+3 = 80$

Число не умеющих программировать:

$n(U)-n(A cup B cup C) = 100-80 = 20$

Ответ: 20 человек

Лекция 3.  Пересечение
множеств. Свойства пересечения множеств.        

Определение. Пересечением множеств
А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат
множеству А и множеству В.

       
Пересечение множеств А и В обозначают А∩ В. Таким образом, по определению, А ∩
В = { х х 

А и х 
В}.

       
Например, если А = { a , c , k , m , n } и В = { a , b
, c , d , e 
},  

то А ∩ В = { a , c }.

        Если
изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то пересечением
данных множеств является заштрихованнаяобласть:

http://mirznanii.com/images/51/13/8811351.jpeg

Для пересечения множеств выполняются
следующие свойства.

1)    Переместительное или
коммутативное свойство: А ∩ В = В ∩ А.

2)    Сочетательное или
ассоциативное свойство:(А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С).

3)    А ∩
=
(пустое множество является поглощающим элементом).

4)    А ∩ U = А
(универсальное множество является нейтральным элементом).

5)   Если В А,
то А∩В = В

Задания для самостоятельной работы по теме:

1. Найдите пересечение
множеств А и В, если:

а) А = {26, 39, 5,
58, 17, 81}, В = {17, 26, 58};

б) А = {26, 39, 5,
58, 17, 81}, В = {17, 26, 58, 5, 39, 81}.

2. Из каких элементов
состоит пересечение множества букв в слове «математика» и множества букв в
слове «геометрия»?

3. М – множество
однозначных чисел, Р – множество нечетных натуральных чисел. Из каких
чисел состоит пересечение данных множеств? Содержатся ли в нем числа -7 и 9?

4. А- множество
точек окружности, В – множество точек прямой l. Из скольких
элементов может состоять пересечение данных множеств? Может ли оно быть пустым?

Добавить комментарий