Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно разбираться в определенных понятиях и находить весомые аргументы и методы решения, что и предложено данной статьей. Будут рассмотрены различные сложнейшие комбинации функций вида y=x+x-2 или y=5·x2+1·x3, y=xx-5 или y=x-15-3. Рассмотрим теорию и решим несколько примеров с подобными заданиями, чтобы вам больше не нужно было определять все это онлайн.
Что значит найти область определения
После того как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y=f(x) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.
Область определения и область значения можно найти и для кубического корня (куб. √), к примеру, для x+2.
Ограничение области определения
Область определения функции или ООФ рассматривается еще в школьном курсе алгебры. У действительных чисел она может быть (0, +∞) или такой [−3, 1)∪[5, 7). Еще по виду функции можно визуально узнавать ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:
- при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как y=x+2·xx4-1;
- при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на сложение корня четной степени типа y=x+1 или y=23·x+3x;
- при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как y=5·(x+1)-3, y=-1+x113, y=(x3-x+1)2, которые определены не для всех чисел;
- при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида y=lnx2+x4 или y=1+logx-1(x+1) причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма;
- при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида y=x3+tg2·x+5 или y=ctg(3·x3-1), так как они существуют не для любого числа;
- при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида y=arcsin(x+2)+2·x2, y=arccosx-1+x, область определения которых определяется ни интервале от -1 до 1.
При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом (и это не с калькулятором). Рассмотрим пример функции вида y=x4+2·x2-x+12+223·x. Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.
Правила нахождения области определения
Для примера рассмотрим функцию типа y=2·x+1. Для вычисления ее значения можем определить x. Из выражения 2·x+1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.
Если задана функция типа y=3x-1, а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3x-1знаменатель равняется нулю при х=1, поэтому искомая область определения данной функции примет вид (−∞, 1)∪(1, +∞) и считается числовым множеством.
На рассмотрении примера y=x2-5·x+6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x2−5·x+6≥0. После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (−∞, 2]∪[3, +∞).
При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.
Область определения суммы, разности и произведения функций
Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно иметь следующее утверждение:
Когда функция ff считается суммой n функций f1, f2, …, fn, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций f1, f2, …, fn. Данное утверждение можно записать как:
D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)
Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом, чтобы понимать понимания перечисления числовых множеств.
Найти область определения функции вида y=x7+x+5+tgx.
Решение
Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7,степенной с показателем 1, постоянной, функции тангенса.
По таблице определения видим, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞), D(f3)=(−∞, +∞), причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π2+π·k, k∈Z.
Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f1, f2, f3 и f4. То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π2+π·k, k∈Z.
Ответ: все действительные числа кроме π2+π·k, k∈Z.
Чтобы найти область определения произведения функций необходимо применять правило:
Когда функция f считается произведением n функций f1, f2, f3 и fn, тогда существует такая функция f, которую можно задать при помощи формулы y=f1(x)·f2(x)·…·fn(x), тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.
Запишется D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)
Найти область определения функции y=3·arctg x·ln x.
Решение
Правая часть формулы рассматривается как f1(x)·f2(x)·f3(x), где за f1 является постоянной функцией, f2 является арктангенсом, f3 – логарифмической функцией с основанием e. По условию имеем, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞) и D(f3)=(0, +∞). Мы получаем, что
D(f)=D(f1)D(f2)D(fn)=(-∞, +∞)(-∞, +∞)D(0, +∞)=(0, +∞)
Ответ: область определения y=3·arctg x·ln x – множество всех действительных чисел.
Необходимо остановиться на нахождении области определения y=C·f(x), где С является действительным числом. Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими.
Функция y=C·f(x) – произведение постоянной функции и f. Область определения – это все действительные числа области определения D(f). Отсюда видим, что область определения функции y=C·f(x) является -∞, +∞D(f)=D(f).
Естестввенным образом получили, что область определения y=f(x) и y=C·f(x), где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y=x считается [0, +∞), потому как область определения функции y=-5·x – [0, +∞).
Области определения y=f(x) и y=−f(x) совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.
Найти область определения функции y=log3x−3·2x.
Решение
Необходимо рассмотреть как разность двух функций f1 и f2.
f1(x)=log3x и f2(x)=3·2x. Тогда получим, что D(f)=D(f1)D(f2).
Область определения записывается как D(f1)=(0, +∞). Приступим к области определения f2. В данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D(f2)=(−∞, +∞).
Для нахождения области определения функции y=log3x−3·2x получим, что
D(f)=D(f1)D(f2)=(0, +∞)-∞, +∞
Ответ: (0, +∞).
Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 является множество действительных чисел.
Рассмотрим y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, где в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n+1)-ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R.
Найти область определения f1(x)=x5+7×3-2×2+12.
Решение
Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f1(x)=x5+7×3-2×2+12 и f2(x)=3·x-ln 5. Выше было показано, что D(f1)=R. Область определения для f2 является совпадающей со степенной при показателе –ln5, иначе говоря, что D(f2)=(0, +∞).
Получаем, что D(f)=D(f1)D(f2)=-∞, +∞(0, +∞)=(0, +∞).
Ответ: (0, +∞).
Область определения сложной функции
Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида y=f1(f2(x)). Известно, что D(f) является множеством всех x из определения функции f2, где область определения f2(x) принадлежит области определения f1.
Видно, что область определения сложной функции вида y=f1(f2(x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). В стандартном обозначении это примет вид
x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)
Рассмотрим решение нескольких примеров.
Найти область определения y=ln x2.
Решение
Алгоритм решения этого уравнения или функции следующий.
Данную функцию представляем в виде y=f1(f2(x)), где имеем, что f1 является логарифмом с основанием e, а f2 – степенная функция с показателем 2.
Для решения необходимо использовать известные области определения D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞).
Тогда получим систему неравенств вида
x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-∞, +∞x2∈(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, +∞)x2>0⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)
Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.
Ответ: (−∞, 0)∪(0, +∞).
Найти область определения функции y=(arcsin x)-12.
Решение
График решения следующий.
Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y=f1(f2(x)), где f1 является степенной функцией с показателем -12, а f2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=[−1, 1]. Теперь найдем все множества значений x, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). Получаем систему неравенств вида
x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-1, 1arcsin x∈(0, +∞)⇔⇔x∈-1, 1arcsin x>0
Для решения arcsin x>0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [−1, 1], причем обращается в ноль при х=0, значит, что arcsin x>0 из определения x принадлежит промежутку (0, 1].
Преобразуем систему вида
x∈-1, 1arcsin x>0⇔x∈-1, 1x∈(0, 1]⇔x∈(0, 1]
Область определения искомой функции имеет интервал равный (0, 1].
Ответ: (0, 1].
Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y=f1(f2(…fn(x)))). Область определения такой функции ищется из x∈D(fn)fn(x)∈D(fn-1)fn-1(fn(x))∈D(fn-2)…f2(f3(…(fn(x)))∈D(f1).
Найти область определения y=sin(lg x4).
Решение
Заданная функция может быть расписана, как y=f1(f2(f3(x))), где имеем f1 – функция синуса, f2 – функция с корнем 4 степени, f3 – логарифмическая функция.
Имеем, что по условию D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=[0, +∞), D(f3)=(0, +∞). Тогда областью определения функции – это пересечение множеств таких значений, где x∈D(f3), f3(x)∈D(f2), f2(f3(x))∈D(f1). Получаем, что
x∈D(f3)f3(x)∈D(f2)f2(f3(x))∈D(f1)⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞
Условие lg x4∈-∞, +∞ аналогично условию lg x∈[0, +∞), значит
x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔x∈(0, +∞)lg x≥0⇔⇔x∈(0, +∞)lg x≥lg 1⇔x∈(0, +∞)x≥1⇔⇔x∈[1, +∞)
Ответ: [1, +∞).
При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.
Область определения дроби
Рассмотрим функцию вида f1(x)f2(x). Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f2(х) не должна обращаться в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.
Запишем функцию y=f1(x)f2(x) в виде y=f1(x)·(f2(x))-1. Тогда получим произведение функций вида y=f1(x) с y=(f2(x))-1. Областью определения функции y=f1(x) является множество D(f1), а для сложной y=(f2(x))-1 определим из системы вида x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f2)f2(x)≠0.
Значит, x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.
Найти область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6.
Решение
Заданная функция дробная, поэтому f1 – сложная функция, где y=tg(2·x+1) и f2 – целая рациональная функция, где y=x2−x−6, а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде
x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0
Представление сложной функции y=f3(f4(x)), где f3 –это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π2+π·k, k∈Z, а f4 – это целая рациональная функция y=2·x+1 с областью определения D(f4)=(−∞, +∞). После чего приступаем к нахождению области определения f1:
x∈D(f4)2·x+1∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)2x+1≠π2+π·k, k∈Z⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Z
Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6. Тогда получаем, что
x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx∈-∞, +∞x2-x-6≠0⇔⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx≠-2x≠3
Ответ: множество действительных чисел, кроме -2, 3 и π4-12+π2·k, k∈Z.
Действия с корнями
Корни в математике, в частности, функцию с корнем можно определить следующим образом:
y=n√x. N здесь — натуральное число, большее за единицу.
Область определения корня зависит от того, каков показатель: четный или нечетный.
Если n является четным числом (n=2m). Это значит, что область определения представляет собой множество всех неотрицательных действительных чисел.
Если показатель корня — нечетное число, большее за единицу (n=2m+1 и m принадлежит к n), то областью определения корня будет множество всех действительных чисел.
Также важным является вопрос, как складывать корни.
Сложение и вычитание корней возможно при условии наличия одинакового подкоренного выражения. К примеру, сложение и вычитание корней возможно 2√3 и 4√3. Можно ли складывать корни или вычитать в случае 2√3 и 2√5? Ответ — нет.
Как решать корни во втором случае? Вы можете упростить подкоренное выражение и привести их корни к одинаковому подкоренному выражению. После этого вы сможете как считать корни, так и вычитать корни.
К основным действиям с корнями относят:
- умножение корней;
- деление корней;
- корень минус корень или плюс.
Область определения логарифма с переменной в основании
Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1. Отсюда видно, что функция y=logf2(x)f1(x) имеет область определения, которая выглядит так:
x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1
К аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:
y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1. После чего можно приступать к области определения дробной функции.
Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y=logaf1(x) и y=logaf2(x) можно определить из получившейся системы вида x∈D(f1)f1(x)>0 и x∈D(f2)f2(x)>0. Иначе эту область можно записать в виде y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1, что означает нахождение y=logf2(x)f1(x) из самой системы вида
x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0logaf2(x)≠0=x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1
Обозначить область определения функции y=log2·x(x2-6x+5).
Решение
Следует принять обозначения f1(x)=x2−6·x+5 и f2(x)=2·x, отсюда D(f1)=(−∞, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞). Необходимо приступить к поиску множества x, где выполняется условие x∈D(f1), f1(x)>0, x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1. Тогда получаем систему вида
x∈(-∞, +∞)x2-6x+5>0x∈(-∞, +∞)2·x>02·x≠1⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 1)∪(5, +∞)x∈(-∞, +∞)x>0x≠12⇔⇔x∈0, 12∪12, 1∪(5, +∞)
Отсюда видим, что искомой областью функции y=log2·x(x2-6x+5) считается множнство, удовлетворяющее условию 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).
Ответ: 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).
Область определения показательно-степенной функции
Показательно-степенная функция задается формулой вида y=(f1(x))f2(x). Ее область определения включает в себя такие значения x, которые удовлетворяют системе x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.
Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y=aloga(f1(x))f2(x)=af2(x)·logaf1(x), где где a>0, a≠1.
Найти область определения показательно-степенной функции y=(x2-1)x3-9·x.
Решение
Примем за обозначение f1(x)=x2−1 и f2(x)=x3-9·x.
Функция f1 определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D(f1)=(−∞, +∞). Функция f2 является сложной, поэтому ее представление примет вид y=f3(f4(x)), а f3 – квадратным корнем с областью определения D(f3)=[0, +∞), а функция f4 – целой рациональной,D(f4)=(−∞, +∞). Получаем систему вида
x∈D(f4)f4(x)∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)x3-9·x≥0⇔⇔x∈(-∞, +∞)x∈-3, 0∪[3, +∞)⇔x∈-3, 0∪[3, +∞)
Значит, область определения для функции f2 имеет вид D(f2)=[−3, 0]∪[3, +∞). После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.
Получаем систему вида x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x2-1>0⇔x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x∈(-∞, -1)∪(1, +∞)⇔⇔x∈-3, -1∪[3, +∞)
Ответ: [−3, −1)∪[3, +∞)
В общем случае
Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.
Таблицы основных результатов
Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.
| Функция | Ее область определения |
|
Сумма, разность, произведение функций f1, f2,…, fn |
Пересечение множеств D(f1), D(f2), …, D(fn) |
|
Сложная функция y=f1(f2(f3(…fn(x)))) В частности, y=f1(f2(x)) |
Множество всех x, одновременно удовлетворяющих условиям x∈D(fn),fn(x)∈D(fn-1),fn-1(fn(x))∈D(fn-2),… ,f2(f3(…fn(x)))∈D(f1) x∈D(f2),f2(x)∈D(f1) |
Расположим функции и их области определения.
| Функция | Ее область определения |
|
Прямая пропорциональность y=k·x |
R |
| Линейная y=k·x+b | R |
|
Обратная пропорциональность y=kx |
-∞, 0∪0, +∞ |
| Квадратичная y=a·x2+b·x+c | R |
| y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 | R |
| Целая рациональная | R |
| y=C·f(x), где C – число | D(f) |
|
Дробная y=f1(x)f2(x) В частности, если f1(x), f2(x) – многочлены |
Множество всех x, которые одновременно удовлетворяют условиям f2(x)≠0 |
| y=f(x)n, где n – четное | x∈D(f1), f(x)≥0 |
|
y=logf2(x)f1(x) В частности, y=logaf1(x) В частности, y=logf2(x)a |
x∈D(f1), f1(x)>0,x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1 x∈D(f1), f1(x)>0 x∈D(f2), f2>0, f2(x)≠1 |
| Показательно-степенная y=(f1(x))f2(x) | x∈D(f1), x∈D(f2), f1(x)>0 |
Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y=x2-4x-2 и y=x+2 являются разными функциями, так как первая определяется на (−∞, 2)∪(2, +∞), а вторая из множества действительных чисел. Из преобразования y=x2-4x-2=x-2x+2x-2=x+2 видно, что функция имеет смысл при x≠2.
1. Область определения функции.
2. Четность, нечетность, периодичность.
3. Точки пересечения с осями координат.
4. Производная и критические точки.
5. Промежутки возрастания, убывания и
точки экстремума и значение функции в
этих точках.
6. Поведение функции на концах области
определения и асимптоты графика функции
(вертикальные, горизонтальные, и
наклонные)
7. Вторая производная и исследование
функции на выпуклость и вогнутость, и
нахождение точек перегиба.
8. Нахождение контрольных точек.
9. Построение графика по результатам
исследования.
Приложения.
Таблица
1. Как найти область определения функции.
Таблица
2. Четные и нечетные функции.
Таблица
3. Периодические функции.
Таблица
4. Применение производной к исследованию
функции.
Таблица
5. Асимптоты графика функции.
Таблица
6. Вторая производная и точки перегиба.
Примеры.
Пример
1. Исследовать
функцию
и построить график функции.
Пример
2. Исследовать
функцию
и построить график функции.
Пример
3. Исследовать
функцию
и построить график функции.
|
Схема исследования эскиза |
|||||||
|
Схема |
Пример |
||||||
|
1. Область определения функции (см. |
Область определения:
|
||||||
|
2. Четность, нечетность (табл. периодичность |
Функция ни четная, ни нечетная и не |
||||||
|
3. Точки пересечения с осями координат |
x = 0; y = 0 |
||||||
|
y = 0;
|
|||||||
|
4. Производная и критические точки |
|
||||||
|
|
|||||||
|
5. Промежутки возрастания, убывания |
|
||||||
|
6. Поведение функции на концах (табл. 5) |
П слева
При справа x
Так как
то при тогда
т.е. y |
||||||
|
7. Вторая производная и исследование |
П оскольку |
||||||
|
|
||||||
|
|
|
Как найти |
|||
|
№ |
Вид функции |
Ограничения
(f(x) существуют!) |
Формулировка |
|
1 |
|
|
Знаменатель дроби не равен нулю |
|
2 |
|
|
Под знаком корня четной степени может |
|
3 |
|
|
Под знаком логарифма может стоять |
|
4 |
(a |
|
В основании логарифма может стоять |
|
5 |
|
|
Под знаком котангенса может стоять (k – целое) |
|
6 |
|
|
Под знаком котангенса может стоять (k – целое) |
|
7 |
|
|
Под знаком арксинуса и арккосинуса |
|
8 |
|
||
|
9 |
|
||
|
а) |
x – любое число |
||
|
б) – |
|
||
|
в) – положитель-ное не целое число |
|
||
|
г) – отрицатель-ное не целое число |
|
Таблица 1
Таблица 2
|
Четные и нечетные |
|
|
Четная функция |
Нечетная функция |
|
Определение. Функция f
|
Определение. Функция f
|
|
Свойства |
Свойства |
|
График четной функции |
График нечетной функции |
|
Примеры четных функций |
Примеры нечетных функций |
|
|
|
|
|
|
Таблица 3
|
Периодические |
|||
|
Определение. |
|||
|
Свойства |
|||
|
1. Если число Т период функции f k*T |
|||
|
2. Если функция y=f(x) (A, b, k |
|||
|
3. Если функция y=f(x) |
|||
|
4. Для построения графика периодической влево и вправо |
|||
|
Примеры периодических функций |
|||
|
y=sin(x) T=2π
|
y=cos(x) T=2π
|
y=tg(x) T=π
|
y=ctg(x) T=π
|
|
y=sin(3x)
T=
|
y={x}- дробная часть х T=1
|
y=|cos(x)| T=π
|
y=3 T-любое число (Т≠0)
|
|
Практические приемы нахождения |
|||
|
1. Найти период каждой составляющей 2. Подобрать Пример: |
Таблица 4
|
Применение |
|||
|
Монотонность и постоянство функции |
|||
|
Достаточное возрастания |
Достаточное возрастания |
||
|
Если в каждой то функция ƒ(x) возрастает на |
|
Если в каждой то функция ƒ(x) убывает на |
|
|
З но возрастания Например, – возрастающая на
ее производная равна нулю. |
|||
|
Необходимое и достаточное условие |
|||
|
Функция |
|
Экстремумы (максимум и минимум) |
|
|
Точка максимума |
Точка минимума |
|
Определение Точка из области определения называется для найдется
( , т
из этой окрестности выполняется
|
Определение Точка из области определения называется для найдется
– ( ) , такая, из этой окрестности выполняется
|
|
– точка максимума |
– точка минимума |
|
Точки максимума
Значения функции экстремумами |
|
|
-максимум |
-минимум |
|
Критические точки |
|
|
Определение. в |
|
|
Необходимое |
Достаточное |
|
В точках экстремума равна – точка экстремума |
Если функция непрерывна и , то – точка экстремума функции в знак меняется с «+» на «-» – точка максимума в знак меняется с «-» на «+» точка минимума |
|
Пример графика функции , ( |
|
|
|
|
|
Исследование функции на монотонность и экстремумы |
|
|
Схема |
Пример |
|
1. Найти область |
Область определения: Функция |
|
2. Найти производную |
|
|
3. Найти критические или не существует |
|
|
4. Отметить |
|
|
5. Относительно |
|
6. Записать |
возрастает при |
|
убывает |
|
|
Точки экстремума: Экстремумы: |
|
Наибольшее и наименьшее значение |
|||
|
Свойства |
|||
|
Если функция непрерывна |
|||
|
Примеры |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нахождение наибольшего и наименьшего непрерывной |
|||
|
Схема |
Пример Найти
при |
||
|
1. Найти производную |
|
||
|
2. Найти критические ( |
|
||
|
3. Выбрать |
Заданному отрезку |
||
|
4. Вычислить |
|
||
|
5. Сравнить |
|
|
АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ |
||
|
Определение. к при |
||
|
Вертикальные асимптоты (х = а) |
||
|
асимптота Вертикальная |
||
|
Примеры |
||
|
|
|
|
|
О.О. При При X
|
О.О. При X
|
О.О. При (слева) y→+∞ При (справа) y→-∞ X –
|
Таблица 5.
|
Наклонные и |
|
|
1. |
|
|
Пример 1 |
Пример 2 |
|
При т.е.
– наклонная
вертикальная |
При т.е.
– горизонтальная
вертикальная |
|
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
Для примера 1 |
Для примера 2 |
|
– наклонная |
– горизонтальная |
Таблица 6.
|
ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА |
|
|
Понятие второй |
|
|
|
Пусть функция дифференцируема, то ее производную и (или |
|
Пример. |
|
|
Понятия |
|
|
Пусть функция определена Тогда |
|
|
|
Если в некоторой (кроме направлен |
|
|
Если в некоторой (кроме направлен |
|
|
Если точка оси абсцисс обладает тем свойством, переходит с одной стороны касательной называется точкой перегиба функции , – – точка В : кривая ниже касательной, а при |
|
Достаточные которая |
|||
|
Условие |
Условие |
||
|
Если в каждой |
|
Если в каждой график направлен |
|
|
Замечание:
Эти условия
Например, график хотя ее вторая производная |
|
||
|
Нахождение |
|||
|
Необходимое |
Достаточное |
||
|
В ее |
Если имеет и , |
||
|
Исследование на выпуклость, вогнутость и точки |
|||
|
Схема |
Пример. |
||
|
1. Найти область |
Область определения: Функция |
||
|
2. Найти вторую |
|
||
|
3. Найти внутренние или не |
|
||
|
|
|||
|
4. Отметить |
|
||
|
5. Записать |
В интервале направлен направлен Точки |
Пример 1:
Исследовать
функцию
и построить график функции.
Т.к. знаменатель
заданной функции не должен быть равен
нулю, то можем записать:
Функция определена
на трех указанных участках.
2.
Функция четная,
график функции симметричен оси OY.
Функция не
периодическая.
3. Точки пересечения с осями координат.
Точка пересечения
с осью OY
(0;2), точек пересечения с осью OX
нет.
4. Производная и критические точки.
5. Промежутки
возрастания, убывания, точки экстремума.
На рисунке
представлено изменение знака первой
производной и поведение функции на
участках области определения.
Точка Х0(0;2)
– точка минимума функции.
6. Поведение
функции на концах области определения
и асимптоты.
При :
Следовательно, мы
имеем две вертикальные асимптоты
Наклонные и
горизонтальные асимптоты типа: y=kx+b
находим по формулам:
Уравнение асимптоты
примет вид: y=0*x-1=-1.
Горизонтальная
асимптота: Y=-1.
7. Вторая производная
и исследование функции на выпуклость
и вогнутость.
– не существует в
точках +2 и -2.
Знак производной
меняется в указанных точках.
На рисунке
представлено изменение знака второй
производной и поведение функции на
участках области определения.
8. Контрольные
точки.
Для более наглядного
представления поведения графика функции
определим значение функции в точках:
9. График функции
представлен на рисунке.
Красным цветом
отмечены асимптоты графика и найденные
по результатам исследования точки.
Пример 2:
Исследовать
функцию
и построить график функции.
1. Область определения функции:
Т.к. под знаком
логарифма может стоять только положительное
выражение, то можем записать следующее:
Функция определена
на указанном участке.
2.
Функция ни нечетная,
ни четная, не периодическая.
3. Точки пересечения с осями координат.
Точек пересечения
с осью OY
нет. Точка пересечения с осью ОХ: х=8.
4. Производная и критические точки.
5. Промежутки
возрастания, убывания, точки экстремума.
На рисунке
представлено изменение знака первой
производной и поведение функции на
участках области определения.
точек экстремума
нет.
возрастает
на всей области определения
6. Поведение
функции на концах области определения
и асимптоты.
При :
Следовательно, мы
имеем вертикальную асимптоту
Наклонные и
горизонтальные асимптоты типа: y=kx+b
находим по формулам:
наклонных и
горизонтальных асимптот нет.
7. Вторая производная
и исследование функции на выпуклость
и вогнутость.
Вторая производная
не меняет знак на всей области определения.
выпуклость
вверх
8. Контрольные
точки.
Для более наглядного
представления поведения графика функции
определим значение функции в точках:
9. График функции
представлен на рисунке.
Красным цветом
отмечены асимптоты графика и найденные
по результатам исследования точи.
Пример 3:
Исследовать
функцию
и построить график функции.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Область определения функции: понятие
Функция задается тогда, когда любому значению, например x соответствует любое значение y. Независимой переменной называют значение х или по другому — аргументом. Числовое значение y, как правило, является зависимой переменной.
Данная зависимость между x и y в алгебре называют функциональной. Записывают ее в виде функции y = f(x)
Другими словами, функция, это когда значения одной переменной зависят от значений другой переменной.
Далее можно сформулировать определение область функции. То есть, на какой промежуток действе функции распространяется.
Определение
В математике под областью определения функции понимают множество, которое включает в себя все значения аргумента. Если функция имеет предел, то он является значением аргумента при котором функция возрастает или убывает. Область определения функции также называется областью допустимых значений функции.
Область функции можно выразить геометрически. Например, в виде графика. Где за основу берутся оси х и y.
Ограничение области определения
Область ограничения действительных чисел может быть от [(0 ;+infty)].
Например: [-4;1)U[5,7).
Область определения может указывать на следующие характеристики:
- деление функции как [y=x+frac{2 cdot x}{x^{4}-1}];
- корень четной степени и переменная под корнем:
[=sqrt{x+1} text { или } y=sqrt[n]{2^{2 cdot x+1}}]
- переменная в основании степенного значения
- логарифмическая переменная [y=ln frac{x^{4}+x}{8} ; y=2+]. Значения основания должно быть положительным. Также, как и логарифмическое значение.
- переменная тангенса и котангенса в виде следующего уравнения: y=arcsin (x+4)+4*x2.
Если отсутствует хотя бы один из перечисленных характеристик область определения функции определяется иначе.
Пример 1: [y=frac{x^{4}+2 x-x+2}{4}+2 frac{2}{3} cdot x], в данном множестве нет переменной, поэтому и решается оно иначе.
Пример 2: [y=frac{3}{x-1}], нужно вычислить область определения. Обязательно, при решении нужно уделить внимание на знаменатель. Потому что, по законам алгебры деление на ноль запрещено.
Получаем следующее действие:[frac{3}{x-1}].
Область значения не должна быть равной единице, так как в знаменателе получим нулевое значение. Отсюда область определения будет в пределах [(-infty, 1) cup(1,+infty)].
Область определения для суммы, разности и произведений числовых значений
Чтобы правильно уметь определять данную область, нужно знать следующие утверждения: если функция вычисляется, при помощи суммы: [f_{1}+f_{2}+ldots f_{n} text { или } mathrm{y}=f_{1}+f_{2}+ldots f_{n}]
Область определения будет следующего вида: [mathrm{D}(mathrm{f})=mathrm{D}left(f_{1}right)left(f_{2}right) ldotsleft(f_{n}right)]
Пример суммы числовых значений: возьмем уравнение: [y=x^{7}+x+5+t g x].
Решение: уравнение представлено в виде суммы нескольких значений, где степень равна семи, показатель один.
Области определения tg характерны все действительные числа.
Ответ: для заданной функции относится пересечение областей или количество действительных чисел кроме [pi / 2+pi cdot n cdot n in z]
Пример разности значений:
Пример произведения чисел:
Сложные функции х и y и их область определения и значения
Сложная функция имеет следующий вид: [mathrm{y}=f_{1}left(f_{2}(mathrm{k})right)]
D (f) — множество значений;
Пересечение двух множеств и будет являться областью определения функции сложного типа.
[mathrm{k} in Dleft(f_{2}right) text {и } D f_{2}(x) in Dleft(f_{1}right)]
Примеры:
[y=ln x^{2}]
Представим функцию в виде: [mathrm{y}=f_{1}left(f_{2}(mathrm{k})right)]
Используем изученные в данном уроке области определения:
Исходя из этого получаем систему неравенства:
Ответ: все действительные числа, кроме нуля.
Область определения функции в виде дробного значения
Когда функция задается выражение в виде дроби. Переменная значений находится в знаменателе. Следовательно, область определения являются действительные числа. Исключением служит число, которое приведет знаменатель к нулевому значению.
Пример №1: [y=frac{x-4}{x+4}]. Решив уравнение, определим искомое значение области определения. Которое является [-infty ;-4 cup-4 ;+infty]
Пример №2: [y=frac{1}{x^{2-1}}];
[x^{2-} 1=0 Rightarrow x^{2} Rightarrow x_{1}=-1 quad x_{2}=1]
Искомая область: [-]-infty ;-1[cup]-1 ; 1[cup] 1 ;+infty[.]
Пример №3. [y=cos x+frac{3}{x^{2}-4}].
Первое слагаемое имеет область определения множество действительных чисел. Второе — также все числа, кроме -2 и 2, они приведут знаменатель к нулю. Область определения должна соответствовать условиям двух слагаемых и равняться действительным числам, кроме -2 и 2.
Область определения тригонометрических функций
Множество значений всех действительных чисел, будет являться областью определения функций синус и косинус, и записываться следующим образом.
Функции являются ограниченными, как сверху, так и снизу, y = sin x и y = cos x. Промежуток их действия сводится к неравенству -1 ≤ y ≤ 1
Областью определения функции тангенс tg x, является выражение [mathrm{x} neq frac{pi}{2}+pi k, mathrm{k} in z].
Областью определения функции y = ctg x является множество чисел [x neq frac{pi}{2}, quad k in z].
На нижеприведенных примерах подробно расписано решение задач, при определении области функции, при заданных промежутках значений.
Пример №1
Определить область значения функции sin x
Данный вид функции относится к категории периодической. Ее период равняется 2п.
Определяем множество значений на следующем отрезке:( 0;2).
Пример №2:
Необходимо определить область значения функции cos x.
Наименьшее значение равно -1;
Минимальное значение косинуса равняется -1, потому что наименьшее значение х, на окружности стремится к этому значению и следовательно равняется -1.
Максимальное значение косинуса будет соответственно 1. Поскольку значение на окружности х имеет число 1.
Область значение, следовательно, будет от минус одно до плюс одного. [-1;1].
Применяем двойное неравенство и записывает следующее выражение:
[-1 leq cos x leq 1]
Область значения косинуса никогда не зависит от аргумента, только если сам аргумент выражен в виде сложного выражения. Где имеют место ограничения касающиеся области определения и области значения.
Таким образом, минимальное значение cos x, cos (15a), cos(5-11x) и так далее, будет однозначно равняться -1;
Самым максимальным значением cos x, cos(4φ), cos(5х+3) равняется 1.
Область значений функции y=cos x — также промежуток [-1;1].
Область значения квадрата косинуса, будет промежуток от нуля до единицы[0;1]. Потому что число в четной степени, является не отрицательным.
Аналогичным образом находим область значений модуля косинуса — промежуток [0;1]
[0 leq(cos a) leq 1]
Пример №3
y = tgx на определенном интервале [left(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2}right)]
Решение:
Из правил алгебры, известно, что производная тангенса имеет положительное значение. Соответственно функция будет иметь возрастающую характеристику.
Далее необходимо определить поведение функции, в заданных пределах.
Выполнив решение, мы получаем рост значений от минус до плюс бесконечности. Решение будет сводиться к следующему: множество решение заданной функции, будет множество всех действий функции.
Пример №4
[y=(arcsin x)=frac{1}{sqrt{1-x^{2}}}] на определенном интервале (-1;1).
Решение:
Для всех значений x производная будет положительной, в пределах от -1;1
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Область определения показательной и логарифмической функции
Показательная функция записывается как: y = kx, где значения:
- x — показатель степени;
- k — число, которое обязательно больше нуля и не равно единице.
Определение
Область определения показательной функции — это множество значений R.
Основные примеры показательных функций:
Область определения, для этих функций, записывается следующим образом: [(-infty,+infty)].
Логарифмическая функция выражается как: y=log nk
Где значение n, имеет значение больше нуля и не менее единицы.
Определение
Область определения логарифма и логарифмической функции — это множество положительных значений и действительных чисел.
Рассмотрим на примере, характер решения задачи данной функции.
Пример №1:
y = lnx , определить область определения натурального логарифма.
[D(y)=(0 ;+infty)]
На заданном интервале, производная будет иметь положительное значение, и функция будет возрастать на всем промежутке.
[y=ln x=frac{1}{x}]
Определим односторонний предел при, стремлении аргумента к нулю и когда значение x стремится к бесконечности.
Из данного решения мы видим, что значения будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Из этого следует, что множество всех действительных чисел – является областью значений функции натурального логарифма ln.
Ответ: множество всех действительных чисел, это и есть область значений функции ln.
Определения области значения функции x
На примерах рассмотрим, как определить области значений функции.
Первоначально, необходимо определить значения непрерывной функции y=f(x).
Известно, что функция непрерывная и достигает своих максимальных max f(x) и минимальных min f(x) значений, на разных периодах. Из этого следует отрезок, где находятся значения исходной функции. Тогда решение состоит в нахождении точек максимума и минимума.
Пример №1 :
Необходимо вычислить область значений уравнения y = x4 — 5x3 + 6x2 на отрезке [ 1 ; 4 ] [1; 4].
Для решения задачи необходимо произвести следующие действия:
Следующим шагом будет определение значений функции в конечной и начальной точках.
Ответ: [left(frac{117-165 cdot sqrt{33}}{512} ; 32right)]
Пример №2.
Необходимо вычислить область значений уравнения
y = x4 — 7x3 + 5x2 на отрезке [ 1 ; 4 ] [1; 4].
Для решения задачи необходимо произвести следующие действия:
Следующим шагом будет определение значений функции в конечной и начальной точках.
Ответ: [left(frac{231-165 cdot sqrt{33}}{512} ; 34right)]
Пример №3 :
На этом примере подробно рассмотрим, как вычисляются значения непрерывной функции y= f(x), в определенных промежутках.
Для этого, первоначально вычислим:
- наименьшее и наибольшее значение;
- определим промежуток возрастания и убывания функции;
- односторонние пределы;
- предел бесконечности.
Решение:
Для решения возьмем функцию [y=frac{1}{x^{2}-4}] и вычислим область значений на промежутке (-2;2).
Находим наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке.
Из данных вычислений видно, что максимальное значение равно 0, так как в этой точке происходит перемена знака функции и соответственно функция начинает убывать.
А именно: [y(0)=frac{1}{0^{2}-4}=-frac{1}{4}]
[-frac{1}{4}] — будет являться наибольшим значение заданной функции.
Следующим шагом в нашем решении, будет выяснение направления функции. Когда x значение стремится к (-2) и (+2).
В алгебре иными словами эти значения называют односторонними пределами.
Решение выглядит следующим образом.
В конечном итоге мы получаем, что в пределах от -2 до 0, функции будут возрастать [text { От }-infty text { до }-frac{1}{4} text {. }]
Если аргумент меняется, от 0 до то наоборот будет убывать к [-infty].
Следовательно, необходимое множество значений будет на интервале [-infty text { до }-frac{1}{4}].
Ответ: [left(-infty-frac{1}{4}right)]
Область определения функции y
Пример №1:
Данная функция имеет определенное значение, только при положительных значениях. [D(y)=(0 ;+infty)].
Производная будет иметь следующий вид: [y=(ln x)=frac{1}{x}].
Так как функция имеет положительное значение, то на всем промежутке будет наблюдаться ее возрастание. От [-infty text { до + — }].
Поэтому область значения — это множество всех натуральных значений.
Пример №2:
У функции [y=frac{9}{z^{2}-1}];
Если значение z имеет положительное значение, то функция будет считаться определенной.
Вычислим наибольшее и наименьшее значение, а также промежутки возрастания и убывания.
Если значение x будет больше, либо равным 0,то функция будет убывать.
Если значение x будет меньше либо равным нулю , функция будет возрастать.
Затем рассмотрим поведение функции и ее значения на бесконечной прямой.
Вывод: если аргумент изменяется от [-infty] до 0, тогда значение функции увеличиваются от 0 до 9 . Когда значения аргумента меняются от 0 до [+infty], значения функции будут уменьшаться от 9 до 0.
Пример №3:
Определить область значений [y=frac{x}{x-2}];
По правилам математики, знаменатель не может равняться нулю. Поэтому: [D(y)=(-infty ; 2)(+infty ; 2)].
Определим множества на первом отрезке. [(-infty ; 2)]. На этом отрезке функция будет убывающей и значение отрицательным:
Функция ассиметрично начнет приближаться к 1, когда аргумент будет изменяться к минус бесконечности.
Определим множества на втором отрезке [(+infty ; 2)].
На этом отрезке функция будет также убывающей:
Нужно посмотреть, какой вид имеет функция.
Часто область определения функции просят найти у функций, которые являются дробями, либо же являются иррациональными (содержат один или несколько радикалов), либо содержат логарифм.
Итак, рассмотрим эти три основных случая:
1) если функция имеет вид дроби (дробно-рациональная функция), то её область определения есть то множество значений аргумента, при котором знаменатель не обращается нулю.
Например, функция y = 1/[(x – 1)(x + 2)].
Знаменатель этой функции превращается в нуль при x = –2 и при x = 1.
Следовательно, область определения данной функции будет множество: (-беск.; –2) U (–2; 1) U (1; +беск.)
На числитель можно вообще не обращать внимания. Он не играет роли.
2) если функция содержит хотя бы один радикал чётной степени, то областью её определения будет являться множество значений аргумента, при котором значение каждого радикала чётной степени больше или равно нулю.
Буду обозначать знак корня как sqrt.
Например, имеем функцию: y = [sqrt (x – 3)]*[ sqrt (5 – x)]
Радикал имеет смысл, когда подрадикальное выражение неотрицательно.
А значит, первый радикал имеет смысл при x >= 3, второй — при x <= 5.
Для того чтобы найти область определения данной функции, нужно найти пересечение этих двух множеств. Оно равно [3; 5].
Итак, областью определения функции y = [sqrt (x – 3)]*[ sqrt (5 – x)] равняется множество [3; 5].
3) если функция представляет собой логарифм, то её областью определения служит множество, при котором логарифмируемое выражение строго положительно.
Например, функция y = lg (x – 16). Её областью определения является множество (16; + беск.). Скобка при числе 16 круглая, потому что логарифмируемое выражение должно быть строго больше нуля.
В большинстве прочих случаев (то есть когда функция не содержит ни дробей, ни корней, ни логарифмов)— множеством определения функции является вся числовая прямая.
Например, у функции y = x^3 – 6x^2 + 7 область определения равна R.
Home » 9 класс » Определение числовой функции. Область определения функции. Область значения функции.
Что такое область определения функции? что такое область значения функции? Давайте, в этой статье разберемся в понятиях числовой функции и ее характеристиках и свойствах.
Определение функции.
Функция y=f(x) — это когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y или другими словами такая зависимость переменной y от переменной x.
х — называется независимой переменной или аргументом.
y – называется зависимой переменной или значением функции.
Множество чисел, где x∈X или D(f) — называется областью определения функции. Это множество всех допустимых значений переменной х.
Область значений функций, когда задаем правило или функцию, которая позволяет по произвольно выбранному значению x∈D(f) вычислить соответствующее значение y.
Переменную х или аргумент мы придумываем сами и подставляем в правило, которое задали или функцию. Далее рассчитываем переменную y или значение функции.
В тех диапазонах в которых существует переменная х называется областью определения функции.
В тех диапазонах в которых существует переменная y называется областью значения функции.
Графиком функции y=f(x), x∈X называется множество точек (x; f(x)) координатной плоскости.
Разберём пример №1:
Найдите область определения и область значения числовой функции y=x2
Решение:
Вместо переменной x мы можем брать любые числа и просчитать переменную y.
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
По графику также видно, что сколько бы угодно мы не проводили линий через ось х, мы найдем пересечение с графиком.
Следовательно, раз нет ограничений по переменной x она существует от -∞ до +∞ или краткая запись x∈(-∞; +∞). Область определения, это диапазон чисел, которые можно подставить в определенную формулу графика, если ограничений нет, то D(f) = (−∞; +∞).
А теперь рассмотрим переменную у. В таблице мы видим, что переменная y принимает положительные значение, так как и самое минимальное значение 0. Следовательно, y∈[0; +∞).
Если посмотрим на график, то увидим, что графика ниже нуля нет. Следовательно, область значения функции E(f) = [0; +∞).
Ответ: D(f) = (−∞; +∞), E(f) = [0; +∞).
Разберём пример №2:
Найдите область определения и область значения числовой функции y=x+1?
Решение:
Вместо переменной x мы можем брать любые числа и просчитать переменную y.
| x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
По графику также видно, что сколько бы угодно мы не проводили линий через ось х, мы найдем пересечение с графиком.
Следовательно, раз нет ограничений по переменной x она существует от -∞ до +∞ или краткая запись x∈(-∞; +∞). Область определения, это диапазон чисел, которые можно подставить в определенную формулу графика, если ограничений нет, то D(f) = (−∞; +∞).
Рассмотрим переменную у. В таблице мы видим, что переменная y также принимает значения как в положительном, так и в отрицательном направлении. Следовательно, ограничений у переменной y нет, y∈(−∞; +∞). Область значения функции E(f) = (−∞; +∞).
Ответ: D(f) = (−∞; +∞), E(f) = (−∞; +∞),
