В предыдущем уроке мы подробно разобрали,
как построить параболу.
В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.
Как найти нули квадратичной функции
Запомните!
Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно
в исходную функцию подставить вместо «y» число
ноль.
Рассмотрим задачу.
Найти нули квадратичной
функции «y = x2 − 3».
Подставим в исходную функцию вместо «y» ноль и решим полученное
квадратное уравнение.
0 = x2 − 3
x2 − 3 = 0
x1;2 =
| 0 ± √02 − 4 · 1 · (−3) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 = ±√3
Ответ: нули функции «y = x2 − 3» :
x1 = √3;
x2 = −√3 .
Как найти при каких значениях
«x» квадратичная функция принимает заданное
числовое значение
Запомните!
Чтобы найти при каких значениях «x» квадратичная функция принимает заданное числовое значение,
нужно:
- вместо «y» подставить в функцию заданное числовое значение;
- решить полученное квадратное уравнение относительно «x».
Рассмотрим задачу.
При каких значениях «x» функция
«y = x2 − x − 3» принимает значение
«−3».
Подставим в исходную функцию
«y = x2 − x − 3» вместо «y = −3» и
найдем «x».
y = x2 − x − 3
−3 = x2 − x − 3
x2 − x − 3 = −3
x2 − x − 3 + 3 = 0
x2 − x = 0
x1;2 =
| 1 ± √12 − 4 · 1 · 0 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
x1;2 =
| x1 = | x2 = |
| x1 = | x2 = |
| x1 = 1 | x2 = 0 |
Ответ: при «x = 0» и
«x = 1» функция «y = x2 − x − 3»
принимает значение «y = −3».
Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой
Запомните!
Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:
- приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся «x»);
- решить полученное уравнение относительно «x»;
- подставить полученные числовые значения «x»
в любую из функций и найти координаты точек по оси «Оy».
Рассмотрим задачу.
Найти координаты точек пересечения параболы «y = x2»
и прямой «y = 3 − 2x».
Приравняем правые части функций и решим
полученное уравнение относительно «x».
x2 = 3 − 2x
x2 − 3 + 2x = 0
x2 + 2x − 3 = 0
x1;2 =
| −2 ± √22 − 4 · 1 · (−3) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
| x1 = | x2 = |
| x1 = | x2 = |
| x1 = 1 | x2 = −3 |
Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в
«y = 3 − 2x») полученные
числовые значения «x», чтобы найти координаты
«y» точек пересечения.
1) x = −3
y = 3 − 2x
y(−3) = 3 − 2 · (−3) = 3 − (−6) = 3 + 6 = 9
(·) A (−3; 9) — первая точка пересечения.
2) x = 1
y = 3 − 2x
y(1) = 3 − 2 · 1 = 3 − 2 = 1
(·) B (1; 1) — вторая точка пересечения.
Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.
Ответ: точки пересечения параболы
«y = x2»
и прямой «y = 3 − 2x»:
(·) A (−3; 9) и
(·) B (1; 1).
Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы
Запомните!
Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси
«Ox» вместо
«x», а координату по оси
«Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.
- Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
- Если получится неверное равенство, значит, точка
не принадлежит графику функции.
Рассмотрим задачу:
Не строя графика функции «y = x2», определить, какие точки принадлежат ему:
(·) А(2; 6),
(·) B(−1; 1).
Подставим в функцию
«y = x2»
координаты точки (·) А(2; 6).
y = x2
6 = 22
6 = 4
(неверно)
Значит, точка (·) А(2; 6)
не принадлежит графику функции
«y = x2».
Подставим в функцию
«y = x2»
координаты точки (·) B(−1; 1).
y = x2
1 = (−)12
1 = 1
(верно)
Значит, точка (·) B(−1; 1)
принадлежит графику функции
«y = x2».
Как найти точки пересечения параболы с осями координат
Рассмотрим задачу
Найти координаты точек пересечения параболы
«y = x2 −3x + 2» с осями координат.
Сначала определим точки пересечения функции с осью «Ox».
На графике функции эти точки выглядят так:
Как видно на рисунке выше, координата «y» точек пересечения с осью «Ox»
равна нулю, поэтому подставим «y = 0» в
исходную функцию «y = x2 −3x + 2»
и найдем их координаты по оси «Ox».
0 = x2 −3x + 2
x2 −3x + 2 = 0
x1;2 =
| 3 ± √32 − 4 · 1 · 2 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
| x1 = | x2 = |
| x1 = | x2 = |
| x1 = 2 | x2 = 1 |
Запишем координаты точек пересечения графика с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).
Теперь найдем координаты точки пересечения с осью «Oy».
Как видно на рисунке выше, координата «x»
точки пересечения с осью «Oy» равна нулю.
Подставим «x = 0»
в исходную функцию
«y = x2 −3x + 2»
и найдем координату точки по оси
«Oy».
y(0) = 02 − 3 · 0 + 2 = 2
Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)
Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.
Ответ: точки пересечения с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).
С осью «Oy»: (·)C (0; 2).
Как определить при каких значениях x функция принимает
положительные или
отрицательные значения
Напоминаем, что когда в задании говорится «функция принимает
значения» — речь идет о
значениях«y».
Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях
«x», координата
«y» положительна или отрицательна.
Запомните!
Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:
- провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось «Ox»;
- определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
- записать ответ для каждого промежутка относительно «x».
Рассмотрим задачу.
С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить:
При каких значениях «x» функция принимает 1) положительные значения; 2) отрицательные значения.
Проведем через точки, где график функции пересекает ось «Ox» прямые.
Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.
Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает
«x» в каждой из выделенных областей.
Ответ: при «x < −1» и
«x > 2» функция принимает отрицательные значения;
при «−1 < x < 2» функция принимает
положительные значения.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
Функция вида 
, где 
называется квадратичной функцией.
График квадратичной функции – парабола.
Рассмотрим случаи:
I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА
, то есть 
, 
, 
Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:
Отмечаем точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:
Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай 
, , , то есть 
, то мы получим параболу, симметричную относительно оси (ох). Убедиться в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:
II СЛУЧАЙ, «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ
Что же будет, если мы будем брать 
, 
, 
? Как изменится поведение параболы? При 
парабола 
изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):
На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях 
ордината 
каждой точки умножилась на 4. Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.
А при 
парабола «станет шире» параболы :
Давайте подитожим:
III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «С»
Теперь давайте введем в игру 
(то есть рассматриваем случай, когда 
), будем рассматривать параболы вида 
. Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы вдоль оси 
вверх или вниз в зависимости от знака :
IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»
Когда же парабола “оторвется” от оси и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда 
перестанет быть равным 
.
Здесь для построения параболы нам понадобится формула для вычисления вершины: 
, 
.
Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу , что уже нам по силам. Если имеем дело со случаем , то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с , например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.
Например, вершина параболы 
:
, 
. Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы , ведь в нашем случае.
При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:
1) парабола обязательно пройдет через точку 
. Действительно, подставив в формулу x=0, получим, что 
. То есть ордината точки пересечения параболы с осью (оу), это . В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке 
, так как 
.
2) осью симметрии параболы является прямая 
, поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.
3) Приравнивая к , мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение 
. В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (
, 
), две (
, 
) или нИсколько (
) точек пересечения с осью (ох). В предыдущем примере у нас корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения с осью (ох) у нас будут (так как ), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.
Итак, давайте выработаем
Алгоритм для построения параболы, если она задана в виде 
1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a<0 – вниз)
2) находим координаты вершины 
параболы по формуле , .
3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену , строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение велико… пропускаем этот пункт…)
4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу . Если , то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с
5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение
Пример 1
Пример 2
Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде 
, где 
– некоторые числа (например, 
), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины 
. Почему?
Возьмем квадратный трехчлен 
и выделим в нем полный квадрат: 
Посмотрите, вот мы и получили, что 
, 
. Мы с вами ранее называли вершину параболы 
, то есть теперь 
, 
.
Например, 
. Отмечаем на плоскости вершину параболы 
, понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно ). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).
Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому 
(то есть представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.
Точки пересечения графика осями
Как найти точки пересечения графика функции с осями координат?
С осью абсцисс график функции может иметь любое количество общих точек (или ни одной). С осью ординат — не более одной (так как по определению функции каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции).
Чтобы найти точки пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс, надо решить уравнение f(x)=0 (то есть найти нули функции).
Чтобы найти точку пересечения графика функции с осью ординат, надо в формулу функции вместо каждого x подставить нуль, то есть найти значение функции при x=0: y=f(0).
1) Найти точки пересечения графика линейной функции y=kx+b с осями координат.
В точке пересечения графика функции с осью Ox y=0:
kx+b=0, => x= -b/k. Таким образом, линейная функция пересекает ось абсцисс в точке ( -b/k ; 0).
В точке пересечения с осью Oy x=0:
y=k∙0+b=b. Отсюда, точка пересечения графика линейной функции с осью ординат — (0; b).
Например, найдём точки пересечения с осями координат графика линейной функции y=2x-10.
2x-10=0; x=5. С Ox график пересекается в точке (5; 0).
y=2∙0-10=-10. С Oy график пересекается в точке (0; -10).
2) Найти точки пересечения графика квадратичной функции y=ax²+bx+c с осями координат.
В точке пересечения графика с осью абсцисс y=0. Значит, чтобы найти точки пересечения графика квадратичной функции (параболы) с осью Ox, надо решить квадратное уравнение ax²+bx+c=0.
В зависимости от дискриминанта, парабола пресекает ось абсцисс в одной точке или в двух точках либо не пересекает Ox.
В точке пересечения графика с осью Oy x=0.
y=a ∙ 0²+b ∙ 0+c=с. Следовательно, (0; с) — точка, в которой парабола пересекает ось ординат.
Например, найдём точки пересечения с осями координат графика функции y=x²-9x+20.
x1=4; x2=5. График пересекает ось абсцисс в точках (4; 0) и (5; 0).
y=0²-9∙0+20=20. Отсюда, (0; 20) — точка пересечения параболы y=x²-9x+20 с осью ординат.
Точки пересечения графика функции с осями координат
В алгебре и начале анализа можно встретить множество задач на поиск точек пересечения графиков функций с помощью их построения или другими методами. Благодаря определенному алгоритму действий, найти ответ достаточно просто. В большинстве случаев решение заключается в определении корней различного вида уравнений.
График функции (y = f(x)) является множеством точек ((x; y)) , координаты которых связаны соотношением (y = f(x).)
Равенство (y = f(x)) называют уравнением данного графика. Таким образом, график функции представляет собой множество точек (x; y), где x — является аргументом, а y — определяется как значение функции, соответствующее данному аргументу.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
В том случае, когда графики пересекаются в какой-то точке, можно сделать вывод о существовании общего решения системы уравнений. Определить координаты точки можно с помощью графического или аналитического метода. В первом случае требуется построить график уравнения с переменной. Аналитический метод поиска координат точек, в которых графики функций пересекаются, подразумевает решение уравнения, а найденные корни и являются искомыми точками.
Как найти координаты, примеры решения
Существует несколько способов решения подобных задач:
- Поиск точек пересечения графиков функций заключается в приравнивании обеих функций друг к другу. При этом все члены с х переносят в левую сторону, а оставшиеся – в правую. Затем остается найти корни уравнения, которое получилось после преобразований.
- Второй метод состоит в записи системы уравнения для ее последующего решения с помощью подстановки одной функции в другую.
- Третий способ подразумевает построение графиков функций, чтобы определить точки их пересечения визуально.
В качестве примера можно рассмотреть две линейные функции:
Данные функции являются прямыми. Их можно графически изобразить, если принять какие-либо два значения (x_1) и (x_2) и найти (f(x_1)) и ((x_2)) . Далее действия необходимо повторить с функцией (g(x)) . Затем достаточно легко определить визуально координаты точки пересечения рассматриваемых функций.
Важно отметить, что для линейных функций характерна лишь одна точка пересечения только в том случае, когда (k_1 neq k_2) . В противном случае (k_1=k_2) , а функции будут параллельными друг другу, в связи с тем, что k является коэффициентом угла наклона. При ( k_1 neq k_2) и (m_1=m_2) точка пересечения будет соответствовать (M(0;m)) . Данная закономерность упрощает решение многих подобных задач.
Имеются функции: (f(x) = 2x-5)
Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики рассматриваемых функций.
В первую очередь стоит отметить, что функции являются линейными. Важно обратить внимание на коэффициент угла наклона рассматриваемых функций:
По этой причине имеется лишь одна точка пересечения графиков функций. Определить ее можно путем решения уравнения:
Необходимо перенести члены с x в левую часть, а остальные — в правую:
В результате удалось найти x=8, что соответствует абсциссе точки пересечения графиков. Требуется определить ординату y с помощью подстановки x = 8 в любое из уравнений – в (f(x)) , либо в (g(x)) :
(f(8) = 2cdot 8 — 5 = 16 — 5 = 11)
Таким образом, M (8;11) – представляет собой точку, в которой пересекаются графики пары линейных функций.
Записаны две функции: (f(x)=2x-1)
Необходимо определить точки, в которых графики рассматриваемых функций пересекаются.
Таким образом, линейные функции параллельны между собой, что объясняет отсутствие точек пересечения их графиков.
Ответ: графики функций параллельны, точки пересечения отсутствуют.
Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики следующих функций: (f(x)=x^2-2x+1)
В данном случае функции являются нелинейными. Поэтому алгоритм решения задачи будет несколько отличаться от предыдущих примеров. В первую очередь следует приравнять уравнения:
Далее необходимо разнести в разные стороны уравнения члены с x и без него:
Таким образом, будет определена абсцисса искомой точки. Затем необходимо найти ординату у. Для этого нужно подставить (x = 0) в какое-либо из двух начальных уравнений. К примеру:
(f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1)
M (0;1) является точкой, в которой пересекаются графики функций.
Приравнивание функций друг к другу и нахождение корней
Выяснить, имеют ли точки пересечения графики функций, можно путем сравнения соответствующих тождеств и решения уравнения. Однако при этом допускается получение различных равенств с неизвестными. Тогда целесообразно воспользоваться специальными методиками.
Когда уравнение относится к первой степени или является линейным, решение получить достаточно просто. Метод заключается в переносе переменных величин в одну часть уравнения, а известных – в другую. Алгоритм действий:
- раскрытие скобок, приведение подобных коэффициентов;
- перенос членов с неизвестными в одну сторону, а с известными – в другую;
- математические преобразования;
- определение корня.
Квадратные уравнения решают с помощью одного из способов:
- разложение на множители;
- выделение полного квадрата;
- поиск дискриминанта;
- теорема Виета.
В первом случае представляется возможным понизить степень при неизвестной величине. Второй метод заключается в выделении квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Каждая из этих методик реализуема при наличии знаний соответствующих тождеств, в том числе правил разложения на множители.
Третий способ состоит в поиске корней через дискриминант (Д), который является дополнительным параметром, позволяющим сразу решить задачу. Дискриминант определяется с помощью формулы:
В том случае, когда Д>0, переменная может иметь пару значений, которые превращают равенство в справедливое тождество. Если Д=0, то корень является единственным. Когда Д<0, искомое тождество с неизвестными не имеет решений.
Квадратные уравнения решают таким образом:
- выполнение необходимых алгебраических преобразований, в том числе раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых;
- выбор наиболее оптимального способа решения и его реализация;
- проверка корней с помощью их подстановки в начальное выражение.
Распространенной ошибкой является пренебрежение проверкой результатов решения. Некорректные действия могут привести к образованию ложных корней.
Существует несколько методик решения тождеств кубического и биквадратного типов:
- понижение степени, то есть разложение на множители;
- замена переменной.
Первый вариант решения подразумевает выполнение преобразований для последующего применения одной из формул сокращенного умножения. Такой способ применяют нечасто. Второй способ состоит в том, что при решении необходимо ввести переменную с более низкой степенью, которая упрощает выражение. Порядок действий при этом следующий:
- выполнение математических преобразований;
- выражение переменной через другую;
- решение квадратного или линейного уравнения;
- подстановка промежуточных корней, которые получилось найти на третьем шаге, во второй;
- вычисление искомых корней;
- проверка;
- исключение ложных решений;
- запись ответа.
Путем составления системы уравнений
Данный метод определения точек пересечения графиков функций предполагает запись системы уравнения. К примеру:
Решение системы уравнений представляет собой пару чисел (х, у), являющуюся одновременно решением для первого и второго уравнения системы. Решить систему уравнений – значит, отыскать все ее решения, либо установить их отсутствие.
Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере:
Решение будет иметь следующий вид:
Данные уравнения являются линейными, поэтому график каждого из них представляет собой прямую. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и является решением системы уравнений.
Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:
Если подставить данные числа в любое из уравнений, то получится справедливое равенство. Таким образом, имеется единственное решение линейной системы. Можно записать отчет: (-1;0).
В процессе решения линейной системы можно столкнуться с разными ситуациями:
- система обладает единственным решением, прямые пересекаются;
- решения системы отсутствуют. прямые параллельны;
- система обладает бесчисленным множеством решений, прямые совпадают.
При рассмотрении частного случая системы p(x; y) и q(x; y) являются линейными выражениями от x и y.
В задачах нередко требуется решить нелинейную систему уравнений. К примеру, необходимо решить следующую систему:
Решение имеет следующий вид:
График первого уравнения будет иметь вид прямой, а второго – являться окружностью. Можно построить первый график по точкам:
Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.
Графики пересекаются в точке А(0; 1) и в точке В(-1; 0).
Можно решить систему графическим способом:
В первую очередь необходимо построить график первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения является параболой, которая смещена относительно начала координат на 2 вверх, то есть ее вершина – точка (0; 2).
Графики обладают одной общей точкой А(0; 2). Данная точка является решением системы. Если подставить два числа в уравнение, можно проверить корректность ответа и записать его. Ответ: (0; 2).
В качестве еще одного примера можно решить следующую систему:
Первым шагом является построение графика первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 1.
Далее необходимо построить график функции:
График будет являться ломанной:
Далее следует сместить ее на 1 вниз по оси oy. В результате получится график функции:
При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация:
Таким образом, получились три точки пересечения: А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1)
Нахождение через графическое построений функций
Любой определенный график задают с помощью соответствующей функции. Найти точки, в которых пересекаются графики, можно путем решения уравнения, имеющего вид:
Решение данного уравнения будет являться искомой точкой.
Построить график можно с помощью бумаги и ручки. В процессе необходимо обратить внимание на то, что количество точек пересечения пары графиков определяется видом функции. Линейные функции обладают лишь одной точкой пересечения, линейная и квадратная – двумя, квадратные – двумя, либо четырьмя.
В общем случае двух линейных функций можно предположить, что:
Для поиска точки пересечения графиков необходимо решить уравнение:
(y1=y2 или k1x+b1=k2x+b2)
После преобразований получится, что:
Далее нужно выразить x:
При известной координате точки по оси абсцисс следует определить координату по оси ординат. Таким образом, можно найти координаты точки пересечения графиков:
График функции y = f (х) представляет собой множество точек плоскости, координаты (х, у) которых соответствуют выражению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика определяют несколько значений довода х и для них рассчитывают соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика следует обнаружить его точки пересечения с осями координат.
С целью определить точку пересечения графика функции с осью y, нужно определить значение функции при х=0, то есть обнаружить f(0). В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции, изображенной на рисунке:
В данном случае при х=0 ((y=a*0+b)) функция равна b. Таким образом, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b). Когда пересекается ось абсцисс (ось Х) функция равна 0, то есть (y=f(x)=0) . Для того чтобы определить х, следует решить уравнение (f(x)=0) . В случае линейной функции получаем уравнение (ax+b=0) , откуда и находим (x=-b/a) . В результате можно сделать вывод, что ось Х пересекается в точке ((-b/a,0).)
При наличии квадратичной зависимости y от х, уравнение (f(x)=0) обладает двумя корнями. Таким образом, ось абсцисс пересекается два раза. В случае периодической зависимости y от х, например, (y=sin(x)) , график функции обладает бесконечным количеством точек пересечения с осью Х. Проверить корректность расчета координат точек, в которых пересекаются графики функций, можно с помощью подстановки найденных значений х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.
Квадратичная функция и её график
Парабола является графиком квадратичной функции, которая задается формулой y = ax 2 + bx + c.
Нарисовать параболу можно, используя таблицу значений, в которой мы выбираем произвольный х и находим у. Но не всегда этот способ является самым рациональным.
Начнем, как всегда, с простого)
Стандартная парабола.
Рассмотрим функцию y = ax 2 . Она также является квадратичной, просто b = c = 0.
При а = 1, мы получим функцию y = x 2 . Ее график назовем стандартной параболой, или классической (можешь называть как угодно). Начертить её можно с помощью таблицы значений:
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
На координатной плоскости отмечаем эти точки и чертим параболу.
Вершина этой параболы находится в точке (0; 0). И не забудь про то, что ветви параболы бесконечно поднимаются ввысь и не ограничены точками с координатами (3; 9) и (3; -9).
Еще одна стандартная парабола задается функцией y = —x 2 (в этом случае а = -1). Для этого графика я тоже напишу табличку:
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | -9 | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 | -9 |
Начало координат тоже является вершиной этой параболы, как и в предыдущем случае, но ветви уже будут направлены вниз:
Сразу напрашивается вывод: если перед х 2 стоит положительное число, то ветви параболы направлены вверх, если отрицательное — то вниз.
Если у тебя черный пояс по рисованию стандартных парабол, то следующий раздел пройдет у тебя “на ура”.
Параболы со смещенной вершиной.
Зачем я начала статью со стандартной параболы? Ответ прост. Графиком любой квадратичной функции y = ±x 2 + bx + c (обязательно коэффициент перед х 2 должен равняться ±1) является стандартной параболой, только вот вершины этих парабол не будут находится в начале координат.
Чтобы начертить подобные параболы нужно сначала узнать, где находится вершина.
Пусть вершиной параболы будет точка О с координатами (x1; y1). Тогда найти эти координаты можно по формулам:
Кстати, можно найти координаты вершины и другим способом.
Координату хО находим по той же формуле, а координату уО можно найти подстановкой координаты хО в функцию.
Без примера не обойтись)
Дана функция y = x 2 — 4x + 4. Найдите вершину параболы и постройте график.
Найдем сначала вершину параболы двумя способами, чтобы убедится, что оба способа рабочие.
1 способ: по формулам.
2 способ: подстановкой.
Одну координаты мы уже нашли по формуле. Подставляем ее в исходную функцию.
Итак, получили, что О(2; 0) — вершина параболы. Отмечаем ее на координатной плоскости.
Перед х 2 стоит положительное число, значит ветви параболы направлены вверх. Наша задача: нарисовать стандартную параболу, представив, что точка О — начало координат. Если тебе это сложно сделать, то необходимо начертить таблицу значений и уже по ней рисовать параболу.
Параболы-стройняшки и параболы-пухляшки.
Удивительно, но числовой коэффициент перед х 2 оказывается влияет на стройность и полноту парабол.
Если числовой коэффициент лежит в промежутке (-1; 0) ∪ (0; 1), то парабола будет более обширно смотреться на координатной плоскости.
А если числовой коэффициент лежит в промежутке (-∞; -1) ∪ (1; +∞), то парабола будет прижиматься к оси Оу и занимать меньше места на плоскости.
Не веришь? Давай проверим! Для примера возьмем две функции:
К сожалению, здесь схитрить не получится: обе параболы нестандартные и для обеих необходимо создать таблицы значений. Но перед эти определимся с их вершинами.
Пусть вершиной первой параболы будет точка А(хА; уА), а вершиной второй параболы — точка B(хB; уB). Вершины буду находить по второму способу (см. выше).
Переходим к таблицам значений.
| x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| y | 3 | 6 | 7 | 6 | 3 |
| x | -1,5 | -1 | -0,25 | 0 | 1 |
| y | -3 | 1 | 4,5 | 3 | -3 |
Чертим обе параболы по получившимся координатам.
Вот о чем я и говорила) Перед тобой парабола-стройняшка и парабола-пухляшка во всей красе.
А ты заметил, что свободный член в уравнении функции — это точка пересечения графика с осью Оу? В обеих функциях свободный член равен 3 и графики пересекают ось Оу в точке с координатами (0; 3).
Практикум по параболам.
Теорию о параболах можно еще писать и дальше, но тебя, скорее всего, интересует практика по графикам.
Поскольку речь идет о параболах, то с параболами мы и будем сейчас возиться.
Задание 1. На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
Решение. Коэффициент а, стоящий перед х 2 , отвечает за направление ветвей параболы, а свободный член с — за пересечение графика с осью Оу.
А) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с отрицателен, то график пересекает ось Оу ниже нуля. Подходит график 1.
Б) Если коэффициент а отрицателен, то ветви направлены вниз; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 3.
В) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 2.
Задание 2 (наоборот). На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
А) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 3.
Б) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу ниже нуля, значит и с < 0. Подходит вариант под номером 1.
В) Ветви направлены вниз, значит а < 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 2.
Задание 3. Установите соответствие между графиками и их функциями.
График В отличается от остальных тем, что его ветви направлены вниз. За направление ветвей отвечает коэффициент перед х 2 — он отрицательный. Отрицательный коэффициент только в функции под номером 3. Значит В-3.
Дальше рекомендую отработанную годами технику. Она минимизирует твои ошибки, если ты, конечно, умеешь считать)
Итак, рассматриваем график А и выбираем на нем точку с красивыми координатами (красивые значит не дробные). Мне нравится тут вершина. Ее координаты (4; -3). Даже не спрашивайте почему не прорисованы оси; эти задания взяты с сайта ФИПИ)
Теперь эти координаты подставляем в оставшиеся функции: вместо у подставляем -3, а вместо х подставляем 4.
Подставляем в первую функцию: -3 = 2 · 4 2 — 16 · 4 + 29; -3 = -3 — верно. Значит, А-1.
Задание 4 (наоборот, но принципе тот же). Установите соответствие между функциями и их графиками.
Очевидно, что В-2.
На графике 1 выбираем точку. Вершина снова четкая, но для разнообразия давайте возьмем другую точку, например, точку с координатами (-4; 1). Будь внимателен и смотри, чтобы точно такой же точки не было на третьем графике!
Подставляем в функцию А: 1 = (-4) 2 + 4 · (-4) + 1; 1 = 1 — верно. Значит, А-1.
Если ты считаешь, что чего-то не хватает или у тебя есть ещё задания из первой части, связанные с параболами, — напиши мне в VK)
Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат
В §28 данного справочника мы показали, что квадратный трёхчлен можно представить в виде:
$$ ax^2+bx+c = a(x+ frac{b}{2a})^2-frac{D}{4a}, D = b^2-4ac $$
Мы получаем:
- ось симметрии $x = -frac{b}{2a}$
- вершину параболы на оси симметрии $(–frac{b}{2a}; -frac{D}{4a})$
- точку пересечения (0;c) с осью OY
Любая парабола $y = ax^2+bx+c, a ≠ 0$ пересекается с осью OY в единственной точке (0;c).
Количество точек пересечения параболы $y = ax^2+bx+c$ с осью OX зависит от знака дискриминанта.
Если $D gt 0$, парабола имеет две точки пересечения с $x_1,2 = frac{-b pm sqrt{D}}{2a}$ на оси OX.
Если D = 0, парабола имеет одну точку пересечения $x_0 = -frac{b}{2a}$, которая лежит на оси OX и является вершиной параболы.
Если $D lt 0$ у параболы нет ни одной точки пересечения с осью OX.
Точки пересечения параболы с осью OX
|
$a gt 0$ |
$a lt 0$ |
|
|
$D gt 0$ |
 |
 |
|
$x_(1,2) = frac{-b pm sqrt{D}}{2a}$ |
||
|
D = 0 |
 |
 |
|
$x_0 = -frac{b}{2a}$ |
||
|
$ D lt 0 $ |
 |
 |
|
${ varnothing }$-нет пересечений |
Точки пересечения двух парабол
На практике часто возникает задача «перехвата» одного тела другим, т.е. поиска точек пересечения двух траекторий; а тела в поле тяготения Земли нередко движутся по параболе.
Поэтому исследовать возможные точки пересечения двух парабол – важная прикладная задача. Пусть уравнения парабол:
$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, quad y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$
В точках пересечения выполняется равенство:
$$ a_1 x^2+b_1 x+c_1 = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$
$$ (a_1-a_2 ) x^2+(b_1-b_2 )x+(c_1-c_2 ) = 0 $$
Если ввести обозначения $A = a_1-a_2, B = b_1-b_2, C = c_1-c_2$, получаем уравнение:
$$ Ax^2+Bx+C = 0 $$
Количество решений этого уравнения в зависимости от нулевых и ненулевых значений параметров равно 11 и описывается схемой общего алгоритма решений квадратного уравнения (см.§25 данного справочника).
A = B = C = 0
$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $
$ c_1 = c_2 $
Две параболы совпадают
Бесконечное множество общих точек, $x in Bbb R$
$A = B = 0, C neq 0$
$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $
$ c_1 neq c_2 $
Параболы имеют вид
$y = ax^2+bx+c_1$
$ y = ax^2+bx+c_2 $
У них общая ось симметрии
$ x = -frac{b}{2a}$, одна парабола находится над другой.
Ветки сходятся только на бесконечности.
Точек пересечения нет
$A = 0, B neq 0, C = 0$
$ a_1 = a_2, b_1 neq b_2 $
$ c_1 = c_2 $
Параболы имеют вид
$y = ax^2+b_1 x+c$
$ y = ax^2+b_2 x+c $
Обе проходят через точку (0;c).
Это – единственная точка пересечения.
Одна точка пересечения
(0;c)
$A = 0, B neq 0, C neq 0$
$ a_1 = a_2, b_1 neq b_2 $
$ c_1 neq c_2 $
Параболы имеют вид
$y = ax^2+b_1 x+c_1$
$ y = ax^2+b_2 x+c_2 $
Абсцисса точки пересечения
$ x = – frac{C}{B} = -frac{c_1-c_2}{b_1-b_2}$
Одна точка пересечения (касание)
$A neq 0, B = 0, C = 0$
$ a_1 neq a_2, b_1 = b_2 $
$ c_1 = c_2 $
Параболы имеют вид
$ y = a_1 x^2+bx+c$
$ y = a_2 x^2+bx+c $
Пересекаются при x=0 (точка касания)
Одна точка пересечения (касание) (0;c)
$A neq 0, B = 0, C neq 0$
$ a_1 neq a_2, b_1 = b_2 $
$ c_1 neq c_2 $
Параболы имеют вид
$ y = a_1 x^2+bx+c_1$
$ y = a_2 x^2+bx+c_2 $
Не пересекаются, если
$- frac{c_1-c_2}{a_1-a_2} lt 0 $
Две точки пересечения
Если
$- frac{c_1-c_2}{a_1-a_2} gt 0 $
Пересекаются в двух точках
$$ x_{1,2} = pm sqrt{-frac{c_1-c_2}{a_1-a_2}} $$
Две точки пересечения
$A neq 0, B neq 0, C = 0$
$ a_1 neq a_2, b_1 neq b_2 $
$ c_1 = c_2 $
Параболы имеют вид
$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c $$
$$ y = a_2 x^2+b_2 x+c $$
Две точки пересечения
$ x_1 = 0 $
$$x_2 = -frac{b_1-b_2}{a_1-a_2}$$
Две точки пересечения,
одна из которых (0;c)
$A neq 0, B neq 0, C neq 0$
$ a_1 neq a_2, b_1 neq b_2 $
$ c_1 neq c_2 $
Все параметры парабол разные
Ищем дискриминант:
$$ D = B^2-4AC $$
Если $D gt 0$
Две точки пересечения
$$ x_1,2 = frac{-B pm sqrt{D}}{2A} $$
Две точки пересечения
Если D = 0
Одна точка пересечения (касание)
$$ x_0 = -frac{B}{2A} $$
Одна точка пересечения
(касание)
Если $D lt 0$
Точек пересечения нет
Точек пересечения нет
Внимание!
Если две параболы не совпадают, то они могут иметь 1) две точки пересечения; 2) одну точку пересечения; 3) ни одной точки пересечения.
Иметь ровно 3, 4, 5 и т.д. точек пересечения две параболы не могут!
Примеры
Пример 1. Найдите точки пересечения параболы с осями координат:
$а) y = 3x^2+2x-1$
Пересечение с осью OY: ${left{ begin{array}{c} x = 0 \ y = -1end{array} right.}$
Пересечение с осью OX:
$$ 3x^2+2x-1 = 0 Rightarrow (3x-1)(x+1) = 0 Rightarrow $$
$ Rightarrow left[ begin{array}{cc} {left{ begin{array}{c} x = frac{1}{3} \ y = 0 end{array} right.} \ {left{ begin{array}{c} x = -1 \ y = 0 end{array} right.} end{array} right.$ – две точки пересечения
$б) y = -4x^2-3x+1$
Пересечение с осью OY: ${left{ begin{array}{c} x = 0 \ y = 1end{array} right.}$
Пересечение с осью OX:
$$ -4x^2-3x+1 = 0 Rightarrow 4x^2+3x-1 = 0 $$
$$ (4x-1)(x+1) = 0 Rightarrow$$
$ Rightarrow left[ begin{array}{cc} {left{ begin{array}{c} x = frac{1}{4} \ y = 0 end{array} right.} \ {left{ begin{array}{c} x = -1 \ y = 0 end{array} right.} end{array} right.$ – две точки пересечения
$в) y = 5x^2-2x+1$
Пересечение с осью OY: ${left{ begin{array}{c} x = 0 \ y = 1end{array} right.}$
Пересечение с осью OX:
$$ 5x^2-2x+1 = 0 $$
$$ D = 2^2-4 cdot 5 cdot 1 = 4-20 = -16 lt 0 $$
Парабола не пересекает ось OX
$ г) y = -x^2+4x-4 $
Пересечение с осью OY: ${left{ begin{array}{c} x = 0 \ y = -4end{array} right.}$
Пересечение с осью OX:
$$ -x^2+4x-4 = 0 Rightarrow x^2-4x+4 = 0 Rightarrow $$
$$ Rightarrow (x-2)^2 = 0 Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 2 \ y = 0 end{array} right.}$$ – одна точка пересечения
Пример 2*. Даны две параболы
$$ y = 2x^2+5x+1 и y = x^2+3x+k $$
Найдите такое значение параметра k, чтобы параболы
1) имели две точки пересечения; 2) имели одну точку пересечения; 3) не пересекались.
По условию
$$ a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = 1, a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = k $$
$$ a_1 neq a_2, b_1 neq b_2 $$
A = 2-1 = 1, B = 5-3 = 2, C = 1-k
Нам необходимо рассмотреть 4 последних случая из представленных выше, в таблице §29.
1) Параболы имеют две точки пересечения в двух случаях:
1 случай: $c_2 = c_1$, k = 1
$$x_1 = 0, x_2 = -frac{B}{A} = -2$$
$${left{ begin{array}{c} y = 2x^2+5x+1 \ y = x^2+3x+1 end{array} right.} Rightarrow left[ begin{array}{cc} {left{ begin{array}{c} x_1 = 0 \ y_1 = 1end{array} right.} \ {left{ begin{array}{c} x_2 = -2 \ y_2 = -1 end{array} right.} end{array} right.$$
2 случай: $c_2 ≠ c_1, D gt 0$
$$ D = B^2-4AC = 2^2-4 cdot 1 cdot (1-k) = 4k gt 0 Rightarrow k gt 0 $$
Например, k = 4
$$ D = 4k = 16 = 4^2 $$
$$ x_1,2 = frac{-B pm sqrt{D}}{2A} = frac{-2 pm 4}{2} = left[ begin{array}{cc} x_1 = -3\ x_2 = 1 end{array} right. $$
Оба случая можем объединить требованием $k gt 0$.
2) Параболы имеют одну точку пересечения, если:
$$ D = 4k = 0 Rightarrow k = 0 $$
$${left{ begin{array}{c} y = 2x^2+5x+1 \ y = x^2+3x end{array} right.} $$
$$ x_0 = frac{-B}{2A} = -1 $$
3) Параболы не имеют общих точек, если:
$$ D = 4k lt 0 Rightarrow k lt 0 $$
Например, k = -1
Ответ: 1) $k gt 0$; 2) k = 0; 3) $k lt 0$
Пример 3. Две параболы с общей вершиной
Найдите соотношение параметров двух парабол, при котором они будут пересекаться в одной точке – вершине парабол.
Пусть уравнения парабол:
$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$
Координаты вершин:
$$ left( -frac{b_1}{2a_1}, – frac{D_1}{4a_1} right), left(- frac{b_2}{2a_2},- frac{D_2}{4a_2} right) $$
По условию:
$$ {left{ begin{array}{c} -frac{b_1}{2a_1} = -frac{b_2}{2a_2} \ -frac{D_1}{4a_1} = -frac{D_2}{4a_2} end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{b_1}{a_1} = frac{b_2}{2a_2} \ frac{D_1}{a_1} = frac{D_2}{a_2} end{array} right.} $$
Получаем две пропорции, которым параметры уравнений должны удовлетворять одновременно.
Пример 4. Используя результаты примера 3, найдите две параболы, у которых такая же вершина, как у $y = frac{x^2}{2}-3x+1$.
Координаты вершины:
$$ x_0 = – frac{b}{2a} = – frac{-3}{2 cdot frac{1}{2}} = 3, D = b^2-4ac = 3^2-4 cdot frac{1}{2} cdot 1 = 7 $$
$$ y_0 = – frac{D}{4a} = – frac{7}{4 cdot frac{1}{2}} = -3,5 $$
Уравнение искомой параболы: $y = ax^2+bx+c$
Пропорции для параметров (см. пример 3):
$$ {left{ begin{array}{c} frac{b}{a} = frac{-3}{1/2} = -6 \ frac{D}{a} = frac{7}{1/2} = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ D = 14a end{array} right.} $$
Пусть для искомых двух парабол a=1 и a=-0,2 (можно взять любые другие значения). Получаем:
$$ {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6a = -6 \ D = 14a = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ b^2-4ac = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ 36-4c = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ c = frac{36-14}{4} = 5,5 end{array} right.}$$
$$ y = x^2-6x+5,5 $$
$$ {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = -6a = 1,2 \ D = 14a = -2,8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = 1,2 \ 1,2^2-4 cdot (-0,2)c = -2,8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = 1,2 \ c = – frac{1,44+2,8}{0,8} = -5,3 end{array} right.} $$
$$ y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$
Параболы
$$ y = frac{x^2}{2}-3x+1, y = x^2-6x+5,5, y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$
имеют общую вершину (3;-3,5)
Пример 5. Комета движется по параболической траектории, которая в выбранной системе координат описывается уравнением $y = frac{x^2}{3}-2x+5$.
Космический аппарат запускается из начала координат и также движется по параболической траектории. Рассчитайте уравнение этой траектории так, чтобы её вершина совпала с вершиной траектории кометы.
Координаты вершины траектории кометы:
$$ x_0 = -frac{b}{2a} = -frac{-2}{2 cdot frac{1}{3}} = 3, D = b^2-4ac = 2^2-4 cdot frac{1}{3} cdot 5 = – frac{8}{3} $$
$$ y_0 = – frac{D}{4a} = – frac{-8/3}{4 cdot 1/3} = 2 $$
Уравнение траектории космического аппарата: $y = ax^2+bx+c$.
Аппарат запускается из начала координат, т.е. его траектория пересекается с осью OY в точке (0;0). Значит, в уравнении параболы c = 0.
Пропорции для параметров (см. пример 3) с учетом c = 0:
$$ {left{ begin{array}{c} frac{b}{a} = frac{-2}{1/3} = -6 \ frac{D}{a} = frac{-frac{8}{3}}{frac{1}{3}} = -8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ D = b^2-4a underbrace{c}_{text{= 0 }} = b^2 = -8a end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ b^2 = -8a end{array} right.} Rightarrow $$
$$ {left{ begin{array}{c} b = frac{-8a}{-6a} = frac{4}{3} \ a = -frac{b}{6} = -frac{2}{9} end{array} right.} $$
Уравнение траектории космического аппарата с «перехватом» кометы в вершине:
$$ y = -frac{2}{9} x^2+ frac{4}{3} x $$
Парабола:
Определение: Параболой называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки F, называемой фокусом параболы, и прямой (l), называемой директрисой.
Получим каноническое уравнение параболы. Выберем декартову систему координат так, чтобы фокус F лежал на оси абсцисс, а директриса проходила бы через точку, расположенную симметрично фокусу, перпендикулярно к оси абсцисс (Рис. 34). Пусть точка M(х; у) принадлежит параболе: Вычислим расстояния от точки M(х; у) до фокуса и директрисы
Рис. 34. Парабола, (уравнение директрисы
.
Возведем обе части уравнения в квадрат
Раскрывая разность квадратов, стоящую в правой части уравнения, получим каноническое уравнение параболы: 
(а также аналогичные ему, см. Рис. 35а и Рис. 356).
Рис. 35а. Параболы и их уравнения.
Рис. 356. Параболы и их уравнения.
Найдем координаты точек пересечения параболы с координатными осями:
– точка пересечения параболы с осью абсцисс;- – точка пересечения параболы с осью ординат.
– точка пересечения параболы с осью абсцисс;
– точка пересечения параболы с осью ординат.Определение: Точка О(0; 0) называется вершиной параболы.
Если точка М(х; у) принадлежит параболе, то ей принадлежат и точка 
следовательно, парабола симметрична относительно оси абсцисс.
Пример:
Дано уравнение параболы 
Определить координаты фокуса параболы и составить уравнение параболы.
Решение:
Так как из уравнения параболы 
следует, что 
следовательно, 
Таким образом, фокус этой параболы лежит в точке 
а уравнение директрисы имеет вид 
Пример:
Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат, а параметр р равен расстоянию от фокуса гиперболы 
до её асимптоты.
Решение:
Для определения координат фокусов гиперболы преобразуем её уравнение к каноническому виду.
Гипербола: 
Следовательно, действительная полуось гиперболы 
а мнимая полуось – 
Гипербола вытянута вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данной гиперболы 
Итак, 
Вычислим расстояние от фокуса 
до асимптоты 
которое равно параметру р:
Следовательно, каноническое уравнение параболы, фокус которой лежит на оси Ох слева от начала координат имеет вид: 
Пример:
Составить каноническое уравнение параболы, фокус которой совпадает с одним из фокусов эллипса 
Написать уравнение директрисы.
Решение:
Для определения координат фокусов эллипса преобразуем его уравнение к каноническому виду. Эллипс: 
Следовательно, большая полуось эллипса 
а малая полуось 
Так как 
, то эллипс вытянут вдоль оси абсцисс Ох. Определим расположение фокусов данного эллипса 
Итак, 
Так как фокус параболы 
совпадает с одним из фокусов 
или 
эллипса, то параметр р найдем из равенства 
уравнение параболы имеет вид 
Директриса определяется уравнением 
Уравнение параболоида вращения
Пусть вертикальная парабола
расположенная в плоскости Охz, вращается вокруг своей оси (ось Oz). При вращении получается поверхность, носящая название параболоида вращения (рис. 207).
Для вывода уравнения поверхности рассмотрим произвольную точку 
параболоида вращения, и пусть эта точка получена в результате вращения точки N(X, 0, Z) данной параболы вокруг точки С(0, 0, Z).
Так как точки М и N расположены в одной и той же горизонтальной плоскости и CN = СМ как радиусы одной и той же окружности, то имеем
Подставляя формулы (2) в уравнение (1), получим уравнение параболоида вращения
Заметим, что форму параболоида вращения имеет поверхность ртути, находящейся в вертикальном цилиндрическом сосуде, быстро вращающемся вокруг своей оси. Это обстоятельство используют в технике для получения параболических зеркал.
- Многогранник
- Решение задач на вычисление площадей
- Тела вращения: цилиндр, конус, шар
- Четырехугольник
- Многогранники
- Окружность
- Эллипс
- Гипербола
