Как найти пересечение с осью оу парабола

Функция вида y=ax^2+bx+c , где aneq 0 называется квадратичной функцией

График квадратичной функции – парабола

парабола, построение параболы, график парабола

Рассмотрим случаи:

I СЛУЧАЙ, КЛАССИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА 

y=x^2, то есть a=1, b=0, c=0

Для построения заполняем таблицу, подставляя значения x в формулу:

parabola2

Отмечаем  точки (0;0); (1;1); (-1;1) и т.д. на координатной плоскости (чем с меньшим шагом мы берем значения х ( в данном случае шаг 1 ), и чем больше берем значений х, тем плавнее будет кривая), получаем параболу:

классическая парабола, парабола, построение параболы

Нетрудно заметить, что если мы возьмем случай a=-1, b=0, c=0, то есть y=-x^2, то мы получим параболу, симметричную y=x^2 относительно оси (ох). Убедиться  в этом несложно, заполнив аналогичную таблицу:

парабола, построение параболы

II СЛУЧАЙ,  «a» ОТЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦЫ

Что же будет, если мы будем брать a=2, a=-3, a=0.5? Как изменится поведение параболы? При |a|>1 парабола  y=ax^2 изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой y=x^2 (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):

парабола, построение параболы, ветви параболы, коэффициенты параболы, дискриминант

На первой картинке (см. выше) хорошо видно, что точки из таблицы для параболы y=x^2 (1;1), (-1;1) трансформировались в точки (1;4), (1;-4), то есть при тех же значениях x  ордината  y  каждой точки умножилась на 4.  Это произойдет со всеми ключевыми точками исходной  таблицы. Аналогично рассуждаем в случаях картинок 2 и 3.

А при |a|<1 парабола y=ax^2  «станет шире»  параболы y=x^2:

парабола, построение параболы, ветви параболы, коэффициенты параболы, дискриминант, ветви вниз

Давайте подитожим:

III СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ  «С»

 Теперь давайте введем в игру c (то есть рассматриваем случай, когда cneq 0), будем рассматривать параболы вида y=ax^2+c. Нетрудно догадаться (вы всегда можете обратиться к таблице), что будет происходить смещение параболы y=ax^2 вдоль оси (oy) вверх или вниз в зависимости от знака c:

парабола, построение параболы, сдвиг параболы, ветви параболы, коэффициенты параболы, дискриминант

IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЛЯЕТСЯ «b»

Когда же парабола “оторвется” от оси (oy) и будет, наконец, “гулять” по всей координатной плоскости? Когда b перестанет быть равным 0.

Здесь для построения параболы y=ax^2+bx+c нам понадобится формула для вычисления вершины: x_o=frac{-b}{2a},   y_o=y(x_o).

Так вот в этой точке (как в точке (0;0) новой системы координат) мы будем строить параболу y=ax^2, что уже нам по силам. Если  имеем дело со случаем a=1, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, один вверх, – полученная точка – наша (аналогично шаг влево, шаг вверх – наша точка); если имеем дело с a=2, например, то от вершины откладываем один единичный отрезок вправо, два – вверх и т.д.

Например, вершина параболы y=x^2-4x-2:

x_o=frac{4}{2}=2,  y_o=(2)^2-4cdot 2 -2=-6. Теперь главное уяснить, что в этой вершине мы будем строить параболу по шаблону параболы y=x^2,  ведь a=1 в нашем случае.

парабола, построение параболы, ветви параболы, дискриминант

При построении параболы после нахождения координат вершины очень удобно учитывать следующие моменты:

1) парабола обязательно пройдет через точку (0;c).  Действительно, подставив в формулу y=ax^2+bx+c x=0, получим, что y=c. То есть ордината точки пересечения параболы  с осью (оу), это c.   В нашем примере (выше), парабола пересекает ось ординат в точке -2, так как c=-2.

2) осью симметрии параболы является прямая x=frac{-b}{2a}, поэтому все точки параболы будут симметричны относительно нее. В нашем примере, мы сразу берем точку (0; -2) и строим ей симметричную относительно оси симметрии параболы, получим точку (4; -2), через которую будет проходить парабола.

3) Приравнивая y к 0, мы узнаем точки пересечения параболы с осью (ох). Для этого решаем уравнение ax^2+bx+c=0. В зависимости от дискриминанта, будем получать одну (D=0,  x=-frac{b}{2a}), две (D>0, x_{1,2}=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}) или нИсколько (D<0) точек пересечения с осью (ох). В предыдущем примере у нас  корень из дискриминанта – не целое число, при построении нам особо нет смысла находить корни, но мы видим четко, что две точки пересечения  с осью (ох) у нас будут (так как D>0), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.

Итак, давайте выработаем

Алгоритм для построения параболы, если она задана  в виде y=ax^2+bx+c

1) определяем направление ветвей ( а>0 – вверх, a<0 – вниз)

2) находим координаты вершины (x_o;y_o) параболы по формуле x_o=frac{-b}{2a},   y_o=y(x_o).

3) находим точку пересечения параболы с осью (оу) по свободному члену c, строим точку, симметричную данной относительно оси симметрии параболы (надо заметить, бывает, что эту точку невыгодно отмечать, например, потому, что значение c велико… пропускаем этот пункт…)

4) В найденной точке – вершине параболы (как в точке (0;0) новой системы координат) строим параболу y=ax^2. Если |a|>1, то парабола y=ax^2 становится у’же по сравнению с y=x^2, если |a|<1, то парабола расширяется по сравнению с y=x^2

5) Находим точки пересечения параболы с осью (оу) (если они еще сами “не всплыли”), решая уравнение ax^2+bx+c=0

Пример 1

алгоритм построения параболы, парабола

Пример  2

парабола, построение параболы, ветви параболы, коэффициенты параболы, дискриминант

Замечание 1. Если же парабола изначально нам задана в виде y=a(x-m)^2+n, где m, n – некоторые числа (например, y=(x-5)^2-1), то построить ее будет еще легче, потому что нам уже заданы координаты вершины (m, n). Почему?

Возьмем квадратный трехчлен ax^2+bx+c и выделим в нем полный квадрат: ax^2+bx+c=a(x^2+frac{b}{a}x+frac{c}{a})=a((x^2+2frac{b}{2a}x+frac{b^2}{4a^2})-frac{b^2}{4a^2}+frac{c}{a})=a(x+frac{b}{2a})^2-frac{b^2}{4a}+c. Посмотрите, вот мы и получили, что m=frac{-b}{2a}, n=-frac{b^2}{4a}+c=y(frac{-b}{2a}). Мы с вами ранее называли   вершину параболы (x_o; y_o), то есть теперь x_o=m, y_o=n.

Например,  y=-frac{1}{3}{(x+2)}^2+6. Отмечаем на плоскости вершину параболы (-2; 6), понимаем, что ветви направлены вниз, парабола расширена (относительно y=x^2). То есть выполняем пункты 1; 3; 4; 5 из алгоритма построения параболы (см. выше).

парабола с ветвями вниз

Замечание 2. Если парабола задана в виде, подобном этому y=x(x-4) (то есть y представлен в виде произведения двух линейных множителей), то нам сразу видны точки пересечения параболы с осью (ох). В данном случае  – (0;0) и (4;0). В остальном же действуем согласно алгоритму, раскрыв скобки.

В предыдущем уроке мы подробно разобрали,
как построить параболу.
В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.


Как найти нули квадратичной функции

Запомните!
!

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно
в исходную функцию подставить вместо «y» число
ноль.

Рассмотрим задачу.

Найти нули квадратичной
функции «y = x2 − 3».

Подставим в исходную функцию вместо «y» ноль и решим полученное
квадратное уравнение.

0 = x2 − 3
x2 − 3 = 0

x1;2 =

0 ±
02 − 4 · 1 · (−3)
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 = ±√3

Ответ: нули функции «y = x2 − 3» :
    

x1 = √3;
    

x2 = 3 .

Как найти при каких значениях
«x» квадратичная функция принимает заданное
числовое значение

Запомните!
!

Чтобы найти при каких значениях «x» квадратичная функция принимает заданное числовое значение,
нужно:

  • вместо «y» подставить в функцию заданное числовое значение;
  • решить полученное квадратное уравнение относительно «x».

Рассмотрим задачу.

При каких значениях «x» функция
«y = x2 − x − 3» принимает значение
«−3»
.

Подставим в исходную функцию
«y = x2 − x − 3» вместо «y = −3» и
найдем «x».

y = x2 − x − 3

−3 = x2 − x − 3
x2 − x − 3 = −3
x2 − x − 3 + 3 = 0
x2 − x = 0
x1;2 =

1 ±
12 − 4 · 1 · 0
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = x2 =
x1 = 1 x2 = 0

Ответ: при «x = 0» и
«x = 1» функция «y = x2 − x − 3»
принимает значение «y = −3».

Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой

Запомните!
!

Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:

  • приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся «x»);
  • решить полученное уравнение относительно «x»;
  • подставить полученные числовые значения «x»
    в любую из функций и найти координаты точек по оси «Оy».

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения параболы «y = x2»
и прямой «y = 3 − 2x».

Приравняем правые части функций и решим
полученное уравнение относительно «x».

x2 = 3 − 2x
x2 − 3 + 2x = 0
x2 + 2x − 3 = 0

x1;2 =

−2 ±
22 − 4 · 1 · (−3)
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = x2 =
x1 = 1 x2 = −3

Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в
«y = 3 − 2x») полученные
числовые значения «x», чтобы найти координаты
«y» точек пересечения.


1)   x = −3
y = 3 − 2x
y(−3) = 3 − 2 · (−3) = 3 − (−6) = 3 + 6 = 9
(·) A (−3; 9)
— первая точка пересечения.


2)   x = 1
y = 3 − 2x
y(1) = 3 − 2 · 1 = 3 − 2 = 1
(·) B (1; 1)
— вторая точка пересечения.

Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.

Ответ: точки пересечения параболы
«y = x2»
и прямой «y = 3 − 2x»:
(·) A (−3; 9) и
(·) B (1; 1).

Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы

Запомните!
!

Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси
«Ox» вместо
«x», а координату по оси
«Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
  • Если получится неверное равенство, значит, точка
    не принадлежит графику функции.

Рассмотрим задачу:

Не строя графика функции «y = x2», определить, какие точки принадлежат ему:
(·) А(2; 6),    
(·) B(−1; 1)
.

Подставим в функцию
«y = x2»

координаты точки (·) А(2; 6).


y = x2
6 = 22
6 = 4


(неверно)

Значит, точка (·) А(2; 6)
не принадлежит графику функции
«y = x2».

Подставим в функцию
«y = x2»

координаты точки (·) B(−1; 1).


y = x2
1 = (−)12
1 = 1


(верно)

Значит, точка (·) B(−1; 1)
принадлежит графику функции
«y = x2».


Как найти точки пересечения параболы с осями координат

Рассмотрим задачу

Найти координаты точек пересечения параболы
«y = x2 −3x + 2» с осями координат
.

Сначала определим точки пересечения функции с осью «Ox».
На графике функции эти точки выглядят так:

точки пересечения с осью Ox

Как видно на рисунке выше, координата «y» точек пересечения с осью «Ox»
равна нулю, поэтому подставим «y = 0» в
исходную функцию «y = x2 −3x + 2»
и найдем их координаты по оси «Ox».

0 = x2 −3x + 2
x2 −3x + 2 = 0

x1;2 =

3 ±
32 − 4 · 1 · 2
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = x2 =
x1 = 2 x2 = 1

Запишем координаты точек пересечения графика с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).

Теперь найдем координаты точки пересечения с осью «Oy».

точки пересечения с осью Oy

Как видно на рисунке выше, координата «x»
точки пересечения с осью «Oy» равна нулю.

Подставим «x = 0»
в исходную функцию
«y = x2 −3x + 2»
и найдем координату точки по оси
«Oy».

y(0) = 02 − 3 · 0 + 2 = 2

Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)

Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.

Ответ: точки пересечения с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).
С осью «Oy»: (·)C (0; 2).


Как определить при каких значениях x функция принимает
положительные или
отрицательные значения

Напоминаем, что когда в задании говорится «функция принимает
значения» — речь идет о
значениях«y».
Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях
«x», координата
«y» положительна или отрицательна.

Запомните!
!

Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:

  • провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось «Ox»;
  • определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
  • записать ответ для каждого промежутка относительно «x».

Рассмотрим задачу.

С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить:
При каких значениях «x» функция принимает 1) положительные значения; 2) отрицательные значения.

положительные и отрицательные значения функциии

Проведем через точки, где график функции пересекает ось «Ox» прямые.

положительные и отрицательные значения функциии с доп. прямыми

Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.

положительные и отрицательные значения на графике

Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает
«x» в каждой из выделенных областей.

положительные и отрицательные значения на графике c подписью относительно x

Ответ: при «x < −1» и
«x > 2» функция принимает отрицательные значения;
при «−1 < x < 2» функция принимает
положительные значения.


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:


В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида y=ax^2+bx+c, где a<>0  называется квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

aстарший коэффициент

bвторой коэффициент

с  – свободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции y=x^2 имеет вид:

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками – это, так называемые “базовые точки”. Чтобы найти координаты этих точек для функции y=x^2, составим таблицу:

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент a=1, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции y=x^2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График  функции y=-x^2 имеет вид:

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Обратите внимание, что график функции y=-x^2 симметричен графику функции y=x^2 относительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0, то ветви параболы напрaвлены вверх.

Если старший коэффициент a<0, то ветви параболы напрaвлены вниз.

Второй параметр для построения графика  функции – значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции f(x) – это точки пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты  точек  пересечения графика функции y=f(x) с осью ОХ, нужно решить уравнение f(x)=0.

В случае квадратичной функции y=ax^2+bx+c нужно решить квадратное уравнение .

Теперь внимание!

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: D=b^2-4ac, который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если D<0 ,то уравнение ax^2+bx+c=0 не имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax^2+bx+c не имеет точек пересечения с осью ОХ. Если a>0 ,то график функции выглядит как-то так:

2. Если D=0 ,то уравнение ax^2+bx+c=0  имеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax^2+bx+c  имеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если a>0 ,то график функции выглядит примерно так:

3.  Если D>0 ,то уравнение ax^2+bx+c=0  имеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола y=ax^2+bx+c  имеет две точки пересечения с осью ОХ:

x_1={-b+sqrt{D}}/{2a},  x_2={-b-sqrt{D}}/{2a}

Если a>0 ,то график функции выглядит примерно так:

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Следующий важный параметр графика квадратичной функции – координаты вершины параболы:

x_0=-{b/{2a}}

y_0=-{D/{4a}}=y(x_0)

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции – точка пересечения параболы y=ax^2+bx+c с осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y=ax^2+bx+c с осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: y(0)=c.

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны  на рисунке:

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой y=ax^2+bx+c.

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции y=2x^2+3x-5

1. Направление ветвей параболы.

Так как a=2>0 ,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x^2+3x-5

D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0  sqrt{D}=7

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: 2x^2+3x-5=0

x_1={-3+7}/4=1,  x_1={-3-7}/4=-2,5

3.   Координаты  вершины параболы:

x_0=-{b/{2a}}=-3/4 =-0,75

y_0=-{D/{4a}}=-49/8=-6,125

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

y=2x^2+3x-5

Кррдинаты вершины параболы

x_0=-{b/{2a}}=-3/4 =-0,75

y_0=-{D/{4a}}=-49/8=-6,125

Ближайшие к вершине точки, расположенные  слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы  соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их  в таблицу:

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

2.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=a(x-x_0)^2+y_0 – в этом уравнении x_0;y_0 – координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции y=ax^2+bx+c a=1, и второй коэффициент – четное число.

Построим для примера график функции y=2(x-1)^2+4.

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции , нужно

  • сначала построить график функции y=x^2,
  • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
  • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Теперь рассмотрим построение  графика функции y=x^2+4x+5. В уравнении этой функции a=1, и второй коэффициент – четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат: x^2+4x+5=x^2+4x+4-4+5=(x^2+4x+4)+1=(x+2)^2+1

Следовательно,  координаты вершины параболы: x_0=-2, y_0=1. Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

3.  Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции – точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда x_1=2; x_2=-1

2. Координаты вершины параболы: x_0={x_1+x_2}/2={2-1}/2=1/2

y_0=y(-1)=({1/2}-2)({1/2}+1)=-9/4=-2,25

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на  координатную плоскость и построим график:

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
– ширины графика функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ от значения коэффициента Подготовка к ГИА и ЕГЭ,
– сдвига графика функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ вдоль оси Подготовка к ГИА и ЕГЭ от значения  Подготовка к ГИА и ЕГЭ,

– сдвига графика функции Подготовка к ГИА и ЕГЭ вдоль оси Подготовка к ГИА и ЕГЭ от значения  Подготовка к ГИА и ЕГЭ
– направления ветвей параболы от знака коэффициента Подготовка к ГИА и ЕГЭ
– координат вершины параболы Подготовка к ГИА и ЕГЭ от значений Подготовка к ГИА и ЕГЭ и Подготовка к ГИА и ЕГЭ:

Скачать таблицу квадратичная функция

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

  1. Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

    – Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a<0), то ветви параболы направлены вниз.

    определяем знак коэффициента a

    – Если (a>1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

    Определяем значение a

    – Аналогично с (a<-1), только график вытянут вниз.

    определяем значение a

    – Если (a∈(0;1)), то график сжат в (a) раз (по сравнению с «базовым» графиком с (a=1)). Вершина при этом остается на месте.

    парабола при a от 0 до 1

    – Аналогично (a∈(-1;0)), только ветви направлены вниз.

    парабола a от -1 до 0

  2. Парабола пересекает ось y в точке (c).

    определяем c по графику

  3. (b) напрямую по графику не видно, но его можно посчитать с помощью (x_в) – абсциссы (икса) вершины параболы:

    (x_в=-frac{b}{2a})
    (b=-x_вcdot 2a)
    находим b с помощью икс вершины

Пример (ЕГЭ):

пример из ЕГЭ

Решение:
Во-первых, надо разобраться, где тут (f(x)), а где (g(x)). По коэффициенту (c) видно, что (f(x)) это функция, которая лежит ниже – именно она пересекает ось игрек в точке (4).

пример из ЕГЭ

Значит нужно найти коэффициенты у параболы, которая лежит повыше.
Коэффициент (c) у неё равен (1).
Ветви параболы направлены вниз – значит (a<0). При этом форма этой параболы стандартная, базовая, значит (a=-1).

пример из ЕГЭ

Найдем (b). (x_в=-2), (a=-1).

(x_в=-frac{b}{2a})
(-2=-frac{b}{-2})
(b=-4)

Получается (g(x)=-x^2-4x+1). Теперь найдем в каких точках функции пересекаются:

(-x^2-4x+1=-2x^2-2x+4)
(-x^2-4x+1+2x^2+2x-4=0)
(x^2-2x-3=0)
(D=4+4cdot 3=16=4^2)
(x_1=frac{2-4}{2}=-1);    (x_2=frac{2+4}{2}=3).

Ответ: (3).

2 способ – находим формулу по точкам

Это самый надежный способ, потому что его можно применить практически в любой ситуации, но и самый не интересный, потому что думать тут особо не надо, только уметь решать системы линейных уравнений. Алгоритм прост:

  1. Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
    Пример:

    нахождение формулы по точкам

  2. Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

    Пример: (A(-4;5)), (B(-5;5)), (C(-6;3)).

    (begin{cases}5=a(-4)^2+b(-4)+c\5=a(-5)^2+b(-5)+c\3=a(-6)^2+b(-6)+c end{cases})

  3. Решаем систему.
    Пример:

    (begin{cases}5=16a-4b+c\5=25a-5b+c\3=36a-6b+c end{cases})

    Вычтем из второго уравнения первое:

    (0=9a-b)
    (b=9a)

    Подставим (9a) вместо (b):

    (begin{cases}5=16a-36a+c\5=25a-45a+c\3=36a-54a+c end{cases})
    (begin{cases}5=-20a+c\5=-20a+c\3=-18a+c end{cases})

    Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

    (2=-2a)
    (a=-1)

    Найдем (b):

    (b=-9)

    Подставим в первое уравнение (a):

    (5=20+c)
    (c=-15).

    Получается квадратичная функция:   (y=-x^2-9x-15).

Пример (ЕГЭ):

пример из ЕГЭ

Решение:

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи). 

решение задачи из ЕГЭ

Таким образом имеем систему:

(begin{cases}8=a(-1)^2+b(-1)+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}8=a-b+4\2=a+b+4 end{cases})

(begin{cases}4=a-b\-2=a+b end{cases})

Сложим 2 уравнения:

(2=2a)
(a=1)

Подставим во второе уравнение:

(-2=1+b)
(b=-3)

Получается:

(g(x)=x^2-3x+4)

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

(-3x+13=x^2-3x+4)
(x^2-9=0)
(x=±3)

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

(f(-3)=-3cdot (-3)+13)
(f(-3)=9+13)
(f(-3)=22)

Ответ:   (22).

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа – вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

  1. График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).

    нахождение через преобразование параболы

  2. – Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
    – Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.

    растяжение и сжатие параболы

  3. – График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
    – График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц. 

    Сдвиг параболы вправо и влево

  4. График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
    График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

    сдвиг параболы вверх и вниз

У вас наверно остался вопрос – как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

пример

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).

пример нахождение формулы параболы с помощью преобразования графиков функций

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).

решение примера

То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

(y=x^2-10x+25-4)
(y=x^2-10x+21)

Готово.

Пример (ЕГЭ):

решение примера из ЕГЭ

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

  1. Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).

    решение примера из ЕГЭ

  2. Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).

  3. Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).

  4. Получается (y=-2(x^2-4x+4)+4=)(-2x^2+8x-8+4=-2x^2+8x-4).

  5. (f(6)=-2cdot 6^2+8cdot 6-4=-72+48-4=-28)

Смотрите также:
Как найти k и b по графику линейной функции?

Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат

В §28 данного справочника мы показали, что квадратный трёхчлен можно представить в виде:

$$ ax^2+bx+c = a(x+ frac{b}{2a})^2-frac{D}{4a}, D = b^2-4ac $$

Мы получаем:

  • ось симметрии $x = -frac{b}{2a}$
  • вершину параболы на оси симметрии $(–frac{b}{2a}; -frac{D}{4a})$
  • точку пересечения (0;c) с осью OY

Любая парабола $y = ax^2+bx+c, a ≠ 0$ пересекается с осью OY в единственной точке (0;c).

Количество точек пересечения параболы $y = ax^2+bx+c$ с осью OX зависит от знака дискриминанта.

Если $D gt 0$, парабола имеет две точки пересечения с $x_1,2 = frac{-b pm sqrt{D}}{2a}$ на оси OX.

Если D = 0, парабола имеет одну точку пересечения $x_0 = -frac{b}{2a}$, которая лежит на оси OX и является вершиной параболы.

Если $D lt 0$ у параболы нет ни одной точки пересечения с осью OX.

Точки пересечения параболы с осью OX

$a gt 0$

$a lt 0$

$D gt 0$

Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат рис.1 Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат рис.2

$x_(1,2) = frac{-b pm sqrt{D}}{2a}$

D = 0

Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат рис.3 Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат рис.4

$x_0 = -frac{b}{2a}$

$ D lt 0 $

Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат рис.5 Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат рис.6

${ varnothing }$-нет пересечений

Точки пересечения двух парабол

На практике часто возникает задача «перехвата» одного тела другим, т.е. поиска точек пересечения двух траекторий; а тела в поле тяготения Земли нередко движутся по параболе.

Точки пересечения двух парабол

Поэтому исследовать возможные точки пересечения двух парабол – важная прикладная задача. Пусть уравнения парабол:

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, quad y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

В точках пересечения выполняется равенство:

$$ a_1 x^2+b_1 x+c_1 = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

$$ (a_1-a_2 ) x^2+(b_1-b_2 )x+(c_1-c_2 ) = 0 $$

Если ввести обозначения $A = a_1-a_2, B = b_1-b_2, C = c_1-c_2$, получаем уравнение:

$$ Ax^2+Bx+C = 0 $$

Количество решений этого уравнения в зависимости от нулевых и ненулевых значений параметров равно 11 и описывается схемой общего алгоритма решений квадратного уравнения (см.§25 данного справочника).

A = B = C = 0

$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $

$ c_1 = c_2 $

Две параболы совпадают

Бесконечное множество общих точек, $x in Bbb R$

Бесконечное множество общих точек

$A = B = 0, C neq 0$

$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $

$ c_1 neq c_2 $

Параболы имеют вид

$y = ax^2+bx+c_1$

$ y = ax^2+bx+c_2 $

У них общая ось симметрии

$ x = -frac{b}{2a}$, одна парабола находится над другой.

Ветки сходятся только на бесконечности.

Точек пересечения нет

Точек пересечения нет

$A = 0, B neq 0, C = 0$

$ a_1 = a_2, b_1 neq b_2 $

$ c_1 = c_2 $

Параболы имеют вид

$y = ax^2+b_1 x+c$

$ y = ax^2+b_2 x+c $

Обе проходят через точку (0;c).

Это – единственная точка пересечения.

Одна точка пересечения

(0;c)

Одна точка пересечения

$A = 0, B neq 0, C neq 0$

$ a_1 = a_2, b_1 neq b_2 $

$ c_1 neq c_2 $

Параболы имеют вид

$y = ax^2+b_1 x+c_1$

$ y = ax^2+b_2 x+c_2 $

Абсцисса точки пересечения

$ x = – frac{C}{B} = -frac{c_1-c_2}{b_1-b_2}$

Одна точка пересечения (касание)

Одна точка пересечения (касание)

$A neq 0, B = 0, C = 0$

$ a_1 neq a_2, b_1 = b_2 $

$ c_1 = c_2 $

Параболы имеют вид

$ y = a_1 x^2+bx+c$

$ y = a_2 x^2+bx+c $

Пересекаются при x=0 (точка касания)

Одна точка пересечения (касание) (0;c)

Точек пересечения нет

$A neq 0, B = 0, C neq 0$

$ a_1 neq a_2, b_1 = b_2 $

$ c_1 neq c_2 $

Параболы имеют вид

$ y = a_1 x^2+bx+c_1$

$ y = a_2 x^2+bx+c_2 $

Не пересекаются, если

$- frac{c_1-c_2}{a_1-a_2} lt 0 $

Две точки пересечения

Две точки пересечения

Если

$- frac{c_1-c_2}{a_1-a_2} gt 0 $

Пересекаются в двух точках

$$ x_{1,2} = pm sqrt{-frac{c_1-c_2}{a_1-a_2}} $$

Две точки пересечения

Две точки пересечения, одна из которых (0;c)

$A neq 0, B neq 0, C = 0$

$ a_1 neq a_2, b_1 neq b_2 $

$ c_1 = c_2 $

Параболы имеют вид

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c $$

$$ y = a_2 x^2+b_2 x+c $$

Две точки пересечения

$ x_1 = 0 $

$$x_2 = -frac{b_1-b_2}{a_1-a_2}$$

Две точки пересечения,

одна из которых (0;c)

Две точки пересечения, одна из которых (0;c)

$A neq 0, B neq 0, C neq 0$

$ a_1 neq a_2, b_1 neq b_2 $

$ c_1 neq c_2 $

Все параметры парабол разные

Ищем дискриминант:

$$ D = B^2-4AC $$

Если $D gt 0$

Две точки пересечения

$$ x_1,2 = frac{-B pm sqrt{D}}{2A} $$

Две точки пересечения

Две точки пересечения

Если D = 0

Одна точка пересечения (касание)

$$ x_0 = -frac{B}{2A} $$

Одна точка пересечения

(касание)

Одна точка пересечения

Если $D lt 0$

Точек пересечения нет

Точек пересечения нет

Точек пересечения нет

Внимание!

Если две параболы не совпадают, то они могут иметь 1) две точки пересечения; 2) одну точку пересечения; 3) ни одной точки пересечения.

Иметь ровно 3, 4, 5 и т.д. точек пересечения две параболы не могут!

Примеры

Пример 1. Найдите точки пересечения параболы с осями координат:

$а) y = 3x^2+2x-1$

Пример 1. а)

Пересечение с осью OY: ${left{ begin{array}{c} x = 0 \ y = -1end{array} right.}$

Пересечение с осью OX:

$$ 3x^2+2x-1 = 0 Rightarrow (3x-1)(x+1) = 0 Rightarrow $$

$ Rightarrow left[ begin{array}{cc} {left{ begin{array}{c} x = frac{1}{3} \ y = 0 end{array} right.} \ {left{ begin{array}{c} x = -1 \ y = 0 end{array} right.} end{array} right.$ – две точки пересечения

$б) y = -4x^2-3x+1$

Пример 1. б)

Пересечение с осью OY: ${left{ begin{array}{c} x = 0 \ y = 1end{array} right.}$

Пересечение с осью OX:

$$ -4x^2-3x+1 = 0 Rightarrow 4x^2+3x-1 = 0 $$

$$ (4x-1)(x+1) = 0 Rightarrow$$

$ Rightarrow left[ begin{array}{cc} {left{ begin{array}{c} x = frac{1}{4} \ y = 0 end{array} right.} \ {left{ begin{array}{c} x = -1 \ y = 0 end{array} right.} end{array} right.$ – две точки пересечения

$в) y = 5x^2-2x+1$

Пример 1. в)

Пересечение с осью OY: ${left{ begin{array}{c} x = 0 \ y = 1end{array} right.}$

Пересечение с осью OX:

$$ 5x^2-2x+1 = 0 $$

$$ D = 2^2-4 cdot 5 cdot 1 = 4-20 = -16 lt 0 $$

Парабола не пересекает ось OX

$ г) y = -x^2+4x-4 $

Пример 1. г)

Пересечение с осью OY: ${left{ begin{array}{c} x = 0 \ y = -4end{array} right.}$

Пересечение с осью OX:

$$ -x^2+4x-4 = 0 Rightarrow x^2-4x+4 = 0 Rightarrow $$

$$ Rightarrow (x-2)^2 = 0 Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 2 \ y = 0 end{array} right.}$$ – одна точка пересечения

Пример 2*. Даны две параболы

$$ y = 2x^2+5x+1 и y = x^2+3x+k $$

Найдите такое значение параметра k, чтобы параболы

1) имели две точки пересечения; 2) имели одну точку пересечения; 3) не пересекались.

По условию

$$ a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = 1, a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = k $$

$$ a_1 neq a_2, b_1 neq b_2 $$

A = 2-1 = 1, B = 5-3 = 2, C = 1-k

Нам необходимо рассмотреть 4 последних случая из представленных выше, в таблице §29.

1) Параболы имеют две точки пересечения в двух случаях:

1 случай: $c_2 = c_1$, k = 1

Пример 2* 1 случай

$$x_1 = 0, x_2 = -frac{B}{A} = -2$$

$${left{ begin{array}{c} y = 2x^2+5x+1 \ y = x^2+3x+1 end{array} right.} Rightarrow left[ begin{array}{cc} {left{ begin{array}{c} x_1 = 0 \ y_1 = 1end{array} right.} \ {left{ begin{array}{c} x_2 = -2 \ y_2 = -1 end{array} right.} end{array} right.$$

2 случай: $c_2 ≠ c_1, D gt 0$

$$ D = B^2-4AC = 2^2-4 cdot 1 cdot (1-k) = 4k gt 0 Rightarrow k gt 0 $$

Пример 2* 2 случай

Например, k = 4

$$ D = 4k = 16 = 4^2 $$

$$ x_1,2 = frac{-B pm sqrt{D}}{2A} = frac{-2 pm 4}{2} = left[ begin{array}{cc} x_1 = -3\ x_2 = 1 end{array} right. $$

Оба случая можем объединить требованием $k gt 0$.

2) Параболы имеют одну точку пересечения, если:

$$ D = 4k = 0 Rightarrow k = 0 $$

Пример 2 случай 2)

$${left{ begin{array}{c} y = 2x^2+5x+1 \ y = x^2+3x end{array} right.} $$

$$ x_0 = frac{-B}{2A} = -1 $$

3) Параболы не имеют общих точек, если:

$$ D = 4k lt 0 Rightarrow k lt 0 $$

Пример 2* 3)

Например, k = -1

Ответ: 1) $k gt 0$; 2) k = 0; 3) $k lt 0$

Пример 3. Две параболы с общей вершиной

Найдите соотношение параметров двух парабол, при котором они будут пересекаться в одной точке – вершине парабол.

Пусть уравнения парабол:

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

Координаты вершин:

$$ left( -frac{b_1}{2a_1}, – frac{D_1}{4a_1} right), left(- frac{b_2}{2a_2},- frac{D_2}{4a_2} right) $$

По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} -frac{b_1}{2a_1} = -frac{b_2}{2a_2} \ -frac{D_1}{4a_1} = -frac{D_2}{4a_2} end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{b_1}{a_1} = frac{b_2}{2a_2} \ frac{D_1}{a_1} = frac{D_2}{a_2} end{array} right.} $$

Получаем две пропорции, которым параметры уравнений должны удовлетворять одновременно.

Пример 4. Используя результаты примера 3, найдите две параболы, у которых такая же вершина, как у $y = frac{x^2}{2}-3x+1$.

Координаты вершины:

$$ x_0 = – frac{b}{2a} = – frac{-3}{2 cdot frac{1}{2}} = 3, D = b^2-4ac = 3^2-4 cdot frac{1}{2} cdot 1 = 7 $$

$$ y_0 = – frac{D}{4a} = – frac{7}{4 cdot frac{1}{2}} = -3,5 $$

Уравнение искомой параболы: $y = ax^2+bx+c$

Пропорции для параметров (см. пример 3):

$$ {left{ begin{array}{c} frac{b}{a} = frac{-3}{1/2} = -6 \ frac{D}{a} = frac{7}{1/2} = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ D = 14a end{array} right.} $$

Пусть для искомых двух парабол a=1 и a=-0,2 (можно взять любые другие значения). Получаем:

$$ {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6a = -6 \ D = 14a = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ b^2-4ac = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ 36-4c = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ c = frac{36-14}{4} = 5,5 end{array} right.}$$

$$ y = x^2-6x+5,5 $$

$$ {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = -6a = 1,2 \ D = 14a = -2,8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = 1,2 \ 1,2^2-4 cdot (-0,2)c = -2,8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = 1,2 \ c = – frac{1,44+2,8}{0,8} = -5,3 end{array} right.} $$

$$ y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$

Параболы

$$ y = frac{x^2}{2}-3x+1, y = x^2-6x+5,5, y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$

имеют общую вершину (3;-3,5)

Пример 4.

Пример 5. Комета движется по параболической траектории, которая в выбранной системе координат описывается уравнением $y = frac{x^2}{3}-2x+5$.

Космический аппарат запускается из начала координат и также движется по параболической траектории. Рассчитайте уравнение этой траектории так, чтобы её вершина совпала с вершиной траектории кометы.

Координаты вершины траектории кометы:

$$ x_0 = -frac{b}{2a} = -frac{-2}{2 cdot frac{1}{3}} = 3, D = b^2-4ac = 2^2-4 cdot frac{1}{3} cdot 5 = – frac{8}{3} $$

$$ y_0 = – frac{D}{4a} = – frac{-8/3}{4 cdot 1/3} = 2 $$

Уравнение траектории космического аппарата: $y = ax^2+bx+c$.

Аппарат запускается из начала координат, т.е. его траектория пересекается с осью OY в точке (0;0). Значит, в уравнении параболы c = 0.

Пропорции для параметров (см. пример 3) с учетом c = 0:

$$ {left{ begin{array}{c} frac{b}{a} = frac{-2}{1/3} = -6 \ frac{D}{a} = frac{-frac{8}{3}}{frac{1}{3}} = -8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ D = b^2-4a underbrace{c}_{text{= 0 }} = b^2 = -8a end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ b^2 = -8a end{array} right.} Rightarrow $$

$$ {left{ begin{array}{c} b = frac{-8a}{-6a} = frac{4}{3} \ a = -frac{b}{6} = -frac{2}{9} end{array} right.} $$

Уравнение траектории космического аппарата с «перехватом» кометы в вершине:

$$ y = -frac{2}{9} x^2+ frac{4}{3} x $$

Пример 5.

Добавить комментарий