Как найти пересечение событий формула - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Операции над событиями. Теория вероятностей

Пересечение событий

Пусть есть события A и B, у каждого события есть набор элементарных исходов. Пересечением событий A и B называют то событие, в результате которого произошло и событие A и событие B, то есть случился некоторый элементарный исход, который одновременно принадлежит и событию A и событию B.

События не пересекаются

Если у событий A и B нет пересечения (отсутствует элементарный исход), то такая вероятность равна нулю.

События пересекаются

Если события A и B пересекаются (имеют некоторое общее количество элементарных исходов), то вероятность этого пересечения нельзя рассчитать по какой-то универсальной формуле. Эту вероятность нужно подсчитывать, рассматривая общие элементарные исходы.

Объединение событий

Объединением событий A и B называют те события, в результате которых произошло или событие A, или событие B, то есть хотя бы одно из двух.

События не пересекаются

Если события A и B не пересекаются, то вероятность их объединения окажется равной = вероятность события P(A) + вероятность события P(B).

События пересекаются

Если события A и B пересекаются, то есть у них есть общие элементарные исходы, то вероятность их объединения окажется равной = вероятность события P(A) + вероятность события P(B) — вероятность пересечения событий P(A ∩ B)

Независимые события

События A и B независимы, если наступление одного события не влияет на другое событие.

Практический пример

Будем рассматривать пример с игральным кубиком, для простоты и анализа нашего эксперимента введём следующие обозначения:

1 очко = ω1;
2 очка = ω2;
3 очка = ω3;
4 очка = ω4;
5 очков = ω5;
6 очков = ω6.

Событие A: выпало > 3 очков

Событие B: выпало нечетное число очков

Чтобы приступить к решению задачи выполняем анализ событий.

Анализ события A: этому событию соответствует три элементарных исхода { ω4, ω5, ω6}

Анализ события B: этому событию соответствует три элементарных исхода{ ω1, ω3, ω5}

После анализа событий приступаем к пошаговому решению.

Рассмотрим теперь пересечение события A и B, то есть у нас должно выпасть > 3 очков и при этом число должно быть нечётное. В этом случае у нас есть один элементарный исход: { ω5}.

Отсюда мы можем посчитать вероятность этого события:

n – элементарный исход, который удовлетворяет нашим условиям;
N – общее количество исходов.

Далее рассмотрим объединение событий A и B. В данном случае у нас будет следующий набор элементарных условий { ω1, ω3, ω4, ω5, ω6}

Обратите внимание: у нас отсутствует ω2, так как этот исход не фигурирует ни в событии A, ни в событии B.
Поэтому мы можем сказать, что вероятность объединения в этом случае будет:

По факту мы решили задачу, но мы можем её решить намного быстрее, если воспользуемся формулой, которую изучили ранее:

Вероятность P(A) – выпало > 3 очков
Вероятность P(B) – выпало нечётное число
Вероятность P(A ∩ B) – пересечение событий A и B

Метки: Математика, Теория вероятностей.

Источник

На этой странице вы узнаете

Как кот может быть одновременно жив и мертв?
Можно ли всегда выигрывать спор с монеткой?
Если рандомно ответить на вопрос теста, какой шанс угадать ответ?

Какова вероятность выиграть в лотерею? Исследователи подсчитали: один на восемь миллионов. «Или выиграю, или проиграю», — решаю я, покупая лотерейный билет. Так понятие вероятности преследует нас в обычной жизни. И не только в лотерее. Давайте разберемся подробнее.

Вероятность

Выходя утром из дома, мы задумываемся: брать ли с собой зонт? Проверяем прогноз погоды — вероятность выпадения осадков 2%. Зонтик нам сегодня вряд ли понадобится. В пути нас настигает ливень…

Прогноз погоды — самый яркий пример вероятности. Он не всегда бывает точный, не всегда сбывается. Мы не можем с уверенностью сказать, что будет завтра. Зато можем по совокупности факторов определить, на какую погоду стоит ориентироваться.

Теория вероятности — один из разделов математики, в котором изучаются модели случайных экспериментов.

Случайными экспериментами называются такие, результаты которых неизвестны заранее. Подбрасывая монетку, мы не знаем, что выпадет — орел или решка. Только поймав монетку, мы узнаем результат.

Как кот может быть одновременно жив и мертв?

Ученый по имени Эрвин Шредингер провел мысленный эксперимент. Он поместил кота в закрытый ящик, в котором был расположен механизм, содержащий атомное ядро и ёмкость с ядовитым газом.

По эксперименту с вероятностью 0,5 ядро распадется, емкость с газом откроется и кот умрет. Но при этом с вероятностью 0,5 ядро не распадается и кот останется жив.

Пока ящик закрыт, мы не знаем результат эксперимента — такой эксперимент в математике можно назвать случайным. Тем временем кот находится одновременно в двух состояниях: он и жив, и мертв.

Рассмотрим чуть подробнее пример с монеткой. Есть всего два варианта, какое событие может произойти:

выпадет орел;
выпадет решка.

Эти два события образуют множество элементарных событий.

Множество элементарных событий — множество всех возможных результатов случайного эксперимента.

В случае выше их всего два. А если мы будем подбрасывать игральную кость, то их будет уже 6. Множество элементарных событий будет менять в зависимости от ситуации.

Допустим, мы поспорили с друзьями, что выпадет орел. Для нас это событие будет благоприятным, поскольку мы выиграем спор. Второе событие будет неблагоприятным, потому что спор будет проигран.

Как найти вероятность, что мы выиграем спор? Нужно разделить число благоприятных событий на общее число событий. Таким образом, мы получили классическое определение вероятности.

Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.

Пусть m — количество благоприятных исходов, а n — количество всех событий. Получаем следующую формулу.

(P = frac{m}{n})

Вероятность можно обозначить, как P(x), где х — некоторое событие.

Заметим, что количество благоприятных исходов должно быть либо меньше, либо равно количеству всех исходов. Если благоприятных событий больше, чем всех, значит, мы нашли не все множество элементарных событий.

Когда вероятность равна 1, то такое событие точно наступит. Иначе говоря, мы можем быть уверены на 100% — оно произойдет.

Можно ли всегда выигрывать спор с монеткой?

Можно, если хитро сформулировать условия. Например: «Орел — я выиграл, решка — ты проиграл». Вероятность выигрыша в этом случае будет равна (P = frac{2}{2} = 1), то есть мы точно выиграем спор.

Однако вероятность не так проста, и даже здесь подготовила ловушку.

В редких случаях есть и третий вариант событий — монетка встанет на ребро. Вероятность такого события составляет (frac{1}{6000}). То есть за миллион бросков это может случиться 150 раз или 1 раз в 2 дня, если подкидывать монету каждый день по 8 часов в течение года. Чтобы монета встала на ребро два раза подряд, придется подбрасывать ее в том же темпе около 35 лет.

Вероятность всегда будет меньше или равна 1. Но ее можно выразить и через проценты. Для этого достаточно умножить полученный результат на 100%.

Пример 1. На ресепшене одного из отелей стоит ваза с конфетами. В вазе 56 яблочных конфет, 49 апельсиновых и 35 малиновых. Гость отеля наугад тянет конфету. Какова вероятность, что ему попадется апельсиновая конфета?

Решение. Найдем, сколько всего конфет в вазе: 56 + 49 + 35 = 140. Вероятность вытащить апельсиновую конфету будет равна
(frac{49}{140} = 0,35)

Выразим в процентах:
0,35 * 100% = 35%

Задача решена. Обычно в ответе пишут значение вероятности через дробное число, а не проценты. Поэтому получаем следующий ответ.

Ответ: 0,35

Чтобы выразить вероятность через проценты в одно действие, достаточно воспользоваться следующей формулой.

(P = frac{m}{n} * 100%)

Но что, если нам нужно найти вероятность для более сложных экспериментов? Первым делом нужно определить, какие события перед нами.

Равновозможные и противоположные события

Когда мы бросаем игральную кость, вероятность выпадения любого из чисел равна 16. То есть вероятности выпадения чисел равны между собой. Такие события называются равновозможными.

Равновозможные события — такие события, что по условиям опыта ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Вероятности появления событий равны.

Для игрального кубика существует всего шесть событий, которые могут произойти: выпадет число 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Все эти события образуют полную группу событий.

Полная группа событий — такая группа событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.

В результате подбрасывания монеты выпадет либо орел, либо решка. То есть полная группа событий состоит из двух событий.

Мы подбросили монету и выпал орел. Следовательно, не выпала решка.

А если не выпадет орел? Обязательно выпадет решка. Эти события будут называться противоположными.

Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе.

Обозначим событие “выпала решка” как A. Противоположное ему событие “выпал орел” обозначим как (overline{A}).

Заметим, что вероятность события A равняется 12, как и вероятность события (overline{A}). Чему равна их сумма?

)frac{1}{2} + frac{1}{2} = 1)

Так мы вывели связь между противоположными событиями. Поскольку они всегда образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей будет равна 1.

(P(A) + P(overline{A}) = 1)

Какие еще примеры противоположных событий можно назвать? Ясная и дождливая погода. Если наступает одно из этих событий, то второе уже не может наступить.

Объединение и пересечение событий

Допустим, у нас есть два события: сегодня пойдет снег и сегодня пойдет дождь. Что будет, если мы их объединим?

Объединение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий.

В этом случае мы получим событие, которое будет выполняться при любом из исходов: и если пойдет снег, и если не пойдет снег.

Объединение событий обозначается знаком (cup). Объединение событий А и В можно записать как (A cup B).

Рассмотрим немного другой пример. В первое событие входит, что Илья получит пятерку по физике, а второе событие — Антон получит пятерку по физике. А как можно назвать событие, если оба мальчика получат пятерку по физике?

Пересечение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям.

Пересечение событий обозначается знаком (cap). Пересечение событий А и В можно записать как (A cap B).

Несовместные и совместные события

Рассмотрим два события: “чайник исправно работает” и “чайник сломался”. Могут ли эти события существовать одновременно? Нет, поскольку появление одного из них исключает появление другого.

Такие события называются несовместными. Название само говорит, что события не могут существовать одновременно.

Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого.

Решим небольшую задачу. На экзамене есть несколько билетов. С вероятностью 0,5 попадется билет по планиметрии. С вероятностью 0,3 попадется билет по экономике. При этом не существует билетов, которые включают обе эти темы. С какой вероятностью на контрольной попадется билет по одной из этих тем?

Представим билеты в виде схемы. Заметим, что нам нужно объединить два из трех кругов, то есть сложить их вероятности.

Следовательно, вероятность будет равна 0,5 + 0,3 = 0,8.

Сформулируем определение суммы вероятностей двух несовместных событий.

Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей:

(P(A cup B) = P(A) + P(B))

Если существуют несовместные события, то существуют и совместные.

Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого.

В магазине работают два консультанта. Один из них занят общением с клиентом. Означает ли это, что второй консультант тоже занят? Нет, поскольку они работают независимо друг от друга. Если занят первый консультант, второй может быть как занят, так и нет.

Подбросим игральный кубик и рассмотрим два вида событий. Пусть событие А — это “выпадет число 2”, событие В — “выпадет четное число”.

Найдем вероятность события А: (frac{1}{6}).

Для события В всего три благоприятных исхода из шести: выпадет число 2, 4 или 6. Тогда вероятность наступления события В равна (frac{3}{6} = frac{1}{2})

Исключают ли события А и В друг друга? Нет, поскольку если произойдет событие А, произойдет и событие В. Когда произойдет событие В, есть вероятность, что произойдет и событие А.

Найдем объединение совместных событий на примере кругов. Если мы наложим их друг на друга, то в середине получится как бы два слоя. Проверить это можно, если наложить друг на друга два листа бумаги.

А нужно получить вот такую картину:

Поэтому для объединения двух кругов нам нужно будет исключить одну из серединок.

Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения:

(P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B))

В каких случаях нужно пользоваться формулой со сложением? Достаточно, чтобы задачу можно было сформулировать с помощью “или”. Например, нужно, чтобы выпали темы по планиметрии или по экономике.

Независимые и зависимые события

Прогуляемся в магазин за булочками. В упаковке две булочки, а сама упаковка непрозрачная, то есть увидеть булочки до вскрытия упаковки мы не можем.

Известно, что на заводе, где изготавливаются булочки, 5 из 100 булочек подгорают. Значит, 95 из 100 булочек не подгорают. По классическому определению вероятности находим, что вероятность каждой булочки не подгореть равна (frac{95}{100} = 0,95).

Какова вероятность, что в упаковке попадутся только не подгорелые булочки? Как найти вероятность сразу для двух булочек?

Ответим на вопрос: зависят ли булочки друг от друга?

Если подгорит одна из булочек в упаковке, не обязательно подгорит другая. Следовательно, булочки не зависят друг от друга. Такие события называются независимыми.

Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события.

Определим вероятность независимых событий.

Пусть вероятность, что подгорела первая булочка, будет равна Р(А) = 0,95, а вероятность для второй булочки будет равна Р(В) = 0,95.

А чтобы найти вероятность независимых событий, нужно воспользоваться следующей формулой:

(P(A cap B) = P(A) * P(B))

Тогда вероятность, что булочки в одной упаковке не подгорят, равняется P = 0,95 * 0,95 = 0,9025.

В каком случае нужно пользоваться этой формулой? Нужно подставить союз “и”.

Мы хотим, чтобы в упаковке первая булочка была не подгорелой и вторая булочка была не подгорелой.

Приведем еще один пример. В здании два автомата с кофе на разных этажах. Даже если сломается один из них, работа второго не будет зависеть от первого.

Но если автоматы стоят рядом и включены в одну розетку, то при поломке одного из них есть вероятность выхода из строя розетки, а значит, и второй автомат тоже сломается. Такие события будут зависимыми: появление одного из них зависит от появления другого.

Предположим, что в мешке лежит семь кубиков: два из них оранжевые, а пять — фиолетовые. Из мешка дважды вытаскивают кубики. Какова вероятность, достать во второй раз именно фиолетовый кубик?

Нужная последовательность может быть в двух случаях:

сначала вытащат фиолетовый кубик и потом снова фиолетовый;
сначала вытащат оранжевый кубик, а потом фиолетовый.

Разберем первый случай. Вероятность в первый раз вытащить фиолетовый кубик равна (frac{5}{7}). После этого в мешке останется шесть кубиков, четыре из которых будут фиолетовые.

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик равна (frac{5}{7} * frac{4}{6} = frac{20}{42} = frac{10}{21}).

Теперь рассмотрим второй случай. Вероятность в первый раз достать оранжевый кубик равна (frac{2}{7}). В мешке останется шесть кубиков, пять из которых будут фиолетовыми.

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик будет уже равна (frac{2}{7} * frac{5}{6} = frac{10}{42} = frac{5}{21}).

В этом примере очень наглядно видно, что вероятность напрямую зависит от того, какой кубик попался первым. Следовательно, эти события зависимы.

Как отличить зависимые и независимые события? Если после наступления первого события меняется количество благоприятных и всех исходов, то такие события — зависимые. Если количество благоприятных и всех исходов не меняется, то события независимые.

Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А.

Условная вероятность обозначается P(B|A). В нашем примере условной вероятностью будет вычисление, что во второй раз попадется именно фиолетовый кубик.

Найдем вероятность двух зависимых событий. Формула похожа на ту, что используется для независимых событий. Но в этот раз нам нужно применить условную вероятность.

Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило:

(P(A cap B) = P(A) * P(B | A))

Формула Бернулли

Рассмотрим случаи, когда испытание повторяется многократно. Для этого еще раз обратимся к игральному кубику. Подбросим кубик 8 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпала ровно три раза?

Пусть p — вероятность, что выпадет цифра 5. Тогда (p = frac{1}{6}).

Теперь возьмем q — противоположное р событие — вероятность, что цифра 5 не выпадет. (q = frac{5}{6}).

Обозначим количество всех бросков за n, а количество выпадения цифры 5 за k.

Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться формулой Бернулли.

(P_n(k) = C_n^k * p^k * q^{n — k})

Множитель (C_n^k) — это число сочетаний. Подробнее узнать про сочетания можно в статье «Основы комбинаторики».

Решим задачу, подставив значения в формулу:

(P_8(3) = C_8^3 * (frac{1}{6})^3 * (frac{5}{6})^5 = frac{8!}{5!3!} * frac{1}{6^3} * frac{5^5}{6^5} = frac{6 * 7 * 8}{1 * 2 * 3} * frac{5^5}{6^8} approx 0,1)

Фактчек

Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий.
События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе.
События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A (cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B).
События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A cap B) = P(A) * P(B | A).
Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А.

Проверь себя

Задание 1.
Какие события являются несовместными?

Подбрасывание монетки.
Брак батареек в одной упаковке.
“Миша идет” и “Миша стоит”.
Случайное вытаскивание конфет из вазы.

Задание 2.
Алена делает ошибку при решении задач по математике с вероятностью 0,17. С какой вероятностью она не сделает ошибку при решении задачи?

0,17
1
0,83
1,17

Задание 3.
Артем решал задачи на вероятность. Ниже приведены его ответы. В какой из задач он точно совершил ошибку?

1
0,216
0,45
1,5

Задание 4.
В упаковке три шариковые ручки. С вероятностью 0,1 такая ручка не будет писать. Найдите вероятность, что все три ручки в упаковке пишут.

0,3
0,001
2,7
0,729

Задание 5.
Перед Дашей лежит несколько карточек. Она случайно переворачивает одну из них. С вероятностью 0,5 на карточке окажется рисунок природы. С вероятностью 0,27 на карточке окажется мотивационная цитата. Карточек и с рисунком, и с цитатой нет. Найдите вероятность, что Дана перевернет карточку или с рисунком, или с цитатой.

0,77
0,135
0,23
-0,23

Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1

Источник

Пересечение независимых событий

Если события A и B несовместны, то вероятность их объединения равна сумме вероятностей событий A и B:

P(A U B) =P(A) + P(B)

Пересечение независимых событий

Два события A и B называют независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого события.

Событие C называют пересечением событий A и B (пишут C = A∩B), если событие C означает, что произошли оба события A и B.

Если события A и B независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей событий A и B:

Формула сложения вероятностей совместных событий:

P(A U B) =P(A) + P(B) – P(A∩B)

Несовместные и независимые события.

35. На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Параллелограмм», равна 0,6. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.

Решение. Суммарная вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P=0,6+ 0,1 = 0,7.

36. Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Решение. Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07.

37. Вероятность того, что на тесте по химии учащийся П. верно решит больше 8 задач, равна 0,48. Вероятность того, что П. верно решит больше 7 задач, равна 0,54. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 8 задач.

39. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение.Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна 0,8•0,8•0,8•0,2•0,2=0,02048. Ответ:0.02048.

40. Ответ: 0,02

3333Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Ответ: 0,91.

Ответ: 0,91

41. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Ответ: 0,8836

2. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

4Ответ: 0,156

3. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Ответ: 0,027Ответ: 0,062

55 44. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Решение.Рассмотрим события A = «в автобусе меньше 15 пассажиров» и В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров». Их сумма — событие A + B = «в автобусе меньше 20 пассажиров». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B).

Тогда, используя данные задачи, получаем: 0,94 = 0,56 + P(В), откуда P(В) = 0,94 − 0,56 = 0,38.

645. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

77 46.Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Как найти пересечение событий если известно объединение

Логическое пересечение событий обозначается символом AB и означает, что события A и B происходят одновременно.

Запись используется для обозначения объединения событий и означает, что имеет место или событие A, или B, или A и B одновременно.

На рисунке схематически показаны множества событий A и B.

Заштрихованная область является пересечением AB.

Область, ограниченная внешним контуром, является объединением .

Операции над вероятностями

Пусть m — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию A, k — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию B, несовместимому по отношению к событию А. Пусть n — общее число равновозможных элементарных событий, образующих пространство Е всех элементарных событий.

В силу формулы (4.1)

Согласно определению объединения несовместимых событий означает: «имеет место или А, или В». Но число событий, благоприятствующих такому событию, равно m+k, поэтому согласно формуле (4.1)

(5.1)

На рисунке 20 дана геометрическая интерпретация формулы (5.1), если m, k и n здесь величины площадей нарисованных фигур.

Последнее равенство выражает следующее правило, которое последовательным применением формулы (5.1) может быть распространено на любое конечное число событий:

Вероятность объединения попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

С помощью этого правила мы можем справиться со многими задачами.

Примеры с решением:

Пример 1.

В лотерее выпущено 10 ООО билетов и установлено: 10 выигрышей по 200 р., 100 — по 100 р., 500 — по 25 р. и 1000 выигрышей по 5 р. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 25 р.?

А — «выигрыш не менее 25 р.»,

— «выигрыш равен 25 р.»,

— «выигрыш равен 100 р.»,

— «выигрыш равен 200 р.».

Поскольку куплен только один билет, то где события попарно несовместимы, поэтому

Р (А) = 0,05 + 0,01 + 0,001 = 0,061.

Пример 2.

На военных учениях летчик получил задание «уничтожить» 3 рядом расположенных склада боеприпасов противника. На борту самолета одна бомба. Вероятность попадания в первый склад примерно равна 0,01, во второй — 0,008, в третий — 0,025.

Любое попадание в результате детонации вызывает взрыв и остальных складов. Какова вероятность того, что склады противника будут уничтожены?

А — «склады уничтожены»,

— «попадание в первый склад»,

— «попадание во второй склад»,

— «попадание в третий склад».

Для уничтожения складов достаточно попадания в один из упомянутых трех складов. Поэтому

Пример 3.

Бросают две монеты. Чему равна вероятность появления хотя бы одного герба? Обозначим события:

А — «появление герба при подбрасывании первой монеты», В — «появление герба при подбрасывании второй монеты». Снова предстоит найти вероятность события . Но в этом случае ибо события А и В совместимы. Поэтому формула (5.1) не применима. Приходится избрать другой путь решения.

Пусть событие — «выпадение герба не состоялось». Ясно, что , ибо при бросании двух монет могут произойти только следующие события:

Событие представляет собой достоверное событие, поэтому

Вероятность объединения совместимых событии

Пусть m — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию A, k — число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию В. Допустим, что среди упомянутых m + k событий содержится таких, которые благоприятствуют и событию А, и событию В. Если n — общее число равновозможных элементарных событий, образующих пространство Е всех элементарных событий, то согласно формуле (4.1)

Запись означает: «произойдет или событие А, или событие Ву или то и другое вместе». Но такому событию благоприятствуют (m + k — ) элементарных событий. Поэтому по формуле (4.1) находим:

Подставляя значение, получим:

(5.2)

Ясно, что эта формула представляет собой обобщение формулы (5.1). На основании равенства (5.2) формулируем правило:

Вероятность объединения двух совместимых событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления.

Геометрическая интерпретация формулы (5.2) дается на рисунке 21, где m, k, , n представляют величины площадей изображенных фигур.