Как найти периметр четырехугольника описанного около окружности

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .

. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.

Решение №986 В четырёхугольник ABCD вписана окружность, АВ = 13, СD = 18.

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, АВ = 13, СD = 18. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.

Источники: fipi, os.fipi, Основная волна 2019

P = AB + CD + BC + AD

Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

AB + CD = BC + AD
13 + 18 = BC + AD
31 = BC + AD

Найдём периметр:

P = AB + CD + BC + AD = 13 + 18 + 31 = 31 + 31 = 62

Ответ: 62.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.4 / 5. Количество оценок: 5

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.

Периметр четырёхугольника, описанного около окружности, равен 56, две его стороны равны 7 и 25?

Геометрия | 10 – 11 классы

Периметр четырёхугольника, описанного около окружности, равен 56, две его стороны равны 7 и 25.

Найдите большую из оставшихся сторон.

Для любого описанного 4 – угольника известно :

суммы длин противоположных сторон равны))

P = a + b + c + d = 2(a + c) = 2(b + d)

a + с = b + d = P / 2 = 28, т.

Е. известны не противоположные стороны, а смежные.

7 + с = 25 + d = 28

бОльшая из оставшихся сторон : с = 21.

Две противолежащие стороны четырёхугольника равны 7 см и 13 см?

Две противолежащие стороны четырёхугольника равны 7 см и 13 см.

Чему равен периметр четырёхугольника, если в него можно вписать окружность?

Рисунок не прилагается.

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность равна 6см?

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность равна 6см.

Найдите сторону квадрата, описанного около этой окружности.

Периметр четырехугольника , описанного около окружности , равен 74 две его стороны равны 21 и 25?

Периметр четырехугольника , описанного около окружности , равен 74 две его стороны равны 21 и 25.

Найдите большую из оставшихся сторон.

Срочно?

Гайс, помогите, прошу!

Периметр треугольника, описанного около окружности равен 12√3.

Найти периметр правильного четырёхугольника, описанного около этой окружности.

Периметр четырёхугольника равен 58, одна из его сторон равна 15, а другая 16?

Периметр четырёхугольника равен 58, одна из его сторон равна 15, а другая 16.

Найдите меньшую из оставшихся сторон этого четырёхугольника, если известно, что в него можно вписать окружность.

Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной а, равен?

Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной а, равен.

Четырёхугольник abcd описан около окружности?

Четырёхугольник abcd описан около окружности.

Сумма сторон ab и cd равна 20 см.

Найти периметр четырёхугольника.

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся как 1 : 2 : 7 наидите большую сторону этого четырехугольника если известно что его периметр равен 112?

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся как 1 : 2 : 7 наидите большую сторону этого четырехугольника если известно что его периметр равен 112.

Около окружности описана равнобедренная трапеция периметр которой равен 24 найдитебоковую сторону трапеции?

Около окружности описана равнобедренная трапеция периметр которой равен 24 найдитебоковую сторону трапеции.

Около трапеции описана окружность?

Около трапеции описана окружность.

Периметр трапеции равен 116, средняя линия равна 54.

Найдите боковую сторону трапеции.

Вопрос Периметр четырёхугольника, описанного около окружности, равен 56, две его стороны равны 7 и 25?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Геометрия и соответствует программе для 10 – 11 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

[spoiler title=”источники:”]

Решение №986 В четырёхугольник ABCD вписана окружность, АВ = 13, СD = 18.

http://geometria.my-dict.ru/q/7967541_perimetr-cetyrehugolnika-opisannogo-okolo-okruznosti-raven/

[/spoiler]

Источник

Вписанные и описанные четырехугольники

Рассмотрим теоремы о вписанных и описанных четырехугольниках и их свойствах.

Теорема 1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны $180^{circ }.$

$angle A +angle C = 180^{circ }$

Теорема 2. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

a+c=b+d

Теорема 3. Диагонали вписанного четырёхугольника разбивают его на две пары подобных треугольников.

Теорема 4. (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Теорема 5. Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра четырёхугольника на радиус вписанной в него окружности.

$displaystyle S=frac{a+b+c+d}{2}cdot r=pr$

Теорема 6. Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Теорема 7. Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Теорема 8. Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.

Теорема 9. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

Теорема 10. В любой ромб можно вписать окружность.

Теорема 11. В любой квадрат можно вписать окружность.

Теорема 12. В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом.

Теорема 13. В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом.

Теорема 14. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.

c+d=a+b

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

Задача 1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны $82^{circ}$ и $58^{circ}$ . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^{circ}$ . Пусть угол равен $82^{circ}$ . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен $58^{circ}$ , то угол равен $180^{circ}-58^{circ}=122^{circ}$ .

Ответ: 122.

Задача 2. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3 . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Решение:

Пусть сторона равна , равна , а DC - 3x . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что x=4 , а большая сторона равна .

Ответ: 12.

Задача 3. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Решение:

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
a+c=b+d , и значит, периметр равен .
Получаем, что a+c=40 , а средняя линия равна .

Ответ: 10.

Задача 4. Угол A четырехугольника ABCD , вписанного в окружность, равен $32^{circ }$ . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Значит, сумма его противоположных углов равна $180^{circ }.$

Поэтому $angle C=180^{circ } -angle A=180^{circ }-32^{circ }=148^{circ }.$

Ответ: 148.

Задача 5. Углы A, B, C четырехугольника ABCD относятся как 1:2:3 . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть

Сумма всех углов четырехугольника равна $360^{circ }.$

А сумма каждой пары противоположных углов равна $180^{circ }$ (т.к. четырехугольник вписан в окружность).

Запишем эти два условия в виде двух уравнений с двумя неизвестными:

Подставляем второе уравнение в первое и получаем $4x=180, x=45, y=90^{circ }.$

Ответ: 90.

Задача 6. Стороны четырехугольника ABCD и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно $107^{circ }$ и $39^{circ }$ . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^{circ }$ .

Поэтому $angle C=180^{circ } -angle A.$

Угол А – вписанный, опирается на дугу , равную сумме дуг и , т.е. $107^{circ }+39^{circ }=146^{circ }.$

Тогда вписанный угол А равен половине дуги , т.е. $146^{circ }:2=73^{circ }.$

$angle C=180^{circ } -angle A=180^{circ }-73^{circ }=107^{circ }.$

Ответ: 107.

Задача 7. Точки расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги и AD, градусные величины которых относятся соответственно как Найдите угол A четырехугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол А – вписанный, опирается на дугу BD, равную сумме дуг и CD. Найдем дуги и CD.

Обозначим градусные величины дуг и как согласно заданному соотношению между дугами.

Тогда или $36x=360, x=10^{circ }.$

Сумма дуг и составляет $x+2x=30^{circ }.$

Вписанный угол А равен половине дуги BD, т.е. $30^{circ }:2=15^{circ }.$

Ответ: 15.

Задача 8. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Тогда диагональ квадрата равна

Выразим сторону квадрата через его диагональ: $displaystyle a=frac{d}{sqrt{2}}=32.$

Ответ: 32.

Задача 9. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Решение:

Если правильный шестиугольник вписан в окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому сторона равна 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен $60^{circ }$ , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение:

Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD с основаниями

Тогда боковые стороны

Проведем параллельно CD. Тогда треугольник ABO – равнобедренный, т.к. и равносторонний, т.к. $angle A = 60^{circ }.$ Поэтому AO=a.

BCDO – параллелограмм по построению, но BC=CD , поэтому BCDO – ромб, и OD=a.

Получаем, что О – центр описанной окружности с радиусом, равным меньшему основанию –

Ответ: 6.

Задача 11. Найти диагональ параллелограмма, вписанного в окружность радиусом 6 см.

Решение:

Согласно одной из теорем, окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру, см.

Ответ: 12.

Задача 12. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому сумма оснований

Сумму боковых сторон найдем как разность между периметром и суммой оснований:

Трапеция вписана в окружность, следовательно, трапеция равнобедренная, боковые стороны равны:

Ответ: 5.

Задача 13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и

Решение:

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру окружности.

В то же время по теореме Пифагора диагональ найдем как

Радиус окружности равен половине диаметра: 18:2=9.

Ответ: 9.

Задача 14. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. Поэтому r = 8.

Ответ: 8.

Задача 15. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 11 (половине периметра).

Боковая сторона CB = 7, тогда боковая сторона

Радиус вписанной окружности равен половине AD, т.е. 2.

Ответ: 2.

Задача 16. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.

Решение:

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности:

Ответ: 28.

Задача 17. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

Ответ: 16.

Задача 18. Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.

Решение:

Площадь описанного многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:

Ответ: 16.

Задача 19. В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, диагонали взаимно перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 12. Найти радиус вписанной окружности.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.

Рассмотрим равнобедренную трапецию

Проведем Треугольник ACK – прямоугольный (с прямым углом С) и равнобедренный. Его гипотенуза равна сумме оснований трапеции (т.к. BCKD – параллелограмм, и BC = KD ),

Высота трапеции является также высотой и медианой, проведенной из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника ACK .

Радиус вписанной окружности

Ответ: 6.

Задача 20. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть О – центр описанной окружности. Проведем высоту MN, проходящую через точку О. Тогда (радиусы окружности),

Треугольники OMC и OND – прямоугольные. Применяя теорему Пифагора, найдем:

Ответ: 7.

Это были задачи по теме «Вписанные и описанные четырехугольники» из первой части ОГЭ и ЕГЭ. Покажем более сложную задачу, из второй части ОГЭ по математике.

Задача 21. В четырёхугольник ABCD можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5, а AB=2BC.

Решение:

Обозначим BC=x. Тогда AB=2x.

Обозначим также

Вписать окружность в четырехугольник можно тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.

Значит, Отсюда y=x+z.

Пусть О – точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD.

При пересечении и образуется четыре прямоугольных треугольника. Это

Пусть

Запишем для каждого из этих треугольников теорему Пифагора:

Из $triangle AOB: 4x^{2}=a^{2}+b^{2}.$

Из $triangle BOC: x^{2}=b^{2}+c^{2}.$

Из $triangle COD: z^{2}=c^{2}+d^{2}.$

Из $triangle AOD: y^{2}=a^{2}+d^{2}.$

Мы получили систему уравнений.

Сложив первое и третье из них и выразив $x^{2}+y^{2}$ как $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2},$ получим: $4x^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}.$

Кроме того, y=x+z. Это мы нашли в самом начале.

Из системы уравнений

$begin{cases}3x^{2}+z^{2}=y^{2} \y=x+zend{cases}$

находим:

Значит,

Перестроим чертеж. Это надо сделать обязательно. Появились новые данные – рисуем новый чертеж. По условию, четырехугольник ABCD вписан в окружность.

Треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам. Значит, углы ABC и ADC равны.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, поэтому сумма углов ABC и ADC равна 180 градусов. Мы получили, что углы ABC и ADC – прямые. Тогда – диаметр окружности.

По условию, R=5 , тогда AC=10.

опирается на диаметр.

– прямоугольный, – его гипотенуза.

По теореме Пифагора для :

$100=x^{2}+4x^{2}.$

Отсюда $x^{2}=20.$

$S_{ABCD}=2cdot S_{triangle ABC}=2x^{2}=40.$

Ответ: 40.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров – записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Вписанные и описанные четырехугольники» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Задание 6. Математика ЕГЭ. В четырехугольнике ABCD вписана окружность. АВ = 27, CD = 15.

Рубрика Задание 6, Решаем ЕГЭ по математике Комментарии (0)

Задание.

В четырехугольнике ABCD вписана окружность. АВ = 27, CD = 15. Найдите периметр четырехугольника ABCD.

Решение:

Периметр четырехугольника ABCD – это сумма длин всех его сторон, т. е.

P = AB + BC + CD + AD.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, т. е.

AB + CD = AD + ВС = 27 + 15 = 42

P = AB + BC + CD + AD = 42 + 42 = 84

Ответ: 84

Понравилось? Нажмите

Источник

Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон.

Спрятать решение

Решение.

В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. В этом случае периметр четырехугольника вдвое больше суммы длин противоположных сторон, следовательно, в данном четырехугольнике сумма длин противоположных сторон равна 12, а значит, стороны длиной 5 и 6 не могут быть противоположными и являются смежными.

Напротив стороны длиной 5 лежит сторона длиной 12 − 5  =  7. Напротив стороны длиной 6 лежит сторона длиной 12 − 6  =  6. Большая из этих двух сторон имеет длину 7.

Ответ: 7.

Источник

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

поделиться знаниями или
запомнить страничку

Все категории
экономические
43,658
гуманитарные
33,653
юридические
17,917
школьный раздел
611,962
разное
16,905

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Источник

Вписанные и описанные четырехугольники

Решение №986 В четырёхугольник ABCD вписана окружность, АВ = 13, СD = 18.

Периметр четырёхугольника, описанного около окружности, равен 56, две его стороны равны 7 и 25?

Две противолежащие стороны четырёхугольника равны 7 см и 13 см?

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность равна 6см?

Периметр четырехугольника , описанного около окружности , равен 74 две его стороны равны 21 и 25?

Срочно?

Периметр четырёхугольника равен 58, одна из его сторон равна 15, а другая 16?

Радиус окружности, описанной около квадрата со стороной а, равен?

Четырёхугольник abcd описан около окружности?

Около окружности описана равнобедренная трапеция периметр которой равен 24 найдитебоковую сторону трапеции?

Около трапеции описана окружность?

Вписанные и описанные четырехугольники

Задание 6. Математика ЕГЭ. В четырехугольнике ABCD вписана окружность. АВ = 27, CD = 15.

Вам также может понравиться

Как найти путь по графику модуля скорости

Как можно составить слова ватрушка

Как составить памятку правила работы с компьютером

Добавить комментарий Отменить ответ