Как найти периметр дуги окружности

Для того, чтобы вычислить длину той или иной дуги окружности необходимо вспомнить основные величины и
понятия, относящиеся к этой геометрической фигуре. Окружностью называется множество точек,
равноудаленных от точки, называемой ее центром. Площадь, которая ограничена окружностью называется
кругом. Расстояние от центра до любой точки окружности — ее радиус. Отрезок, соединяющий две точки
окружности называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности является ее диаметром и
равна двум радиусам. Дуга той или иной окружности — это величина, измеряемая единицами длины,
ограниченная двумя точками. Самая большая дуга составляет длину окружности. В математике существует
еще одно определение дуги — это часть окружности, заключенная между двух ее радиусов.

Обозначим дугу буквой P. Главными параметрами дуги являются: радиус окружности R на которой она
находится и угол между радиусами (), которыми она ограничена. Самая популярная формула для
вычислений выглядит так:

P = πRα / 180°

где — π постоянная величина (константа), равная примерно 3,14, R — радиус.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Задача — вычислить длину дуги окружности радиусом 10 см величиной в 90
градусов. Подставляем в формулу значения и производим расчет. Р = 3,14 * 10 * 90 / 180 = 15,7 см.

В науке, на производстве и в повседневной жизни человеку довольно часто приходится сталкиваться с
вычислением длины дуги. Например, необходимо рассчитать расход листового металла при изготовлении
или ремонте цилиндрической емкости. Без этого не обойтись при определении расхода материала для
изготовления фасонной тары. Знание величины дуги необходимо в строительстве и машиностроении, при
изготовлении моделей и в кораблестроении, в сельском хозяйстве и в геодезии.

Источник

{L = dfrac{pi R alpha}{180degree}}

Длина дуги окружности – важный параметр, который используется в геометрии и математике для решения различных задач. На этой странице приведены две формулы для расчета длины дуги окружности – через радиус и угол между радиусами и по формуле Гюйгенса. Также вы можете рассчитать длину дуги окружности с помощью калькулятора, которые используют эти формулы.

Дуга — одно из двух подмножеств окружности, на которые её разбивают любые две различные принадлежащие ей точки. Любые две точки окружности разбивают её на две части, при этом каждая из частей является дугой.

Содержание:

калькулятор длины дуги окружности
формула длины дуги окружности через радиус и угол
формула длины дуги окружности по формуле Гюйгенса
примеры задач

Если обобщить, то дуга окружности – это часть окружности, ограниченная двумя ее точками. Ниже приведены несколько примеров дуг окружностей:

Полная окружность – это дуга, которая охватывает всю окружность. Угол, определяющий полную окружность, равен 360° или 2π радиан. Длина дуги полной окружности равна общей длине окружности, которая может быть вычислена по формуле L = 2πr, где r – радиус окружности.
Полуокружность – это дуга, которая охватывает половину окружности. Угол, определяющий полуокружность, равен 180° или π радиан. Длина дуги полуокружности равна половине общей длины окружности и может быть вычислена по формуле L = πr.
Сектор окружности – это область, ограниченная дугой окружности и двумя ее радиусами.

Это только несколько примеров дуг окружности. Дуги могут быть разных размеров и форм, в зависимости от угла, определяющего их, и расположения на окружности.

Формула длины дуги окружности через радиус и угол

{L = dfrac{pi R alpha}{180degree}}

R – радиус окружности

α – центральный угол (угол между радиусами) в градусах

{L = R alpha}

R – радиус окружности

α – центральный угол (угол между радиусами) в радианах

Формула длины дуги окружности по формуле Гюйгенса

{L approxeq 2m + dfrac{2m-M}{3}}

m – длина хорды m

M – длина хорды M

Обратите внимание, что в данной формуле используется не привычный знак равно «=», а знак “равно или почти равно”, который записывается так – «approxeq». Это связано с тем, что формула Гюйгенса дает погрешность при вычислении. Хоть величина погрешности невелика, знать об этом надо.

Относительная погрешность формулы Гюйгенса составляет порядка 0,5% когда угол дуги равен 60°. Если же угловая мера дуги уменьшается, то уменьшается и погрешность. Например, для дуги в 45° относительная погрешность будет равна примерно 0,02%.

Примеры задач на нахождение длины дуги

Задача 1

Найдите длину дуги окружности радиуса 6см, если ее градусная мера равна 30.

Решение

Для решения этой задачи нам подойдет первая формула. Подставим в нее значение радиуса и угла и произведем вычисления:

L = dfrac{pi R alpha}{180degree} = dfrac{pi cdot 6 cdot 30degree}{180degree} = dfrac{pi cdot 180degree}{180degree} = pi : см approx 3.14 : см.

Ответ: {pi : см approx 3.14 : см.}

Введем известные значения в калькулятор для проверки полученного ответа.

Задача 2

Найдите длину дуги окружности радиуса 3см, если ее градусная мера равна 150 градусов.

Решение

Задача аналогична предыдущей. Также воспользуемся первой формулой.

L = dfrac{pi R alpha}{180degree} = dfrac{pi cdot 3 cdot 150degree}{180degree} = dfrac{pi cdot 3 cdot 5}{6} = dfrac{pi cdot 5}{2} = dfrac{5}{2} pi : см = 2.5 pi : см approx 7.85398 : см.

Ответ: {2.5 pi : см approx 7.85398 : см.}

В проверке ответа нам снова поможет калькулятор .

Длина дуги окружности имеет множество применений в математике и ее приложениях. Например, она используется для вычисления длины дуги графика функции, заданной в полярных координатах. Также длина дуги окружности используется при вычислении пути, пройденного телом при движении по окружности, а также для вычисления объема тела, полученного путем вращения дуги окружности вокруг ее диаметра.

Источник

Как рассчитать длину дуги окружности

На данной странице калькулятор поможет рассчитать длину дуги окружности онлайн. Для расчета задайте радиус, угол между радиусами.

Чтобы найти длину дуги, когда не известен радиус, например, на чертеже или у предмета, то используют формулу Гюйгенса. При расчете по этой формуле есть погрешность, примерно от 0,5% до 0,02%.

Дуга окружности – это часть окружности ограниченная двумя точками.

Через радиус и угол

Формула для нахождения площади сектора круга:

π – константа равная (3.14); α – угол сектора круга; r – радиус окружности.

По формуле Гюйгенса

Формула Гюйгенса для нахождения длины дуги окружности:

a1, a2 – хорды.

Источник

Длина дуги

Главная
/
Математика
/
Геометрия
/
Длина дуги

Чтобы найти длину дуги окружности воспользуйтесь нашим очень удобным онлайн калькулятором:

Онлайн калькулятор

Чему равна длина дуги, если:

радиус r =
угол α =

Ответ: L =

Округление числа π: Округление ответа:

Просто введите радиус и угол α, и получите ответ.

Теория

Чему равна длина дуги окружности L если её радиус r, а угол между двумя прямыми, проведёнными от центра окружности к конечным точкам дуги – центральный угол α?

Формула

Если угол в градусах:

L = π ⋅ r ⋅ ^α ⁄ ₁₈₀

Если угол в радианах:

L = r ⋅ α

Пример

Для примера посчитаем чему равна длина дуги окружности с радиусом r = 2 см и центральным углом α = 45° :

L = 3.14 ⋅ 2 ⋅ 45/180 = 6.28 ⋅ 0.25 = 1.57 см

См. также

Источник

Что такое окружность?

Окружность – это замкнутая плоская кривая, ограничивающая круг.

Или, другими словами, окружность представляет собой множество точек, удаленных на одно и тоже расстояние от центра круга на длину радиуса этого круга. А длина окружности – это длина этой кривой, которую образует это множество точек и которая ограничивает собой круг. Это хорошо видно на иллюстрации выше.

Как найти длину окружности?

Чтобы вычислить длину окружности, нужно знать радиус, диаметр или площадь круга. Причём достаточно только чего-то одного из этих элементов.

По диаметру

Диаметр — это такой отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через центр круга. Чтобы найти длину окружности через диаметр, просто умножаем диаметр окружности на число Пи и получаем длину окружности.

Формула будет такой:

L = π × d

Где L – длина окружности, π – константа, равная примерно 3,14, а d – это диаметр.

Например, нам нужно посчитать периметр канализационной трубы диаметром 100 мм. Окружность этой трубы можно найти весьма несложными расчётами:

L = 3,14 × 100 = 314 мм.

Кстати, у труб есть 2 окружности и 2 диметра: внутренние и внешние. Это хорошо показано на рисунке ниже.

Всегда обращайте внимание, какой именно диаметр известен и какую длину окружности вам требуется вычислить. Часто внутренний диаметр обозначается малой d или D1, а наружный просто – D или DN.

Зная радиус

Радиус окружности — это отрезок, который соединяет центр окружности с точкой на окружности. Радиус равен половине диаметра, поэтому вычисление длины окружности будет похоже на предыдущий случай: умножаем радиус на два и на число пи и получаем длину окружности.

Формула расчёта выглядит следующим образом:

L = 2π × R

Где L – длина окружности, π – константа (приблизительно 3,14), а r – это радиус.

К примеру, нужно посчитать длину внутренней окружности трубы, с внутренним радиусом 26 мм. В этом случае периметр получается следующим образом:

L = 2 × 3,14 × 26 = 163,28 мм.

Также обратите внимание, что в число Пи взято с точностью до двух знаков после запятой, и всегда расчёт через Пи идёт с округлением и является приблизительным.

Через площадь круга

И, пожалуй, самым редким случаем калькуляции периметра круга будет тот, когда нам известна только площадь этого круга. В этом случае, чтобы рассчитать длину окружности, можно воспользоваться следующей формулой:

L = (4Sπ)^1/2

Где L – длина окружности, S – площадь круга, а π – константа, равная 3,14.

То есть длина окружности равна квадратному корню произведения площади круга, числу пи, умноженному на четыре. На всякий случай, корень и степень ½ – это одно и то же.

Возьмём пример, к нам прилетели инопланетяне и оставили круги на полях.

Площадь одного из этих кругов составила аж 1146,5 квадратных метра. Чтобы рассчитать длину окружности, нужно сделать следующее:

Умножить 4 на 3,14, и полученное произведение умножить на площадь круга 1146,5. Получаем 14400,04.
И теперь находим квадратный корень из этого числа и получаем примерно 120 метров. Это и есть длина окружности.

Как и в прошлых случаях из-за наличия числа Пи, которое является иррациональным, ответ будет считаться с округлением.

❓Вопросы и ответы

И наконец, предлагаем вам прочитать ответы на некоторые часто задаваемые вопросы относительно вычисления длины окружности.

Что что имеет большее значение радиус, диаметр, длина окружности или площадь круга?

Площадь круга. А если выставить всё это по мере убывания, то рейтинг будет таким:

Площадь круга
Длина окружности
Диаметр
Радиус

Какие есть ещё калькуляторы для круга у вас на сайте?

У нас есть разные калькуляторы, в частности калькуляторы: диаметра, площади круга и длины окружности. Для последней калькулятор находится наверху данной страницы.

Почему Пи равняется 3,1415926…, а не является «ровным» числом?

Число Пи – это отношение длины окружности к диаметру. После его вычисления математики выяснили, что оно является иррациональным числом: то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. На июнь 2022 года известны первые 100 триллионов знаков числа «пи» после запятой. И получается, что именно с такой точностью можно рассчитать площадь круга. Если у квадрата и треугольника площадь точная, то у круга всегда приблизительная.

Хватит ли чего-то одного (диаметра, радиуса, площади) для расчёта длины окружности?

Да, хватит. Формулы и примеры расчетов периметра круга, в которых используется что-то одно из перечисленного, есть выше на данной странице.

Что такое внутренняя и внешняя окружность? Чем они отличаются?

Внутренняя и внешняя окружность (а также диаметр) чаще всего используются для расчёта параметров труб, у которых есть стенки ненулевой ширины. Поэтому окружность внутри трубы всегда меньше окружности снаружи. Для окружности снаружи используется обозначение L или LN, а диаметра – D или DN. А для периметра и диаметра круга внутри добавляется нижний индекс «единица»: L₁ и D₁, или используются буквы в нижнем регистре (малые): l и d.