Как найти периметр куба через ребро

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

В публикации мы рассмотрим определение и основные свойства куба, а также формулы, касающиеся данной геометрической фигуры (расчет площади поверхности, периметра ребер, объема, радиуса описанного/вписанного шара и т.д.).

Определение куба

Куб – это правильный многогранник, все грани которого являются квадратами.

• Вершины куба – это точки, являющиеся вершинами его граней.
  Всего их 8: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁ и D₁.
• Ребра куба – это стороны его граней.
  Всего их 12: AB, BC, CD, AD, AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁ и A₁D₁.
• Грани куба – это квадраты, из которого состоит фигура.
  Всего их 6: ABCD, A₁B₁C₁D₁, AA₁B₁B, BB₁C₁C, CC₁D₁D и AA₁D₁D.

Примечание: куб является частным случаем параллелепипеда или призмы.

Свойства куба

Свойство 1

Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. Также противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:

• ABCD || A₁B₁C₁D₁
• AA₁B₁B || CC₁D₁D
• BB₁C₁C || AA₁D₁D

Свойство 2

Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.

• AC₁ = BD₁ = A₁C = B₁D (диагонали куба).
• О – точка пересечения диагоналей:
  AO = OC₁ = BO = OD₁ = A₁O = OC = B₁O = OD.

Свойство 3

Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т.е. являются прямыми.

Например, на рисунке выше угол между гранями ABCD и AA₁B₁B является прямым.

Формулы для куба

Примем следующие обозначения, которые будут использоваться далее:

• a – ребро куба;
• d – диагональ куба или его грани.

Диагональ

Длина диагонали куба равняется длине его ребра, умноженной на квадратный корень из трех.

Диагональ грани

Диагональ грани куба равна его ребру, умноженному на квадратный корень из двух.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности куба равняется шести площадям его грани. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.

Периметр ребер

Периметр куба равен длине его ребра, умноженной на 12. Также может рассчитываться через диагональ.

Объем

Объем куба равен длине его ребра, возведенной в куб.

Радиус описанного вокруг шара

Радиус шара, описанного около куба, равняется половине его диагонали.

Радиус вписанного шара

Радиус вписанного в куб шара равен половине длины его ребра.

Периметр куба является суммой длин всех его ребер. Так как такой периметр состоит из двенадцати ребер, то для того чтобы найти ребро, нужно разделить периметр на двенадцать.
a=P/12

Площадь стороны куба – это площадь квадрата, являющегося гранью куба. Поэтому чтобы вычислить площадь грани, нужно просто возвести во вторую степень ребро, представленное через периметр.
S=(P/12)^2=P^2/144

Чтобы вычислить площадь боковой поверхности куба, нужно найденную площадь одной грани умножить на четыре, то есть на количество граней, входящих в боковую поверхность. Аналогично вычисляется площадь полной поверхности куба.
S_(б.п.)=4 P^2/144=P^2/36
S_(п.п.)=6 P^2/144=〖3P〗^2/24

Чтобы найти объем куба, нужно перемножить его длину, ширину и высоту, – то есть возвести в третью степень ребро куба, так как все его ребра между собой равны.
V=a^3=(P/12)^3=P^3/1728

Диагональ боковой грани куба является диагональю квадрата, которая вычисляется как произведение ребра куба на корень из двух. Диагональ стороны куба через периметр выглядит как отношение периметра к двум корням из двух.
d=a√2=P/12 √2=P/(6√2)

Чтобы вычислить диагональ куба через периметр, нужно сначала вывести саму формулу диагонали из прямоугольного треугольника с боковым ребром и диагональю стороны куба. (рис.2.1)
a^2+d^2=D^2
D^2=a^2+2a^2
D^2=3a^2
D=a√3=(P√3)/12

Радиус сферы, вписанной в окружность, равен половине ребра куба, поэтому если подставить вместо ребра куба соответствующее выражение через периметр грани, то радиус вписанной сферы будет представлен в виде периметра, деленного на 8. (рис. 2.2)
r=a/2=P/24

Сфера, описанная вокруг куба, пересекается с ним в его вершинах, а ее диаметр, соединяя две противоположные вершины, совпадает с диагональю куба. Таким образом, радиус описанной вокруг куба сферы равен половине диагонали или периметру стороны куба, умноженному на корень из трех и деленному на 8. (рис.2.3)
R=D/2=(P√3)/24

Светило науки – 7292 ответа – 165986 раз оказано помощи