Как найти периметр квадрата через вписанную окружность - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

{P = 4 cdot a}

Периметр квадрата рассчитывается довольно просто, но если вы забыли формулу или не имеете под рукой калькулятора, мы собрали для вас формулы для расчета периметра квадрата и онлайн калькулятор, который рассчитает периметр по длине стороны, диаметру, радиусам вписанной или описанной окружности, площади.

Содержание:

калькулятор периметра квадрата
формула периметра квадрата через длину стороны
формула периметра квадрата через диагональ
формула периметра квадрата через площадь
формула периметра квадрата через радиус описанной окружности
формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности
примеры задач

Квадрат – четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы равны (прямые, 90 градусов). Квадрат так же называют правильным четырехугольником. Квадрат является частным случаем прямоугольника и ромба.

Кроме квадрата на сайте вы можете найти периметр ромба, прямоугольника, параллелограмма.

Формула периметра квадрата через длину стороны

{P = 4 cdot a}

a – сторона квадрата

Формула периметра квадрата через диагональ

{P = 2 sqrt{2} cdot d}

d – диагональ квадрата

Формула периметра квадрата через площадь

{P = 4sqrt{S}}

S – площадь квадрата

Формула периметра квадрата через радиус описанной окружности

{P = 4sqrt{2} cdot R}

R – радиус описанной около квадрата окружности

Формула периметра квадрата через радиус вписанной окружности

{P = 8r}

r – радиус вписанной в квадрат окружности

Примеры задач на нахождение периметра квадрата

Задача 1

Найти периметр квадрата, вписанного в окружность с R = 4√2.

Решение

Среди формул для решения этой задачи используем наиболее подходящую формулу №4. В условии сказано про квадрат, вписанный в окружность. Но при этом окружность будет описана около квадрата. Именно поэтому мы используем эту формулу. Подставим в нее известный из условия радиус вписанной окружности (в нашем случае он будет являться радиусом описанной окружности):

P = 4sqrt{2} cdot R = 4sqrt{2} cdot 4sqrt{2} = ({4sqrt{2}})^2 = {4^2 cdot ({sqrt{2}})^2} = 16 cdot 2 = 32 : см

Ответ: 32

Проверить полученный ответ можно с помощью калькулятора . Однако, радиус задан не просто числом, а выражением с квадратным корнем – 4√2. К счастью, наш калькулятор может анализировать математические выражения и производить с ними вычисления. Так как на клавиатуре компьютера нет знака квадратного корня, ввести значение радиуса необходимо в таком виде – 4*sqrt(2).

Задача 2

Найдите периметр квадрата сторона которого 13см.

Решение

Чтобы решить эту задачу используем первую формулу:

P = 4 cdot a = 4 cdot 13 = 52 : см

Ответ: 52 см

Проверить ответ поможет калькулятор .

Задача 3

Найдите периметр квадрата сторона которого 5см.

Решение

Для решения этой задачи также используем первую формулу:

P = 4 cdot a = 4 cdot 5 = 20 : см

Ответ: 20 см

Проверить ответ поможет калькулятор .

Задача 4

Найдите периметр квадрата с диагональю 2√2.

Решение

При решении этой задачи воспользуемся формулой №2:

P = 2 sqrt{2} cdot d = 2 sqrt{2} cdot 2 sqrt{2} = ({2 sqrt{2}})^2 = 2^2 cdot ({sqrt{2}})^2 = 4 cdot 2 = 8 : см

Ответ: 8 см

Проверить ответ к этой задаче можно с помощью калькулятора . Диагональ задана выражением с квадратным корнем, введем ее в виде, который сможет распознать наш калькулятор – 2 * sqrt(2).

Источник

Онлайн калькулятор периметра вписанного в круг квадрата. Как узнать периметр вписанного в круг квадрата.

Вычислить периметр вписанного квадрата через:

Радиус круга R:

Для того что бы найти периметр вписанного в круг квадрата, нам необходимо узнать длину ребра этого квадрата. Для этого нам необходимо разделить квадрат по диагонали на два равнобедренных треугольника, при этом основание у этих треугольников будет равно диаметру круга.

Следующим действиям мы должны определиться с известной нам величиной круга в которую вписан квадрат, а именно нам должна быть известна:

либо площадь круга, обозначаемая буквой S,
либо периметр круга, обозначаемый буквой P,
либо радиус круга, обозначаемый буквой R,
либо диаметр круга, обозначаемый буквой D.

Начнем по порядку, мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник и для того, что бы узнать длину его ребер нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора исходя из которой

Теперь для того что бы найти длину ребра треугольника (которое равно стороне нашего квадрата) нам необходимо узнать длину основания треугольника, которое равно диаметру круга

1. Если нам известна площадь круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:

2. Если нам известна длина круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:

3. Если нам известен радиус круга в который вписан квадрат то для нахождения диаметра нам необходимо воспользоваться следующей формулой:

Соответственно если мы знаем диаметр круга который равен основанию треугольника полученного путем разделения квадрата на две части по диагонали,

мы можем узнать длину сторон квадрата используя теорему Пифагора

после того как мы получили значение длины стороны вписанного квадрата равную a, для получения его периметра нам необходимо полученное значение умножить на 4.

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку “Вычислить”. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Свойства квадрата

Длины всех сторон квадрата равны.
Все углы квадрата прямые.
Диагонали квадрата равны.
Диагонали пересекаются под прямым углом.
Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

(1)

Из равенства (1) найдем d:

(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Ответ:

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Ответ:

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Ответ:

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

(5)

Из формулы (5) найдем R:

(6)

или, умножая числитель и знаменатель на , получим:

(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Ответ:

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:

Ответ:

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

(9)

где − сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:

Ответ:

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Из (13) следует, что

(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать периметр квадрата и разберем примеры решения задач.

Формула вычисления периметра

По длине стороны

Периметр (P) квадрата равняется сумме длин его сторон.

P = a + a + a + a

Так как все стороны квадрата равны, формулу можно представить в виде произведения:

P = 4 ⋅ a

По длине диагонали

Периметр (P) квадрата равен произведению длины его диагонали на число 2√ 2 :

P = d ⋅ 2√ 2

Данная формула следует из соотношения длин стороны (a) и диагонали (d) квадрата:
d = a√ 2 .

Примеры задач

Задание 1
Найдите периметр квадрата, если его сторона равна 6 см.

Решение:
Используем формулу, в которой участвует значение стороны:
P = 6 см + 6 см + 6 см + 6 см = 4 ⋅ 6 см = 24 см.

Задание 2
Найдите периметр квадрата, диагональ которого равняется √ 2 см.

Решение 1:
С учетом известной нам величины воспользуемся второй формулой:
P = √ 2 см ⋅ 2√ 2 = 4 см.

Решение 2:
Выразим длину стороны через диагональ:
a = d / √ 2 = √ 2 см / √ 2 = 1 см.

Теперь, используя первую формулу, получаем:
P = 4 ⋅ 1 см = 4 см.

[spoiler title=”источники:”]

http://matworld.ru/geometry/kvadrat.php

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

[/spoiler]

Источник

При помощи нашего калькулятора вы легко сможете узнать периметр вписанного в круг квадрата.

либо площадь круга, обозначаемая буквой S,
либо периметр круга, обозначаемый буквой P,
либо радиус круга, обозначаемый буквой R,
либо диаметр круга, обозначаемый буквой D.

c² = 2a²,
Таким образом
a =

√

c²/2

D = c

D=P/π

D=2R

c=D

мы можем узнать длину сторон квадрата используя теорему Пифагора

S = 4a

Источник

Квадрат вписанный в окружность

Обновлено 28.02.2022

Содержание

Определение
Формулы
Радиус вписанной окружности в квадрат
Радиус описанной окружности около квадрата
Сторона квадрата
Площадь квадрата
Периметр квадрата
Диагональ квадрата
Свойства

Определение

Квадрат, вписанный в окружность — это квадрат, который находится
внутри окружности и соприкасается с ней углами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
квадрата и окружность, вписанная в квадрат.

Формулы

Радиус вписанной окружности в квадрат

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна сторона:

[ r=frac{a}{2} ]
Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен периметр:

[ r=frac{P}{8} ]
Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна площадь:

[ r=frac{sqrt S}{2} ]
Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен радиус описанной окружности:

[ r=frac{ R}{sqrt 2} ]
Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна диагональ:
[ r=frac{ d}{2sqrt 2} ]

Радиус описанной окружности около квадрата

Радиус описанной окружности около квадрата, если известна сторона:

[ R=afrac{sqrt 2}{ 2} ]
Радиус описанной окружности около квадрата, если известен периметр:

[ R=frac{ P}{4 sqrt 2} ]
Радиус описанной окружности около квадрата, если известна площадь:

[ R=frac{sqrt 2S}{ 2} ]
Радиус описанной окружности около квадрата, если известен радиус вписанной окружности:

[ R= r sqrt2 ]
Радиус описанной окружности около квадрата, если известна диагональ:

[ R=frac{d}{2} ]

Сторона квадрата

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

[ a=sqrt S ]
Сторона квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

[ a=frac{ d}{sqrt 2} ]
Сторона квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

[ a=frac{ P}{4} ]

Площадь квадрата

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
[ S=a^2 ]
Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

[ S=4r^2 ]
Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

[ S=2R^2 ]
Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

[ S=frac{ P^2}{ 16} ]
Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

[ S=frac{ d^2}{ 2} ]

Периметр квадрата

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

[ P=4a ]
Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

[ P=4sqrt S ]
Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

[ P=8r ]
Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

[ P=4Rsqrt 2 ]
Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

[ P=2dsqrt 2 ]

Диагональ квадрата

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

[ d=asqrt 2 ]
Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

[ d=sqrt 2S ]
Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

[ d=frac{ P}{2 sqrt 2} ]
Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

[ d=2rsqrt 2 ]
Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

[ d=2R ]

Свойства

Все углы в квадрате прямые.
Все стороны квадрата равны.
Сумма всех углов квадрата 360°.
Диагонали квадрата одновременно равны, пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами углов.
Точка пересечения диагоналей квадрата является центром вписанной и описанной окружности.
Диагонали квадрата перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам.
Квадрат обладает симметрией.

Источник

Периметр квадрата калькулятор онлайн умеет вычислять периметр пятью способами:

По стороне квадрата.
По диагонали квадрата.
По площади квадрата.
По радиусу описанной окружности.
По радиусу вписанной окружности.

Сделав расчет периметра на этом онлайн калькуляторе Вы получите не только ответ, но и детальное, пошаговое решение с выводом формул и промежуточных действий.

Периметр квадрата – это сумма четырех его сторон.
Так как у квадрата все стороны равны, то для вычисления периметра достаточно знать длину всего одной стороны.
Периметр может быть найден и по другим формулам, например через диагональ или площадь квадрата. В этих случаях сначала находится длина одной стороны квадрата, а затем и сам периметр.