Примечание. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет – пишите об этом в форуме. В задачах вместо символа “квадратный корень” применяется функция sqrt(), в которой sqrt – символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Для простых подкоренных выражений может использоваться знак “√”.
Задача.
Боковая грань правильной треугольной пирамиды представляет собой правильный треугольник, площадь которого 16 корней из 3 см2 (16√3). Вычислить периметр основания пирамиды.
Решение.
Правильный треугольник – это равносторонний треугольник. Соответственно, боковая грань пирамиды представляет собой равносторонний треугольник.
Площадь равностороннего треугольника равна:
Соответственно:
16√3 = a2 √3 / 4
16 = a2 / 4
a2 = 64
a = 8 см
Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник. Таким образом, периметр основания пирамиды равен
8 * 3 = 24 см
Ответ: 24 см.
0
Правильная треугольная пирамида (правильная пирамида с треугольником в основании). Тетраэдр |
Описание курса
| Объем правильной треугольной пирамиды
Зная периметр основания правильной пирамиды, можно легко вычислить сторону основания, разделив периметр на удвоенное количество сторон многоугольника. Площадь основания в свою очередь будет рассчитываться по стандартной формуле площади правильного многоугольника, в которую необходимо будет подставить выражение, соответствующее стороне основания через периметр.
a=P/n
S=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )=P^2/(4n tan〖(180°)/n〗 )
Чтобы найти радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник в основании пирамиды, как и радиус окружности, описанной вокруг основания, необходимо знать сторону основания, поэтому здесь также пригодится полученное через периметр выражение. (рис.34.1,34.2)
r=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )=P/(2n tan〖(180°)/n〗 )
R=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )=P/(2n sin〖(180°)/n〗 )
Величина внутреннего угла многоугольника в основании зависит только от количества сторон многоугольника и рассчитывается по следующей формуле. (рис.34.3)
γ=180°(n-2)/n
Зная апофему и сторону основания правильной пирамиды, вычисленной через периметр, можно рассчитать боковое ребро и высоту пирамиды по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках. (рис. 34.4, 35.1)
h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 )
b=√(l^2+P^2/(4n^2 ))
Чтобы найти угол между основанием и апофемой, а также между основанием и боковым ребром, нужно сначала рассчитать косинусы этих углов в прямоугольных треугольниках, образованных высотой и соответствующим отрезком, которые через основание будут соединяться радиусы вписанной и описанной окружностей. (рис.34.4, 34.5)
cosα=R/b=P/(2n sin〖(180°)/n〗 √(l^2+P^2/(4n^2 )))
cosβ=r/l=P/(2nl tan〖(180°)/n〗 )
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания равна произведению периметра на половину апофемы. Площадь полной поверхности вычисляется как сумма полученного значения и площади основания.
S_(б.п.)=lP/2
S_(п.п.)=P(l/2+P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))
Чтобы найти объем пирамиды, необходимо знать не только периметр основания для расчета его площади, но и высоту пирамиды, которая равна квадратному корню из разности квадратов апофемы и радиуса вписанной в основание окружности.
V=1/3 S_(осн.) h=(P^2 √(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12n tan〖(180°)/n〗 )
Сфера, которую можно вписать в пирамиду, должна иметь радиус, равный отношению трех объемов к площади полной поверхности, которые можно вычислить через периметр и апофему пирамиды. Радиус сферы, которую можно описать вокруг пирамиды, должен быть равен квадрату боковой стороны, деленному на удвоенную высоту. (рис.34.6, 34.7)
r_1=3V/S_(п.п.) =(P√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(2n tan〖(180°)/n〗 (l/2+P/(2n tan〖(180°)/n〗 )) )
R_1=b^2/2h=(2l^2+P^2/n^2 )/(2√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))
Формулы и свойства правильной треугольной пирамиды. Усеченная треугольная пирамида
Объемной фигурой, которая часто появляется в геометрических задачах, является пирамида. Самая простая из всех фигур этого класса – треугольная. В данной статье разберем подробно основные формулы и свойства правильной пирамиды треугольной.
Геометрические представления о фигуре
Прежде чем переходить к рассмотрению свойств правильной пирамиды треугольной, разберемся подробнее, о какой фигуре идет речь.
Предположим, что имеется произвольный треугольник в трехмерном пространстве. Выберем в этом пространстве любую точку, которая в плоскости треугольника не лежит, и соединим ее с тремя вершинами треугольника. Мы получили треугольную пирамиду.
Вам будет интересно: Лихой – это: значение и синонимы
Она состоит из 4-х сторон, причем все они являются треугольниками. Точки, в которых соединяются три грани, называются вершинами. Их у фигуры также четыре. Линии пересечения двух граней – это ребра. Ребер у рассматриваемой пирамиды 6. Рисунок ниже демонстрирует пример этой фигуры.
Поскольку фигура образована четырьмя сторонами, ее также называют тетраэдром.
Правильная пирамида
Выше была рассмотрена произвольная фигура с треугольным основанием. Теперь предположим, что мы провели перпендикулярный отрезок из вершины пирамиды к ее основанию. Этот отрезок называется высотой. Очевидно, что можно провести 4 разные высоты для фигуры. Если высота пересекает в геометрическом центре треугольное основание, то такая пирамида называется прямой.
Прямая пирамида, основанием которой будет треугольник равносторонний, называется правильной. Для нее все три треугольника, образующих боковую поверхность фигуры, являются равнобедренными и равны друг другу. Частным случаем правильной пирамиды является ситуация, когда все четыре стороны являются равносторонними одинаковыми треугольниками.
Рассмотрим свойства правильной пирамиды треугольной и приведем соответствующие формулы для вычисления ее параметров.
Сторона основания, высота, боковое ребро и апотема
Любые два из перечисленных параметров однозначно определяют остальные две характеристики. Приведем формулы, которые связывают названные величины.
Предположим, что сторона основания треугольной пирамиды правильной равна a. Длина ее бокового ребра равна b. Чему будут равны высота правильной пирамиды треугольной и ее апотема.
Для высоты h получаем выражение:
Эта формула следует из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, сторонами которого являются боковое ребро, высота и 2/3 высоты основания.
Апотемой пирамиды называется высота для любого бокового треугольника. Длина апотемы ab равна:
Из этих формул видно, что какими бы ни были сторона основания пирамиды треугольной правильной и длина ее бокового ребра, апотема всегда будет больше высоты пирамиды.
Представленные две формулы содержат все четыре линейные характеристики рассматриваемой фигуры. Поэтому по известным двум из них можно найти остальные, решая систему из записанных равенств.
Объем фигуры
Для абсолютно любой пирамиды (в том числе наклонной) значение объема пространства, ограниченного ею, можно определить, зная высоту фигуры и площадь ее основания. Соответствующая формула имеет вид:
Применяя это выражение для рассматриваемой фигуры, получим следующую формулу:
Где высота правильной треугольной пирамиды равна h, а ее сторона основания – a.
Не сложно получить формулу для объема тетраэдра, у которого все стороны равны между собой и представляют равносторонние треугольники. В таком случае объем фигуры определится по формуле:
То есть он определяется длиной стороны a однозначно.
Площадь поверхности
Продолжим рассматривать свойства пирамиды треугольной правильной. Общая площадь всех граней фигуры называется площадью ее поверхности. Последнюю удобно изучать, рассматривая соответствующую развертку. На рисунке ниже показано, как выглядит развертка правильной пирамиды треугольной.
Предположим, что нам известны высота h и сторона основания a фигуры. Тогда площадь ее основания будет равна:
Получить это выражение может каждый школьник, если вспомнит, как находить площадь треугольника, а также учтет, что высота равностороннего треугольника также является биссектрисой и медианой.
Площадь боковой поверхности, образованной тремя одинаковыми равнобедренными треугольниками, составляет:
Данное равенство следует из выражения апотемы пирамиды через высоту и длину основания.
Полная площадь поверхности фигуры равна:
S = So + Sb = √3/4*a2 + 3/2*√(a2/12+h2)*a
Заметим, что для тетраэдра, у которого все четыре стороны являются одинаковыми равносторонними треугольниками, площадь S будет равна:
Свойства правильной усеченной пирамиды треугольной
Если у рассмотренной треугольной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, срезать верх, то оставшаяся нижняя часть будет называться усеченной пирамидой.
В случае правильной пирамиды с треугольным основанием в результате описанного метода сечения получается новый треугольник, который также является равносторонним, но имеет меньшую длину стороны, чем сторона основания. Усеченная треугольная пирамида показана ниже.
Мы видим, что эта фигура уже ограничена двумя треугольными основаниями и тремя равнобедренными трапециями.
Предположим, что высота полученной фигуры равна h, длины сторон нижнего и верхнего оснований составляют a1 и a2 соответственно, а апотема (высота трапеции) равна ab. Тогда площадь поверхности усеченной пирамиды можно вычислить по формуле:
S = 3/2*(a1+a2)*ab + √3/4*(a12 + a22)
Здесь первое слагаемое – это площадь боковой поверхности, второе слагаемое – площадь треугольных оснований.
Объем фигуры рассчитывается следующим образом:
V = √3/12*h*(a12 + a22 + a1*a2)
Для однозначного определения характеристик усеченной пирамиды необходимо знать три ее параметра, что демонстрируют приведенные формулы.
Периметр и апофема правильной пирамиды
Свойства
Зная периметр основания правильной пирамиды, можно легко вычислить сторону основания, разделив периметр на удвоенное количество сторон многоугольника. Площадь основания в свою очередь будет рассчитываться по стандартной формуле площади правильного многоугольника, в которую необходимо будет подставить выражение, соответствующее стороне основания через периметр. a=P/n S=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )=P^2/(4n tan〖(180°)/n〗 )
Чтобы найти радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник в основании пирамиды, как и радиус окружности, описанной вокруг основания, необходимо знать сторону основания, поэтому здесь также пригодится полученное через периметр выражение. (рис.34.1,34.2) r=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )=P/(2n tan〖(180°)/n〗 ) R=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )=P/(2n sin〖(180°)/n〗 )
Величина внутреннего угла многоугольника в основании зависит только от количества сторон многоугольника и рассчитывается по следующей формуле. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n
Зная апофему и сторону основания правильной пирамиды, вычисленной через периметр, можно рассчитать боковое ребро и высоту пирамиды по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках. (рис. 34.4, 35.1) h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ) b=√(l^2+P^2/(4n^2 ))
Чтобы найти угол между основанием и апофемой, а также между основанием и боковым ребром, нужно сначала рассчитать косинусы этих углов в прямоугольных треугольниках, образованных высотой и соответствующим отрезком, которые через основание будут соединяться радиусы вписанной и описанной окружностей. (рис.34.4, 34.5) cosα=R/b=P/(2n sin〖(180°)/n〗 √(l^2+P^2/(4n^2 ))) cosβ=r/l=P/(2nl tan〖(180°)/n〗 )
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания равна произведению периметра на половину апофемы. Площадь полной поверхности вычисляется как сумма полученного значения и площади основания. S_(б.п.)=lP/2 S_(п.п.)=P(l/2+P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))
Чтобы найти объем пирамиды, необходимо знать не только периметр основания для расчета его площади, но и высоту пирамиды, которая равна квадратному корню из разности квадратов апофемы и радиуса вписанной в основание окружности. V=1/3 S_(осн.) h=(P^2 √(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12n tan〖(180°)/n〗 )
Сфера, которую можно вписать в пирамиду, должна иметь радиус, равный отношению трех объемов к площади полной поверхности, которые можно вычислить через периметр и апофему пирамиды. Радиус сферы, которую можно описать вокруг пирамиды, должен быть равен квадрату боковой стороны, деленному на удвоенную высоту. (рис.34.6, 34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =(P√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(2n tan〖(180°)/n〗 (l/2+P/(2n tan〖(180°)/n〗 )) ) R_1=b^2/2h=(2l^2+P^2/n^2 )/(2√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))
Геометрические фигуры. Правильная пирамида.
Правильная пирамида – когда основанием пирамиды является правильный многоугольник, а высота проецируется в центр основания (или проходит через него).
В правильной пирамиде все боковые ребра имеют одинаковую величину, и каждая боковая грань является равнобедренными треугольниками одного размера.
Правильная пирамида обладает следующими свойствами:
Формулы для правильной пирамиды.
V – объем пирамиды,
S – площадь основания пирамиды,
h – высота пирамиды,
Sb – площадь боковой поверхности пирамиды,
a – апофема (не путать с α) пирамиды,
P – периметр основания пирамиды,
n – число сторон основания пирамиды,
b – длина бокового ребра пирамиды,
α – плоский угол при вершине пирамиды.
Ниже указанная формула определения объема используется лишь для правильной пирамиды:
V – объем правильной пирамиды,
h – высота правильной пирамиды,
n – количество сторон правильного многоугольника, основания правильной пирамиды,
a – длина стороны правильного многоугольника.
Боковое ребро правильной пирамиды находят по формуле:
где b — боковое ребро правильной пирамиды (SA, SB, SC, SD либо SE),
n — количество сторон правильного многоугольника (основание правильной пирамиды),
a — сторона правильного многоугольника (AB, BC, CD, DE либо EA) – основания правильной пирамиды,
h — высота правильной пирамиды (OS).
Указания к решению задач. Свойства, которые мы перечислили выше, помогают при практическом решении. Когда нужно определить углы наклона граней, их поверхность и так далее, значит общая методика сводится к разбиению всей объемной фигуры на отдельные плоские фигуры и применение их свойств для определения отдельных элементов пирамиды, так как большинство элементов оказываются общими для нескольких фигур.
Нужно разбить всю объемную фигуру на отдельные элементы – треугольники, квадраты, отрезки. Дальше, к отдельным элементам применяем знания из курса планиметрии, что очень упрощает определение ответа.
Правильная треугольная пирамида.
Правильная треугольная пирамида – это пирамида, у которой основанием оказывается правильный треугольник, а вершина опускается в центр основания.
Формулы для правильной треугольной пирамиды.
Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:
V – объем правильной пирамиды, которая имеет в основании правильный (равносторонний) треугольник,
h – высота правильной пирамиды,
a – длина стороны основания правильной пирамиды.
Так как правильная треугольная пирамида – это частный случай правильной пирамиды, значит, формулы, верные для правильной пирамиды, оказываются верными и для правильной треугольной.
Еще одним частным случаем правильно пирамиды является тетраэдр.
[spoiler title=”источники:”]
http://geleot.ru/education/math/geometry/calc/pyramid/perimeter_and_apothem
http://www.calc.ru/Geometricheskiye-Figury-Pravilnaya-Piramida.html
[/spoiler]
Геометрия 10-11 класс
10 баллов
Высота правильной треугольной пирамиды равна 4 апофема равна 5. Найдите периметр основания пирамиды
Ирина Каминкова
16.03.2021 13:52:49
Дано: DABC – правильная пирамида, h = 4 – высота, m = 5 – апофема
Найти: периметр основания P
Решение:
Построим две медианы (высоты. биссектрисы) AE и CM
Отметим точку пересечения O = AE ∩ CM
По построению DO = h – высота, DM = m – апофема
По теореме Пифагора из ΔDOM: OM = √(DM²-DO²) = √(5²-4²) = 3
Т.к. O – точка пересечения медиан, OM = CM/3 ⟹ CM = 3OM = 3*3=9
Пусть a – сторона правильного тругольника ΔABC.
Высота CM = √3a/2 ⟹ a = 2CM/√3 = 2*9/√3 = 6√3
Периметр основания
P = 3a = 3*6√3 = 18√3
Ответ: 18√3
Ответ эксперта
Ирина Каминкова
16.03.2021 13:53:25
Ответ эксперта
Все предметы
Рейтинг пользователей
ЕГЭ формулы, шпаргалки — Элементарная геометрия. Пирамида.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
,
где Р — периметр основания, h — апофема.
,
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды:
,
,
Полный список всех формул, шпаргалок для ЕГЭ по математике тут: ЕГЭ математика — формулы, шпаргалки.
Пирамида
По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.
Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.
Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.
Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).
Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.
Некоторые свойства пирамиды
1) Если все боковые ребра равны, то
– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы
Верно и обратное.
Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр
Верно и обратное.
Виды пирамид
Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Для правильной пирамиды справедливо:
– боковые ребра правильной пирамиды равны;
– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;
– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.
Пирамида
Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.
Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:
- боковые рёбра правильной пирамиды равны;
- в правильной пирамиде все боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники;
- в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу;
- если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна Пи, а каждый из них соответственно Пи/n, где n — количество сторон многоугольника основания;
- площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
