Как найти периметр параллелограмма через треугольники

Нахождение периметра параллелограмма: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать периметр параллелограмма и разберем примеры решения задач.

Формула вычисления периметра

Периметр (P) параллелограмма равняется сумме длин всех его сторон. А т.к. противоположные стороны данной фигуры равны, формулу можно представить в следующем виде:

P = 2 * (a + b) или P = 2a + 2b

Примеры задач

Задание 1
Найдите периметр параллелограмма, если его стороны равны 6 и 8 см.

Решение:
Воспользуемся одной из двух формул выше, подставив в нее известные значения: P = 2 * 6 см + 2 * 8 см = 28 см.
Тот же самый результат получится, если применить вторую формулу: P = 2 * (6 см + 8 см) = 28 см.

Задание 2
Периметр параллелограмма равен 50 см. Найдите его вторую сторону, если известно, что первая равна 7 см.

Решение:
Нам известно, что периметр считается по формуле: P = 2a + 2b.
Допустим a – это известная сторона, и нам нужно найти b. Ее длина, умноженная на два, равна: 2b = P – 2a = 50 см – 2 * 7 см = 36 см.
Следовательно, длина неизвестной стороны составляет: b = 36 см / 2 = 18 см.

Как найти периметр параллелограмма через диагонали

Признаки параллелограмма

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Основные свойства параллелограмма

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =	d 1
2
BO = DO =	d 2
2

AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2BC 2

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

a =	√ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 b 2
2

b =	√ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 a 2
2

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

Диагонали параллелограмма

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

d ₁ = √ a 2 + b 2 — 2 ab·cosβ

d ₂ = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosβ

d ₁ = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosα

d ₂ = √ a 2 + b 2 — 2 ab·cosα

d ₁ = √ 2 a 2 + 2 b 2 — d ₂ 2

d ₂ = √ 2 a 2 + 2 b 2 — d ₁ 2

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d 1 =	2S	=	2S
d 2· sinγ	d 2· sinδ

d 2 =	2S	=	2S
d 1· sinγ	d 1· sinδ

Периметр параллелограмма

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

P = 2 a + 2 b = 2( a + b )

P = 2 a + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 — 4 a 2

P = 2 b + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 — 4 b 2

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

Площадь параллелограмма

Формулы определения площади параллелограмма:

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Параллелограмм – четырехугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.

Противолежащие стороны параллелограмма имеют одинаковую длину. Периметр параллелограмма находят как удвоенную сумму двух его сторон:

Формулы для вычисления длины периметра параллелограмма:

1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:

P = 2a + 2b = 2(a + b);

2. Формула периметра параллелограмма через 1-ну сторону и 2-е диагонали:

3. Формула периметра параллелограмма через 1-ну сторону, высоту и sin угла:

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.

a , b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α , β — углы параллелограмма

Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), ( D , d ):

Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), ( D , d ):

2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α , β — углы между диагоналями

S — площадь параллелограмма

Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, ( D , d ):

Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника

Вы будете перенаправлены на Автор24

Периметр любой геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. В этой статье, на примере задач, мы приведем формулы для нахождения периметров квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, многоугольника и эллипса.

Периметр квадрата

Квадратом будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех равных сторон, все углы которой прямые (рис. 1).

Найти периметр квадрата, если его сторона равняется $α$.

Так как все 4 стороны квадрата равны между собой, то, по определению периметра, получим

Вывод: Для нахождения периметра квадрата надо длину его стоны умножить на $4.$

Периметр прямоугольника

Прямоугольником будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем противоположные стороны равны между собой, все углы которой прямые (рис. 2).

Найти периметр прямоугольника, если его смежные стороны равняются $α$ и $β$.

Так как противоположные стороны равняются между собой, то

Готовые работы на аналогичную тему

Вывод: Для нахождения периметра прямоугольника надо сумму длин его смежных сторон умножить на $2.$

Периметр параллелограмма

Параллелограммом будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем противоположные стороны равны между собой и параллельны друг другу (рис. 3).

Найти периметр параллелограмма, если его смежные стороны равняются $α$ и $β$.

Так как противоположные стороны равняются между собой, то

Вывод: Для нахождения периметра параллелограмма надо сумму длин его смежных сторон умножить на $2.$

Периметр трапеции

Трапецией будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем 2 противоположные стороны, которые называются основаниями, параллельны друг другу (рис. 4).

Найти периметр трапеции, если его стороны равняются $α$, $β$, $γ$ и $δ$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры получим, что

Вывод: Для нахождения периметра трапеции надо сложить все длины его сторон.

Периметр ромба

Ромбом будем назвать такой параллелограмм, у которого все стороны равны между собой (рис. 5).

Найти периметр ромба, если его сторона равняется $α$.

Так как все 4 стороны ромба равны между собой, то, по определению периметра, получим

Вывод: Для нахождения периметра ромба надо длину его стоны умножить на $4.$

Периметр многоугольника

Отметим, что все фигуры, рассмотренные выше, являются многоугольниками, а именно четырехугольниками. Поэтому можем рассмотреть более обще понятие, а именно понятие -угольника.

$n$-угольником будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из $n$ непересекающихся сторон и $n$ углов. (рис. 6).

Найти периметр $n$-угольника, если его стороны равняются $α_1$, $α_2$,…, $α_n$.

По определению периметра плоской геометрической фигуры получим, что

Вывод: Для нахождения периметра -угольника надо сложить все длины его сторон.

Здесь можно выделить периметр правильного $n$-угольника, то есть $n$-угольника, у которого все стороны равняются между собой.

Найти периметр правильного $n$-угольника, если его сторона равняется $α$.

Так как все $n$ сторон правильного $n$-угольника равны между собой, то, по определению периметра, получим

Вывод: Для нахождения периметра правильного $n$-угольника надо длину его стороны умножить на $n$

Периметр эллипса

Здесь просто введем формулу, для вычисления периметра (или еще иначе длины) эллипса. Пусть нам дан эллипс, как на рисунке 7.

Тогда периметр эллипса равняется

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13 07 2021

Эксперт по предмету «Геометрия»

Работаем по будням с 10:00 до 20:00 по Мск

. и многие другие.
Успешной учебы! Будем рады вам помочь!

[spoiler title=”источники:”]

http://planshet-info.ru/kompjutery/kak-najti-perimetr-parallelogramma-cherez

http://spravochnick.ru/geometriya/ploschad_formuly_ploschadi/kak_nayti_perimetr_kvadrata_pryamougolnika_parallelogramma_trapecii_romba_ellipsa_mnogougolnika/

[/spoiler]

Что такое периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма — это сумма длин всех его сторон.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны друг другу. Таким образом, его периметр — это удвоенная сумма двух его смежных ребер.

Свойства

• противоположные стороны равны и параллельны;
• противоположные углы попарно равны;
• сумма соседних углов равна 180 градусов;
• сумма всех углов равна 360 градусов;
• диагонали фигуры делятся пополам в точке пересечения;
• точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма;

• биссектриса образует равнобедренный треугольник.

Как найти периметр

Существует несколько основных способов, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон заданной фигуры. Все они зависят от изначально известных параметров.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

По сумме всех сторон

Так как периметр параллелограмма — это удвоенная сумма двух его смежных ребер, используем  формулу:

P=2(a+b),

где a и b — это две смежные стороны данного четырехугольника.

По стороне и двум диагоналям

Если в задаче дана лишь одна сторона, но обе диагонали четырехугольника, мы можем найти вторую сторону. Для этого используем формулу:

(a=frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2,)

где (d_1) и (d_2) — это обе диагонали фигуры.

Получается, что расчет суммы длин всех сторон для параллелограмма будет выглядеть так:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b).)

По стороне, высоте и синусу угла

В случае, если нам известны лишь одно ребро, высота и один из углов, можем узнать длину второго ребра таким образом:

(a=frac{h_b}{sinalpha})

где (h_b) — высота, проведенная к известной стороне, а (sinalpha) — известный нам угол.

Таким образом, формула для нахождения периметра параллелограмма будет выглядеть так:

(P=2(frac{h_b}{sinalpha}+b))

Примеры решения задач

Попробуем применить полученные знания на практике и рассмотрим несколько задач на периметр параллелограмма.

Задача 1

Дан параллелограмм со сторонами 5 см и 9 см. Вычислить его периметр.

Решение:

Воспользуемся формулой P=2(a+b), так как нам известны обе стороны фигуры. Подставляем значения: P=2(5+9)=28 см.

Ответ: 28 см.

Задача 2

Известно, что одна из сторон параллелограмма равна 4 см, а две его диагонали равны 6 см и 8 см. Найти периметр фигуры.

Решение:

Для расчета суммы длин всех сторон используем формулу:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b))

Подставляем известные значения:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b)=2(frac{sqrt{2times6^2+2times8^2-4times4^2}}2+4)=2(frac{sqrt{72+128-64}}2+4)=2(frac{2sqrt{34}}2+4)=2sqrt{34}+8) см.

Ответ:( 2sqrt{34}+8) см.

Задача 3

Сторона b параллелограмма равна 2 см, высота, проведенная к b — 1 см, а угол α равен (fracpi6). Найти сумму длин всех сторон фигуры.

Решение:

Для расчета будем использовать уравнение:

(P=2(frac{h_b}{sinalpha}+b))

Подставим известные величины:

(P=2(frac1{sin{displaystylefracpi6}}+2)=2(frac1{displaystylefrac12}+2)=8;)см.

Ответ: 8 см.

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать периметр параллелограмма и разберем примеры решения задач.

• Формула вычисления периметра

• Примеры задач

Формула вычисления периметра

Периметр (P) параллелограмма равняется сумме длин всех его сторон. А т.к. противоположные стороны данной фигуры равны, формулу можно представить в следующем виде:

P = 2 * (a + b) или P = 2a + 2b

Примеры задач

Задание 1
Найдите периметр параллелограмма, если его стороны равны 6 и 8 см.

Решение:
Воспользуемся одной из двух формул выше, подставив в нее известные значения: P = 2 * 6 см + 2 * 8 см = 28 см.
Тот же самый результат получится, если применить вторую формулу: P = 2 * (6 см + 8 см) = 28 см.

Задание 2
Периметр параллелограмма равен 50 см. Найдите его вторую сторону, если известно, что первая равна 7 см.

Решение:
Нам известно, что периметр считается по формуле: P = 2a + 2b.
Допустим a – это известная сторона, и нам нужно найти b. Ее длина, умноженная на два, равна: 2b = P – 2a = 50 см – 2 * 7 см = 36 см.
Следовательно, длина неизвестной стороны составляет: b = 36 см / 2 = 18 см.

Периметр параллелограмма зависит от длины его сторон. И хотя формула для расчета несложная, мы сделали калькулятор, который позволяет рассчитать периметр параллелограмма в режиме онлайн. Наш калькулятор рассчитает периметр параллелограмма по двум сторонам или по двум диагоналям и одной из сторон.

На сайте вы можете рассчитать периметры других четырехугольников: квадрат, ромб, прямоугольник.

Формула периметра параллелограмма через две стороны

Формула периметра параллелограмма через диагонали и сторону

Примеры задач на нахождение периметра параллелограмма