Как найти периметр параллелограмма если есть биссектриса

Можно, конечно, рисовать рисунок. Можно чертить чертёж. Только почему-то мне видится, что сам параллелограмм при этом должен иметь несколько другие пропорции. Ведь отрезок CK, не меньше, а существенно больше отрезка BK (14/9=1,555555555555 и 5 в периоде). Тогда выглядеть он может следующим образом:

Можете по клеточкам проверить – всё сходится. Но задача в другом – нам нужно найти периметр геометрической фигуры ABCD. И для этого я предлагаю провести ещё один отрезок из точки K, который будет параллелен сторонам AB и CD. Пусть это будет отрезок KL:

Но в таком случае мы явно получаем ромб ABKL, потому что у ромба диагонали являются биссектрисами его углов. А в условии задачи как раз об одной такой биссектрисе и говорится – она делит пополам угол ∠BAD. И, если это ромб, то все его стороны будут равны 9-ти. А периметр ромба равен сумме этих четырёх девяток.

• P(р) = 4 * 9 = 36.

А чем же периметр параллелограмма отличается от периметра найденного ромба? Две стороны одинаковые. А две другие больше на 14. Тогда и периметр параллелограмма будет больше на две эти разницы.

• P(п) = P(р) + 2 * 14 = P(р) + 28 = 36 + 28 = 64.

По-моему, всё логично.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Выпускники, которые рассчитывают успешно сдать ЕГЭ, в обязательном порядке должны повторить тему «Свойства биссектрисы параллелограмма». Как показывает статистика, при прохождении аттестационного испытания задачи по данному разделу планиметрии вызывают сложности у большого количества учащихся. При этом задания, в которых необходимо применить свойства биссектрисы угла параллелограмма, встречаются в ЕГЭ ежегодно. Таким образом, справляться с ними должны все учащиеся.

Образовательный портал «Школково» предлагает выстроить процесс подготовки к прохождению аттестационного испытания по-новому. Занимаясь вместе с нашим ресурсом, выпускники смогут определить наиболее сложные для себя темы и ликвидировать пробелы в знаниях.

Чтобы задания ЕГЭ не вызывали трудностей, рекомендуем вначале повторить основные понятия и свойства биссектрисы параллелограмма. Найти этот материал учащиеся смогут в разделе «Теоретическая справка».

Для того чтобы окончательно понять принцип решения задач по данному разделу планиметрии, мы рекомендуем выполнить соответствующие упражнения. Большая подборка заданий различного уровня сложности представлена в разделе «Каталог». Для каждого упражнения на сайте приведен алгоритм решения и дан правильный ответ. Последовательно выполняя их, учащиеся смогут понять, как правильно применять свойства биссектрисы внутреннего угла параллелограмма.

Получать новые знания и оттачивать собственные навыки по данной теме или, например, в решении задач на тему «Прямоугольник» в ЕГЭ учащиеся могут в онлайн-режиме, находясь в Москве или любом другом российском городе. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.

В прошлый раз мы рассмотрели свойства параллелограмма, в котором точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис двух углов па­рал­ле­ло­грам­ма, при­ле­жа­щих к одной сто­ро­не, при­над­ле­жит его про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­не. Перейдем к примерам использования этих свойств.

Задача 1.

Биссектрисы углов параллелограмма пересекаются в точке, принадлежащей про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­не. Найти периметр параллелограмма, если его большая сторона равна 40 см.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

DF — биссектриса ∠ADC, F∈BC, BC=20 см.

Найти:

Решение:

Если биссектрисы двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, пересекаются в точке, принадлежащей противоположной стороне, то одна сторона параллелограмма в два раза больше другой. Значит,

Периметр параллелограмма ABCD равен

Ответ: 120 см.

Задача 2.

Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, F, принадлежащей  сто­ро­не BC. ∠D=120º, DF=8. Найти периметр ABCD и AF.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

DF — биссектриса ∠ADC, F∈BC,

∠D=120º, DF=8.

Найти:

Решение:

Рассмотрим треугольник AFD.

Так как биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны, то ∠AFD=90º.

Так как FD- биссектриса угла ADC, то

Так как биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, треугольник CDF — равнобедренный с основанием DF. А так как ∠CDF=60º, то треугольник CDF — равносторонний, и CD=DF=8.

Так как биссектрисы углов A и D параллелограмма пересекаются в точке, принадлежащей противоположной стороне, то одна сторона параллелограмма в два раза больше другой: BC=2AB.

Ответ: 48; 8√3.