Как найти периметр параллелограмма если известна диагональ

Любой многоугольник имеет периметр, который можно определить как сумму всех сторон фигуры. Для
вычисления выведены формулы, опирающиеся на отдельные свойства геометрического объекта, упрощающие
расчеты. Величина обозначается буквой P. Выражается в единицах измерения длины.

Под параллелограммом понимают четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
Расчеты периметра фигуры основываются на следующих теоремах о свойствах данного
четырехугольника:

1. Противоположные стороны попарно равны.
2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
3. Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов длин сторон.

Прямоугольник, квадрат, ромб являются частными случаями данного четырехугольника. Рассчитывая Р этих
фигур, можно применить те же формулы.

Через две стороны

Самая простая формула вычисления периметра параллелограмма учитывает то, что его противоположные
стороны попарно равны. Для вычисления достаточно знать основные измерения фигуры.

Используем общепринятые в математике обозначения: a – длина, b – ширина, P – периметр.
Тогда
формула для нахождения выглядит так:

P = 2 * (a + b)

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон.

Пример 1. Требуется найти длину ограждения территории. Измерения показали, что
участок имеет следующие размеры 12 м, 11 м, 12 м, 11 м. Можно воспользоваться общим подходом:
сложить полученные величины. Но лучше применить свойство четырехугольника с попарно равными
противоположными сторонами.
P= 12 + 11 + 12 + 11 = 46 м
P = 2 * (12 + 11) = 2 * 23м
В
обоих вариантах результат расчета один – 46 м.

Пример 2. Папа с сыном мастерят фоторамку для большого настенного портрета. Они решили сделать ее в
оригинальной форме – параллелограмм с размерами 54 см и 72 см. Для расчета необходимого количества
багета нужно найти периметр рамки с припуском на угловые стыки в 5%.
P = 2∙(64+72)=2∙136=272 см

С учетом припусков умельцам потребуется 252∙1,05 =285,6 см. Багет продается только в метрах. Придется
приобрести 3 м материала. Папа понимает, что остается 14 см неиспользованного материала. Зная
правила расчета, мастера принимают решение увеличить каждый элемент рамки на 3 см, снизив при этом
потери до 2 см.

Через две диагонали и любую известную сторону

Для нахождения периметра параллелограмма через две диагонали и одну известную сторону следует
воспользоваться формулой:

P = √(2a + 2D² + 2d² — 4a²)

где D, d — диагонали, a — сторона.

Пример: Пусть D равна 12, d — 10, a = 11, все величины даны в миллиметрах. Тогда P = √(2*11² +
2*12² + 2*10² — 4*11²) = 24мм

Интересен подход, который основывается на свойствах фигуры и позволяет сделать расчеты при известных
длинах диагоналей и одной из сторон. Введем дополнительные обозначения для диагоналей – c1, c2.
Тогда математическая связь между рассматриваемыми величинами фиксируется следующим образом:
a²+b² = (c1² + c2²)/2. Из данной формулы можно найти неизвестную величину. Если

• дано a, то b² = ((c1² + c2²) — a²)/2
• дано b, то a² = ((c1² + c2²) — b²)/2

Найдя корень квадратный из полученной величины, можно воспользоваться стандартным расчетом для
нахождения P. P = 2 * (a + b) Пример. Дан параллелограмм со стороной 6 см, диагоналями 8, 10 см.
Требуется найти P. Квадрат ширины равен: b² = ((8² + 10²) — 6²)/2 = (64+100)/2 — 36 = 46
Вычисляя корень квадратный из 46 с точностью до десятых, получим примерно 6,8. Тогда P = 2 * (6+6,8)
= 25,6 см.

Через любую известную сторону, высоту и острый угол

Воспользуемся известными формулами, связывающими длину известной стороны, высоту, острый угол.
Обозначим:

• высоту, проведенную к длине a как h;
• острый угол – α.

Тогда формула для определения периметра следующая:

P = 2 * (a + h / sin α)

Пример. Для нахождения известны: сторона  — 7 см, высота, проведенная к смежной стороне –
6 см, острый угол – 30º.
Вычислим ширину по заданным величинам: P = 2 * (7 + 6 / sin30) = 38см

Воспользовавшись свойствами фигуры, дополнительными преобразованиями, основанными на теореме
косинусов, теореме синусов, периметр параллелограмма можно найти при различных исходных данных. В
любом случае, в ходе расчетов необходимо получить значения длины и ширины, а затем подсчитать их
удвоенную сумму.

Когда требуется вычисление периметра параллелограмма

К расчету периметра люди прибегают, определяя количество расходных материалов при проведении работ по
ремонту, облагораживанию помещений, дачных участков, других территорий.

Умение находить сумму длин всех измерений любого четырехугольника пригодится во многих профессиях,
быту. Определение количества отделочной ленты для обработки швейного изделия, плинтуса для комнаты,
ограждения для участка – это те ситуации, в которых понадобятся знания по вычислению периметра
любого четырехугольника.

Что такое периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма — это сумма длин всех его сторон.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны друг другу. Таким образом, его периметр — это удвоенная сумма двух его смежных ребер.

Свойства

• противоположные стороны равны и параллельны;
• противоположные углы попарно равны;
• сумма соседних углов равна 180 градусов;
• сумма всех углов равна 360 градусов;
• диагонали фигуры делятся пополам в точке пересечения;
• точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма;

• биссектриса образует равнобедренный треугольник.

Как найти периметр

Существует несколько основных способов, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон заданной фигуры. Все они зависят от изначально известных параметров.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

По сумме всех сторон

Так как периметр параллелограмма — это удвоенная сумма двух его смежных ребер, используем  формулу:

P=2(a+b),

где a и b — это две смежные стороны данного четырехугольника.

По стороне и двум диагоналям

Если в задаче дана лишь одна сторона, но обе диагонали четырехугольника, мы можем найти вторую сторону. Для этого используем формулу:

(a=frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2,)

где (d_1) и (d_2) — это обе диагонали фигуры.

Получается, что расчет суммы длин всех сторон для параллелограмма будет выглядеть так:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b).)

По стороне, высоте и синусу угла

В случае, если нам известны лишь одно ребро, высота и один из углов, можем узнать длину второго ребра таким образом:

(a=frac{h_b}{sinalpha})

где (h_b) — высота, проведенная к известной стороне, а (sinalpha) — известный нам угол.

Таким образом, формула для нахождения периметра параллелограмма будет выглядеть так:

(P=2(frac{h_b}{sinalpha}+b))

Примеры решения задач

Попробуем применить полученные знания на практике и рассмотрим несколько задач на периметр параллелограмма.

Задача 1

Дан параллелограмм со сторонами 5 см и 9 см. Вычислить его периметр.

Решение:

Воспользуемся формулой P=2(a+b), так как нам известны обе стороны фигуры. Подставляем значения: P=2(5+9)=28 см.

Ответ: 28 см.

Задача 2

Известно, что одна из сторон параллелограмма равна 4 см, а две его диагонали равны 6 см и 8 см. Найти периметр фигуры.

Решение:

Для расчета суммы длин всех сторон используем формулу:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b))

Подставляем известные значения:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b)=2(frac{sqrt{2times6^2+2times8^2-4times4^2}}2+4)=2(frac{sqrt{72+128-64}}2+4)=2(frac{2sqrt{34}}2+4)=2sqrt{34}+8) см.

Ответ:( 2sqrt{34}+8) см.

Задача 3

Сторона b параллелограмма равна 2 см, высота, проведенная к b — 1 см, а угол α равен (fracpi6). Найти сумму длин всех сторон фигуры.

Решение:

Для расчета будем использовать уравнение:

(P=2(frac{h_b}{sinalpha}+b))

Подставим известные величины:

(P=2(frac1{sin{displaystylefracpi6}}+2)=2(frac1{displaystylefrac12}+2)=8;)см.

Ответ: 8 см.

Признаки параллелограмма

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Основные свойства параллелограмма

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =	d 1
2
BO = DO =	d 2
2

AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2BC 2

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

a =	√ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 b 2
2

b =	√ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 a 2
2

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

Диагонали параллелограмма

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

d ₁ = √ a 2 + b 2 — 2 ab·cosβ

d ₂ = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosβ

d ₁ = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosα

d ₂ = √ a 2 + b 2 — 2 ab·cosα

d ₁ = √ 2 a 2 + 2 b 2 — d ₂ 2

d ₂ = √ 2 a 2 + 2 b 2 — d ₁ 2

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d 1 =	2S	=	2S
d 2· sinγ	d 2· sinδ

d 2 =	2S	=	2S
d 1· sinγ	d 1· sinδ

Периметр параллелограмма

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

P = 2 a + 2 b = 2( a + b )

P = 2 a + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 — 4 a 2

P = 2 b + √ 2 d ₁ 2 + 2 d ₂ 2 — 4 b 2

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

Площадь параллелограмма

Формулы определения площади параллелограмма:

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Параллелограмм – четырехугольник с попарно параллельными противоположными сторонами.

Противолежащие стороны параллелограмма имеют одинаковую длину. Периметр параллелограмма находят как удвоенную сумму двух его сторон:

Формулы для вычисления длины периметра параллелограмма:

1. Формула периметра параллелограмма через стороны параллелограмма:

P = 2a + 2b = 2(a + b);

2. Формула периметра параллелограмма через 1-ну сторону и 2-е диагонали:

3. Формула периметра параллелограмма через 1-ну сторону, высоту и sin угла:

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.

a , b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α , β — углы параллелограмма

Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), ( D , d ):

Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), ( D , d ):

2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α , β — углы между диагоналями

S — площадь параллелограмма

Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, ( D , d ):