Как найти периметр параллелограмма если известна площадь

В этой задаче удобней смотреть на рисунок для понимания

1) Точка пересечения удалена от сторон на расстояние – это означает что опущены перпендикуляры из этой точки на стороны и длинны этих перпендикуляров равны 2 см и 3 см

Перпендикуляры опущенные на параллельные стороны из одной точки будут лежать на одной прямой. (Если вдруг они не лежат на одной прямой, то тогда получится, что к одной прямой из точки опущено 2 перпендикуляра, что невозможно)

2) Так как точкой пересечения диагонали делятся пополам и вертикальные углы при пересечении двух прямых (диагоналей) равны, то пересечением диагоналей и сторонами параллелограмма будут образованы две пары равных треугольников напротив друг друга. А в равных треугольниках равны соответсвующие элементы, поэтому расстояния от точки пересечения (вершины треугольников) до равных сторон будут одинаковыми.

Таким образом 2+2 = 4 см и 3+3 = 6 см будут расстояниями между параллельными сторонами – а это есть высоты параллелограмма.

3) Площадь параллелограмма равна: сторона умножить на высоту параллелограмма к этой стороне: S = a•4 и S = b•6

Откуда: a = 24/4 = 6 см; b = 24/6 = 4 см

Периметр: P = 2•(a+b) = 2•(6+4) = 20 см

Ответ: P = 20 см

Что такое периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма — это сумма длин всех его сторон.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны друг другу. Таким образом, его периметр — это удвоенная сумма двух его смежных ребер.

Свойства

• противоположные стороны равны и параллельны;
• противоположные углы попарно равны;
• сумма соседних углов равна 180 градусов;
• сумма всех углов равна 360 градусов;
• диагонали фигуры делятся пополам в точке пересечения;
• точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма;

• биссектриса образует равнобедренный треугольник.

Как найти периметр

Существует несколько основных способов, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон заданной фигуры. Все они зависят от изначально известных параметров.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

По сумме всех сторон

Так как периметр параллелограмма — это удвоенная сумма двух его смежных ребер, используем  формулу:

P=2(a+b),

где a и b — это две смежные стороны данного четырехугольника.

По стороне и двум диагоналям

Если в задаче дана лишь одна сторона, но обе диагонали четырехугольника, мы можем найти вторую сторону. Для этого используем формулу:

(a=frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2,)

где (d_1) и (d_2) — это обе диагонали фигуры.

Получается, что расчет суммы длин всех сторон для параллелограмма будет выглядеть так:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b).)

По стороне, высоте и синусу угла

В случае, если нам известны лишь одно ребро, высота и один из углов, можем узнать длину второго ребра таким образом:

(a=frac{h_b}{sinalpha})

где (h_b) — высота, проведенная к известной стороне, а (sinalpha) — известный нам угол.

Таким образом, формула для нахождения периметра параллелограмма будет выглядеть так:

(P=2(frac{h_b}{sinalpha}+b))

Примеры решения задач

Попробуем применить полученные знания на практике и рассмотрим несколько задач на периметр параллелограмма.

Задача 1

Дан параллелограмм со сторонами 5 см и 9 см. Вычислить его периметр.

Решение:

Воспользуемся формулой P=2(a+b), так как нам известны обе стороны фигуры. Подставляем значения: P=2(5+9)=28 см.

Ответ: 28 см.

Задача 2

Известно, что одна из сторон параллелограмма равна 4 см, а две его диагонали равны 6 см и 8 см. Найти периметр фигуры.

Решение:

Для расчета суммы длин всех сторон используем формулу:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b))

Подставляем известные значения:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b)=2(frac{sqrt{2times6^2+2times8^2-4times4^2}}2+4)=2(frac{sqrt{72+128-64}}2+4)=2(frac{2sqrt{34}}2+4)=2sqrt{34}+8) см.

Ответ:( 2sqrt{34}+8) см.

Задача 3

Сторона b параллелограмма равна 2 см, высота, проведенная к b — 1 см, а угол α равен (fracpi6). Найти сумму длин всех сторон фигуры.

Решение:

Для расчета будем использовать уравнение:

(P=2(frac{h_b}{sinalpha}+b))

Подставим известные величины:

(P=2(frac1{sin{displaystylefracpi6}}+2)=2(frac1{displaystylefrac12}+2)=8;)см.

Ответ: 8 см.