Как найти периметр параллелограмма если проведена высота

Что такое периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма — это сумма длин всех его сторон.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны друг другу. Таким образом, его периметр — это удвоенная сумма двух его смежных ребер.

Свойства

• противоположные стороны равны и параллельны;
• противоположные углы попарно равны;
• сумма соседних углов равна 180 градусов;
• сумма всех углов равна 360 градусов;
• диагонали фигуры делятся пополам в точке пересечения;
• точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма;

• биссектриса образует равнобедренный треугольник.

Как найти периметр

Существует несколько основных способов, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон заданной фигуры. Все они зависят от изначально известных параметров.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

По сумме всех сторон

Так как периметр параллелограмма — это удвоенная сумма двух его смежных ребер, используем  формулу:

P=2(a+b),

где a и b — это две смежные стороны данного четырехугольника.

По стороне и двум диагоналям

Если в задаче дана лишь одна сторона, но обе диагонали четырехугольника, мы можем найти вторую сторону. Для этого используем формулу:

(a=frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2,)

где (d_1) и (d_2) — это обе диагонали фигуры.

Получается, что расчет суммы длин всех сторон для параллелограмма будет выглядеть так:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b).)

По стороне, высоте и синусу угла

В случае, если нам известны лишь одно ребро, высота и один из углов, можем узнать длину второго ребра таким образом:

(a=frac{h_b}{sinalpha})

где (h_b) — высота, проведенная к известной стороне, а (sinalpha) — известный нам угол.

Таким образом, формула для нахождения периметра параллелограмма будет выглядеть так:

(P=2(frac{h_b}{sinalpha}+b))

Примеры решения задач

Попробуем применить полученные знания на практике и рассмотрим несколько задач на периметр параллелограмма.

Задача 1

Дан параллелограмм со сторонами 5 см и 9 см. Вычислить его периметр.

Решение:

Воспользуемся формулой P=2(a+b), так как нам известны обе стороны фигуры. Подставляем значения: P=2(5+9)=28 см.

Ответ: 28 см.

Задача 2

Известно, что одна из сторон параллелограмма равна 4 см, а две его диагонали равны 6 см и 8 см. Найти периметр фигуры.

Решение:

Для расчета суммы длин всех сторон используем формулу:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b))

Подставляем известные значения:

(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b)=2(frac{sqrt{2times6^2+2times8^2-4times4^2}}2+4)=2(frac{sqrt{72+128-64}}2+4)=2(frac{2sqrt{34}}2+4)=2sqrt{34}+8) см.

Ответ:( 2sqrt{34}+8) см.

Задача 3

Сторона b параллелограмма равна 2 см, высота, проведенная к b — 1 см, а угол α равен (fracpi6). Найти сумму длин всех сторон фигуры.

Решение:

Для расчета будем использовать уравнение:

(P=2(frac{h_b}{sinalpha}+b))

Подставим известные величины:

(P=2(frac1{sin{displaystylefracpi6}}+2)=2(frac1{displaystylefrac12}+2)=8;)см.

Ответ: 8 см.

Как найти стороны параллелограмма, если даны высоты параллелограмма и угол между ними? Как найти периметр и площадь параллелограмма по его высотам и углу между высотами?

Задача.

Высоты параллелограмма равны m и n, а угол между ними — . Найти стороны параллелограмма, его периметр и площадь.

I. Так как угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины тупого угла, равен острому углу параллелограмма,

   

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM.

По определению синуса,

   

следовательно,

   

Аналогично, из треугольника BCN

   

Периметр параллелограмма

   

   

Площадь параллелограмма

   

   

II. Так как угол между высотами параллелограмма, проведёнными из вершины острого угла, равен тупому углу параллелограмма,

   

Рассмотрим прямоугольный треугольник BKC.

   

(как смежные).

   

Так как

   

   

Аналогично, из треугольника DCF

   

Вывод:

чтобы найти стороны параллелограмма, надо его высоты разделить на синус угла между высотами;

периметр параллелограмма равен частному от деления удвоенной суммы высот на синус угла между ними;

площадь параллелограмма равна произведению высот, деленному на синус угла между ними.

The perimeter of a parallelogram is the sum of the length of its boundaries/sides. A parallelogram is a type of quadrilateral with four equal sides with opposite sides equal. Its sides do not intersect each other. There are two diagonals of a parallelogram that intersect each other at the center. A diagonal divides the parallelogram into two equal parts or triangles. Following are the properties of parallelogram:

1. A parallelogram has four sides.
2. Opposite sides of parallelograms are equal and parallel.
3. Opposite angles of parallelograms are equal.
4. Diagonals of parallelograms intersect each other.

What is the Perimeter of a Parallelogram?

The perimeter of a parallelogram is the length of the outline or its boundaries, and the sum of all the sides of a parallelogram is the perimeter of the parallelogram. However, not every time the length of all the sides will be given to us, sometimes some other information regarding a parallelogram is given. Therefore, there are different formulas for the perimeter of a parallelogram. Let’s understand the different formulas for the perimeter of a parallelogram.

Perimeter of Parallelogram Formula

The perimeter of the parallelogram is the sum of the length of all the sides. Perimeter refers to the closed boundary of any geometrical object. For a quadrilateral, perimeter refers to the sum of the length of the four sides. So, the perimeter of a parallelogram will be the sum of its four sides. The perimeter of a parallelogram can be calculated using three cases. The three cases are:

• When the adjacent sides of the parallelogram are known: The formula for the perimeter when sides are known as P = 2(a + b) units, where a and b are the sides of the parallelogram.
• When one side and the lengths of the diagonals are known: The formula for the perimeter when one side and the lengths of diagonals are known, P = 2a + √(2x² + 2y² – 4a²), where x and y are the lengths of diagonals and a is the length of the side.
• When any angle, base, and height are known: The formula for the perimeter when one side and height along with one of the angles is given, P = 2a + 2h/sinθ, where a is the side of the parallelogram, h is the height of the parallelogram, θ is the angle of the parallelogram.

Now that the formulas of all three cases are known let’s derive the formulas of the perimeter of a parallelogram for all three cases,

Perimeter of Parallelogram Formula with Sides

The perimeter of the parallelogram formula with sides is the formula to calculate the perimeter. Below is the derivation for the perimeter of the parallelogram. Let’s say the sides of the parallelogram are “a” and “b”.

Perimeter = side 1 + side 2 + side 3 + side 4

Side 1 is also known as the base of a parallelogram.  

Side 1 = a

Side 2 = b

The opposite sides of a parallelogram are equal.

Side 1 = side 3

Side 2 = side 4

Side 3 = a

Side 4 = b

Perimeter = a + b + a + b

Perimeter = 2 (a + b)

Hence, the perimeter of a parallelogram is twice the sum of its two adjacent sides.  

Perimeter of Parallelogram Formula with One Side and Diagonals

The perimeter of the parallelogram formula when one side and the length of both diagonals are given is derived below. Let’s say the length of the diagonals are “x” and “y” and the length of the side is “a”, from the law of cosines, the cosine formula is applied:

In △ABD:

x² = a² + b² -2ab cos∠BAD

In △ADC:

y² = a² + b² -2ab cos∠ADC

Adding the equations:

x² + y² = 2 (a² + b²) – 2ab (cos∠BAD + cos∠ADC)

Now since according to the properties of parallelogram, the adjacent angles of a parallelogram are supplementary, therefore, ∠BAD + ∠ADC = 180. 

∠BAD = 180 – ∠ADC

Adding cosine on both sides:

cos∠BAD = cos(180 – ∠ADC)

cos∠BAD = -cos∠ADC

Substituting the angle,

x² + y² = 2 (a² + b²) – 2ab (-cos∠ADC + cos∠ADC)

x² + y² = 2 (a² + b²) – 2ab (0)

x² + y² = 2 (a² + b²)

Now finding the value of the b side from the equation formulated above:

b = √[(x² + y² – 2a²)/2]

Now that both sides of the parallelogram are known, using the formula for the perimeter of a parallelogram with sides,

P = 2(a + b)

P = 2a + 2(√[(x² + y² – 2a²)/2])

P = 2a + √(2x² + 2y² – 4a²)

Perimeter of Parallelogram with Base, Height, and Angle

In order to find the perimeter of a parallelogram with base, height, and angle, let’s assume the base of the parallelogram is “b”, the height of the parallelogram is “h”, and the angle of the parallelogram is “θ”. 

Applying sin function:

sin θ = h/b

b = h/sin θ

Now, the length of the side “b” is known to us in terms of angle. Substituting the value of “b” in the formula:

P = 2(a + b)

P = 2a + 2h/sin θ

Note: θ can be the angle of any vertex of the parallelogram and the formula will remain the same.

Area and Perimeter of Parallelogram

We can find the relation between the area and perimeter of a parallelogram because both the formulas contain sides of the parallelogram, the formula for the area of parallelogram and perimeter of a parallelogram is:

Area of parallelogram = A = b × h square units ⇢ (1)

Perimeter of a parallelogram = P = 2a + 2b units ⇢ (2)

Finding the value of b from equation (2)

P/2 = a + b

b = P/2 – a

Substituting the value of “b” obtained in equation (1)

A = (P/2 – a) h square units

How to Find Perimeter of Parallelogram?

In order to find the perimeter of a parallelogram, the formulas must be known to us. The perimeter of a parallelogram is the sum of all four sides of the parallelogram. However, not every time all the sides are provided. In some cases, only one side and diagonals are given. In some case, height, angle, and a side is given. We have discussed the different formulas required for the different cases. Following are the steps that should be taken in order to find the perimeter of parallelogram:

• Note down the values given in the question.
• Based on the values given, apply the formula for the perimeter of parallelogram accordingly:

Values Given	Formula
When the sides (a and b) are given	P = 2(a + b)
When one side and diagonals are given	P = 2a + √(2x2 + 2y2 – 4a2)
When base, height, and angle are given	P = 2a + 2h/sin θ

Related Articles

• Perimeter of Square
• Perimeter of Triangle
• Perimeter of Rectangle

Solved Examples on Perimeter of Parallelogram 

Example 1: Find the perimeter of a parallelogram with side length = 14m, base = 10m.

Solution: 

The perimeter of parallelogram is given by:

2(a + b)

Where, a and b are its two adjacent sides

Perimeter = 2 (14 + 10)

Perimeter = 2 (24)

Perimeter = 48m

Example 2: Find the perimeter of a parallelogram whose base is 5cm, and the side length is 6cm.

Solution: 

The perimeter of a parallelogram is given by:

2(a + b)

Where, a is the base and b is its adjacent side

Perimeter = 2 (5 + 6)

Perimeter = 2 (11)

Perimeter = 22cm

Example 3: What is the perimeter of a parallelogram with a side length of 8 in, and diagonals are 12in and 10in? 

Solution: 

The formula for the perimeter when one side and the lengths of diagonals are known, 

P = 2a + √(2x² + 2y² – 4a²)

P = 2 × 8 + √(2(12)² + 2(10)² – 4(8)²)

P = 16 + √(288 + 200 – 4(64))

P = 31.23 in.

Example 4: What is the perimeter of a parallelogram when the height is 20cm, the vertex angle is 45°, and one of the sides is 12cm?

Solution: 

The perimeter of a parallelogram is given by:

P = 2a + 2h/sinθ

P = 2 × 12 + 2 × 20/sin45

P = 24 + 40 × 2

P = 24 + 80

P = 104 cm

Example 5: The perimeter of a parallelogram is 100cm, and one of the sides of the parallelogram is 32cm; find the length of the other side.

Solution: 

The perimeter of a parallelogram is given by:

P = 2(a + b)

Where a and b are its two adjacent sides

Given: P = 100cm, a = 32cm

100 = 2 (32 + b)

50 = 32 + b

b = 18cm

The length of the other side of the parallelogram is 18cm.

FAQs on Perimeter of Parallelogram

Question 1: What is the formula for the perimeter of a parallelogram?

Answer:

The formula for the perimeter of a parallelogram is given:

P = 2(a + b)

Where a and b are the adjacent sides of the parallelogram.

Question 2: How to find the perimeter of a parallelogram with a missing side?

Answer:

When one side of the parallelogram is missing, the perimeter of the parallelogram can be found in either the length of the diagonals given or if the height along with the vertex angle is given. 

Perimeter of a parallelogram with diagonals = 2a + √(2x² + 2y² – 4a²).

Perimeter of a parallelogram with height and vertex angle = 2a + 2h/sin θ.

Question 3: What is the perimeter of a parallelogram using base and height?

Solution:

We can find the perimeter of a parallelogram using the base and height when, along with the base and height, the vertex angle is also given. The formula for the perimeter of a parallelogram is,

P = 2a + 2h/sin θ

Where,

• a = side length
• h = height of the parallelogram
• θ = vertex angle

Question 4: What is the area of a parallelogram?

Answer:

The area of the parallelogram is the region covered by the parallelogram in 2-D space. The formula for the area of a parallelogram is given as,

A = b × h square units

Where,

A = Area of the parallelogram

b = Base of the parallelogram

h = Height of the parallelogram

Nikita Russian

Гуру

(2818)


5 лет назад

Ну дай условие самой задачи, я может быть попытаюсь решить.

Любой многоугольник имеет периметр, который можно определить как сумму всех сторон фигуры. Для
вычисления выведены формулы, опирающиеся на отдельные свойства геометрического объекта, упрощающие
расчеты. Величина обозначается буквой P. Выражается в единицах измерения длины.

Под параллелограммом понимают четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
Расчеты периметра фигуры основываются на следующих теоремах о свойствах данного
четырехугольника:

1. Противоположные стороны попарно равны.
2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
3. Сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов длин сторон.

Прямоугольник, квадрат, ромб являются частными случаями данного четырехугольника. Рассчитывая Р этих
фигур, можно применить те же формулы.

Через две стороны

Самая простая формула вычисления периметра параллелограмма учитывает то, что его противоположные
стороны попарно равны. Для вычисления достаточно знать основные измерения фигуры.

Используем общепринятые в математике обозначения: a – длина, b – ширина, P – периметр.
Тогда
формула для нахождения выглядит так:

P = 2 * (a + b)

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон.

Пример 1. Требуется найти длину ограждения территории. Измерения показали, что
участок имеет следующие размеры 12 м, 11 м, 12 м, 11 м. Можно воспользоваться общим подходом:
сложить полученные величины. Но лучше применить свойство четырехугольника с попарно равными
противоположными сторонами.
P= 12 + 11 + 12 + 11 = 46 м
P = 2 * (12 + 11) = 2 * 23м
В
обоих вариантах результат расчета один – 46 м.

Пример 2. Папа с сыном мастерят фоторамку для большого настенного портрета. Они решили сделать ее в
оригинальной форме – параллелограмм с размерами 54 см и 72 см. Для расчета необходимого количества
багета нужно найти периметр рамки с припуском на угловые стыки в 5%.
P = 2∙(64+72)=2∙136=272 см

С учетом припусков умельцам потребуется 252∙1,05 =285,6 см. Багет продается только в метрах. Придется
приобрести 3 м материала. Папа понимает, что остается 14 см неиспользованного материала. Зная
правила расчета, мастера принимают решение увеличить каждый элемент рамки на 3 см, снизив при этом
потери до 2 см.

Через две диагонали и любую известную сторону

Для нахождения периметра параллелограмма через две диагонали и одну известную сторону следует
воспользоваться формулой:

P = √(2a + 2D² + 2d² — 4a²)

где D, d — диагонали, a — сторона.

Пример: Пусть D равна 12, d — 10, a = 11, все величины даны в миллиметрах. Тогда P = √(2*11² +
2*12² + 2*10² — 4*11²) = 24мм

Интересен подход, который основывается на свойствах фигуры и позволяет сделать расчеты при известных
длинах диагоналей и одной из сторон. Введем дополнительные обозначения для диагоналей – c1, c2.
Тогда математическая связь между рассматриваемыми величинами фиксируется следующим образом:
a²+b² = (c1² + c2²)/2. Из данной формулы можно найти неизвестную величину. Если

• дано a, то b² = ((c1² + c2²) — a²)/2
• дано b, то a² = ((c1² + c2²) — b²)/2

Найдя корень квадратный из полученной величины, можно воспользоваться стандартным расчетом для
нахождения P. P = 2 * (a + b) Пример. Дан параллелограмм со стороной 6 см, диагоналями 8, 10 см.
Требуется найти P. Квадрат ширины равен: b² = ((8² + 10²) — 6²)/2 = (64+100)/2 — 36 = 46
Вычисляя корень квадратный из 46 с точностью до десятых, получим примерно 6,8. Тогда P = 2 * (6+6,8)
= 25,6 см.

Через любую известную сторону, высоту и острый угол

Воспользуемся известными формулами, связывающими длину известной стороны, высоту, острый угол.
Обозначим:

• высоту, проведенную к длине a как h;
• острый угол – α.

Тогда формула для определения периметра следующая:

P = 2 * (a + h / sin α)

Пример. Для нахождения известны: сторона  — 7 см, высота, проведенная к смежной стороне –
6 см, острый угол – 30º.
Вычислим ширину по заданным величинам: P = 2 * (7 + 6 / sin30) = 38см

Воспользовавшись свойствами фигуры, дополнительными преобразованиями, основанными на теореме
косинусов, теореме синусов, периметр параллелограмма можно найти при различных исходных данных. В
любом случае, в ходе расчетов необходимо получить значения длины и ширины, а затем подсчитать их
удвоенную сумму.

Когда требуется вычисление периметра параллелограмма

К расчету периметра люди прибегают, определяя количество расходных материалов при проведении работ по
ремонту, облагораживанию помещений, дачных участков, других территорий.

Умение находить сумму длин всех измерений любого четырехугольника пригодится во многих профессиях,
быту. Определение количества отделочной ленты для обработки швейного изделия, плинтуса для комнаты,
ограждения для участка – это те ситуации, в которых понадобятся знания по вычислению периметра
любого четырехугольника.