Нахождение периметра квадрата
Определение
Квадрат – это такой четырехугольник, который обладает свойствами прямоугольника, параллелограмма, а также ромба:
- Все стороны равны.
- Все углы прямые, то есть по 90°.
- Диагонали равны, а угол их пересечения прямой.
- Диагонали при пересечении делать эти углы пополам.
Зная свойства квадрата, можно понять, что его периметр находится путем сложения всех 4 сторон или же умножения его одной стороны на 4. Из этого выведем формулу где a – сторона квадрата:
[P = a + a + a + a]
[P = 4a]
Пример 1
Найдите периметр квадрата, сторона которого равна 6 см.
Решение:
Воспользуемся формулой и подставим числа:
P = a + a + a + a
6 + 6 + 6 + 6 = 24 (см)
Ответ: периметр этого квадрата равен 24 см.
Пример 2
Найдите периметр квадрата, сторона которого равна 10 см.
Решение:
Теперь используем вторую формулу и подставим числа:
P = 4a
4 × 10 = 40 (см)
Ответ: периметр равен 40 см.
Нахождение периметра прямоугольника
Определение
Прямоугольник – это геометрическая фигура, которая может быть квадратом, прямоугольником или же ромбом.
Характеристики:
- У прямоугольника все углы по 90°
- В отличие от квадрата, у прямоугольника равны только противолежащие стороны, которые являются его шириной и высотой. Эти стороны параллельны. Из этого следует, что каждый квадрат – прямоугольник, но квадратом являются не все прямоугольники.
- Его прилегающие стороны перпендикулярны во всех случаях.
- Если провести диагональ, то она поделит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника.
- Если мы имеем две диагонали, то можно утверждать, что они одинаковой длины.
Периметр прямоугольника – это сумма длин всех его сторон. Получается, чтобы найти его периметр, воспользуемся формулами, в которых a – ширина и b – высота:
[P = a + a + b + b]
[P = 2(a + b)]
[P = 2a + 2b]
Пример 1
Найдите периметр прямоугольника, стороны которого равны 8 и 4 см.
Решение:
Воспользуемся формулой и подставим числа:
P = a + a + b + b
8 + 8 + 4 + 4 = 24 (см)
Ответ: периметр этого прямоугольника равен 24 см.
Пример 2
Найдите периметр прямоугольника, стороны которого равны 10 и 12 см.
Решение:
Теперь используем вторую формулу и подставим числа:
P = 2(a + b)
2(10 + 12) = 44 (см)
Ответ: периметр равен 44 см.
Пример 3
Найдите периметр прямоугольника, стороны которого равны 9 и 7.
Решение:
На очереди третья формула. Подставим числа и решим:
P = 2a + 2b
2 × 9 + 2 × 7 = 32 (см)
Ответ: периметр равняется 32 см.
Нахождение периметра параллелограмма
Определение
Параллелограмм – это такой четырехугольник, у которого противоположные стороны парно параллельны.
Характеристики:
- Противоположные стороны равны.
- Противоположные углы равны.
- Диагонали в точке пересечения делятся пополам.
- Как и в прямоугольнике, диагональ параллелограмма делит его на 2 треугольника.
- Два угла на одной стороне равны 180°
Периметр параллелограмма находится точно так же, как и периметр прямоугольника:
[P = a + a + b + b]
[P = 2(a + b)]
[P = 2a + 2b]
Нахождение периметра трапеции
Формула
Трапеция – это четырехугольник, отличающийся тем, что его две стороны параллельны, а другие две не параллельны.
Характеристики:
- Основа трапеции – это те две параллельные стороны.
- Боковые стороны – не параллельные стороны.
- Если две боковые стороны равны, то можно сделать вывод, что такая трапеция равнобедренная.
- Трапеция с прямыми углами является прямоугольной.
- В трапеции можно провести среднюю линию, которая будет параллельна основаниям, а также равняться их полусумме.
- Если трапеция равнобедренная, то ее углы и длины диагоналей равны.
Формула
Чтобы найти периметр трапеции, необходимо знать длины всех ее сторон, чтобы сложить их. Представим, что
стороны трапеции – это a, b, c, d. Получается, для нахождения периметра трапеции, нам надо сложить все ее
стороны:
[P = a + b + c + d]
Пример 1
Найдите периметр трапеции, если известно, что ее стороны равны: 2, 6, 5, 5.
Решение:
Используем формулу:
P = a + b + c + d
2 + 6 + 5 + 5 = 18 (см)
Ответ: периметр трапеции равен 18 см.
Нахождение периметра ромба
Определение
Ромб – это четырехугольник, являющийся параллелограммом с равными сторонами.
Характеристики:
- Стороны и высоты ромба равны.
- Углы диагоналей при пересечении равны 90° — эти углы прямые.
- Диагональ является биссектрисой и делит углы пополам.
- Ромб называется параллелограммом, так как он имеет те же свойства, что и параллелограмм.
- В каждый ромб можно вписать окружность.
Ромб – это квадрат, а это значит, что найти его периметр можно так, как и периметр квадрата:
[P = a + a + a + a]
[P = 4a]
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Нахождение периметра многоугольника
Определение
Многоугольник – это геометрическая фигура, которая со всех сторон ограничена ломанной линией.
Характеристики:
- Название многоугольника определяется количеством его вершин. Если у многоугольника количество вершин равно n, то он называется n-угольником.
- Многоугольником являются такие фигуры, как: квадрат, ромб, параллелограмм и т.д.
- Если углы с отрезками равны, то это правильный многоугольник.
Чтобы найти периметр n-угольника, нужно сложить всего длины его сторон:
[P = a1 + a2 + … an]
А для правильного n-угольника можно выделить еще одну формулу, потому как его стороны равны:
P = na
Здесь мы умножаем длину одной стороны на n.
Пример 1
Найдите периметр правильного многоугольника, если у него 5 вершин, а длина его одной стороны равна 7.
Решение:
Здесь воспользуемся этой формулой:
P = na
7 × 5 = 35 (см)
Ответ: периметр многоугольника равняется 35 см.
Нахождение периметра эллипса
Определение
Эллипс это замкнутая кривая, находящаяся на плоскости. Ее получают с помощью пересечения цилиндра плоскостью.
Для нахождения периметра, нужно следовать формуле:
[P=4 pi a b+a-b / a+b]
Калькулятор периметр квадрата
Анна Кирпиченкова
Эксперт по предмету «Геометрия»
Задать вопрос автору статьи
Периметр любой геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. В этой статье, на примере задач, мы приведем формулы для нахождения периметров квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, многоугольника и эллипса.
Периметр квадрата
Определение 1
Квадратом будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех равных сторон, все углы которой прямые (рис. 1).
Пример 1
Найти периметр квадрата, если его сторона равняется $α$.
Решение.
Так как все 4 стороны квадрата равны между собой, то, по определению периметра, получим
$P=α+α+α+α=4α$
Вывод: Для нахождения периметра квадрата надо длину его стоны умножить на $4.$
Периметр прямоугольника
Определение 2
Прямоугольником будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем противоположные стороны равны между собой, все углы которой прямые (рис. 2).
Пример 2
Найти периметр прямоугольника, если его смежные стороны равняются $α$ и $β$.
Решение.
Так как противоположные стороны равняются между собой, то
$P=α+α+β+β=2α+2β=2(α+β)$
«Как найти периметр квадрата, прямоугольника, параллелограмма, трапеции, ромба, эллипса, многоугольника» 👇
Вывод: Для нахождения периметра прямоугольника надо сумму длин его смежных сторон умножить на $2.$
Периметр параллелограмма
Определение 3
Параллелограммом будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем противоположные стороны равны между собой и параллельны друг другу (рис. 3).
Пример 3
Найти периметр параллелограмма, если его смежные стороны равняются $α$ и $β$.
Решение.
Так как противоположные стороны равняются между собой, то
$P=α+α+β+β=2α+2β=2(α+β)$
Вывод: Для нахождения периметра параллелограмма надо сумму длин его смежных сторон умножить на $2.$
Периметр трапеции
Определение 4
Трапецией будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон, причем 2 противоположные стороны, которые называются основаниями, параллельны друг другу (рис. 4).
Пример 4
Найти периметр трапеции, если его стороны равняются $α$, $β$, $γ$ и $δ$.
Решение.
По определению периметра плоской геометрической фигуры получим, что
$P=α+β+γ+δ$
Вывод: Для нахождения периметра трапеции надо сложить все длины его сторон.
Периметр ромба
Определение 5
Ромбом будем назвать такой параллелограмм, у которого все стороны равны между собой (рис. 5).
Пример 5
Найти периметр ромба, если его сторона равняется $α$.
Решение.
Так как все 4 стороны ромба равны между собой, то, по определению периметра, получим
$P=α+α+α+α=4α$
Вывод: Для нахождения периметра ромба надо длину его стоны умножить на $4.$
Периметр многоугольника
Отметим, что все фигуры, рассмотренные выше, являются многоугольниками, а именно четырехугольниками. Поэтому можем рассмотреть более обще понятие, а именно понятие -угольника.
Определение 6
$n$-угольником будем назвать такую геометрическую фигуру, которая состоит из $n$ непересекающихся сторон и $n$ углов. (рис. 6).
Пример 6
Найти периметр $n$-угольника, если его стороны равняются $α_1$, $α_2$,…, $α_n$.
Решение.
По определению периметра плоской геометрической фигуры получим, что
$P=α_1+α_2+⋯+ α_n$
Вывод: Для нахождения периметра -угольника надо сложить все длины его сторон.
Здесь можно выделить периметр правильного $n$-угольника, то есть $n$-угольника, у которого все стороны равняются между собой.
Пример 7
Найти периметр правильного $n$-угольника, если его сторона равняется $α$.
Решение.
Так как все $n$ сторон правильного $n$-угольника равны между собой, то, по определению периметра, получим
$P=α+α+⋯+α+α$ – $n$ раз.
Следовательно
$P=nα$
Вывод: Для нахождения периметра правильного $n$-угольника надо длину его стороны умножить на $n$
Периметр эллипса
Здесь просто введем формулу, для вычисления периметра (или еще иначе длины) эллипса. Пусть нам дан эллипс, как на рисунке 7.
Тогда периметр эллипса равняется
$P=4frac{πab+a-b}{a+b}$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Формулы периметра геометрических фигур
Периметром геометрической фигуры
– называют длину границы геометрической фигуры.
Формула периметра треугольника
Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон
P = a + b + c
Формулы периметра квадрата
Периметр квадрата равен произведению длины его стороны на четыре.
P = 4a
Периметр квадрата равен произведению длины его диагонали на два корня из двух.
P = 2√2 d
где P – периметр квадрата,
a – длина стороны квадрата,
d – длина диагонали квадрата.
Формула периметра прямоугольника
Периметр прямоугольника ABCD равен удвоенной сумме сторон, прилежащих к одному углу.
P = 2(a + b)
где P – периметр прямоугольника,
a, b – длины сторон прямоугольника.
Формула периметра параллелограмма
Периметр параллелограмма ABCD равен удвоенной сумме сторон, прилежащих к одному углу
P = 2(a + b)
где P – периметр параллелограмма,
a, b – длины сторон параллелограмма.
Формула периметра ромба
Периметр ромба равен произведению длины его стороны на четыре.
P = 4a
где P – периметр ромба,
a – длина стороны ромба.
Формула периметра трапеции
Периметр трапеции равен сумме длин ее сторон.
P = a + b + c + d
где P – периметр трапеции,
a, b – длины основ трапеции,
c, d – длины боковых сторон трапеции.
Формулы длины окружности.
где P – длина окружности,
r – радиус окружности,
d – диаметр окружности,
π = 3.141592.
Что такое периметр параллелограмма
Периметр параллелограмма — это сумма длин всех его сторон.
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны и параллельны друг другу. Таким образом, его периметр — это удвоенная сумма двух его смежных ребер.
Свойства
- противоположные стороны равны и параллельны;
- противоположные углы попарно равны;
- сумма соседних углов равна 180 градусов;
- сумма всех углов равна 360 градусов;
- диагонали фигуры делятся пополам в точке пересечения;
- точка пересечения диагоналей — центр симметрии параллелограмма;
- биссектриса образует равнобедренный треугольник.
Как найти периметр
Существует несколько основных способов, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон заданной фигуры. Все они зависят от изначально известных параметров.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
По сумме всех сторон
Так как периметр параллелограмма — это удвоенная сумма двух его смежных ребер, используем формулу:
P=2(a+b),
где a и b — это две смежные стороны данного четырехугольника.
По стороне и двум диагоналям
Если в задаче дана лишь одна сторона, но обе диагонали четырехугольника, мы можем найти вторую сторону. Для этого используем формулу:
(a=frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2,)
где (d_1) и (d_2) — это обе диагонали фигуры.
Получается, что расчет суммы длин всех сторон для параллелограмма будет выглядеть так:
(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b).)
По стороне, высоте и синусу угла
В случае, если нам известны лишь одно ребро, высота и один из углов, можем узнать длину второго ребра таким образом:
(a=frac{h_b}{sinalpha})
где (h_b) — высота, проведенная к известной стороне, а (sinalpha) — известный нам угол.
Таким образом, формула для нахождения периметра параллелограмма будет выглядеть так:
(P=2(frac{h_b}{sinalpha}+b))
Примеры решения задач
Попробуем применить полученные знания на практике и рассмотрим несколько задач на периметр параллелограмма.
Задача 1
Дан параллелограмм со сторонами 5 см и 9 см. Вычислить его периметр.
Решение:
Воспользуемся формулой P=2(a+b), так как нам известны обе стороны фигуры. Подставляем значения: P=2(5+9)=28 см.
Ответ: 28 см.
Задача 2
Известно, что одна из сторон параллелограмма равна 4 см, а две его диагонали равны 6 см и 8 см. Найти периметр фигуры.
Решение:
Для расчета суммы длин всех сторон используем формулу:
(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b))
Подставляем известные значения:
(P=2(frac{sqrt{2d_1^2+2d_2^2-4b^2}}2+b)=2(frac{sqrt{2times6^2+2times8^2-4times4^2}}2+4)=2(frac{sqrt{72+128-64}}2+4)=2(frac{2sqrt{34}}2+4)=2sqrt{34}+8) см.
Ответ:( 2sqrt{34}+8) см.
Задача 3
Сторона b параллелограмма равна 2 см, высота, проведенная к b — 1 см, а угол α равен (fracpi6). Найти сумму длин всех сторон фигуры.
Решение:
Для расчета будем использовать уравнение:
(P=2(frac{h_b}{sinalpha}+b))
Подставим известные величины:
(P=2(frac1{sin{displaystylefracpi6}}+2)=2(frac1{displaystylefrac12}+2)=8;)см.
Ответ: 8 см.
Периметр – это границы измерений
Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.
Сегодня мы подробно расскажем, что такое ПЕРИМЕТР, как он считается и каково его практическое применение.
Материал этот изучают в начальных классах школы, но далеко не всегда получается понятно объяснить простые вещи.
Что такое периметр
Периметр – это общая граница любой плоской геометрической фигуры. Измеряется в тех же величинах, что и стороны многоугольников.
У окружности тоже есть периметр. Хотя само слово в этом случае не применяют, говоря – длина окружности. Интересно, что само это слово изначально и обозначало окружность.
Так оно переводится с древнегреческого «περίμετρον». Но другой, более общий перевод – «измеряю вокруг», и тогда он подходит под все плоские геометрические фигуры как окружность, так и многоугольники.
Расчет периметра многоугольников
Считать периметр многоугольников очень просто. Надо всего лишь сложить длины всех сторон. И неважно, насколько замысловато выглядят сами фигуры.
Рассмотрим периметры самых популярных фигур.
Периметр треугольника
Как мы уже сказали, для расчета периметра треугольника надо просто сложить все его стороны.
Периметр обозначается латинской буквой «P». Он будет равен:
P = a + b + c
А если треугольник равносторонний или как его еще называют – правильный, то формула заметно упрощается.
P = a + a + a = 3a
Периметр прямоугольника
Отличительная черта прямоугольника – его противоположные стороны равны.
P = a + b + a + b = 2a + 2b = 2 (a + b)
Как и у треугольника, у прямоугольника есть частный случай, когда всего его стороны равны между собой. И всем известно, что называется такая фигура – квадрат.
P = a + a + a + a = 4a
Периметр параллелограмма
Если кто забыл, то параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны между собой.
И периметр у него считается точно так же, как и у прямоугольника. Более того, прямоугольник – это частный случай параллелограмма.
P = a + a + b + b = 2a + 2b = 2 (a + b)
У параллелограмма есть еще один частный случай. Фигура, у которой все стороны равны. И называется она – ромб.
Его периметр считается точно так же, как и у квадрата.
P = a + a + a + a = 4a
Периметр трапеции
И еще одна фигура, которая частенько встречается в жизни. И ее изучению посвящены отдельные главы школьной программы. Трапеция – это четырехугольник, у которого только две стороны лежат на параллельных прямых.
P = a + b + c + d
Но есть и частный случай, который называется равнобедренной трапецией. У этой фигуры непараллельные стороны равны между собой и идут под одинаковым наклоном.
P = a + b + c + c = a + b + 2c
Расчет длины окружности
Для расчета длины окружности, которая, по сути, и является периметром фигуры, есть своя формула. Вот только эту величину, в отличие от многоугольников, принято обозначать латинской буквой «L».
L = 2 π r
В этой формуле букой r обозначается радиус окружности, то есть расстояние от ее центра до границы. А буква π – это математическая постоянная, которая равна 3,14 (хотя на самом деле число знаков после запятой бесконечно).
Вместо заключения
Для чего в жизни нужно знать про ПЕРИМЕТР? Приведем самый простой пример.
Если вы на даче соберетесь поставить забор, вам нужно будет точно знать, сколько материала покупать. Для этого вы измерите свой участок по длине и ширине. Как правило, дачные участки имеют форму прямоугольников. Соответственно, после этого легко будет посчитать периметр:
P = 2L + 2W
где L – длина участка, а W – ширина. И уже с этими расчетами вы можете смело ехать в строительный магазин.
