Как найти периметр прямоугольного параллепипеда

Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

 

Тема: Производная

Урок: Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед

1. Задача 1 на прямоугольный параллелепипед

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, основания которых квадраты, а каждая из боковых граней имеет периметр . Найти среди них параллелепипед с наибольшим объемом и вычислить его объем.

Решение.

Напомним, прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании лежит прямоугольник, и боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания.

Нам важны три измерения этого параллелепипеда. Так как в основании лежит квадрат, то его стороны обозначим через , третье измерение параллелепипеда обозначим через  (см. рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед и его измерения.

Объем любого прямоугольного параллелепипеда – это произведение трех его измерений. Надо найти такой параллелепипед, чтобы его объем был максимальным (смотрим прямоугольный параллелепипед формулы), то есть 

. Между  и  есть связь. Сказано, что  или . Заметим, что , .

Мы бы могли решить эту задачу, если бы функция   зависела от одной переменной, а она зависит от двух переменных  и . Одну из них можно выразить через связь . Отсюда . Подставим полученное выражение в функцию: . Теперь задачу можно свести к типовой задаче: найти  на отрезке .

1) Найдем производную

    – критические точки.

Достаточно сравнить значение функции на концах отрезка и в тех критических точках, которые попадают на данный отрезок. Продемонстрируем, что точка  — точка максимума. Для этого проанализируем знак производной (см. рис.2).

Рис. 2. Интервалы знакопостоянства производной.

Найдем значение функции в точках:

Если , тогда . Найдем объем .

Итак, мы искали такой прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат, и периметр боковой грани равен 6. Нужно было среди всех таких параллелепипедов найти тот параллелепипед, который имеет наибольший объем. Мы свели задачу к алгебраической, то есть к задаче по нахождению наибольшего значения функции  на заданном отрезке. Получили ответ: параллелепипед имеет измерения . А наибольший объем .

2. Задача 2 на прямоугольный параллелепипед

Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллелепипеды, объем каждого из которых равен , а основаниями являются квадраты. Найти среди них параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани и вычислить этот периметр.

Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед и егобоковые грани и измерения.

Решение.

Так как в основании параллелепипеда – квадрат, то одна его сторона равна  и вторая – , боковое ребро –  (см. рис.3). Известно, что объем этих параллелепипедов -. Надо найти параллелепипед с наименьшим периметром боковой грани. Периметр боковой грани равен . Этот периметр должен быть наименьшим: . Итак, нужно минимизировать данную функцию, которая зависит от двух переменных   и  . Эти переменные связаны геометрической зависимостью . Выразим , тогда .

Найдем производную .

, отсюда  и  — критические точки.

Найдем интервалы знакопостоянства производной и посмотрим является ли точка  точкой минимума (см. рис.4).

Рис. 4. Интервалы знакопостоянства производной.

Таким образом, точка  является точкой минимума. Напомним, мы должны найти такую точку, при которой периметр будет наименьшим. Выяснили, что на всем промежутке  значение функции в точке  является наименьшим, так как на промежутке  функция убывает, а на промежутке  – возрастает. Точка экстремума на промежутке  — единственная.

Найдем . И, наконец, найдем  .

Итак, требовалось найти такой параллелепипед, у которого наименьший периметр боковой грани и вычислить этот периметр. Параллелепипед нашли, он имеет измерения . Наименьшее значение периметра боковой грани равно .

3.

Итог урока «Производная в задачах на прямоугольный параллелепипед, формулы»

Итак, мы рассмотрели стереометрические задачи на экстремум, которые решаются с помощью производной. Решили две взаимно обратные задачи на прямоугольный параллелепипед с использованием формул и боковых сторон параллелепипеда. В первой задаче нужно было найти максимальное значение объема, а во второй – наименьшее значение периметра в прямоугольном параллелепипеде. Эти задачи, как и в планиметрии, решаются следующим образом: составляется нужная функция, она оказывается функцией двух переменных, выписываются геометрические связи, они позволяют выразить одну переменную через другую и получить функцию только от одной переменной. Дальше применяя производную, можно успешно решить задачу.

Список рекомендованной литературы по теме «Прямоугольный параллелепипед формулы», «Боковые стороны параллелепипеда»

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы). -М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

Сделай дома — решение задач на прямоугольный параллелепипед, как найти сторону прямоугольного параллелепипеда

№ 46.59, 46.50 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.)

Как найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда: формула

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel. ru Математика Геометрия Нахождение площади прямоугольного параллелепипеда: формула и пример

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда и разберем пример решения задачи для закрепления материала.

• Формула вычисления площади
• Пример задачи

Формула вычисления площади

Площадь (S) поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется следующим образом:

S = 2 (ab + bc + ac)

Формула получена следующим образом:

1. Гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, причем противоположные грани равны между собой:
   • два основания: со сторонами a и b;
   • четыре боковые грани: со стороной a/b и высотой c.
2. Сложив площади всех граней, каждая из которых равна произведению сторон разной длины, получаем: S = ab + ab + bc + bc + ac + ac = 2 (ab + bc + ac).

Пример задачи

Вычислите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его длина равна 6 см, ширина – 4 см, а высота – 7 см.

Решение:
Воспользуемся формулой выше, подставив в нее известные значения:
S = 2 ⋅ (6 см ⋅ 4 см + 6 см ⋅ 7 см + 4 см ⋅ 7 см) = 188 см².

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Изучите концепцию, формулу, сравнение, примеры

0

Сохранить

Скачать публикацию в формате PDF

Периметр куба равен 12а в единицах. Периметр определяется как замкнутый путь, очерчивающий двумерную форму или длину вдоль одномерной плоскости. Измерение периметра обычно используется для топографической съемки, строительства недвижимости и сельского хозяйства. Так как куб является объемной фигурой, вычислим периметр куба, найдя сумму длин каждой из его сторон. В этой статье мы разберемся с концепцией Периметр куба , вкратце, связанные формулы, сравнение общей площади поверхности куба и несколько связанных примеров решения.

Периметр куба

Можно считать, что куб состоит из двумерных фигур, поскольку каждая из его шести граней представляет собой квадрат. У него восемь вершин, шесть граней и двенадцать ребер. Эти двенадцать ребер всегда параллельны каждому из его противоположных ребер. Следовательно, периметр куба должен быть равен общей сумме его ребер или длин.

Рассмотрим рисунок выше,

Каждая сторона равна «a» единицам, всего 12 сторон,

Следовательно, периметр куба (P) = 12 x a = 12 a.

Периметр куба Формула

Формула для Периметра куба дается следующим образом:

Периметр куба (P) = 12 x a (единиц).

Где a = длина каждой стороны куба.

Периметр куба и площадь поверхности куба

Давайте кратко обсудим площадь поверхности куба и чем она отличается от периметра.

Периметр куба	Площадь поверхности куба
Периметр – это сумма длин всех сторон куба, умноженная на 12.	Принимая во внимание, что площадь поверхности куба равна сумме площадей всех его граней.
Мы знаем, что куб имеет 6 граней в форме квадрата. Следовательно, площадь поверхности куба = 6 x площадь поверхности квадратной грани = 6 x a².	Площадь поверхности квадрата равна квадрату его длины, определяемой по формуле Площадь поверхности квадрата = a², где «a» — длина каждой из его сторон.
Периметр куба равен сумме длин каждой из его сторон	Площадь поверхности равна сумме площадей каждой из его граней.

Периметр решенного куба Примеры

Пример 1 . Длина ребер в кубе равна 8,5 см каждое. Каков будет периметр куба?

Решение 1.

Приведены данные,

Длина каждого ребра в кубе = 8,5см.

Формула Периметр куба = 12 x a.

= 12 х 8,5 см.

= 102 см.

Периметр куба равен 102 см.

Пример 2 . Площадь поверхности куба 64 м², какой длины будет его ребро?

Решение 2.

Приведены данные,

Площадь поверхности куба = 64 м²

Формула площади поверхности куба = 6 х а², где а — длина каждой из его сторон.

64 = 6 x а²

а² = 64 / 6

а² = 10,66

а = 3,26 см.

Длина каждой стороны куба равна 3,26 см.

Пример 3 . Найдите периметр и площадь поверхности куба, если длина каждой из его сторон равна 5 см.

Решение 3,

Приведенные данные,

Длина каждой стороны куба (а) = 5 см

Периметр куба = 12 х а = 12 х 5 = 60 см.

Площадь поверхности куба = 6 x a² = 6 x 25

= 150 см².

Следовательно, периметр данного куба равен 60 см, а площадь его поверхности 150 см².

Надеюсь, эта статья была информативной и помогла вам в учебе и подготовке к экзаменам. Оставайтесь с нами в приложении Testbook, чтобы узнать больше об обновлениях и темах, связанных с математикой и другими подобными предметами. Кроме того, обратитесь к серии тестов, доступных для проверки ваших знаний о связанных экзаменах.

Часто задаваемые вопросы о периметре куба

В.1 Как преобразовать периметр куба в сторону?

Ответ 1 Периметр куба определяется по формуле Периметр (P) = 12 x a, где «a» — длина каждой стороны. Следовательно, применяя формулу для данного периметра куба, мы можем вычислить длину его стороны.

Q.2 Чему равен периметр прямоугольного параллелепипеда?

Ответ 2 Периметр прямоугольного параллелепипеда определяется по формуле 4 x (L+B+H), где L = длина куба, B = ширина куба и H = высота куба.

Q.3 Каков периметр одной грани куба?

Ответ 3 Одна грань куба в основном представляет собой квадрат, а квадрат имеет четыре ребра, следовательно, периметр одной грани куба равен 4 x a, где «a» — длина стороны.

Q.4 Как найти основание куба?

Ответ 4 Основание куба — квадрат, поэтому его площадь основания будет равна а², где «а» — длина каждой стороны.

Q.5 Как найти периметр куба?

Ответ 5 Периметр куба определяется по формуле Периметр (P) = 12 x a, где «a» — длина каждой стороны.

Скачать публикацию в формате PDF

Еще на testbook.com

Равномерное распределение в вероятности: типы, формулы и примеры
Периметр равнобедренного треугольника: изучите понятие, родственную формулу и решенные примеры.
Обратная связь: изучите определение, теорему, область определения и диапазон на примерах!
Сумма N терминов в AP: изучите концепцию, доказательства и решенные примеры.
Однородное дифференциальное уравнение: изучите типы определений на примерах

Функция — Как вычислить периметр прямоугольного параллелепипеда?

Шаги этой задачи относительно просты.

1. Получить длину, ширину и ширину.
2. Убедитесь, что значения находятся в требуемых пределах.
3. Вычислите периметр.
4. Укажите расчетный периметр или длину, в зависимости от того, насколько педантичен человек, пишущий эти требования.

Номер четыре, вероятно, является самой сложной частью этой задачи, и вам следует связаться с человеком, составившим требования, чтобы убедиться, что вывод : возврат длины кубоида на самом деле является опечаткой и что вы должны вернуть периметр кубоида.

В этом примере я предполагаю, что это вопрос с подвохом, и укажу длину; однако, если это не вопрос с подвохом, а опечатка, вам следует заменить переменную длины (LE) на переменную периметра (PE) в строке вывода (80).

 10 ЕСЛИ НЕТ (LE < 1 ИЛИ LE > 100 ИЛИ BR < 1 ИЛИ BR > 100 ИЛИ WI < 1 ИЛИ WI > 100), ТО 60
20 ВВОД "ДЛИНА, ШИРИНА, ШИРИНА"; LE, BR, WI
30 ЕСЛИ LE < 1 ИЛИ BR < 1 ИЛИ WI < 1, ТОГДА НАПЕЧАТАЙТЕ «ВЫ ВВЕЛИ»: НАПЕЧАТАЙТЕ «MICROVERSE. ПОЖАЛУЙСТА, УБЕДИТЕСЬ, ЧТО»:
40 ЕСЛИ LE > 100 ИЛИ BR > 100 ИЛИ WI > 100, ТОГДА ВЫБЕРИТЕ ГРАНИЦЫ: ВЫШИТЕ "ИЗВЕСТНУЮ ВСЕЛЕННУЮ". "
50 ПЕРЕЙТИ К 10
60 PE = ЛЭ + БР + ВИ
70 ПЭ=ПЭ*4
80 PRINT "ДЛИНА КУБОИДА:";LE
90 КОНЕЦ
 

Бейсик никогда не был известен своей удобочитаемостью, и даже эта короткая программа, вероятно, трудна для понимания. Вот та же программа в более читабельной форме:

 цикл while (%length% < 1 или %length% > 100 или %breadth% < 1 или %breadth% > 100 или %width% < 1 или %width% > 100)
    ввод "Длина, Ширина, Ширина"; %длина%, %ширина%, %ширина%
    выключатель
    case (%length% < 1 или %breadth% < 1 или %width% < 1)
        Wrap Вы вошли в микровселенную. Пожалуйста, убедитесь, что все размеры составляют не менее 1 единицы.
 
    case (%length% > 100 или %breadth% > 100 или %width% > 100)
        wrap Вы покинули пределы известной вселенной. Пожалуйста, убедитесь, что все размеры не превышают 100 единиц.
    концевой выключатель
концевая петля
%периметр% = %длина% + %ширина% + %ширина%
%периметр% *= 4
print "Длина прямоугольного параллелепипеда:";%length%
 

Здесь используется SuperBASIC не в качестве рекомендации (если, что маловероятно, BASIC, который вы используете, не находится на цветном компьютере TRS-80), а просто потому, что я знаком с этим препроцессором BASIC. Эти две программы в чем-то эквивалентны в том смысле, что я написал более читаемый код, а затем использовал скрипт для перевода его на BASIC.

Вы можете увидеть шаги, описанные выше: введите размеры прямоугольного параллелепипеда; убедиться, что размеры находятся в требуемых пределах; и либо зациклить

обратно на запрос ввода , если они не равны, или вычислить периметр и напечатать длину, если они есть.