Периметр прямоугольного треугольника
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 74.
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 74.
Нахождение периметра прямоугольного треугольника мало чем отличается от нахождения периметра любой другой фигуры. Здесь не существует специализированной формулы, разница только лишь в подходах к решению задач.
Формула для нахождения периметра прямоугольного треугольника
Как уже говорилось ранее, специализированных формул периметра прямоугольного треугольника нет. Чтобы найти периметр нужно просто просуммировать длины всех трех сторон.
Но для треугольника действуют тригонометрические отношения, теорема Пифагора и ряд специальных формул площади. Эти формулы открывают целый набор подходов к решению задач, которые не характерны для произвольной фигуры. Рассмотрим несколько вариантов нахождения периметра прямоугольного треугольника.
Задача 1
- В прямоугольном треугольнике площадь равняется 24, а один из катетов равен 6. Найти периметр треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов. Значение площади уже есть, значит, нужно найти второй катет и гипотенузу. Обозначим катеты латинскими буквами a и b, а гипотенузу буквой c. Пусть а=6.
Тогда: $$S={1over 2}*a*b=24$$
$$S={1over 2}*6*b=24$$
$$3b=24$$
b=8
Две из трех сторон известны, а гипотенузу всегда можно найти через теорему Пифагора.
$$c^2=a^2+b^2$$
$$c=sqrt{a^2+b^2}$$
$$c=sqrt{36+64}=10$$
Найдем периметр, как сумму длин всех сторон:
P=a+b+c=10+8+6=24
Задача 2
- В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ=8, а острый угол равен 30 градусам. Найти периметр прямоугольного треугольника.
Если в задаче дается острый угол прямоугольного треугольника, значит в любом случае в решении нужно использовать тригонометрические функции. Иначе для нахождения результата просто не хватит данных.
В этой задаче есть два возможных варианта. Острый угол может быть расположен у известного катета, а может противолежать ему. В любом случае придется использовать тригонометрические функции, но результаты могут разница. Обычно в задаче этот момент прописывается, но иногда от решающего требуется предоставить оба варианта решения. Это ясно из условия, в котором не говорится, какой из острых углов дан.
Рассмотрим вариант, при котором дан острый угол при известном катете. Тогда воспользуемся функцией косинуса:
$$Cos(BAC)={ABover AC}={sqrt{3}over2}$$
$$AC={ABover {cos(BAC)}}$$
$$AC={8over{sqrt{3}over 2}}={16oversqrt{3}}=9,24$$ – значение округлим до сотых
BC найдем через значение тангенса.
$$tg(BAC)={BCover AB}={1oversqrt{3}}$$
$$BC=AB*{1oversqrt{3}}={ABoversqrt{3}}$$
$$BC={8oversqrt{3}}=4,62$$
Вычисление периметра произведем по общей формуле:
P=8+9,24+4,62=21,86
Если острый угол противолежит известному катету, то решение будет выглядеть немного иначе.
Найдем BC через значение тангенса.
$$tg(ACB)={ABover BC}={1oversqrt{3}}$$
$$BC={ABover {1oversqrt{3}}}=AB*sqrt{3}=8*sqrt{3}=13,86$$
Гипотенузу найдем через значение синуса.
$$sin(ACB)={ABover AC}={1over 2}$$
$$AC={ABover sin(ACB)}={ABover {1over 2}}=2*AB=2*8=16$$
Если в расчетах присутствуют округления, то лучше округленный результат не использовать в дальнейших вычислениях. То есть, если мы посчитали BC, то AC лучше найти через синус, а не через косинус или теорему Пифагора, если есть такая возможность. Использование точных значений избавляет от больших погрешностей в результатах.
Что мы узнали?
Мы узнали, что отличия между формулой периметра для прямоугольного и произвольного треугольника нет. Разница в пути решения. Найти периметр прямоугольного треугольника можно через теорему Пифагора, площадь или тригонометрические функции, можно комбинировать различные методы между собой. Главное, это возможность решения задачи без дополнительных построений.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка статьи
4.3
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 74.
А какая ваша оценка?
Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.
1. Как найти периметр треугольника, зная три стороны
Просто посчитайте сумму всех сторон.
- P — искомый периметр;
- a, b, c — стороны треугольника.
2. Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности
Умножьте площадь треугольника на 2.
Разделите результат на радиус вписанной окружности.
- P — искомый периметр;
- S — площадь треугольника;
- r — радиус вписанной окружности.
3. Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними
Сначала найдите неизвестную сторону треугольника с помощью теоремы косинусов:
- Умножьте одну сторону на вторую, на косинус угла между ними и на 2.
- Посчитайте сумму квадратов известных сторон и отнимите от неё число, полученное в предыдущем действии.
- Найдите корень из результата.
Теперь прибавьте к найденной стороне две ранее известные стороны.
- P — искомый периметр;
- b, c — известные стороны треугольника;
- ɑ — угол между известными сторонами;
- a — неизвестная сторона треугольника.
4. Как найти периметр равностороннего треугольника, зная одну сторону
Умножьте сторону на 3.
- P — искомый периметр;
- a — любая сторона треугольника (напомним, в равностороннем треугольнике все стороны равны).
5. Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание
Умножьте боковую сторону на 2.
Прибавьте к результату основание.
- P — искомый периметр;
- a — боковая сторона треугольника (в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны);
- b — основание треугольника (это сторона, которая отличается длиной от остальных).
6. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту
Найдите квадраты боковой стороны и высоты.
Отнимите от первого числа второе.
Найдите корень из результата и умножьте его на 2.
Прибавьте к полученному числу две боковые стороны.
- P — искомый периметр;
- a — боковая сторона треугольника;
- h — высота (перпендикуляр, опущенный на основание треугольника со стороны противоположной вершины; в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам).
7. Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты
Найдите квадраты катетов и посчитайте их сумму.
Извлеките корень из полученного числа.
Прибавьте к результату оба катета.
- P — искомый периметр;
- a, b — катеты треугольника (стороны, которые образуют прямой угол).
8. Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу
Посчитайте квадраты гипотенузы и катета.
Отнимите от первого числа второе.
Найдите корень из результата.
Прибавьте катет и гипотенузу.
- P — искомый периметр;
- a — любой катет прямоугольника;
- c — гипотенуза (сторона, которая лежит напротив прямого угла).
Как найти периметр прямоугольного треугольника
Формула
Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника нужно найти сумму длин его сторон.
Таким образом, если $ABC$ – прямоугольный треугольник, в котором $a$ и $b$ – длинны катетов, а $c$ – длина гипотенузы, то периметр находится по формуле:
Примеры вычисления периметра прямоугольного треугольника
Задание. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 дм и 4 дм, а гипотенуза – 5 дм. Найти его периметр.
Решение. Найдем периметр этого треугольника по формуле
Подставляя заданные длины сторон, получим:
Ответ. $P_<Delta A B C>=12$ (дм)
Задание. В прямоугольном треугольнике $ABC$ длина гипотенузы и одного из катетов соответственно равны 13 м и 12 м. Найти периметр $Delta A B C$.
Решение. Введем обозначение $a$ и $b$ – дины катетов, $c$ – длина гипотенузы. По условию $c=13$ м и $a=12$ м. Длину $b$ второго катета найдем по теореме Пифагора:
Подставляя заданные длины сторон, получим
Теперь по формуле
можем найти искомый периметр:
Ответ. $P_<Delta A B C>=30$ (м)
Периметр прямоугольного треугольника
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 239.
Средняя оценка: 4.3
Всего получено оценок: 239.
Нахождение периметра прямоугольного треугольника мало чем отличается от нахождения периметра любой другой фигуры. Здесь не существует специализированной формулы, разница только лишь в подходах к решению задач.
Формула для нахождения периметра прямоугольного треугольника
Как уже говорилось ранее, специализированных формул периметра прямоугольного треугольника нет. Чтобы найти периметр нужно просто просуммировать длины всех трех сторон.
Рис. 1. Произвольный треугольник
Но для треугольника действуют тригонометрические отношения, теорема Пифагора и ряд специальных формул площади. Эти формулы открывают целый набор подходов к решению задач, которые не характерны для произвольной фигуры. Рассмотрим несколько вариантов нахождения периметра прямоугольного треугольника.
Задача 1
- В прямоугольном треугольнике площадь равняется 24, а один из катетов равен 6. Найти периметр треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов. Значение площади уже есть, значит, нужно найти второй катет и гипотенузу. Обозначим катеты латинскими буквами a и b, а гипотенузу буквой c. Пусть а=6.
Две из трех сторон известны, а гипотенузу всегда можно найти через теорему Пифагора.
Найдем периметр, как сумму длин всех сторон:
Задача 2
- В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ=8, а острый угол равен 30 градусам. Найти периметр прямоугольного треугольника.
Если в задаче дается острый угол прямоугольного треугольника, значит в любом случае в решении нужно использовать тригонометрические функции. Иначе для нахождения результата просто не хватит данных.
В этой задаче есть два возможных варианта. Острый угол может быть расположен у известного катета, а может противолежать ему. В любом случае придется использовать тригонометрические функции, но результаты могут разница. Обычно в задаче этот момент прописывается, но иногда от решающего требуется предоставить оба варианта решения. Это ясно из условия, в котором не говорится, какой из острых углов дан.
Рассмотрим вариант, при котором дан острый угол при известном катете. Тогда воспользуемся функцией косинуса:
BC найдем через значение тангенса.
Вычисление периметра произведем по общей формуле:
Если острый угол противолежит известному катету, то решение будет выглядеть немного иначе.
Найдем BC через значение тангенса.
Гипотенузу найдем через значение синуса.
Если в расчетах присутствуют округления, то лучше округленный результат не использовать в дальнейших вычислениях. То есть, если мы посчитали BC, то AC лучше найти через синус, а не через косинус или теорему Пифагора, если есть такая возможность. Использование точных значений избавляет от больших погрешностей в результатах.
Что мы узнали?
Мы узнали, что отличия между формулой периметра для прямоугольного и произвольного треугольника нет. Разница в пути решения. Найти периметр прямоугольного треугольника можно через теорему Пифагора, площадь или тригонометрические функции, можно комбинировать различные методы между собой. Главное, это возможность решения задачи без дополнительных построений.
Как найти периметр треугольника
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение
Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской буквой P. Под «P» удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах и ходе решении.
Важно, чтобы все параметры были переданы в одной единице длины, иначе мы не сможем подсчитать результат. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.
В чем измеряется периметр:
Как узнать периметр треугольника
Рассмотрим какие существуют формулы, и при каких известных исходных данных их можно применять.
Если известны три стороны, то периметр треугольника равен их сумме. Этот способ проходят во втором классе.
P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.
Если известна площадь и радиус вписанной окружности:
P = 2 * S : r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности.
Если известны две стороны и угол между ними, вычислить периметр треугольника можно так:
P = √ b 2 + с 2 – 2 * b * с * cosα + (b + с), где b, с — известные стороны, α — угол между известными сторонами.
Если известна одна сторона в равностороннем треугольнике:
P = 3 * a, где a — длина стороны.
Все стороны в равносторонней фигуре равны.
Если известна боковая сторона и основание в равнобедренном треугольнике:
P = 2 * a + b, где a — боковая сторона, b — основание.
Боковые стороны в равнобедренной фигуре равны.
Если известна боковая сторона и высота в равнобедренном треугольнике:
P = 2 * (√ a 2 + h 2 ) + 2 * a, где a — боковая сторона, h — высота.
Высотой принято называть отрезок, который вышел из вершины и опустился на основание. В равнобедренной фигуре высота делит основание пополам.
Если известны катеты в прямоугольном треугольнике:
P = √ a 2 + b 2 + (a + b), где a, b — катеты.
Катет — одна из двух сторон, которые образуют прямой угол.
Если известны катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике:
P = √ c 2 – a 2 + (a + c), где a — любой катет, c — гипотенуза.
Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла.
Скачать онлайн таблицу
У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.
[spoiler title=”источники:”]
http://obrazovaka.ru/matematika/perimetr-pryamougolnogo-treugolnika-formula.html
http://skysmart.ru/articles/mathematic/perimetr-treugolnika
[/spoiler]
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления периметра прямоугольного треугольника
Формула
Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника нужно найти сумму длин его сторон.
Таким образом, если $ABC$ – прямоугольный треугольник, в
котором
$a$ и
$b$ – длинны катетов, а
$c$ – длина гипотенузы, то периметр находится по формуле:
$$P_{Delta A B C}=a+b+c$$
Примеры вычисления периметра прямоугольного треугольника
Пример
Задание. В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 дм и 4 дм, а гипотенуза –
5 дм. Найти его периметр.
Решение. Найдем периметр этого треугольника по формуле
$$P_{Delta A B C}=a+b+c$$
Подставляя заданные длины сторон, получим:
$P_{Delta A B C}=a3+4+5=12$ (дм)
Ответ. $P_{Delta A B C}=12$ (дм)
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. В прямоугольном треугольнике
$ABC$ длина гипотенузы и одного из катетов соответственно равны
13 м и 12 м. Найти периметр $Delta A B C$.
Решение. Введем обозначение
$a$ и
$b$ – дины катетов,
$c$ – длина гипотенузы. По условию
$c=13$ м и
$a=12$ м. Длину
$b$ второго катета найдем по теореме Пифагора:
$$b=sqrt{c^{2}-a^{2}}$$
Подставляя заданные длины сторон, получим
$b=sqrt{13^{2}-12^{2}}=sqrt{169-144}=sqrt{25}=5$ (м)
Теперь по формуле
$$P_{Delta A B C}=a+b+c$$
можем найти искомый периметр:
$P_{Delta A B C}=13+12+5=30$ (м)
Ответ. $P_{Delta A B C}=30$ (м)
Читать дальше: как найти периметр равнобедренного треугольника.
Периметр треугольника калькулятор онлайн умеет вычислять периметр восемью способами:
- По трем сторонам.
- По площади и радиусу вписанной окружности.
- По двум сторонам и углу между ними.
- По стороне равностороннего треугольника.
- По боковой стороне и основанию равнобедренного треугольника.
- По боковой стороне и высоте равнобедренного треугольника.
- По катетам прямоугольного треугольника.
- По одному катету и гипотенузе прямоугольного треугольника.
Сделав расчет периметра на этом онлайн калькуляторе Вы получите не только ответ, но и детальное, пошаговое решение с выводом формул и промежуточных действий.
Периметр треугольника- это сумма трех сторон.
Периметр может быть найден и по другим формулам, вывод которых основан на поиске длины неизвестной стороны.
Как найти периметр треугольника?
Найти периметр треугольника очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же периметр может быть найден самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.
1) По трем сторонам
где a,b,c – стороны треугольника.
2) По площади и радиусу вписанной окружности
где S – площадь треугольника, r – радиус вписанной окружности.
3) По двум сторонам и углу между ними
где b,c – стороны треугольника, α° – угол между ними.
4) По стороне равностороннего треугольника
где a – сторона равностороннего треугольника.
5) По боковой стороне и основанию равнобедренного треугольника
где a – боковая сторона и b – основание равнобедренного треугольника.
6) По боковой стороне и высоте равнобедренного треугольника
где a – боковая сторона и h – высота равнобедренного треугольника.
7) По катетам прямоугольного треугольника
где a,b – катеты прямоугольного треугольника.
8) По одному катету и гипотенузе прямоугольного треугольника.
где а – катет и с – гипотенуза прямоугольного треугольника.
Скачать все формулы в формате Word
