Как найти периметр сечения четырехугольной пирамиды

Периметр сечения пирамиды

5 июня 2016

Довольно лёгкая задача на доказательство и построение. Учимся находить периметр сечения пирамиды плоскостью.:)

Смотрите также:

1. Пробный ЕГЭ 2016: задача 14 с доказательством и углами из стереометрии
2. Задание 14: Площадь сечения многогранника
3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
4. Задача B8: отрезки и углы в треугольниках
5. Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня
6. Задача B4: тарифы на сотовую связь

Автор	Сообщение
	Заголовок сообщения: Найти сечение и периметр пирамиды. Добавлено: 02 май 2012, 18:56
Начинающий Зарегистрирован: 02 май 2012, 18:48 Сообщений: 1 Cпасибо сказано: 0 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1	SABCD- правильная четырёхугольная пирамида, длина каждого ребра равна 2 см, точка О – середина ребра DC. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку О перпендикулярно прямой SC. ВЫчислите периметр этого сечения. как-то так…
Вернуться к началу

sanchapan	Заголовок сообщения: Re: найти сечение и периметр пирамиды Добавлено: 02 май 2012, 21:18
	а как, очень мало данных, чтобы найти периметр???!!!
Вернуться к началу

sanchapan	Заголовок сообщения: Re: найти сечение и периметр пирамиды Добавлено: 02 май 2012, 21:49
	получается, что периметр равен 3 см! Я прав?
Вернуться к началу

sanchapan	Заголовок сообщения: Re: найти сечение и периметр пирамиды Добавлено: 02 май 2012, 22:08
	а как получилось корень из двух? поясните, пожалуйста стоп, а если это правильная четырехугольная пирамида. у неё разве все-все ребра равны, даже с теми, которые в квадрате???
Вернуться к началу

Есть у высоты равнобедренной трапеции, опущенной из тупого угла,   свойство: она делит большее основание на две части, меньшая из которых  равна полуразности оснований, большая – их полусумме. Откуда оно  появилось – легко понять из рисунка.  
Опустив из В высоту ВН на АД, получим 
 АН=(АД-ВС):2 =(16-4):2=6
 Треугольник АВН – прямоугольный. 
Гипотенуза АВ=10, катет АН=6, и тут  же вспоминается “египетский треугольник” с отношением сторон 3:4:5. 
 Здесь коэффициент этого отношение k=10:5=2  
ВН=4*2=8 см 
Но можно ВН найти по т. Пифагора – результат будет тем же.  
ВН=√(АВ²-АН²)=√(100-36)=<span>8 см</span>

ДАНО:

Проведем еще одну высоту чтобы получился прямоугольник. подучившийся прямоугольный треугольник со сторонами 15 и 9. cos15/9=cos5/3=60 градусов

Пошаговое построение сечения четырехугольной пирамиды

Сегодня научимся строить сечения четырехугольной правильной пирамиды. Использовать для построения будем метод следов. Пользоваться этим методом  неудобно и даже иногда невозможно, когда сечение имеет малый наклон или не имеет наклона к плоскости основания. Если такой случай вам попадется, лучше использовать метод внутреннего проецирования.

Задача 1.

Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды  плоскостью, проходящей через точки  .

Шаг 1. Через точки и , принадлежащие плоскости грани , проведем прямую . Определим точку плоскости основания пирамиды, которая бы принадлежала и секущей плоскости. Для этого проведем продолжение ребра и найдем точку его пересечения с прямой – точка .

Шаг 2. Аналогично найдем вторую точку секущей плоскости в плоскости основания: проводим  прямую , находим ее пересечение с продолжением ребра – точка .

Шаг 3. Через две точки можно провести прямую, и, так как точки и принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания, то и прямая, проведенная через них, будет принадлежать обеим плоскостям. А раз эта прямая лежит в плоскости основания, то определим точки пересечения этой прямой с другими прямыми плоскости основания, например, с продолжением ребра – точка , и продолжением ребра – точка . Значит, точки   и – тоже точки плоскости сечения, а за счет того, что прямая лежит в плоскости грани , точка также принадлежит плоскости этой грани. Аналогично, так как прямая принадлежит плоскости грани , то и точка – точка этой же плоскости. Теперь можно соединить точки и – как точки одной плоскости, и соединить точки и .

Шаг 4. Пересечение прямых и даст нам последнюю точку искомого сечения – точку .

Проводим отрезки , , завершая построение:

Окончательный вид сечения:

Задача 2.

Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды  плоскостью, проходящей через точки  .

Шаг 1. Проводим прямую , она принадлежит грани , так как точки и принадлежат ей.

Шаг 2. Прямая пересечет прямую , и точка их пересечения   благодаря принадлежности прямой будет лежать в  плоскости основания.

Шаг 3. Точки и принадлежат плоскости основания, проведем через них прямую ,  найдем точку пересечения этой прямой ребра – точку . Продлим прямую до пересечения с прямой , получим точку . Точка принадлежит плоскости , тк как этой плоскости принадлежит прямая .

Шаг 4. Соединим точки и . Найдем место пересечения данной прямой ребра – точку .

Шаг 5. Соединяем полученные точки отрезками.

Окончательный вид с другого ракурса:

Задача 3.

Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды  плоскостью, проходящей через точки  .

Шаг 1. Соединим и , как точки одной плоскости.

Шаг 2. Прямая принадлежит плоскости грани , следовательно, пересечет прямую этой же грани . Найдем точку их пересечения , продлив ребро  .

Шаг 3.  Точки и – “одного поля ягоды” – обе принадлежат плоскости грани . Поэтому соединим их, отметив точку пересечения с ребром – .

Шаг 4. Точки и принадлежат плоскости основания, соединяем их.  Прямая лежит в плоскости основания и пересечет прямую  в точке .

Шаг 5. Точки и соединяем, так как обе они принадлежат плоскости , и получаем последнюю точку сечения – на ребре .

Шаг 6. Соединяем точки отрезками.

Окончательный вид сечения:

Задача 4.

Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды  плоскостью, проходящей через точки  .

Шаг 1-2. Точки и принадлежат грани , соединим их отрезком (прямой). Точки и принадлежат грани основания, также соединим их.

Шаг 3. Прямая пересечет продолжение ребра в точке . Точка , таким образом, принадлежит плоскости грани .

Шаг 4.  Соединяем точки и , проводя прямую . Она пересечет ребро в точке .

Шаг 5. Соединяем полученные точки на ребрах отрезками:

Окончательный вид с удобного ракурса:

4 комментария