Как найти периметр сложной фигуры пример

Правила как найти периметр площадь. Калькулятор вычисления периметра и площади геометрических фигур

Определение периметра и площади геометрических фигур — важная задача, которая возникает при решении многих практических или бытовых задач. Если вам требуется поклеить обои, установить забор, рассчитать расход краски или кафеля, то вам обязательно придется иметь дело с геометрическими расчетами.

Для решения перечисленных бытовых вопросов вам потребуется работать с самыми разными геометрическими фигурами. Мы представляем вам каталог онлайн-калькуляторов, которые позволяют вычислить параметры наиболее популярных плоских фигур. Рассмотрим их.

Круг

Частные случаи

Четырехугольник с одинаковыми сторонами. Параллелограмм становится ромбом в случаях, если его диагонали пересекаются под углом 90 градусов и являются биссектрисами своих углов.

Это параллелограмм с прямыми углами. Кроме того, параллелограмм считается прямоугольником, если его стороны и диагонали отвечают условиям теоремы Пифагора.

Это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны. Диагонали квадрата полностью повторяют свойства диагоналей прямоугольника и ромба, что делает квадрат уникальной фигурой, которая характеризуется максимальной симметрией.

Многоугольник

Правильный полигон — это выпуклая фигура на плоскости, которая имеет равные стороны и равные углы. В зависимости от количества сторон многоугольники имеют собственные названия:

• — пентагон;
• — гексагон;
• восемь — октагон;
• двенадцать — додекагон.

И так далее. Геометры шутят, что круг — это многоугольник с бесконечным количеством углов. Наш калькулятор запрограммирован на определение периметров и площадей только правильных многоугольников. Он использует общие формулы для всех правильных полигонов. Для вычисления периметра используется формула:

где n – количество сторон многоугольника, a – длина стороны.

Для определения площади используется выражение:

S = n/4 × a 2 × ctg(pi/n).

Подставляя соответствующее n, мы можем подобрать формулу для любого правильного многоугольника, к которым также относятся равносторонний треугольник и квадрат.

Многоугольники имеют большое распространение в реальной жизни. Так форму пятиугольника имеет здание министерства обороны США — Пентагон, гексагона — пчелиные соты или кристаллы снежинки, октагона — дорожные знаки. Кроме того, многие простейшие, например радиолярии, имеют форму правильных полигонов.

Примеры из реальной жизни

Давайте рассмотрим пару примеров использования нашего калькулятора в реальных расчетах.

Покраска забора

Покраска поверхностей и расчет краски — это одни из самых очевидных бытовых задач, в которых требуются минимальные математические расчеты. Если нам нужно покрасить забор, высота которого составляет 1,5 метра, а длина 20 метров, то сколько потребуется банок краски? Для этого нужно узнать суммарную площадь забора и расход лакокрасочных материалов на 1 квадратный метр. Мы знаем, что расход эмали составляет 130 грамм на метр. Теперь определим площадь забора, используя калькулятор для вычисления площади прямоугольника. Она составит S = 30 квадратных метров. Естественно, что забор мы будем красить с обеих сторон, поэтому площадь для покраски увеличится до 60 квадратов. Тогда нам понадобится 60 × 0,13 = 7,8 килограмм краски или три стандартных банки по 2,8 килограмма.

Отделка бахромой

Пошив одежды — еще одна отрасль, в которой необходимы обширные геометрические познания. Пусть нам надо отделать бахромой платок, который представляет собой равнобедренную трапецию со сторонами 150, 100, 75 и 75 см. Для вычисления расхода бахромы нам потребуется узнать периметр трапеции. В этом нам и пригодится онлайн-калькулятор. Введем эти данные ячейки и получим ответ:

Таким образом, нам понадобится 4 м бахромы для отделки платка.

Заключение

Плоские фигуры составляют реальный мир вокруг. Мы часто задавались в школе вопросом, пригодится ли нам геометрия в будущем? Выше приведенные примеры показывают, что математика постоянно используется в повседневной жизни. И если площадь прямоугольника для нас привычна, то вычислить площадь додекагона может оказаться трудной задачей. Используйте наш каталог калькуляторов для решения школьных заданий или бытовых вопросов.

Периметр — один из математических, а точнее — геометрических терминов, применяется в основном для вычисления сторон фигуры.

Из нашей статьи вы узнаете, что такое периметр и как он измеряется на примере основных геометрических фигур.

Определение периметра

Периметром называют общую длину всех сторон или окружности той или иной фигуры. Обозначается периметр большой буквой «Р», а измерять его можно в различных единицах длины, таких как миллиметры (мм), сантиметры (см), метры (м) и т. д. Для различных фигур существуют различные формулы для нахождения периметра. Ниже мы приведем несколько примеров, как узнать периметр у прямоугольника и некоторых других фигур.

Измеряем периметр

Если вам необходимо узнать периметр у сложной фигуры (к таким фигурам можно отнести фигуры с неровными линиями), то для этого вам понадобится веревка или нитка. При помощи этих вещей необходимо описать точный контур фигуры, а чтобы не запутаться, вы можете на веревке сделать отметки карандашом. Или же можно просто ее обрезать, а после приложить все части к линейке. Таким образом, вы узнаете, чему равен периметр практически у любой сложной фигуры.

Существует еще одно приспособление для вычисления периметра у сложных фигур: его называют курвиметр (роликовый дальномер). С его помощью вам нужно установить ролик в любую точку фигуры и описать роликом контур фигуры. Полученное число и будет равно периметру. О нахождении периметра у других геометрических фигур вы сможете узнать из нашей статьи . Ну а мы расскажем ещё о нескольких способах изменения периметра для разных фигур.

Круг, квадрат, равносторонний треугольник

Давайте также рассмотрим, как узнать периметр круга. Это довольно-таки просто: достаточно лишь определить длину окружности, а сделать это можно, умножив радиус «r» на число π≈3,14 и затем на 2 (P=L=2∙π∙r).

Площадь и периметр – две численные характеристики, часто используемые в геометрии. Для их вычисления применяют одни и те же параметры, но смысл конечных величин имеет принципиальные различия. На упаковке многих товаров указывается площадь или размеры сторон в виде A х B (если речь идет о товаре, одна из сторон которого имеет форму прямоугольника).

Определение

Площадь
– величина, характеризующая размер поверхности, которую занимает геометрическая фигура.

Периметр
– размер границ (контура) геометрической фигуры.

Понятия применимы для каждой геометрической фигуры и выражаются в различных единицах. Расчет периметра и площади определяется единицами измерения параметров, используемых для их вычисления: длин сторон, диаметра, высоты. В геометрии указанные параметры чаще всего измеряются в мм, см, м.

Сравнение

Периметр обозначается заглавной буквой P
, используется при измерении многоугольников и определяется как сумма длин его сторон. Площадь обозначается буквой S
и может быть использована как численная характеристика поверхности, имеющей различный контур, в том числе искривленный. Понятие «квадратура» частично отражает смысл площади, в основе которой положено измерение квадрата поверхности.

Простейший случай – квадрат. Длины его сторон равны, поэтому для вычисления периметра достаточно умножить одну сторону на 4. Формула выглядит так:

Р = a + a + a + a = a х 4, где а – сторона квадрата.

Для вычисления площади квадрата используется другая формула:

S = a х a = a 2 .

Выводы сайт

1. В случае с периметром речь идет о размерах контура, в случае площади – о размерах поверхности.
2. Единица измерения S определяется как квадрат единицы измерения характеристик поверхности, для периметра она равна единице измерения сторон многоугольника.
3. Периметр характеризует размеры многоугольника, площадь – более широкое понятие, применимое для поверхностей с различным контуром.
4. Формулы для определения площадей сильно различаются, а для определения периметра достаточно просто сложить стороны многоугольника.

Не многие формулы из курса школьной математики мы применяем в повседневной жизни.

Однако, есть такие уравнения, которые имеют применение, если не на регулярной основе, то время от времени. Одна из таких формул — вычисление периметра фигуры.

Что такое периметр?

Периметром называют суммарную длину всех сторон геометрической фигуры. Для его обозначения используется буква латинского алфавита «Р». Проще говоря, чтобы найти периметр, необходимо измерить длины всех сторон геометрической фигуры и сложить полученные значения. Длина вычисляется обычным измерительным прибором, таким как линейка, рулетка, сантиметровая лента и прочее.

Единицей измерения соответственно являются сантиметры, метры, миллиметры и другие меры длины. Длина стороны многоугольника вычисляется путем прикладывания измерительного прибора от одной вершины к другой. Начало шкалы деления прибора должно совпадать с одной из вершин. Второе числовое значение, на которое попадает другая вершина и является длиной стороны многоугольника. Таким же образом необходимо измерить все длины сторон фигуры и полученные значения сложить. Единицей измерения периметра является та же самая единица, которая используется для измерения стороны фигуры.

Прямоугольником следует называть геометрическую фигуру, которая состоит из четырех сторон разной длины и три угла у которой прямые. При построении такой фигуры на плоскости получается так, что стороны у нее будут попарно равны, но не равны все между собой. Что такое периметр прямоугольника? Это также суммарная длина всех длин фигуры. Но так как у прямоугольника по две стороны имеют одинаковое значение, то в вычислении периметра можно дважды сложить длины двух смежных сторон. Единицей измерения периметра прямоугольника также являются общепринятые единицы измерения.

Треугольником следует называть геометрическую фигуру, имеющую три угла (как разного значения, так и одинакового) и состоящую из отрезков, образованных от точек пересечения лучей, образующих углы. Треугольник имеет три стороны и три угла. В нем могут быть из трех равны две стороны. Такой треугольник следует считать равнобедренным. Бывают такие фигуры, в которых равны все три стороны между собой. Принято такие треугольники называть равносторонними.

Что такое периметр треугольника? Его вычисление можно провести по аналогии с периметром четырехугольника. Равен периметр треугольника суммарной длине длин его сторон. Вычисление периметра треугольника, в котором две стороны равны — равнобедренного — упрощается умножением одной длины равных сторон на два. К полученному значению необходимо прибавить значение длины третьей стороны. Вычисление периметра треугольника с равными сторонами можно свести к простому вычислению произведения одной длины стороны треугольника на три.

Прикладное значение периметра

Вычисление периметра в повседневной жизни применяется во многих сферах, но чаще всего при выполнении строительных, геодезических, топографических, архитектурных, планировочных работах. Но перечисленным сферы применения вычисления периметра, конечно же, не ограничиваются.

Например, при выполнении геодезических и топографических работ очень часто возникает необходимость посчитать периметр границ определенного участка. Но на практике участки редко имеют правильную форму. Поэтому вычисление длины периметра происходит по формуле расчета суммы длин всех сторон участка.

Необходимость вычисления периметра участка очень часто обусловлена тем, что необходимо знать, какое количество материала потребуется для установки ограждений. Даже простой приусадебный участок нуждается в измерении периметра для того, чтобы грамотно обнести его забором.

Измерительные приборы на местности

Для вычисления периметра на местности невозможно использование простой ученической линейки. Поэтому специалисты используют специальные приборы. Конечно, самый простой и доступный вариант — это измерение длины границы участка шагами. Размер шага взрослого человека составляет примерно один метр. Иногда один метр и двадцать сантиметров. Но этот способ очень неточный и дает большую погрешность в измерении. Он подходит в том случае, если нет необходимости точного вычисления длины границы, а есть потребность просто прикинуть примерную длину.

Для более точного вычисления длины сторон участка и, соответственно, периметра, существуют специальные приборы. В первую очередь, можно воспользоваться специальной металлической рулеткой или обычным проводом.

Также существуют специальные измерительные устройства, такие как дальномеры. Приборы бывают оптические, лазерные, световые, ультразвуковые. Следует помнить, что чем дальше дальномер способен измерять расстояние, тем выше у него погрешность. Такие приборы используются в геодезических и топографических съемках.

На этом занятии мы познакомимся с новым понятием — периметр прямоугольника. Мы сформулируем определение этого понятия, выведем формулу для его вычисления. Также повторим сочетательный закон сложения и распределительный закон умножения.

На данном уроке мы познакомимся с периметром прямоугольника и его вычислением.

Рассмотрим следующую геометрическую фигуру (рис. 1):

Рис. 1. Прямоугольник

Данная фигура — прямоугольник. Вспомним, какие отличительные особенности прямоугольника мы знаем.

Прямоугольник — это четырехугольник, у которого четыре прямых угла и стороны попарно равны.

Что в нашей жизни может иметь прямоугольную форму? Например, книга, крышка стола или земельный участок.

Рассмотрим следующую задачу:

Задача 1 (рис. 2)

Вокруг земельного участка строителям понадобилось поставить забор. Ширина этого участка — 5 метров, длина — 10 метров. Забор какой длины получится у строителей?

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1

Забор ставят по границам участка, поэтому, чтобы узнать длину забора, нужно знать длину каждой из сторон. У данного прямоугольника стороны равны: 5 метров, 10 метров, 5 метров, 10 метров. Составим выражение для подсчета длины забора: 5+10+5+10. Воспользуемся переместительным законом сложения: 5+10+5+10=5+5+10+10. В данном выражении есть суммы одинаковых слагаемых (5+5 и 10+10). Заменим суммы одинаковых слагаемых произведениями: 5+5+10+10=5·2+10·2. Теперь воспользуемся распределительным законом умножения относительно сложения: 5·2+10·2=(5+10)·2.

Найдем значение выражения (5+10)·2. Сначала выполняем действие в скобках: 5+10=15. А затем повторяем число 15 два раза: 15·2=30.

Ответ: 30 метров.

Периметр прямоугольника
— сумма длин всех его сторон. Формула для подсчета периметра прямоугольника
: , здесь a — длина прямоугольника, а b — ширина прямоугольника. Сумма длины и ширины называется

полупериметром
. Чтобы из полупериметра получить периметр, нужно его увеличить в 2 раза, то есть умножить на 2.

Воспользуемся формулой периметра прямоугольника и найдем периметр прямоугольника со сторонами 7 см и 3 см: (7+3)·2=20 (см).

Периметр любой фигуры измеряется в линейных единицах.

На данном уроке мы познакомились с периметром прямоугольника и формулой его вычисления.

Произведение числа и суммы чисел равно сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых.

Если периметр — это сумма длин всех сторон фигуры, то полупериметр — сумма одной длины и одной ширины. Мы находим полупериметр, когда работаем по формуле нахождения периметра прямоугольника (когда мы выполняем первое действие в скобках — (a+b)).

Список литературы

1. Александрова Э.И. Математика. 2 класс. — М.: Дрофа, 2004.
2. Башмаков М.И., Нефёдова М.Г. Математика. 2 класс. — М.: Астрель, 2006.
3. Дорофеев Г.В., Миракова Т.И. Математика. 2 класс. — М.: Просвещение, 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Nsportal.ru ().
3. Math-prosto.ru ().

Домашнее задание

1. Найти периметр прямоугольника, у которого длина 13 метров, а ширина — 7 метров.
2. Найти полупериметр прямоугольника, если его длина — 8 см, а ширина — 4 см.
3. Найти периметр прямоугольника, если его полупериметр — 21 дм.

Умение применять знания в нахождении периметра и площади геометрических фигур

Построение урока:

1. Организация и мотивация учащихся к
   деятельности на уроке.
2. Организация восприятия нового материала на
   основе наглядного материала
3. Организация осмысления.
4. Первичная проверка понимания нового материала.
5. Организация первичного закрепления и
   самостоятельный анализ учебной информации.
6. Применение полученных знаний на практикуме.

Цели урока:

1. Обучающая. Обеспечить усвоение учащимися
   нахождения площади и периметра геометрических
   фигур;

визуального восприятия материала на уроке;
осмыслено понимать , что такое площадь и
периметр.

2. Развивающая. Использовать на уроке
развивающие упражнения, активизировать

мыслительную деятельность школьников.

3. Воспитательная. Обеспечить развитие
ценностно-смысловой культуры учащихся;

мотивации на умение правильно достигать
поставленной цели —

совпадение ожидания и результата.

Оборудование:

1. М.И.Моро и др. “Математика” — учебник для 3
   класса начальной школы, 1 часть.
2. Рабочая тетрадь по математике.
3. Ручка, линейка, простой карандаш, треугольник,
   ножницы.
4. Модели геометрических фигур для нахождения
   площади.
5. Над доской плакаты с формулами нахождения
   площади и периметра.

Средства обучения:

1. Дидактический материал.
2. Наглядные пособия.

Приемы обучения:

1. Сравнение предметов.
2. Сопоставления способов нахождения площади
   одной и той же фигуры.

Ход урока.

1. Организационный момент и сообщение темы
урока.

Учитель: Здравствуйте, ребята. Сегодня мы
продолжим изучение большой темы под названием
“Площадь и периметр”. Тема нашего урока сегодня
:“Умение применять знания в нахождении
периметра и площади сложной фигуры”.

Сложная
фигура – это геометрическая фигура, состоящая из
нескольких простейших фигур. Сначала, повторим
то, что мы с вами изучили на прошлых уроках.

II. Устный счет.

Задачи на развитие.

Учитель: Найдите площадь данной фигуры, если
сторона квадрата 1 см.

Фигура изображена на доске.

Ученик: Если 1 квадрат имеет площадь 1 см²,
а квадратов изображено 5, то площадь этой фигуры
равна 5 см².

Учитель: Правильно. Следующее задание.
Уберите 3 палочки, чтобы осталось 3 таких
квадрата.

Ученик выходит к доске и убирает 3 палочки.

Учитель: Уберите 4 палочки, чтобы осталось 3
таких же квадрата.

Ученик выходит к доске и убирает 4 палочки.
Решение.

III. Работа по теме урока

Учитель: Какие геометрические фигуры вы уже
знаете?

Ученик: Прямоугольник.

Ученик: Квадрат.

Учитель: Правильно. Что мы знаем о квадрате?

Ученик: У квадрата 4 стороны и 4 угла.

Учитель: Правильно. Каким свойством обладают
стороны квадрата?

Ученик: Они равны.

Учитель: Правильно. А какие углы у квадрата?

Ученик: Они прямые.

Учитель: С помощью чего мы можем построить
прямой угол?

Ученик: С помощью треугольника.

Учитель: Давайте построим квадрат со
стороной 4 см в вашей тетради. С помощью каких
инструментов мы будем чертить квадрат?

Ученик: С помощью линейки, карандаша и
треугольника.

Ученики в тетрадях строят квадрат и
раскрашивают его.

Учитель: Эта геометрическая фигура. Как найти
периметр и площадь этого квадрата?

Ученик: Периметр – это сумма всех его сторон.
Сторон у квадрата 4. Значит, 4 сложим 4 раза.

Учитель: Как это записать?

Ученики делают запись в тетради: “Найти
площадь фигуры F1”.

Ученика вызывают к доске, и он пишет: Р = 4 + 4 + 4 +
4 = 16 (см)

Ученики делают запись в тетради.

Учитель: В каких единицах еще измеряется
периметр?

Ученик: В сантиметрах, в миллиметрах, в
метрах, в дециметрах, в километрах.

Учитель: Молодец! Как еще можно записать
периметр?

Ученик: С помощью умножения.

Ученик записывает на доске: Р = 4 · 4 = 16 (см)

Ученики записывают в тетради.

Учитель: А чему равна площадь квадрата?

Ученик: Длину квадрата умножаем на его
ширину. Так как стороны у квадрата равны, то

S = 4 · 4 = 16 (см²)

Ученики делают запись в тетрадке и
записывают — “Ответ: S = 16 см²”.

Учитель: Какие еще единицы измерения площади
вы знаете?

Ученик: квадратный сантиметр, квадратный
дециметр, квадратный метр, квадратный миллиметр.

Учитель: А теперь усложним задачу. Перед вами
лежит карточка.

На этой карточке изображен квадрат такой же,
что и у вас в тетрадке. В середине этого квадрата –
еще один квадрат со стороной 2 см. Сейчас вы
возьмете ножницы и вырежете аккуратно этот
маленький квадрат.

Ученики выполняют эту работу и делают запись
в тетрадке: “Найти площадь фигуры F2”.

Учитель: У нас получилась фигура “с окошком” –
F2. Как можно найти площадь этой интересной
фигуры? Площадь квадрата уже известна и равна 16
см².

Ученик: Нужно найти площадь маленького
квадратика со стороной 2 см.

Ученик выходит к доске и записывает – S2 = 2 · 2 =
4 (см²)

Ученики делают запись в тетрадке

Учитель: Правильно. А что можно сделать
дальше? Мы вырезали этот квадратик и из большого
квадратика, вынули его. Как найти площадь нашей
фигуры?

Ученик: Из площади большого квадратика
вычесть площадь маленького.

Учитель: Правильно.

Ученик записывает на доске – S = S1 – S2 = 16 – 4 = 12
(см²)

Ученики делают запись в тетрадке.

Учитель: Внимательно посмотрите на эту
фигурку и скажите, как еще можно измерить
площадь? Можно ли эту фигуру как-то разрезать,
чтобы получить фигуры, уже знакомые вам?

Ученики думают и говорят разные варианты.

Один из вариантов оказался очень интересным.

Ученик: Можно так разрезать , чтобы
получились прямоугольники и показывает на доске
, как это можно сделать.

Учитель: Молодец! А что дальше?

Ученик: А дальше можно найти площади этих
прямоугольников и сложить, потому, что наша
фигурка тоже сложена из этих прямоугольников.

Ученики разрезают фигуру, как показано на
доске.

Учитель: А как находится площадь
прямоугольника?

Ученик: Нужно длину умножить на ширину.

Учитель: У вас получилось четыре фигуры. Что
можно сказать про них?

Ученик: Две фигурки, как близнецы –
одинаковые, и вторые две – тоже одинаковые.

Можно найти площадь одной фигуры и умножить на
2.

Ученик решает на доске: S1 = 1 · 4 = 4 (см²)

S2 = 1 · 2 = 2 (см²)

S = 2 · S1 + 2 · S2 = 2 · 4 + 2 · 2 = 8 + 4 = 12(см²)

Учитель: Молодец! У нас получилась то же
значение площади, что и раньше.

Ученики пишут в тетрадке – “Ответ: S = 12 см².”

Учитель: Вы, наверное, устали?

Настало время отдыхать.

Предлагаю усталость

Физкультминуткой снять.

IV. Физкультминутка.

Каждый день по утрам
Делаем зарядку (ходьба на месте).
Очень нравится нам делать по порядку:
Весело шагать (ходьба),
Руки поднимать (руки вверх),
Приседать и вставать (приседание 4-6 раз),
Прыгать и скакать (10 прыжков).

Учитель: А теперь сели за парты и

посмотрите на следующую модель. Фигура F3

Как найти площадь этой интересной фигуры?

Ученик: Треугольник, который выступает

можно отрезать и подставить в ту часть, где

треугольник “уходит” внутрь.

Учитель: Давайте возьмем ножницы, отрежем
треугольник и подставим в верхнюю часть.

Что за фигура у нас получилась?

Ученик: Прямоугольник!

Учитель: Как найти площадь этого
прямоугольника,

Если стороны нам неизвестны.

Ученик: Мы можем взять линейку и измерить

длину и ширину прямоугольника.

Ученики делают запись – “Найти площадь
фигуры F3”.

Ученики линейкой измеряют длину и ширину.
Получается длина, а = 6 см, ширина в = 2 см.

Ученик: Площадь данной фигуры равна S = 6 · 2 = 12
(см²).

Ученики делают запись в тетрадке и
записывают – “Ответ: S = 12 см².

Учитель: Но это еще не все. Перед вами
следующая фигура. Необходимо найти ее площадь.

Что за фигура перед вами?

Ученик: Треугольник. Но площадь
треугольника

мы не умеем находить!

Учитель: Это правда. Из этого треугольника

сделаем прямоугольник. Я вам подскажу. Фигура F4

Сначала мы этот треугольник сложим пополам

Ученики: Мы поняли! Правую

сторону переворачиваем.

Получится прямоугольник.

Ученик: С помощью линейки измеряем

длину а и ширину в, и по S = а· в,

находим площадь.

Учитель: Если мы при измерении, мы

получим , что длина

будет выражена в мм, а ширина в см,

что нам делать?

Ученик: Обязательно длину и ширину перевести
в одну единицу измерения.

Ученики записывают в тетрадке: “Найти
площадь фигуры F4”.

V. Работа в парах.

Учитель: А теперь я предлагаю поработать в
паре. Вас за партой двое. Один ученик ( I вариант)
находит периметр данной фигуры, а второй ( II
вариант )- площадь.

Для этого начертим в тетради эту фигуру. После
того, как вы выполните задание, поменяетесь
тетрадями и проверите результаты друг у друга.

Ученики выполняют задание и результаты

записывают в тетрадь.

Учитель: Что у вас получилось?

Ученик: Квадрат со стороной 3 см. Р = 3 · 4 = 12(см)

S = 3 · 3 = 9 (см²) 3 см

Ученики записывают: “Ответ: P = 12 см, S = 9 см².

Учитель: Молодцы! А теперь я вам предлагаю
поработать самостоятельно.

Найти площадь следующей фигуры. Она лежит перед
вами.

VI. Самостоятельная работа по закреплению
изученного материала.

Учитель раздает заранее заготовленные
фигуры.

Ученики самостоятельно, без помощи учителя,
разрезают эту фигуры, получают три
прямоугольника.

Ученики делают запись: “ Найти площадь
фигуры F5”.

Ученики находят S1 = 4 · 3 = 12(см²), S2 = 2 · 1 =
2(см²), потом находят площадь данной фигуры: S
= S1 + S2 + S2 = 12 + 2 + 2 = 16 (см²) и делают запись в
тетради, затем

записывают: “Ответ: S = 16 см²”.

Учитель: Понравился урок?

Ученики: Да.

Учитель: Что вы нового узнали на этом уроке?

Ученик: Мы научились находить площадь и
периметр сложных фигур. Это оказалось очень
просто. Нужно немного подумать и эту фигуру
перестроить или переделать в ту, периметр и
площадь, которой, мы уже умеем находить.

Учитель: Я очень рада, что вам понравилось.
Дома еще раз повторить формулы нахождения
периметра и площади квадрата и прямоугольника;
вспомнить, как переводить одну единицу

в другую. Сегодня хорошо отвечали следующие
ученики . . .

Учитель выставляет оценки.

VII. Домашнее задание: учебник стр. 77 № 8.

Периметр составных фигур: составные прямоугольники

• Периметр — это общее расстояние по внешней стороне фигуры.
• Два зеленых

  горизонтальные Идут слева направо по этому экрану.

  сторон должны быть такой же длины, как и одна длинная красная сторона.

• Два зеленых

  по вертикали Идут сверху вниз на этом экране.

  сторон должны быть такой же длины, как и одна более длинная красная сторона.

• Мы можем использовать этот факт, чтобы найти недостающие стороны, прежде чем мы добавим их, чтобы найти периметр.

• Отсутствующий

  Вертикальный переход сверху вниз на этом экране.

  сторона плюс 6 см должны равняться 9 см. Недостающая вертикальная сторона составляет 3 см.

• Отсутствующий

  по горизонтали Идет слева направо по этому экрану. Сторона

  плюс 4 см должны равняться 12 см. Недостающая горизонтальная сторона равна 8 см.

• Мы находим периметр, складывая внешние края нашей фигуры.
• 8 см + 12 см = 20 см и 4 см + 6 см = 10 см. Мы можем сложить эти четыре стороны, чтобы получить 30 см
• . Мы складываем оставшиеся две стороны до 30 см. 30 см + 9 см = 39 см, а затем 39 см + 3 см = 42 см.
• Периметр этой сложной формы составляет 42 см.

Периметр сложных фигур Рабочие листы и ответы

Составная фигура (или составная фигура) — это более сложная фигура, равная 9. 0045 состоит из двух или более простых фигур .

Мы рассмотрим составные фигуры, сделанные специально из двух объединенных прямоугольников.

Нас могут попросить найти периметр сложной формы, подобной приведенной выше.

Например:

Чтобы найти периметр , мы просто складываем длины каждого внешнего ребра .

При добавлении сторон может быть полезно обращать внимание на числовые связи .

Например, 7 + 3 = 10.

Сумма всех внешних сторон равна 36, поэтому периметр равен 36 см .

В некоторых вопросах периметра длины некоторых сторон могут отсутствовать .

Например:

Длина двух сторон этой прямоугольной составной формы равна , а отсутствует.

Мы можем использовать другие длины сторон, чтобы выяснить, каковы эти пропущенные значения.

Мы начнем с отсутствующей

вертикали, идущей сверху вниз на этом экране.

длина.

Чтобы найти его значение, мы рассмотрим другие длины по вертикали.

Глядя на форму, сторона длиной 9 см является такой же, как , обе стороны отсутствуют плюс сторона длиной 6 см .

9 см = ? см + 6 см

Таким образом, мы можем найти недостающую длину на вычитая 6 см из 9 см.

9 – 6 = 3

Итак, недостающая длина стороны 3 см .

Далее мы найдем недостающие

по горизонтали, двигаясь слева направо по этому экрану.

длина.

Чтобы найти недостающую горизонтальную длину, мы посмотрим на значения других горизонтальных длин.

Глядя на составную форму, сторона длиной 12 см — это , то же самое, что и , обе стороны — недостающая сторона плюс сторона длиной 4 см .

12 см = 4 см + ? см

Таким образом, мы можем найти недостающую длину, если вычтем 6 см из 9 см.

12 – 4 = 8

Итак, недостающая длина составляет 8 см .

Теперь, когда мы знаем длины всех сторон, мы можем найти периметр составной фигуры.

Опять же, может быть полезно искать число облигаций , чтобы упростить расчет периметра.

Например, 12 + 8 = 20.

Всего 42, поэтому периметр нашей составной фигуры равен 42 см .

Теперь попробуйте наш урок Вычисление площади прямоугольников и квадратов , где мы научимся находить площадь прямоугольников, включая квадраты.

5.18: Площадь и периметр составных фигур

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

5002

Найдите площадь и периметр фигур, состоящих из двух или более обычных фигур.

Площадь составных фигур

Периметр — это расстояние вокруг фигуры. К периметру любой фигуры должна быть привязана единица измерения. Если не указаны конкретные единицы измерения (футы, дюймы, сантиметры и т. д.), напишите «единицы».

Площадь — это пространство внутри фигуры. Если две фигуры конгруэнтны, то они имеют одинаковую площадь ( постулат конгруэнтных площадей ).

Рисунок (PageIndex{1})

Составная фигура — это фигура, состоящая из других фигур. Чтобы найти площадь такой фигуры, просто найдите площадь каждой части и сложите их.

Постулат сложения площадей: Если фигура состоит из двух или более частей, не перекрывающих друг друга, то площадь фигуры равна сумме площадей частей.

Рассмотрим простой дом, нарисованный в виде треугольника поверх квадрата. Как найти площадь этой составной фигуры?

Пример (PageIndex{1})

Найдите площадь на рисунке ниже. 2). 92).

Обзор

Используйте картинку ниже для ответов на вопросы 1-4. Составная форма состоит из квадрата внутри квадрата.

Рисунок (PageIndex{6})

1. Найдите площадь внешнего квадрата.
2. Найдите площадь одного серого треугольника.
3. Найдите площадь всех четырех серых треугольников.
4. Найдите площадь внутреннего квадрата.

Найдите площади фигур ниже. Можно предположить, что все стороны перпендикулярны.

1. Рисунок (PageIndex{7})
2. Рисунок (PageIndex{8})

Найдите площади составных фигур.

1. Рисунок (PageIndex{9})
2. Рисунок (PageIndex{10})
3. Рисунок (PageIndex{11})
4. Рисунок (PageIndex{12})
5. Рисунок (PageIndex{13})
6. Рисунок (PageIndex{14})

Используйте рисунок, чтобы ответить на вопросы.

Рисунок (PageIndex{15})

1. Какова площадь квадрата?
2. Какова площадь треугольника слева?
3. Какова площадь составной фигуры?

Обзор (ответы)

Чтобы просмотреть ответы на обзор, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 10.6.

Словарь

Срок	Определение
площадь	Количество места внутри фигуры. Площадь измеряется в квадратных единицах.
составная форма	Фигура, состоящая из других фигур.
периметр	Расстояние вокруг фигуры. К периметру любой фигуры должна быть привязана единица измерения. Если не указаны конкретные единицы измерения (футы, дюймы, сантиметры и т. No related posts.

Периметр
фигуры это длина всех ее сторон. Не все фигуры имеют периметр, например, шар не имеет периметра.
Стандартное обозначение периметра в математике –
буква P

Периметр квадрата

Пусть длина стороны квадрата равна a
. Квадрат имеет четыре равных стороны, поэтому периметр квадрата
есть P = a + a + a +a
или:

Периметр прямоугольника

Пусть длины сторон прямоугольника равны a
иb
.
Длина всех его сторон есть P = a + b + a + b
или:

Периметр параллелограмма

Пусть длины сторон параллелограмма равны a
и b

Длина всех его сторон есть P = a + b + a + b
, поэтому периметр параллелограмма есть:

Как видно, периметр параллелограмма равен периметру прямоугольника.

Периметр равнобедренной трапеции

Пускай длины параллельных сторон трапеции a
и b
, а длины двух других сторон равна c
(Как известно, равнобедренная трапеция имеет две равные стороны).

P = a + b + c + c = a + b + 2c

Периметр равностороннего треугольника

Как известно, равносторонний треугольник имеет 3 равные стороны. Если длина стороны равна a
, тогда
формула нахождения периметра есть P = a + a + a

Периметр параллелепипеда

Параллелепипед есть призма, все стороны которой являются параллелограммами. (Прямоугольный параллелепипед это фигура, стороны которой – прямоугольники.)
Если стороны основания имеют длину a
и
b
тогда периметр основания есть P = 2a + 2b
.
Каждый параллелепипед имеет два основания, поэтому периметр двух оснований равен (2a + 2b).2 = 4a + 4b
.
Как мы знаем, параметр это сумма всех сторон. Таким образом, мы должны сложить четыре раза c

P = 4a + 4b + 4c

Периметр куба

Куб это параллелепипед, все стороны которого являются квадратами (все грани равны).
Тогда, периметр куба есть число сторон*длина.
Каждый куб имеет 12 сторон.
Тогда, формула нахождения периметра куба имеет вид:

Где a
– длина его стороны.

Как найти Периметр различных геометрических форм

Возникли проблемы в понимании того, как найти периметр различных геометрических фигур? Бизнес сайт приходит к вам на помощь посредством облегчения геометрии, чем когда-либо!Удовольствие FactThe периметру или окружности Земли составляет 24,901 миль, я. э. почти 40,075 км!В математике, геометрии рассматриваются формы, размеры, взаиморасположение, трехмерная ориентация фигур в пространстве. Она имеет дело с тремя основными измерениями фигур:площади, объема и периметра.

Площадь является мерой степени двумерной фигуры или формы; поверхность может быть описана как степень поверхности объекта. Это мера в трехмерном пространстве вблизи объекта.

По периметру можно просто охарактеризовать как длина пути, который окружает двумерной формы. Другими словами, это расстояние вокруг фигуры. Давайте теперь взглянем на Как найти периметр различных геометрических форм.

Индекс
Площадь
Прямоугольник
Круг
Полуокружность

Сектор
Треугольник
Трапециевидные
Полигон
Площадь
Квадрат-это четырехугольник, который имеет все четыре стороны и четыре угла равны (все 90°).

Пример: чтобы найти периметр квадрата со стороной 5 см, мы используем формулу, показанную на рис..
Р = А + А + А + А
Р = 5 + 5 + 5 + 5
Р = 20 см
Эта же формула может использоваться для вычисления периметра ромба..
Обратно в индекс
Прямоугольник
Прямоугольник-это четырехугольник, который имеет все четыре угла равны (все 90°). Противоположные стороны прямоугольника равны (тогда как на смежных сторонах нет).

Пример: чтобы найти периметр прямоугольника, мы используем формулу, показанную на рис..
л = 15 см
б = 25 см
Р = 2 (15 + 25)
Р = 2 (40)
Р = 80 см
Вы можете использовать ту же формулу, чтобы найти периметр параллелограмма.
Обратно в индекс
Круг
Окружность может быть описана как множество точек, находящихся на равном расстоянии от определенной точки (известный как центр). Периметр окружности называется окружности, обозначается с.

Пример: найти длину окружности, мы используем формулу, показанную на рис..
Если C = 2πR и πд
С = 2 Х 3. 14 х 7 или 3. 14 х 14
С = 43. 96 см
Обратно в индекс
ПОЛУОКРУЖНОСТЬ
Полукольцом, проще говоря, наполовину окружность, его периметр будет половина этого круга.

Пример: чтобы найти периметр полукруга, мы используем формулу, показанную на рис..
р = 7 см или D = 14 см (д = р + р)
Р = πR и πд/2
Р = 2 Х 3. 14 х 7 или 3. 14 х 14/2
П = 21. 98 см
Обратно в индекс
Сектор
Сектор можно охарактеризовать как часть окружности.

Пример: чтобы найти периметр сектора, мы используем формулу, показанную на рис..

ϴ = 60°
р = 7 см
Р = 60/360 Х 2 Х 3. 14 х 7
Р = 7. 33 см
Обратно в индекс
Треугольник
Треугольник-это многоугольник, который имеет три стороны и три вершины. Давайте учитывать три случая для того, чтобы определить его периметр.

один. Когда все три стороны известны.

Чтобы найти периметр треугольника, мы используем формулу, показанную на рис..
а = 14 см
б = 16 см
с = 15 см
Р = 14 + 16 + 15
Р = 45 см
б. Для прямоугольного треугольника если его гипотенуза неизвестна.

Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, мы используем формулу, показанную на рис..
Б = 3 см
ч = 4 см
П = б + ч + √ Б2 + ч 2
П = 3 + 4 + √ 32 + 4 2
Р = 3 + 4 + 5
Р = 12 см

Если любой другой стороны неизвестно, можно использовать формулу Пифагора найти бок сначала, а потом вычислить периметр.
с. Для любого другого треугольника, когда только две стороны и угол они известны.

Прежде всего нам нужно найти длину стороны, используя закон косинусов,
Когда А, B и C длины сторон треугольника, а, b и C имеют противоположные углы сторонами A, B и C, соответственно, мы можем найти длину неизвестной стороны (скажем, с) по формуле:

С2 = а 2 + Б 2 – в 2. б потому что(с)

Например
А = 4 см
Б = 2 см
С2 = 4 2 + 2 2 – 2 4. 2 соѕ(45)
С2 = 16 + 4 – 2 (0. 876)
С2 = 20 – 1. 752
С2 = 18. 284
с = 4. 272 см

Р = А + В + С
Р = 4 + 2 + 4. 272
П = 10. 272 см
Обратно в индекс
ТРАПЕЦИЕВИДНЫЕ
Трапецией называется четырехугольник, по крайней мере одну пару параллельных линий. Параллельные линии называются основания трапеции, и с другой стороны не известно как ноги трапеции. Расстояние между параллельными линиями, называется высотой трапеции.
Давайте рассмотрим три различных сценариях, чтобы найти периметр.

один. Когда всем сторонам известно.

А = 4 см
б = 16 см
с = 5 см
д = 8 см
Р = 4 + 16 + 5 + 8
Р = 33 см
б. Когда его стороны (ноги) неизвестны.

Чтобы найти периметр трапеции, мы используем формулу, показанную на рис..
б = 16 см
ч = 3 см
д = 8 см
П = б + д + ч
1
+
1
Грех(С)
Грех(А)

Р = 16 + 8 + 3
1
+
1
Грех(53)
Грех(45)

Р = 16 + 8 + 33. 3
П = 57. 3 см
с. Когда один из базовых и высота неизвестны.

Представьте, если бы мы должны были сократить трапецевидной с двух сторон таким образом, что длины оснований равны, и когда мы присоединяемся к вырезанной части, мы получим треугольник, как показано на рисунке.

Когда ∠и ∠с равны; все три угла по 60°. Этот треугольник-равносторонний треугольник, и, следовательно, когда длина стороны добавляется в базу, мы получим длину большего основания.
Когда углы равны; сумма углов вычитал на 180°.

Площадь этого треугольника можно рассчитать по формуле
А = ½ Х Х Х sin (Б)
Найти периметр трапеции,
А = 4 см
с = 6 см
д = 11 см
∠ а = 53°
∠ с = 65°
∠ Б = 78°
Площадь = ½ х 4 х 6 х sin 78
Площадь = 6. 12 см2
Основание треугольника=
Площадь
½ Х х грех(с)

База =
6. 12
½ Х 4 х sin(65)

База =
6. 12
2 х 0. 826

Основание = 3. 70 см
Основание трапеции = 11 + 3. 70 = 14. 70 см

Теперь у нас есть бока и основание трапеции, мы можем найти периметр.
Р = 14. 7 + 4 + 6 + 11
П = 35. 7 см
Обратно в индекс
Полигон
Любая замкнутая фигура, где отрезки не пересекаются друг с другом приводит к полигону. Сумма внутренних углов многоугольника всегда 360°, и они названы в зависимости от количества сторон, которыми они обладают.

один. Правильный многоугольник имеет все равные стороны, так что когда число сторон и длину каждой стороны известен периметр многоугольника может быть рассчитана с использованием формулы, показанной на рис..

Пример: если шестигранник имеет стороны длиной 5 см, его периметр можно вычислить, как показано ниже.
н = 6 (шестиугольник имеет шесть сторон)
с = 5 см
Р = 6 х 5
Р = 30 см
б. При длине стороны многоугольника не известны, то его периметр может быть рассчитана с помощью формулы, приведенной ниже.

Х = 2 х х Тан (180/п)
Здесь a-apothem.
Apothem-это отрезок от центра многоугольника до середины боковой.

Ы = 2 х R х Тан (180/п)
R-радиус.
Расстояние от центра правильного многоугольника на любую вершину.

Пример: на шестигранник apothem 4 см, его сторона может быть вычислена, как показано ниже.
с = 2 х 4 х Тан (180/6)
х = 8 х Тан (30)
ы = 8 х 0. 58
ы = 4. 62 см

Р = 6 х 4. 62 = 27. 71 см

Для шестиугольника радиусом 4 см, его сторона может быть вычислена, как показано ниже.
х = 2 х 4 х sin (180/6)
ы = 8 х sin (30)
ы = 8 х 0. 5
ы = 4. 00 см

Р = 6 х 4. 00 = 24 см
с. Для неправильного многоугольника, если все его стороны равны, мы можем вычислить его периметр, просто добавив длины всех его сторон.

Пример: неправильного многоугольника из шести сторон
С1 = 8 см
С2 = 6 см
С3 = 4 см
С4 = 7см
С5 = 5 см
С6 = 4 см

Р = С1 + С2 + С3 + С4 + С5 + С6
П = 8 + 6 + 4 + 7 + 5 + 4
Р = 36 см
Обратно в индекс
Мы знаем, что геометрия может быть немного сложной на первый (поверьте, мы знаем), но продолжать практиковаться, и вы, несомненно, становится лучше с каждой попыткой.

Умение находить периметр прямоугольника очень важно для решения многих геометрических задач . Ниже приведена по нахождению периметра разных прямоугольников.

Как найти периметр обычного прямоугольника

Обычный прямоугольник – четырехугольник, у которого параллельные стороны равны и все углы = 90º. Для нахождения его периметра существует 2 способа:

Складываем все стороны.

Вычислите периметр прямоугольника, есть его ширина равна 3 см., а длина – 6.

Решение (последовательность действий и рассуждения):

• Так как нам известны ширина и длина прямоугольника, найти его периметр не составит труда. Ширина параллельна ширине, а длина длине. Таким образом, в обычном прямоугольнике 2 ширины и 2 длины.
• Складываем все стороны (3 + 3 + 6 + 6) = 18 см.

Ответ: P = 18 см.

Второй способ заключается в следующем:

Нужно сложить ширину и длину, и умножить на 2. Формула этого способа имеет следующий вид: 2×(a + b), где a – ширина, b – длина.

В рамках данной задачи получим такое решение:

2×(3 + 6) = 2×9 = 18.

Ответ: P = 18.

Как найти периметр прямоугольника – квадрат

Квадрат является правильным четырехугольником. Правильным потому, что все его стороны и углы равны. Для нахождения его периметра так же существует два способа:

• Сложить все его стороны.
• Умножить его сторону на 4.

Пример: Найти периметр квадрата, если его сторона = 5 см.

Знания о том, как найти периметр, учащиеся получают еще в начальной школе . Потом эта информация постоянно используется на протяжении всего курса математики и геометрии.

Общая для всех фигур теория

Стороны принято обозначать латинскими буквами. Причем их можно обозначать как отрезки. Тогда букв потребуется по две для каждой стороны и записанные большими. Или ввести обозначение одной буквой, которая обязательно будет маленькой.
Буквы всегда выбирают по алфавиту. Для треугольника они будут первыми тремя. У шестиугольника их будет 6 – от а до f. Это удобно для введения формул.

Теперь о том, как найти периметр. Он является суммой длин всех сторон фигуры. Количество слагаемых зависит от ее вида. Обозначается периметр латинской буквой Р. Единицы измерения совпадают с теми, которые даны для сторон.

Формулы периметров разных фигур

Для треугольника: Р=а+в+с. Если он равнобедренный, то формула преобразуется: Р=2а+в. Как найти периметр треугольника, если он равносторонний? Поможет такая: Р=3а.

Для произвольного четырехугольника: Р=а+в+с+d. Его частным случаем является квадрат, формула периметра: Р=4а. Есть еще прямоугольник, тогда требуется такое равенство: Р=2(а+в).

Как быть, если неизвестна длина одной или нескольких сторон треугольника?

Воспользоваться теоремой косинусов, если среди данных есть две стороны и угол между ними, который обозначается буквой А. Тогда до того, как найти периметр, придется посчитать третью сторону. Для этого пригодится такая формула: с² = а² + в² – 2 ав cos(А).

Частным случаем указанной теоремы является сформулированная Пифагором для прямоугольного треугольника. В ней значение косинуса прямого угла становится равным нулю , а значит, последнее слагаемое просто исчезает.

Бывают ситуации, когда узнать, как найти периметр треугольника, можно по одной стороне. Но при этом известны еще и углы фигуры. Здесь на помощь приходит теорема синусов, когда отношения длин сторон к синусам соответствующих противолежащих углов равны.

В ситуации, когда периметр фигуры нужно узнать по площади, пригодятся другие формулы. Например, если известен радиус вписанной окружности, то в вопросе о том, как находить периметр треугольника, пригодится следующая формула: S=р*r, здесь р – полупериметр. Его нужно вывести из данной формулы и умножить на два.

Примеры задач

Условие первой.
Узнать периметр треугольника, стороны у которого 3, 4 и 5 см.
Решение.
Нужно воспользоваться равенством, которое указано выше, и просто подставить в него данные в задаче значения. Расчеты легки, они приводят к числу 12 см.
Ответ.
Периметр треугольника равен 12 см.

Условие второй.
Одна сторона треугольника равна 10 см. Известно, что вторая на 2 см больше первой, а третья в 1,5 раза больше первой. Требуется вычислить его периметр.
Решение
. Для того чтобы его узнать, потребуется сосчитать две стороны. Вторая определится как сумма 10 и 2, третья равна произведению 10 и 1,5. Потом останется только сосчитать сумму трех значений: 10, 12 и 15. Результатом будет 37 см.
Ответ.
Периметр равняется 37 см.

Условие третьей.
Имеются прямоугольник и квадрат. Одна сторона прямоугольника равна 4 см, а другая на 3 см больше. Нужно вычислить значение стороны квадрата, если его периметр меньше на 6 см, чем у прямоугольника.
Решение.
Вторая сторона прямоугольника равна 7. Зная это, легко вычислить его периметр. Расчет дает 22 см.
Чтобы узнать сторону квадрата, нужно сначала вычесть 6 из периметра прямоугольника, а потом разделить полученное число на 4. В результате имеем число 4.
Ответ.
Сторона квадрата 4 см.

Определение периметра и площади геометрических фигур – важная задача, которая возникает при решении многих практических или бытовых задач. Если вам требуется поклеить обои, установить забор, рассчитать расход краски или кафеля, то вам обязательно придется иметь дело с геометрическими расчетами.

Для решения перечисленных бытовых вопросов вам потребуется работать с самыми разными геометрическими фигурами . Мы представляем вам каталог онлайн-калькуляторов, которые позволяют вычислить параметры наиболее популярных плоских фигур. Рассмотрим их.

Круг

Частные случаи

Четырехугольник с одинаковыми сторонами. Параллелограмм становится ромбом в случаях, если его диагонали пересекаются под углом 90 градусов и являются биссектрисами своих углов.

Это параллелограмм с прямыми углами. Кроме того, параллелограмм считается прямоугольником, если его стороны и диагонали отвечают условиям теоремы Пифагора.

Это параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны. Диагонали квадрата полностью повторяют свойства диагоналей прямоугольника и ромба, что делает квадрат уникальной фигурой, которая характеризуется максимальной симметрией.

Многоугольник

Правильный полигон – это выпуклая фигура на плоскости, которая имеет равные стороны и равные углы . В зависимости от количества сторон многоугольники имеют собственные названия:

• – пентагон;
• – гексагон;
• восемь – октагон;
• двенадцать – додекагон.

И так далее. Геометры шутят, что круг – это многоугольник с бесконечным количеством углов. Наш калькулятор запрограммирован на определение периметров и площадей только правильных многоугольников. Он использует общие формулы для всех правильных полигонов. Для вычисления периметра используется формула:

где n – количество сторон многоугольника, a – длина стороны.

Для определения площади используется выражение:

S = n/4 × a^2 × ctg(pi/n).

Подставляя соответствующее n, мы можем подобрать формулу для любого правильного многоугольника, к которым также относятся равносторонний треугольник и квадрат.

Многоугольники имеют большое распространение в реальной жизни. Так форму пятиугольника имеет здание министерства обороны США – Пентагон, гексагона – пчелиные соты или кристаллы снежинки, октагона – дорожные знаки. Кроме того, многие простейшие, например радиолярии, имеют форму правильных полигонов.

Примеры из реальной жизни

Давайте рассмотрим пару примеров использования нашего калькулятора в реальных расчетах.

Покраска забора

Покраска поверхностей и расчет краски – это одни из самых очевидных бытовых задач, в которых требуются минимальные математические расчеты. Если нам нужно покрасить забор, высота которого составляет 1,5 метра, а длина 20 метров, то сколько потребуется банок краски? Для этого нужно узнать суммарную площадь забора и расход лакокрасочных материалов на 1 квадратный метр. Мы знаем, что расход эмали составляет 130 грамм на метр. Теперь определим площадь забора, используя калькулятор для вычисления площади прямоугольника. Она составит S = 30 квадратных метров . Естественно, что забор мы будем красить с обеих сторон, поэтому площадь для покраски увеличится до 60 квадратов. Тогда нам понадобится 60 × 0,13 = 7,8 килограмм краски или три стандартных банки по 2,8 килограмма.

Отделка бахромой

Пошив одежды – еще одна отрасль, в которой необходимы обширные геометрические познания. Пусть нам надо отделать бахромой платок, который представляет собой равнобедренную трапецию со сторонами 150, 100, 75 и 75 см. Для вычисления расхода бахромы нам потребуется узнать периметр трапеции. В этом нам и пригодится онлайн-калькулятор. Введем эти данные ячейки и получим ответ:

Таким образом, нам понадобится 4 м бахромы для отделки платка.

Заключение

Плоские фигуры составляют реальный мир вокруг. Мы часто задавались в школе вопросом, пригодится ли нам геометрия в будущем? Выше приведенные примеры показывают, что математика постоянно используется в повседневной жизни . И если площадь прямоугольника для нас привычна, то вычислить площадь додекагона может оказаться трудной задачей . Используйте наш каталог калькуляторов для решения школьных заданий или бытовых вопросов.

Наверняка каждый из нас учил в школе такую важную составляющую геометрии, как периметр. Нахождение периметра просто необходимо для решения множества задач. О том, как найти периметр, расскажет наша статья.

Стоит помнить, что периметр любой фигуры это почти всегда сумма ее сторон. Давайте рассмотрим несколько разных геометрических фигур.

1. Прямоугольник – это такой четырехугольник, у которого параллельные стороны равны попарно между собой. Если одна сторона X, а другая Y, то мы получим такую формулу для нахождения периметра этой фигуры:

   P = 2(X+Y) = X+Y+X+Y = 2X+2Y.

   Пример решения задачи:

   Допустим, что сторона X = 5 см, сторона Y = 10 см. Значит, подставив эти значения в нашу формулу, мы получим – P = 2*5 см + 2* 10см = 30 см.

2. Трапеция – это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, но не равны между собой. Периметр трапеции – это сумма всех четырех её сторон:

   P = X+Y+Z+W, где X, Y, Z, W – стороны фигуры.

   Пример решения задачи:

   Допустим, что сторона X = 5 см, сторона Y = 10 см, сторона Z = 8 см, сторона W = 20 см. Значит, подставив эти значения в нашу формулу, мы получим – P = 5 см + 10 см + 8 см + 20 см = 43 см.

3. Периметр круга (длину окружности) можно вычислить по формуле:

   P = 2rπ = dπ, где r – это радиус круга, d – диаметр круга.

   Пример решения задачи:

   Допустим, что радиус r нашего круга равен 5 см, тогда диаметр d будет равен 2*5 см = 10 см. Известно, что π = 3,14. Значит, подставив эти значения в нашу формулу, мы получим – P = 2*5 см*3,14 = 31,4 см.

4. Если Вам необходимо найти периметр треугольника, то Вы можете столкнуться с рядом проблем при этом, поскольку треугольники могут иметь очень разные формы. Например, есть острый, тупой, равнобедренный, прямоугольный или равносторонний треугольники. Хотя формула для всех видов треугольников такая:

   P = X+Y+Z, где X, Y, Z – стороны фигуры.

   Проблема в том, что при решении многих задач на нахождение периметра этой фигуры Вам не всегда будут известны длины всех сторон. Например, вместо информации о длине одной из сторон Вы можете иметь градус угла или длину высоты конкретного треугольника. Это существенно осложнит задачу, но не сделает ее решение нереальным. О том, как найти периметр треугольника, какой формы бы он не был можно прочитать ” “.

5. Периметр такой фигуры, как ромб находят также как и периметр квадрата, ведь ромб – это параллелограмм, который имеет равные стороны. Узнать, как найти периметр квадрата можно прочитав статью на нашем сайте ” “.

   Теперь Вы знаете, как найти сторону периметра той геометрической фигуры, какой Вам нужно!

В следующих тестовых заданиях требуется найти периметр фигуры, изображенной на рисунке.

Найти периметр фигуры можно разными способами. Можно преобразовать исходную фигуру таким образом, чтобы периметр новой фигуры можно было бы легко вычислить (например, перейти к прямоугольнику).

Другой вариант решения — искать периметр фигуры непосредственно (как сумму длин всех её сторон). Но в этом случае нельзя полагаться только на рисунок, а находить длины отрезков, исходя из данных задачи.

Хочу предупредить: в одном из заданий среди предложенных вариантов ответов я не нашла того, который получился у меня.

C)

.

Перенесем стороны маленьких прямоугольников с внутренней области во внешнюю. В результате большой прямоугольник замкнулся. Формула для нахождения периметра прямоугольника

В данном случае, a=9a, b=3a+a=4a. Таким образом, P=2(9a+4a)=26a. К периметру большого прямоугольника прибавляем сумму длин четырех отрезков, каждый из которых равен 3a. В итоге, P=26a+4∙3a=38a

.

C)

.

После переноса внутренних сторон маленьких прямоугольников во внешнюю область, получаем большой прямоугольник, периметр которого равен P=2(10x+6x)=32x, и четыре отрезка, два — диной по x, два — по 2x.

Итого, P=32x+2∙2x+2∙x=38x

.

?)

.

Перенесем 6 горизонтальных «ступенек» из внутренней части во внешнюю. Периметр полученного большого прямоугольника равен P=2(6y+8y)=28y. Осталось найти сумму длин отрезков внутри прямоугольника 4y+6∙y=10y. Таким образом, периметр фигуры равен P=28y+10y=38y

.

D)

.

Перенесем вертикальные отрезки из внутренней области фигуры влево, во внешнюю область. Чтобы получить большой прямоугольник, перенесём одни из отрезков длиной 4x в нижний левый угол.

Периметр исходной фигуры найдём как сумму периметра этого большого прямоугольника и длин оставшихся внутри трёх отрезков P=2(10x+8x)+6x+4x+2x=48x

.

E)

.

Перенеся внутренние стороны маленьких прямоугольников во внешнюю область, получим большой квадрат. Его периметр равен P=4∙10x=40x. Чтобы получить периметр исходной фигуры, нужно у периметру квадрата прибавить сумму длин восьми отрезков, каждый длиной 3x. Итого, P=40x+8∙3x=64x

.

B)

.

Перенесём все горизонтальные «ступеньки» и вертикальные верхние отрезки во внешнюю область. Периметр полученного прямоугольника равен P=2(7y+4y)=22y. Чтобы найти периметр исходной фигуры, нужно к периметру прямоугольника прибавить сумму длин четырех отрезков, каждый длиной y: P=22y+4∙y=26y

.

D)

.

Перенесем из внутренней области во внешнюю все горизонтальные линии и передвинем две вертикальные внешние линии в левом и правом углах, соответственно, на z левее и правее. В результате получим большой прямоугольник, периметр которого равен P=2(11z+3z)=28z.

Периметр исходной фигуры равен сумме периметра большого прямоугольника и длин шести отрезков по z: P=28z+6∙z=34z

.

B)

.

Решение полностью аналогично решению предыдущего примера. После преобразования фигуры находим периметр большого прямоугольника:

P=2(5z+3z)=16z. К периметру прямоугольника прибавляем сумму длин оставшихся шести отрезков, каждый из которых равен z: P=16z+6∙z=22z

.

Одним из базовых понятий математики является периметр прямоугольника. На эту тему существует множество задач, при решении которых не обойтись без формулы периметра и навыков его вычисления.

Основные понятия

Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны попарно равны и параллельны. В нашей жизни многие фигуры имеют форму прямоугольника, например, поверхность стола, тетрадь и прочее.

Рассмотрим пример:
по границам земельного участка необходимо поставить забор. Для того чтобы узнать длину каждой из сторон необходимо их измерить.

Рис. 1. Земельный участок формой прямоугольника.

Земельный участок имеет стороны длиной 2 м., 4 м., 2 м., 4 м. потому чтобы общую узнать длину забора необходимо сложить длины всех сторон:

2+2+4+4= 2·2+4·2 =(2+4)·2 =12 м.

Именно эта величина в общем случае и называется периметром. Таким образом, для нахождения периметра необходимо сложить все стороны фигуры. Для обозначения периметра используют букву P.

Для вычисления периметра прямоугольной фигуры не нужно разделять её на прямоугольники, нужно измерить линейкой (рулеткой) лишь все стороны данной фигуры и найти их сумму.

Периметр прямоугольника измеряется в мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одинаковую систему измерения.

Периметр прямоугольника измеряется в различных единицах: мм., см., м., км и так далее. При необходимости, данные в задании, переводят в одну систему измерения.

Формула периметра фигуры

Если принять к вниманию тот факт, что противоположные стороны прямоугольника равны, то можно вывести формула периметра прямоугольника:

$P = (a+b) * 2$, где а, b – стороны фигуры.

Рис. 2. Прямоугольник, с обозначенными противоположными сторонами.

Существует и другой способ найти периметр. Если в задание дано лишь одну сторону и площадь фигуры, можно использовать выразить другую сторону через площадь. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:

$P = {{2S + 2a2}over{a}}$, где S – площадь прямоугольника.

Рис. 3. Прямоугольник с сторонами a, b .

Задание

: Вычислить периметр прямоугольника, если его стороны равны 4 см. и 6 см.

Решение:

Используем формулу $P = (a+b)*2$

$P = (4+6)*2=20 см$

Таким образом, периметр фигуры $P = 20 см$.

Так как периметр – это сумма все сторон фигуры, то полупериметр это сумма только одной длины и ширины. Чтобы получить периметр необходимо полупериметр умножить на 2.

Площадь и периметр – это два основных понятия измерения любой фигуры. Их нельзя путать, хоть они и связаны между собой. Если увеличить, либо уменьшить площадь, то, соответственно, увеличится либо уменьшится его периметр.

Что мы узнали?

Мы узнали, как найти периметр прямоугольника. А также ознакомились с формулой его вычисления. С этой темой можно столкнуться не только при решении математических задач, но и в реальной жизни.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.5
. Всего получено оценок: 363.