Как найти периметр снежинки коха

From Wikipedia, the free encyclopedia

The Koch snowflake (also known as the Koch curve, Koch star, or Koch island^[1][2]) is a fractal curve and one of the earliest fractals to have been described. It is based on the Koch curve, which appeared in a 1904 paper titled “On a Continuous Curve Without Tangents, Constructible from Elementary Geometry”^[3] by the Swedish mathematician Helge von Koch.

The Koch snowflake can be built up iteratively, in a sequence of stages. The first stage is an equilateral triangle, and each successive stage is formed by adding outward bends to each side of the previous stage, making smaller equilateral triangles. The areas enclosed by the successive stages in the construction of the snowflake converge to times the area of the original triangle, while the perimeters of the successive stages increase without bound. Consequently, the snowflake encloses a finite area, but has an infinite perimeter.

Construction[edit]

The Koch snowflake can be constructed by starting with an equilateral triangle, then recursively altering each line segment as follows:

1. divide the line segment into three segments of equal length.
2. draw an equilateral triangle that has the middle segment from step 1 as its base and points outward.
3. remove the line segment that is the base of the triangle from step 2.

The first iteration of this process produces the outline of a hexagram.

The Koch snowflake is the limit approached as the above steps are followed indefinitely. The Koch curve originally described by Helge von Koch is constructed using only one of the three sides of the original triangle. In other words, three Koch curves make a Koch snowflake.

A Koch curve–based representation of a nominally flat surface can similarly be created by repeatedly segmenting each line in a sawtooth pattern of segments with a given angle.^[4]

Properties[edit]

Perimeter of the Koch snowflake[edit]

Each iteration multiplies the number of sides in the Koch snowflake by four, so the number of sides after iterations is given by:

If the original equilateral triangle has sides of length , the length of each side of the snowflake after iterations is:

an inverse power of three multiple of the original length.
The perimeter of the snowflake after iterations is:

The Koch curve has an infinite length, because the total length of the curve increases by a factor of with each iteration. Each iteration creates four times as many line segments as in the previous iteration, with the length of each one being the length of the segments in the previous stage. Hence, the length of the curve after iterations will be times the original triangle perimeter and is unbounded, as tends to infinity.

Limit of perimeter[edit]

As the number of iterations tends to infinity, the limit of the perimeter is:

since .

An -dimensional measure exists, but has not been calculated so far. Only upper and lower bounds have been invented.^{[clarification needed] [5]}

Area of the Koch snowflake[edit]

In each iteration a new triangle is added on each side of the previous iteration, so the number of new triangles added in iteration is:

The area of each new triangle added in an iteration is of the area of each triangle added in the previous iteration, so the area of each triangle added in iteration is:

where is the area of the original triangle. The total new area added in iteration is therefore:

The total area of the snowflake after iterations is:

Collapsing the geometric sum gives:

Limits of area[edit]

The limit of the area is:

since .

Thus, the area of the Koch snowflake is of the area of the original triangle. Expressed in terms of the side length of the original triangle, this is:^[6]

Solid of revolution[edit]

The volume of the solid of revolution of the Koch snowflake about an axis of symmetry of the initiating equilateral triangle of unit side is ^[7]

Other properties[edit]

The Koch snowflake is self-replicating with six smaller copies surrounding one larger copy at the center. Hence, it is an irrep-7 irrep-tile (see Rep-tile for discussion).

The fractal dimension of the Koch curve is . This is greater than that of a line () but less than that of Peano’s space-filling curve ().

The Koch curve is continuous everywhere, but differentiable nowhere.

Tessellation of the plane[edit]

It is possible to tessellate the plane by copies of Koch snowflakes in two different sizes. However, such a tessellation is not possible using only snowflakes of one size. Since each Koch snowflake in the tessellation can be subdivided into seven smaller snowflakes of two different sizes, it is also possible to find tessellations that use more than two sizes at once.^[8] Koch snowflakes and Koch antisnowflakes of the same size may be used to tile the plane.

Thue–Morse sequence and turtle graphics[edit]

A turtle graphic is the curve that is generated if an automaton is programmed with a sequence.
If the Thue–Morse sequence members are used in order to select program states:

the resulting curve converges to the Koch snowflake.

Representation as Lindenmayer system[edit]

The Koch curve can be expressed by the following rewrite system (Lindenmayer system):

Alphabet : F

Constants : +, −

Axiom : F

Production rules:

F → F+F–F+F

Here, F means “draw forward”, – means “turn right 60°”, and + means “turn left 60°”.

To create the Koch snowflake, one would use F–F–F (an equilateral triangle) as the axiom.

Variants of the Koch curve[edit]

Following von Koch’s concept, several variants of the Koch curve were designed, considering right angles (quadratic), other angles (Cesàro), circles and polyhedra and their extensions to higher dimensions (Sphereflake and Kochcube, respectively)

Variant (dimension, angle)	Illustration	Construction
≤1D, 60-90° angle	Cesàro fractal (85°)	The Cesàro fractal is a variant of the Koch curve with an angle between 60° and 90°.[citation needed] First four iterations of a Cesàro antisnowflake (four 60° curves arranged in a 90° square)
≈1.46D, 90° angle	Quadratic type 1 curve	First two iterations
1.5D, 90° angle	Quadratic type 2 curve	Minkowski Sausage[9] First two iterations. Its fractal dimension equals and is exactly half-way between dimension 1 and 2. It is therefore often chosen when studying the physical properties of non-integer fractal objects.
≤2D, 90° angle	Third iteration	Minkowski Island Four quadratic type 2 curves arranged in a square
≈1.37D, 90° angle	Quadratic flake	4 quadratic type 1 curves arranged in a polygon: First two iterations. Known as the “Minkowski Sausage”,[10][11][12] its fractal dimension equals .[13]
≤2D, 90° angle	Quadratic antiflake	Anticross-stitch curve, the quadratic flake type 1, with the curves facing inwards instead of outwards (Vicsek fractal)
≈1.49D, 90° angle	Quadratic Cross	Another variation. Its fractal dimension equals .
≤2D, 90° angle	Quadratic island[14]	Quadratic curve, iterations 0, 1, and 2; dimension of
≤2D, 60° angle	von Koch surface	First three iterations of a natural extension of the Koch curve in two dimensions.
≤2D, 90° angle	First (blue block), second (plus green blocks), third (plus yellow blocks) and fourth (plus transparent blocks) iterations of the type 1 3D Koch quadratic fractal	Extension of the quadratic type 1 curve. The illustration at left shows the fractal after the second iteration Animation quadratic surface
≤3D, any	Koch curve in 3D	A three-dimensional fractal constructed from Koch curves. The shape can be considered a three-dimensional extension of the curve in the same sense that the Sierpiński pyramid and Menger sponge can be considered extensions of the Sierpinski triangle and Sierpinski carpet. The version of the curve used for this shape uses 85° angles.

Squares can be used to generate similar fractal curves. Starting with a unit square and adding to each side at each iteration a square with dimension one third of the squares in the previous iteration, it can be shown that both the length of the perimeter and the total area are determined by geometric progressions. The progression for the area converges to while the progression for the perimeter diverges to infinity, so as in the case of the Koch snowflake, we have a finite area bounded by an infinite fractal curve.^[15] The resulting area fills a square with the same center as the original, but twice the area, and rotated by radians, the perimeter touching but never overlapping itself.

The total area covered at the th iteration is:

while the total length of the perimeter is:

which approaches infinity as increases.

See also[edit]

• List of fractals by Hausdorff dimension
• Gabriel’s Horn (infinite surface area but encloses a finite volume)
• Gosper curve (also known as the Peano–Gosper curve or flowsnake)
• Osgood curve
• Self-similarity
• Teragon
• Weierstrass function
• Coastline paradox

References[edit]

Further reading[edit]

• Kasner, Edward; Newman, James (2001) [1940]. “IX Change and Changeability § The snowflake”. Mathematics and the Imagination. Dover Press. pp. 344–351. ISBN 0-486-41703-4.

External links[edit]

External video
Koch Snowflake Fractal – Khan Academy

• (2000) “von Koch Curve”, efg’s Computer Lab at the Wayback Machine (archived 20 July 2017)
• The Koch Curve poem by Bernt Wahl, Wahl.org. Retrieved 23 September 2019.
• Weisstein, Eric W. “Koch Snowflake”. MathWorld. Retrieved 23 September 2019.
  • “7 iterations of the Koch curve”. Wolfram Alpha Site. Retrieved 23 September 2019.
  • “Square Koch Fractal Curves”. Wolfram Demonstrations Project. Retrieved 23 September 2019.
  • “Square Koch Fractal Surface”. Wolfram Demonstrations Project. Retrieved 23 September 2019.
• Application of the Koch curve to an antenna
• A WebGL animation showing the construction of the Koch surface, tchaumeny.github.io. Retrieved 23 September 2019.
• “A mathematical analysis of the Koch curve and quadratic Koch curve” (PDF). Archived from the original (pdf) on 26 April 2012. Retrieved 22 November 2011.

Фрактальная и математическая кривая Первые четыре итерации снежинки Коха Первые семь итераций в анимации Увеличение масштаба кривой Коха Антиснежинка Коха Первые четыре итерации Шестая итерация

Снежинка Коха (также известная как кривая Коха, звезда Коха или остров Коха ) – это фрактальная кривая и один из самых ранних фракталов, которые были описаны. Он основан на кривой Коха, появившейся в 1904 году в статье шведского математика «На непрерывной кривой без касательных, построенной из элементарной геометрии» Хельге фон Кох.

Снежинка Коха может быть построена итеративно, в последовательности этапов. Первый этап представляет собой равносторонний треугольник, и каждый последующий этап формируется путем добавления внешних изгибов к каждой стороне предыдущего этапа, образуя меньшие равносторонние треугольники. Площади, окруженные последовательными стадиями построения снежинки, сходятся в 8/5 раз больше площади исходного треугольника, в то время как периметры последовательных стадий неограниченно увеличиваются. Следовательно, снежинка охватывает ограниченную площадь, но имеет бесконечный периметр.

Содержание

• 1 Конструкция
• 2 Свойства
  • 2.1 Периметр снежинки Коха
    • 2.1.1 Предел периметра
  • 2.2 Площадь снежинки Коха
    • 2.2.1 Границы площади
    • 2.2.2 Твердое тело вращения
  • 2.3 Другие свойства
• 3 Тесселяция плоскости
• 4 Последовательность Туэ – Морса и черепаха графика
• 5 Представление в виде системы Линденмайера
• 6 Варианты кривой Коха
• 7 См. также
• 8 Ссылки
• 9 Дополнительная литература
• 10 Внешние ссылки

Строительство

Снежинку Коха можно построить, начав с равностороннего треугольника, а затем рекурсивно изменив каждый сегмент линии следующим образом:

1. разделив сегмент линии на три сегмента равной длины.
2. draw равносторонний треугольник, у которого средний сегмент из шага 1 является его основанием и направлен наружу.
3. удалить линейный сегмент, являющийся основанием треугольника из шага 2.

Первая итера ция этого процесса создает контур гексаграммы.

Снежинка Коха – это предел, к которому приближается, поскольку вышеуказанные шаги выполняются бесконечно. Кривая Коха, первоначально описанная Хельге фон Кохом, построена с использованием только одной из трех сторон исходного треугольника. Другими словами, три кривые Коха образуют снежинку Коха.

Представление номинально плоской поверхности на основе кривой Коха можно аналогичным образом создать, многократно сегментируя каждую линию в виде пилообразного узора сегментов с заданным углом.

Фрактальная шероховатая поверхность, построенная из нескольких итераций кривой Коха

Свойства

Периметр снежинки Коха

Каждая итерация умножает количество сторон снежинки Коха на четыре, поэтому количество сторон после n итераций определяется как:

N N знак равно N N – 1 ⋅ 4 знак равно 3 ⋅ 4 N. { displaystyle N_ {n} = N_ {n-1} cdot 4 = 3 cdot 4 ^ {n} ,.}

Если исходный равносторонний треугольник имеет стороны длиной s, длина каждой стороны снежинка после n итераций:

S n = S n – 1 3 = s 3 n, { displaystyle S_ {n} = { frac {S_ {n-1}} {3}} = { frac {s} {3 ^ {n}}} ,,}

обратная степень, равная трем кратным исходной длине. Периметр снежинки после n итераций равен:

P n = N n ⋅ S n = 3 ⋅ s ⋅ (4 3) n. { displaystyle P_ {n} = N_ {n} cdot S_ {n} = 3 cdot s cdot { left ({ frac {4} {3}} right)} ^ {n} ,. }

Кривая Коха имеет бесконечную длину, потому что общая длина кривой увеличивается в 4/3 раза с каждой итерацией. Каждая итерация создает в четыре раза больше линейных сегментов, чем в предыдущей итерации, причем длина каждого из них составляет 1/3 длины сегментов на предыдущем этапе. Следовательно, длина кривой после n итераций будет (4/3) раз больше периметра исходного треугольника и не ограничена, поскольку n стремится к бесконечности.

Предел периметра

Поскольку количество итераций стремится к бесконечности, предел периметра равен:

lim n → ∞ P n = lim n → ∞ 3 ⋅ s ⋅ ( 4 3) N = ∞, { Displaystyle lim _ {n rightarrow infty} P_ {n} = lim _ {n rightarrow infty} 3 cdot s cdot left ({ frac {4} {3}} right) ^ {n} = infty ,,}

начиная с | 4/3 |>1.

Трехмерная мера ln 4 / ln существует, но до сих пор не рассчитана. Были изобретены только верхняя и нижняя границы.

Площадь снежинки Коха

На каждой итерации новый треугольник добавляется с каждой стороны предыдущей итерации, поэтому количество новых треугольников добавляется в итерация n:

T n = N n – 1 = 3 ⋅ 4 n – 1 = 3 4 ⋅ 4 n. { displaystyle T_ {n} = N_ {n-1} = 3 cdot 4 ^ {n-1} = { frac {3} {4}} cdot 4 ^ {n} ,.}

Площадь каждого нового треугольника, добавленного на итерации, составляет 1/9 площади каждого треугольника, добавленного на предыдущей итерации, поэтому площадь каждого треугольника, добавленного на итерации n, составляет:

an = an – 1 9 = a 0 9 п. { displaystyle a_ {n} = { frac {a_ {n-1}} {9}} = { frac {a_ {0}} {9 ^ {n}}} ,.}

где a 0 – площадь исходного треугольника. Таким образом, общая новая площадь, добавленная на итерации n, составляет:

bn = T n ⋅ an = 3 4 ⋅ (4 9) n ⋅ a 0 { displaystyle b_ {n} = T_ {n} cdot a_ {n} = { frac {3} {4}} cdot { left ({ frac {4} {9}} right)} ^ {n} cdot a_ {0}}

Общая площадь снежинка после n итераций:

A n = a 0 + ∑ k = 1 nbk = a 0 (1 + 3 4 ∑ k = 1 n (4 9) k) = a 0 (1 + 1 3 ∑ k = 0 п – 1 (4 9) л). { displaystyle A_ {n} = a_ {0} + sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k} = a_ {0} left (1 + { frac {3} {4}} сумма _ {k = 1} ^ {n} left ({ frac {4} {9}} right) ^ {k} right) = a_ {0} left (1 + { frac {1} {3}} sum _ {k = 0} ^ {n-1} left ({ frac {4} {9}} right) ^ {k} right) ,.}

Сворачивание геометрическая сумма дает:

A n = a 0 (1 + 3 5 (1 – (4 9) n)) = a 0 5 (8 – 3 (4 9) n). { displaystyle A_ {n} = a_ {0} left (1 + { frac {3} {5}} left (1- left ({ frac {4} {9}} right) ^ { n} right) right) = { frac {a_ {0}} {5}} left (8-3 left ({ frac {4} {9}} right) ^ {n} right) ,.}

Границы области

Границы области:

lim n → ∞ A n = lim n → ∞ a 0 5 ⋅ (8 – 3 (4 9) п) знак равно 8 5 ⋅ a 0, { displaystyle lim _ {n rightarrow infty} A_ {n} = lim _ {n rightarrow infty} { frac {a_ {0}} {5}} cdot left (8-3 left ({ frac {4} {9}} right) ^ {n} right) = { frac {8} {5}} cdot a_ {0} ,,}

с | 4/9 |< 1.

Таким образом, площадь снежинки Коха составляет 8/5 площади исходного треугольника. Выраженный в терминах длины стороны s исходного треугольника, это:

2 s 2 3 5. { displaystyle { frac {2s ^ {2} { sqrt {3}}} {5}}.}

Твердое тело вращения

Объем тела вращения снежинки Коха относительно оси симметрии исходного равностороннего треугольника единичной стороны составляет 11 3 135 π. { displaystyle { frac {11 { sqrt {3}}} {135}} pi.}

Другие свойства

Снежинка Коха самовоспроизводится с шестью меньшими копиями, окружающими одну большую копию в центре. Следовательно, это реплика-7 реплика (см. Реп-плитка для обсуждения).

фрактальная размерность кривой Коха ln 4 / ln 3 ≈ 1,26186. Это больше, чем у линии (= 1), но меньше, чем у кривой Пеано, заполняющей пространство (= 2).

Кривая Коха непрерывна везде, но дифференцируема нигде.

Тесселяция плоскости

Тесселяция двумя размерами снежинки Коха

Можно мозаику плоскости копиями снежинок Коха двух разных размеров. Однако такая мозаика невозможна с использованием снежинок только одного размера. Так как каждую снежинку Коха в тесселяции можно разделить на семь меньших снежинок двух разных размеров, также можно найти тесселяцию, в которой одновременно используется более двух размеров. Для облицовки плоскости можно использовать снежинки Коха и антиснежинки Коха одинакового размера.

Последовательность Туэ – Морзе и графика черепахи

A графика черепахи – это кривая, которая генерируется, если автомат запрограммирован с помощью последовательности. Если элементы последовательности Туэ – Морзе используются для выбора состояний программы:

• Если t (n) = 0, двигаться вперед на одну единицу,
• Если t (n) = 1, повернуть против часовой стрелки на угол π / 3,

полученная кривая сходится к снежинке Коха.

Представление в виде системы Линденмайера

Кривая Коха может быть выражена следующей системой перезаписи (системой Линденмайера ):

Алфавит : F

Константы : +, –

Аксиома : F

Правила производства :

F → F + F – F + F

Здесь F означает «рисовать вперед », – означает« повернуть направо на 60 ° », а + означает« повернуть налево на 60 ° ».

Чтобы создать снежинку Коха, можно использовать F – F – F (равносторонний треугольник) в качестве аксиомы.

Варианты кривой Коха

Следуя концепции фон Коха, было разработано несколько вариантов кривой Коха с учетом прямых углов (квадратичный ), других углов (Чезаро ), окружности и многогранники и их расширения в более высокие измерения (Sphereflake и Kochcube, соответственно)

Вариант (измерение, угол )	Иллюстрация	Конструкция
≤1D, угол 60-90 °	фрактал Чезаро (85 °)	Фрактал Чезаро – вариант кривой Коха с углом от 60 ° до 90 °. Первая четыре итерации антиснежинки Cesàro (четыре кривые 60 °, расположенные в квадрате 90 °)
≈1,46D, угол 90 °	Квадратичная кривая 1 типа	Первые две итерации
1,5D, угол 90 °	Квадратичная кривая типа 2	Колбаса Минковского Первые две итерации. Ее фрактальная размерность равна 3/2 и находится точно посередине между размерностью 1 и 2. Поэтому ее часто выбирают при изучении физических свойств не -целые фрактальные объекты.
≤2D, угол 90 °	Третья итерация	Остров Минковского Четыре квадратичные кривые типа 2, расположенные в виде квадрата
≈1,37D, угол 90 °	Квадратичная пластинка	4 квадратичных кривых типа 1, расположенных в виде многоугольника: Первая две итерации. Известная как «колбаса Минковского », ее фрактальная размерность равна ln 3 / ln √5 = 1,36521.
≤2D, угол 90 °	Квадратичный антифлейк	Anti cross- стежковая кривая, квадратный чешуйчатый тип 1, с кривыми, обращенными внутрь, а не наружу (фрактал Вичека )
≈1.49D, угол 90 °	Квадратичный крест	Другой вариант. Его фрактальная размерность равно ln 3,33 / ln √5 = 1,49.
≤2D, угол 90 °	Квадратичный остров	Квадратичная кривая, итерации 0, 1 и 2; размерность ln 18 / ln 6≈1,61
≤2D, угол 60 °	поверхность фон Коха	Первые три итерации естественного продолжения кривой Коха в двух измерениях.
≤2D, угол 90 °	Квадратичная поверхность типа 1	Расширение квадратичной кривой типа 1. На иллюстрации слева показан фрактал после второй итерации Анимационная квадратичная поверхность.
≤3D, любая	кривая Коха в 3D	Трехмерный фрактал, построенный из кривых Коха Эту форму можно рассматривать как трехмерное продолжение кривой в в том же смысле, что пирамида Серпинского и губка Менгера могут считаться продолжением треугольника Серпинского и ковра Серпинского. Версия кривой, используемая для этой формы, использует углы 85 °.

Квадраты могут использоваться для создания подобных фрактальных кривых. Начиная с единичного квадрата и добавляя к каждой стороне на каждой итерации квадрат с размером, равным одной трети квадратов на предыдущей итерации, можно показать, что и длина периметра, и общая площадь определяются геометрической прогрессией. Прогрессия для площади сходится к 2, в то время как прогрессия для периметра расходится до бесконечности, так что, как и в случае снежинки Коха, у нас есть конечная площадь, ограниченная бесконечной фрактальной кривой. Результирующая область заполняет квадрат с тем же центром, что и исходная, но в два раза больше площади, и поворачивается на π / 4 радиан, причем периметр соприкасается, но никогда не перекрывается.

Общая площадь, покрываемая на n-й итерации, составляет:

A n = 1 5 + 4 5 ∑ k = 0 n (5 9) k, что дает lim n → ∞ A n = 2, { displaystyle A_ {n} = { frac {1} {5}} + { frac {4} {5}} sum _ {k = 0} ^ {n} left ({ frac {5} {9} } right) ^ {k} quad { mbox {give}} quad lim _ {n rightarrow infty} A_ {n} = 2 ,,}

, а общая длина периметра равна :

п n = 4 (5 3) na, { displaystyle P_ {n} = 4 left ({ frac {5} {3}} right) ^ {n} a ,,}

который приближается к бесконечности при увеличении n.

См. Также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа
• Рог Габриэля (бесконечная площадь поверхности, но включает конечный объем)
• Кривая Госпера (также известная как Пеано– Кривая Госпера или поток змеи)
• Кривая Осгуда
• Самоподобие
• Терагон
• Функция Вейерштрасса
• Парадокс береговой линии

Ссылки

Дополнительная литература

• Каснер, Эдвард; Ньюман, Джеймс (2001) [1940]. «IX Изменчивость и изменчивость § Снежинка». Математика и воображение. Dover Press. С. 344–351. ISBN 0-486-41703-4 .

Внешние ссылки

Внешнее видео
Фрактал снежинки Коха – Академия Хана

На Викискладе есть медиафайлы, связанные с Кривая Коха.

• (2000) «Кривая фон Коха», компьютерной лабораторией efg в Wayback Machine (заархивировано 20 июля 2017 г.)
• Поэма Бернта Валя «Кривая Коха», Wahl.org. Проверено 23 сентября 2019 г.
• Вайсштейн, Эрик У. «Снежинка Коха». MathWorld. Проверено 23 сентября 2019 года.
  • «7 итераций кривой Коха». Вольфрам Альфа Сайт. Проверено 23 сентября 2019 г.
  • «Квадратные фрактальные кривые Коха». Демонстрационный проект Вольфрама. Проверено 23 сентября 2019 года.
  • «Square Koch Fractal Surface». Демонстрационный проект Вольфрама. Проверено 23 сентября 2019 года.
• Применение кривой Коха к антенне
• Анимация WebGL, показывающая построение поверхности Коха, tchaumeny.github.io. Проверено 23 сентября 2019 г.
• «Математический анализ кривой Коха и квадратичной кривой Коха» (PDF). Архивировано из оригинального (pdf) 26 апреля 2012 г. Дата обращения 22 ноября 2011 г.

Многоугольник, изображенный на рисунке 5.12, а, называют снежинкой Коха. Постройте ее по следующему алгоритму:

⚫ начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см (рис.5.12,б);
⚫ каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольник (рис.5.12,в);
⚫ повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника (рис.5.12,г);
⚫ чтобы получить снежинку, изображенную на рисунке 5.12,а, надо сделать еще один шаг построения.
Во сколько раз увеличивается число сторон снежинки Коха на каждом шаге построения? Во сколько раз при этом уменьшается длина ее стороны? Сколько сторон у снежинки, получаемой на каждом шаге? Чему равен ее периметр?

Задание 305. Многоугольник, изображенный на рисунке 5.21, а, называют снежинкой Коха. Постройте ее. Для этого:
1) начертите на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник со стороной 9 см (рис. 5.21, б);
2) каждую сторону треугольника разделите на 3 равные части и на средней части постройте равносторонний треугольника (рис. 5.21, в);
3) повторите это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника (рис. 5.21, г);
4) чтобы получить снежинку, изображенную на рисунке 5.21, а, надо сделать еще один шаг построения.

Задание 306. ЗАДАЧА−ИССЛЕДОВАНИЕ
Во сколько раз увеличивается число сторон снежинки Коха на каждом шаге построения (см. рис. 5.21)? Во сколько раз при этом уменьшается длина ее стороны? Для каждого шага построения определите число сторон снежинки и ее периметр.

Решение

Число сторон снежинки Коха на каждом шаге построения увеличивается в 4 раза.
Шаг 1:
3 − число сторон;
9 (см) − длина стороны;
3 * 9 = 27 (см) − периметр.
Шаг 2:
3 * 4 = 12 − число сторон;
9 : 3 = 3 (см) − длина стороны;
12 * 3 = 36 (см) − периметр.
Шаг 3:
12 * 4 = 48 − число сторон;
3 : 3 = 1 (см) − длина стороны;
48 * 1 = 48 (см) − периметр.
Шаг 4:
48 * 4 = 192 − число сторон;
$1 : 3 = frac{1}{3}$ (см) − длина стороны;
$192 * frac{1}{3} = 64$ (см) − периметр.

Неравенство треугольника

Задание 307. 1) Убедитесь, что нельзя построить треугольник, стороны которого равны:
а) 7 см, 3 см и 3 см;
б) 6 см, 4 см и 2 см.
измените длину одной из сторон так, чтобы треугольник можно было построить.
2) Можно ли построить треугольник со сторонами:
а) 11 см, 13 см, 25 см;
б) 15 см, 6 см, 12 см;
в) 20 см, 18 см, 38 см?

Решение

1) а)
7 + 3 = 10 > 3;
7 + 3 = 10 > 3;
3 + 3 = 6 < 7 − значит, треугольник построить нельзя.
Увеличим одну из сторон, равную 3 см на 2 см, получим треугольник со сторонами: 7 см, 5 см, 3 см. Тогда:
7 + 5 = 12 > 3;
7 + 3 = 10 > 5;
3 + 5 = 8 > 7 − значит, треугольник построить можно.
б)
6 + 4 = 10 > 2;
6 + 2 = 8 > 4;
4 + 2 = 6 = 6 − значит, треугольник построить нельзя.
Увеличим сторону, равную 2 см на 1 см, получим треугольник со сторонами 6 см, 4 см, 3 см. Тогда:
4 + 3 = 7 > 6;
6 + 4 = 10 > 3;
6 + 3 = 9 > 4 − значит, треугольник построить можно.

2) а)
11 + 25 = 36 > 13;
13 + 25 = 38 > 11;
11 + 13 = 24 < 25 − значит, треугольник построить нельзя.
б)
12 + 6 = 18 > 15;
12 + 15 = 27 > 6;
15 + 6 = 21 > 12 − значит, треугольник построить можно.
в)
20 + 38 = 58 > 18;
18 + 38 = 56 > 20;
20 + 18 = 38 = 38 − значит, треугольник построить нельзя.
Ответ:
а) нельзя;
б) можно;
в) нельзя.

Задание 308. В равнобедренным треугольнике одна сторона равна 7 см, а другая − 15 см. Какая сторона является основанием?

Решение

Пусть 15 см − основание, тогда:
7 (см) − вторая боковая сторона;
7 + 7 = 14 < 15, значит, основание не может быть 15 см.
Ответ: 7 см − основание.

Задание 309. Даны четыре отрезка длиной 2 см, 3 см, 5 см и 6 см. Сколько различных разносторонних треугольников можно построить из этих отрезков?

Решение

Вариант 1. Треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 5 см.
2 + 5 = 7 > 3;
3 + 5 = 8 > 2;
2 + 3 = 5 = 5 − значит, треугольник построить нельзя.

Вариант 2. Треугольник со сторонами 2 см, 5 см, 6 см.
2 + 5 = 7 > 6;
6 + 5 = 11 > 2;
2 + 6 = 8 > 5 − значит, треугольник построить можно.

Вариант 3. Треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 6 см.
2 + 6 = 8 > 3;
3 + 6 = 9 > 2;
2 + 3 = 5 < 6 − значит, треугольник построить нельзя.

Вариант 4. Треугольник со сторонами 3 см, 5 см, 6 см.
3 + 5 = 8 > 6;
3 + 6 = 9 > 5;
5 + 6 = 11 > 3 − значит, треугольник построить можно.
Ответ: можно построить треугольники со сторонами:
2 см, 5 см, 6 см;
3 см, 5 см, 6 см.

Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Эта кривая была придумана как пример непрерывной линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс построил свой пример еще в 1872 году), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции. Не случайно его статья называется «О непрерывной кривой без касательных, которая возникает из элементарной геометрии».

Рисунок и анимация отлично показывают, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация — просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части, центральная достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация — ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая в том же духе, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Основные свойства кривой Коха

1. Она непрерывна, но нигде не дифференцируема. Грубо говоря, именно для этого она и была придумана — как пример такого рода математических «уродцев».

2. Имеет бесконечную длину. Пусть длина исходного отрезка равна 1. На каждом шаге построения мы заменяем каждый из составляющих линию отрезков на ломаную, которая в 4/3 раза длиннее. Значит, и длина всей ломаной на каждом шаге умножается на 4/3: длина линии с номером n равна (4/3)^n–1. Поэтому предельной линии ничего не остается, кроме как быть бесконечно длинной.

3. Снежинка Коха ограничивает конечную площадь. И это при том, что ее периметр бесконечен. Это свойство может показаться парадоксальным, но оно очевидно — снежинка полностью помещается в круг, поэтому ее площадь заведомо ограничена. Площадь можно посчитать, и для этого даже не нужно особых знаний — формулы площади треугольника и суммы геометрической прогрессии проходят в школе. Для интересующихся вычисление приведено ниже мелким шрифтом.

Пусть сторона исходного правильного треугольника равна a. Тогда его площадь . Сначала сторона равна 1, а площадь: . Что происходит при увеличении итерации? Можно считать, что к уже имеющемуся многоугольнику пристраиваются маленькие равносторонние треугольнички. В первый раз их всего 3, а каждый следующий раз их в 4 раза больше чем было в предыдущий. То есть на n-м шаге будет достроено T_n = 3 · 4^n–1 треугольничков. Длина стороны каждого из них составляет треть от стороны треугольника, достроенного на предыдущем шаге. Значит, она равна (1/3)ⁿ. Площади пропорциональны квадратам сторон, поэтому площадь каждого треугольничка равна . При больших значениях n это, кстати, очень мало. Суммарный вклад этих треугольничков в площадь снежинки равен T_n · S_n = 3/4 · (4/9)ⁿ · S₀. Поэтому после n-го шага площадь фигуры будет равна сумме S₀ + T₁ · S₁ + T₂ · S₂ + … +T_n · S_n = . Снежинка получается после бесконечного числа шагов, что соответствует n → ∞. Получается бесконечная сумма, но это сумма убывающей геометрической прогрессии, для нее есть формула: . Площадь снежинки равна .

4. Фрактальная размерность равна log4/log3 = log₃4 ≈ 1,261859… . Аккуратное вычисление потребует немалых усилий и подробных разъяснений, поэтому здесь приведена, скорее, иллюстрация определения фрактальной размерности. Из формулы степенной зависимости N(δ) ~ (1/δ)^D, где N — число пересекающихся квадратиков, δ — их размер, а D — размерность, получаем, что D = log_1/δN. Это равенство верно с точностью до прибавления константы (одной и той же для всех δ). На рисунках изображена пятая итерация построения кривой Коха, зеленым закрашены квадратики сетки, которые с ней пересекаются. Длина исходного отрезка равна 1, поэтому на верхнем рисунке длина стороны квадратиков равна 1/9. Закрашено 12 квадратиков, log₉12 ≈ 1,130929… . Пока не очень похоже на 1,261859… . Смотрим дальше. На среднем рисунке квадратики в два раза меньше, их размеры 1/18, закрашено 30. log₁₈30 ≈ 1,176733… . Уже лучше. Внизу квадратики еще вдвое меньше, закрашено уже 72 штуки. log₇₂30 ≈ 1,193426… . Еще ближе. Дальше нужно увеличивать номер итерации и одновременно уменьшать квадратики, тогда «эмпирическое» значение размерности кривой Коха будет неуклонно приближаться к log₃4, а в пределе и вовсе совпадет.

Варианты

Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.

Линии Чезаро. Вместо равносторонних треугольников используются равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.

Квадратный вариант. Тут достраиваются квадраты.

Трехмерные аналоги. Пирамида Коха.

Далее: Т-квадрат