Как найти периметр трапеции зная диагональ

Как найти периметр трапеции зная диагональ

Как найти периметр трапеции

Содержание:

  • Основные свойства трапеции
  • Способы нахождений периметра

    • По всем сторонам
    • По сторонам равнобедренной трапеции
    • Через среднюю линию
  • Примеры решения задач

Определения

​Трапеция — это четырехугольник, у которого лишь одна пара противолежащих сторон параллельна.

Периметр трапеции — это сумма длин всех его сторон.

Основные свойства трапеции

  • средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а также равна половине их суммы;

Свойство 1

 
  • биссектриса любого угла данного четырехугольника отсекает на его основании отрезок, равный боковой стороне;

Свойство 2

 
  • треугольники ABO и DCO (на картинке), образованные диагоналями фигуры и ее основаниями, подобны;

Свойство 3

 
  • треугольники OAB и OCD, образованные диагоналями трапеции и ее боковыми сторонами, имеют одинаковую площадь;

Свойство 4

 
  • если сумма длин оснований четырехугольника равна сумме его боковых ребер, то в фигуру можно вписать окружность;

Свойство 5

 
  • точки M и N середины диагоналей лежат на одной прямой со средней линией фигуры. Также отрезок MN равен полуразность оснований четырехугольника;

Свойство 6

 
  • середины оснований фигуры, точка пересечения ее диагоналей, а также точка пересечения продолжений ее боковых сторон лежат на одной прямой;

Свойство 7

 

Свойства равнобедренной трапеции

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

  • в равнобедренной трапеции углы при обоих ее основаниях одинаковы;
  • диагонали равны;
  • равнобедренную трапецию всегда можно вписать в окружность или описать окружность вокруг;
  • если диагонали перпендикулярны, то высота фигуры равна полусумме ее оснований.

Способы нахождений периметра

Рассмотрим способы, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон данного четырехугольника.

По всем сторонам

Периметр по всем сторон

 

Формула для нахождения периметра выглядит так:

P=a+b+c+d

где a, b, c, d — стороны трапеции.

По сторонам равнобедренной трапеции

Периметр по сторон 2

 

Если нам известны ребра этого четырехугольника с одинаковыми боковыми сторонами, то находить ее P можно по следующей формуле:

(P=2times a+b+c)

или

(P=2times c+a+b)

Через среднюю линию

Через среднюю линию

 

Так как средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, то формулу P можно выразить так:

(P=2times l+AB+CD)

где l — средняя линия фигуры.

Примеры решения задач

Давайте рассмотрим наглядные примеры решения задач на нахождение суммы длин всех ребер этой фигуры.

Задача 1

Дана трапеция с боковыми сторонами 4 см и 5 см, а ее основания равны 7 см и 10 см. Найти периметр данного многоугольника.

Решение:

Нам пригодится самая первая формула для расчета:

P=a+b+c+d.

Подставляем значения и получаем:

P=4+7+5+10=26;см.

Ответ: 26 см.

Задача 2

Известно, что у трапеции две боковые стороны равны 7 см, а ее основания равны 5 см и 8 см. Нужно найти P четырехугольника.

Решение:

Так как трапеция равнобедренная, удобнее всего будет использовать формулу:

(P=2times a+b+c)

Таким образом, получается:

(P=2times 7+5+8=27) см.

Ответ: 27 см.

Задача 3

Средняя линия l трапеции равна 6 см, а боковые стороны 5 см и 9 см. Вычислить P фигуры.

Решение:

Считать будем по формуле

(P=2times l+a+c)

(P=2times 6+5+9=26) см.

Ответ: 26 см.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 3.82 (Голосов: 11)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник

Периметр трапеции калькулятор онлайн умеет вычислять периметр четырьмя способами:

  1. По четырем сторонам.
  2. По основанию и боковой стороне равнобедренной трапеции.
  3. По средней линии и боковым сторонам.
  4. По высоте и верхнему основанию и боковым сторонам.

Сделав расчет периметра на этом онлайн калькуляторе Вы получите не только ответ, но и детальное, пошаговое решение с выводом формул и промежуточных действий.

Периметр трапеции – это сумма четырех сторон. 
Так как, довольно часто, не все стороны известны, то периметр может быть найден и по другим формулам.  Вывод этих формул основан на правилах геометрии и тригонометрии.

Как найти периметр трапеции?

Найти периметр трапеции очень просто на нашем онлайн калькуляторе. Так же периметр может быть найден самостоятельно по формулам. Выбор нужной формулы зависит от того какие данные известны.

1) По четырем сторонам


где a,b,c,d – стороны трапеции.

2) По основанию и боковой стороне равнобедренной трапеции


где a,b,c – стороны трапеции.

3) По средней линии и боковым сторонам


где c,d – боковые стороны и L – длина средней линии.

4) По высоте и верхнему основанию и боковым сторонам


ггде a – верхнее основание, h – высота, с и d – боковые стороны.

Скачать все формулы в формате Word

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать периметр трапеции и разберем примеры решения задач.

  • Формула вычисления периметра

  • Примеры задач

Формула вычисления периметра

Периметр (P) трапеции равняется сумме длин всех ее сторон.

P = a + b + c + d

Периметр трапеции

  • b и d – основания трапеции;
  • a и с – ее боковые стороны.

Периметр равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны (a=c), из-за чего ее, также, называют равнобокой. Периметр считается так:

P =  2a + b + d или P = 2с + b + d

Периметр равнобедренной трапеции

Периметр прямоугольной трапеции

Для расчета периметра используется такая же формула, что и для разносторонней трапеции.

P = a + b + c + d

Периметр прямоугольной трапеции

Примеры задач

Задание 1
Найдите периметр трапеции, если ее основания равны 7 и 10 см, а боковые стороны – 4 и 5 см.

Решение:
Используем стандартную формулу, подставив в нее известные нам длины сторон: P = 7 см + 10 см + 4 см + 5 см = 26 см.

Задание 2
Периметр равнобедренной трапеции равняется 22 см. Найдите длину боковой стороны, если основания фигуры равны 3 см и 9 см.

Решение:
Как мы знаем, периметр равнобедренной трапеции вычисляется по формуле: P = 2a + b + d, где а – боковая сторона.
Ее длина, умноженная на два равна: 2a = P – b – d = 22 см – 3 см – 9 см = 10 см.
Следовательно, длина боковой стороны составляет: a = 10 см / 2 = 5 см.

Источник

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Определение.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Элементы трапеции:

  • Основы трапеции – параллельные стороны
  • Боковые стороны – две другие стороны
  • Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Виды трапеций:

  • Равнобедренная трапеция – трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция – трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Основные свойства трапеции

1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d1 и d2 связаны со сторонами соотношением:

d12 + d22 = 2ab + c2 + d2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

a = 2m – b

b = 2m – a

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a – h · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a – c·cos α – d·cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Средняя линия трапеции

Определение.

Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:

h = c·sin α = d·sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =  sin γ · d1 d2  =  sin δ · d1 d2
a + b a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =  sin γ · d1 d2  =  sin δ · d1 d2
2m 2m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

d1 = √a2 + d2 – 2ad·cos β

d2 = √a2 + c2 – 2ac·cos α

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d1 =  √ d 2 + ab –  a(d 2 – c2)
a – b
d2 =  √ c2 + ab –  a(c2 – d 2)
a – b

3. Формула длины диагоналей через высоту:

d1 = √h2 + (a – h · ctg β)2 = √h2 + (b + h · ctg α)2

d2 = √h2 + (a – h · ctg α)2 = √h2 + (b + h · ctg β)2

4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

d1 = √c2 + d 2 + 2ab – d22

d2 = √c2 + d 2 + 2ab – d12

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

2. Формула площади через среднюю линию и высоту:

S = m · h

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =  d1d2 · sin γ  =  d1d2 · sin δ
2 2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =  a + b √ c2 – ( (a – b)2 + c2 – d 2 ) 2
2 2(a – b)

5. Формула Герона для трапеции

S =  a + b √(p – a)(p – b)(p – a – c)(p – a – d)
|a – b|

где

p =  a + b + c + d   – полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

P = a + b + c + d

Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =  a·c·d1
4√p(p – a)(p – c)(p – d1)

где

a – большее основание

Окружность вписанная в трапецию

В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

a + b = c + d

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =  b    KN = ML =  a    TO = OQ =  a · b
2 2 a + b

Источник
Определение трапеции

Трапеция — это геометрическая фигура, четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны.

Эти параллельные стороны называют основаниями трапеции. Две другие стороны – это боковые стороны трапеции.

Онлайн-калькулятор периметра трапеции

Трапеции бывают равнобедренные, разносторонние и прямоугольные.
У трапеции есть так называемая средняя линия, которая показана на рисунке ниже. Она параллельна двум основаниям, а также равна их полусумме.

площадь трапеции

Формула периметра трапеции

Для нахождения периметра трапеции нужно сложить длины всех ее сторон.

Периметр трапеции

P=a+b+c+dP = a + b + c + d,

где a,b,c,da, b, c, d — стороны трапеции.

Рассмотрим задачи на нахождение периметра трапеции.

Задача 1

Найти периметр трапеции, стороны которой равны:

a=c=2a = c = 2 см,
d=5d = 5 см,
b=3b = 3 см.

Решение

Нам дана равнобедренная трапеция, так как две ее стороны одинаковой длины. Также известны все стороны фигуры. Воспользуемся формулой и подставим вместо aa, bb, cc, dd их численные значения:

P=2+3+2+5=12P = 2 + 3 + 2 + 5 = 12 (см).

Ответ: P=12P = 12 см.

Рассмотрим еще одну задачу на вычисление стороны равнобедренной трапеции.

Задача 2

У равнобедренной трапеции основания равны 5 см и 3 см, а ее периметр равен 16 см. Чему равны боковые стороны?

Решение

В данной задаче нам известен периметр равнобедренной трапеции и ее основания: P=16P = 16 см, d=5d = 5 см, b=3b = 3 см, но неизвестны боковые стороны.

Воспользуемся формулой нахождения периметра трапеции, обозначив боковую сторону буквой aa:

P=a+a+b+d=2a+b+dP = a + a + b + d = 2a + b + d

Далее выразим 2a2a и найдем длину боковой стороны:

2a=P−b−d2a = P – b – d

2a=16−3−5=16−8=82a = 16 – 3 – 5 = 16 – 8 = 8

a=82=4a = frac{8}{2} = 4 см.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 4 см.

Ответ: 4 см.

Не знаете, где заказать контрольную работу онлайн? Наши эксперты помогут вам в выполнении работы!

Тест по теме “Периметр трапеции”

Источник

Добавить комментарий