Как найти периметр треугольника если известна диагональ

Как найти периметр треугольника

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение

Периметром принято называть длину всех сторон многоугольника. Периметр обозначается заглавной латинской буквой P. Под «P» удобно писать маленькими буквами название фигуры, чтобы не запутаться в задачах и ходе решении.

Важно, чтобы все параметры были переданы в одной единице длины, иначе мы не сможем подсчитать результат. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

В чем измеряется периметр:

Как узнать периметр треугольника

Рассмотрим какие существуют формулы, и при каких известных исходных данных их можно применять.

Если известны три стороны, то периметр треугольника равен их сумме. Этот способ проходят во втором классе.

P = a + b + c, где a, b, c — длина стороны.

Если известна площадь и радиус вписанной окружности:

P = 2 * S : r, где S — площадь, r — радиус вписанной окружности.

Если известны две стороны и угол между ними, вычислить периметр треугольника можно так:

P = √ b 2 + с 2 – 2 * b * с * cosα + (b + с), где b, с — известные стороны, α — угол между известными сторонами.

Если известна одна сторона в равностороннем треугольнике:

P = 3 * a, где a — длина стороны.

Все стороны в равносторонней фигуре равны.

Если известна боковая сторона и основание в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * a + b, где a — боковая сторона, b — основание.

Боковые стороны в равнобедренной фигуре равны.

Если известна боковая сторона и высота в равнобедренном треугольнике:

P = 2 * (√ a 2 + h 2 ) + 2 * a, где a — боковая сторона, h — высота.

Высотой принято называть отрезок, который вышел из вершины и опустился на основание. В равнобедренной фигуре высота делит основание пополам.

Если известны катеты в прямоугольном треугольнике:

P = √ a 2 + b 2 + (a + b), где a, b — катеты.

Катет — одна из двух сторон, которые образуют прямой угол.

Если известны катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике:

P = √ c 2 – a 2 + (a + c), где a — любой катет, c — гипотенуза.

Гипотенуза — сторона, которая лежит напротив прямого угла.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Периметр прямоугольника

Периметр прямоугольника — это сумма
всех сторон прямоугольника.

Периметр прямоугольника можно рассчитать
через четыре стороны, через смежные стороны,
через диагональ, через площадь,
через радиус описанной окружности.

Самый простой способ найти периметр
прямоугольника, это сложить все стороны.

Также, исходя из свойства прямоугольника, — «противоположные
стороны равны и параллельны», можно сказать, что периметр
численно равен удвоенной сумме ширины и высоты — двух
смежных сторон прямоугольника.

Кроме этих двух способов периметр прямоугольника
можно найти через другие величины. Например, через
площадь прямоугольника, диагональ прямоугольника, и так далее.

В прямоугольник невозможно вписать окружность,
поэтому выразить периметр через вписанную
окружность не получится.

Единицы измерения периметра прямоугольника:
км, м, дм, см, мм.

Формулы периметра прямоугольника

1. Периметр прямоугольника через четыре стороны
   

a, b, c, d — стороны прямоугольника;
a || c, b || d;
a = c, b = d;
Периметр прямоугольника через смежные стороны

a, b — смежные стороны;
a ≠ b;
Периметр прямоугольника через любую сторону и диагональ

b — любая сторона;
c — диагональ;
Периметр прямоугольника через любую сторону и площадь

b — любая сторона;
S — площадь;
Периметр прямоугольника через любую сторону и радиус описанной окружности

b — любая сторона;
R — радиус описанной окружности;

Полупериметр

Полупериметр — это половина периметра.

Обозначается латинской буквой p.

Чтобы найти полупериметр нужно разделить
периметр на два, или домножить периметр на 0.5.

[ p = frac

<2>= P cdot 0.5 ]

Полупериметр применяется в некоторых формулах
нахождения разных величин прямоугольника. Вместо того,
чтобы вычислять периметр, в таких формулах
удобней вычислять полупериметр.

Основные определения и величины

Длина прямоугольника — это длинная сторона
/ наибольшая сторона прямоугольника.

Обозначается латинской буквой a.

Ширина прямоугольника — это широкая сторона
/ наименьшая сторона прямоугольника.

Обозначается латинской буквой b.

Сторона прямоугольника — это ширина или длина прямоугольника,
в зависимости от численного значения длины стороны.

Обозначается латинской буквой a или b.

Диагональ прямоугольника — это отрезок, соединяющий
противоположные стороны прямоугольника.

Обозначается латинской буквой c или d.

Средняя линия прямоугольника — это отрезок, соединяющий
наименьшие параллельные стороны прямоугольника друг с
другом, причем делящий их пополам на равные отрезки.

Обозначается латинской буквой l.

Радиус описанной окружности прямоугольника — это отрезок,
соединяющий центр описанной около треугольника
окружности и произвольную точку на окружности.

Обозначается латинской буквой R.

Высота прямоугольника — это любая сторона прямоугольника,
а также любой отрезок в прямоугольнике, образующий угол в 90 градусов.

Обозначается латинской буквой h.

Периметр и диагональ прямоугольника

Свойства

Зная периметр прямоугольника и его диагональ можно составить систему уравнений с двумя неизвестными, благодаря которой становится возможным решить задачу методом подстановки. (Рис.56.1) <█(P=2(a+b)@a^2+b^2=d^2 )┤

Чтобы решить такую систему, необходимо выразить одну сторону из первого уравнения. P=2(a+b) P=2a+2b 2a=P-2b a=P/2-b

Теперь полученное выражение для переменной «a» подставляем во второе уравнение и находим значение переменной «b». (P/2-b)^2+b^2=d^2 〖P^2/4-Pb+b^2+b〗^2=d^2 〖2b〗^2-Pb+P^2/4-d^2=0

Получилось квадратное уравнение, для решения которого нужно найти дискриминант. D=b^2-4ac=P^2-4*2*(P^2/4-d^2 )=P^2-2P^2+8d^2=8d^2-P^2

В данном уравнении при значении дискриминанта больше либо равном нулю 8d^2-P^2 ≥ 0, будет два решения. Это и будут обе стороны прямоугольника x=(-b±√(b^2-4ac))/2a b=(P+√(8d^2-P^2 ))/4 a=(P-√(8d^2-P^2 ))/4

Углы пересечения диагоналей со сторонами α и β можно найти из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю. Тангенс угла α равен отношению b к a, а тангенс угла β равен отношению a к b. α=arc tan⁡〖b/a〗 β=arc tan⁡〖a/b〗

Вертикальные углы при пересечении диагоналей можно вычислить, удвоив величины углов α и β, как видно из рисунка. (рис. 56.2) γ=2α δ=2β

Радиус описанной окружности прямоугольника через диагональ вычисляется делением ее на два, так как точка пересечения диагоналей, которая является центром окружности, делит диагонали на две равные части – радиусы (рис. 56.3) R=d/2

[spoiler title=”источники:”]

http://colibrus.ru/perimetr-pryamougolnika/

http://geleot.ru/education/math/geometry/calc/rectangle/perimeter_and_diagonal

[/spoiler]

Расчёт периметра прямоугольника по диагонали и стороне

Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Для расчета можно указать либо длину и ширину прямоугольника, либо его диагональ и одну из сторон.

Периметры других четырехугольников на сайте – ромб, квадрат, параллелограмм.

Формула периметра прямоугольника через стороны

Формула периметра прямоугольника через диагональ и сторону

Примеры задач на нахождение периметра прямоугольника

Как найти стороны, если известны диагональ и периметр

Если в условиях задачи указан периметр прямоугольника, длина его диагонали, и требуется найти длину сторон прямоугольника, используйте свои знания о способах решения квадратных уравнений и свойствах прямоугольных треугольников.

Инструкция

Обозначьте для удобства стороны прямоугольника, которые необходимо найти в задаче, например, a и b. Диагональ прямоугольника назовите с, а периметр Р.

Составьте уравнение для нахождения периметра прямоугольника, он равен сумме его сторон. У вас получится:
a+b+a+b=Р или 2*а+2*b=Р.

Обратите внимание на тот факт, что диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Теперь вспомните, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть:
а^2+b^2=с^2.

Выпишите рядом полученные уравнения, вы увидите, что получилась система из двух уравнений с двумя неизвестными а и b. Подставьте значения, данные в задаче для величины периметра и диагонали. Предположим, что в условиях задачи значение периметра составляет 14, а гипотенуза 5. Таким образом, система уравнений выглядит следующим образом:
2*а+2*b=14
а^2+b^2=5^2 или а^2+b^2=25

Решите систему уравнений. Для этого в первом уравнении перенесите b со множителем в правую часть и разделите обе части уравнения на множитель а, то есть на 2. Вы получите:
а=7-b

Подставьте значение а во второе уравнение. Правильно раскройте скобки, помните о том, как возводить в квадрат слагаемые в скобках. Вы получите:
(7-b)^2+b^2=25
7^2-7*2*b+ b^2+b^2=25
49-14*b+2*b^2=25
2*b^2-14*b+24=0

Вспомните свои знания о дискриминанте, в этом уравнении он равен 4, то есть больше 0, соответственно, данное уравнение имеет 2 решения. Вычислите корни уравнения с помощью дискриминанта, вы получите, что сторона прямоугольника b равна либо 3, либо 4.

Подставьте поочередно полученные значения стороны b в уравнение для а (смотрите шаг 5), а=7-b. Вы получите, что при b равном 3, а равно 4. И наоборот, при b равном 4, а равно 3. Обратите внимание, что решения симметричны, поэтому ответ задачи таков: одна из сторон равна 4, а вторая 3.

Видео по теме

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?